Статистическая обработка данных в системе Mathcad
Цель лекции: Ознакомиться с основными статистическими функциями в системе Mathcad. Уяснить предназначение этих функций. Понять для каких целей применяются данные функции.
Mathcad — система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается легкостью использования и применения для коллективной работы.
Широкий интерес к системе Mathcad привел к тому, что в России наконец-то появились книги по отдельным версиям. Система Mathcad была создана в 80-х годах в университете Станфорда (США).
Современные версии для ПК готовит фирма MathSoft Application.
Это универсальный
- Математический интерфейс.
- Есть мощная поддержка графики.
- Возможен импорт графики из других программ.
- Большое количество встроенных математических функций (сотни).
- Встроенные справочники по предметным областям.
- Возможна анимация.
- Символьная математика.
Достоинство – программирование на языке математики.
Недостатки:
- Это интерпретатор.
- Возможности программирования ограничены.
Системы Mathcad пользуются огромной популярностью во всем мире благодаря удобным средствам подготовки документов, имеющих вид обычных статей или книг. В то же время оказывается, что эти средства вполне достаточны для решения подавляющего большинства задач по математике, физики и других направлений науки и техники.
Mathcad является математически ориентированными универсальными системами. Помимо собственно вычислений они позволяют решать оформительские задачи. Они позволяют готовить статьи, книги, диссертации, научные отчеты, дипломные и курсовые проекты с доступным набором самых сложных математических формул и изысканным графическим представлением результатов.
С самого первого своего появления системы класса Mathcad имели удобный пользовательский интерфейс – совокупность средств общения с пользователем в виде масштабируемых и перемещаемых окон, кнопок и иных элементов. У этой системы есть эффективные средства типовой научной графики, они просты в применении и интуитивно понятны. Словом, системы Mathcad ориентированы на массового пользователя – от ученика начальных классов до академика.
Несмотря на то, что эта программа в основном ориентирована на пользователей-непрограммистов, Mathcad также используется в сложных проектах, чтобы визуализировать результаты математического моделирования, путем использования распределённых вычислений и традиционных языков программирования. Также Mathcad часто используется в крупных инженерных проектах, где большое значение имеет трассируемость и соответствие стандартам.
Mathcad достаточно удобно использовать для обучения, вычислений и инженерных расчетов [ 20 ] . Открытая архитектура приложения в сочетании с поддержкой технологий NET и XML позволяют легко интегрировать.
Мы рассмотрим наиболее часто применяемые функции для статистических расчетов, которые встроены в программу.
Функция RND(X).
В статистических расчетах при моделировании различных физических процессов широко применяется встроенная функция RND(X), инициализирующая генератор случайных чисел. Здесь задаётся как ранжированная переменная и определяет число случайных чисел. Например, для получения десяти случайных чисел следует задать интервал .
Функции аппроксимации.
Для представления физических закономерностей, а также при проведении научно-технических расчетов используются зависимости вида , но число точек этих зависимостей ограничено. При этом возникает задача приближенного вычисления значений функций в промежутках между узловыми точками и за их пределами. Такая задача решается аппроксимацией исходной зависимости, то есть ее подменой какой-либо достаточно простой функцией. В системе Mathcad предоставляется возможность аппроксимации двумя типами функций: кусочно-линейной и сплайновой.
При кусочно-линейной интерполяции вычисления дополнительных точек выполняются по линейной зависимости. То есть, при линейной аппроксимации узловые точки соединяются отрезками прямых линий, для чего используется функция – линейная интерполяция,где , – векторы координат узловых точек, а x – заданный аргумент. При небольшом числе узловых точек линейная интерполяция оказывается довольно грубой. Даже первая производная функция аппроксимации получается с резкими скачками в узловых точках. Поэтому применяют функцию сплайн-аппраксимации.
При сплайн-аппроксимации исходная функция заменяется отрезками кубических полиномов, проходящих через три смежные узловые точки. Коэффициенты этой функции рассчитываются таким образом, чтобы первая и вторая производные были непрерывными. Линия, описывающая сплайн-функцию, напоминает по форме гибкую линейку, закрепленную в узловых точках.
Для осуществления сплайновой аппроксимации в Mathcad существуют четыре специальные встроенные функции:
- – возвращает вектор вторых производных при приближении в опорных точках к параболической кривой
- – возвращает вектор вторых производных при приближении в опорных точках к прямой;
- – возвращает значение для заданных и заданного значения
Таким образом, сплайн-аппроксимация производится в два этапа:
- Для выбранного способа приближения к узловым точкам вычисляется вектор вторых производных функции , заданной векторами ее значений с помощью одной из функций cspline, pspline или lspline.
- С помощью функции вычисляется значения для каждой искомой точки.
Функции регрессии.
Широко распространенной задачей обработки данных является представление их совокупности некоторой функцией . Такое представление называется регрессией. Задача регрессии в том чтобы получить параметры функции такими, при которых функция приближает "облако" исходных точек с наименьшей квадратичной погрешностью.
Известны:
- Линейная регрессия (прямая линия),
- Полиномиальная регрессия (полином),
- Линейная регрессия общего вида (линейная сумма произвольных функций),
- Нелинейная регрессия общего вида (произвольная функция)