Рекурсия и рекурсивные алгоритмы
Пример 2. Задача о нахождении центра тяжести выпуклого многоугольника.
Выпуклый многоугольник задан на плоскости координатами своих вершин. Найдите его центр тяжести.
Разработаем рекурсивную триаду.
Параметризация: x, y – вещественные массивы, в которых хранятся координаты вершин многоугольника; n – это число вершин многоугольника, по условию задачи, n>1 так как минимальное число вершин имеет двуугольник (отрезок).
База рекурсии: для n=2 в качестве многоугольника рассматривается отрезок, центром тяжести которого является его середина (рис. 34А). При этом середина делит отрезок в отношении 1 : 1. Если координаты концов отрезка заданы как (x0,y0) и (x1,y1), то координаты середины вычисляются по формуле:
![cx=\frac{x_0+x_1}{2},\quad cy=\frac{y_0+y_1}{2}.](/sites/default/files/tex_cache/215569e7cd499a3f6326b259dc747f28.png)
Декомпозиция: если n>2, то рассмотрим последовательное нахождение центров тяжести треугольника, четырехугольника и т.д.
Для n=3 центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины. Но основание медианы – это середина отрезка, являющегося стороной треугольника. Таким образом, для нахождения центра тяжести треугольника необходимо: найти центр тяжести стороны треугольника (отрезка), затем разделить в отношении 2 : 1, считая от вершины, отрезок, образованный основанием медианы и третьей вершиной (рис. 34B).
Для n=4 центром тяжести четырехугольника является точка, делящая в отношении 3 : 1, считая от вершины, отрезок: он образован центром тяжести треугольника, построенного на трех вершинах, и четвертой вершиной (рис. 34C).
Таким образом, для нахождения центра тяжести n -угольника необходимо разделить в отношении (n-1): 1, считая от вершины, отрезок: он образован центром тяжести (n-1) -угольника и n -ой вершиной рассматриваемого многоугольника. Если концы отрезка заданы координатами вершины (xn,yn) и центра тяжести (n-1) -угольника (cxn-1,cyn-1), то при делении отрезка в данном отношении получаем координаты:
![cx_n=\frac{x_n+(n-1)cx_{n-1}}{n},\quad cy_n=\frac{y_n+(n-1)cy_{n-1}}{n}](/sites/default/files/tex_cache/cf5835d239b795f26b3f40f4be3d5618.png)
#include "stdafx.h" #include <iostream> using namespace std; #define max 20 void centr(int n,float *x, float *y, float *c); int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]){ int m, i=0; FILE *f; if ( ( f = fopen("in.txt", "r") ) == NULL ) perror("in.txt"); else { fscanf(f, "%d",&m); printf("\n%d",m); if ( m < 2 || m > max ) //вырожденный многоугольник printf ("Вырожденный многоугольник"); else { float *px,*py,*pc; px = new float[m]; py = new float[m]; pc = new float[2]; pc[0] = pc[1] = 0; while(i<m) { fscanf(f, "%f %f",&px[i], &py[i]); printf("\n%f %f",px[i], py[i]); i++; } centr(m,px,py,pc); printf ("\nЦентр тяжести имеет координаты: (%.4f, %.4f)",pc[0],pc[1]); delete [] pc; delete [] py; delete [] px; } fclose(f); } system("pause"); return 0; } void centr(int n,float *x, float *y, float *c){ //n - количество вершин, //x,y - координаты вершин, //c - координаты центра тяжести if(n==2){ //база рекурсии c[0]=(x[0]+x[1])/2; c[1]=(y[0]+y[1])/2; } if(n>2) { //декомпозиция centr(n-1,x,y,c); c[0]= (x[n-1] + (n-1)*c[0])/n; c[1]= (y[n-1] + (n-1)*c[1])/n; } }
Характеристиками рассматриваемого метода оценки алгоритма будут следующие величины.
Однако в данном случае для более достоверной оценки необходимо учитывать емкостные характеристики алгоритма.