Алгоритмы: машины Тьюринга

Ветвление (условный оператор)

Машину Тьюринга будем называть распознающей, если для некоторого алфавита и каждого входа , на котором останавливается, ее результат , т.е. вычисляет некоторую двузначную функцию (возможно частичную) на словах из

Лемма 9.5. Пусть - распознающая м.Т., м.Т. вычисляет функцию f(x), а м.Т. - функцию g(x). Тогда существует м.Т. вычисляющая функцию

Доказательство. Требуемая м.Т. вначале копирует вход x и получает на ленте слово x*x, затем вычисляет параллельную композицию функций и тождественной функции e(x)=x и переходит в конфигурацию . Выбор между f и g происходит по следующим командам:

Кроме того, обеспечим переход в новое заключительное состояние:

Таким образом, мы реализовали в терминах машин Тьюринга обычный в языках программирования оператор ветвления:

Повторение (цикл)

Используя конструкцию для ветвления легко реализовать в терминах машин Тьюринга и оператор цикла.

Лемма 9.6. Пусть - распознающая м.Т., а м.Т. вычисляет функцию f(x). Тогда существует м.Т. которая вычисляет функцию, задаваемую выражением:

Доказательство. Действительно, пусть м.Т. - вычисляет тождественную функцию g(x)=x. Построим по м.Т. м.Т. реализующую ветвление как в лемме 9.5. Тогда искомая м.Т. получается из заменой команд на соответствующие команды , обеспечивающие зацикливание.

Реализованные выше операции над машинами Тьюринга и вычислимыми функциями позволяют получать программы новых м.Т., используя обычные конструкции языка программирования "высокого" уровня: последовательную и параллельную композицию, ветвление и цикл. Пусть - машины Тьюринга. Последовательную композицию M₁ и M₂ будем обозначать M₁;M₂, параллельную композицию M₁, M₂,... , M_m обозначаем как (здесь b - это символ, разделяющий аргументы и результаты этих машин), ветвление -

цикл -

Пример 9.4. Рассмотрим в качестве примера задачу перевода чисел из унарной системы счисления в двоичную. Пусть f^ub(|ⁿ) = n₍₂₎ для всех , где n₍₂₎ - двоичная запись числа n.

Пусть M₁ - м.Т., которая начальную конфигурацию q₀ ,|ⁿ переводит в конфигурацию q₁ ,0*|ⁿ; M₂ - м.Т., которая прибавляет 1 к двоичному числу-аргументу (см. пример ref{ex8-suc}); M₃ - м.Т., которая вычитает 1 из унарного числа; - м.Т., которая на аргументе вида x*|^y выдает 0, если число y > 0, и выдает 1 при y=0 (т.е. на аргументе ); M₄ - м.Т., которая стирает * в аргументе вида x* и останавливается. Реализация каждой из указанных м.Т. очевидна. Теперь требуемая м.Т. M_ub, вычисляющая f^ub, получается как

Действительно, после работы M₁ получаем конфигурацию q₁0*|ⁿ. Предположим теперь по индукции, что после i (i <n) итераций цикла while получается конфигурация q₁ i₍₂₎*|^n-i. Тогда на (i+1) -ой итерации цикла после параллельного применения M₂ к i₍₂₎ и M₃ к |^n-i получаем конфигурацию q₁(i+1)₍₂₎*|^n-i-1. Поэтому после n итераций получится конфигурация . На ней выдаст 1, и цикл завершится с записью на ленте, из которой M₄ сотрет * и оставит требуемый результат n₍₂₎.

Отметим, что из приведенного примера и из задачи \oldref{prb3-6}(a) следует, что класс вычислимых на м.Т. арифметических функций не зависит от выбора унарного или двоичного кодирования аргументов и результатов. Это же справедливо и для троичной, десятичной и других позиционных систем счисления ( почему ?).

Задачи

Задача 9.1. Постройте м.Т. для функции копирования, не увеличивая исходный алфавит

Задача 9.2. Постройте программу м.Т., которая выполняла бы перенос непустого слова в заданное место ленты, т.е. для любого слова и n > 0 выполняла преобразование конфигураций: .

Задача 9.3. Достройте программу м.Т. из леммы 9.1 на этапах 3 и 4.

Задача 9.4. Докажите, что односторонняя м.Т. построенная в лемме 9.2, корректно моделирует исходную м.Т. .

Задача 9.5. Другой, по сравнению с конструкцией леммы 9.2, подход к моделированию двухсторонней ленты на односторонней заключается в том, чтобы содержимое правой полуленты хранить в четных ячейках а содержимое левой полуленты - в нечетных, поместив в 1-ю ячейку специальный маркер. Постройте программу, реализующую этот подход (ее достоинство - увеличение алфавита ленты всего на 1 символ).

Задача 9.6. Достройте программу м.Т. из леммы 9.4 на этапах 1, 3 и 5.

Задача 9.7. Построить программы машин Тьюринга, вычисляющих следующие функции.

• Перевод из двоичной системы в унарную: f^bu(n₍₂₎)= |ⁿ.
• Сложение и вычитание в двоичной системе: sum(n*m)=n+m и совпадает с - при n >= m и при m > n ).
• Умножение в двоичной системе: mul(n*m)= n x m. ( Реализуйте алгоритм умножения "в столбик".)
• Возведение в степень: exp(n*m)= n^m.
• Извлечение квадратного корня: .
• Логарифмирование: .
• Деление: .
• Остаток от деления: rest(n*m) = n mod m.
• Функция выбора аргумента: .

Задача 9.8. Используя машины Тьюринга из предыдущей задачи, построить программы машин Тьюринга, вычисляющих следующие функции.

Задача 9.9. Докажите, что всякую арифметическую функцию f(x), вычислимую на некоторой м. Т. , можно также вычислить на м. Т. M',, алфавит ленты которой содержит лишь два символа и |. (Указание: используйте для моделирования одного символа из блок из нескольких подряд идущих ячеек, содержащих его код в алфавите ) и замените каждую команду M группой команд, обрабатывающих соответствующий блок ячеек).

Задача 9.10. Построить машину Тьюринга, определяющую по слову x в алфавите {1, 2} симметрично ли оно, т. е. вычисляющую функцию:

Задача 9.11. Построить машину Тьюринга, сравнивающую два слова x=x₁x₂... x_n и y=y₁y₂... y_m в алфавите {1, 2, 3} лексикографически: или для некоторого непустого слова x' выполнено y = x x'. Эта машина Тьюринга должна вычислять функцию: