НОУ ИНТУИТ | Алгоритмические основы современной компьютерной графики. Лекция 7: Проецирование пространственных сцен

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 20.10.2007 | Уровень: специалист | Доступ: свободно

|

Вам нравится? Нравится 69 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Центральные проекции

Предположим, что центр проекции находится в точке $\overrightarrow{c}=(c_x,c_y,c_z)$ , а картинная плоскость совпадает с плоскостью XOY . Возьмем произвольную точку изображаемого объекта $\overrightarrow{M}=(x,y,z)$ и определим ее проекцию на выбранную плоскость (рис. 7.7).

Рис. 7.7. Центральная проекция на плоскость XOY

Прямую, проходящую через точки $\overrightarrow{c}$ и $\overrightarrow{M}$ , зададим в параметрическом виде:

$\overrightarrow{r}(t)=\overrightarrow{c}+t\cdot(\overrightarrow{M}-\overrightarrow{c})= (c_x+t\cdot(x-c_x),c_y+t\cdot(y-c_y),c_z+\\+t\cdot(z-c_z)).$

( 7.1)

Теперь найдем точку пересечения этой прямой с картинной плоскостью. Она определяется из условия равенства нулю третьей координаты:

$c_z+t\cdot(z-c_z)=0,$

откуда определяем значение параметра

, при котором точка прямой принадлежит координатной плоскости:

$t^*=\frac{c_z}{c_z-z}=\frac{1}{1-\frac{z}{c_z}}.$

Подставляя это значение в формулу (7.1), мы получим координаты проекции точки $\overrightarrow{M}$ :

$x^*=c_x+\frac{x-c_x}{1-\frac{z}{c_z}}, \quad y^*=c_y+\frac{y-c_y}{1-\frac{z}{c_z}}.$

( 7.2)

Фактором, влияющим на перспективное изменение размеров, является наличие координаты в знаменателе. Чем ближе оказывается точка к центру проекции, тем больше знаменатель, а соответственно и координаты точки.

Мы будем рассматривать ситуацию, когда центр проекции лежит на оси , а сама ось направлена от наблюдателя к проекционной плоскости, т.е. $c_x=x_y=0,\quad c_z=-d, \; d>0$ . Тогда формулы (7.2) приобретают вид

$x^*=\frac{x}{1+\frac{z}{d}}, \quad y^*=\frac{y}{1+\frac{z}{d}}.$

( 7.3)

В однородных координатах такое преобразование можно записать с помощью двух операций. Сначала умножаем матрицу проективного преобразования P_z на исходную точку и получаем точку в четырехмерном пространстве:

$P_z\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/d & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \\ 1+z/d \end{pmatrix}.$

( 7.4)

Затем проецируем эту точку в пространство однородных координат путем деления на четвертую компоненту:

$(x^*,y^*,0,1)=(x/p,y/p,0,1), \quad p=1+z/d.$

Посмотрим теперь, что происходит с пучком параллельных прямых под действием матрицы проекции. Пусть задан пучок прямых, параллельных вектору $\overrightarrow{v}=(a,b,c)$ . Тогда параметрическое уравнение прямой, принадлежащей этому пучку, имеет вид

$\overrightarrow{r}=(x+at,y+bt,z+ct).$

Из формулы (7.4) следует, что в результате проецирования получим множество точек

$\left( x+at,y+bt,0,1+\frac{z+ct}{d} \right) .$

Переходя к однородным координатам и умножив числитель и знаменатель каждой дроби на , получим точки $\overrightarrow{r}_0$ вида

$\overrightarrow{r}_0= \left( d\frac{x+at}{d+z+ct},d\frac{y+bt}{d+z+ct},0,1 \right) .$

Теперь в каждой компоненте вектора числитель и знаменатель поделим на :

$\overrightarrow{r}_0= \left( d\frac{x/t+a}{(d+z)/t+c},d\frac{y/t+b}{(d+z)/t+c},0,1 \right) .$

Переходя к пределу при $t\rightarrow\infty$ , получим точку

$\overrightarrow{r}_{\infty}= \left( \frac{da}{c},\frac{db}{c},0,1 \right) .$

Таким образом, получаем, что после проецирования пучок параллельных прямых пересекается в точке схода $\overrightarrow{r}_{\infty}$ . Понятно, что у каждого пучка своя точка схода. Если пучок прямых параллелен плоскости XOY , т.е. c=0 , то точка схода оказывается на бесконечности, а значит, прямые остаются параллельными.

Для построения перспективной проекции с несколькими точками схода используется матрица перспективного преобразования без проецирования:

$P= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1/d_1 & 1/d_2 & 1/d_3 & 1 \end{pmatrix} .$

Теперь точки пространства сначала подвергаются перспективному преобразованию, а затем осуществляется проекция.

Определим точки схода для прямых, параллельных осям координат. Для прямых $\overrightarrow{r}=(x,y,z+ct)$ результатом проективного преобразования будет множество точек (x/f,y/f,(z+ct)/f,1) , где f=x/d_1+y/d_2+(z+ct)/d_3+1 . При $t\rightarrow\infty$ получим точку с координатами (0,0,d_3,1) . При проекции на плоскость XOY получим точку (0,0) . Пучок прямых $\overrightarrow{r}=(x+ct,y,z)$ перейдет в $((x+ct)/f_1,y/f_1,z/f_1,1),\;f_1=(x+ct)/d_1+y/d_2+z/d_3+1$ , а точкой схода для него будет (d_1,0,0,1) , которая при проецировании перейдет в точку, лежащую на оси $OX \; (d_1,0)$ . Аналогично для пучка прямых, параллельных оси , получим точку схода на оси $OY \; (0,d_2)$ . Эти три точки на плоскости являются главными точками схода.