Начальные сведения о множествах
Одним из основных исходных понятий математики является понятие множества и его элементов. Основатель теории множеств Кантор дал такую трактовку: "Под множеством понимают объединение в одно общее объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью".
Понятие множества как и любое другое исходное понятие не имеет строгого математически точного описания. Можно дать следующее определение.
" Множество - это совокупность определенных различаемых объектов, причем таких, что для каждого можно установить, принадлежит этот объект данному множеству или нет."
Как правило, элементы множества обозначаются маленькими буквами, а сами множества - большими. Принадлежность элемента $$m$$ множеству $$M$$ обозначается так: $$m \in M$$, где знак $$\in$$ является стилизацией первой буквы греческого слова $$\in \sigma \tau \iota $$ (есть, быть), знак непринадлежности - $$\notin$$.
Множества могут быть конечными, бесконечными и пустыми. Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным. Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым и обозначается $$\emptyset$$. Например:
$$S$$ - множество студентов потока 99ПС - конечное множество ;
$$Z$$ - множество звезд во Вселенной - бесконечное множество ;
$$L$$ - множество студентов потока 98СП, хорошо знающих три иностранных языка (японский, китайский и французский), видимо, пустое множество.
Множество $$A$$ называют подмножеством множества $$B$$ (обозначается $$A \subseteq B$$ ), если всякий элемент множества $$A$$ является элементом множества $$B$$: $$A \subseteq B \leftrightarrow
a \in A \rightarrow a \in B$$ (рис 1.1).
(рис 1.1) При этом говорят, что $$B$$ содержит $$A$$, или $$B$$ покрывает $$A$$. Невключение подмножества $$С$$ в множество $$B$$ обозначается так: $$С \not\subset В$$.
Множества $$A$$ и $$B$$ равны ( $$A = B$$ ) тогда и только тогда, когда $$A \subseteq B$$, и $$B \subseteq A$$, т. е. элементы множеств $$A$$ и $$B$$ совпадают.
Множество $$A$$ называется собственным подмножеством множества $$B$$, если $$A \subseteq B$$, а $$В \not\subset A$$. Обозначается так: $$A \subset B$$.
Например: $$B = \left\{ {a, b, c, d, e, f } \right\}, A = \left\{ {a, c, d} \right\}, A \subset B$$.
Мощностью конечного множества $$М$$ называется число его элементов. Обозначается $$\left| М \right|$$. Например, $$\left| В \right| = 6$$, $$\left| А \right| = 3$$.
Принято считать, что пустое множество $$\emptyset$$ является подмножеством любого множества. Множество может обладать иерархической структурой. В этом случае говорят о семействе множества или булеане.
Семейством множества $$М$$ или булеаном $$(М)$$ является множество, элементами которого являются всевозможные подмножества множества $$М$$.
Например,$$М = \left\{ a, b, c \right\}, \beta (M) = \left\{ \emptyset, \left\{ { a } \right\}, \left\{ { b } \right\}, \left\{ { c } \right\}, \left\{ { a, b } \right\},
\left\{ { a, c } \right\}, \left\{ { b, c } \right\}, \left\{ { a, b, c } \right\} \right\}. \left| M \right| =3, \left| \beta (M) \right|= 8.$$
В общем случае мощность булеана $$\left| \beta (M) \right|= 2^{\left| M \right|} $$.
Универсальным множеством $$Е$$ называется множество всех рассматриваемых в данной задаче элементов.
Способы задания множеств
Множества могут быть заданы списком, порождающей процедурой, арифметическими операциями, описанием свойств элементов или графическим представлением.
Задание множеств списком предполагает перечисление элементов. Например, множество $$А$$ состоит из букв $$a, b, c, d: A = \left\{ {a, b, c, d} \right\}$$ или множество $$N$$ включает цифры $$0, 2, 3, 4: N = \left\{ {0, 2, 3, 4} \right\}$$.
Пример: $$\left\{ {0, 2, 3, 4} \right\}= \left\{ {3, 4, 2, 0} \right\} = \left\{ {4, 0, 2, 3} \right\} = .......$$.
Задание множеств порождающей процедурой или арифметическими операциями означает описание характеристических свойств элементов множества: $$X= \left\{ {x \mid H(x)} \right\}$$, т. е. множество $$X$$ содержит такие элементы $$x$$, которые обладают свойством $$H(x)$$.
Например:
$$B = \left\{ { b \mid b = \pi / 2 \pm k \pi, k \in N_0} \right\}$$, $$N_0$$ - множество всех натуральных чисел;
$$M_2^n = 1, 2, 4, 8, 16, .......$$. или $$M_2^n = \left\{ {m \mid m = 2^n, n \in N_0} \right\}$$ ;
$$C = A + B = \left\{ {x \mid x = a + b, a \in A, b \in B} \right\}$$.
Задание множества описанием свойств элементов: например, $$М$$ - это множество чисел, являющихся степенями двойки.
К описанию свойств естественно предъявить требования точности и недвусмысленности. Так, " множество всех хороших песен 2003 года" каждый составит по-разному. Надежным способом однозначного задания множества является использование разрешающей процедуры, которая для любого объекта устанавливает, обладает ли он данным свойством и соответственно является ли элементом рассматриваемого множества.
Например, $$S$$ - множество успевающих студентов. Разрешающей процедурой включения в множество $$S$$ является отсутствие неудовлетворительных оценок в последней сессии.
). Заданы два множества: $$A = \left\{ {a, b, c} \right\}$$ и $$B = \left\{ {b, d, e, f} \right\}$$. Если элементов множеств немного, то они могут на диаграмме указываться явно.
(рис 1.2)
Операции над множествами
Рассмотрим такие операции над множествами, как объединение, пересечение, разность, симметрическая разность и дополнение.
Объединением множеств $$А$$ и $$В$$ ( $$А \cup В$$ ) называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств $$А$$ или $$В$$. (рис 1.3 ).
(рис 1.3) $$А \cup В = \left\{ {x\left| x \in A или x \in B} \right\}.$$
В общем случае операция объединения может быть использована для нескольких множеств: $$A \cup B \cup C \cup D$$ или $$S = \left\{ { A_1, A_2, ..., A_k } \right\}$$.
Последнее можно представить в следующем виде:
$$S = \bigcup\limits_{i = 1}^k {A_i } ,$$
где $$k$$ - количество объединенных множеств.
Пример. Даны два множества: $$A = \left\{ {1, 2, 4, 6} \right\}$$ и $$B = \left\{ {0, 3, 4, 6} \right\}$$. Найдем множество $$C = A \cup B$$. $$C = \left\{ {0, 1, 2, 3, 4, 6} \right\}$$.
Пересечением множеств $$А$$ и $$В$$ ( $$А \cap В$$ ) называется множество, состоящее из элементов, входящих как в множество $$А$$, так и в множество $$В$$ (рис 1.4 ): $$А \cap В\left\ =\left\{ {x \mid x \in A \mbox{ и } x \in B} \right\}$$.
(рис 1.4) Операция пересечения так же может быть многоместной: $$A \cap B \cap C \cap D$$ или
$$S = \bigcap\limits_{i = 1}^k {A_i } ,$$
где $$k$$ - количество объединенных множеств $$A_1, A_2, ....., A_k$$.
Пример. Даны множества $$A = \left\{ {1, 2, 4, 6} \right\}$$ и $$B = \left\{ {0, 3, 4, 6} \right\}$$. Найдем их пересечение: $$D = A \cap B = \left\{ {4, 6} \right\}$$.
Разностью множеств $$А$$ и $$В$$ ( $$A\backslash B $$ ) называется множество всех элементов множества $$А$$, которые не содержатся в $$В$$ ( рис. 1.5,а ):
$$A \backslash B = \left\{ {x \mid x \in A \mbox{ и } x \notin B} \right\}; B \backslash A = \left\{ {x \mid x \in B \mbox{ и } x \notin A} \right\}$$ ( рис. 1.5,б ).
(рис 1.5б) (рис 1.5a) Пример. Даны два множества $$А$$ и $$В$$. Найдем их разность. $$A \backslash B = \left\{ {1, 2} \right\}; B\backslash A = \left\{ {0, 3} \right\}$$.
).
(рис 1.6) Дополнением (до универсального множества ) множества $$А$$ называется множество всех элементов, не принадлежащих $$А$$, но принадлежащих универсальному множеству (рис 1.7).
$$\overline А = \left\{ { x \mid x \notin A \mbox{ и } x \in Е} \right\}.$$
(рис 1.7) Пример. Пусть универсальное множество $$Е$$ состоит из букв русского алфавита, $$А$$ - множество гласных букв, тогда $$\overline A$$ - множество согласных букв и букв ь и ъ.
Приоритет выполнения операций: сначала выполняются операции дополнения, затем пересечения и только потом объединения и разности. Последовательность выполнения операций может быть изменена скобками.
