Рекурсивные подпрограммы

Реализация нерекурсивного алгоритма

program pohod;
const nnn = 100;            {максимально возможное количество различных весов}
var f: text;
    d,razn,k,i,j,n: integer;
    sum: longint;
    ves,kol: array[1..nnn] of word;
    take, dif: array[0..nnn] of word;

procedure vyvod(a: integer);
begin
    writeln(a);
    halt;           {принудительное завершение работы программы}
end;

begin
{---- Ввод данных и их сортировка ---}
    ...
{---- Основная часть программы -----}
    d:= sum mod 2;          {показатель четности общего веса}
    sum:=(sum div 2)+ d;    {"большая половина" общего веса}

    dif[0]:= sum;
    razn:= sum;
    for i:= 1 to k do
        begin
            take[i]:= min(dif[i-1] div ves[i],kol[i]);
            dif[i]:= dif[i-1]- take[i]*ves[i];
            if dif[i]< razn then razn:= dif[i];
            if razn <= d then vyvod(d);
    {проверка того, что уже на первом шаге найдено решение}
        end;

{---- Заполнение массива --------}
    i:= k;
    while i>0 do
        begin
            if take[i]= 0
                then i:= i-1                {переход к следующей компоненте}
                else begin		
                    dec(take[i]);            уменьшение текущей компоненты на 1}
                    inc(dif[i],ves[i]);     {увеличение остатка на соотв. величину}
                    for j:= i+1 to k do     {перезаполнение хвоста}
                    begin
                    take[j]:= min(dif[j-1] div ves[j],kol[j]);
                    dif[j]:= dif[j-1]- take[j]*ves[j];
                    if dif[j]< razn then razn:= dif[j];
                    if razn <= d then vyvod(d); {проверка результата}
                end;
                i:= k;
            end;
        end;
    vyvod(2*razn-d);
end.

Иллюстрация

Наиболее понятным образом принцип работы нашей программы можно продемонстрировать на примере.

Пусть имеется семь предметов ( n = 7 ) с весами 9, 5, 25, 11, 9, 5, и 11 единиц (килограмм, фунтов, бушелей...). Тогда всего есть четыре разных вида предметов ( k = 4 ).

Общая сумма весов равна 75 ; следовательно, "большая половина" sum = 38. Теперь нужно найти такой набор предметов, чей суммарный вес будет наиболее близким к этой "золотой середине". Кроме того, не стоит забывать и о сделанном ранее замечании: как только найдется набор, вес которого отличается от "золотого" лишь на единицу, поиск можно закончить.

Начнем теперь заполнять массивы take и dif (массив dif хранит остатки, в пределах которых можно проводить дальнейшие вычисления).

На начальном ("нулевом") шаге мы заполним массив take так, чтобы в создаваемый набор попали по возможности самые тяжелые предметы (см. раздел реализации "Основная часть программы"). Таким образом, получим следующие состояния массивов:

После этого шага переменная razn, которая хранит отклонение текущего набора весов от оптимального, будет содержать значение 2. Попытаемся уменьшить это значение (переход к разделу реализации "Заполнение массива").

Двигаясь от конца массива take к его началу, будем уменьшать поочередно каждую его ненулевую компоненту. Разумеется, при этом будут возникать изменения в хвосте этого массива; эти изменения мы будем вносить туда в обычной последовательности "от начала к концу".

Таким образом, наши массивы последовательно примут следующие значения (некоторые непринципиальные шаги опущены):

1

2

3

4

5

6

7

10

12

17

22

24

Итак, мы убедились в том, что найденное в самом начале значение переменной razn и было минимальным (найденные группы весов соответственно 25 + 11 = 36 и 11 + 9 + 9 + 5 + 5 = 39 ). Необходимо отметить, что из приведенных выше таблиц видно (см. шаг 5), что существует еще один способ разделить приведенный набор весов таким же оптимальным образом: ( 11 + 11 + 9 + 5 = 36 и 25 + 9 + 5 = 39 ). Найденная разница 39 - 36 = 3 и будет окончательным результатом, который программа сообщит пользователю.

Эффективность

В отличие от рекурсивного алгоритма, верхним пределом для которого можно смело считать наборы длиной в 50 предметов, итеративный алгоритм способен обработать до 5 000 различных весов (общее количество предметов может быть гораздо больше).

Другие примеры сравнения рекурсивных и нерекурсивных алгоритмов, решающих одну и ту же задачу, будут приведены в лекции 12.

Быстрая сортировка

Возвратимся теперь к методам сортировки массивов, которым была посвящена лекция 4. Наиболее эффективный способ сортировки остался тогда не рассмотренным по причине того, что самая удобная его реализация подразумевает рекурсию.

Алгоритм Быстр

1. Возьмем в сортируемом массиве срединный элемент: x:=a[(1+N)div 2] ;
2. Будем производить следующие действия:
   1. начав с левого конца массива, будем перебирать его компоненты до тех пор, пока не встретим элемент a[i], больший х ;
   2. начав с правого конца массива, будем перебирать его компоненты до тех пор, пока не встретим элемент a[j], меньший х ;
   3. поменяем местами элементы a[i] и a[j] ;

до тех пор, пока не произойдет "рандеву". В результате массив будет разделен на две части. В левой части окажутся все компоненты, меньшие х, а в правой - большие х.

Теперь применим эти же действия к левой и к правой части массива - рекурсивно.

Реализация алгоритма Быстр

type index = 1..N;
var a: array[index] of integer;

procedure quicksort(l,r:index);
	var i,j: index; 
		  x,z: integer;
	begin
			i:= l;
			j:= r;
			x:= a[(l+r)div 2];
			repeat
					while a[i]< x do inc(i);
					while a[j]> x do dec(j);
					if i <= j
						then begin
									z:= a[i];
									a[i]:= a[j];
									a[j]:= z;
									inc(i);
									dec(j);
								end;
				until i>j;
			if l<j then quicksort(l,j);
			if i<r then quicksort(i,r);
	end;
begin   {тело программы}
	...
	quicksort(1,n);
	...
end.

Эффективность алгоритма Быстр

Алгоритм Быстрой сортировки имеет в среднем^{2Существует, однако, "плохой" случай (и немногочисленные смежные с ним), когда эффективность Быстрой сортировки резко ухудшается до N2. Это происходит, если на каждом шаге срединным оказывается такой элемент, что от массива отделяется всего один элемент (массив длины N распадается на два массива длины N-1 и 1 ). Поэтому при описании эффективности мы использовали слова "в среднем".} сложность N*log N и, следовательно, относится к улучшенным методам сортировки массивов (см. лекцию 4). Кроме того, даже среди улучшенных методов упорядочения Быстрая сортировка дает наилучшие результаты по времени (для относительно больших входных последовательностей - начиная с N = 100 ).

Конечно же, существует и итеративный вариант алгоритма Быстрой сортировки, который еще более эффективен. Мы предлагаем читателям построить его самостоятельно.