Геометрические методы в классической теории поля: Информация
Автор: Михаил Иванов | Московский физико-технический институт
Форма обучения:
дистанционная
Стоимость самостоятельного обучения:
бесплатно
Доступ:
свободный
Документ об окончании:
Вам нравится? Нравится 36 студентам
Уровень:
Профессионал
Длительность:
2:00:00
Студентов:
771
Выпускников:
77
Качество курса:
4.67 | 4.00
Данный курс представляет собой обзор методов дифференциальной геометрии применяющихся в классической теории поля.
В качестве основных примеров в курсе рассматриваются классическая электродинамика и общая теория относительности. Начиная с 2001-2002 учебного года
курс читается автором в МФТИ как семестровый курс (весенний семестр) для студентов 3-4 курса.
Темы: Математика, Физика
Специальности: Физик
Теги: топология
Предварительные курсы
План занятий
Занятие
Заголовок <<
Дата изучения
Вводная
Излагаются история и основные идеи общей
теории относительности. Для дальнейшей
самостоятельной работы даются задачи
и список литературы.
-
Топология
Обсуждаются математические структуры, которые будут использоваться
далее в курсе. Дается определение топологии, обсуждается его смысл и
приводятся примеры топологических пространств.
-
Дифференцируемое многообразие и тензоры на нем
Обсуждается определение дифференцируемого многообразия
и определяются тензоры на нем. Все определения даются на двух
языках: координатном и геометрическом.
-
Производная Ли
Определяется производная Ли, обсуждается ее геометрический смысл
и применение в физике. Также обсуждаются понятия алгебры Ли
и группы Ли.
Оглавление
-
Скобки Пуассона, дифференциальные формы и поливекторы
Скобка Пуассона рассматривается как скобка Ли,
устанавливается ее связь с коммутаром векторных
полей. Рассматриваются полностью антисимметричные
тензоры: формы и поливекторы. Обсуждаются
операции, которые позволяют удобно работать
именно с антисимметричными тензорами.
-
Дифференциальные формы, поверхности, дуальность
Демонстрируется геометрический смысл дифференциальных
форм как непрерывного распределения поверхностей и смысл
поверхностей, как сингулярных дифференциальных форм.
Вводится форма объема и используется для определения
операции ходжевской дуальности и дивергенции поливектора.
Вводится метрика. Обсуждается физический смысл вводимых
понятий.
-
Электромагнитное поле на языке дифференциальных форм. Действие
Демонстрируется удобство записи основных уравнений
электродинамики на языке дифференциальных форм.
Рассматриваются формы потенциала, электромагнитного
поля, плотности тока. Действие для электромагнитного
поля записывается и варьируется полностью на языке
дифференциальных форм.
-
Ковариантная прозводная
Вводятся понятия ковариантной производной, связности
и параллельного переноса. Строятся тензоры кручения
и кривизны. Вводится понятие расслоения над группой.
-
Расслоения, связности, ковариантные производные
Вводятся понятия расслоения и связности над расслоением.
Обсуждается их геометрический и физический смысл.
Понятия параллельного переноса и кривизны обобщаются
на расслоения. Вводится понятие калибровочного поля, которое
иллюстрируется физическими примерами.
Выводится связь между метрикой, символами Кристоффеля
и ньютоновским гравитационным полем.
-
Действие в общей теории относительности
Из действия для частицы в гравитационном поле
выводятся уравнения движения, которые совпадают
с уравнениями геодезической.
Вводится и варьируется действие для гравитационного
поля (пространства-времени). Получаются уравнения
Эйнштейна.
Оглавление
-
Энергия, импульс и уравнения Эйнштейна
Обсуждаются свойства уравнений Эйнштейна.
Обсуждается роль тензора энергии-импульса
в общей теории относительности. Разбирается
простейшие пример скалярного поля материи.
Обсуждаются уравнения для слабого
гравитационного поля как линейное
приближение уравнений Эйнштейна.
Оглавление
-
Гравитационные волны. Глобальная структура пространства-времени
Рассмотрены бесконечномалые преобразования
координат. Подсчитано число калибровочных условий.
Выведены уравнения гравитационных волн.
Вводятся и обсуждаются на примерах диаграммы
Ньюмана-Пенроуза.
-
Геометрическое моделирование упругих сред
Излагается геометрический метод построения моделей
релятивистских упругих сред без диссипации. Рассматриваются
примеры, обсуждаются возможности построения сложных моделей,
преимущества и сложности рассматриваемого подхода.
В рамках курса данная лекция может рассматриваться как
факультативная.
-