Обработка экспериментальных данных

Статистическая обработка в Mathcad

Показывать лекцию целиком

Подготовка к работе

По указанной литературе изучить приёмы работы с формулами, функциями, форматирование и редактирование данных.

Контрольные вопросы

  • Что такое ранжированная переменная и для решения, каких задач она используется?
  • Какие категории функций имеются в системе MathCAD?
  • Дать понятие функции пользователя?
  • Назовите виды операторов системы MathCAD и поясните их назначение.
  • Как вывести результаты вычислений в виде таблиц?
  • Организация вложенных циклов.
  • Правила задания многомерных функций.
    •

    Задания на выполнение

    Научиться использовать математические и статистические функции в системе MathCAD.

  • Линейная и сплайновая интерполяции.

    Исходные данные для выполнения задания 1 в таблице 2.1.

    варианты 1 2 3 4 5 6 7 8 9
    Исходные данные $$\begin{bmatrix} 1 0 \\ 2 3 \\ 4 6 \\ 8 5 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 2 4 \\ 5 8 \\ 9 3 \\ 1 4 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 1 5 \\ 6 3 \\ 2 4 \\ 7 1 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 2 0 \\ 3 5 \\ 4 9 \\ 8 1 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 1 0 \\ 3 5 \\ 5 7 \\ 7 9 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 2 3 \\ 4 6 \\ 6 8 \\ 9 0 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 1 2 \\ 3 4 \\ 5 6 \\ 8 9 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 3 5 \\ 4 7 \\ 5 8 \\ 6 9 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 3 5 \\ 4 7 \\ 5 8 \\ 6 9 \end{bmatrix}$$
    Рассмотрим линейную интерполяцию

    Линейная интерполяция

    $$A:= \begin{pmatrix} 1 0 \\ 2 3 \\ 3 5 \\ 4 1\\ 5 2\\ 6 4 \end{pmatrix} \text { Векторы исходных данных X и Y} \\ \\ A:=csort(A,0) \qquad X:=A^{\langle 0 \rangle}\qquad Y:=A^{\langle 1 \rangle} \\ \\ f(x):=linterp(X,Y,x) \qquad f(2)=3 \qquad f(7)=6$$

    Сплайновая интерполяция

    $$S:=cspline (X,Y) \qquad fs(x):=interp (S,X,Y,x)\\ fs(2)=3 \qquad fs(7)=-2.067$$Как мы видим значения точек при линейной и сплайновой интерполяции различны.

    Построим графики линейной и сплайновой интерполяций. Для этого задается количество точек и шаг. $$i:=0..length(X)-1 \qquad scale:=100 \qquad j:=0..scale \\ x_j=min(X)+j \cdot \frac {max(X)-min(X)} {scale}$$ (рис 4.1) Линейная и сплайновая интерполяции

  • Линейная регрессия.

    Исходные данные для выполнения задания 2 в таблице 4.2.

    № Заданные вектора № Заданные вектора
    1 VX=[3, 2, 4, 5] 4 VX=[7, 18, 3, 11]
    VY=[7, 8, 9, 5] VY=[1, 5, 3, 9]
    2 VX=[12, 14, 7, 11] 5 VX=[24, 9, 12, 27]
    VY=[6, 8, 10, 15] VY=[9, 3, 17, 11]
    3 VX=[3, 9, 12, 14] 6 VX=[4, 15, 2, 19]
    VY=[7, 9, 11, 13] VY=[11, 17, 1, 13]
    $$VX:= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \qquad VY:= \begin{pmatrix} 4 \\ 11 \\ 15\\ 21\\ 28 \end{pmatrix} \qquad \text {Исходные данные}\\ ORIGN:=1$$

    Вычислим коэффициенты a и b линейной регрессии $$a:=intercept (VX,VY) \qquad b:=slope(VX,VY) \\ \\ i:=1..6 \qquad f(x):=a+b \cdot x \\ \\ 1=-1.6 \qquad b=5.8 \qquad corr(VX,VY)=0,996 \\ \\ f(3)=15,8 \qquad linterp (VX,VY,3)=15$$ По этим данным строим график линейной регрессии (рис 4.2) Линейная регрессия

  • Линейная регрессия общего вида.

    Исходные данные для выполнения задания 3 в таблице 4.2. $$VX:= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \qquad VY:= \begin{pmatrix} 4 \\ 11 \\ 15\\ 21\\ 28 \end{pmatrix} \qquad F(x):= \begin{pmatrix} \frac 1 x \\ x^2 \\ x\\ 2 \cdot x\\ exp(x) \end{pmatrix}$$ Функции F(x) подбираются так, чтобы коэффициент детерминации стремился к единице. $$K:=linfit(VX,VY,F) \qquad g(t):=F(t) \cdot K \\ \\ R^2=\frac {\sum \overrightarrow {(g(VX)-mean(VY))^2}} {\sum \overrightarrow {(VY)-mean(VY))^2}} = 0.999 \qquad \text {коэффициент детерминации} \\ i:=0..4 \qquad r:=1,1.25..5 \qquad K:= \begin{pmatrix} -5.242 \\ -0.918 \\ 1.613 \\ 3.226 \\ 0.079 \end{pmatrix}\\$$

    g(t) – это функция регрессии

    К – коэффициент функции регрессии (рис 4.3) Линейная регрессия общего вида

  • Полиномиальная регрессия

    Исходные данные для выполнения задания 4 в таблице 4.2. $$VX:= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \qquad VY:= \begin{pmatrix} 4 \\ 11 \\ 15\\ 21\\ 28 \end{pmatrix} \qquad k:=3 \qquad \text {Исходные данные}$$

    k – степень полинома, от него зависит насколько точно будет построена функция. $$z:=regress (VX,VY,K)\\ \\ F(x):=interp(z,VX,VY,x)\\ \\ Coeffs:=submatrix(z,3,length(z) – 1,0,0)\\ \\ Coeffs^T=(-6.2 \qquad 12.81 \qquad -2.857 \qquad 0.333)$$

    F(x) - выдаёт интерполированное значение в x от коэффициентов вектора напротив, и оригинальных данных в VX и VY.

    Coeffs - выдаёт субматрицу массива состоящую из элементов в строках ir через jr и столбцах ic через jc из z.

    CoeffsT - преобразует коэффициент в горизонтальную запись $$R^2=\frac {\sum \overrightarrow {(F(VX)-mean(VY))^2}} {\sum \overrightarrow {(VY)-mean(VY))^2}} = 0.998 \qquad \text {коэффициент детерминации} \\ \\ i:=0..6 \qquad j:=0..4 \qquad tx_j:=min(VX)+j \frac {(max(VX)-min(VX))} {50}$$ (рис 4.4) Полиноминальная регрессия

  • Нелинейная регрессия общего вида.

    Исходные данные для выполнения задания 5 в таблице 4.2

    $$F(x,a,b):=a \cdot exp(-b \cdot x)+a \cdot b \\ ORIGIN:=1\\ VX:= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \qquad VY:= \begin{pmatrix} 4 \\ 11 \\ 15\\ 21\\ 28 \end{pmatrix} \qquad VS:= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \\ F1(x,k):= \begin{pmatrix} k_1exp(-k_2x+k_1k_2 \\ exp(-k_2x)+k_2\\ -k_1x \cdot exp(-k_2x)+k_1 \end{pmatrix}\\ P:=genfit(VX,VY,VS,F1)\qquad G(x):=F1(x,P)_1 \qquad x:=0,0.1..4$$ $$P = \begin{pmatrix} 0.762 \\ 20.722 \end{pmatrix} \qquad $$ Вектор $$P$$ возращает значения $$a=k1$$ и $$b=k2$$ для наилучшего среднеквадратического приближения $$F (x,a,b)$$
    • (рис 4.5) Нелинейная регрессия общего вида

    В заключение работы, следует сделать вывод о целесообразности применения той или иной регрессии, чем они друг от друга отличаются.

    Предыдущее занятие Следующее занятие
    Вернуться к учебному плану
    ^