Это приложение содержит задачи, которые даются на тестовых экзаменах в Датском Техническом Университете.
Предполагается, что настоящее русское издание в Интернете будет содержать Интернет-версию этих тестовых задач, представленную для автоматического тестирования с помощью системы альтернативных вопросов, где будет более подробно рассмотрен процесс решения.
Рассмотрим Интернет-кафе. Клиенты прибывают случайно, в среднем 20 клиентов в час. Среднее время использования терминала -15 минут.
Вопрос. 1.1: Найдите предложенную нагрузку, измеренную в единицах среднего времени обслуживания в течение одного часа.
Вопрос. 1.2: Найдите предложенную нагрузку, измеренную в Эрлангах.
Рассмотрим ячейку в сотовой системе связи. Есть два процесса поступления вызовов.
Вопрос. 2.1: Найдите предложенную нагрузку для каждого потока нагрузки и полную предложенную нагрузку в Эрлангах.
К компьютерной системе поступают три типа задач:
Все задачи прибывают согласно Пуассоновскому процессу, и времена обслуживания являются постоянными.
Интенсивность поступления задач следующая:
Вопрос. 3.1: Найдите предложенную нагрузку для каждого типа и полную предложенную нагрузку.
Процесс поступления вызовов к системам возникает согласно Пуассоновскому процессу со скоростью $$\lambda = 2$$ вызовов в единицу времени. Каждый вызов занимает два канала в течение целого времени занятия, которое является экспоненциально распределенным со средней величиной $$s = 3$$ единицы времени.
Вопрос. 4.1: Найдите предложенную нагрузку на вызовах (подключения).
Вопрос. 4.2: Найдите предложенную нагрузку в каналах.
Мы рассматриваем нагрузку к цифровой станции, содержащую вызовы цифровой сети интегрального обслуживания (1 вызов на канал) и цифровой сети интегрального обслуживания с 2 вызовами (2 вызова на канал).
Вопрос. 5.1: Найдите предложенную нагрузку (измеренную в каналах) для каждого типа и общее количество предложенной нагрузки.
Цифровые линия связи 2.048 Мгб/с в среднем принимают 128 пакетов в секунду. Пакет содержит в среднем 1500 байтов (1 байт = 8 битов).
Вопрос. 6.1: Найдите использование $$\xi$$, линии связи.
В торговом центре есть игровой зал. Посетители решают, случайно и независимо друг от друга, войти и поиграть, но если все игровые машины заняты, то они переходят в другое место (как альтернатива имеется Интернет-кафе).
В течение часов работы в среднем входят, чтобы поиграть, 40 человек в час.
Люди выбирают первую от входа свободную машину и играют в среднем по 6 минут (экспоненциально распределенных). Игровая машина имеет в среднем доход, равный 100 эре в минуту, если она используется. Полные расходы за арендную плату комнат и обслуживания на одну машину - 20 крон в час, независимо от того, используется она или нет. По В-формуле Эрланга можно вычислить, используя рекурсивную формулу, таблицы или компьютеры:
Выгодно ли иметь машин больше или меньше, чем 4?
Каково оптимальное число машин?
Далее мы предполагаем, что число машин - 4.
Определение метода случайного доступа
Мы рассматриваем систему $$М/G/l$$, куда сообщения прибывают согласно Пуассоновскому процессу с интенсивностью (скоростью) $$\lambda$$, а распределение времени пребывания в системе дается $$F(t) $$ со средней величиной $$s=1$$.
Есть бесконечное число обслуживающих приборов, и вероятности состояний системы зависят только от распределения времени пребывания в системе через среднюю величину (нечувствительность).
Найти предложенную нагрузку и вероятности состояния согласно предположению о статистическом равновесии.
Сообщение обслуживается правильно, только если является единственным в течение всего времени пребывания в системе. Таким образом, система должна быть пуста во время прибытия, и ни один новый вызов не может поступить в течение времени пребывания в системе предыдущего вызова.
В следующих двух вопросах мы принимаем, что время пребывания в системе является постоянным со средней величиной
$$s=1$$.Найти нагрузку, которая будет обслужена правильно, и показать, что она имеет максимум, равный $$1/2е= 0,1839$$ для $$\lambda = 0,5$$.
В остающейся части упражнения примем, что время пребывания в системе является экспоненциально распределенным со средней величиной $$s= 1$$.
Мы рассматриваем чистую систему с потерями с 4 каналами. События возникают в процессе поступления вызовов согласно Пуассоновскому процессу с интенсивностью $$\lambda =1 [\mbox{события/единица времени}]$$. Каждое событие соответствует двум попыткам вызова, которые обслуживаются независимо. Если в момент прибытия есть только один свободный канал, то одна из этих двух случайных попыток вызова будет отклонена. Время обслуживания - экспоненциально распределенное со средней величиной
$$\mu^{-1} = 1 [\mbox{единица времени}]$$Показать, что вероятности состояний согласно предположению о статистическом равновесии будут:
$$\left \{ \frac{12}{49}, \frac{12}{49}, \frac{12}{49}, \frac{8}{49}, \frac{5}{49} \right \}$$Найдите потери по нагрузке (соотношение предложенной и потерянной нагрузок).
Мы рассматриваем систему с потерями Эрланга с $$n = 3$$ обслуживающими приборами. Процесс поступления вызовов - Пуассоновский процесс с интенсивностью $$\lambda = 0,5$$ в единицу времени вызова. Время обслуживания является экспоненциально распределенным со средней величиной 4 единицы времени.
Мы рассматриваем систему с потерями, которая имеет 4 канала и обслуживает РСТ-1 нагрузку. Интенсивность поступления (интенсивность) $$\lambda - 1$$ вызов в единицу времени, и среднее время обслуживания $$\mu^{-1} - 2$$ единицы времени. Система предположительно находится в статистическом равновесии.
Рассмотрим систему с потерями с двумя каналами (обслуживающие приборы). Попытки вызова прибывают согласно Пуассоновскому процессу интенсивностью $$\lambda$$ вызовов в единицу времени. Время обслуживания $$\lambda$$ распределено в соответствии с Эрланговским распределением с интенсивностью $$2 \mu$$ в каждой из этих двух фаз.
Создать диаграмму переходов состояний системы, где состояние обозначает число вызовов в системе и фазы вызовов. Примените следующее состояния, где $$а$$ и $$b$$ обозначают эти две фазы.
Мы рассматриваем Энгсетовскую систему с потерями с 3 серверами, у которых предложенная нагрузка производится из 4 однородных источников. Свободный источник генерирует вызовы с интенсивностью $$\lambda = 1/2 [\mbox{вызов/единица времени}]$$, и время обслуживания является экспоненциально распределенным со средней величиной $$\mu^{-1} = 1 [\mbox{единица времени}]$$.
Мы рассматриваем систему с потерями с $$n = 2$$ каналами. Состояние системы $$i$$ определяется как число занятых каналов. Заявки от клиентов прибывают согласно Пуассоновскому процессу с интенсивностью, зависящей от состояния.
$$\gamma(i)=\frac{3-i}{4-i}* \gamma[\mbox{заявок в единицу времени}], \quad 0 \le i \le 3.$$Для всех других состояний $$\gamma(i) = 0$$.. Мы выбираем $$\gamma = 1$$ заявки в единицу времени, а время обслуживания - экспоненциально распределенное с интенсивностью $$\mu = 1$$ заявок в единицу времени.
Мы рассматриваем Энгсетовскую модель с $$S = 4$$ источниками. Среднее время пребывания в системе выбрано как единица времени ( $$\mu^{-1} = 1$$ ). Интенсивность поступления свободного источника - $$\gamma = 1/3$$. Оба временных интервала являются экспоненциально распределенными. Число каналов бесконечно, то есть $$п \le S$$. Состояние системы определено как число занятых каналов. Вышеупомянутая система - модель несинхронной системы АЛОХАа с $$S$$ передатчиками и экспоненциально распределенными длинами пакета.
Мы рассматриваем полную доступную Энгсетовская систему с потерями с $$n = 3$$ канала. На систему поступает предложенная нагрузка от $$S= 4$$ источников. Интенсивность поступления от свободного источника - $$\gamma_1 = 1/2$$ попыток вызова в единицу времени. Среднее время пребывания в системе выбрано как единица времени ( $$\mu_1^{-1} = 1/2$$ ). Все временные интервалы являются экспоненциально распределенными. Состояние системы определено как число занятых каналов, и каждый занятый источник занимает один канал.
Найти потери по времени $$Е$$, потери по вызовам $$В$$ и потери по нагрузке $$С$$.
Дополним источник, отличающийся от вышеупомянутого источника. Этот источник имеет интенсивность в свободное время, и интенсивность обслуживания в системе равные одной единице времени ( $$\gamma_2 = \mu_2= 1$$ ). Источник, когда он занят, использует только один канал.
Мы рассматриваем систему перегрузки, состоящую из первичной группы с одним каналом и группы перегрузки также с одним каналом ( Brockmeyer -система).
Прерывистый Пуассоновский процесс может описать процесс поступления вызовов к группе перегрузки.
Найти параметры для этого процесса перегрузки:
ON периодов ( $$\gamma$$ );OFF периодов ( $$\omega$$ ).Показать, что вероятности состояний дают:
$$p(0,ON)=\frac{3}{10}, \quad p(0, OFF)=\frac{4}{10,\\ p(1,ON)=\frac{2}{10}, \quad p(1,OFF)=\frac{1}{10}$$.Вычислить потери по времени и потери по вызовам для:
Сравните последний результат с перегрузкой, полученной согласно В-формуле Эрланга.
Мы рассматриваем полнодоступную систему с потерями, имеющую $$n = 3$$ канала. На систему поступает нагрузка Паскаля, и в состоянии $$i$$ интенсивность поступления - $$\gamma (S+i) $$. Число источников - $$S=4$$. Интенсивность поступления свободного источника - $$\gamma = 1/3$$. Среднее время пребывания в системе выбрано как единица времени ( $$\mu^{-1} = 1$$ ).
Все временные интервалы являются экспоненциально распределенными. Состояние системы определяется как число занятых каналов.
Примечание: таблица В-формулы Эрланга для числа каналов от $$п =1$$ до 10 (с шагом = 1) и нагрузки А = 0 от 10 (с шагом = 0.25) приложена.
ERT. Примите, что вышеупомянутая нагрузка - от системы с 4 каналами, которым предлагается 5 Эрл.Мы рассматриваем систему с потерями с 3 идентичными серверами, обслуживающими два различных типа клиентов, заявки от которых прибывают согласно Пуассоновским процессам с интенсивностью:
тип 1: $$\lambda_1$$ [заявок/единица времени],
тип 2: $$\lambda_2$$ [заявок/единица времени].
Оба типа заявок от клиентов имеют одинаковое экспоненциально распределенное распределение времени обслуживания со средней величиной $$т = 1/ \mu$$ [единицы времени].
Клиенты типа 1 имеют полную доступность к трем обслуживающим приборам (серверам). Клиенты типа 2 блокированы, если во время прибытия заявок занят более чем один обслуживающий прибор.
Состояние системы определяется как общее количество обслуживаемых клиентов.
Найти выраженные с помощью вероятностей состояний потери по вызовам для клиентов типа 1 и типа 2.
Определим состояние системы как $$(i,j) $$, где $$i$$ - число обслуживаемых заявок от клиентов типа 1 и $$j$$ - число обслуживаемых заявок от клиентов типа 2.
Мы рассматриваем систему с потерями с двумя обслуживающими приборами. Вызовы прибывают согласно Пуассоновскому процессу с интенсивностью 20 вызовов в час. Время пребывания в системе экспоненциально распределенное, со средней величиной 180 секунд. Дать числовые ответы.
Вычислить, используя рекурсивную формулу для В-формулы Эрланга, характеристики перегрузки системы (потери по времени равняется потерям по вызовам и потерям по нагрузке). Покажите отдельные шаги рекурсии.
Назовем вышеупомянутую систему подсистемой. Предположим теперь, что система состоит из двух подсистем вышеупомянутого типа (полная интенсивность поступления вызовов равняется 40 вызовам в час, имеется всего 4 полностью доступных обслуживающих прибора).
Создать одномерную диаграмму переходов состояний для полной системы и вычислить согласно предположению о статистическом равновесии вероятности состояния $$р (i) (i = 0, 1,2, 3, 4) $$.
Система работает следующим образом.
Для каждого вызова находят обслуживающий прибор в своей собственной подсистеме. Если оба обслуживающих прибора также заняты в этой системе, она блокируется. Состояние системы обозначается
$$(i,j) 0 \le i,j \le 2;$$где $$i$$ и соответственно $$j$$ обозначают число занятых обслуживающих приборов в подсистеме 1, соответственно в подсистеме 2.
Создать двухмерную диаграмму переходов состояний для этой системы, используя следующие состояния.
Вычислить вероятности состояний двухмерной диаграммы переходов состояний, учитывая симметрию и используя объединенные вероятности состояний, рассчитанные в вопросе 3. (Все состояния в вопросе 5 с несколькими занятыми обслуживающими приборами, полученные в вопросе 3, объединены в единственное состояние).
Мы рассматриваем полностью доступную систему с потерями с $$n=5$$ каналами, на которую поступают два потока нагрузки. Все процессы поступления вызовов и времена обслуживания имеют тип М. (Пуассоновский экспоненциальный) Все параметры приведены ниже в единицах времени:
| Поток нагрузки 1: | Интенсивность поступления $$\lambda_1 = 2$$, |
| Среднее время обслуживания $$\mu_1^{-1}= 1$$, | |
| Каждый вызов требует $$d_1 = 1$$, сервера. | |
| Поток нагрузки 2: | Интенсивность прибытия $$\lambda_2 = 1$$, |
| Среднее время обслуживания $$\mu_1^{-1}=1/2$$, | |
| Каждый вызов требует $$d_2= 2$$ сервера. |
Если попытки вызова не могут быть обслужены при заданной пропускной способности во время их поступления, то это они теряются (Явные потери вызовов).
Показать, что диаграмма переходов состояний обратима, и найти все вероятности состояний $$р (i, j) $$, выраженных через $$р (0, 0) $$. Найдите потери по времени, потери по вызовам и потери по нагрузке для обоих потоков нагрузки.
Пусть $$p(j) $$, обозначают суммирование всего состояния, где общее количество занятых серверов:
$$p(j)=\sum_{x=0}^j p(x,j-x)$$Показать, что следующая рекурсивная формула справедлива для системы, которую рассматривают:
$$j \cdot p(j)=\sum_{i=1}^2 \frac{\lambda_i}{\mu_i} \cdot d_i \cdot p(j-d_i)$$.Мобильная система связи с $$S = 4$$ абонентами имеет доступ к $$n = 3$$ каналам. Все принятые вызовы занимают один канал в течение экспоненциально распределенного временного интервала со средней величиной $$\mu^{-1}= 1$$ единицы времени. Система используется как
РСТ-П ). Свободный источник генерирует $$\gamma = 1/4$$ попыток вызова в единицу времени;PCT -IРСТ-II потока нагрузки, и найти эквивалентное число источников (не используя интеграл) и интенсивность поступления вызовов на один свободный источник.Пояснения для ориентировки
Вокодеры (шифровальщики речи) выполняют алгоритм обработки речи. Для уменьшения необходимой пропускной способности используется датчик речевой активности, который указывает на перерывы речи и активные речевые периоды (всплеск пакетов). Постоянная скорость передачи информации в битах в течение периодов активности речи - $$D$$. Для некоторых известных шифровальщиков (как G.723 и G.729) применяется передача информации с постоянной скоростью $$d$$ бит в течение периодов молчания, в период активности применяется скорость немного выше, чем $$D = 2$$, для того, чтобы отобразить уровень фоновых шумов и другие параметры. Коэффициент активности речи - процент времени, когда вызов (абонент) находится в активном речевом состоянии. Это значение обычно приблизительно составляет 40 %. Для простоты мы выбираем следующие значения $$D = 2; d = 1$$ и коэффициент речевой активности = 0,5. Качество речи ухудшается больше чем на несколько процентов, если потеряны несколько всплесков.
Задача
Мы рассматриваем систему с потерями с $$n = 5$$ каналов. Попытки вызова поступают согласно Пуассоновскому процессу с интенсивностью $$\lambda = 2$$ вызова в единицу времени. Предполагаем, что допустимо не более 4 одновременных вызовов в системе. Принятый вызов находится в одном из двух состояний: или состояние молчания, где задействован один канал, или активное состояние речи (всплеск разговора), где используется два канала (если это возможно). Принимаем, что вызов поступает в состоянии молчания (при прибытии нуждается в одном канале) и может закончиться только переходом в состояние тишины, то есть скорость обслуживания - 0 в активном речевом состоянии и $$\mu = 1 (\mbox{единица времени})^{-1}$$ в состоянии молчания. (Все временные интервалы являются экспоненциально распределенными.) Каждое изменение вызова от молчания до активности речи (то есть начало всплеска разговора) происходит с той же скоростью 8, что и скорость изменения от активности речи до молчания (конец всплеска разговора). Если нет ни одного свободного канала, всплеск разговора теряется и вызов прибывает в состоянии молчания (потерянный всплеск разговора - модель с потерями, сравните с Энгсетовской моделью). В этой задаче скорость $$\delta$$ может быть выбрана произвольно так, например, можно выбрать $$\delta =1$$.
Мы определяем состояние системы как $$(i, j) $$, где $$i (0 le i \le 4) $$ - число вызовов в системе, и $$j (0 \le j \le i) $$ - число вызовов в состоянии "активная речь". Кроме того, мы имеем ограничение $$i +j \le 5$$ из-за общего количества каналов $$n = 5$$. Таким образом, получаем состояния, следующим образом используя рисунок, приведенный далее.
Найти (выраженные вероятностями состояния) потери по времени и потери по вызовам для всплеска разговора.
Мы рассматриваем модель восстановления машин с 4 терминалами, имеющими экспоненциально распределенные времена раздумья с интенсивностью $$\lambda = 3$$ события в единицу времени. Два различных одиночных сервера обслуживают терминалы. С вероятностью Уз терминал нуждается в обслуживании от сервера 1, и с вероятностью 2/3 терминал нуждается в обслуживании от сервера 2. Сервер 1 имеет экспоненциально распределенное время обслуживания со средней величиной $$\mu_1^{-1} = 1$$ единица времени, и сервер 2 имеет экспоненциально распределенное время обслуживания со средней величиной $$\mu_2^{-1} = 1/2$$ единицы времени. Терминал, обслуживаемый одним сервером, начинает новое время раздумья.
В модели восстановления машин есть два типа ошибок, каждая из которых нуждается в специализированном сервере.
Мы рассматриваем классическую систему организации очереди $$М/М/2$$, которая имеет 2 обслуживающих прибора и 4 места ожидания так, чтобы самое большее в системе могли быть размещены заявки от 6 клиентов. Заявки от клиентов прибывают согласно Пуассоновскому процессу с интенсивностью $$\lambda = 1$$ в единицу времени клиента, а времена пребывания в системе являются экспоненциально распределенными со средней величиной $$\mu^{-1} = 1$$ единице времени.
Создать диаграмму переходов состояний для системы, где мы определяем состояние $$х$$ как общее количество клиентов в системе (либо находится на обслуживании, либо ожидает в очереди) ( $$х = 0, 1, \dots , 6$$ ). Найти вероятность того, что заявка: (а) будет обслужена немедленно, (b) будет обслужена после задержки, или (с) будет блокирована.
Разобьем систему на две идентичных подсистемы так, чтобы каждая подсистема имела один обслуживающий прибор и два места ожидания. Во время прибытия для заявки от клиента выбирается одна из этих двух систем с вероятностью, которая пропорциональна числу свободных позиций (обслуживающих приборов + места ожидания). Состояние системы определено как $$(i,j),0 \le i,j \le 3$$, где $$i$$ обозначает число заявок от клиентов в первой подсистеме и $$j$$ - число заявок от клиентов во второй подсистеме. Первая подсистема, таким образом, выбирается с вероятностью
$$p(1)=\frac{3-i}{6-(i+j)},$$а вторая подсистема выбирается с вероятностью
$$p(2)=\frac{3-j}{6-(i+j)}.$$Когда для заявки клиента выбирают подсистему, он остается в этой подсистеме.
Мы рассматриваем классическую систему организации очереди Эрланга $$М/М/3,$$ имеющую 3 обслуживающих прибора и неограниченное число мест ожидания в очереди. Заявки от клиентов поступают согласно Пуассоновскому процессу с интенсивностью $$\lambda =2$$ в единицу времени клиентов, а время обслуживания экспоненциально распределено с интенсивностью . Состояние системы определено как общее количество клиентов в системе.
Мы рассматриваем $$М/М/1$$ -систему организации очереди с одним обслуживающим прибором и бесконечной очередью. Клиенты прибывают согласно Пуассоновскому процессу со скоростью $$\lambda$$ клиентов в единицу времени, и время обслуживания - экспоненциально распределенное со средней величиной $$\mu^{-1}$$. Сервер выходит из строя со скоростью $$\gamma$$ (в состоянии свободно) и восстанавливается с интенсивностью $$\omega$$. Все временные интервалы экспоненциально распределены. Когда сервер выходит из строя, клиенты не обслуживаются. Для заявки от клиента, который находится в обслуживании, когда сервер сломался, обслуживание возобновляется, когда сервер восстановлен. Заявки от клиентов, прибывающие в течение периода ремонта, теряются.
Состояние системы определяется как $$(i,j) $$, где $$i (i = 0, 1,2, \dots) $$ - общее количество клиентов в системе и $$j (j = 0, 1) $$ - состояние обслуживающего прибора (сервера): 0 - при обслуживании, 1 - при ремонте.
Какова вероятность (выраженная вероятностями состояний), что вызов:
Объяснить распределение Кокса для временного интервала от начала до завершения обслуживания клиента.
Мы рассматриваем модель ремонта машин Пальма с четырьмя терминалами и двумя серверами, работающими параллельно. Времена раздумья - экспоненциально распределенные со средней величиной $$\gamma^{-1} = 2$$ единицы времени. Времена обслуживания - экспоненциально распределенные со средней величиной $$\lambda^{-1} = 1$$ единицы времени. Состояние системы определено обычным способом как число обслуживаемых терминалов или находящихся на ожидании.
Создать диаграмму переходов состояний и найти вероятности состояния $$р (i), i = 0, 1, \dots , 4$$ в момент статистического равновесия.
Найти среднее число терминалов, которые находятся в состоянии:
Найти, применяя Теорему Литла к очереди и на оба сервера, время реакции, которое является математическим ожиданием суммы времени ожидания обслуживания + времени обслуживания.
Теперь примем, что времена обслуживания подчиняются закону гипер распределения:
$$F(t)=\frac{1}{10}*(1-e^{t/7})+\frac{9}{10}*(1-e^{-3t}), t \ge 0.$$Состояние системы теперь определено как $$(i,j) $$, где $$i (i = 0,1, \dots, 4) $$ - число заявок, обслуживаемых в фазе один, и $$j (j= 0, 1, \dots, 4) $$ - число заявок, обслуживаемых в фазе два, $$0 \le i + j \le 4$$:
Также принимаем, что два сервера работают в режиме совместного использования процессора, когда более чем два терминала находятся в очереди. Таким образом, скорость обслуживания в состоянии $$(i,j) $$ тогда
$$\frac{i}{i+j}*2 \mu_1 +\frac{j}{i+j}*2 \mu_2$$Когда два или меньше терминалов обслуживаются, каждый терминал имеет собственный сервер.
Мы рассматриваем систему организации очереди $$М/Е_2/1$$, куда прибывают вызовы с интенсивностью $$\lambda$$ и временем обслуживания - распределенным в соответствии с Эрланговским распределением с интенсивностью $$2 \mu$$ в каждой из двух фаз.
Предположим, что все заявки от клиентов имеют вышеупомянутое распределение времени обслуживания, и выберем среднее время обслуживания как единицу времени. Рассмотрим систему организации очереди с двумя классами и предложенной нагрузкой, равной 0.4 Эрл на каждый класс. Один из классов имеет более высокий приоритет. Найдите среднее время ожидания для клиентов в каждом из двух классов, когда дисциплина организации очереди:
Заявки прибываютв компьютерную систему согласно Пуассоновскому процессу с интенсивностью $$\lambda$$.
Время обслуживания имеет гиперэкспоненциальное распределение с двумя фазами, обозначенными а и соответственно b:
$$F(t) = р(1- е^{-\mu_a t}) + {1- р)(1 -e^{-\mu_bt})$$
Найти предложенную нагрузку А.
Далее мы принимаем, что $$А < 1$$. Компьютерная система работает как система с одним обслуживающим прибором (процессор), использующим совместную дисциплину организации очереди, то есть если в системе есть $$x$$ заявок, то работа в фазе а обслуживается со скоростью $$\mu_a/x$$ и работа в фазе b обслуживается со скоростью $$\mu_b/х$$. Состояние системы определяется $$(i,j) $$, где $$i$$ - число заявок в фазе a, a $$j$$ - число вакансий в фазе b. Диаграмма переходов состояний будет двухмерной со структурой, показанной на рисунке.
Показать, рассматривая вышеупомянутые четыре состояния, что диаграмма переходов состояний обратима. $$М/М/1$$ -система организации очереди с предложенной нагрузкой (при $$А<1$$ ) имеет вероятности состояния равновесия:
$$р(i)=р(0)*А^i,\\ i = 0,1,2, \dots$$Показать, выражая вероятности состояния через состояние $$p(0; 0) $$, что вышеупомянутая система $$М/Н2/1$$, где процессор совместно использует систему, имеет те же самые вероятности состояний, что и $$М/М/1$$, когда мы предполагаем, что:
$$p(i)=\sum_{x-0}^ip(x, i-x), i=0,1,2, \dots,$$и рассматриваем только $$i = 1$$ и $$2$$.
Мы рассматриваем следующую циклическую систему организации очереди.
Шесть заявок циркулируют в системе и обслуживаются альтернативно в центральном процессоре (экспоненциально распределенное время обслуживания со средней величиной $$\mu^{-1}=\frac12$$ единицы времени) и в один из двух каналов ввода/вывода (полная доступность, экспоненциально распределенное время обслуживания со средней величиной $$\mu^{-1} = 1$$ единица времени). Если оба канала ввода/вывода являются свободными, заявка выбирает канал случайным образом.
Состояние системы определяется как число заявок, которые обслуживаются или ждут в очереди в центральном процессоре (соответствует числу заявок в блоке Центральный процессор на рисунке). Предполагается, что система находится в статистическом равновесии.
Вычислить
Вероятности состояния, полученные в вопросе 1 - математические ожидания времени, то есть вероятности состояния в случайный момент времени.
Найти вероятности состояния, для заявки, которая только закончила обслуживание в "канале ввода-вывода" и поступает в систему очередь - центральный процессор (математическое ожидание вызова). Затем вычислите вероятность, что заявка будет ожидать обслуживания (положительное время ожидания) в Центральном процессоре, соответственно в каналах ввода-вывода.
Найдите средние времена ожидания для задержанного вызова в центральном процессоре, соответственно в канале ввода-вывода.
Основные положения
"Дырявое ведро" - механизм для управления ячейкой (пакетом) в ходе поступления вызовов в процессе соединения в СИСТЕМЕ ATM. Механизм соответствует системе организации очереди с постоянным временем обслуживания (длина ячейки =53 байта) и ограниченным буфером. Если процесс поступления вызовов - Пуассоновский процесс, то мы имеем $$M/D/1/k$$ -систему. Размер утечки из "ведра" соответствует средней интенсивности поступления заявок, принимаемых за достаточно длительный период, тогда как размер "ведра" (буфер) обозначает избыток, разрешенный в течение короткого временного интервала. В системе ATM механизм работает как виртуальная система организации очереди, где ячейка либо принимается немедленно, либо отклоняется. Счетчик указывает значение функции нагрузки. Контракт между оператором (сеть) и пользователем (соединение) согласовывает размер утечки и "ведра" и основан на информации о том, какое качество обслуживания способна гарантировать сеть.
Упражнение
Сначала рассмотрим систему организации очереди $$М/D/1$$, в которой примем Пуассоновский поток вызовов с интенсивностью $$\lambda = 0,6931$$ вызова в единицу времени, постоянное время обслуживания, которое мы выбираем как единицу времени, и один сервер. Число мест ожидания неограниченно, и система находится в статистическом равновесии.
Какова вероятность, что вызов будет:
Мы рассматриваем систему организации очереди с одним обслуживающим прибором $$M/G/X$$, куда заявки от клиентов прибывают согласно Пуассоновскому процессу. Есть три типа клиентов.
Найти среднее время ожидания для случайного клиента, когда нет никакого приоритета.
Тип 1 и тип 2 имеют приоритет возвращения к работе по отношению к типу 3, так, что на эти два типа не влияет тип 3.
Тип 1 не имеет приоритета по сравнению с двумя типами.
Рассмотрим аэропорт, где сервер обслуживает единственную взлетно-посадочную полосу. Нагрузка в течение одного утреннего часа пик состоит из прибывающих и взлетающих самолетов. Оба вида использования взлетно-посадочной полосы осуществляются следующим образом.
Мы рассматриваем С-Эрланговскую систему времени Эрл (Пуассоновский поток вызовов и экспоненциальное время обслуживания). Среднее время обслуживания - 60 секунд.
Найти среднее время ожидания для всех клиентов.
Мы теперь делим вышеупомянутую предложенную нагрузку на ДЕ приоритетных класса.
А = 1 Эрл. для высокоприоритетных клиентов.А = 2 Эрл. для низкоприоритетных клиентов.Оба класса все еще имеют одинаковое среднее время обслуживани 60 секунд.
Сначала рассмотрим неприоритетную стратегию возвращения к работе
Показать, что закон сохранения верен для этой системы.
Рассмотрим приоритетную стратегию возвращения к работе. Из-; свойств экспоненциального распределения - закон сохранения таю* справедлив для этой модели.
Мы рассматриваем следующую открытую сеть очередей:
Сеть очередей состоит из двух узлов, оба имеют дисциплину обслуживания типа $$М/М/1$$. Заявки от клиентов прибывают извне согласно Пуассоновскому процессу с интенсивностью $$\lambda_а = 0,36$$ вызова в единицу времени и экспоненциально распределенным временем обслуживания со средней величиной $$\mu_1^{-1} = 2$$ единицы времени, и соответственно $$\mu_2^{-1} = 1$$ единицы времени. Вероятность $$р$$, с которой заявка от клиента, будучи обслужена во втором узле, вернется к первому узлу, равна $$р = 0,1$$,, и $$\lambda_ь$$ - полная интенсивность прибытия к каждому из этих двух узлов.
Какой интервал является $$p$$ -ограниченным, если система находится в статистическом равновесии?
Далее мы принимаем, что предложенная нагрузка к первому узлу и соответственно узлу два, является 0.8 Эрл и соответственно 0.4 Эрл.
Мы рассматриваем снова ту же самую открытую сеть организации очередей, как в вопросах 1-3. Создайте двухмерную диаграмму переходов состояний сети организации очереди, где мы имеем следующие переходы состояния:
Рассмотрим закрытую сеть очередей с 2 узлами и одним обслуживающим прибором с дисциплиной типа $$М/М/1$$. После окончания обслуживания в узле заявку от клиента передают другому узлу. В сети организации очередей общее количество заявок от клиентов - $$S$$. Скорости обслуживания (интенсивность) в узле 1 и 2 - $$\mu_1$$ и $$\mu_2$$ соответственно.
Предложим, что система находится в статистическом равновесии. Состояние системы, $$i$$ определяется числом клиентов в узле 1 (тогда во втором узле будет $$S - i$$ клиентов).
FCFS ).MVA, чтобы найти среднее число клиентов в обоих узлах.Мы рассматриваем модель восстановления машин с 4 клиентами (источники, терминалы). Заявки от клиентов имеют экспоненциально распределенные времена раздумья клиентов с интенсивностью обслуживания $$\mu_1 = 0,5$$ в единицу времени ( узел 1 ). Заявки обслуживаются последовательно единственным обслуживающим прибором. Заявка сначала обслуживается в узле 2, который является единственным обслуживающим прибором с экспоненциально распределенными временами обслуживания со средней величиной $$\mu_2^{-1} = 1$$ единицы времени. Затем заявка от клиента поступает к узлу 3, который является единственным обслуживающим прибором с экспоненциально распределенными временами обслуживания со средней величиной $$\mu_3^{-1} = \frac12$$ единицы времени. После окончания обслуживания в узле 3 заявка от клиента возвращаются к узлу 1, и запускается новое время раздумья.
Эта система - единственная цепная циклическая сеть организации очереди с 3 узлами и 4 идентичными источниками. Узел 1 (терминалы) соответствует $$М/М/\infty$$ системе организации очереди тогда, как и узел 2, и узел 3 - $$М/М/1$$ -системы с одним обслуживающим прибором. Заявки от клиентов циркулируют между узлами в циклической последовательности 1,2,3, 1,2,…….
Рассмотрим систему с потерями Энгсета с $$S = 6$$ источниками и $$n = 3$$ каналами. Интенсивность поступления вызовов от свободного источника $$\gamma = 2$$ вызова в единицу времени и среднее время обслуживания $$\mu^{-1} = 1$$ (выбрано как единица времени).
Вычислить потери по времени $$Е$$, используя формулу, рекурсивную по $$п$$. Показать каждый шаг в рекурсии.
Рассмотрим закрытую сеть очередей с $$К= 2$$ узлами и $$S= 6$$ клиентами. Каждый узел имеет бесконечное число мест ожидания и скорость обслуживания $$\mu_1$$ на один обслуживающий прибор.
Второй узел - $$М/М/3$$ -
Маршрутизация является циклической - такой, что клиент, обслуженный в первом узле, переходит во второй узел а клиент, обслуженный во втором узле, переходит на обслуживание в первый узел. Клиент, получивший отказ во втором узле, возвращается в первый узел (то есть остается). Предположим, что скорость циркуляции - $$\lambda_с$$, и обозначим $$\alpha_1 = \lambda_c/\mu_1$$ и $$\alpha_2 =\lambda_c/\mu_2$$. Это сеть очередей с блокировкой, она имеет описание в форме произведения.
Это приложение содержит задачи, которые даются на тестовых экзаменах в Датском Техническом Университете.
Предполагается, что настоящее русское издание в Интернете будет содержать Интернет-версию этих тестовых задач, представленную для автоматического тестирования с помощью системы альтернативных вопросов, где будет более подробно рассмотрен процесс решения.
Рассмотрим Интернет-кафе. Клиенты прибывают случайно, в среднем 20 клиентов в час. Среднее время использования терминала -15 минут.
Вопрос. 1.1: Найдите предложенную нагрузку, измеренную в единицах среднего времени обслуживания в течение одного часа.
Вопрос. 1.2: Найдите предложенную нагрузку, измеренную в Эрлангах.
Рассмотрим ячейку в сотовой системе связи. Есть два процесса поступления вызовов.
Вопрос. 2.1: Найдите предложенную нагрузку для каждого потока нагрузки и полную предложенную нагрузку в Эрлангах.
К компьютерной системе поступают три типа задач:
Все задачи прибывают согласно Пуассоновскому процессу, и времена обслуживания являются постоянными.
Интенсивность поступления задач следующая:
Вопрос. 3.1: Найдите предложенную нагрузку для каждого типа и полную предложенную нагрузку.
Процесс поступления вызовов к системам возникает согласно Пуассоновскому процессу со скоростью $$\lambda = 2$$ вызовов в единицу времени. Каждый вызов занимает два канала в течение целого времени занятия, которое является экспоненциально распределенным со средней величиной $$s = 3$$ единицы времени.
Вопрос. 4.1: Найдите предложенную нагрузку на вызовах (подключения).
Вопрос. 4.2: Найдите предложенную нагрузку в каналах.
Мы рассматриваем нагрузку к цифровой станции, содержащую вызовы цифровой сети интегрального обслуживания (1 вызов на канал) и цифровой сети интегрального обслуживания с 2 вызовами (2 вызова на канал).
Вопрос. 5.1: Найдите предложенную нагрузку (измеренную в каналах) для каждого типа и общее количество предложенной нагрузки.
Цифровые линия связи 2.048 Мгб/с в среднем принимают 128 пакетов в секунду. Пакет содержит в среднем 1500 байтов (1 байт = 8 битов).
Вопрос. 6.1: Найдите использование $$\xi$$, линии связи.
В торговом центре есть игровой зал. Посетители решают, случайно и независимо друг от друга, войти и поиграть, но если все игровые машины заняты, то они переходят в другое место (как альтернатива имеется Интернет-кафе).
В течение часов работы в среднем входят, чтобы поиграть, 40 человек в час.
Люди выбирают первую от входа свободную машину и играют в среднем по 6 минут (экспоненциально распределенных). Игровая машина имеет в среднем доход, равный 100 эре в минуту, если она используется. Полные расходы за арендную плату комнат и обслуживания на одну машину - 20 крон в час, независимо от того, используется она или нет. По В-формуле Эрланга можно вычислить, используя рекурсивную формулу, таблицы или компьютеры:
Выгодно ли иметь машин больше или меньше, чем 4?
Каково оптимальное число машин?
Далее мы предполагаем, что число машин - 4.
Определение метода случайного доступа
Мы рассматриваем систему $$М/G/l$$, куда сообщения прибывают согласно Пуассоновскому процессу с интенсивностью (скоростью) $$\lambda$$, а распределение времени пребывания в системе дается $$F(t) $$ со средней величиной $$s=1$$.
Есть бесконечное число обслуживающих приборов, и вероятности состояний системы зависят только от распределения времени пребывания в системе через среднюю величину (нечувствительность).
Найти предложенную нагрузку и вероятности состояния согласно предположению о статистическом равновесии.
Сообщение обслуживается правильно, только если является единственным в течение всего времени пребывания в системе. Таким образом, система должна быть пуста во время прибытия, и ни один новый вызов не может поступить в течение времени пребывания в системе предыдущего вызова.
В следующих двух вопросах мы принимаем, что время пребывания в системе является постоянным со средней величиной
$$s=1$$.Найти нагрузку, которая будет обслужена правильно, и показать, что она имеет максимум, равный $$1/2е= 0,1839$$ для $$\lambda = 0,5$$.
В остающейся части упражнения примем, что время пребывания в системе является экспоненциально распределенным со средней величиной $$s= 1$$.
Мы рассматриваем чистую систему с потерями с 4 каналами. События возникают в процессе поступления вызовов согласно Пуассоновскому процессу с интенсивностью $$\lambda =1 [\mbox{события/единица времени}]$$. Каждое событие соответствует двум попыткам вызова, которые обслуживаются независимо. Если в момент прибытия есть только один свободный канал, то одна из этих двух случайных попыток вызова будет отклонена. Время обслуживания - экспоненциально распределенное со средней величиной
$$\mu^{-1} = 1 [\mbox{единица времени}]$$Показать, что вероятности состояний согласно предположению о статистическом равновесии будут:
$$\left \{ \frac{12}{49}, \frac{12}{49}, \frac{12}{49}, \frac{8}{49}, \frac{5}{49} \right \}$$Найдите потери по нагрузке (соотношение предложенной и потерянной нагрузок).
Мы рассматриваем систему с потерями Эрланга с $$n = 3$$ обслуживающими приборами. Процесс поступления вызовов - Пуассоновский процесс с интенсивностью $$\lambda = 0,5$$ в единицу времени вызова. Время обслуживания является экспоненциально распределенным со средней величиной 4 единицы времени.
Мы рассматриваем систему с потерями, которая имеет 4 канала и обслуживает РСТ-1 нагрузку. Интенсивность поступления (интенсивность) $$\lambda - 1$$ вызов в единицу времени, и среднее время обслуживания $$\mu^{-1} - 2$$ единицы времени. Система предположительно находится в статистическом равновесии.
Рассмотрим систему с потерями с двумя каналами (обслуживающие приборы). Попытки вызова прибывают согласно Пуассоновскому процессу интенсивностью $$\lambda$$ вызовов в единицу времени. Время обслуживания $$\lambda$$ распределено в соответствии с Эрланговским распределением с интенсивностью $$2 \mu$$ в каждой из этих двух фаз.
Создать диаграмму переходов состояний системы, где состояние обозначает число вызовов в системе и фазы вызовов. Примените следующее состояния, где $$а$$ и $$b$$ обозначают эти две фазы.
Мы рассматриваем Энгсетовскую систему с потерями с 3 серверами, у которых предложенная нагрузка производится из 4 однородных источников. Свободный источник генерирует вызовы с интенсивностью $$\lambda = 1/2 [\mbox{вызов/единица времени}]$$, и время обслуживания является экспоненциально распределенным со средней величиной $$\mu^{-1} = 1 [\mbox{единица времени}]$$.
Мы рассматриваем систему с потерями с $$n = 2$$ каналами. Состояние системы $$i$$ определяется как число занятых каналов. Заявки от клиентов прибывают согласно Пуассоновскому процессу с интенсивностью, зависящей от состояния.
$$\gamma(i)=\frac{3-i}{4-i}* \gamma[\mbox{заявок в единицу времени}], \quad 0 \le i \le 3.$$Для всех других состояний $$\gamma(i) = 0$$.. Мы выбираем $$\gamma = 1$$ заявки в единицу времени, а время обслуживания - экспоненциально распределенное с интенсивностью $$\mu = 1$$ заявок в единицу времени.
Мы рассматриваем Энгсетовскую модель с $$S = 4$$ источниками. Среднее время пребывания в системе выбрано как единица времени ( $$\mu^{-1} = 1$$ ). Интенсивность поступления свободного источника - $$\gamma = 1/3$$. Оба временных интервала являются экспоненциально распределенными. Число каналов бесконечно, то есть $$п \le S$$. Состояние системы определено как число занятых каналов. Вышеупомянутая система - модель несинхронной системы АЛОХАа с $$S$$ передатчиками и экспоненциально распределенными длинами пакета.
Мы рассматриваем полную доступную Энгсетовская систему с потерями с $$n = 3$$ канала. На систему поступает предложенная нагрузка от $$S= 4$$ источников. Интенсивность поступления от свободного источника - $$\gamma_1 = 1/2$$ попыток вызова в единицу времени. Среднее время пребывания в системе выбрано как единица времени ( $$\mu_1^{-1} = 1/2$$ ). Все временные интервалы являются экспоненциально распределенными. Состояние системы определено как число занятых каналов, и каждый занятый источник занимает один канал.
Найти потери по времени $$Е$$, потери по вызовам $$В$$ и потери по нагрузке $$С$$.
Дополним источник, отличающийся от вышеупомянутого источника. Этот источник имеет интенсивность в свободное время, и интенсивность обслуживания в системе равные одной единице времени ( $$\gamma_2 = \mu_2= 1$$ ). Источник, когда он занят, использует только один канал.
Мы рассматриваем систему перегрузки, состоящую из первичной группы с одним каналом и группы перегрузки также с одним каналом ( Brockmeyer -система).
Прерывистый Пуассоновский процесс может описать процесс поступления вызовов к группе перегрузки.
Найти параметры для этого процесса перегрузки:
ON периодов ( $$\gamma$$ );OFF периодов ( $$\omega$$ ).Показать, что вероятности состояний дают:
$$p(0,ON)=\frac{3}{10}, \quad p(0, OFF)=\frac{4}{10,\\ p(1,ON)=\frac{2}{10}, \quad p(1,OFF)=\frac{1}{10}$$.Вычислить потери по времени и потери по вызовам для:
Сравните последний результат с перегрузкой, полученной согласно В-формуле Эрланга.
Мы рассматриваем полнодоступную систему с потерями, имеющую $$n = 3$$ канала. На систему поступает нагрузка Паскаля, и в состоянии $$i$$ интенсивность поступления - $$\gamma (S+i) $$. Число источников - $$S=4$$. Интенсивность поступления свободного источника - $$\gamma = 1/3$$. Среднее время пребывания в системе выбрано как единица времени ( $$\mu^{-1} = 1$$ ).
Все временные интервалы являются экспоненциально распределенными. Состояние системы определяется как число занятых каналов.
Примечание: таблица В-формулы Эрланга для числа каналов от $$п =1$$ до 10 (с шагом = 1) и нагрузки А = 0 от 10 (с шагом = 0.25) приложена.
ERT. Примите, что вышеупомянутая нагрузка - от системы с 4 каналами, которым предлагается 5 Эрл.Мы рассматриваем систему с потерями с 3 идентичными серверами, обслуживающими два различных типа клиентов, заявки от которых прибывают согласно Пуассоновским процессам с интенсивностью:
тип 1: $$\lambda_1$$ [заявок/единица времени],
тип 2: $$\lambda_2$$ [заявок/единица времени].
Оба типа заявок от клиентов имеют одинаковое экспоненциально распределенное распределение времени обслуживания со средней величиной $$т = 1/ \mu$$ [единицы времени].
Клиенты типа 1 имеют полную доступность к трем обслуживающим приборам (серверам). Клиенты типа 2 блокированы, если во время прибытия заявок занят более чем один обслуживающий прибор.
Состояние системы определяется как общее количество обслуживаемых клиентов.
Найти выраженные с помощью вероятностей состояний потери по вызовам для клиентов типа 1 и типа 2.
Определим состояние системы как $$(i,j) $$, где $$i$$ - число обслуживаемых заявок от клиентов типа 1 и $$j$$ - число обслуживаемых заявок от клиентов типа 2.
Мы рассматриваем систему с потерями с двумя обслуживающими приборами. Вызовы прибывают согласно Пуассоновскому процессу с интенсивностью 20 вызовов в час. Время пребывания в системе экспоненциально распределенное, со средней величиной 180 секунд. Дать числовые ответы.
Вычислить, используя рекурсивную формулу для В-формулы Эрланга, характеристики перегрузки системы (потери по времени равняется потерям по вызовам и потерям по нагрузке). Покажите отдельные шаги рекурсии.
Назовем вышеупомянутую систему подсистемой. Предположим теперь, что система состоит из двух подсистем вышеупомянутого типа (полная интенсивность поступления вызовов равняется 40 вызовам в час, имеется всего 4 полностью доступных обслуживающих прибора).
Создать одномерную диаграмму переходов состояний для полной системы и вычислить согласно предположению о статистическом равновесии вероятности состояния $$р (i) (i = 0, 1,2, 3, 4) $$.
Система работает следующим образом.
Для каждого вызова находят обслуживающий прибор в своей собственной подсистеме. Если оба обслуживающих прибора также заняты в этой системе, она блокируется. Состояние системы обозначается
$$(i,j) 0 \le i,j \le 2;$$где $$i$$ и соответственно $$j$$ обозначают число занятых обслуживающих приборов в подсистеме 1, соответственно в подсистеме 2.
Создать двухмерную диаграмму переходов состояний для этой системы, используя следующие состояния.
Вычислить вероятности состояний двухмерной диаграммы переходов состояний, учитывая симметрию и используя объединенные вероятности состояний, рассчитанные в вопросе 3. (Все состояния в вопросе 5 с несколькими занятыми обслуживающими приборами, полученные в вопросе 3, объединены в единственное состояние).
Мы рассматриваем полностью доступную систему с потерями с $$n=5$$ каналами, на которую поступают два потока нагрузки. Все процессы поступления вызовов и времена обслуживания имеют тип М. (Пуассоновский экспоненциальный) Все параметры приведены ниже в единицах времени:
| Поток нагрузки 1: | Интенсивность поступления $$\lambda_1 = 2$$, |
| Среднее время обслуживания $$\mu_1^{-1}= 1$$, | |
| Каждый вызов требует $$d_1 = 1$$, сервера. | |
| Поток нагрузки 2: | Интенсивность прибытия $$\lambda_2 = 1$$, |
| Среднее время обслуживания $$\mu_1^{-1}=1/2$$, | |
| Каждый вызов требует $$d_2= 2$$ сервера. |
Если попытки вызова не могут быть обслужены при заданной пропускной способности во время их поступления, то это они теряются (Явные потери вызовов).
Показать, что диаграмма переходов состояний обратима, и найти все вероятности состояний $$р (i, j) $$, выраженных через $$р (0, 0) $$. Найдите потери по времени, потери по вызовам и потери по нагрузке для обоих потоков нагрузки.
Пусть $$p(j) $$, обозначают суммирование всего состояния, где общее количество занятых серверов:
$$p(j)=\sum_{x=0}^j p(x,j-x)$$Показать, что следующая рекурсивная формула справедлива для системы, которую рассматривают:
$$j \cdot p(j)=\sum_{i=1}^2 \frac{\lambda_i}{\mu_i} \cdot d_i \cdot p(j-d_i)$$.Мобильная система связи с $$S = 4$$ абонентами имеет доступ к $$n = 3$$ каналам. Все принятые вызовы занимают один канал в течение экспоненциально распределенного временного интервала со средней величиной $$\mu^{-1}= 1$$ единицы времени. Система используется как
РСТ-П ). Свободный источник генерирует $$\gamma = 1/4$$ попыток вызова в единицу времени;PCT -IРСТ-II потока нагрузки, и найти эквивалентное число источников (не используя интеграл) и интенсивность поступления вызовов на один свободный источник.Пояснения для ориентировки
Вокодеры (шифровальщики речи) выполняют алгоритм обработки речи. Для уменьшения необходимой пропускной способности используется датчик речевой активности, который указывает на перерывы речи и активные речевые периоды (всплеск пакетов). Постоянная скорость передачи информации в битах в течение периодов активности речи - $$D$$. Для некоторых известных шифровальщиков (как G.723 и G.729) применяется передача информации с постоянной скоростью $$d$$ бит в течение периодов молчания, в период активности применяется скорость немного выше, чем $$D = 2$$, для того, чтобы отобразить уровень фоновых шумов и другие параметры. Коэффициент активности речи - процент времени, когда вызов (абонент) находится в активном речевом состоянии. Это значение обычно приблизительно составляет 40 %. Для простоты мы выбираем следующие значения $$D = 2; d = 1$$ и коэффициент речевой активности = 0,5. Качество речи ухудшается больше чем на несколько процентов, если потеряны несколько всплесков.
Задача
Мы рассматриваем систему с потерями с $$n = 5$$ каналов. Попытки вызова поступают согласно Пуассоновскому процессу с интенсивностью $$\lambda = 2$$ вызова в единицу времени. Предполагаем, что допустимо не более 4 одновременных вызовов в системе. Принятый вызов находится в одном из двух состояний: или состояние молчания, где задействован один канал, или активное состояние речи (всплеск разговора), где используется два канала (если это возможно). Принимаем, что вызов поступает в состоянии молчания (при прибытии нуждается в одном канале) и может закончиться только переходом в состояние тишины, то есть скорость обслуживания - 0 в активном речевом состоянии и $$\mu = 1 (\mbox{единица времени})^{-1}$$ в состоянии молчания. (Все временные интервалы являются экспоненциально распределенными.) Каждое изменение вызова от молчания до активности речи (то есть начало всплеска разговора) происходит с той же скоростью 8, что и скорость изменения от активности речи до молчания (конец всплеска разговора). Если нет ни одного свободного канала, всплеск разговора теряется и вызов прибывает в состоянии молчания (потерянный всплеск разговора - модель с потерями, сравните с Энгсетовской моделью). В этой задаче скорость $$\delta$$ может быть выбрана произвольно так, например, можно выбрать $$\delta =1$$.
Мы определяем состояние системы как $$(i, j) $$, где $$i (0 le i \le 4) $$ - число вызовов в системе, и $$j (0 \le j \le i) $$ - число вызовов в состоянии "активная речь". Кроме того, мы имеем ограничение $$i +j \le 5$$ из-за общего количества каналов $$n = 5$$. Таким образом, получаем состояния, следующим образом используя рисунок, приведенный далее.
Найти (выраженные вероятностями состояния) потери по времени и потери по вызовам для всплеска разговора.
Мы рассматриваем модель восстановления машин с 4 терминалами, имеющими экспоненциально распределенные времена раздумья с интенсивностью $$\lambda = 3$$ события в единицу времени. Два различных одиночных сервера обслуживают терминалы. С вероятностью Уз терминал нуждается в обслуживании от сервера 1, и с вероятностью 2/3 терминал нуждается в обслуживании от сервера 2. Сервер 1 имеет экспоненциально распределенное время обслуживания со средней величиной $$\mu_1^{-1} = 1$$ единица времени, и сервер 2 имеет экспоненциально распределенное время обслуживания со средней величиной $$\mu_2^{-1} = 1/2$$ единицы времени. Терминал, обслуживаемый одним сервером, начинает новое время раздумья.
В модели восстановления машин есть два типа ошибок, каждая из которых нуждается в специализированном сервере.
Мы рассматриваем классическую систему организации очереди $$М/М/2$$, которая имеет 2 обслуживающих прибора и 4 места ожидания так, чтобы самое большее в системе могли быть размещены заявки от 6 клиентов. Заявки от клиентов прибывают согласно Пуассоновскому процессу с интенсивностью $$\lambda = 1$$ в единицу времени клиента, а времена пребывания в системе являются экспоненциально распределенными со средней величиной $$\mu^{-1} = 1$$ единице времени.
Создать диаграмму переходов состояний для системы, где мы определяем состояние $$х$$ как общее количество клиентов в системе (либо находится на обслуживании, либо ожидает в очереди) ( $$х = 0, 1, \dots , 6$$ ). Найти вероятность того, что заявка: (а) будет обслужена немедленно, (b) будет обслужена после задержки, или (с) будет блокирована.
Разобьем систему на две идентичных подсистемы так, чтобы каждая подсистема имела один обслуживающий прибор и два места ожидания. Во время прибытия для заявки от клиента выбирается одна из этих двух систем с вероятностью, которая пропорциональна числу свободных позиций (обслуживающих приборов + места ожидания). Состояние системы определено как $$(i,j),0 \le i,j \le 3$$, где $$i$$ обозначает число заявок от клиентов в первой подсистеме и $$j$$ - число заявок от клиентов во второй подсистеме. Первая подсистема, таким образом, выбирается с вероятностью
$$p(1)=\frac{3-i}{6-(i+j)},$$а вторая подсистема выбирается с вероятностью
$$p(2)=\frac{3-j}{6-(i+j)}.$$Когда для заявки клиента выбирают подсистему, он остается в этой подсистеме.
Мы рассматриваем классическую систему организации очереди Эрланга $$М/М/3,$$ имеющую 3 обслуживающих прибора и неограниченное число мест ожидания в очереди. Заявки от клиентов поступают согласно Пуассоновскому процессу с интенсивностью $$\lambda =2$$ в единицу времени клиентов, а время обслуживания экспоненциально распределено с интенсивностью . Состояние системы определено как общее количество клиентов в системе.
Мы рассматриваем $$М/М/1$$ -систему организации очереди с одним обслуживающим прибором и бесконечной очередью. Клиенты прибывают согласно Пуассоновскому процессу со скоростью $$\lambda$$ клиентов в единицу времени, и время обслуживания - экспоненциально распределенное со средней величиной $$\mu^{-1}$$. Сервер выходит из строя со скоростью $$\gamma$$ (в состоянии свободно) и восстанавливается с интенсивностью $$\omega$$. Все временные интервалы экспоненциально распределены. Когда сервер выходит из строя, клиенты не обслуживаются. Для заявки от клиента, который находится в обслуживании, когда сервер сломался, обслуживание возобновляется, когда сервер восстановлен. Заявки от клиентов, прибывающие в течение периода ремонта, теряются.
Состояние системы определяется как $$(i,j) $$, где $$i (i = 0, 1,2, \dots) $$ - общее количество клиентов в системе и $$j (j = 0, 1) $$ - состояние обслуживающего прибора (сервера): 0 - при обслуживании, 1 - при ремонте.
Какова вероятность (выраженная вероятностями состояний), что вызов:
Объяснить распределение Кокса для временного интервала от начала до завершения обслуживания клиента.
Мы рассматриваем модель ремонта машин Пальма с четырьмя терминалами и двумя серверами, работающими параллельно. Времена раздумья - экспоненциально распределенные со средней величиной $$\gamma^{-1} = 2$$ единицы времени. Времена обслуживания - экспоненциально распределенные со средней величиной $$\lambda^{-1} = 1$$ единицы времени. Состояние системы определено обычным способом как число обслуживаемых терминалов или находящихся на ожидании.
Создать диаграмму переходов состояний и найти вероятности состояния $$р (i), i = 0, 1, \dots , 4$$ в момент статистического равновесия.
Найти среднее число терминалов, которые находятся в состоянии:
Найти, применяя Теорему Литла к очереди и на оба сервера, время реакции, которое является математическим ожиданием суммы времени ожидания обслуживания + времени обслуживания.
Теперь примем, что времена обслуживания подчиняются закону гипер распределения:
$$F(t)=\frac{1}{10}*(1-e^{t/7})+\frac{9}{10}*(1-e^{-3t}), t \ge 0.$$Состояние системы теперь определено как $$(i,j) $$, где $$i (i = 0,1, \dots, 4) $$ - число заявок, обслуживаемых в фазе один, и $$j (j= 0, 1, \dots, 4) $$ - число заявок, обслуживаемых в фазе два, $$0 \le i + j \le 4$$:
Также принимаем, что два сервера работают в режиме совместного использования процессора, когда более чем два терминала находятся в очереди. Таким образом, скорость обслуживания в состоянии $$(i,j) $$ тогда
$$\frac{i}{i+j}*2 \mu_1 +\frac{j}{i+j}*2 \mu_2$$Когда два или меньше терминалов обслуживаются, каждый терминал имеет собственный сервер.
Мы рассматриваем систему организации очереди $$М/Е_2/1$$, куда прибывают вызовы с интенсивностью $$\lambda$$ и временем обслуживания - распределенным в соответствии с Эрланговским распределением с интенсивностью $$2 \mu$$ в каждой из двух фаз.
Предположим, что все заявки от клиентов имеют вышеупомянутое распределение времени обслуживания, и выберем среднее время обслуживания как единицу времени. Рассмотрим систему организации очереди с двумя классами и предложенной нагрузкой, равной 0.4 Эрл на каждый класс. Один из классов имеет более высокий приоритет. Найдите среднее время ожидания для клиентов в каждом из двух классов, когда дисциплина организации очереди:
Заявки прибываютв компьютерную систему согласно Пуассоновскому процессу с интенсивностью $$\lambda$$.
Время обслуживания имеет гиперэкспоненциальное распределение с двумя фазами, обозначенными а и соответственно b:
$$F(t) = р(1- е^{-\mu_a t}) + {1- р)(1 -e^{-\mu_bt})$$Найти предложенную нагрузку А.
Далее мы принимаем, что $$А < 1$$. Компьютерная система работает как система с одним обслуживающим прибором (процессор), использующим совместную дисциплину организации очереди, то есть если в системе есть $$x$$ заявок, то работа в фазе а обслуживается со скоростью $$\mu_a/x$$ и работа в фазе b обслуживается со скоростью $$\mu_b/х$$. Состояние системы определяется $$(i,j) $$, где $$i$$ - число заявок в фазе a, a $$j$$ - число вакансий в фазе b. Диаграмма переходов состояний будет двухмерной со структурой, показанной на рисунке.
Показать, рассматривая вышеупомянутые четыре состояния, что диаграмма переходов состояний обратима. $$М/М/1$$ -система организации очереди с предложенной нагрузкой (при $$А<1$$ ) имеет вероятности состояния равновесия:
$$р(i)=р(0)*А^i,\\ i = 0,1,2, \dots$$Показать, выражая вероятности состояния через состояние $$p(0; 0) $$, что вышеупомянутая система $$М/Н2/1$$, где процессор совместно использует систему, имеет те же самые вероятности состояний, что и $$М/М/1$$, когда мы предполагаем, что:
$$p(i)=\sum_{x-0}^ip(x, i-x), i=0,1,2, \dots,$$и рассматриваем только $$i = 1$$ и $$2$$.
Мы рассматриваем следующую циклическую систему организации очереди.
Шесть заявок циркулируют в системе и обслуживаются альтернативно в центральном процессоре (экспоненциально распределенное время обслуживания со средней величиной $$\mu^{-1}=\frac12$$ единицы времени) и в один из двух каналов ввода/вывода (полная доступность, экспоненциально распределенное время обслуживания со средней величиной $$\mu^{-1} = 1$$ единица времени). Если оба канала ввода/вывода являются свободными, заявка выбирает канал случайным образом.
Состояние системы определяется как число заявок, которые обслуживаются или ждут в очереди в центральном процессоре (соответствует числу заявок в блоке Центральный процессор на рисунке). Предполагается, что система находится в статистическом равновесии.
Вычислить
Вероятности состояния, полученные в вопросе 1 - математические ожидания времени, то есть вероятности состояния в случайный момент времени.
Найти вероятности состояния, для заявки, которая только закончила обслуживание в "канале ввода-вывода" и поступает в систему очередь - центральный процессор (математическое ожидание вызова). Затем вычислите вероятность, что заявка будет ожидать обслуживания (положительное время ожидания) в Центральном процессоре, соответственно в каналах ввода-вывода.
Найдите средние времена ожидания для задержанного вызова в центральном процессоре, соответственно в канале ввода-вывода.
Основные положения
"Дырявое ведро" - механизм для управления ячейкой (пакетом) в ходе поступления вызовов в процессе соединения в СИСТЕМЕ ATM. Механизм соответствует системе организации очереди с постоянным временем обслуживания (длина ячейки =53 байта) и ограниченным буфером. Если процесс поступления вызовов - Пуассоновский процесс, то мы имеем $$M/D/1/k$$ -систему. Размер утечки из "ведра" соответствует средней интенсивности поступления заявок, принимаемых за достаточно длительный период, тогда как размер "ведра" (буфер) обозначает избыток, разрешенный в течение короткого временного интервала. В системе ATM механизм работает как виртуальная система организации очереди, где ячейка либо принимается немедленно, либо отклоняется. Счетчик указывает значение функции нагрузки. Контракт между оператором (сеть) и пользователем (соединение) согласовывает размер утечки и "ведра" и основан на информации о том, какое качество обслуживания способна гарантировать сеть.
Упражнение
Сначала рассмотрим систему организации очереди $$М/D/1$$, в которой примем Пуассоновский поток вызовов с интенсивностью $$\lambda = 0,6931$$ вызова в единицу времени, постоянное время обслуживания, которое мы выбираем как единицу времени, и один сервер. Число мест ожидания неограниченно, и система находится в статистическом равновесии.
Какова вероятность, что вызов будет:
Мы рассматриваем систему организации очереди с одним обслуживающим прибором $$M/G/X$$, куда заявки от клиентов прибывают согласно Пуассоновскому процессу. Есть три типа клиентов.
Найти среднее время ожидания для случайного клиента, когда нет никакого приоритета.
Тип 1 и тип 2 имеют приоритет возвращения к работе по отношению к типу 3, так, что на эти два типа не влияет тип 3.
Тип 1 не имеет приоритета по сравнению с двумя типами.
Рассмотрим аэропорт, где сервер обслуживает единственную взлетно-посадочную полосу. Нагрузка в течение одного утреннего часа пик состоит из прибывающих и взлетающих самолетов. Оба вида использования взлетно-посадочной полосы осуществляются следующим образом.
Мы рассматриваем С-Эрланговскую систему времени Эрл (Пуассоновский поток вызовов и экспоненциальное время обслуживания). Среднее время обслуживания - 60 секунд.
Найти среднее время ожидания для всех клиентов.
Мы теперь делим вышеупомянутую предложенную нагрузку на ДЕ приоритетных класса.
А = 1 Эрл. для высокоприоритетных клиентов.А = 2 Эрл. для низкоприоритетных клиентов.Оба класса все еще имеют одинаковое среднее время обслуживани 60 секунд.
Сначала рассмотрим неприоритетную стратегию возвращения к работе
Показать, что закон сохранения верен для этой системы.
Рассмотрим приоритетную стратегию возвращения к работе. Из-; свойств экспоненциального распределения - закон сохранения таю* справедлив для этой модели.
Мы рассматриваем следующую открытую сеть очередей:
Сеть очередей состоит из двух узлов, оба имеют дисциплину обслуживания типа $$М/М/1$$. Заявки от клиентов прибывают извне согласно Пуассоновскому процессу с интенсивностью $$\lambda_а = 0,36$$ вызова в единицу времени и экспоненциально распределенным временем обслуживания со средней величиной $$\mu_1^{-1} = 2$$ единицы времени, и соответственно $$\mu_2^{-1} = 1$$ единицы времени. Вероятность $$р$$, с которой заявка от клиента, будучи обслужена во втором узле, вернется к первому узлу, равна $$р = 0,1$$,, и $$\lambda_ь$$ - полная интенсивность прибытия к каждому из этих двух узлов.
Какой интервал является $$p$$ -ограниченным, если система находится в статистическом равновесии?
Далее мы принимаем, что предложенная нагрузка к первому узлу и соответственно узлу два, является 0.8 Эрл и соответственно 0.4 Эрл.
Мы рассматриваем снова ту же самую открытую сеть организации очередей, как в вопросах 1-3. Создайте двухмерную диаграмму переходов состояний сети организации очереди, где мы имеем следующие переходы состояния:
Рассмотрим закрытую сеть очередей с 2 узлами и одним обслуживающим прибором с дисциплиной типа $$М/М/1$$. После окончания обслуживания в узле заявку от клиента передают другому узлу. В сети организации очередей общее количество заявок от клиентов - $$S$$. Скорости обслуживания (интенсивность) в узле 1 и 2 - $$\mu_1$$ и $$\mu_2$$ соответственно.
Предложим, что система находится в статистическом равновесии. Состояние системы, $$i$$ определяется числом клиентов в узле 1 (тогда во втором узле будет $$S - i$$ клиентов).
FCFS ).MVA, чтобы найти среднее число клиентов в обоих узлах.Мы рассматриваем модель восстановления машин с 4 клиентами (источники, терминалы). Заявки от клиентов имеют экспоненциально распределенные времена раздумья клиентов с интенсивностью обслуживания $$\mu_1 = 0,5$$ в единицу времени ( узел 1 ). Заявки обслуживаются последовательно единственным обслуживающим прибором. Заявка сначала обслуживается в узле 2, который является единственным обслуживающим прибором с экспоненциально распределенными временами обслуживания со средней величиной $$\mu_2^{-1} = 1$$ единицы времени. Затем заявка от клиента поступает к узлу 3, который является единственным обслуживающим прибором с экспоненциально распределенными временами обслуживания со средней величиной $$\mu_3^{-1} = \frac12$$ единицы времени. После окончания обслуживания в узле 3 заявка от клиента возвращаются к узлу 1, и запускается новое время раздумья.
Эта система - единственная цепная циклическая сеть организации очереди с 3 узлами и 4 идентичными источниками. Узел 1 (терминалы) соответствует $$М/М/\infty$$ системе организации очереди тогда, как и узел 2, и узел 3 - $$М/М/1$$ -системы с одним обслуживающим прибором. Заявки от клиентов циркулируют между узлами в циклической последовательности 1,2,3, 1,2,…….
Рассмотрим систему с потерями Энгсета с $$S = 6$$ источниками и $$n = 3$$ каналами. Интенсивность поступления вызовов от свободного источника $$\gamma = 2$$ вызова в единицу времени и среднее время обслуживания $$\mu^{-1} = 1$$ (выбрано как единица времени).
Вычислить потери по времени $$Е$$, используя формулу, рекурсивную по $$п$$. Показать каждый шаг в рекурсии.
Рассмотрим закрытую сеть очередей с $$К= 2$$ узлами и $$S= 6$$ клиентами. Каждый узел имеет бесконечное число мест ожидания и скорость обслуживания $$\mu_1$$ на один обслуживающий прибор.
Второй узел - $$М/М/3$$ -
Маршрутизация является циклической - такой, что клиент, обслуженный в первом узле, переходит во второй узел а клиент, обслуженный во втором узле, переходит на обслуживание в первый узел. Клиент, получивший отказ во втором узле, возвращается в первый узел (то есть остается). Предположим, что скорость циркуляции - $$\lambda_с$$, и обозначим $$\alpha_1 = \lambda_c/\mu_1$$ и $$\alpha_2 =\lambda_c/\mu_2$$. Это сеть очередей с блокировкой, она имеет описание в форме произведения.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.