Все эти модели не зависят от распределения времени обслуживания. Модели Энгсета и Паскаля не зависят также и от распределения свободного времени источников. После введения в секции 8.1 мы рассматриваем основную классическую теорию. В секции 8.2 рассмотрим биноминальный случай, где число источников S (абонентов, клиентов, заявителей) ограничено и число каналов я всегда достаточно $$(S \le n) $$. Для этой системы применяются уравнения равновесия, такие же, как и в случае Пуассоновского распределения (секция 7.2). Мы рассматриваем стратегию с явными потерями вызовов (
В секции 8.3 пойдет разговор о случае, когда число каналов ограничено так, чтобы оно стало меньше, чем число источников (n < S). Мы можем тогда рассмотреть блокировку и получим усеченное
Вероятность потерь по времени Е определяется формулой Энгсета. В системах с ограниченным числом источников потери по времени, потери по вызовам и потери по нагрузке различаются. Их зависимость определяется теоремой поступления заявок, которая утверждает: "вероятность состояния системы, наблюдаемой клиентом (математическое ожидание по вызовам), равна вероятности состояния системы без этого клиента
(рис 8.1) Полнодоступная система с потерями с S источниками, которая генерирует нагрузку на я каналов. Система показана в виде так называемой chicko-граммы. "Клюв" источника символизирует устройство выбора и указывает на каналы (обслуживающие приборы), которые может выбрать источник.(математическое ожидание по времени)". Формула Энгсета вычисляется с помощью рекурсивной формулы, при числе каналов п, полученной тем же самым способом, как и В-формула Эрланга.
Также получена рекурсивная формула для числа источников S и n, и для п и S вместе. Ее также называют моделью Паскаля, где интенсивность поступления вызовов увеличивается линейно с состоянием системы. Если число каналов ограничено, мы получаем у сеченное Отрицательное Биноминальное распределение (секция 8.7).
Мы рассматриваем систему, как имеющую ту же самую структуру (полнодоступная группа) и стратегию (потерянный вызов покидает систему без влияния на дальнейшие процессы), как и в Лекции 7. Далее мы предполагаем, что времена обслуживания являются экспоненциально распределенными с интенсивностью $$\mu$$ (средняя величина $$1/ \mu) $$ ; процесс нагрузки тогда становится процессом рождения и гибели, специальным марковским процессом, который является математически простым. Обычно мы определяем состояние системы как число занятых каналов. Все процессы, которые рассматриваются в Лекции 7 и 8, не зависят от распределения времени обслуживания, то есть среднее время обслуживания важно только для вероятностей состояния. Распределение самого времени обслуживания не имеет никакого влияния.
Определение предложенной нагрузки. В секции 2.1 мы определили предложенную нагрузку как нагрузку, которую может обслужить неограниченное число обслуживающих приборов, и это определение используется и для модели Энегсета, и для модели Паскаля. Предложенная нагрузка, таким образом, независима от числа обслуживающих приборов.
Только для стационарных процессов восстановления, таких, как Пуассоновский поток вызовов в случае модели Эрланга, это определение эквивалентно среднему числу попыток вызовов, которые поступают за среднее время обслуживания. В модели Энгсета и Паскаля процессы поступления вызовов - не процессы обновления, так как среднее время интервала зависит от фактического состояния.
Пиковость определяется как отношение между дисперсией и средней величиной вероятностей состояния. Для предложенной нагрузки пиковость рассматривается для бесконечного числа каналов.
Мы рассматриваем следующие процессы поступления вызовов (с первой моделью мы уже имели дело в Лекции 7):
Модель Эрланга (Р-Пуассоновская модель)
Процесс поступления вызовов - Пуассоновский процесс с интенсивностью $$\lambda$$. Этот тип нагрузки называется случайная нагрузка или Чистая Случайная Нагрузка первого типа один , РСТ1. Мы рассматриваем два случая:
Z=1.Модель Энегсета (5-Биноминальная модель):
Имеется ограниченное число источников S. Отдельный источник имеет постоянную интенсивность поступления вызовов (прибытие), когда он свободен. Когда он занят, интенсивность вызовов рана нулю.
Процесс поступления вызовов, таким образом, зависит от состояния. Если i /-тый источник занят, то интенсивность поступления вызовов равна (S-i).
Этот тип нагрузки назван Чистым Случайным Нагрузки типа Два, РСТII. Мы рассматриваем следующие два случая:
Z < 1.n < S: Усеченное Пусть имеется ограниченное число источников S. Если в данный момент мы имеем i занятых источников, тогда интенсивность прибытия равняется $$(S+i) \lambda$$.
Опять мы имеем два случая:
Z > 1.Так как Пуассоновский процесс может быть получен при бесконечном числе источников с ограниченной полной интенсивностью поступления вызовов $$\lambda$$, модель Эрланга можно рассматривать как специальный случай двух других случаев:
$$lim_{\{S \to \infty, \gamma \to 0\}} S_{\gamma}=\lambda$$Для любого конечного состояния i мы тогда имеем постоянную интенсивность поступления вызовов:
Третий тип нагрузки упоминается как ВРР-нагрузка (согласно сокращениям, данным выше: Биноминальная, и Пуассоновская, и Паскалевская). Эти модели включают все значения пиковости Z > 0, они могут использоваться для моделирования нагрузки с двумя параметрами: средняя величина и пиковость Z. Для произвольных значений Z число источников S вообще может стать не целым.
Рабочие характеристики: параметры рабочих характеристик для систем с потерями - потери по времени Е, потери по вызовам В, потери по нагрузке С и использование каналов. Среди них потери по нагрузке С - самая важная характеристика. Эти меры получены для каждой из вышеупомянутых моделей.
Мы рассматриваем систему с ограниченным числом источников (абонентов) S. Источник переключается из состояния "свободно" в состояние "занято" и наоборот. Свободный источник в течение временного интервала передает заявки с экспоненциально распределенной интенсивностью $$\gamma$$. Источник занят в течение экспоненциально распределенного временного интервала (время обслуживания, время пребывания в системе) с интенсивностью $$\mu$$ (рис.8.2). Этот вид источников называется спорадическими источниками или источники включить /выключить. Такой тип нагрузки называется Чистой Случайной Нагрузкой типа Два (РСТII) или псевдослучайной нагрузкой.
В этой секции предполагается, что число каналов/пучков каналов я больше или равняется числу источников $$(n \ge S) $$, так, чтобы не было потерь вызовов. Предполагается, что n и S - целые числа, но можно рассматривать и не целые значения чисел (Iversen и Sanders, 2001 [43]).
(рис 8.2) Каждый отдельный источник является либо свободным, либо занятым, и ведет себя независимо от всех других источников.Мы интересуемся только вероятностями устойчивых состояний (i). Они пропорциональны времени, которое процесс находится в состоянии [i]. Наши вычисления основаны на диаграмме переходов состояний на рис. 8.3. Мы рассматриваем сечения между соседними состояниями и находим:
(рис 8.3) Диаграмма переходов состояний изображает схематически Биноминальный случай (секция 8.2). Число источников S меньше или равно числу каналов $$n(n \le S) $$.
Все вероятности состояний могут быть выражены через р (0):
Полная сумма всех вероятностей должна быть равна единице:
$$1=p(0)* \left \{ 1+{S\choose 1}*\left (\frac{\gamma}{\mu} \right)^1+{S\choose 2}*\left (\frac{\gamma}{\mu}\right)^2+\dots+{S\choose S}*\left(\frac{\gamma}{\mu} \right)^S \right\}\\ =p(0)*\left\{1+\frac{\gamma}{\mu} \right \}^S,$$где мы использовали развернутый
Параметр $$\beta$$ - предложенная нагрузка на свободный источник (число попыток вызова в единицу времени для свободного источника - предложенная нагрузка от занятого источника является нулевой), тогда мы находим:
$$p(i)= {S\choose i}*\beta^i*\frac{1}{(1+\beta)^S}\\ = {S\choose i}*\left(\frac{\beta}{1+\beta}\right)^i*\left(\frac{1}{1+\beta}\right)^{S-i},$$это выражение называется
В том случае, когда попытка вызова от свободного источника никогда не блокируется, параметр а равен обслуженной нагрузке у на один источник (а=у) - он является эквивалентным вероятности того, что источник занят в случайный момент времени. Это также видно из рис.8.2, так как все точки поступления и возврата на осях времени - точки регенерации (точки равновесия). Цикл от начала занятого состояния (поступления) до начала следующего занятого состояния представлен для всей оси времени, и математические ожидания времени получены в среднем по одному циклу. Заметим, что для систем с блокировкой мы имеем $$у \ne а$$ (см. секцию 8.3).
Биноминальное распределение, полученное в (8.4), иногда в теории телетрафика называют
Формула (8.4) может быть получена с применением элементарных соображений. Все абоненты могут быть разбиты на два класса: свободные и занятые. Существует вероятность того, что произвольный абонент принадлежит классу занятых (у= а) и не зависит от состояния всех других абонентов, так как система не имеет блокировки, и попытки вызова всегда принимаются. Есть всего S абонентов (источников), и вероятность того, что i источников заняты в произвольный момент p(i), определяется
Мы суммируем определения параметров, данные выше:
$$\gamma - \mbox{интенсивность вызова на свободный источник} $$ $$\frac{1}{\mu} - \mbox{означает время обслуживания (удержания)}$$ $$\beta=\frac{\gamma}{\mu} - \mbox{предложенная нагрузка на свободный источник} $$По определению, предложенная нагрузка источника равна обслуженной нагрузке в системе без потерь, где источник свободно переключается между состоянием свободно и занято. Поэтому мы имеем следующее определение предложенной нагрузки:
$$a=\frac{\beta}{1+\beta} - \mbox{удельная нагрузка} $$ $$A=S \times a \mbox{ полная предложенная нагрузка} $$ $$y - \mbox{обслуженная нагрузка на один источник} $$ $$Y=S \times y - \mbox{полная обслуженная нагрузка }$$Предложенная нагрузка на свободный источник - понятие, трудное для практического применения, потому что соотношение времени, когда источник является свободным, зависит от потерь. Число вызовов, предлагаемых источником, зависит от числа каналов (обратная связь): высокая перегрузка каналов приводит к увеличению продолжительности пребывания источников вызова в состоянии "свободно". Это, в свою очередь, приводит к увеличению числа попыток вызова.
Потери по времени:
$$E=0 \qquad S < n,\\ E=p(n)=a^n \qquad S=n$$Обслуженная нагрузка:
$$Y=S*y=\sum_{i=0}^0 i*p(i)\\ =S*a=A,$$она является средней величиной Биноминального распределения (8.4). В этом случае без блокировки мы, конечно, имеем а=у и, кроме того, выполняются следующие соотношения. Потери по нагрузке:
Число попыток вызовов в единицу времени:
$$\Lambda = \sum_{i=0}^0 p(i)*(S-i) \gamma\\ =\gamma S - \gamma * \sum_{i=0}^0 i*p(i)=\gamma S- \gamma Sa\\ =S \gamma *(1-y).$$Когда все вызовы приняты, мы получаем: Перегрузка по вызовам
$$B=0$$Нагрузка, обслуживаемая каналом v.
Случайный поиск:
$$A_v=\frac Yn=\frac{S*y}{n}.$$Последовательный поиск: это сложное выражение, полученное L.A. Joys (1971 [56]).
Функция увеличения:
$$F_n(A)=Y_{n+1}-Y_n=0$$Пиковость (табл. 6.1):
$$Z=\frac{\sigma^2}{\mu}=\frac{S*a*(1-a)}{S*a},\\ Z=1-a=\frac{1}{1+ \beta} < 1.$$Мы видим, что пиковость Z нe зависит от числа источников и всегда меньше единицы, что соответствует сглаженной нагрузке.
Продолжительность состояния i экспоненциально распределена со скоростью:
$$\gamma(i)=(S-i)*\gamma +I * \mu, 0 \le i \le S \le n.$$Конечная исходная нагрузка характеризуется числом источников S и предложенной нагрузкой от одного свободного источника $$\beta$$ Альтернативно, на практике мы часто используем предложенную нагрузку и пиковость Z. Мы имеем следующие отношения между этими двумя представлениями:
Единственная разница по сравнению с материалами секции 8.2 - то, что число источников S теперь больше или равно числу пучков каналов (каналам), $$S \ge n $$. Поэтому, попытки вызова могут быть потеряны.
(рис 8.4) Диаграмма переходов состояний для случая распределения Энгсета с S>n, где S - число источников и n - число каналов.Уравнения сечения идентичны (8.1), но они существуют только для $$0 \le i \le n $$ (рис.8.4). Уравнение нормализации (8.2):
$$1=p(0)*\left \{ 1+ {S\choose 1}*{\gamma \choose \mu}+\dots +{S\choose n}*{\gamma \choose \mu}^n \right \}.$$Из него мы получаем p(0) и, подставляя $$\beta = \frac{\gamma}{\mu} $$, получаем вероятности состояния, которые равны:
Тем же самым способом, который мы применяли выше, используя (8.8), мы можем переписать это выражение в форме, которая является аналогом (8.4):
$$p(i)=\frac{{S\choose i}*a^i*(1-a)^{S-i}}{\sum_{j=0}^n {S\choose j}*a^j*(1-a)^{S-j}}, 0 \le i \le n,$$S - число источников и n - число каналов.
Потери по времени Е, по определению, пропорциональны времени блокирования системы для новых попыток вызова, то есть р(n) (8.24):
Потери по вызовам В, по определению, пропорциональны числу потерянных попыток вызова. Блокируются только попытки вызова, достигающие системы в состоянии п. В течение одной единицы времени мы получаем следующее отношение между числом блокированных попыток вызова и общим количеством попыток вызова:
Используя
$${S\choose i}*\frac{S-i}{S}={S-1\choose i}$$мы имеем:
$$B_{n,S}(\beta)=\frac{{S-1\choose n}*\beta^n}{\sum_{j=0}^n{S-1\choose j}*\beta^j},\\ B_{n,S}(\beta)=E_{n,S-1}(\beta), S \ge n.$$Этот результат можно интерпретировать следующим образом. Вероятность того, что попытка вызова от случайного источника (абонента) будет отклонена, равна вероятности того, что остальные (S-1) источники заняли все п каналов. Это называется теоремой поступления, и можно показать, что она справедлива для систем с явными потерями и для систем с ожиданием и ограниченным числом источников. Результат основан на вычислении произведения среди источников и свертывании источников. Поскольку Е увеличивается, когда увеличивается S, мы имеем:
Теорема 8.1. Теорема поступления: Для всех систем с ограниченным числом источников, случайный источник при поступление заявки будет наблюдать состояние системы так, как будто сам источник не принадлежит этой системе.
Свойство PASTA включено в этот случай, потому что бесконечное число источников минус один есть бесконечное число.
Обслуженная нагрузка: применяя уравнение сечения между состоянием [i - 1] и состоянием [i], мы получаем:
Поскольку $$Е= Е_п, S (\beta) =р(п) $$. Последнее уравнение решается относительно Y:
Потери по нагрузке $$С = C_{n,S} (А) $$. Это самая важная характеристика потерь. Предложенная нагрузка дается в (8.20), и мы получаем:
$$C=\frac{A-Y}{A}\\ =\frac{\frac{S \beta}{1 +\beta}-\frac{\beta}{1 + \beta}*\{S-(S-n)*E\}}{\frac{S \beta}{1+ \beta}},\\ C=\frac{S-n}{S}*E.$$Мы можем также найти обслуженную нагрузку, если знаем потери по вызовам В. Число попыток принятия вызовов от источника, который находится в свободном состоянии, в среднем $$\frac{1}{\gamma}$$ в единицу времени прежде, чем источник сгенерирует одну попытку вызова - 1(1-В), и каждый принятый вызов имеет среднюю продолжительность $$1/\mu$$ - Таким образом, обслуженная нагрузка на один источник есть соотношение времени: когда источник является занятым, она будет:
Полная обслуженная нагрузка будет:
$$Y=S*y=S*\frac{\beta (1-B)}{1+\beta (1-B)}.$$Приравнивая эти два выражения для обслуженной нагрузки (8.31) и (8.33), мы получаем следующее отношение между Е и В:
Число попыток вызова в единицу времени:
$$\Lambda = \sum_{i=0}^n p(i)*(S-i) \gamma\\ \Lambda = (S-Y)*\gamma,$$где Y - обслуженная нагрузка (8.28). Таким образом, из уравнения (S-Y) среднее число свободных источников является очевидным. Исторически, полная предложенная нагрузка была определена как $$\Lambda / \mu$$. Это, однако, вводит в заблуждение, потому что мы не можем принять, что каждая повторная попытка вызова имеет среднее время пребывания в системе, равное $$1/ \mu$$ -Также это определение создает большое неудобство, потому что предложенная нагрузка по этому определению зависит от состояния системы (числа занятых каналов). Также возможно, что немногие из доступных обслуживающих много попыток вызова устройств блокированы, а свободные источники с более высоким средним временем поступления вызовов генерируют больше попыток вызова в единицу времени.
Потерянная нагрузка:
$$A_l=A*C\\ =S\frac{\beta}{1+ \beta}*\frac{S-n}{S} E\\ = \frac{(S-n) \beta}{1+ \beta}*E.$$Продолжительность состояния i Оно является экспоненциально распределенным с интенсивностью:
$$\gamma (i)=(S-i) * \gamma +i* \mu, \qquad 0 \le i \le n,\\ \gamma (n) = n \mu, \qquad i=n$$Функция увеличения:
$$F_{n,S}(A)=Y_{n+1}-Y_n$$Выше мы определили вероятности состояния p(i), согласно предположению о статистическом равновесии, как часть времени, которое система находится в состоянии i, то есть как математическое ожидание времени. Мы можем также исследовать, как выглядит система, когда выполняется равновесие между поступлением и возвратом вызова отправляющим источником (пользователем) (математическое ожидание вызова). Если мы рассматриваем одну единицу времени то, в среднем, в системе будет $$(S-i)\gamma p(i) $$ источников в состоянии [i] перед моментом поступления вызова, и если вызов принят, то он переведёт систему в состояние [i+1].
Источники, которые наблюдают систему в состоянии п, блокированы или остаются свободными. Поэтому источники, от которых поступает вызов прибытия, наблюдают систему в состоянии [i] с вероятностью:
Используя метод аналогового дифференцирования выражения (8.27), мы можем показать, что в соответствии с теоремой поступления (Теорема 8.1) мы имеем:
$$\pi_{n,S, \beta}(i)=p_{n,S-1, \beta}(i-1), i=0,1, \dots , n.$$Когда источник оставляет систему, система находится в состоянии [i-1] с вероятностью:
Применяя уравнения сечения, мы немедленно убеждаемся, что это соотношение идентично (8.39), если включить в рассмотрение блокированных абонентов. Таким образом, источники покидают систему в том же самом состоянии, в котором они в нее прибывают. Процесс будет, обратим и нечувствителен к распределению времени обслуживания. Если бы мы непрерывно наблюдали состояние системы, то не могли бы определить, выполняется ли время прямое действие (вызов) или обратный (выход из системы).
Из (8.34) мы получаем следующее отношение между $$E=E_{n,S}(\beta)$$ и $$B=B_{n,S}(\beta)=E_{n,S-1}(\beta)$$
$$E=\frac{S}{S-n}*\frac{B}{1+ \beta (1-B)} \mbox{ или } \frac 1E=\frac{S-n}{S}\left \{(1+\beta)*\frac 1B - \beta \right \},$$ $$B=\frac{(S-n)*E*(1+ \beta)}{S+(S-n)*E* \beta} \mbox{ или } \frac 1B=\frac{1}{1+ \beta} \left \{ \frac{S}{S-n}* \frac 1E + \beta \right \}$$Выражения с правой стороны линейны по отношению к вероятностям блокировки. В (8.32) мы получили следующее простое отношение между С и Е:
Если мы в (8.44) подставим Е, выраженное через (8.42), то мы получаем С, выраженное через В:
Это отношение между В и С является общим и может также быть получено следующим образом. Обслуженная нагрузка Y соответствует $$(У* \mu ) $$ принятых попыток вызова в единицу времени. Среднее число свободных источников - (S-Y), так что среднее число попыток вызова в единицу времени - $$(S-Y) \gamma$$ (8.35).
Потери по вызовам тогда равны:
$$B=\frac{(S-Y) \gamma - Y * \mu}{(S-Y) \gamma}\\ =\frac{(S-Y) \beta - Y}{(S-Y) \beta}.$$По определению Y= (1 - C), и из (8.20) имеем $$S=А( 1 + \beta)/ \beta$$. Подставляя это выражение, мы имеем:
Из последнего уравнения видно, что для малых значений потерь по вызовам В потери по нагрузке Z в несколько раз больше, чем потери по вызовам:
Если мы пробуем вычислить числовые значения непосредственно по формуле Энгсета из (8.26) (потери по времени Е ), то возникают проблемы расчета для больших значений S и п. Ниже мы получим различные рекурсивные формулы для Е и для его обратной величины $$I=1/E$$. Когда потери по времени Е известны, можно просто получить потери по вызовам В и потери по нагрузке С, используя формулы (8.43) и (8.44). В числовой форме также просто найти любой из этих четырех параметров $$S, \beta, n, Е$$, когда мы знаем три из них. Математически мы можем предположить, что п и S не являются целыми числами.
Из общей, рекурсивной формулы (7.27) для я, используя $$\lambda_х = (S-x) \gamma$$ и $$\beta = \frac{\gamma}{\mu}$$, мы получаем
$$E_{x,S}(\beta)=\frac{\frac{\gamma_{x-1}}{x \mu}*E_{x-1,S}(\beta)}{1+\frac{\gamma_{x-1}}{x \mu}*E_{x-1,S}(\beta)},\\ E_{x,S}(\beta)=\frac{(S-x+1) \beta * E_{x-1, S}(\beta)}{x+(S-x+1) \beta * E_{x-1, S}(\beta)}, E_{0,S}(\beta)=1.$$Используя обратную формулу потерь по времени $$I_{n,S}(\beta)=\frac{1}{E_{n,S}(\beta)}$$, мы находим рекурсивную формулу:
$$I_{x,S}(\beta)=1+\frac{x}{(S-x+1) \beta} I_{x-1, S}(\beta), I_{0,S}(\beta)=1.$$Число итераций равно п. Обе формулы (8.50) и (8.51) аналитически точны и представляют собой устойчивые при приближенных вычислениях и точные рекурсии для растущих значений х. Однако для уменьшающихся значений х числовые ошибки накапливаются и рекурсии недостоверны.
Обозначим нормализованные вероятности состояния системы с п каналами и S-1 источниками $$p_{n, S-1}(i)$$. Мы получаем вероятности состояния системы с S источниками и п каналами, сочетая эти вероятности состояния с вероятностями состояния одиночного источника, которые обозначаются $$\{р_{1,1}(0) = 1 - а, р_{1,1} (1) = а_g \}$$. Мы тогда получим состояние от нуля до п + 1, ограничиваем пространство состояний до n и нормализуем вероятности состояния (см. Пример 3.2.1) (принимая, что р(х) = 0, когда x < 0 ):
Полученные вероятности состояния $$q_{n,S}(i) $$ не нормализованы, потому что мы ограничиваем состояния числом [n] и исключаем последние элементы, начиная с состояния $$[n+1], q_{n,S}(n+1)=a*р_{m,S-1}(n) $$. Нормализованная вероятность состояния $$р_{n,S}(i) $$ для системы с S источниками и п каналами, таким образом, получается из нормализованной вероятности состояния $$p_{n,S-1}(i) $$ для системы с $$S-1$$ источником:
Потери по времени $$Е_{n,S}(\beta) $$ для системы с S источниками могут быть выражены потерями по времени $$Е_{n,S-1}(\beta) $$ для системы с S-1 источниками. Подставляя (8.52) в (8.53), получаем:
где мы использовали уравнение равновесия между состоянием [n-1, S - 1] и состоянием [n, S-1]. Заменяя а на(8.8), мы получаем:
Таким образом, получаем следующую рекурсивную формулу:
$$E_{n,S}(\beta)=\frac{S}{S-n}*\frac{E_{n,S-1}(\beta)}{1+\beta\{1-E_{n,S-1}(\beta)\}}, S > n, E_{n,n}(\beta)=a^n.$$Начальное значение получено от (8.12). Находим обратное значение вероятности блокировки I= 1/E:
Для того чтобы увеличить S, нужно, чтобы число итераций было S-n. Однако числовые ошибки накапливаются из-за умножения с (S/(S-n)) таких умножений больше чем одно, и применимость этой формулы ограничена. Поэтому рекомендуют использовать рекурсию (8.58), приведенную в следующей секции для того, чтобы увеличить S. Чтобы уменьшить S, вышеупомянутая формула аналитически точна и в числовой форме устойчива. Однако начальное значение должно быть известно заранее.
Если подставить (8.50) в (8.55), соответственно (8.51) в (8.56), мы находим:
$$E_{n,S}(\beta)=\frac{Sa \cdot E_{n-1, S-1}(\beta)}{n+(S-n)a \cdot E_{n-1,S-1}(\beta)},\ E_{0,S-n}(\beta)=1,$$ $$I_{n,S}(\beta)=\frac{n}{Sa}*I_{n-1, S-1}(\beta)+\frac{S-n}{S},\ I_{0,S-n}(\beta)=1,$$которые являются рекурсивными и относительно числа обслуживающих приборов, и относительно числа источников. Обе из этих рекурсий в числовой форме точны при процессе увеличения показателей и числа итераций n (Joys, 1967 [54]).
Из материалов, рассмотренных выше, мы можем сделать следующие заключения для рекурсивной формулы Энегсета. При вычислении с увеличением значения параметра рекурсивные формулы (8.50) и (8.51) очень точны, и формулы (8.57), и (8.58) почти хороши. Рекурсивные формулы (8.55) и (8.56) неточны при увеличении значения параметра, но в отличие от других, устойчивы при уменьшении значения. Вообще, можно заметить, что рекурсия, которая является точной в одном направлении, будет неточна в противоположном направлении.
Мы рассматриваем систему с потерями Энгсета, имеющую n=3 канала и S= 4 источника. Скорость поступления вызовов от свободного источника - $$\gamma= 1/3$$ вызовов в единицу времени, и среднее время обслуживания ( $$1/\mu$$ ) равно 1 в единицу времени. Мы находим следующие параметры:
| $$\beta=\frac{\gamma}{\mu}=\frac 13$$ | Эрл. ( предложенная нагрузка на один свободный источник); |
| $$a=\frac{\beta}{1+\beta}=\frac 14$$ | Эрл. ( предложенная нагрузка на один свободный источник); |
| $$Z=1- \frac AS=\frac 34$$ | (пиковость). |
Из диаграммы переходов состояний мы получаем следующую таблицу:
| $$i$$ | $$\gamma(i)$$ | $$\mu(i)$$ | $$q(i)$$ | $$p(i)$$ | $$i*p(i)$$ | $$\gamma(i)*p(i)$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 4/3 | 0 | 1.0000 | 0.3176 | 0.0000 | 0.4235 |
| 1 | 3/3 | 1 | 1.3333 | 0.4235 | 0.4235 | 0.4235 |
| 2 | 2/3 | 2 | 0.6667 | 0.2118 | 0.4235 | 0.1412 |
| 3 | 1/3 | 3 | 0.1481 | 0.0471 | 0.1412 | 0.0157 |
| Total | 3.1481 | 1.0000 | 0.9882 | 1.0039 |
Мы находим следующие вероятности блокировки.
Потери по времени:
$$E_{3,4} \left ( \frac 13 \right )=p(3)=0.0471,$$Потери по нагрузке:
$$C_{3,4} \left ( \frac 13 \right )=\frac{A-Y}{A}=\frac{1-0.9882}{1}=0.0118,$$Потери по вызовам:
$$B_{3,4} \left (\frac 13 \right )=\{\gamma (3)*p(3)\}/\left \{ \sum_{i=0}^3 \gamma(i)*p(i)\right \}=\frac{0.0157}{1.0039}=0.0156.$$Заметим, что Е>В>С, и это является общим результатом для модели Энгсета (8.49) и (рис.8.6).
Применяя рекурсивную формулу (8.51) мы, конечно, получаем те же самые результаты:
$$E_{0,4}\left (\frac 13 \right)=1\\ E_{1,4}\left (\frac 13 \right)=\frac{(4-1+1)*\frac 13*1}{1+(4-1+1)*\frac 13*1}=\frac 47,\\ E_{2,4}\left (\frac 13 \right)=\frac{(4-2+1)*\frac 13*\frac 47}{2+(4-3+1)*\fac 13 *\frac 47}=\frac 29,\\ E_{3,4}\left (\frac 13 \right)=\frac{(4-3+1)*\frac 13*\frac 29}{3+(4-3+1)*\frac 13 *\frac 29}=\frac{4}{85}=0.0471$$Можно оценить влияние ограничения числа источников, рассматривая либо потери по времени, либо потери по вызовам, либо потери по нагрузке. Значения потерь показаны на рис. 8.6 для фиксированного числа каналов я, фиксированной предложенной нагрузки А и увеличивающегося значения пиковости Z, соответствующего множеству источников S, который определяется как S=A/(1-Z) (8.23).
Предложенная нагрузка определяется как нагрузка, которую можно обслужить в системе при отсутствии блокировки ( п=1 ). Здесь
Z=1 соответствует Пуассоновскому потоку вызовов (В-формула Эрланга, Е=В=С ). Для Z< 1 мы получаем модель Энгсета, и для этого случая потери по времени Е являются больше, чем потери по вызовам В которые, в свою очередь, являются больше, чем потери по нагрузке С. Для Z>1 мы получаем модель Паскаля (секции 8.6 и 8.7 и пример 8.7.1).
В Биноминальной модели интенсивность прибытия уменьшается линейно с увеличивающимся числом занятых источников. Пальма и Вальстром ввели модель, где интенсивность прибытия увеличивается линейно с числом занятых источников (Wallstrom, 1964 [100]). Интенсивность прибытия в состоянии i равна:
где $$\gamma$$ и S - положительные константы. Время пребывания в системе все еще принимается экспоненциально распределенным с интенсивностью $$\mu$$.
В этой секции примем, что число каналов бесконечно. Мы составляем диаграмму переходов состояний (рис. 8.5 с п равным бесконечности) и находим устойчивые вероятности состояния, которые существуют только для $$\gamma < \mu$$.
Мы получаем вероятности состояния:
$$p(i)={-S\choose i}*\left (-\frac {\gamma}{\mu} \right )^i \left (1-\frac{\gamma}{\mu} \right )^S, 0 \le i \le \infty, \gamma < \mu,$$где
$${-S\choose i}=(-1)^i*{S+i-1\choose i}.$$Формула (8.60) - отрицательное
Мы рассматриваем тот же самый процесс и тип нагрузки, как в секции 8.6, но теперь ограничим число обслуживающих приборов конечным числом п. Ограничение $$\gamma < \mu$$ более не нужно, так как мы всегда будем получать статистическое равновесие с конечным числом состояний. Диаграмма переходов состояний показана на рис. 8.5, и вероятности состояния равны:
Это усеченное отрицательное
С этими подстановками все формулы модели Бернулли/Энгсета справедливы для усеченного распределения Паскаля, и для числовой оценки могут быть использованы те же самые компьютерные программы.
Можно показать, что вероятности состояния (8.62), подобно вероятностям состояния для систем с потерями Эрланга и Энгсета, справедливы для произвольного распределения времени пребывания в системе (Iversen, 1980 [38]).
Если принять экспоненциально распределенные времена пребывания в системе, эта модель имеет те же самые вероятности состояния как первая нормальная форма Пальма. То есть система с Пуассоновским потоком вызовов имеет случайно распределенную интенсивность, как и гамма-распределение (интервалы поступления) становится распределенным по Парето. Такое распределение является медленно убывающим распределением. Эта модель используется для того, чтобы моделировать потерянную нагрузку, которая имеет пиковость больше единицы. Таким образом, мы получаем из (8.21) с помощью вышеупомянутой подстановки (8.64):
$$Z=\frac{1}{1- \beta} ^gt; 1, \\ \beta=\frac{\gamma}{\mu} < 1$$Это усеченное отрицательное
(рис 8.5 ) Диаграмма переходов состояний для модели Паскаля (усеченная отрицательная биноминальная модель)На рис.8.6 мы принимаем число каналов n и при фиксированной предложенной нагрузке вычисляем вероятности блокировки, чтобы увеличить пиковость Z. Для Z>1 мы получаем модель Паскаля. Для этого случая потери по времени Е - меньше, чем потери по вызовам В, которые, в свою очередь, меньше, чем потери по нагрузке С.
Мы видим, что потери по времени и потери по вызовам имеют максимальное значение. Только потери по нагрузке дает разумное описание рабочих характеристик системы.
Рассмотрим систему с потерями Паскаля с n=4 каналами и S=2 источниками. Интенсивность поступления $$\gamma=1/3$$ вызовов/ в единицу времени на свободный источник, и среднее время пребывания в системе $$(1/\mu) $$ - одна (1) единица времени. Мы находим следующие параметры для модели Энгсета, предположив, что S=-2 (8.63) и = -1/3 (8.64):
| $$i$$ | $$\gamma(i)$$ | $$\mu(i)$$ | $$q(i)$$ | $$p(i)$$ | $$i*p(i)$$ | $$\gamma(i)*p(i)$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0.6667 | 0 | 1.0000 | 0.4525 | 0.0000 | 0.3017 |
| 1 | 1.0000 | 1 | 0.6667 | 0.3017 | 0.3017 | 0.3017 |
| 2 | 1.3333 | 2 | 0.3333 | 0.1508 | 0.3017 | 0.2011 |
| 3 | 1.6667 | 3 | 0.1481 | 0.0670 | 0.2011 | 0.1117 |
| 4 | 2.0000 | 4 | 0.0617 | 0.0279 | 0.1117 | 0.0559 |
| Total | 2.2099 | 1.0000 | 0.9162 | 0.9721 |
Из диаграммы переходов состояний мы получаем следующие параметры:
(рис 8.6) Потери по времени Е, потери по вызовам В и потери по нагрузке С как функция пиковости Z для РРР-нагрузки в системе с я=20 пучками каналов и предложенной нагрузкой =15 Эрл. Подробные комментарии даются в примерах 8.5.2 и 8.7.1. Для приложений самой важной характеристикой являются потери по нагрузке С, так как это почти линейная функция пиковостиМы находим следующие вероятности блокировки.
Потери по времени:
$$E_{4,-2}\left ( - \frac 13 \right )=p(4)=0.0279.$$Потери по нагрузке:
$$C_{4,-2} \left (-\frac 13 \right )=\frac{A-Y}{A}=\frac{1-0.9162}{1}=0.0838.$$Потери по вызовам:
$$B_{4,-2} \left ( -\frac 13 \right)=\frac{\{\gamma (4)*p(4)\}}{\{\sum_{i=0}^4 \gamma(i)*p(i)\}}=\frac{0.0559}{0.9721}=0.0575.$$Заметим, что Е<В<С является общим результатом для случая Паскаля. Используя для этого случая рекурсивную формулу для модели Энгсета случая (8.50), мы получаем те же самые результаты:
ВРР - S (абонентов, клиентов, заявителей) ограничено, а число каналов п всегда достаточно ( $$S \le n$$ ).n < S ).S. Отдельный источник имеет постоянную интенсивность поступления вызовов (прибытие), когда он свободен. Когда он занят, интенсивность вызовов рана нулю.S. Если в данный момент мы имеем / занятых источников, то интенсивность прибытия равняется $$(S+i)\gamma$$.Вероятности состояния модели Энгсета:
$$p(i)=\frac{{S\choose i}*a^i*(1-a)^{S-i}}{\sum_{j=0}^n {S\choose j}*a^j*(1-a)^{S-j}}, 0 \le i \le n$$Потери по времени Е, по определению, пропорциональны времени, когда система заблокирована для новых попыток вызова:
Потери по вызовам В, по определению, пропорциональны числу потерянных попыток вызова:
Потери по нагрузке выражаются следующей формулой:
$$\frac{S-n}{S}*E$$Обслуженная нагрузка на один источник выражается следующей формулой:
$$\frac{(1-B)/\mu}{1/ \gamma +(1-B)/\mu}$$Полная обслуженная нагрузка выражается следующей формулой:
$$S*\frac{\beta (1-B)}{1+ \beta (1-B)}$$Число попыток вызова в единицу времени:
$$\Lambda = \sum_{i=0}^n p(i)*(S-i) \gamma\\ \Lambda = (S-Y)* \gamma,$$где Y - обслуженная нагрузка.
Потерянная нагрузка:
$$A_l=A*C\\ =S \frac{\beta}{1+\beta}*\frac{S-n}{S}E\\ =\frac{(S-n) \beta}{1+ \beta}*E$$Пальма и Вальстром ввели модель, где интенсивность прибытия увеличивается линейно с числом занятых источников (Wallstrom, 1964 [100]). Интенсивность прибытия в состоянии $$i$$ равна:
$$\gamma_i=\gamma * (S+i), 0 \le i \le n$$и
Усеченное отрицательное
Все эти модели не зависят от распределения времени обслуживания. Модели Энгсета и Паскаля не зависят также и от распределения свободного времени источников. После введения в секции 8.1 мы рассматриваем основную классическую теорию. В секции 8.2 рассмотрим биноминальный случай, где число источников S (абонентов, клиентов, заявителей) ограничено и число каналов я всегда достаточно $$(S \le n) $$. Для этой системы применяются уравнения равновесия, такие же, как и в случае Пуассоновского распределения (секция 7.2). Мы рассматриваем стратегию с явными потерями вызовов (
В секции 8.3 пойдет разговор о случае, когда число каналов ограничено так, чтобы оно стало меньше, чем число источников (n < S). Мы можем тогда рассмотреть блокировку и получим усеченное
Вероятность потерь по времени Е определяется формулой Энгсета. В системах с ограниченным числом источников потери по времени, потери по вызовам и потери по нагрузке различаются. Их зависимость определяется теоремой поступления заявок, которая утверждает: "вероятность состояния системы, наблюдаемой клиентом (математическое ожидание по вызовам), равна вероятности состояния системы без этого клиента
(рис 8.1) Полнодоступная система с потерями с S источниками, которая генерирует нагрузку на я каналов. Система показана в виде так называемой chicko-граммы. "Клюв" источника символизирует устройство выбора и указывает на каналы (обслуживающие приборы), которые может выбрать источник.(математическое ожидание по времени)". Формула Энгсета вычисляется с помощью рекурсивной формулы, при числе каналов п, полученной тем же самым способом, как и В-формула Эрланга.
Также получена рекурсивная формула для числа источников S и n, и для п и S вместе. Ее также называют моделью Паскаля, где интенсивность поступления вызовов увеличивается линейно с состоянием системы. Если число каналов ограничено, мы получаем у сеченное Отрицательное Биноминальное распределение (секция 8.7).
Мы рассматриваем систему, как имеющую ту же самую структуру (полнодоступная группа) и стратегию (потерянный вызов покидает систему без влияния на дальнейшие процессы), как и в Лекции 7. Далее мы предполагаем, что времена обслуживания являются экспоненциально распределенными с интенсивностью $$\mu$$ (средняя величина $$1/ \mu) $$ ; процесс нагрузки тогда становится процессом рождения и гибели, специальным марковским процессом, который является математически простым. Обычно мы определяем состояние системы как число занятых каналов. Все процессы, которые рассматриваются в Лекции 7 и 8, не зависят от распределения времени обслуживания, то есть среднее время обслуживания важно только для вероятностей состояния. Распределение самого времени обслуживания не имеет никакого влияния.
Определение предложенной нагрузки. В секции 2.1 мы определили предложенную нагрузку как нагрузку, которую может обслужить неограниченное число обслуживающих приборов, и это определение используется и для модели Энегсета, и для модели Паскаля. Предложенная нагрузка, таким образом, независима от числа обслуживающих приборов.
Только для стационарных процессов восстановления, таких, как Пуассоновский поток вызовов в случае модели Эрланга, это определение эквивалентно среднему числу попыток вызовов, которые поступают за среднее время обслуживания. В модели Энгсета и Паскаля процессы поступления вызовов - не процессы обновления, так как среднее время интервала зависит от фактического состояния.
Пиковость определяется как отношение между дисперсией и средней величиной вероятностей состояния. Для предложенной нагрузки пиковость рассматривается для бесконечного числа каналов.
Мы рассматриваем следующие процессы поступления вызовов (с первой моделью мы уже имели дело в Лекции 7):
Модель Эрланга (Р-Пуассоновская модель)
Процесс поступления вызовов - Пуассоновский процесс с интенсивностью $$\lambda$$. Этот тип нагрузки называется случайная нагрузка или Чистая Случайная Нагрузка первого типа один , РСТ1. Мы рассматриваем два случая:
Z=1.Модель Энегсета (5-Биноминальная модель):
Имеется ограниченное число источников S. Отдельный источник имеет постоянную интенсивность поступления вызовов (прибытие), когда он свободен. Когда он занят, интенсивность вызовов рана нулю.
Процесс поступления вызовов, таким образом, зависит от состояния. Если i /-тый источник занят, то интенсивность поступления вызовов равна (S-i).
Этот тип нагрузки назван Чистым Случайным Нагрузки типа Два, РСТII. Мы рассматриваем следующие два случая:
Z < 1.n < S: Усеченное Пусть имеется ограниченное число источников S. Если в данный момент мы имеем i занятых источников, тогда интенсивность прибытия равняется $$(S+i) \lambda$$.
Опять мы имеем два случая:
Z > 1.Так как Пуассоновский процесс может быть получен при бесконечном числе источников с ограниченной полной интенсивностью поступления вызовов $$\lambda$$, модель Эрланга можно рассматривать как специальный случай двух других случаев:
$$lim_{\{S \to \infty, \gamma \to 0\}} S_{\gamma}=\lambda$$Для любого конечного состояния i мы тогда имеем постоянную интенсивность поступления вызовов:
Третий тип нагрузки упоминается как ВРР-нагрузка (согласно сокращениям, данным выше: Биноминальная, и Пуассоновская, и Паскалевская). Эти модели включают все значения пиковости Z > 0, они могут использоваться для моделирования нагрузки с двумя параметрами: средняя величина и пиковость Z. Для произвольных значений Z число источников S вообще может стать не целым.
Рабочие характеристики: параметры рабочих характеристик для систем с потерями - потери по времени Е, потери по вызовам В, потери по нагрузке С и использование каналов. Среди них потери по нагрузке С - самая важная характеристика. Эти меры получены для каждой из вышеупомянутых моделей.
Мы рассматриваем систему с ограниченным числом источников (абонентов) S. Источник переключается из состояния "свободно" в состояние "занято" и наоборот. Свободный источник в течение временного интервала передает заявки с экспоненциально распределенной интенсивностью $$\gamma$$. Источник занят в течение экспоненциально распределенного временного интервала (время обслуживания, время пребывания в системе) с интенсивностью $$\mu$$ (рис.8.2). Этот вид источников называется спорадическими источниками или источники включить /выключить. Такой тип нагрузки называется Чистой Случайной Нагрузкой типа Два (РСТII) или псевдослучайной нагрузкой.
В этой секции предполагается, что число каналов/пучков каналов я больше или равняется числу источников $$(n \ge S) $$, так, чтобы не было потерь вызовов. Предполагается, что n и S - целые числа, но можно рассматривать и не целые значения чисел (Iversen и Sanders, 2001 [43]).
(рис 8.2) Каждый отдельный источник является либо свободным, либо занятым, и ведет себя независимо от всех других источников.Мы интересуемся только вероятностями устойчивых состояний (i). Они пропорциональны времени, которое процесс находится в состоянии [i]. Наши вычисления основаны на диаграмме переходов состояний на рис. 8.3. Мы рассматриваем сечения между соседними состояниями и находим:
(рис 8.3) Диаграмма переходов состояний изображает схематически Биноминальный случай (секция 8.2). Число источников S меньше или равно числу каналов $$n(n \le S) $$.
Все вероятности состояний могут быть выражены через р (0):
Полная сумма всех вероятностей должна быть равна единице:
$$1=p(0)* \left \{ 1+{S\choose 1}*\left (\frac{\gamma}{\mu} \right)^1+{S\choose 2}*\left (\frac{\gamma}{\mu}\right)^2+\dots+{S\choose S}*\left(\frac{\gamma}{\mu} \right)^S \right\}\\ =p(0)*\left\{1+\frac{\gamma}{\mu} \right \}^S,$$где мы использовали развернутый
Параметр $$\beta$$ - предложенная нагрузка на свободный источник (число попыток вызова в единицу времени для свободного источника - предложенная нагрузка от занятого источника является нулевой), тогда мы находим:
$$p(i)= {S\choose i}*\beta^i*\frac{1}{(1+\beta)^S}\\ = {S\choose i}*\left(\frac{\beta}{1+\beta}\right)^i*\left(\frac{1}{1+\beta}\right)^{S-i},$$это выражение называется
В том случае, когда попытка вызова от свободного источника никогда не блокируется, параметр а равен обслуженной нагрузке у на один источник (а=у) - он является эквивалентным вероятности того, что источник занят в случайный момент времени. Это также видно из рис.8.2, так как все точки поступления и возврата на осях времени - точки регенерации (точки равновесия). Цикл от начала занятого состояния (поступления) до начала следующего занятого состояния представлен для всей оси времени, и математические ожидания времени получены в среднем по одному циклу. Заметим, что для систем с блокировкой мы имеем $$у \ne а$$ (см. секцию 8.3).
Биноминальное распределение, полученное в (8.4), иногда в теории телетрафика называют
Формула (8.4) может быть получена с применением элементарных соображений. Все абоненты могут быть разбиты на два класса: свободные и занятые. Существует вероятность того, что произвольный абонент принадлежит классу занятых (у= а) и не зависит от состояния всех других абонентов, так как система не имеет блокировки, и попытки вызова всегда принимаются. Есть всего S абонентов (источников), и вероятность того, что i источников заняты в произвольный момент p(i), определяется
Мы суммируем определения параметров, данные выше:
$$\gamma - \mbox{интенсивность вызова на свободный источник} $$ $$\frac{1}{\mu} - \mbox{означает время обслуживания (удержания)}$$ $$\beta=\frac{\gamma}{\mu} - \mbox{предложенная нагрузка на свободный источник} $$По определению, предложенная нагрузка источника равна обслуженной нагрузке в системе без потерь, где источник свободно переключается между состоянием свободно и занято. Поэтому мы имеем следующее определение предложенной нагрузки:
$$a=\frac{\beta}{1+\beta} - \mbox{удельная нагрузка} $$ $$A=S \times a \mbox{ полная предложенная нагрузка} $$ $$y - \mbox{обслуженная нагрузка на один источник} $$ $$Y=S \times y - \mbox{полная обслуженная нагрузка }$$Предложенная нагрузка на свободный источник - понятие, трудное для практического применения, потому что соотношение времени, когда источник является свободным, зависит от потерь. Число вызовов, предлагаемых источником, зависит от числа каналов (обратная связь): высокая перегрузка каналов приводит к увеличению продолжительности пребывания источников вызова в состоянии "свободно". Это, в свою очередь, приводит к увеличению числа попыток вызова.
Потери по времени:
$$E=0 \qquad S < n,\\ E=p(n)=a^n \qquad S=n$$Обслуженная нагрузка:
$$Y=S*y=\sum_{i=0}^0 i*p(i)\\ =S*a=A,$$она является средней величиной Биноминального распределения (8.4). В этом случае без блокировки мы, конечно, имеем а=у и, кроме того, выполняются следующие соотношения. Потери по нагрузке:
Число попыток вызовов в единицу времени:
$$\Lambda = \sum_{i=0}^0 p(i)*(S-i) \gamma\\ =\gamma S - \gamma * \sum_{i=0}^0 i*p(i)=\gamma S- \gamma Sa\\ =S \gamma *(1-y).$$Когда все вызовы приняты, мы получаем: Перегрузка по вызовам
$$B=0$$Нагрузка, обслуживаемая каналом v.
Случайный поиск:
$$A_v=\frac Yn=\frac{S*y}{n}.$$Последовательный поиск: это сложное выражение, полученное L.A. Joys (1971 [56]).
Функция увеличения:
$$F_n(A)=Y_{n+1}-Y_n=0$$Пиковость (табл. 6.1):
$$Z=\frac{\sigma^2}{\mu}=\frac{S*a*(1-a)}{S*a},\\ Z=1-a=\frac{1}{1+ \beta} < 1.$$Мы видим, что пиковость Z нe зависит от числа источников и всегда меньше единицы, что соответствует сглаженной нагрузке.
Продолжительность состояния i экспоненциально распределена со скоростью:
$$\gamma(i)=(S-i)*\gamma +I * \mu, 0 \le i \le S \le n.$$Конечная исходная нагрузка характеризуется числом источников S и предложенной нагрузкой от одного свободного источника $$\beta$$ Альтернативно, на практике мы часто используем предложенную нагрузку и пиковость Z. Мы имеем следующие отношения между этими двумя представлениями:
Единственная разница по сравнению с материалами секции 8.2 - то, что число источников S теперь больше или равно числу пучков каналов (каналам), $$S \ge n $$. Поэтому, попытки вызова могут быть потеряны.
(рис 8.4) Диаграмма переходов состояний для случая распределения Энгсета с S>n, где S - число источников и n - число каналов.Уравнения сечения идентичны (8.1), но они существуют только для $$0 \le i \le n $$ (рис.8.4). Уравнение нормализации (8.2):
$$1=p(0)*\left \{ 1+ {S\choose 1}*{\gamma \choose \mu}+\dots +{S\choose n}*{\gamma \choose \mu}^n \right \}.$$Из него мы получаем p(0) и, подставляя $$\beta = \frac{\gamma}{\mu} $$, получаем вероятности состояния, которые равны:
Тем же самым способом, который мы применяли выше, используя (8.8), мы можем переписать это выражение в форме, которая является аналогом (8.4):
$$p(i)=\frac{{S\choose i}*a^i*(1-a)^{S-i}}{\sum_{j=0}^n {S\choose j}*a^j*(1-a)^{S-j}}, 0 \le i \le n,$$S - число источников и n - число каналов.
Потери по времени Е, по определению, пропорциональны времени блокирования системы для новых попыток вызова, то есть р(n) (8.24):
Потери по вызовам В, по определению, пропорциональны числу потерянных попыток вызова. Блокируются только попытки вызова, достигающие системы в состоянии п. В течение одной единицы времени мы получаем следующее отношение между числом блокированных попыток вызова и общим количеством попыток вызова:
Используя
$${S\choose i}*\frac{S-i}{S}={S-1\choose i}$$мы имеем:
$$B_{n,S}(\beta)=\frac{{S-1\choose n}*\beta^n}{\sum_{j=0}^n{S-1\choose j}*\beta^j},\\ B_{n,S}(\beta)=E_{n,S-1}(\beta), S \ge n.$$Этот результат можно интерпретировать следующим образом. Вероятность того, что попытка вызова от случайного источника (абонента) будет отклонена, равна вероятности того, что остальные (S-1) источники заняли все п каналов. Это называется теоремой поступления, и можно показать, что она справедлива для систем с явными потерями и для систем с ожиданием и ограниченным числом источников. Результат основан на вычислении произведения среди источников и свертывании источников. Поскольку Е увеличивается, когда увеличивается S, мы имеем:
Теорема 8.1. Теорема поступления: Для всех систем с ограниченным числом источников, случайный источник при поступление заявки будет наблюдать состояние системы так, как будто сам источник не принадлежит этой системе.
Свойство PASTA включено в этот случай, потому что бесконечное число источников минус один есть бесконечное число.
Обслуженная нагрузка: применяя уравнение сечения между состоянием [i - 1] и состоянием [i], мы получаем:
Поскольку $$Е= Е_п, S (\beta) =р(п) $$. Последнее уравнение решается относительно Y:
Потери по нагрузке $$С = C_{n,S} (А) $$. Это самая важная характеристика потерь. Предложенная нагрузка дается в (8.20), и мы получаем:
$$C=\frac{A-Y}{A}\\ =\frac{\frac{S \beta}{1 +\beta}-\frac{\beta}{1 + \beta}*\{S-(S-n)*E\}}{\frac{S \beta}{1+ \beta}},\\ C=\frac{S-n}{S}*E.$$Мы можем также найти обслуженную нагрузку, если знаем потери по вызовам В. Число попыток принятия вызовов от источника, который находится в свободном состоянии, в среднем $$\frac{1}{\gamma}$$ в единицу времени прежде, чем источник сгенерирует одну попытку вызова - 1(1-В), и каждый принятый вызов имеет среднюю продолжительность $$1/\mu$$ - Таким образом, обслуженная нагрузка на один источник есть соотношение времени: когда источник является занятым, она будет:
Полная обслуженная нагрузка будет:
$$Y=S*y=S*\frac{\beta (1-B)}{1+\beta (1-B)}.$$Приравнивая эти два выражения для обслуженной нагрузки (8.31) и (8.33), мы получаем следующее отношение между Е и В:
Число попыток вызова в единицу времени:
$$\Lambda = \sum_{i=0}^n p(i)*(S-i) \gamma\\ \Lambda = (S-Y)*\gamma,$$где Y - обслуженная нагрузка (8.28). Таким образом, из уравнения (S-Y) среднее число свободных источников является очевидным. Исторически, полная предложенная нагрузка была определена как $$\Lambda / \mu$$. Это, однако, вводит в заблуждение, потому что мы не можем принять, что каждая повторная попытка вызова имеет среднее время пребывания в системе, равное $$1/ \mu$$ -Также это определение создает большое неудобство, потому что предложенная нагрузка по этому определению зависит от состояния системы (числа занятых каналов). Также возможно, что немногие из доступных обслуживающих много попыток вызова устройств блокированы, а свободные источники с более высоким средним временем поступления вызовов генерируют больше попыток вызова в единицу времени.
Потерянная нагрузка:
$$A_l=A*C\\ =S\frac{\beta}{1+ \beta}*\frac{S-n}{S} E\\ = \frac{(S-n) \beta}{1+ \beta}*E.$$Продолжительность состояния i Оно является экспоненциально распределенным с интенсивностью:
$$\gamma (i)=(S-i) * \gamma +i* \mu, \qquad 0 \le i \le n,\\ \gamma (n) = n \mu, \qquad i=n$$Функция увеличения:
$$F_{n,S}(A)=Y_{n+1}-Y_n$$Выше мы определили вероятности состояния p(i), согласно предположению о статистическом равновесии, как часть времени, которое система находится в состоянии i, то есть как математическое ожидание времени. Мы можем также исследовать, как выглядит система, когда выполняется равновесие между поступлением и возвратом вызова отправляющим источником (пользователем) (математическое ожидание вызова). Если мы рассматриваем одну единицу времени то, в среднем, в системе будет $$(S-i)\gamma p(i) $$ источников в состоянии [i] перед моментом поступления вызова, и если вызов принят, то он переведёт систему в состояние [i+1].
Источники, которые наблюдают систему в состоянии п, блокированы или остаются свободными. Поэтому источники, от которых поступает вызов прибытия, наблюдают систему в состоянии [i] с вероятностью:
Используя метод аналогового дифференцирования выражения (8.27), мы можем показать, что в соответствии с теоремой поступления (Теорема 8.1) мы имеем:
$$\pi_{n,S, \beta}(i)=p_{n,S-1, \beta}(i-1), i=0,1, \dots , n.$$Когда источник оставляет систему, система находится в состоянии [i-1] с вероятностью:
Применяя уравнения сечения, мы немедленно убеждаемся, что это соотношение идентично (8.39), если включить в рассмотрение блокированных абонентов. Таким образом, источники покидают систему в том же самом состоянии, в котором они в нее прибывают. Процесс будет, обратим и нечувствителен к распределению времени обслуживания. Если бы мы непрерывно наблюдали состояние системы, то не могли бы определить, выполняется ли время прямое действие (вызов) или обратный (выход из системы).
Из (8.34) мы получаем следующее отношение между $$E=E_{n,S}(\beta)$$ и $$B=B_{n,S}(\beta)=E_{n,S-1}(\beta)$$
$$E=\frac{S}{S-n}*\frac{B}{1+ \beta (1-B)} \mbox{ или } \frac 1E=\frac{S-n}{S}\left \{(1+\beta)*\frac 1B - \beta \right \},$$ $$B=\frac{(S-n)*E*(1+ \beta)}{S+(S-n)*E* \beta} \mbox{ или } \frac 1B=\frac{1}{1+ \beta} \left \{ \frac{S}{S-n}* \frac 1E + \beta \right \}$$Выражения с правой стороны линейны по отношению к вероятностям блокировки. В (8.32) мы получили следующее простое отношение между С и Е:
Если мы в (8.44) подставим Е, выраженное через (8.42), то мы получаем С, выраженное через В:
Это отношение между В и С является общим и может также быть получено следующим образом. Обслуженная нагрузка Y соответствует $$(У* \mu ) $$ принятых попыток вызова в единицу времени. Среднее число свободных источников - (S-Y), так что среднее число попыток вызова в единицу времени - $$(S-Y) \gamma$$ (8.35).
Потери по вызовам тогда равны:
$$B=\frac{(S-Y) \gamma - Y * \mu}{(S-Y) \gamma}\\ =\frac{(S-Y) \beta - Y}{(S-Y) \beta}.$$По определению Y= (1 - C), и из (8.20) имеем $$S=А( 1 + \beta)/ \beta$$. Подставляя это выражение, мы имеем:
Из последнего уравнения видно, что для малых значений потерь по вызовам В потери по нагрузке Z в несколько раз больше, чем потери по вызовам:
Если мы пробуем вычислить числовые значения непосредственно по формуле Энгсета из (8.26) (потери по времени Е ), то возникают проблемы расчета для больших значений S и п. Ниже мы получим различные рекурсивные формулы для Е и для его обратной величины $$I=1/E$$. Когда потери по времени Е известны, можно просто получить потери по вызовам В и потери по нагрузке С, используя формулы (8.43) и (8.44). В числовой форме также просто найти любой из этих четырех параметров $$S, \beta, n, Е$$, когда мы знаем три из них. Математически мы можем предположить, что п и S не являются целыми числами.
Из общей, рекурсивной формулы (7.27) для я, используя $$\lambda_х = (S-x) \gamma$$ и $$\beta = \frac{\gamma}{\mu}$$, мы получаем
$$E_{x,S}(\beta)=\frac{\frac{\gamma_{x-1}}{x \mu}*E_{x-1,S}(\beta)}{1+\frac{\gamma_{x-1}}{x \mu}*E_{x-1,S}(\beta)},\\ E_{x,S}(\beta)=\frac{(S-x+1) \beta * E_{x-1, S}(\beta)}{x+(S-x+1) \beta * E_{x-1, S}(\beta)}, E_{0,S}(\beta)=1.$$Используя обратную формулу потерь по времени $$I_{n,S}(\beta)=\frac{1}{E_{n,S}(\beta)}$$, мы находим рекурсивную формулу:
$$I_{x,S}(\beta)=1+\frac{x}{(S-x+1) \beta} I_{x-1, S}(\beta), I_{0,S}(\beta)=1.$$Число итераций равно п. Обе формулы (8.50) и (8.51) аналитически точны и представляют собой устойчивые при приближенных вычислениях и точные рекурсии для растущих значений х. Однако для уменьшающихся значений х числовые ошибки накапливаются и рекурсии недостоверны.
Обозначим нормализованные вероятности состояния системы с п каналами и S-1 источниками $$p_{n, S-1}(i)$$. Мы получаем вероятности состояния системы с S источниками и п каналами, сочетая эти вероятности состояния с вероятностями состояния одиночного источника, которые обозначаются $$\{р_{1,1}(0) = 1 - а, р_{1,1} (1) = а_g \}$$. Мы тогда получим состояние от нуля до п + 1, ограничиваем пространство состояний до n и нормализуем вероятности состояния (см. Пример 3.2.1) (принимая, что р(х) = 0, когда x < 0 ):
Полученные вероятности состояния $$q_{n,S}(i) $$ не нормализованы, потому что мы ограничиваем состояния числом [n] и исключаем последние элементы, начиная с состояния $$[n+1], q_{n,S}(n+1)=a*р_{m,S-1}(n) $$. Нормализованная вероятность состояния $$р_{n,S}(i) $$ для системы с S источниками и п каналами, таким образом, получается из нормализованной вероятности состояния $$p_{n,S-1}(i) $$ для системы с $$S-1$$ источником:
Потери по времени $$Е_{n,S}(\beta) $$ для системы с S источниками могут быть выражены потерями по времени $$Е_{n,S-1}(\beta) $$ для системы с S-1 источниками. Подставляя (8.52) в (8.53), получаем:
где мы использовали уравнение равновесия между состоянием [n-1, S - 1] и состоянием [n, S-1]. Заменяя а на(8.8), мы получаем:
Таким образом, получаем следующую рекурсивную формулу:
$$E_{n,S}(\beta)=\frac{S}{S-n}*\frac{E_{n,S-1}(\beta)}{1+\beta\{1-E_{n,S-1}(\beta)\}}, S > n, E_{n,n}(\beta)=a^n.$$Начальное значение получено от (8.12). Находим обратное значение вероятности блокировки I= 1/E:
Для того чтобы увеличить S, нужно, чтобы число итераций было S-n. Однако числовые ошибки накапливаются из-за умножения с (S/(S-n)) таких умножений больше чем одно, и применимость этой формулы ограничена. Поэтому рекомендуют использовать рекурсию (8.58), приведенную в следующей секции для того, чтобы увеличить S. Чтобы уменьшить S, вышеупомянутая формула аналитически точна и в числовой форме устойчива. Однако начальное значение должно быть известно заранее.
Если подставить (8.50) в (8.55), соответственно (8.51) в (8.56), мы находим:
$$E_{n,S}(\beta)=\frac{Sa \cdot E_{n-1, S-1}(\beta)}{n+(S-n)a \cdot E_{n-1,S-1}(\beta)},\ E_{0,S-n}(\beta)=1,$$ $$I_{n,S}(\beta)=\frac{n}{Sa}*I_{n-1, S-1}(\beta)+\frac{S-n}{S},\ I_{0,S-n}(\beta)=1,$$которые являются рекурсивными и относительно числа обслуживающих приборов, и относительно числа источников. Обе из этих рекурсий в числовой форме точны при процессе увеличения показателей и числа итераций n (Joys, 1967 [54]).
Из материалов, рассмотренных выше, мы можем сделать следующие заключения для рекурсивной формулы Энегсета. При вычислении с увеличением значения параметра рекурсивные формулы (8.50) и (8.51) очень точны, и формулы (8.57), и (8.58) почти хороши. Рекурсивные формулы (8.55) и (8.56) неточны при увеличении значения параметра, но в отличие от других, устойчивы при уменьшении значения. Вообще, можно заметить, что рекурсия, которая является точной в одном направлении, будет неточна в противоположном направлении.
Мы рассматриваем систему с потерями Энгсета, имеющую n=3 канала и S= 4 источника. Скорость поступления вызовов от свободного источника - $$\gamma= 1/3$$ вызовов в единицу времени, и среднее время обслуживания ( $$1/\mu$$ ) равно 1 в единицу времени. Мы находим следующие параметры:
| $$\beta=\frac{\gamma}{\mu}=\frac 13$$ | Эрл. ( предложенная нагрузка на один свободный источник); |
| $$a=\frac{\beta}{1+\beta}=\frac 14$$ | Эрл. ( предложенная нагрузка на один свободный источник); |
| $$Z=1- \frac AS=\frac 34$$ | (пиковость). |
Из диаграммы переходов состояний мы получаем следующую таблицу:
| $$i$$ | $$\gamma(i)$$ | $$\mu(i)$$ | $$q(i)$$ | $$p(i)$$ | $$i*p(i)$$ | $$\gamma(i)*p(i)$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 4/3 | 0 | 1.0000 | 0.3176 | 0.0000 | 0.4235 |
| 1 | 3/3 | 1 | 1.3333 | 0.4235 | 0.4235 | 0.4235 |
| 2 | 2/3 | 2 | 0.6667 | 0.2118 | 0.4235 | 0.1412 |
| 3 | 1/3 | 3 | 0.1481 | 0.0471 | 0.1412 | 0.0157 |
| Total | 3.1481 | 1.0000 | 0.9882 | 1.0039 |
Мы находим следующие вероятности блокировки.
Потери по времени:
$$E_{3,4} \left ( \frac 13 \right )=p(3)=0.0471,$$Потери по нагрузке:
$$C_{3,4} \left ( \frac 13 \right )=\frac{A-Y}{A}=\frac{1-0.9882}{1}=0.0118,$$Потери по вызовам:
$$B_{3,4} \left (\frac 13 \right )=\{\gamma (3)*p(3)\}/\left \{ \sum_{i=0}^3 \gamma(i)*p(i)\right \}=\frac{0.0157}{1.0039}=0.0156.$$Заметим, что Е>В>С, и это является общим результатом для модели Энгсета (8.49) и (рис.8.6).
Применяя рекурсивную формулу (8.51) мы, конечно, получаем те же самые результаты:
$$E_{0,4}\left (\frac 13 \right)=1\\ E_{1,4}\left (\frac 13 \right)=\frac{(4-1+1)*\frac 13*1}{1+(4-1+1)*\frac 13*1}=\frac 47,\\ E_{2,4}\left (\frac 13 \right)=\frac{(4-2+1)*\frac 13*\frac 47}{2+(4-3+1)*\fac 13 *\frac 47}=\frac 29,\\ E_{3,4}\left (\frac 13 \right)=\frac{(4-3+1)*\frac 13*\frac 29}{3+(4-3+1)*\frac 13 *\frac 29}=\frac{4}{85}=0.0471$$Можно оценить влияние ограничения числа источников, рассматривая либо потери по времени, либо потери по вызовам, либо потери по нагрузке. Значения потерь показаны на рис. 8.6 для фиксированного числа каналов я, фиксированной предложенной нагрузки А и увеличивающегося значения пиковости Z, соответствующего множеству источников S, который определяется как S=A/(1-Z) (8.23).
Предложенная нагрузка определяется как нагрузка, которую можно обслужить в системе при отсутствии блокировки ( п=1 ). Здесь
Z=1 соответствует Пуассоновскому потоку вызовов (В-формула Эрланга, Е=В=С ). Для Z< 1 мы получаем модель Энгсета, и для этого случая потери по времени Е являются больше, чем потери по вызовам В которые, в свою очередь, являются больше, чем потери по нагрузке С. Для Z>1 мы получаем модель Паскаля (секции 8.6 и 8.7 и пример 8.7.1).
В Биноминальной модели интенсивность прибытия уменьшается линейно с увеличивающимся числом занятых источников. Пальма и Вальстром ввели модель, где интенсивность прибытия увеличивается линейно с числом занятых источников (Wallstrom, 1964 [100]). Интенсивность прибытия в состоянии i равна:
где $$\gamma$$ и S - положительные константы. Время пребывания в системе все еще принимается экспоненциально распределенным с интенсивностью $$\mu$$.
В этой секции примем, что число каналов бесконечно. Мы составляем диаграмму переходов состояний (рис. 8.5 с п равным бесконечности) и находим устойчивые вероятности состояния, которые существуют только для $$\gamma < \mu$$.
Мы получаем вероятности состояния:
$$p(i)={-S\choose i}*\left (-\frac {\gamma}{\mu} \right )^i \left (1-\frac{\gamma}{\mu} \right )^S, 0 \le i \le \infty, \gamma < \mu,$$где
$${-S\choose i}=(-1)^i*{S+i-1\choose i}.$$Формула (8.60) - отрицательное
Мы рассматриваем тот же самый процесс и тип нагрузки, как в секции 8.6, но теперь ограничим число обслуживающих приборов конечным числом п. Ограничение $$\gamma < \mu$$ более не нужно, так как мы всегда будем получать статистическое равновесие с конечным числом состояний. Диаграмма переходов состояний показана на рис. 8.5, и вероятности состояния равны:
Это усеченное отрицательное
С этими подстановками все формулы модели Бернулли/Энгсета справедливы для усеченного распределения Паскаля, и для числовой оценки могут быть использованы те же самые компьютерные программы.
Можно показать, что вероятности состояния (8.62), подобно вероятностям состояния для систем с потерями Эрланга и Энгсета, справедливы для произвольного распределения времени пребывания в системе (Iversen, 1980 [38]).
Если принять экспоненциально распределенные времена пребывания в системе, эта модель имеет те же самые вероятности состояния как первая нормальная форма Пальма. То есть система с Пуассоновским потоком вызовов имеет случайно распределенную интенсивность, как и гамма-распределение (интервалы поступления) становится распределенным по Парето. Такое распределение является медленно убывающим распределением. Эта модель используется для того, чтобы моделировать потерянную нагрузку, которая имеет пиковость больше единицы. Таким образом, мы получаем из (8.21) с помощью вышеупомянутой подстановки (8.64):
$$Z=\frac{1}{1- \beta} ^gt; 1, \\ \beta=\frac{\gamma}{\mu} < 1$$Это усеченное отрицательное
(рис 8.5 ) Диаграмма переходов состояний для модели Паскаля (усеченная отрицательная биноминальная модель)На рис.8.6 мы принимаем число каналов n и при фиксированной предложенной нагрузке вычисляем вероятности блокировки, чтобы увеличить пиковость Z. Для Z>1 мы получаем модель Паскаля. Для этого случая потери по времени Е - меньше, чем потери по вызовам В, которые, в свою очередь, меньше, чем потери по нагрузке С.
Мы видим, что потери по времени и потери по вызовам имеют максимальное значение. Только потери по нагрузке дает разумное описание рабочих характеристик системы.
Рассмотрим систему с потерями Паскаля с n=4 каналами и S=2 источниками. Интенсивность поступления $$\gamma=1/3$$ вызовов/ в единицу времени на свободный источник, и среднее время пребывания в системе $$(1/\mu) $$ - одна (1) единица времени. Мы находим следующие параметры для модели Энгсета, предположив, что S=-2 (8.63) и = -1/3 (8.64):
| $$i$$ | $$\gamma(i)$$ | $$\mu(i)$$ | $$q(i)$$ | $$p(i)$$ | $$i*p(i)$$ | $$\gamma(i)*p(i)$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0.6667 | 0 | 1.0000 | 0.4525 | 0.0000 | 0.3017 |
| 1 | 1.0000 | 1 | 0.6667 | 0.3017 | 0.3017 | 0.3017 |
| 2 | 1.3333 | 2 | 0.3333 | 0.1508 | 0.3017 | 0.2011 |
| 3 | 1.6667 | 3 | 0.1481 | 0.0670 | 0.2011 | 0.1117 |
| 4 | 2.0000 | 4 | 0.0617 | 0.0279 | 0.1117 | 0.0559 |
| Total | 2.2099 | 1.0000 | 0.9162 | 0.9721 |
Из диаграммы переходов состояний мы получаем следующие параметры:
(рис 8.6) Потери по времени Е, потери по вызовам В и потери по нагрузке С как функция пиковости Z для РРР-нагрузки в системе с я=20 пучками каналов и предложенной нагрузкой =15 Эрл. Подробные комментарии даются в примерах 8.5.2 и 8.7.1. Для приложений самой важной характеристикой являются потери по нагрузке С, так как это почти линейная функция пиковостиМы находим следующие вероятности блокировки.
Потери по времени:
$$E_{4,-2}\left ( - \frac 13 \right )=p(4)=0.0279.$$Потери по нагрузке:
$$C_{4,-2} \left (-\frac 13 \right )=\frac{A-Y}{A}=\frac{1-0.9162}{1}=0.0838.$$Потери по вызовам:
$$B_{4,-2} \left ( -\frac 13 \right)=\frac{\{\gamma (4)*p(4)\}}{\{\sum_{i=0}^4 \gamma(i)*p(i)\}}=\frac{0.0559}{0.9721}=0.0575.$$Заметим, что Е<В<С является общим результатом для случая Паскаля. Используя для этого случая рекурсивную формулу для модели Энгсета случая (8.50), мы получаем те же самые результаты:
ВРР - S (абонентов, клиентов, заявителей) ограничено, а число каналов п всегда достаточно ( $$S \le n$$ ).n < S ).S. Отдельный источник имеет постоянную интенсивность поступления вызовов (прибытие), когда он свободен. Когда он занят, интенсивность вызовов рана нулю.S. Если в данный момент мы имеем / занятых источников, то интенсивность прибытия равняется $$(S+i)\gamma$$.Вероятности состояния модели Энгсета:
$$p(i)=\frac{{S\choose i}*a^i*(1-a)^{S-i}}{\sum_{j=0}^n {S\choose j}*a^j*(1-a)^{S-j}}, 0 \le i \le n$$Потери по времени Е, по определению, пропорциональны времени, когда система заблокирована для новых попыток вызова:
Потери по вызовам В, по определению, пропорциональны числу потерянных попыток вызова:
Потери по нагрузке выражаются следующей формулой:
$$\frac{S-n}{S}*E$$Обслуженная нагрузка на один источник выражается следующей формулой:
$$\frac{(1-B)/\mu}{1/ \gamma +(1-B)/\mu}$$Полная обслуженная нагрузка выражается следующей формулой:
$$S*\frac{\beta (1-B)}{1+ \beta (1-B)}$$Число попыток вызова в единицу времени:
$$\Lambda = \sum_{i=0}^n p(i)*(S-i) \gamma\\ \Lambda = (S-Y)* \gamma,$$где Y - обслуженная нагрузка.
Потерянная нагрузка:
$$A_l=A*C\\ =S \frac{\beta}{1+\beta}*\frac{S-n}{S}E\\ =\frac{(S-n) \beta}{1+ \beta}*E$$Пальма и Вальстром ввели модель, где интенсивность прибытия увеличивается линейно с числом занятых источников (Wallstrom, 1964 [100]). Интенсивность прибытия в состоянии $$i$$ равна:
$$\gamma_i=\gamma * (S+i), 0 \le i \le n$$и
Усеченное отрицательное
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.