Состав и структура системного анализа

2.1. Множество разновидностей систем.

Системы, как предмет исследования, образуют совокупность со сложной структурой. Во-первых, все они, в зависимости от класса, могут иметь какую-то мерность. При этом мы не можем утверждать, что это — классы непересекающиеся. Во-вторых, системы могут различаться по роду, стационарности, устойчивости, происхождению, поведению во времени. В-третьих, во внешней среде, базе и самой системе могут присутствовать в той или иной мере другие, неучтенные нами системы. В-четвертых, во внешней среде, базе и в самой системе могут присутствовать, в той или иной мере, свойства других материальных объектов, не относящихся к системам, но и не характеризующих однородную среду. Сами системы мы также отнесли к сложным образованиям, не всегда описываемыми множествами однородных элементов. Таким образом, совокупность всех разновидностей систем, как предмет исследования, не образует множество. Однако, на практике системы всегда могут считаться выделимыми и перечислимыми, поэтому для отображения совокупности всех разновидностей систем мы воспользуемся понятием индексированного множества из булевой алгебры [184].

Под индексированным множеством $$\black \big\{A_{t}\big\}_t \in T$$ мы будем понимать отображение, которое каждому $$\black t \in T$$ ставит в соответствие элемент A_t. Оно не будет отождествляться с множеством всех элементов _At, $$\black t \in T$$. Это существенно, когда необходимо учитывать сложность структуры системы или совокупность разновидностей всех систем. Но во многих случаях это несущественно, например, когда рассматриваются объединения и пересечения систем. Аналогично будем рассматривать многократно индексированные множества, а их отображение — как композицию однократных отображений.

Все одномерные системы будем индексировать множеством $$\black S_{i}I \in N$$, где N — числа натурального ряда; двумерные — множеством $$\black \big\{S_{i1,i2}\big\}_{i1,i2} \in N$$ и т. д. Частичномерные системы будем относить к одномерным.

2.2. Структура системного анализа статических систем.

Каждый тип одномерных систем является предметом анализа соответствующих разделов частно-научных теорий (кинематики, динамики, электростатики и т. п.). Двумерные и многомерные системы исследуются частно-научными теориями (механики, экономики и т. д.). Различные классы систем исследуются междисциплинарными теориями (теорией управления, динамических систем, устойчивости, вероятности и др.). Классы систем, где система может быть описана как множество однородных элементов, исследуются системными теориями (множественной, алгебраической, параметрической). Все системы должны исследоваться общей теорией систем. Естественно, что чем большее число типов и классов систем исследует теория, тем более общими понятиями и определениями она должна оперировать.

(рис 14) Ромбовидная структура системного анализа статических систем

Каждая теория должна располагать средствами исследования систем не только по признаку класса (классов), но и основных уже отмеченных особенностей систем: рода, стационарности, устойчивости, происхождения, типа. Графически структуру индексированного множества разновидностей всех систем и соответствующих теорий исследования можно изобразить ромбовидной схемой (рис. 14).

Количество всех систем — это мощность множества N(N) подмножеств множества N. N — счетнобесконечно. В теории множеств N(N), при N — счетнобесконечном, —континуально.

Каждая теория должна состоять из содержательной части и формального аппарата [224]. Поэтому на схеме указано "зеркальное отображение". Философия считает, что такая "зеркальность" в принципе недостижима [209], т.к. "...даже в высокоразвитых теориях, широко использующих приемы формализованной аксиоматики, кроме формально-аксиоматической части существует некоторый принципиальный неформальный остаток, причем организованный вовсе не по нормам аксиоматико-дедуктивного построения" [198]. На практике такая зеркальность может не наблюдаться: часть содержательных теорий (например, в общественных науках) не имеет формального аппарата, часть — использует аппарат междисциплинарных теорий (например, теорию устойчивости в теории автоматических систем управления), часть — использует аппарат смежных частно-научных теорий (например, теорию цепей в электротехнике). Поэтому ромбовидная структура имеет "дырочно-решетчатый" характер (рис. 15). В ромбовидной структуре заложен двойственный характер формы и содержания системного анализа: "дырки" — "решетки".

(рис 15) Дырочно-решетчатый вид ромбовидной структуры.

При этом необходимо отметить, что "...именно содержательная теория задает наиболее важные и существенные ориентиры исследования, результаты которого определяются, в первую очередь, не формальными методами, а содержательными теоретическими разработками, осуществленные на предмодельной стадии познания будущего" [115].

2.3. Структура системного анализа динамических систем.

До сих пор мы оперировали статическими понятиями в области систем, явно (d/dt — производная) или неявно (стационарность, устойчивость) подразумевая их зависимость от времени. Однако, поскольку материальные объекты существуют во времени и в пространстве, то определенные нами в пространстве основные понятия системного анализа (система, носитель, база, внешняя среда) зависят также и от времени. Систем, независимых от времени, не существует. Статичность систем является тем условием, которое мы используем для упрощения исследований. При этом под динамической системой мы будем подразумевать

S=S(t), $$\black t \in T$$ (2.1),

а под статической —

S=S(t)|t=const (2.2),

где t — время.

Из (2.1) и (2.2) следует, что динамическую систему можно отобразить, как последовательность статических:

S(t)=<S(t₁), S(t₂), ...> (2.3),

где $$\black t_{2} \geq t_{1}$$.

Возвращаясь к основным понятиям и определениям, отметим, что учет их динамического характера означает:

S=S(t), F=F(t), N=N(t), B=B(t), V=V(t). (2.4).

Аналогично зависимость от времени может быть отражена и для других характеристик и отношений.

В динамическом состоянии систему можно описать, учитывая в (1.14) зависимость от времени:

S(t)=<r(t), SS(t), F(t)>G (2.5),

откуда видно, что реальная (динамическая) система определяется занимаемой частью пространства r(t), совокупностью свойств SS(t), функцией F(t) (в пределах границы G), зависящих от времени.

Возникает естественный вопрос: на каком интервале времени определена F(t) и как зависит состояние системы от ее функции?

ГИПОТЕЗА 4: время существования системы конечно — системы возникают и исчезают.

Эта гипотеза прямо следует из философского принципа конечности любого существования, любая другая альтернатива этой гипотезе не имеет логического ни начала, ни конца. "Любые структуры обладают не бесконечной, а конечной степенью стабильности..." [207]. Время существования системы никогда не бывает бесконечным [33].

* ВРЕМЯ.

Введем время в форме линейного пространства T. Непустое множество T элементов t₁, t₂, t₃,. называется линейным, или векторным пространством, если оно удовлетворяет таким условиям:

— для любых двух элементов $$\black t_1, t_2 \in T$$ однозначно определен третий элемент $$\black t_3 \in T$$, называемый их суммой и обозначаемый t₁+t₂, причем

(а) t₁+t₂=t₂+t₁ (коммутативность),

(б) t₁+(t₂+t₃)=(t₁+t₂)+t₃ (ассоциативность),

(в) в T существует такой элемент 0, что t₁+0=t₁ для всех $$\black t_1 \in T$$ (существование нуля),

(г) для каждого t₁$$\black \in$$T существует такой элемент (-t₁), что t₁+(-t₁)=0 (существование противоположного элемента);

— для любого числа a и любого элемента $$\black t_1\in$$T определен элемент $$\black at_1 \in T$$ (произведение элемента t₁ на число a), причем

(д) $$\black\alpha(\beta t_1)=(\alpha\beta)t_1$$, где $$\black\beta$$ — тоже число,

(е) 1t₁=t₁,

(ж) $$\black (\alpha + \beta)t_1= \alpha t_1+\beta t_1$$,

(з) $$\black\alpha(t_1+t_2)= \alpha t_1+\alpha t_2$$,

где t₁, t₂, ..., t_i, ... — моменты времени, $$\black t_i\in T$$.

Время однонаправлено, т.е. возможны только последовательности типа t_i-1 , t_i, t_i+1, ..., где t_iit_i-1.

Из гипотезы 4 следует, что система существует на конечном отрезке времени [t_H, t_K], где t_H<t_K. Поскольку все системы реальны ("совокупность свойств"), а значит и инерционны, то переход от несистемы (в момент t₀) к системе (t_H) и, наоборот, от системы (t_K) к несистеме (t_Д) осуществляется за конечный интервал времени, т.е. t₀<t_Н<t_К<t_Д.

Введем следующие понятия и определения:

— момент возникновения системы — t₀,

— отрезок времени синтеза системы — [t₀, t_H],

— отрезок времени функционирования системы — [t_H, t_K],

— отрезок времени деградации системы — [t_K, $$\black t_{\varnothing}$$],

— момент распада системы — $$\black t_{\varnothing}$$.

Указанные моменты и отрезки времени определяют стадии простой эволюции или периоды жизни системы [55].Оценивая развитость системы по уровню организации ее функции U_F (см. (1.19)), простую эволюцию системы можно представить, как показано на рис. 15а.

(рис 15a) Стадии простой эволюции системы

Существование множества разновидностей систем определяет возможность превращения систем. Биология и системотехника используют понятие "эволюция систем", подразумевая под ним ряд живых или искусственных систем, в котором каждая пара соседних систем одинаково идентифицируется в классификации систем, но имеет различия в составляющих: в занимаемой части пространства r(t) или в свойствах SS(t), при одинаковой функции F(t). Для учета таких превращений систем введем понятие "циклическая эволюция системы".

Таким образом, мы имеем следующие основные стадии существования систем: I — возникновение и синтез, II — устойчивое, стационарное функционирование, III — деградация и распад, IV — циклическая эволюция.

Системный анализ, как наука о системах, должен располагать средствами исследования систем на любой стадии. Структуру системного анализа, учитывающего стадии (динамику) систем, графически изобразим в форме "дискретной, зеркальной пирамиды" (рис. 16).

Естественно, что системный анализ динамических систем также может не располагать средствами для исследования всех классов систем на всех стадиях. Этот факт можно изобразить в виде "дырочно-решетчатой" пирамидальной структуры. При этом "дырки" и "решетки" одного ромба могут не совпадать с "дырками" и "решетками" другого ромба.

(рис 16) Пирамидальная структура системного анализа динамических систем. Дополнительные к рис. 15 обозначения: 0 — статические системы, I — возникновение и синтез, II — устойчивое, стационарное функционирование, III — деградация и распад, IV — циклическая эволюция.

Это означает, что какая-то теория располагает средствами исследования одной стадии заданного класса систем и не располагает средствами исследования того же класса систем, но находящихся в другой стадии. Например, теория проектирования не исследует эволюцию, теория прогнозирования не исследует функционирование систем и т. п.

* МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО.

Введем метрическое, т.е. нормальное и имеющее счетную базу, пространство.

Метрическим пространством называется пара $$\black (M, \rho)$$, состоящая из некоторого множества (пространства) M элементов (точек) и расстояния, т.е. однозначной, неотрицательной, действительной функции $$\black\rho (m_1,m_2)$$, определенной для любых m₁ и m₂ из M и подчиненной следующим трем аксиомам:

(а) $$\black\rho(m_1, m_2)=0$$ тогда и только тогда, когда m₁=m₂,

(б) $$\black\rho(m_1, m_2)=\rho(m_2, m_1)$$ (аксиома симметрии),

(в) $$\black\rho(m_1, m_3)\leq\rho(m_1, m_2)+\rho(m_2, m_3)$$ (аксиома треугольника).

Само метрическое пространство, т.е. пару $$\black (M, \rho)$$, мы будем обозначать, как правило, одной буквой:

R=$$\black (M, \rho)$$.

* ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ.

В случае, когда систему (2.5) удается описать множеством параметров Q₁, Q₂, ..., Q_n в метрическом пространстве R (в пространстве состояний системы), изменяемых непрерывно во времени и дифференцируемых, а внешние отношения (1.15) свести к одному входному (x(t)) и одному выходному (y(t)) векторам, тогда изучение изменения системы во времени можно осуществлять с помощью методов и средств классической теории динамических систем [75]. Система описывается функцией F(t) и отношениями с внешней средой и отображается динамикой параметров и характеристик. Задача решается в два этапа.

На первом этапе систему отображают через множество параметров, называемых переменными состояния. Аналитически их изменение выражается множеством n одновременно дифференцируемых уравнений первого порядка:

$$\black dQ_i/dt=f_i(Q_1, Q_2, ..., Q_i, ..., Q_n)$$.

Эти уравнения называются динамическими, или уравнениями движения. Производные более высокого порядка не учитываются. Множество дифференциальных уравнений позволяет формально выражать такие системные свойства, как целостность, устойчивость, эволюция. Геометрически изменение системы выражается траекториями переменных состояния в n-мерном пространстве. Независимое от времени состояние

$$\black f_i(Q_1, Q_2, ..., Q_i, ..., Q_n)=0$$

может быть рассчитано как точка в пространстве R, т.е. стационарное состояние системы.

На втором этапе исследуются отношения системы с внешней средой. Однонаправленные, детектируемые отношения с внешней средой, называемые "входами" и "выходами" системы, можно отобразить системой линейных дифференциальных уравнений

$$\black a_{1i} dy_i^n(t)/dt^n+a_{2i}dy_i^(n-1)(t)/dt^(n-1)+...+a_{ni}y_i(t)=$$

$$\black =b_{1i}dx_i^m (t)/dt^m+b_{2i}dx_i^(m-1)(t)/dt^(m-1)+...+bm_ix_i(t)$$,

где i = 1, 2, ... — "входы" и "выходы" системы; b₁, b₂, ..., b_m — параметры "входа"; a₁, a₂, ..., a_n — параметры "выхода".

"Линейная модель в достаточной степени допустима для описания поведения динамической системы в устойчивом, стационарном состоянии" [27].

2.4. Классификация задач системного анализа.

В ромбовидной и пирамидальной структурах системного анализа мы все разновидности систем условно отобразили множеством N, а не множеством N(N) подмножеств множества N, включая N. Устраним эту неточность, выделив все классы систем, одновременно учитывая, что каждый класс (n, nn, nnn,.) может присутствовать в количестве (m_n, m_nn, m_nnn, ...) экземпляров, соответственно (рис. 17). Частично-мерные системы оставим в классе одномерных систем.

(рис 17) Множество всех систем

Все множество проблем системного анализа определяется по отношению к множеству всех систем — в статике и по отношению к пересечению множества всех систем и стадий их состояния — в динамике (в терминах любой из теорий). При этом изменение проблемы в зависимости от количества экземпляров систем заданного класса и типа носит характер "перехода количества в качество".

Термин "проблема" понимается в объеме исследования системы, ее базы и внешней среды, внешней и внутренней структур. Термин "задача" понимается как относительно самостоятельная часть проблемы. Проблемы классифицируются в соответствии с классификацией систем и стадий их состояния (рис. 18). Задачи в пределах проблемы не классифицируются, а выделяются как типовые. Поэтому классификацию задач системного анализа следует понимать как выделение типовых задач в классификации проблем (табл. 4). Отметим попутно, что рассмотренные в §1.4 классификации систем по роду, стационарности, устойчивости, происхождению и статичности учитываются структурой множества всех систем и могут рассматриваться как примеры типовых задач.

(рис 18) Классификация проблем системного анализа

Выборочная формулировка проблем и типовых задач системного анализа 1Экология охватывает восемь основных свойств: химические, физические и биологические — биосферы; экономические, социальные, градостроительные, инфраструктурные и информационные — техносферы. приведена в таблице 4 (обозначения: кл — класс, к — количество, ст — стадия, с — система).

Контрольные задания и вопросы.