- О курсе
- План занятий
- Экзамен экстерном
- Лекция 1
- Введение
- Методы решения некоторых типов ураввнений
- Основные понятия
- Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- Определение решения обыкновенного дифференциального уравнения
- Определение общего решения
- Неявная функция
- Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка разрешенное относительно производной
- Геометрическая интерпретация
- Поле направлений
- Задача Коши
- Теорема существования и единственности задачи Коши
- Дифференциалы
- Уравнение в дифференциалах
- Задача Коши для уравнения в дифференциалах
- Уравнения в полных дифференциалах
- Пример на плоскости без начала координат
- Типы уравнений в полных дифференциалах - уравнения с разделенными переменными
- Уравнение с разделяющимися переменными
- Примеры
- Задача
- Литература
- Тест 1
- Лекция 2
- Введение
- Уравнение в полных дифференциалах
- Теорема существования для уравнения в полных дифференциалах
- Иллюстрация к доказательству
- Условие интегрируемости Клеро-Эйлера
- Определение интегрирующего множителя
- Другие простые типы уравнений
- Однородное уравнение
- Линейные уравнения (метод лагранжа вариации постоянных)
- Задача Коши для линейного уравнения
- Замечания о формулах в квадратурах
- Задача для уравнения Бернулли
- Замечания о неразрешимости в квадратурах
- Замечания о методе введения параметра
- Задача Коши для уравнения с параметром (две эквивалентные формулировки)
- Метод введения параметра
- Пример уравнения Лагранжа
- Тест 2
- Лекция 3
- Введение
- Уравнения высших порядков, понижение порядка
- Определение решения
- Задача Коши
- Случай уравнения разрешенного относительно старшей производной
- Понижение порядка уравнения
- Основная идея
- Определение инвариантности уравнения
- Теорема о представлении инвариантного уравнения
- Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка
- Примеры
- Тест 3
- Лекция 4
- Введение
- Линейные дифферециальные уравнения с постоянными коэффициентами
- Предварительные сведения о комплексных функциях вещественного переменного
- Определение экспоненты и ее свойства
- Квазимногочлен
- Лемма о степени квазимногочлена
- Лемма о единственности представления квазимногочлена
- Символика для операции дифференцирования и ее свойства
- Общий метод решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами
- Определение решения
- Определение характеристического многочлена и характеристического уравнения
- Описание метода решения
- Следствие о разрешимости в квадратурах
- Задача Коши
- Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши
- Лекция 5
- Введение
- Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- Теорема о виде решения линейные дифференциальные уравнения
- Доказательство теоремы
- Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- Предсталение решения неоднородного решения в виде суммы частного решения и общего однородного
- Представление решения в виде суммы частных решений
- Теорема о виде частного решения для неоднородного уравнения с правой частью в виде квазимногочлена
- Метод неопределенных коэффициентов
- Действительная форма решений
- Уравнение Эйлера
- Лекция 6
- Введение
- Краевая задача для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- Формулировка первой краевой задачи
- Упражнения
- Простейшие задачи с сингулярно входящим малым параметром
- Теорема о виде решения задачи с малым параметром
- Иллюстрация решения
- Доказательство теоремы
- Замечания о сингулярности и малом параметре
- О явлении пограничного слоя
- Пример для правого конца
- Уравнение 2-го порядка с малым параметром
- Теорема о виде решения для уравнения n-го порядка с параметром
- Иллюстрация решения
- Доказательство теоремы
- Поведение решения
- Тест 4
- Лекция 7
- Введение
- Матричная функция скалярного аргумента
- Определения непрерывности, дифференцируемости и интеграла матричной функции
- Теорема о производной суммы матричных функций
- Теорема о производной произведения матричных функций
- Формула Ньютона-Лейбница для матричных функций
- Общий вид системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- Линеаризация уравнения n-го порядка
- Общий вид системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка
- Нормальная форма системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- Задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- Определение решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффицентам
- Задача Коши для системы линейных дифференциальных уравнений
- Идея решения
- Теорема о приведении оператора к треугольному виду
- Общий метод решения системы линейных дифференциальных уравнений
- Следствие о разрешимости в квадратурах
- Теорема для решения задачи Коши
- Однородное уравнение для системы
- Теорема о виде решения
- Лекция 8
- Введение
- Постановка задачи
- Представление общего решения в виде суммы частного решения и общего решения однородного уравнения
- Представление решения в виде суммы решений
- Частный случай для квазимногочлена
- Теорема о виде решения для квазимногочлена
- Доказательство теоремы
- Поиск решения методом неопределенных коэффициентов
- Поиск вещественного решения
- Матричные формулы решения систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами
- Экспонента от матрицы
- Определение экспоненты от матрицы
- Свойства экспоненты от матрицы
- Теорема о виде решения в матричной форме
- Эффективное вычисление экспоненты
- Частный случай для диагональной матрицы
- Лекция 9
- Введение
- Жорданова форма матрицы линейного преобразования
- Определение цепочки векторов для собственного значения
- Теорема Жордана о базисе из цепочек соответствующих собственным значениям линейного преобразования
- Жорданова форма матрицы линейного преобразования
- Задача для одного собственного вектора
- Экспонента для жордановой формы матрицы
- Уточнение некоторых результатов
- Теоремы о виде решения однородного уравнения
- Преобразования Лапласа. Элементы операционного исчисления
- Определение оригинала
- Теорема об интегрировании оригинала
- Определение изображения по Лапласу оригинала
- Тест 5
- Лекция 10
- Введение
- Определения оригинала и изображения
- Некоторые свойства преобразования Лапласа
- Вид изображения для функции имеющую n-ю производную, являющуюся оригиналом
- Теорема о представлении оригинала в виде интеграла от изображения
- Теорема об однозначном восстановлении оригинала
- Преобразование Лапласа от квазимногочлена
- Теорема об отображении множеств квазимногочленов и правильных рациональных дробей
- Лекция 11
- Введение
- Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений
- Новый способ решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- Замечания об операционном методе
- Применение преобразования лапласа к решению систем диффернциальных уравнений
- Операционный метод решения для систем
- Элементы вариационного исчисления
- Постановка вопроса
- Пример задачи для движения точки
- Математческая постановка задачи
- Тест 6
- Лекция 12
- Введение
- Простейшая задача вариационного исчисления
- Определение допустимой функции
- Постановка задачи
- Основные результаты
- Определение вариации
- Введение первой вариации
- Определение допустимой вариации
- Теорема о минимуме функционала
- Теорема Эйлера
- Определение экстремального функционала
- Обсуждение результатов
- Лекция 14
- Введение
- Некоторые обобщения простейшей задачи вариационного исчисления
- Функционалы, зависящие от нескольких функций
- Постановка задачи
- Теорема о системе Эйлера
- Функционалы зависящие от старших производных
- Определение допустимой функции
- Постановка задачи
- Необходимое условие решения (уравнение Эйлера)
- Определение экстремали
- Задача со свободным концом
- Теорема о естественном краевом условии
- Задача о брахистохроне со свободным концом
- Заключение
- Задача для самостоятельного решения
- Тест 7
- Лекция 18
- Введение
- Зависимость решения от параметров и начальных данных
- Теорема о существовании и единственности решения
- Теорема об уравнении в вариациях и дифференцируемости решения по параметру
- Некоторые дополнения
- О гладкости решений
- Зависимость решения от начальных данных
- О количестве начальных данных
- О решении уравнения порядка n
- Лекция 19
- Введение
- Уравнения неразрешенные относительно старшей производной. Особые решения
- Формулировка задачи Коши
- Теорема о решении задачи Коши
- Определение особого решения
- Теорема о нулевом решении
- Определение p-дискримантного множества
- Примеры
- Уравнение Клеро
- Задача для самостоятльного решения
- Автономные системы дифференциальных уравнений
- Простейшие свойства
- Определение фазового пространства
- Тест 8
- Лекция 20
- Введение
- Автономные системы дифференциальных уравнений
- Положение равновесия
- Теорема о положении равновесия - необходимое и достаточное условия
- Классификация положений равновессия линейной автономной системы второго порядка
- Невырожденные положения равновесия
- Устойчивый узел
- Неустойчивый узел
- Устойчивый и неустойчивый фокусы
- Вырожденные положения равновесия
- Центр
- Заключительные замечания
- О нелинейных автономных системах
- Общие соображения. Линеаризация уравнения
- Замечания о качественном поведении решений
- Замечания для вырожденного положения
- Случай уравнений 2-го порядка
- Лекция 21
- Введение
- Постановка задачи о поведении решения в окрестности положения равновесия
- Устойчивость по Ляпунову
- Определение ассимптотически устойчивого решения
- Теорема о достаточных услвиях для линейной системы
- Общий случай
- Теорема о достаточных условиях для общего случая
- Дополнения к теореме
- Первые интегралы
- Теорема о виде дифференциала
- Тест 9
- Лекция 22
- Введение
- Повторение лекции 6
- Определение первого интеграла
- Замечания о законе сохранения энергии
- Свойства первых интегралов
- Определение независимых первых интегралов
- Теорема о существовании n-1 независимых интегралов
- Теорема о необходимом и достаточном условии для первого интеграла в области
- Теорема о представлении первого интеграла в виде функции от независимых интегралов
- Лекция 23
- Введение
- Линейные однородные уравнения с частными производными первого порядка
- Определение решения
- Определение характеристик уравнения
- Теорема о решении как о первом интеграле
- Теорема об общей формуле решения
- Задача Коши
- Теорема существования и единственности
- Пример
- Системы с переменными коэффициентами
- Уточнение исследования задачи Коши
- Тест 10
- Лекция 24
- Введение
- Постановка задачи Коши
- Простейшие свойства
- Определение линейно-зависимых решений
- Теорема о линейной независимости векторов в точке
- Определение фундаментальной системы решений
- Теорема о существовании фундаментальной системы решений
- Теорема о представлении решения в виде линейной комбинации элементов фундаментальной системы решений
- Описание решений с точки зрения теории линейных пространств
- Определение фундаментальной матрицы решений
- Свойства фундаментальной матрицы решений
- Определитель Вронского
- Теорема Лиувилля-Остроградского
- Теорема о фундаментальной системе решений
- Теорема о фундаментальной матрице решений
- Лекция 25
- Введение
- Неоднородные системы линейных уравнений. Постановка задачи
- Простейшие свойства решений
- Общая формула решения
- Метод Лагранжа вариации постоянных
- Теорема о решении в квадратурах
- Пример решения задачи Коши
- Одно линейное уравнения n-го порядка
- Уточнение исследования задачи Коши
- Однородное уравнение
- Простейшие свойства
- Определение линейно-зависимых решений
- Теорема о линейно-зависимых решениях
- Определение фундаментальной системы решений
- Теорема о существовании фундаментальной системы решений
- Теорема о представлении произвольного решения
- Определение вронскиана системы решений
- Формула Лиувилля-Остроградского
- Неоднородное уравнение
- Теорема о необходимом и достаточном условиях
- Метод Лагранжа вариации постоянных
- Тест 11
- Тест 12
- Лекция 27
- Введение
- О теореме Жордана
- Определение цепочки векторов
- Теорема Жордана
- Вспомогательные результаты
- Определение линейно зависимых векторов относительно подпространства
- Определение базиса относительно пподпространства
- Леммы о базисах
- Лемма о многочленах
- Определение аннулируещего многочлена
- Лемма о существовании аннулирующего линейное преобразование многочлена
- Построение базиса из цепочек
- Определение корневого вектора
- Определение корневого пространства
- Лемма о представлении пространства в виде прямой суммы корневых пространств
- Вспомогательная лемма
- Построение базиса из цепочек
- Экзамен
Вы можете этот курс.
Московский физико-технический институт
Опубликован: 20.12.2010 | Доступ: свободный | Студентов: 2263 / 179 | Длительность: 05:00:00
Тема: Математика
Специальности: Математик
Теги: дифференциальные уравнения, теория
Лекция 21:
Устойчивость по Ляпунову и первые интегралы
< Лекция 1 || Лекция 21
Аннотация: Положение равновесия нелинейной автономной системы, устойчивость и асимптотическая устойчивость, теорема Ляпунова.
< Лекция 1 || Лекция 21
© НОУ «ИНТУИТ»,
2003 – 2025
2003 – 2025
Телефон: +7 (499) 253-9312, WhatsApp, Telegram, Viber: +7 (977) 954-84-50, факс: +7 (499) 253-9310, e-mail: info@intuit.ru, Skype: Intuit.ru