Пример такой системы показан на рис.9.1, где мы рассматриваем иерархическую сеть с нагрузкой от А до В и от А до С. От А до В есть прямой (первичный) маршрут с $$n_1$$ каналами. Если они все заняты, то вызов направляется по альтернативному (вторичному) маршруту через Т к В. Подобным же образом, нагрузка от А до С имеет маршрут первого выбора, т.е. направление А С, и альтернативный маршрут АТС. Предположим, что маршруты ТВ, и ТС не имеют потерь; схема доступности показана в правой части рис.9.1. На этом рисунке мы видим, что общее количество каналов $$(n_1 + n_2 + n_{12} )$$ и что нагрузка АВ имеет доступ только к $$(n_1 + n_{12} )$$. В этом случае последовательный поиск среди маршрутов должен быть организован так, чтобы з
апрос был направлен через группу $$n_{12}$$ только тогда, когда все $$n_1$$ первичных каналов заняты.
Это типично для иерархической сети, которая обладает такой сервисной защитой. Независимо от того, насколько высока будет нагрузка от А до С, мы никогда не получим доступ к $$n_1$$ каналам.
(рис 9.1) Телекоммуникационные сети с обходным маршрутом и соответствующей схемой доступности, которая названа транспонированием О'Делла (O'Dell). Мы предполагаем, что линии связи между транзитной станцией T и станции В и С - без потерь. Каналы $$n_{12}$$ являются общими для обоих потоков нагрузки.
С другой стороны, мы можем потерять вызовы, даже если есть свободные каналы, и поэтому использование каналов в этой системе всегда будет ниже, чем для систем с полной доступностью, но больше, чем для полностью раздельных систем с таким же общим количеством каналов. Каналы общего пользования в неполнодоступной системе дают возможность как-то сбалансировать нагрузку между этими двумя группами.
Исторически было необходимо поговорить об ограниченной доступности, так как электромеханические системы очень ограничивали возможности управления и емкость коммутатора (доступность). В цифровых системах мы не имеем этих ограничений но, тем не менее, теория ограниченной доступности важна в сетях и при гарантии уровня обслуживания.
Классические модели нагрузки принимают, что нагрузка, предлагаемая системе - чистая случайная нагрузка,типа один, РСТ1, или нагрузка типа два, РСТ2. В сетях связи с альтернативной маршрутизацией нагрузка, которая потеряна первичной группой, предлагается группе перегрузки, и она имеет свойства, отличающие её от РСT -нагрузки (секция 6.4). Поэтому мы не можем использовать классические модели для того, чтобы оценить вероятности блокировки нагрузки в группе перегрузки.
Рассмотрим группу с 16-ю каналами, которым предлагается нагрузка 10 Эрл. РСТ 1. Применив В-формулу Эрланга, мы находим вероятность блокировки Е = 2,23 % и потерянную нагрузку 0,2230 Эрл.
Теперь используем последовательный поиск и разбиваем эти 16 каналов на первичную группу, и группу перегрузки, каждая из 8 каналов.
Применив В формулу Эрланга, находим, что нагрузка перегрузки от первичной группы равняется 3,3832Эрл. Эта нагрузка предлагается группе перегрузки. Используя снова В формулу Эрланга, находим потерянную нагрузку от группы перегрузки: $$A_t = 3,3832 * Е_8(3,3832) = 0,0493$$ Эрл.
Полная вероятность блокировки при этом способе становится 0,49 3 %, это намного меньше, чем результат 2,23 % для общего пучка. Мы сделали ошибку, применяя В-формулу к нагрузке перегрузки, которая не является РСТ 1 нагрузкой. Далее мы приводим два класса моделей для расчета нагрузки перегрузки. Можно, в принципе, изучать процесс обработки нагрузки либо вертикально, либо горизонтально. При вертикальном изучении вычисляются вероятности состояния (секции 9.1.1-9.4.3). При горизонтальном изучении анализируются расстояние между двумя прибытиями вызовов, то есть межинтервальным распределением времени (9.5).
(рис 9.2) Различные системы перегрузки, рассматриваемые в литературе.
Рассмотрим полнодоступную группу с упорядоченным (РСТ I. Это называется системой Костена (рис.9.2). Состояние системы описывается двухмерным вектором:
это является вероятностью, что в случайный момент времени заняты в первичной группе i каналов, и j каналов в группе перегрузки. Диаграмма переходов состояний показана на рис.9.3. Костен (1937 [68]) проанализировал эту модель и получил безусловные вероятности состояний:
Риордан (Riordan 1956 [87]) получил моменты безусловных (одномерных) распределений, среднюю величину и пиковость (отношение дисперсия/средняя величина) безусловных (одномерных) распределений, то есть характеристики нагрузки, которую обслуживают эти две группы.
(рис 9.3) Диаграмма переходов состояний для системы Костена, которая имеет первичную группу с п каналами, и неограниченную группу перегрузки. Состояние обозначено (i,j), где I-число занятых каналов в первичной группе, и j - число занятых каналов в группе перегрузки. Среднее время пребывания в системе выбрано как единица времени.Первичная группа:
$$m=A*\{1-E_n(A)\},$$ $$\frac vm=Z=1-A*\{E_{n-1}(A)-E_n(A)\},$$ $$Z=1-F_{n-1}(A)=1-a_n \le 1$$где $$F_{n-1} (A)$$ - функция увеличения В-формулы Эрланга.
Вторичная группа - это группа перегрузки:
$$m=A*E_n(A),$$ $$\frac vm=Z=1-m+\frac{A}{n+1-A+m} \ge 1.$$Опыт показывает, что пиковость Z - удачная характеристика для относительной вероятности блокировки, которая хорошо отображает поток нагрузки с данной средней величиной. На рис.9.4 можно видеть, что пиковость нагрузки перегрузки имеет максимум для фиксированной нагрузки и увеличивает число каналов. Пиковость имеет размерность [каналы]. Пиковость применима для теоретических вычислений, но трудно оценить ее точно с помощью наблюдений.
(рис 9.4) Пиковость Z нагрузки перегрузки как функция числа каналов для фиксированного значения предложенной нагрузки. Заметьте, что Z имеет максимум. Когда п становится большим, попытки вызова редко блокируются, а блокированные попытки взаимно независимы. Поэтому процесс увеличения вызовов сходится к Пуассоновскому процессу (Лекция 6)Для РСТ 1 пиковость нагрузки равна единице, а блокировка вычисляется по В-формуле Эрланга. Если пиковость меньше, чем единица (9.5), нагрузка называется сглаженной, и она меньше блокируется, чем нагрузка РСT 1. Если пиковость больше единцы, то нагрузка называется взрывной, и она больше блокируется, чем нагрузка РСТ 1. Нагрузка перегрузки обычно взрывная (9.7).
Брокмейер (1954 [10]) получил вероятности состояния и моменты системы с ограниченной группой перегрузки (рис. 9.2), которые названы системой Брокмейера.
Беч (Been 1954 [6]) сделал то же самое, используя матричные уравнения, и получил более сложные и более общие выражения. Шерер (Sherer) вывел моменты более высокого порядка для конечных групп перегрузки, обобщающие систему Брокмейера.
Валстрем (Wallstroml966 [101]) рассчитал вероятности состояния и моменты для нагрузки перегрузки обобщенной системы Костена, где интенсивность прибытия зависит или от общего количества вызовов в системе, или от числа вызовов в первичной группе.
Этот метод также называется ERT (equivalent Random Traffic) - метод Уилкинсона, изданным независимо в одно и то же время в США Уилкинсом (1956 [102]) и в Германии Бретшнайдером (1956 [8]). Он играет ключевую роль для измерения характеристик телекоммуникационных сетей.
Рассмотрим группу с l каналами, которая обслуживает g потоков нагрузки (рис.9.5). Потоки нагрузки могут быть, например, нагрузкой, которая предлагается от других станций транзитной станции, и поэтому классические модели нагрузки не могут описать их. Таким образом, мы не знаем распределения (вероятности состояния) потоков нагрузки, но можем (как это часто происходит в приложениях статистики) характеризовать i -тый поток нагрузки его средней величиной $$т_{1,i}$$ и дисперсией $$v_i.$$ С этим упрощением мы будем предполагать, что два потока нагрузки будут эквивалентными, если они имеют ту же самую среднюю величину (математическое ожидание) и дисперсию. Полная нагрузка, предлагаемая группе с l каналами, имеет среднюю величину:
Мы принимаем, что потоки нагрузки независимы (не коррелированны), и таким образом дисперсия полного потока нагрузки будет равна:
$$C=\frac{A_l}{m}$$
(рис 9.5) Приложение ERТ-метода к системе, принимающей g независимых потоков нагрузки к общей группе l каналов. Объединенный процесс перегрузки g потоков нагрузки называют эквивалентной нагрузкой перегрузки от единственной полнодоступной группы с тем же самым математическим ожиданием и дисперсией нагрузки перегрузки (9.8) и (9.9)Полная нагрузка характеризуется m и v. До сих пор мы принимали, что m < v. Теперь будем полагать, что эта нагрузка будет эквивалентна потоку нагрузки, который потерян от полнодоступной группы и имеет ту же самую среднюю величину т. и дисперсию v. На рис.9.5 верхняя часть системы заменена эквивалентной системой - нижней частью рис.9.5, которая является полнодоступной системой с $$(n_x + l)$$, каналами с предложенной нагрузкой $$А_х$$ для данных значений т и v, поэтому решаем уравнения (9.6) и (9.7) относительно п и А. Можно показать, что существует уникальное решение, которое мы обозначим $$(n_x , А_х) $$.
Потерянная нагрузка найдена по В-формуле Эрланга:
$$m=\sum_{i=1}^g m_{1,i}.$$Предложенная нагрузка т перегрузки системы получается:
Замечание: вероятность блокировки не равна $$Е_{nx} +l(А_x)$$. Нужно помнить последний шаг (9.11), где мы связываем потерянную нагрузку с первоначально предложенной нагрузкой, которая в этом случае представлена т. (9.8).
Заметим, что если нагрузка перегрузки от единственной первичной группы типа РСТ 1, тогда метод точен. В общем случае для большого числа потоков нагрузки метод приблизителен и не выдает точную среднюю вероятность блокировки.
В секции 6.3 мы получили теорему Пальма, в которой состояние рассматривается как суперпозиция многих процессов поступления независимых вызовов - мы получаем локальный Пуассоновский процесс. Это не противоречит (9.8) и (9.9), потому что эта формула справедлива глобально.
При применении метода ERT мы должны вычислить (m, v) для данных значений (А, n) , и наоборот. Используя (9.4) и (9.5), можно просто получить (m, v) для данных (А, n) . Для того чтобы получить (А, n) для данных (m, v) , мы должны решить два уравнения с двумя неизвестными. Это требует применение итерационной процедуры, так как формула $$Е_n (А)$$ не может быть решена явно ни относительно n, ни относительно А (секция 7.5).
Однако мы можем решить (9.7) относительно n:
так, что мы можем знать n для данного А. Так что А - только одна независимая переменная. Мы можем использовать
Задавая начальное значение $$А_0$$, мы многократно улучшаем это значение, пока не получаем конечное значения m и v/m, достаточно близкое к известным значениям.
Ингве Рапп (Yngve Rapp 1965 [86]) предложил хорошее приблизительное решение А, которое может использоваться как начальное значение $$А_0$$ при итерации:
Из А можно получить n, применяя (9.12). Приближение Рапа дает достаточно точные значения для практических приложений, кроме случаев, когда $$А_х$$ очень мало. Пиковость Z= v/m имеет максимум, который получается, когда п является немного большим, чем А (рис.9.4). Для некоторых комбинаций т и v/m конвергенция является критической, но при помощи компьютеров мы можем всегда найти правильное решение. В компьютерных вычислениях мы работаем с нецелым числом каналов и только в конце вычислений выбираем целое число каналов, большее или равное полученному результату (типичный модуль некоторого числа каналов 8 в GSM, 30 в ИКМ, и т.д.). При использовании таблиц по формуле В-Эрланга нужно на каждом шаге выбирать число каналов консервативным способом так, чтобы в худшем случае достигалась выбранная вероятность блокировки.
Вышеупомянутый метод предполагает, что v/m больше, чем единица. Это справедливо только для взрывной нагрузки.
Отдельный поток нагрузки на рис.9.5 позволяет иметь $$v_i/m_i < 1$$, если общее количество объединенных потоков нагрузки является взрывным. Брекшнайдер ( Bretschneider [9], 1973) расширил метод, включив в вычисления отрицательное число каналов. При этом способе есть шанс иметь дело со сглаженной нагрузкой ( EERT - Extended ERT method - Расширенный ERT-метод ).
Отдельные потоки нагрузки на рис. 9.5 не имеют одинаковой средней величины и дисперсии, и поэтому не дают равные вероятности блокировки в общей группе перегрузки с l каналами. Из рассмотренного выше мы вычисляем среднюю блокировку (9.11) для всех объединенных потоков нагрузки. Опыт показывает, что получаемая вероятность блокировки пропорциональна пиковости Z= v/m. Мы можем разбить полную потерянную нагрузку на отдельные пакеты потерянной нагрузки, принимая во внимание, что нагрузка, потерянная для потока i, пропорциональна $$т_i$$ - средней величине и пиковости потока Z = v/m. Мы получаем:
из этой формулы мы находим константу с = l/v.
Вероятность блокировки для нагрузки потока i, называемая вероятностью блокировки пакета для потока i, затем получается:
Кроме того, мы можем делить блокировку среди отдельных групп (первичная, вторичная, и т.д. группы). Рассмотрим эквивалентную группу внизу рис. 9.5 с $$п_х$$ первичными каналами и l вторичными каналами (каналы перегрузки). Мы можем вычислить вероятность блокировки $$п_х$$ первичных каналов, и вероятности блокировки l вторичных каналов. Вероятность, что нагрузка потеряна l каналами, равна вероятности, что нагрузка потеряна $$п_х+1$$ каналами, при условии, что потерянная нагрузка предлагается l каналам:
Поэтому полная вероятность потерь связана с этими двумя группами:
$$E_{n_x+l}(A)=E_{n_x}(A)*\frac{E_{n_x+l}(A)}{E_{n_x}(A)}.$$Используя это выражение, мы можем найти блокировку для каждой группы каналов и затем, например, получить информацию, какая группа должна быть увеличена добавлением большего числа каналов.
В примере 9.1.1 вероятность блокировки первичной группы 8 каналов - $$E_8(10) = 0,3383$$. Блокировка группы перегрузки:
$$H(8)=\frac{E_{16}(10)}{E_8(10)}=\frac{0.02231}{0.3383}=0.06592.$$Полная блокировка системы:
$$E_{16}=E_8(10)*H(8)=0.3383*0.06592=0.02231$$Мы рассматриваем иерархическую сотовую систему
| Номер ячейки | Предложенная нагрузка | Число каналов | Средняя перегрузка | Дисперсия перегрузки | Пиковость |
|---|---|---|---|---|---|
| $$i$$ | $$A_i$$ | $$n_i(j)$$ | $$m_{i,j}$$ | $$v_i$$ | $$Z_i$$ |
| 1 | 12 | 16 | 0,7250 | 1,7190 | 2,3711 |
| 2 | 8 | 8 | 1,8846 | 3,5596 | 1,888 |
| 3 | 4 | 0 | 4,000 | 4,000 | 1,000 |
| Всего | 24 | 6,6095 | 9,2786 | 1,4038 |
Полная нагрузка, предлагаемая макроячейке, имеет среднюю величину 6,61 Эрл. и дисперсию 9,28. Это соответствует перегрузке от
Эти три области имеют отдельные вероятности блокировки. Применив (9.14), мы приблизительно находим потерянную нагрузку от областей: 0,2434 Эрл, 0,5042 Эрл, и 0,5664 Эрл, соответственно. Таким образом, вероятности блокировки нагрузки становятся 2,03 %, 6,30 % и 14,16 %, соответственно. Компьютерное моделирование со 100 миллионами вызовов выдает вероятности блокировки 1,77 %, 5,2 %, и 15,05 %, соответственно. Это соответствует полной потерянной нагрузке, равной 1,273 Эрл, и вероятности блокировки 5.30 %. Точность метода этой лекции достаточна для реальных приложений.
Фредерике (1980 [29]) предложил метод эквивалентности, который более прост в использовании, чем метод Брейтшнайдера-Уилкинсона (Wilkinson-Bretschneider). Идея метода была впервые выдвинута Хэйвардом.
Метод эквивалентности Фредерикса и Хэйварда также характеризует нагрузку средней величиной А и пиковостью Z
( $$0 < Z \lt; \infty $$ )( Z = 0 - тривиальный случай с постоянной нагрузкой). Пиковость (7.7) - отношение между дисперсией v и средней величиной $$т_1$$ вероятностей состояния, она имеет размерность [каналы]. Для случайной нагрузки ( Z=l и можем применить В-формулу Эрланга.
Для пиковости $$Z \ne 1$$ метод Фредерикса и Хэйварда предполагает, что система имеет ту же самую вероятность блокировки, что и система из n/Z каналами с предложенной нагрузкой A/Z, и таким образом пиковость Z=l. Для последней системы мы можем применить В-формулу Эрланга, при этом следует учитывать, что В-формулу Эрланга нельзя использовать для непрерывного числа каналов.
Башарин и Куренков расширили метод, включив мультислотовую (мультискоростную) нагрузку, где вызов требует d каналов от начала и до завершения. Если вызов использует d каналов вместо одного (изменение масштаба), то средняя величина времени становится в d раз больше, и дисперсия времени больше в $$d^2$$ раз. Поэтому пиковость по времени становится больше в d раз. Вместо того, чтобы сократить число каналов на число Z, мы можем оставить прежнее число каналов и увеличить размер слота на Z
Если мы имеем больше потоков нагрузки, предлагаемых той же самой группе, то хорошей стратегией будет сохранить число каналов фиксированным, но тогда мы получаем проблему, что $$d \cdot Z$$ B общем случае не будут целыми числами.
Применим метод ФредериксаиХэйварда кпримеру 9.2.3. Макроячейка будет иметь (8/1,4038) каналов и предложенную нагрузку (6,6095/1,4038) Эрл. Вероятность блокировки получена из В-формулы Эрланга и равна 0,19470. Потерянная нагрузка вычислена из первоначально предложенной нагрузки (6,6095) и равна 1,2871 Эрл. Вероятность блокировки системы становится Е= 1,2871/24 = 5.36 %. Это очень близко к результату, который мы получили (5.44 %) методом ERT.
Мы позже рассмотрим систему с интегрированным обслуживанием и мультискоростной (мультислотовой) нагрузкой. В примере 10.4.3 рассматривалась группа с пучком 1536 каналов, которой предлагается 24 потока нагрузки с индивидуальным размером слота и пиковостью. Полные потери по нагрузке равны 5,950 %. Если мы вычисляем пиковость из предложенной нагрузки, складывая все потоки нагрузки, то находим пиковость Z= 9,8125, а полная средняя величина равняется 1536 Эрл. Результаты метода Фредерикса и Хэйварда для полной нагрузке перегрузки равняются 6,114 %, что является консервативной оценкой (худший случай).
Здесь мы дадим естественную интерпретацию метода Фредерикса и Хэйварда, и в то же самое время обсудим разбиение потоков нагрузки. Рассмотрим поток нагрузки со средней величиной А, дисперсией v, и пиковостью Z= v/A. Разобьем этот поток нагрузки на g идентичных под-потоков. Один из таких подпотоков тогда имеет среднюю величину A/g и пиковость Z/g, потому что средняя величина уменьшена на коэффициент g, а дисперсия на коэффициент $$g^2$$ (Пример 3.3.2). Если мы выбираем число g подпотоков, равное Z, то получаем пиковость Z= 1 для каждого подпотока.
Предположим, что первоначальный поток нагрузки поступает на п каналов. Если мы разбиваем п каналов на g подгрупп (одну для каждого подпотока), то каждая подгруппа содержит n/g каналов.
Каждая подгруппа будет тогда иметь такую же вероятность блокировки, как первоначальная полная система. Выбирая g=Z, мы получаем пиковость Z=1 в подпотоках и можем (приблизительно) использовать В-формулу Эрланга для того, чтобы вычислить вероятность блокировки.
Это естественная интерпретация метода Хэйварда и Фредерикса. Она может легко быть расширена, чтобы включить мультислотовую нагрузку. Если каждый вызов требует d каналов в течение всего времени соединения то, разбивая нагрузку на d подпотоков, получим систему, где каждый вызов будет использовать единственный канал в каждой из подгрупп d. Тогда мы получим d идентичных системы с нагрузкой одного-единственного слота.
Вышеупомянутое разбиение нагрузки на g идентичных потоков нагрузки показывает, что вероятность блокировки, полученная методом Фредерикса-Хэйварда - потери по нагрузке. Равное разбиение нагрузки в любой момент времени подразумевает, что все потоки нагрузки g идентичны и таким образом имеют взаимную корреляцию, равную единице. В действительности, мы не можем разбить нагрузку коммутации каналов на идентичные g=2, и три канала заняты в данный момент времени, то можно, например, использовать два канала в одном подпотоке и один в другом. Но, так или иначе, мы получаем то же самое оптимальное использование как в полной системе, потому что всегда будем иметь доступ к свободному каналу в любой подгруппе (полная доступность). Корреляция между подпотоками становится меньше, чем единица. Вышеупомянутое положение является примером использования интеллектуальных стратегий для поддержки оптимальной полной доступности.
В секции 6.3.2 мы изучили разбиение процесса поступления вызовов, когда разбиение сделано случайным способом (Теорема Райкова 6.2). Этим разбиением не уменьшается отклонение процесса для случаев, когда процесс - Пуассоновский процесс или более регулярный. В результате процессы подпотока сходятся к Пуассоновским процессам. В этой мы рассмотрим разбиение процесса нагрузки, который включает и процесс поступления вызовов, и времена пребывания в системе. Процесс разбиения зависит от состояния. Большое время пребывания в системе единственного вызова приведет к нескольким новым вызовам в этом подпроцессе в течение следующего временного интервала, и процесс поступления вызовов больше не будет процессом рождения.
Большинство попыток улучшения и метода эквивалентности Фредерикса-Хэйварда основаны на сокращении корреляции между подпотоками, потому что процессы поступления вызовов для одного подпотока рассматриваются как процессы рождения, а времена пребывания в системе предполагаются экспоненциально распределенными. Из вышеупомянутых положений ясно, что рассмотренные подходы являются неудачными, потому что они не приводят к оптимальному разбиению нагрузки. В следующем примере мы убедимся, что оптимальное разбиение может быть реализовано для пакетов обслуживания нагрузки с постоянным размером пакета.
Если мы разбиваем поток нагрузки на р, то можно показать, что
где Z - пиковость из первоначального потока. Из этого случайного разбиения нагрузки мы видим, что пиковость сходится к единице при уменьшении р. Это соответствует Пуассоновскому процессу, и такой результат справедлив для любого процесса нагрузки.
Если необходима большая пропускная способность сети, чем предоставляет одиночный канал, то мы можем параллельно комбинировать больше каналов. В первоначальном источнике можно распределить нагрузку (пакеты или ячейки в ATM) циклическим способом по отдельным каналам, и в пункте назначения восстановить первоначальную информацию. Этим способом мы достигаем более высокую пропускную способность, арендуя очень дорогие широкополосные каналы. Если нагрузки содержит пакеты постоянного размера, то процесс передачи нагрузки можно разбить на множество идентичных потоков нагрузки и получить такое же использование, как в отдельной системе с полной емкостью. Этот принцип сначала эксплуатировался на датских сетях (Johansen и Johansen и Rasmussen, 1991 [53]), где была возможность комбинировать до 30 индивидуальных каналов цифровой сети интегрального обслуживания со скоростью 64 Кбит/с для передачи видеонагрузки при обслуживании самолетов.
Сегодня подобное оборудование применяется для того, чтобы объединить множество каналов со скоростью 2 Мбит/с, которые используются подключениями ATM с большей пропускной способностью. Этот метод называется Инверсное Мультиплексирование для ATM (
С точки зрения блокировки, средняя величина и дисперсия не обязательно характеризуют нагрузку оптимальным способом. Другие параметры могут лучше описать нагрузку. При вычислении ERТ методом блокировки мы имеем два уравнения с двумя неизвестными (9.6 и 9.7).
ВРР -модели нагрузки описывают нагрузку двумя параметрами, средней величиной и пиковостью, и поэтому являются естественными кандидатами для моделирования нагрузки двумя параметрами.
Тем не менее, исторически концепция и определение потерь по нагрузке имеют более ранние модели, исходящие из предложенной нагрузки, которые приводят к путанице, поскольку определяют потери по вызовам. Как отмечалось на рис. 8.6, для вычислений перегрузки имеют смысл только потери по нагрузке.
BРР -модель очень хорошо применима ко многим приложениям определения потерь по нагрузке.
Если мы применяем ВРР -модель к нагрузке перегрузки в примере 9.2.3, то получим А = 6,6095 и Z = 1,.4038. Это соответствует нагрузке Паскаля от S= 16,37 источников и $$\beta = 0,2876$$. Потери по нагрузке равны 20,52 %, что соответствует потерянной нагрузке 1,3563 Эрл., тогда вероятности блокировки для системы равняются Е= 1,3563/24 = 5.65 %. Этот результат дает достаточную точность.
Sanders и Haemers и Wilcke (1983 [23]) предложили другой простой и интересный метод эквивалентности, который также базировался на пространстве состояний. Мы называем его методом Сандера. Подобно методу Фредерикса и Хэйварда, он основан на преобразовании вероятностей состояния так, чтобы пиковость стала равной единице. Метод преобразовывает не Пуассоновскую нагрузку (среднее значение, дисперсия) = (т, v) в нагрузку потока с пиковостью единица, прибавляя к нему постоянный поток (нулевая дисперсия) нагрузки со средним значением v - т так, чтобы полная нагрузка имела среднее значение, равное дисперсии v. Постоянный поток нагрузки занимает непрерывно v-т каналов (без потерь), и этим мы увеличиваем число каналов. Таким способом мы получаем систему с п + (v-m) каналами, на которые поступает нагрузка т + (v - т) = v Эрл. Пиковость становится единицей, и вероятность блокир
овки может быть получена по В-формуле Эрланга, так что мы находим нагрузку, потерянную от С.
Вероятность блокировки касается первоначально предложенной нагрузки т. Метод применим для гладкой т > v и взрывной нагрузки т < v и требует только оценки по В-формуле Эрланга с непрерывным числом каналов.
Если мы применяем метод Сандера к примеру 9.2.3, то увеличиваем и число каналов, и предложенную нагрузку v - m = 2,6691 (каналов/Эрл.) и таким образом имеем 9,2786 Эрл, поступающие на 10,6691 каналов. Из В-формулы Эрланга находим потерянную нагрузку 1,3690 Эрл, что является приблизительным значением, но близко к результатам, полученным выше. Это соответствует вероятности блокировки Е = 1,3690/24 = 5.70 %.
Полученный ERT -метод базировался только на одном параметре, и можно, в принципе, сохранить п произвольным или фиксированным. Опыт показывает, что лучшие результаты получаются, если сохранить число каналов $$п_х = п$$. Мы находимся теперь в положении, когда можем только гарантировать, что средняя величина нагрузки перегрузки правильна. Этот метод назван методом эквивалентности Беркли (1934). Метод Уилкинсона-Бретшнайдера (Wilkinson-Bretschneider's) требует некоторого количества вычислений (компьютерных), тогда как метод Беркли основан исключительно на В-формуле Эрланга. Метод Беркли применим лишь для систем, где первичные группы имеют одинаковое число каналов.
Если мы применяем метод Беркли для примера 9.1.1, то получаем точное решение, и этот специальный случай порождает идею этого метода.
Снова рассматриваем пример 9.2.3. Чтобы применить правильно метод Беркли, мы должны иметь одинаковое число каналов во всех трех микроячейках. Предположим, что все микроячейки имеют 8 каналов (а не 16, 8, 0, соответственно). Чтобы получить нагрузку перегрузки 6,6095Эрл, эквивалентная предложенная нагрузка должна быть 13,72 Эрл на 8 первичных каналов. Эквивалентная система тогда имеет нагрузку 13,72 Эрл, поступающую на (8+8) = 16 каналов. Потерянная нагрузка, полученная из В-формулы Эрланга, равна 1,4588 Эрл, при вероятности блокировки 6,08 %. Это значение немного больше, чем правильное значение. Метод Беркли дает надежные результаты.
Все модели в Лекциях 7 и 8 использовали Пуассоновские потоки вызовов с интенсивностью, которая зависит от состояния, тогда как времена обслуживания являются экспоненциально распределенными с равной средней величиной для всех однородных приборов обслуживания. Все эти модели независимы от распределения времени обслуживания (то есть нечувствительны к значению вероятностей состояний, и зависят только от средней величины распределения времени обслуживания). Тогда мы можем обобщить модели, рассматривая больше общих процессов поступления вызовов. При использовании общих процессов поступления вызовов свойство независимости от распределения времени потеряно, и распределение времени обслуживания становится важным параметром. Если мы имеем только один процесс поступления вызовов и много процессов обслуживания (один для каждого из п обслуживающих приборов), тогда можно предположить, что время обслуживания экспоненциальное для того, чтобы избежать сложных моделей.
В секции 6.4 мы рассматривали прерывистый Пуассоновский процесс Качуры ( IPP ) (Kuczura, 1977 [71]), который характеризуется тремя параметрами и широко используется для моделирования нагрузки перегрузки. Возьмем полнодоступную группу с п обслуживающими приборами, на которые поступают вызовы, прибывающие согласно IPP (см. рис.6.7) с экспоненциально распределенными временами обслуживания.
Тогда мы можем создать диаграмму переходов состояний, как показано на рис.9.6. Диаграмма двухмерная. Состояние (i, j) обозначает, что есть i обслуживаемых вызовов (i = 0,1,..., n) , а процесс поступления вызовов находится в фазе j ( j = а, если идет процесс поступления вызовов, и j = b, если процесс возвращает вызов). Используя уравнения равновесия узлов, находим вероятности состояния равновесия p(i,j) .
Потери по времени E равны:
Потери по вызовам В равны:
Потери по нагрузке С определяются как соотношение предложенной нагрузки и потерянной нагрузки. Предложенная нагрузка равна:
Обслуженная нагрузка:
$$Y=\sum_{i=0}^n i*\{p(ia)+p(ib)\}.$$Из этого уравнения мы получаем С=(А- Y)/A. Фактически, потери по нагрузке будут равны потерям по вызовам, так как процесс поступления вызовов является процессом рождения. Но это трудно вывести из полученных выше результатов. Как показано в секции 6.4.1, интервалы поступления распределены по гиперэкспоненте Н2.
(рис 9.6) Диаграмма переходов состояний для полнодоступной системы с потерями с п обслуживающими приборами, IPP-процессом поступления вызовов (см. рис.6.7) и экспоненциально распределенным временем обслуживания.
В секции 6.4 мы отмечали, что процесс поступления вызовов Кокс-2 дает более общее представление процесса, чем IPP (Kuczura, 1977 [71]). Если мы рассматриваем процесс поступления вызовов Кокс-2, как показано на рис.4.10, то получаем диаграмму переходов состояний на рис.9.7. Из неё мы находим, согласно предположению о статистическом равновесии вероятности состояния, следующие критерии качества работы:
Потери по времени Е:
Потери по вызовам В:
Потери по нагрузке С. Предложенная нагрузка это среднее число среднего времени обслуживания, деленная на число попыток вызова. Средний интервал поступления:
Предложенная нагрузка тогда равна $$А = (т_а * \mu)^{-1}$$ Обслуженная нагрузка определяется по (9.22) с помощью рис.9.7, и таким образом мы находим потери по нагрузке С.
Если мы обобщим процесс поступления вызовов на процесс поступления вызовов Кокс-k, то диаграмма перехода состояний будет все еще двухмерной. При использовании распределения Кокса мы можем в принципе рассматривать любое число параметров.
Если мы обобщаем время обслуживания с использованием распределения Кокса- k, то диаграмма переходов состояний для n > 1 становится намного более сложной, потому что существует процесс обслуживания для каждого обслуживающего прибора, но только один процесс поступления вызовов. Поэтому мы всегда обобщаем процесс поступления вызовов и принимаем экспоненциально распределенные времена обслуживания.
(рис 9.7) Диаграмма переходов состояний для полнодоступной системы с потерями с п обслуживающими приборами, процесс поступления вызовов - Кокс-2 (см. рис. 4.10), и экспоненциально распределенным временем обслуживания
k заданным каналам из общего количества $$п(к \le п)$$.k каналы заняты, попытка вызова блокируется, даже если среди оставшихся (п-к) каналов есть свободные каналы.РСT -нагрузки.РСТ1.g потоков нагрузки называют эквивалентной нагрузкой перегрузки от единственной полнодоступной группы с тем же самым математическим ожиданием и дисперсией нагрузки перегрузки.ERT мы должны вычислить (m,v) для данных значений (А,n) и наоборот. Это требует применение итерационной процедуры.i, пропорциональна $$т_i$$ - средней величине и пиковости потока Z = v/m. (Нагрузка) вероятность блокировки для нагрузки потока i называется вероятностью блокировки пакета.n/Z каналов с предложенной нагрузкой A/Z, и таким образом пиковость Z= 1. Для последней системы мы можем применить В-формулу Эрланга, при этом следует учитывать, что В-формула Эрланга работает для непрерывного числа каналов.d каналов от своего начала и до завершения. Если вызов использует d каналов вместо одного (изменение масштаба), то средняя величина времени становится в d раз больше и дисперсия времени - больше в $$d^2$$ раз.ВРР -модели нагрузки описывают нагрузку двумя параметрами: средней величиной и пиковостью.= (т; v) в нагрузку потока с пиковостью Z, прибавляя постоянный поток (нулевая дисперсия) нагрузки со средним значением v-т так, чтобы полная нагрузка имела среднее значение равное дисперсии v.п обслуживающими приборами, на которые поступают вызовы, прибывающие согласно IPP с экспоненциально распределенными временами обслуживания, то можем создать диаграмму переходов состояний. Состояние (I, j) обозначает, что есть i обслуживаемых вызовов (i = 0,1,..., n) , а процесс поступления вызовов находится в фазе./ (J = a, если идет процесс поступления вызовов, и j = b, если процесс возвращает вызов). Используя уравнения равновесия узлов, мы находим вероятности состояния равновесия р (i,j) .Пример такой системы показан на рис.9.1, где мы рассматриваем иерархическую сеть с нагрузкой от А до В и от А до С. От А до В есть прямой (первичный) маршрут с $$n_1$$ каналами. Если они все заняты, то вызов направляется по альтернативному (вторичному) маршруту через Т к В. Подобным же образом, нагрузка от А до С имеет маршрут первого выбора, т.е. направление А С, и альтернативный маршрут АТС. Предположим, что маршруты ТВ, и ТС не имеют потерь; схема доступности показана в правой части рис.9.1. На этом рисунке мы видим, что общее количество каналов $$(n_1 + n_2 + n_{12} )$$ и что нагрузка АВ имеет доступ только к $$(n_1 + n_{12} )$$. В этом случае последовательный поиск среди маршрутов должен быть организован так, чтобы з
апрос был направлен через группу $$n_{12}$$ только тогда, когда все $$n_1$$ первичных каналов заняты.
Это типично для иерархической сети, которая обладает такой сервисной защитой. Независимо от того, насколько высока будет нагрузка от А до С, мы никогда не получим доступ к $$n_1$$ каналам.
(рис 9.1) Телекоммуникационные сети с обходным маршрутом и соответствующей схемой доступности, которая названа транспонированием О'Делла (O'Dell). Мы предполагаем, что линии связи между транзитной станцией T и станции В и С - без потерь. Каналы $$n_{12}$$ являются общими для обоих потоков нагрузки.
С другой стороны, мы можем потерять вызовы, даже если есть свободные каналы, и поэтому использование каналов в этой системе всегда будет ниже, чем для систем с полной доступностью, но больше, чем для полностью раздельных систем с таким же общим количеством каналов. Каналы общего пользования в неполнодоступной системе дают возможность как-то сбалансировать нагрузку между этими двумя группами.
Исторически было необходимо поговорить об ограниченной доступности, так как электромеханические системы очень ограничивали возможности управления и емкость коммутатора (доступность). В цифровых системах мы не имеем этих ограничений но, тем не менее, теория ограниченной доступности важна в сетях и при гарантии уровня обслуживания.
Классические модели нагрузки принимают, что нагрузка, предлагаемая системе - чистая случайная нагрузка,типа один, РСТ1, или нагрузка типа два, РСТ2. В сетях связи с альтернативной маршрутизацией нагрузка, которая потеряна первичной группой, предлагается группе перегрузки, и она имеет свойства, отличающие её от РСT -нагрузки (секция 6.4). Поэтому мы не можем использовать классические модели для того, чтобы оценить вероятности блокировки нагрузки в группе перегрузки.
Рассмотрим группу с 16-ю каналами, которым предлагается нагрузка 10 Эрл. РСТ 1. Применив В-формулу Эрланга, мы находим вероятность блокировки Е = 2,23 % и потерянную нагрузку 0,2230 Эрл.
Теперь используем последовательный поиск и разбиваем эти 16 каналов на первичную группу, и группу перегрузки, каждая из 8 каналов.
Применив В формулу Эрланга, находим, что нагрузка перегрузки от первичной группы равняется 3,3832Эрл. Эта нагрузка предлагается группе перегрузки. Используя снова В формулу Эрланга, находим потерянную нагрузку от группы перегрузки: $$A_t = 3,3832 * Е_8(3,3832) = 0,0493$$ Эрл.
Полная вероятность блокировки при этом способе становится 0,49 3 %, это намного меньше, чем результат 2,23 % для общего пучка. Мы сделали ошибку, применяя В-формулу к нагрузке перегрузки, которая не является РСТ 1 нагрузкой. Далее мы приводим два класса моделей для расчета нагрузки перегрузки. Можно, в принципе, изучать процесс обработки нагрузки либо вертикально, либо горизонтально. При вертикальном изучении вычисляются вероятности состояния (секции 9.1.1-9.4.3). При горизонтальном изучении анализируются расстояние между двумя прибытиями вызовов, то есть межинтервальным распределением времени (9.5).
(рис 9.2) Различные системы перегрузки, рассматриваемые в литературе.
Рассмотрим полнодоступную группу с упорядоченным (РСТ I. Это называется системой Костена (рис.9.2). Состояние системы описывается двухмерным вектором:
это является вероятностью, что в случайный момент времени заняты в первичной группе i каналов, и j каналов в группе перегрузки. Диаграмма переходов состояний показана на рис.9.3. Костен (1937 [68]) проанализировал эту модель и получил безусловные вероятности состояний:
Риордан (Riordan 1956 [87]) получил моменты безусловных (одномерных) распределений, среднюю величину и пиковость (отношение дисперсия/средняя величина) безусловных (одномерных) распределений, то есть характеристики нагрузки, которую обслуживают эти две группы.
(рис 9.3) Диаграмма переходов состояний для системы Костена, которая имеет первичную группу с п каналами, и неограниченную группу перегрузки. Состояние обозначено (i,j), где I-число занятых каналов в первичной группе, и j - число занятых каналов в группе перегрузки. Среднее время пребывания в системе выбрано как единица времени.Первичная группа:
$$m=A*\{1-E_n(A)\},$$ $$\frac vm=Z=1-A*\{E_{n-1}(A)-E_n(A)\},$$ $$Z=1-F_{n-1}(A)=1-a_n \le 1$$где $$F_{n-1} (A)$$ - функция увеличения В-формулы Эрланга.
Вторичная группа - это группа перегрузки:
$$m=A*E_n(A),$$ $$\frac vm=Z=1-m+\frac{A}{n+1-A+m} \ge 1.$$Опыт показывает, что пиковость Z - удачная характеристика для относительной вероятности блокировки, которая хорошо отображает поток нагрузки с данной средней величиной. На рис.9.4 можно видеть, что пиковость нагрузки перегрузки имеет максимум для фиксированной нагрузки и увеличивает число каналов. Пиковость имеет размерность [каналы]. Пиковость применима для теоретических вычислений, но трудно оценить ее точно с помощью наблюдений.
(рис 9.4) Пиковость Z нагрузки перегрузки как функция числа каналов для фиксированного значения предложенной нагрузки. Заметьте, что Z имеет максимум. Когда п становится большим, попытки вызова редко блокируются, а блокированные попытки взаимно независимы. Поэтому процесс увеличения вызовов сходится к Пуассоновскому процессу (Лекция 6)Для РСТ 1 пиковость нагрузки равна единице, а блокировка вычисляется по В-формуле Эрланга. Если пиковость меньше, чем единица (9.5), нагрузка называется сглаженной, и она меньше блокируется, чем нагрузка РСT 1. Если пиковость больше единцы, то нагрузка называется взрывной, и она больше блокируется, чем нагрузка РСТ 1. Нагрузка перегрузки обычно взрывная (9.7).
Брокмейер (1954 [10]) получил вероятности состояния и моменты системы с ограниченной группой перегрузки (рис. 9.2), которые названы системой Брокмейера.
Беч (Been 1954 [6]) сделал то же самое, используя матричные уравнения, и получил более сложные и более общие выражения. Шерер (Sherer) вывел моменты более высокого порядка для конечных групп перегрузки, обобщающие систему Брокмейера.
Валстрем (Wallstroml966 [101]) рассчитал вероятности состояния и моменты для нагрузки перегрузки обобщенной системы Костена, где интенсивность прибытия зависит или от общего количества вызовов в системе, или от числа вызовов в первичной группе.
Этот метод также называется ERT (equivalent Random Traffic) - метод Уилкинсона, изданным независимо в одно и то же время в США Уилкинсом (1956 [102]) и в Германии Бретшнайдером (1956 [8]). Он играет ключевую роль для измерения характеристик телекоммуникационных сетей.
Рассмотрим группу с l каналами, которая обслуживает g потоков нагрузки (рис.9.5). Потоки нагрузки могут быть, например, нагрузкой, которая предлагается от других станций транзитной станции, и поэтому классические модели нагрузки не могут описать их. Таким образом, мы не знаем распределения (вероятности состояния) потоков нагрузки, но можем (как это часто происходит в приложениях статистики) характеризовать i -тый поток нагрузки его средней величиной $$т_{1,i}$$ и дисперсией $$v_i.$$ С этим упрощением мы будем предполагать, что два потока нагрузки будут эквивалентными, если они имеют ту же самую среднюю величину (математическое ожидание) и дисперсию. Полная нагрузка, предлагаемая группе с l каналами, имеет среднюю величину:
Мы принимаем, что потоки нагрузки независимы (не коррелированны), и таким образом дисперсия полного потока нагрузки будет равна:
$$C=\frac{A_l}{m}$$(рис 9.5) Приложение ERТ-метода к системе, принимающей g независимых потоков нагрузки к общей группе l каналов. Объединенный процесс перегрузки g потоков нагрузки называют эквивалентной нагрузкой перегрузки от единственной полнодоступной группы с тем же самым математическим ожиданием и дисперсией нагрузки перегрузки (9.8) и (9.9)Полная нагрузка характеризуется m и v. До сих пор мы принимали, что m < v. Теперь будем полагать, что эта нагрузка будет эквивалентна потоку нагрузки, который потерян от полнодоступной группы и имеет ту же самую среднюю величину т. и дисперсию v. На рис.9.5 верхняя часть системы заменена эквивалентной системой - нижней частью рис.9.5, которая является полнодоступной системой с $$(n_x + l)$$, каналами с предложенной нагрузкой $$А_х$$ для данных значений т и v, поэтому решаем уравнения (9.6) и (9.7) относительно п и А. Можно показать, что существует уникальное решение, которое мы обозначим $$(n_x , А_х) $$.
Потерянная нагрузка найдена по В-формуле Эрланга:
$$m=\sum_{i=1}^g m_{1,i}.$$Предложенная нагрузка т перегрузки системы получается:
Замечание: вероятность блокировки не равна $$Е_{nx} +l(А_x)$$. Нужно помнить последний шаг (9.11), где мы связываем потерянную нагрузку с первоначально предложенной нагрузкой, которая в этом случае представлена т. (9.8).
Заметим, что если нагрузка перегрузки от единственной первичной группы типа РСТ 1, тогда метод точен. В общем случае для большого числа потоков нагрузки метод приблизителен и не выдает точную среднюю вероятность блокировки.
В секции 6.3 мы получили теорему Пальма, в которой состояние рассматривается как суперпозиция многих процессов поступления независимых вызовов - мы получаем локальный Пуассоновский процесс. Это не противоречит (9.8) и (9.9), потому что эта формула справедлива глобально.
При применении метода ERT мы должны вычислить (m, v) для данных значений (А, n) , и наоборот. Используя (9.4) и (9.5), можно просто получить (m, v) для данных (А, n) . Для того чтобы получить (А, n) для данных (m, v) , мы должны решить два уравнения с двумя неизвестными. Это требует применение итерационной процедуры, так как формула $$Е_n (А)$$ не может быть решена явно ни относительно n, ни относительно А (секция 7.5).
Однако мы можем решить (9.7) относительно n:
так, что мы можем знать n для данного А. Так что А - только одна независимая переменная. Мы можем использовать
Задавая начальное значение $$А_0$$, мы многократно улучшаем это значение, пока не получаем конечное значения m и v/m, достаточно близкое к известным значениям.
Ингве Рапп (Yngve Rapp 1965 [86]) предложил хорошее приблизительное решение А, которое может использоваться как начальное значение $$А_0$$ при итерации:
Из А можно получить n, применяя (9.12). Приближение Рапа дает достаточно точные значения для практических приложений, кроме случаев, когда $$А_х$$ очень мало. Пиковость Z= v/m имеет максимум, который получается, когда п является немного большим, чем А (рис.9.4). Для некоторых комбинаций т и v/m конвергенция является критической, но при помощи компьютеров мы можем всегда найти правильное решение. В компьютерных вычислениях мы работаем с нецелым числом каналов и только в конце вычислений выбираем целое число каналов, большее или равное полученному результату (типичный модуль некоторого числа каналов 8 в GSM, 30 в ИКМ, и т.д.). При использовании таблиц по формуле В-Эрланга нужно на каждом шаге выбирать число каналов консервативным способом так, чтобы в худшем случае достигалась выбранная вероятность блокировки.
Вышеупомянутый метод предполагает, что v/m больше, чем единица. Это справедливо только для взрывной нагрузки.
Отдельный поток нагрузки на рис.9.5 позволяет иметь $$v_i/m_i < 1$$, если общее количество объединенных потоков нагрузки является взрывным. Брекшнайдер ( Bretschneider [9], 1973) расширил метод, включив в вычисления отрицательное число каналов. При этом способе есть шанс иметь дело со сглаженной нагрузкой ( EERT - Extended ERT method - Расширенный ERT-метод ).
Отдельные потоки нагрузки на рис. 9.5 не имеют одинаковой средней величины и дисперсии, и поэтому не дают равные вероятности блокировки в общей группе перегрузки с l каналами. Из рассмотренного выше мы вычисляем среднюю блокировку (9.11) для всех объединенных потоков нагрузки. Опыт показывает, что получаемая вероятность блокировки пропорциональна пиковости Z= v/m. Мы можем разбить полную потерянную нагрузку на отдельные пакеты потерянной нагрузки, принимая во внимание, что нагрузка, потерянная для потока i, пропорциональна $$т_i$$ - средней величине и пиковости потока Z = v/m. Мы получаем:
из этой формулы мы находим константу с = l/v.
Вероятность блокировки для нагрузки потока i, называемая вероятностью блокировки пакета для потока i, затем получается:
Кроме того, мы можем делить блокировку среди отдельных групп (первичная, вторичная, и т.д. группы). Рассмотрим эквивалентную группу внизу рис. 9.5 с $$п_х$$ первичными каналами и l вторичными каналами (каналы перегрузки). Мы можем вычислить вероятность блокировки $$п_х$$ первичных каналов, и вероятности блокировки l вторичных каналов. Вероятность, что нагрузка потеряна l каналами, равна вероятности, что нагрузка потеряна $$п_х+1$$ каналами, при условии, что потерянная нагрузка предлагается l каналам:
Поэтому полная вероятность потерь связана с этими двумя группами:
$$E_{n_x+l}(A)=E_{n_x}(A)*\frac{E_{n_x+l}(A)}{E_{n_x}(A)}.$$Используя это выражение, мы можем найти блокировку для каждой группы каналов и затем, например, получить информацию, какая группа должна быть увеличена добавлением большего числа каналов.
В примере 9.1.1 вероятность блокировки первичной группы 8 каналов - $$E_8(10) = 0,3383$$. Блокировка группы перегрузки:
$$H(8)=\frac{E_{16}(10)}{E_8(10)}=\frac{0.02231}{0.3383}=0.06592.$$Полная блокировка системы:
$$E_{16}=E_8(10)*H(8)=0.3383*0.06592=0.02231$$Мы рассматриваем иерархическую сотовую систему
| Номер ячейки | Предложенная нагрузка | Число каналов | Средняя перегрузка | Дисперсия перегрузки | Пиковость |
|---|---|---|---|---|---|
| $$i$$ | $$A_i$$ | $$n_i(j)$$ | $$m_{i,j}$$ | $$v_i$$ | $$Z_i$$ |
| 1 | 12 | 16 | 0,7250 | 1,7190 | 2,3711 |
| 2 | 8 | 8 | 1,8846 | 3,5596 | 1,888 |
| 3 | 4 | 0 | 4,000 | 4,000 | 1,000 |
| Всего | 24 | 6,6095 | 9,2786 | 1,4038 |
Полная нагрузка, предлагаемая макроячейке, имеет среднюю величину 6,61 Эрл. и дисперсию 9,28. Это соответствует перегрузке от
Эти три области имеют отдельные вероятности блокировки. Применив (9.14), мы приблизительно находим потерянную нагрузку от областей: 0,2434 Эрл, 0,5042 Эрл, и 0,5664 Эрл, соответственно. Таким образом, вероятности блокировки нагрузки становятся 2,03 %, 6,30 % и 14,16 %, соответственно. Компьютерное моделирование со 100 миллионами вызовов выдает вероятности блокировки 1,77 %, 5,2 %, и 15,05 %, соответственно. Это соответствует полной потерянной нагрузке, равной 1,273 Эрл, и вероятности блокировки 5.30 %. Точность метода этой лекции достаточна для реальных приложений.
Фредерике (1980 [29]) предложил метод эквивалентности, который более прост в использовании, чем метод Брейтшнайдера-Уилкинсона (Wilkinson-Bretschneider). Идея метода была впервые выдвинута Хэйвардом.
Метод эквивалентности Фредерикса и Хэйварда также характеризует нагрузку средней величиной А и пиковостью Z
( $$0 < Z \lt; \infty $$ )( Z = 0 - тривиальный случай с постоянной нагрузкой). Пиковость (7.7) - отношение между дисперсией v и средней величиной $$т_1$$ вероятностей состояния, она имеет размерность [каналы]. Для случайной нагрузки ( Z=l и можем применить В-формулу Эрланга.
Для пиковости $$Z \ne 1$$ метод Фредерикса и Хэйварда предполагает, что система имеет ту же самую вероятность блокировки, что и система из n/Z каналами с предложенной нагрузкой A/Z, и таким образом пиковость Z=l. Для последней системы мы можем применить В-формулу Эрланга, при этом следует учитывать, что В-формулу Эрланга нельзя использовать для непрерывного числа каналов.
Башарин и Куренков расширили метод, включив мультислотовую (мультискоростную) нагрузку, где вызов требует d каналов от начала и до завершения. Если вызов использует d каналов вместо одного (изменение масштаба), то средняя величина времени становится в d раз больше, и дисперсия времени больше в $$d^2$$ раз. Поэтому пиковость по времени становится больше в d раз. Вместо того, чтобы сократить число каналов на число Z, мы можем оставить прежнее число каналов и увеличить размер слота на Z
Если мы имеем больше потоков нагрузки, предлагаемых той же самой группе, то хорошей стратегией будет сохранить число каналов фиксированным, но тогда мы получаем проблему, что $$d \cdot Z$$ B общем случае не будут целыми числами.
Применим метод ФредериксаиХэйварда кпримеру 9.2.3. Макроячейка будет иметь (8/1,4038) каналов и предложенную нагрузку (6,6095/1,4038) Эрл. Вероятность блокировки получена из В-формулы Эрланга и равна 0,19470. Потерянная нагрузка вычислена из первоначально предложенной нагрузки (6,6095) и равна 1,2871 Эрл. Вероятность блокировки системы становится Е= 1,2871/24 = 5.36 %. Это очень близко к результату, который мы получили (5.44 %) методом ERT.
Мы позже рассмотрим систему с интегрированным обслуживанием и мультискоростной (мультислотовой) нагрузкой. В примере 10.4.3 рассматривалась группа с пучком 1536 каналов, которой предлагается 24 потока нагрузки с индивидуальным размером слота и пиковостью. Полные потери по нагрузке равны 5,950 %. Если мы вычисляем пиковость из предложенной нагрузки, складывая все потоки нагрузки, то находим пиковость Z= 9,8125, а полная средняя величина равняется 1536 Эрл. Результаты метода Фредерикса и Хэйварда для полной нагрузке перегрузки равняются 6,114 %, что является консервативной оценкой (худший случай).
Здесь мы дадим естественную интерпретацию метода Фредерикса и Хэйварда, и в то же самое время обсудим разбиение потоков нагрузки. Рассмотрим поток нагрузки со средней величиной А, дисперсией v, и пиковостью Z= v/A. Разобьем этот поток нагрузки на g идентичных под-потоков. Один из таких подпотоков тогда имеет среднюю величину A/g и пиковость Z/g, потому что средняя величина уменьшена на коэффициент g, а дисперсия на коэффициент $$g^2$$ (Пример 3.3.2). Если мы выбираем число g подпотоков, равное Z, то получаем пиковость Z= 1 для каждого подпотока.
Предположим, что первоначальный поток нагрузки поступает на п каналов. Если мы разбиваем п каналов на g подгрупп (одну для каждого подпотока), то каждая подгруппа содержит n/g каналов.
Каждая подгруппа будет тогда иметь такую же вероятность блокировки, как первоначальная полная система. Выбирая g=Z, мы получаем пиковость Z=1 в подпотоках и можем (приблизительно) использовать В-формулу Эрланга для того, чтобы вычислить вероятность блокировки.
Это естественная интерпретация метода Хэйварда и Фредерикса. Она может легко быть расширена, чтобы включить мультислотовую нагрузку. Если каждый вызов требует d каналов в течение всего времени соединения то, разбивая нагрузку на d подпотоков, получим систему, где каждый вызов будет использовать единственный канал в каждой из подгрупп d. Тогда мы получим d идентичных системы с нагрузкой одного-единственного слота.
Вышеупомянутое разбиение нагрузки на g идентичных потоков нагрузки показывает, что вероятность блокировки, полученная методом Фредерикса-Хэйварда - потери по нагрузке. Равное разбиение нагрузки в любой момент времени подразумевает, что все потоки нагрузки g идентичны и таким образом имеют взаимную корреляцию, равную единице. В действительности, мы не можем разбить нагрузку коммутации каналов на идентичные g=2, и три канала заняты в данный момент времени, то можно, например, использовать два канала в одном подпотоке и один в другом. Но, так или иначе, мы получаем то же самое оптимальное использование как в полной системе, потому что всегда будем иметь доступ к свободному каналу в любой подгруппе (полная доступность). Корреляция между подпотоками становится меньше, чем единица. Вышеупомянутое положение является примером использования интеллектуальных стратегий для поддержки оптимальной полной доступности.
В секции 6.3.2 мы изучили разбиение процесса поступления вызовов, когда разбиение сделано случайным способом (Теорема Райкова 6.2). Этим разбиением не уменьшается отклонение процесса для случаев, когда процесс - Пуассоновский процесс или более регулярный. В результате процессы подпотока сходятся к Пуассоновским процессам. В этой мы рассмотрим разбиение процесса нагрузки, который включает и процесс поступления вызовов, и времена пребывания в системе. Процесс разбиения зависит от состояния. Большое время пребывания в системе единственного вызова приведет к нескольким новым вызовам в этом подпроцессе в течение следующего временного интервала, и процесс поступления вызовов больше не будет процессом рождения.
Большинство попыток улучшения и метода эквивалентности Фредерикса-Хэйварда основаны на сокращении корреляции между подпотоками, потому что процессы поступления вызовов для одного подпотока рассматриваются как процессы рождения, а времена пребывания в системе предполагаются экспоненциально распределенными. Из вышеупомянутых положений ясно, что рассмотренные подходы являются неудачными, потому что они не приводят к оптимальному разбиению нагрузки. В следующем примере мы убедимся, что оптимальное разбиение может быть реализовано для пакетов обслуживания нагрузки с постоянным размером пакета.
Если мы разбиваем поток нагрузки на р, то можно показать, что
где Z - пиковость из первоначального потока. Из этого случайного разбиения нагрузки мы видим, что пиковость сходится к единице при уменьшении р. Это соответствует Пуассоновскому процессу, и такой результат справедлив для любого процесса нагрузки.
Если необходима большая пропускная способность сети, чем предоставляет одиночный канал, то мы можем параллельно комбинировать больше каналов. В первоначальном источнике можно распределить нагрузку (пакеты или ячейки в ATM) циклическим способом по отдельным каналам, и в пункте назначения восстановить первоначальную информацию. Этим способом мы достигаем более высокую пропускную способность, арендуя очень дорогие широкополосные каналы. Если нагрузки содержит пакеты постоянного размера, то процесс передачи нагрузки можно разбить на множество идентичных потоков нагрузки и получить такое же использование, как в отдельной системе с полной емкостью. Этот принцип сначала эксплуатировался на датских сетях (Johansen и Johansen и Rasmussen, 1991 [53]), где была возможность комбинировать до 30 индивидуальных каналов цифровой сети интегрального обслуживания со скоростью 64 Кбит/с для передачи видеонагрузки при обслуживании самолетов.
Сегодня подобное оборудование применяется для того, чтобы объединить множество каналов со скоростью 2 Мбит/с, которые используются подключениями ATM с большей пропускной способностью. Этот метод называется Инверсное Мультиплексирование для ATM (
С точки зрения блокировки, средняя величина и дисперсия не обязательно характеризуют нагрузку оптимальным способом. Другие параметры могут лучше описать нагрузку. При вычислении ERТ методом блокировки мы имеем два уравнения с двумя неизвестными (9.6 и 9.7).
ВРР -модели нагрузки описывают нагрузку двумя параметрами, средней величиной и пиковостью, и поэтому являются естественными кандидатами для моделирования нагрузки двумя параметрами.
Тем не менее, исторически концепция и определение потерь по нагрузке имеют более ранние модели, исходящие из предложенной нагрузки, которые приводят к путанице, поскольку определяют потери по вызовам. Как отмечалось на рис. 8.6, для вычислений перегрузки имеют смысл только потери по нагрузке.
BРР -модель очень хорошо применима ко многим приложениям определения потерь по нагрузке.
Если мы применяем ВРР -модель к нагрузке перегрузки в примере 9.2.3, то получим А = 6,6095 и Z = 1,.4038. Это соответствует нагрузке Паскаля от S= 16,37 источников и $$\beta = 0,2876$$. Потери по нагрузке равны 20,52 %, что соответствует потерянной нагрузке 1,3563 Эрл., тогда вероятности блокировки для системы равняются Е= 1,3563/24 = 5.65 %. Этот результат дает достаточную точность.
Sanders и Haemers и Wilcke (1983 [23]) предложили другой простой и интересный метод эквивалентности, который также базировался на пространстве состояний. Мы называем его методом Сандера. Подобно методу Фредерикса и Хэйварда, он основан на преобразовании вероятностей состояния так, чтобы пиковость стала равной единице. Метод преобразовывает не Пуассоновскую нагрузку (среднее значение, дисперсия) = (т, v) в нагрузку потока с пиковостью единица, прибавляя к нему постоянный поток (нулевая дисперсия) нагрузки со средним значением v - т так, чтобы полная нагрузка имела среднее значение, равное дисперсии v. Постоянный поток нагрузки занимает непрерывно v-т каналов (без потерь), и этим мы увеличиваем число каналов. Таким способом мы получаем систему с п + (v-m) каналами, на которые поступает нагрузка т + (v - т) = v Эрл. Пиковость становится единицей, и вероятность блокир
овки может быть получена по В-формуле Эрланга, так что мы находим нагрузку, потерянную от С.
Вероятность блокировки касается первоначально предложенной нагрузки т. Метод применим для гладкой т > v и взрывной нагрузки т < v и требует только оценки по В-формуле Эрланга с непрерывным числом каналов.
Если мы применяем метод Сандера к примеру 9.2.3, то увеличиваем и число каналов, и предложенную нагрузку v - m = 2,6691 (каналов/Эрл.) и таким образом имеем 9,2786 Эрл, поступающие на 10,6691 каналов. Из В-формулы Эрланга находим потерянную нагрузку 1,3690 Эрл, что является приблизительным значением, но близко к результатам, полученным выше. Это соответствует вероятности блокировки Е = 1,3690/24 = 5.70 %.
Полученный ERT -метод базировался только на одном параметре, и можно, в принципе, сохранить п произвольным или фиксированным. Опыт показывает, что лучшие результаты получаются, если сохранить число каналов $$п_х = п$$. Мы находимся теперь в положении, когда можем только гарантировать, что средняя величина нагрузки перегрузки правильна. Этот метод назван методом эквивалентности Беркли (1934). Метод Уилкинсона-Бретшнайдера (Wilkinson-Bretschneider's) требует некоторого количества вычислений (компьютерных), тогда как метод Беркли основан исключительно на В-формуле Эрланга. Метод Беркли применим лишь для систем, где первичные группы имеют одинаковое число каналов.
Если мы применяем метод Беркли для примера 9.1.1, то получаем точное решение, и этот специальный случай порождает идею этого метода.
Снова рассматриваем пример 9.2.3. Чтобы применить правильно метод Беркли, мы должны иметь одинаковое число каналов во всех трех микроячейках. Предположим, что все микроячейки имеют 8 каналов (а не 16, 8, 0, соответственно). Чтобы получить нагрузку перегрузки 6,6095Эрл, эквивалентная предложенная нагрузка должна быть 13,72 Эрл на 8 первичных каналов. Эквивалентная система тогда имеет нагрузку 13,72 Эрл, поступающую на (8+8) = 16 каналов. Потерянная нагрузка, полученная из В-формулы Эрланга, равна 1,4588 Эрл, при вероятности блокировки 6,08 %. Это значение немного больше, чем правильное значение. Метод Беркли дает надежные результаты.
Все модели в Лекциях 7 и 8 использовали Пуассоновские потоки вызовов с интенсивностью, которая зависит от состояния, тогда как времена обслуживания являются экспоненциально распределенными с равной средней величиной для всех однородных приборов обслуживания. Все эти модели независимы от распределения времени обслуживания (то есть нечувствительны к значению вероятностей состояний, и зависят только от средней величины распределения времени обслуживания). Тогда мы можем обобщить модели, рассматривая больше общих процессов поступления вызовов. При использовании общих процессов поступления вызовов свойство независимости от распределения времени потеряно, и распределение времени обслуживания становится важным параметром. Если мы имеем только один процесс поступления вызовов и много процессов обслуживания (один для каждого из п обслуживающих приборов), тогда можно предположить, что время обслуживания экспоненциальное для того, чтобы избежать сложных моделей.
В секции 6.4 мы рассматривали прерывистый Пуассоновский процесс Качуры ( IPP ) (Kuczura, 1977 [71]), который характеризуется тремя параметрами и широко используется для моделирования нагрузки перегрузки. Возьмем полнодоступную группу с п обслуживающими приборами, на которые поступают вызовы, прибывающие согласно IPP (см. рис.6.7) с экспоненциально распределенными временами обслуживания.
Тогда мы можем создать диаграмму переходов состояний, как показано на рис.9.6. Диаграмма двухмерная. Состояние (i, j) обозначает, что есть i обслуживаемых вызовов (i = 0,1,..., n) , а процесс поступления вызовов находится в фазе j ( j = а, если идет процесс поступления вызовов, и j = b, если процесс возвращает вызов). Используя уравнения равновесия узлов, находим вероятности состояния равновесия p(i,j) .
Потери по времени E равны:
Потери по вызовам В равны:
Потери по нагрузке С определяются как соотношение предложенной нагрузки и потерянной нагрузки. Предложенная нагрузка равна:
Обслуженная нагрузка:
$$Y=\sum_{i=0}^n i*\{p(ia)+p(ib)\}.$$Из этого уравнения мы получаем С=(А- Y)/A. Фактически, потери по нагрузке будут равны потерям по вызовам, так как процесс поступления вызовов является процессом рождения. Но это трудно вывести из полученных выше результатов. Как показано в секции 6.4.1, интервалы поступления распределены по гиперэкспоненте Н2.
(рис 9.6) Диаграмма переходов состояний для полнодоступной системы с потерями с п обслуживающими приборами, IPP-процессом поступления вызовов (см. рис.6.7) и экспоненциально распределенным временем обслуживания.
В секции 6.4 мы отмечали, что процесс поступления вызовов Кокс-2 дает более общее представление процесса, чем IPP (Kuczura, 1977 [71]). Если мы рассматриваем процесс поступления вызовов Кокс-2, как показано на рис.4.10, то получаем диаграмму переходов состояний на рис.9.7. Из неё мы находим, согласно предположению о статистическом равновесии вероятности состояния, следующие критерии качества работы:
Потери по времени Е:
Потери по вызовам В:
Потери по нагрузке С. Предложенная нагрузка это среднее число среднего времени обслуживания, деленная на число попыток вызова. Средний интервал поступления:
Предложенная нагрузка тогда равна $$А = (т_а * \mu)^{-1}$$ Обслуженная нагрузка определяется по (9.22) с помощью рис.9.7, и таким образом мы находим потери по нагрузке С.
Если мы обобщим процесс поступления вызовов на процесс поступления вызовов Кокс-k, то диаграмма перехода состояний будет все еще двухмерной. При использовании распределения Кокса мы можем в принципе рассматривать любое число параметров.
Если мы обобщаем время обслуживания с использованием распределения Кокса- k, то диаграмма переходов состояний для n > 1 становится намного более сложной, потому что существует процесс обслуживания для каждого обслуживающего прибора, но только один процесс поступления вызовов. Поэтому мы всегда обобщаем процесс поступления вызовов и принимаем экспоненциально распределенные времена обслуживания.
(рис 9.7) Диаграмма переходов состояний для полнодоступной системы с потерями с п обслуживающими приборами, процесс поступления вызовов - Кокс-2 (см. рис. 4.10), и экспоненциально распределенным временем обслуживания
k заданным каналам из общего количества $$п(к \le п)$$.k каналы заняты, попытка вызова блокируется, даже если среди оставшихся (п-к) каналов есть свободные каналы.РСT -нагрузки.РСТ1.g потоков нагрузки называют эквивалентной нагрузкой перегрузки от единственной полнодоступной группы с тем же самым математическим ожиданием и дисперсией нагрузки перегрузки.ERT мы должны вычислить (m,v) для данных значений (А,n) и наоборот. Это требует применение итерационной процедуры.i, пропорциональна $$т_i$$ - средней величине и пиковости потока Z = v/m. (Нагрузка) вероятность блокировки для нагрузки потока i называется вероятностью блокировки пакета.n/Z каналов с предложенной нагрузкой A/Z, и таким образом пиковость Z= 1. Для последней системы мы можем применить В-формулу Эрланга, при этом следует учитывать, что В-формула Эрланга работает для непрерывного числа каналов.d каналов от своего начала и до завершения. Если вызов использует d каналов вместо одного (изменение масштаба), то средняя величина времени становится в d раз больше и дисперсия времени - больше в $$d^2$$ раз.ВРР -модели нагрузки описывают нагрузку двумя параметрами: средней величиной и пиковостью.= (т; v) в нагрузку потока с пиковостью Z, прибавляя постоянный поток (нулевая дисперсия) нагрузки со средним значением v-т так, чтобы полная нагрузка имела среднее значение равное дисперсии v.п обслуживающими приборами, на которые поступают вызовы, прибывающие согласно IPP с экспоненциально распределенными временами обслуживания, то можем создать диаграмму переходов состояний. Состояние (I, j) обозначает, что есть i обслуживаемых вызовов (i = 0,1,..., n) , а процесс поступления вызовов находится в фазе./ (J = a, если идет процесс поступления вызовов, и j = b, если процесс возвращает вызов). Используя уравнения равновесия узлов, мы находим вероятности состояния равновесия р (i,j) .
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.