Опубликован: 20.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 3777 / 855 | Оценка: 4.38 / 3.99 | Длительность: 12:07:00
ISBN: 978-5-94774-654-9
Специальности: Программист
Лекция 5:

Отсечение (клиппирование) геометрических примитивов

< Лекция 4 || Лекция 5: 123 || Лекция 6 >

Отсечение выпуклым многоугольником

Во многих задачах компьютерной графики часто приходится иметь дело с отсечением не только простым прямоугольным окном, но и окном достаточно произвольной геометрии. В частности, такие задачи могут возникнуть при использовании перспективных проекций трехмерных сцен, но не только в этих случаях. Поэтому актуальной является задача отсечения выпуклым многоугольником. Ясно, что простой анализ с помощью кодов Сазерленда-Коэна в такой ситуации неприменим. Здесь нужен надежный и достаточно эффективный алгоритм нахождения точки пересечения двух произвольно ориентированных отрезков, а также алгоритм определения местоположения точки относительно многоугольника (внутри, снаружи или на границе).

Рассмотрим задачу о пересечении отрезка с концами \overrightarrow{r}_1=(x_1,y_1), \; \overrightarrow{r}_2=(x_2,y_2) с выпуклым многоугольником, заданным списком ребер. Ребро может быть задано в виде пары точек из множества вершин многоугольника R=(\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}), \; \overrightarrow{p}=(p_x,p_y), \; \overrightarrow{q}=(q_x,q_y) (рис. 5.7). То обстоятельство, что многоугольник выпуклый, является очень существенным: это позволяет использовать достаточно простой алгоритм, использующий внутренние нормали к его сторонам. Под внутренней нормалью понимается вектор, перпендикулярный стороне и направленный внутрь многоугольника. Как и в предыдущем алгоритме, воспользуемся параметрическим уравнением прямой, проходящей через концы отрезка: \overrightarrow{r}=\overrightarrow{r}_1+s(\overrightarrow{r}_2-\overrightarrow{r}_1). Если при некотором значении параметра s_0 эта прямая пересекается с прямой, проходящей через точки \overrightarrow{p}, \overrightarrow{q}, то вектор, соединяющий произвольную точку ребра с точкой \overrightarrow{r}_0=\overrightarrow{r}_1+s_0(\overrightarrow{r}_2-\overrightarrow{r}_1), будет перпендикулярен вектору нормали. Следовательно, скалярное произведение векторов \overrightarrow{n} и \overrightarrow{p}-\overrightarrow{r}_0 будет равно нулю. Отсюда путем несложных выкладок получаем s_0=\frac{((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{r}_1)\cdot\overrightarrow{n})}{((\overrightarrow{r}_2-\overrightarrow{r}_1)\cdot\overrightarrow{n})}..

Пересечение отрезка многоугольником

Рис. 5.7. Пересечение отрезка многоугольником

Конечно, использование этой формулы предполагает, что d\equiv((\overrightarrow{r}_2-\overrightarrow{r}_1)\cdot\overrightarrow{n})\ne 0, т.е. что отрезок не параллелен стороне многоугольника, но этот случай рассматривается отдельно. Найденная точка принадлежит отрезку при условии 0\le s_0\le 1. Условие принадлежности этой точки ребру многоугольника также можно выразить через скалярное произведение, так как векторы \overrightarrow{p}-\overrightarrow{r}_0 и \overrightarrow{r}_0-\overrightarrow{q} в этом случае должны быть одинаково направленными, т.е. ((\overrightarrow{p}-\overrightarrow{r}_0)\cdot(\overrightarrow{r}_0-\overrightarrow{q}))\ge 0.

Для каждого отрезка возможны три случая взаимного расположения с многоугольником:

  • точек пересечения нет;
  • существует одна точка пересечения;
  • существуют две точки пересечения.

В каждом из этих вариантов для нахождения пересечения отрезка с окном необходимо уметь определять принадлежность точки выпуклому многоугольнику. Из рис. 5.7 видно, что если для любой точки \overrightarrow{g}, принадлежащей многоугольнику (или его границе), и произвольной точки ребра \overrightarrow{f} построить вектор \overrightarrow{m}=\overrightarrow{g}-\overrightarrow{f}, то выполняется условие (\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}\ge 0), поскольку угол между векторами не может превышать 90 \deg. Таким образом, если данное условие выполняется для всех ребер многоугольника, то точка является внутренней.

Таким образом, алгоритм отсечения отрезка начинается с анализа расположения концов отрезка по отношению к окну. Если обе точки лежат внутри окна, то отрезок полностью видимый, и дальнейший поиск прекращается. Если только одна из точек лежит внутри окна, то имеет место случай II, и предстоит найти одну точку пересечения. И, наконец, если обе точки лежат вне окна, то существуют либо две точки пересечения (отрезок пересекает две границы окна), либо ни одной (отрезок полностью невидим). Впрочем, две точки пересечения могут совпадать (если отрезок проходит через вершину многоугольника), но этот случай в дополнительном анализе не нуждается.

Далее выполняется цикл по всем ребрам многоугольника с целью нахождения точек пересечения. Для каждого ребра перед началом поиска пересечения необходимо проверить, не параллельно ли оно с отрезком. Если это так, то можно вычислить расстояние от одного из концов отрезка до прямой, проходящей через ребро d=((\overrightarrow{r}_1-\overrightarrow{p})\cdot\overrightarrow{n}). При d=0 отрезок лежит на прямой, и остается определить взаимное расположение концов отрезка и концов ребра, что можно сделать простым покоординатным сравнением. При d\ne 0 отрезок не имеет общих точек с данным ребром.

Клиппирование многоугольников

От задачи отсечения отрезков можно перейти к более сложной: клиппирование произвольных многоугольников. Если многоугольник невыпуклый, то в результате пересечения даже с прямоугольным окном может получиться несколько не связанных между собой фигур, как это показано на рис. 5.8.

Отсечение невыпуклого многоугольника

Рис. 5.8. Отсечение невыпуклого многоугольника

Когда стоит задача штрихования замкнутой области одновременно с задачей отсечения, то важно правильно определить принадлежность вновь полученных фигур внутренней или внешней части исходного многоугольника. Пусть исходный многоугольник задан упорядоченным списком вершин \{\overrightarrow{p}_1,\overrightarrow{p}_2,\ldots,\overrightarrow{p}_n, соответствующих ребрам (\overrightarrow{p}_1,\overrightarrow{p}_2),(\overrightarrow{p}_2,\overrightarrow{p}_3),\ldots,(\overrightarrow{p}_{n-1},\overrightarrow{p}_n),(\overrightarrow{p}_n,\overrightarrow{p}_1). Для отсечения такого многоугольника прямоугольным окном можно применить алгоритм, предложенный Сазерлендом и Ходжменом. Идея его заключается в последовательном отсечении части многоугольника прямыми, соответствующими сторонам окна. Результатом его работы является упорядоченный список вершин, лежащих в видимой части окна. На каждом шаге алгоритма образуется некоторая промежуточная фигура, также представленная упорядоченным списком вершин и ребер. Пример таких последовательных отсечений показан на рис. 5.9. В процессе отсечения последовательно обходится список вершин, причем каждая очередная точка за исключением первой рассматривается как конечная точка ребра, начальной точкой которого является предшествующая точка из списка. Порядок, в котором рассматриваются стороны окна, не имеет значения. В процессе обхода формируется список новых вершин многоугольника.

Последовательные шаги клиппирования произвольного многоугольника

увеличить изображение
Рис. 5.9. Последовательные шаги клиппирования произвольного многоугольника

На первом шаге для первой вершины в списке определяется ее принадлежность видимой области. Если она видима, то она становится первой точкой первого обрабатываемого ребра и заносится в список новых вершин. Если же она невидима, то в список новых вершин не заносится, но все равно становится первой точкой ребра.

Для анализируемого ребра возможны четыре случая расположения относительно окна.

  1. Ребро полностью видимо. Очередная точка заносится в список новых вершин (предыдущая уже должна находиться в этом списке, поскольку ребро полностью видимо).
  2. Ребро полностью невидимо. Никаких действий не производится.
  3. Ребро выходит из области. Находится точка пересечения ребра со стороной окна и заносится в список новых ребер.
  4. Ребро входит в область. Также отыскивается точка пересечения со стороной окна и заносится в список новых вершин. Конечная точка тоже заносится в список новых вершин.

В этом алгоритме постоянно приходится определять видимость точки по отношению к конкретному ребру отсекающего окна. Окно также можно задать в виде упорядоченного списка вершин. Если обход вершин окна осуществляется по часовой стрелке, то его внутренняя область будет расположена по правую сторону от границы. При этом расположение точки \overrightarrow{p} относительно прямой, которой принадлежит ребро, можно устанавливать различными способами:

  1. Выбирается начальная точка \overrightarrow{s} данного ребра и строится вектор \overrightarrow{r}=\overrightarrow{p}-\overrightarrow{s} и вектор внутренней нормали n к границе (ребру) окна. Вычисляется скалярное произведение d=(\overrightarrow{r}\cdot\overrightarrow{n}). Если d\ge 0, то точка \overrightarrow{p} является видимой.
  2. Строится пространственный вектор \overrightarrow{r} (третью координату можно положить равной нулю). Вектор \overrightarrow{l} (также пространственный, лежащий в той же плоскости, что и \overrightarrow{} ) направлен вдоль ребра (с учетом направления обхода). Вычисляется векторное произведение \overrightarrow{v}=[\overrightarrow{r}\times\overrightarrow{l}]. Если координата z у вектора \overrightarrow{v} положительна, то точка \overrightarrow{p} лежит справа от ребра (является видимой).
  3. Выписывается каноническое уравнение прямой, проходящей через ребро:
    f(x,y)\equivax+by+c=0
  4. Для произвольной внутренней точки окна (x_0,y_0) вычисляется значение d=f(x_0,y_0), а также для точки \overrightarrow{p}=(x_1,y_1) вычисляется d_1=f(x_1,y_1). Если числа d и d_1 имеют одинаковый знак, то точка \overrightarrow{p} является видимой.

Наиболее просто эти алгоритмы реализуются в случае отсечения прямоугольным окном со сторонами, параллельными осям координат.

Вопросы и упражнения

  1. Что такое клиппирование?
  2. Если концы отрезков имеют коды 1000 и 0100, сколько сторон окна он может пересекать?
  3. При каком значении кода одного из концов отрезка он обязательно будет частично видимым?
  4. Если оба конца отрезка лежат вне окна, то при каких кодах концов он может проходить вдоль диагонали окна?
  5. Какой из алгоритмов отсечения отрезков эффективнее: приведенный в блок-схеме 5.3 или основанный на делении отрезка пополам?
  6. С помощью какого условия можно определить принадлежность точки выпуклому многоугольнику?
  7. Будет ли это условие применимо в случае произвольного многоугольника? (подтвердите свой ответ примерами).
  8. Какие случаи расположения ребра относительно окна рассматриваются в алгоритме клиппирования произвольного многоугольника?
< Лекция 4 || Лекция 5: 123 || Лекция 6 >
Дмитрий Трефилов
Дмитрий Трефилов

Владислав Нагорный
Владислав Нагорный

Подскажите, пожалуйста, планируете ли вы возобновление программ высшего образования? Если да, есть ли какие-то примерные сроки?

Спасибо!

Светлана Шульдова
Светлана Шульдова
Беларусь, Минск