Упорядоченные бинарные диаграммы решений (УБДР)

Рассматриваемый в этой лекции способ представления булевых функций с помощью специального подкласса ориентированных графов без циклов был предложен Р. Бриантом (R. Bryant) в 1986г. Его английское название - "Ordered binary decision diagram", сокращенно - OBDD. Сейчас УБДР являются одним из основных средств реализации булевых функций от большого числа переменных в задачах искусственного интеллекта, проверки правильности электронных схем, программ, протоколов и т.п.

Основные определения

Одним из предшественников УБДР являются бинарные деревья решений.

Определение 3.1. Бинарное дерево решений (БДР) - это бинарное дерево T=(V,E), все внутренние вершины которого помечены переменными, а листья - значениями 0 или 1. Из каждой внутренней вершины v выходят 2 ребра, одно помечено 0, другое - 1; вершина w₀, в которую ведет ребро, помеченное 0, называется 0-сыном v, а вершина w₁, в которую ведет ребро, помеченное 1, называется 1-сыном v.

Такое дерево, вершины которого помечены переменными x₁, ..., x_n реализует булеву функцию f(x₁, ..., x_n), если для каждого набора значений переменных ветвь в дереве, соответствующая этому набору (из вершины x_i идем по ребру, помеченному ), завершается листом с меткой .

Пример 3.1. Например, рассмотрим изображенное ниже БДР T₁ (на всех рисунках предполагается, что ребра направлены сверху вниз).

Рис. 3.1.

По определению T₁ реализует функцию f₁(x,y,z), представленную в таблице 3.1.

Нетрудно построить ДНФ этой функции: .

УБДР являются модификацией БДР, в которой все листья с одной меткой представлены одной вершиной, в каждую вершину может входить несколько ребер, возможен выбор порядка появления переменных на ветвях.

Определение 3.2. Пусть зафиксирован некоторый порядок n переменных .

Упорядоченная бинарная диаграмма решений относительно порядка переменных - это ориентированный граф без циклов с одним корнем, в котором

1. существует лишь две вершины, из которых не выходят ребра; они помечены константами 0 и 1 и называются стоками ;
2. остальные ( внутренние ) вершины помечены переменными и из каждой из них выходят два ребра, одно помечено 0, другое - 1;
3. порядок, в котором переменные встречаются на любом пути из корня в сток, совместим с т.е. если из вершины, помеченной , есть путь в вершину, помеченную , то i < j.

Как и в случае БДР, УБДР реализует булеву функцию f(x₁, ..., x_n), если для каждого набора значений переменных путь в диаграмме, начинающийся в корне и соответствующий этому набору (из вершины x_i идем по ребру, помеченному ), завершается стоком с меткой .

Из этого определения непосредственно следует, что каждая внутренняя вершина диаграммы v, помеченная переменной , является корнем поддиаграммы, которая включает все вершины диаграммы, достижимые из v, и реализует некоторую функцию от (n -k +1) переменных . При этом ее 0-сын w₀ является корнем поддиаграммы, реализующей функцию , а 1-сын w₁ - корень поддиаграммы, реализующей функцию . Пусть диаграмма реализует функцию и - это набор значений переменных , который соответствует пути из корня в вершину v (таких наборов может быть несколько). Тогда .

Пример 3.2. Реализуем с помощью УБДР функцию f₁(x,y,z), представленную выше в примере 3.1, с помощью БДР T₁ и таблицы 3.1.

Вначале зафиксируем порядок переменных: x < y < z. Объединив листья с одинаковыми метками и две z - вершины с одинаковыми потомками, получим УБДР D₁, приведенную на рис.3.2.

Рис. 3.2.

Ясно, что реализация функции f₁(x,y,z) с помощью УБДР D₁ намного компактнее, чем с помощью БДР T₁.

Под сложностью L(D) УБДР D будем понимать число внутренних вершин в D. Например, L(D₁)=4. Может ли сложность диаграммы для некоторой функции зависеть от порядка переменных? Да! Рассмотрим порядок переменных y < x < z. Как показывает следующий рисунок, относительно этого порядка функцию f(x,y,z) можно реализовать УБДР D₂ со сложностью L(D₂)=3.

Рис. 3.3.