Пространство отображения (моделирования) систем

4.1. Системное пространство, его базис и структура.

"Роль топологических понятий в общесистемных абстрактных математических моделях еще не получила в литературе того отражения, которое соответствовало бы важности этих понятий для представления многих основных свойств систем" [104].

Требуется определить пространство, в котором можно было бы отображать (моделировать1В повседневном употреблении <модель>—это нечто похожее на ту вещь, которой она должна соответствовать, но не совсем тождественное ей" [236].) любую систему. Мы уже использовали, в частном случае, линейное пространство — для отображения времени, и метрическое пространство — для отображения параметров систем. Теперь сформулируем общий подход.

Приведем определение наиболее общего в математике топологического пространства. Вводится множество М, как носитель пространства, на котором задается какая-либо топология (система подмножеств множества М). Для каждой топологии любая система {М}₁ его подмножеств удовлетворяет двум требованиям:

(а) само множество М и пустое множество $$\black\varnothing$$ принадлежит {М}₁;

(б) сумма $$\black\bigcup_\alpha m_\alpha$$ любого (конечного или бесконечного) и пересечение $$\black\bigcup_{k=1}^n mk$$

любого конечного числа множеств из {М}₁ принадлежит {М}₁; множества, принадлежащие системе {М}₁, называются открытыми.

Самый прямой способ задать топологию в некотором пространстве состоит в том, чтобы непосредственно указать те множества, которые мы считаем открытыми, или выбрать некоторый базис, или ввести в нем понятие сходимости, или определить в нем операцию замыкания, или задать метрику [101]. Топологическое пространство обозначают как Т=(М,{М}₁). Мы будем рассматривать системное пространство как топологическое при условии возможности указать множество-носитель.

Будем считать, что каждое свойство s_i описывается набором характеристик s_ij, каждая из которых может принимать значения s_ijk. Тогда все проявления свойства s_i можно отображать в подпространстве на индексированном множестве-носителе S_i.

Определим базис (минимальную часть, сохраняющую основные свойства) системного пространства М на наборе множеств S₁, S₂, ..., S₃, ..., S_N, отражающих всевозможные свойства системы, а также множества точек реальное пространство — R и множества моментов времени — T:

$$\black M\sim lt; S_1, S_2, ..., S_i, ..., S_\infty, R, T gt;$$ (4.1)

Одноименные подпространства будем обозначать теми же буквами, что и множества-носители: $$\black M, S_1, S_2, ..., S_i, ..., S_\infty, R, T$$. Топологию на М зададим набором характеристик s_ij и наборами их значений s_ijk; R — это трехмерное евклидово пространство, Т — пространство времени, в частном случае линейное. Каждое из пространств S является подпространством пространства М. При этом, в силу диалектического закона перехода количества в качество, подпространства S являются не самостоятельными топологическими пространствами (не удовлетворяется условие (б)), а подпространствами общего топологического пространства M.

Структура каждого из подпространств S_i определяется законами соответствующего свойства и изучается соответствующей частно-научной теорией. Отношения между отдельными подпространствами S_i, а также R и T изучают междисциплинарные теории и некоторые непростые частно-научные теории типа механики (кинематика, динамика), энергетики (теплоэнергетика, электроэнергетика) и т. п. Отношения между S_i, R, T в терминах теории множеств изучают системные теории, а общие отношения между системными свойствами в пространстве и во времени — общая теория систем (ОТС1 и ОТС2).

4.2. Подпространство размещения.

Мы уже ввели (§2.3) метрическое пространство для отображения в нем состояний классических динамических систем. Доопределим метрическое пространство до евклидова как n-мерное арифметическое пространство Rⁿ, элементами которого служат системы действительных чисел x=(x₁, ..., x_n), с обычными операциями

сложения и умножения и скалярным произведением $$\black (x,y)=\sum_{i=1}^n x_i\cdot y_i$$.

Ортогональный нормированный базис в нем (один из бесконечного числа возможных) образуют векторы

е₁=(1, 0, 0, ..., 0),

е₂=(0, 1, 0, ..., 0),

...........................,

е_n=(0, 0, 0, ..., 1).

В системном пространстве М мы используем в качестве подпространства размещения — трехмерное евклидово пространство R.

4.3. Подпространство времени. Системное время.

Мы уже ввели в §2.3 линейное пространство времени Т. Однако, линейность Т — это частный случай.

Человек в своей жизни использует эталоны времени, задаваемые вращением Земли вокруг Солнца (годы, сезоны), вращением Земли вокруг собственной оси (сутки, времена суток), ходом часов, основанных на физических принципах: конструкции с упругими или гравитационными маятниками; астрономические системы, фиксирующие вращение Земли вокруг оси или вокруг Солнца; цезиевые или иные источники электромагнитных колебаний; пульсарный эталон сверхстабильных периодов (часы, минуты, секунды). Назовем это время классическим. Однако, в нефизическом естествознании все чаще возникает необходимость в часах, которые не должны быть синхронизированы с физическими эталонами [52]. "...для разных типов систем разными оказываются и времена" [166, с. 68, Э. Г. Юдин].

В эмбриологии развитие различных организмов эффективно описывается с помощью единицы биологического времени, равной интервалу между одноименными фазами "делений дробления" [73]. Эта единица ("детлаф") зависит от температуры и видоспецифична. Поэтому закономерности развития, описываемые в детлафах, не обнаруживаются при использовании шкалы астрономического времени.

Популяционное время в экологии [1], этнографии [7], генетике [183] удобно измерять количеством сменившихся поколений.

Хроностратиграфическая шкала геологического времени образована последовательностью горных пород со стандартизированными точками, выбранными в разрезах с максимально полно сохранившимися пограничными областями [220]. Для стратиграфии, базирующейся на палеобиологической основе, длительности геологических эпох Земли могут измеряться вертикальной толщиной слоев, в которых встречаются организмы ископаемых видов [185].

В модели психологического времени [52] длительности промежутков между значимыми для личности событиями измеряются количеством межсобытийных связей.

"...Существование потребности в разделении географических систем по длительности характерных времен (типа постоянной времени) привело к предложению о введении набора стандартных временных масштабов..." [14].

В ряде областей естествознания время рассматривается как сложная структура с такими характеристиками, как многокомпонентность, дискретность и др.[143, 149].

Назовем время, специфичное для заданного типа систем — системным. Частным, но наиболее распространенным типом системного времени, является классическое время. Классическое время удобно для всех искусственных систем и многих естественных систем. Однако, для ряда ранее перечисленных естественных систем более эффективно применение своего системного времени [114]. В этом случае не только повышается эффективность частно-научного исследования, но и достигается более высокий уровень системности в исследованиях (межсистемная сопоставимость результатов, системное обобщение частно-научных закономерностей).

Таким образом, пространство времени Т, являющееся подпространством топологического пространства М, имеет сложную структуру.

Пример введения времени и пространства в системную методологию изложен в [107, 180].

4.4. Подпространства состояний.

Подпространства состояний S_i отражают соответствующие свойства s_i систем и имеют базис в виде <s_ij, s_ijk>. Более точно топология задается законами свойства s_i или соответствующими частно-научными теориями. В частном случае подпространство S_i может быть какого-либо известного в математике типа: топологического, нормированного, метрического, линейного, арифметического, евклидова, векторного, гильбертова и т. д. [101]. Определение отдельных из этих пространств мы уже ранее приводили и использовали (см. §§2.3, 4.1, 4.2).

* ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ I [35].

Функционирование технической системы может характеризоваться целью минимизации целевой функции и описываться системой уравнений. Установление связи между ними заключается в составлении уравнений Эйлера-Лежандра или получением из цели преобразованием Лежандра функции Гамильтона и составлением канонических уравнений — Гамильтоновой системы. При этом возникает задача составления базиса свойств, выделение тех свойств, которые вносят существенный вклад в цель, и свойств, фактически не влияющих на цель. Это задача содержательной модели системы.

* ПРИМЕРЫ [114].

1) В классической механике элементарными объектами являются материальные точки вместе с их положениями и скоростями в физическом пространстве, а изменчивость задается траекториями точек. Пространство состояний есть шестимерное фазовое пространство — произведение трехмерного евклидова пространства на трехмерное пространство скоростей.

2) В квантовой механике элементарные объекты — амплитуды вероятностей состояний микрообъектов (например, энергетических состояний атома). Изменчивость в пространстве состояний задается траекториями векторов в бесконечномерном гильбертовом пространстве.

3) В теории ядра элементарные объекты — нуклоны и некоторые другие элементарные частицы, обладающие специфическим набором квантовых чисел. Изменчивость — взаимные превращения частиц и излучений. Пространство состояний ограничивается комбинациями квантовых чисел для совокупностей превращающихся частиц, допустимыми согласно законам сохранения.

4) В эмбриологии роль элементарного объекта играет живая клетка, а роль изменчивости — процесс деления клеток. Пространство состояний описывается морфологическими признаками архетипов зоологических систематик.

5) В экологии сообществ объект — популяция организмов. Изменчивость складывается из процессов рождения и гибели особей. Пространство состояний — набор всевозможных векторов (n₁, n₂, ..., n_i, ..., n_w), где n_i — численность популяции вида i, входящего в сообщество. Набор ограничен доступными организмам ресурсами среды.

* ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ II.

В случае, когда система и связанные с ней обьекты и отношения могут быть описаны с помощью множеств (в виде теоретико-множественной модели), возможно построение пространств состояний, некоторыми из которых являются следующие [104]:

* ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ III [137].

"Описывая некоторую содержательную теорию, в принципе возможно построить не одну, а несколько аксиоматических систем, которые отличались бы прежде всего набором исходных принципов. Эти системы соответственно явились бы основой различных формальных моделей одной и той же содержательной теории" [49].

Как и в ЧАСТНОМ СЛУЧАЕ II, предполагается применимость теоретико-множественной модели.

Задается семейство множеств

$$\black V={V_i:i\in I}$$, где I — множество индексов, и определяется система, заданная на V, как некоторое собственное подмножество декартова произведения$$\black\times V:$$

$$\black S\subset X\times\big\{V_i:i\in I\big\}$$.

Все компоненты $$\black V_i, i\in I$$ декартова произведения V называются объектами системы S. При этом рассматривается система с двумя объектами — входным объектом X и выходным объектом Y:

$$\black S\subset X\times Y$$.

Для построения на базе введенного определения S некоторой теории, необходимо наделить систему, как отношение, некоторой дополнительной структурой. Это предлагается сделать одним из двух способов:

(i) ввести дополнительную структуру для элементов объектов системы, например, рассматривая сам элемент $$\black v_i\in V_i$$ как некоторое множество с подходящей структурой;

(ii) ввести структуру непосредственно для самих объектов системы $$\blackV_i, i\in I$$.

Первый путь приводит к понятию (абстрактных) временных систем, а второй — к понятию алгебраической системы.

(а) Временные системы.

Пусть имеются системы, у которых элементы входного и выходного объектов определены на одном и том же множестве, $$\black X\subseteq A^T text{и} Y\subseteq B^T$$. В этом случае под системой понимается отношение

$$\black S\subseteq A^T\times B^T$$,

где T — линейно упорядоченное индексирующее множество для V, или множество моментов времени, A — алфавит объекта V, $$\black v:T_v\rightarrow A_v$$ (функция), $$\black v\in V$$, если все области и кообласти всех функций для данного объекта V одинаковы, т. е. каждая функция $$\black v\in V$$ является отображением T в A, $$\black v:T\rightarrow A$$.

(б) Алгебраические системы.

В более общей ситуации алгебраический объект порождается целым семейством операций. Точнее говоря, объект V задается некоторым множеством элементов W, называемых примитивными, некоторым множеством операций R={R₁, ..., R_n} и правилом, согласно которому V содержит, во-первых, все примитивные элементы, $$\black W\subset V$$, а, кроме того, и все элементы, которые могут быть порождены из примитивных в результате многократного применения операций из R.

МЕТОДИЧЕСКИЕ ПОЯСНЕНИЯ. В ЧАСТНОМ СЛУЧАЕ III мы изложили начальное определение так называемой "общей теории систем Месаровича", названной нами системной теорией. Являясь абстрактной, эта теория получила развитие в такой же абстрактной теории иерархических многоуровневых систем [139], но ни та, ни другая не получили развитие в прикладных науках (см., например, "Прикладная общая теория систем" [43]). Мы уже отмечали недостаточную общность системных теорий для того, чтобы служить общей теорией систем. Дополнительно отметим примитивность содержательного обоснования теоретико-множественных системных теорий. "Практика нуждается в простых моделях, базирующихся на нетривиальных посылках. Между тем, сегодня наука обычно создает сложные модели, базирующиеся на посылках содержательно бедных" [116]. Тем не менее, множественные модели являются достаточно общими, наглядными и, зачастую, безальтернативными. В частности, нам необходимо: найти общие пути интерпретации базиса топологического пространства М, найти способы отображения в М функций систем и др.

Контрольные задания и вопросы.