Анализ функционирования систем

8.1. Теория функционирования систем.

Теория функционирования систем (теория ФС) является развитием теории ОТС применительно к стадии функционирования (см. рис. 15а). Предметом исследования теории ФС являются системы, устойчиво и стационарно функционирующие на отрезке [t_H, t_K], т. е. после возникновения и синтеза и до начала деградации.

Функция системы определена (6.4) как импликация между предыдущим

<s_i, r_G>t_i и последующим <s_i, r_G>t_i+1 состояниями системы:

$$\black F\sim (<s_i, r_G>t_i\rightarrow <s_i, r_G>t_{i+1}) (8.1)$$,

где <s_i> — отображение системы в подпространстве S_i системообразующих свойств s_i; <r_G> — отображение системы в подпространстве размещения R; <s_i, r_G>t_i — внутренняя функциональная структура системы в момент времени t_i, $$\black t_i\in T$$.

Как мы уже отмечали, стадия функционирования системы (собственно существования системы) отличается стационарностью и устойчивостью ее функции. Под стационарностью функции мы будем понимать независимость целостной реакции системы (8.1) от распределения ее внешних отношений (1.15) во времени. Под устойчивостью функции мы будем понимать способность системы возвращаться в исходное состояние равновесия (восстановление во внутренней функциональной структуре (8.1) наиболее устойчивого, оптимального состояния) после прекращения внешних воздействий (1.15), выведших систему из состояния равновесия. "...Требование устойчивости во времени создает ту определенность, без которой нельзя, по-видимому, определить понятие системы" [155, с. 36, Я. И. Старобогатов].

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЯСНЕНИЯ. Мы считаем, что система примерно одинаково отображается в системном пространстве в случаях: 1) ее оптимальности, 2) наиболее устойчивого состояния, 3) математического ожидания ее функции, 4) устойчивого равновесия.

Случайный характер функции F мы ввели, в соответствии с (7.10), в зависимости от характеристик системы. Является ли функция F случайной во времени и в какой мере — зависит от временных зависимостей ее характеристик.

Под функционированием системы мы будем понимать зависимость ее целостных внешних отношений (1.15) от времени:

F(t)=F(VS(t), SV(t), BS(t), SB(t), SS(t)) (8.2).

В соответствии с (1.23) F(t) определяется изменением во времени внутренней функциональной структуры. Распространим понятие внутренней функциональной структуры (1.21) на класс многосвойственных систем, тогда

F(t)=F(<s_i ...>_t, <s_ij ...>_t, <s_ijk ...>_t)_r,G (8.3).

Устойчивое, стационарное состояние системы означает, что у нее системообразующие свойства <s_i ...> и их отношения фиксированы, характеристики свойств <s_ij ...> и их отношения фиксированы, а значения характеристик < ...> и их отношения свободны. Здесь сразу же замечается противоречие классического определения устойчивости и стационарности, поскольку свободными, в принципе, могут быть и характеристики и типы свойств, но в первом случае это будут уже адаптивные системы, а во втором — эволюционирующие.

Таким образом, функционирование системы в простой эволюции — это изменение значений ее характеристик во времени при фиксированных свойствах и их характеристиках. Для более сложных случаев устойчивости и стационарности функционала от функции Ф[F(t)], необходимо давать больше степеней свободы в выражении (8.3) и привлекать в качестве метода исследования теорию вариационного исчисления [87].

Теперь мы можем описать функциональное подпространство F_i системного пространства М. Его базис образуют: 1) свойства, характеризующие функцию F; 2) характеристики функции F (математическое ожидание M[F], дисперсия D[F], истинностная функция f_F, вероятностная мера P_F); 3) значения характеристик.

"В математической теории систем успешно применяются методы нелинейного функционального анализа... Наиболее полно исследованы системы, содержащие линейные звенья и нелинейные звенья с плавно изменяющимися характеристиками. В большой мере изучены системы с разрывными функциональными звеньями, когда допустима их трактовка как звеньев с многозначными выпуклыми характеристиками. В последние годы развиты методы исследования систем, содержащих различные гистерезисные нелинейности" [132].

8.2. Примеры анализа функционирования систем.

Функционирование естественных неживых систем (Солнечная система, атом) — это воспроизводство внутренних отношений. Функционирование естественных живых систем (организм) — это поддержание некоторого уровня внутренних отношений (гомеостазис). Приведем примеры анализа функционирования искусственных систем.

* ПРИМЕР 1. Анализ функционирования автоматической системы управления [120, 204].

I этап. Идентификация.

Автоматические системы управления (САУ) являются предметом исследования частно-научной теории автоматического управления (ТАУ).

По определению, САУ охватывает объект управления (ОУ) и управляющего устройства (УУ). Системообразующие свойства САУ — информационные, среди которых объект управления со своими технологическими свойствами отображается производственной функцией F(t). Назначение САУ — управлять производственной функцией F(t), функция САУ Ф(t) — это функционал от F(t) — Ф[F(t)]. Таким образом, применение САУ позволяет понизить сложность функционала технологической системы до уровня функции системы управления (рис. 28).

Отличие от АСУ в этом примере заключается в следующем: объект-носитель — это ОУ и УУ; системообразующие свойства — это информационные свойства не только УУ, но и ОУ; в базе системы обычно отсутствует организационное обеспечение (персонал); все отношения в САУ, как правило, могут быть отображены в аналоговой форме. "Безлюдность" САУ позволяет использовать для ее анализа высокоразвитые и эффективные формальные методы ТАУ.

Обозначения: X(t), Y(t) — входной и выходной вектор технологических процессов объекта управления; X1(t), Y1(t) — входной и выходной вектор информационных процессов системы управления.

Управление осуществляется на основании контроля выходного и входного векторов функции ОУ по заранее заданному заданию (или по другому закону):

$$\black\text{Ф}[\overline{Y}(t)]=\overline{Y}_{\text{зад}}(t)$$ (см. рис. 29).

Внешняя среда здесь учитывается векторами $$\black\overline {Y}_{\text{зад}}, \overline{X}(t) \text{и} \overline{Y}(t)$$, а также факторами, учтенными при синтезе САУ.

Вектор управления $$\black\overline{Y1}(t)$$ определяется разницей векторов $$\black\overline{Y_{\text{зад}}}(t)-\overline{Y}(t)=\overline{\varepsilon}(t)$$

, где $$\black\overline{\varepsilon}(t)$$ — вектор рассогласования, и вектором возмущений X(t):

$$\black\overline{Y1}(t)=A_{\text{зад}}[\overline{\varepsilon}}(t)]-A_{\text{возм}}[\overline{X}(t)]$$ (1).

Определяются типовые элементы (звенья) САУ: безынерционные, инерционные, интегрирующие, дифференцирующие, запаздывающие и др. Состав САУ рассматривается как набор типовых звеньев.

II этап. Функция.

В ТАУ функция $$\black F(t)\vdots((\overline{Y1}(t)\pm\overline{X1}(t))\rightarrow \overline{Y}(t))$$, а функционал

$$\black \text{Ф}[F(t)]\vdots((\overline{Y_{\text{зад}}}(t)\pm\overline{X1}(t)\pm\overline{X}(t))\rightarrow \overline{Y}(t))$$

Если САУ удовлетворяет условиям динамической системы, то ее функция преобразования одного входного сигнала x(t) в один выходной y(t) может иметь в общем случае форму обыкновенного дифференциального уравнения:

Ф[y(t), y'(t), ..., y⁽ⁿ⁾(t); x(t), x'(t), ..., x⁽ⁿ⁾(t), t]=0 (2),

или в упрощенном случае в форме линейного дифференциального уравнения вида:

$$\black a_0\frac{d^ny(t)}{dt^n}+a_1\frac{d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}}+\cdots+a_ny(t)=b_0\frac{d^mx(t)}{dt^m}+b_1\frac{d^{m-1}x(t)}{dt^{m-1}}+\cdots+b_mx(t) (3)$$

где a_i, b_i — коэффициенты уравнения.

Преобразованием Лапласа заменяют дифференциальное уравнение (3) на алгебраическое:

$$\black(a_0p^n+a_1p^{n-1}+...+a_n)Y(p)=(b_0p^m+b_1p^{m-1}+...+b_m) X(p) (4),$$

или D(p)Y(p)=K(p)X(p), где D(p) — собственный оператор, K(p) — входной оператор. Тогда функцию САУ, равную y(t)/x(t) можно заменить на передаточную функцию:

W(p)=Y(p)/X(p)=K(p)/D(p) (5).

Функция (5) и функциональная структура (4) САУ стационарны. Их устойчивость определяется дополнительными методами теории устойчивости, в результате чего на систему накладываются дополнительные условия.

Таким образом, прежде чем начать анализ функционирования САУ, мы вынуждены были провести ее общий системный анализ в соответствии с общим алгоритмом и теорией автоматического управления. При этом на САУ наложен ряд ограничений: 1) замена взаимных внешних отношений системы на однонаправленные входные и выходные сигналы; 2) выделение в САУ объекта управления и управляющего устройства: 3) использование заданной извне уставки функционала по отношению к управляемой величине; 4) ограничение внешних возмущающих воздействий; 5) линейность внешних (задающего и возмущающего) воздействий; 6) разделение САУ по типам на беспоисковые, поисковые, экстремальные, адаптивные; 7) направленность передачи воздействий; 8) применимость обыкновенных дифференциальных уравнений; 9) сосредоточенность параметров; 10) разбиение системы на цепи элементов однонаправленного преобразования входного сигнала в выходной; 11) применимость линейных дифференциальных уравнений; 12) применимость преобразований Лапласа.

III этап. Функционирование САУ.

В простейшем случае функционирование САУ описывается выражением

Y(p)=W(p)X(p) (6).

Однако, даже это простое выражение теория не рассматривает в общем случае, путем решения уравнений (4) и (3), а сводит задачу к рассмотрению совокупности типовых X(p) и W(p).

Типовые воздействия на САУ во времени t:

а) единичное ступенчатое воздействие

$$\black 1(t) =\begin{cases}0, \text{при} t<0,\\1, \text{при} t \geq 0;\end{cases}$$

б) единичное импульсное воздействие или дельта-функция

$$\black\delta(t) =\begin{cases}0, \text{при} t\neq 0,\\1, \text{при} t=\infty, \text{при этом} \int_{-\infty}^{+\infty} \ \delta(t)dt=1; \end{cases}$$

в) гармоническое воздействие

$$\black x(t)=x_m sin \omega t, (-\infty\leq t\leq\infty)$$

где x_m — амплитуда сигнала, $$\black\omega=2p/T$$ — круговая частота, рад/с, T — период сигнала, с;

г) линейное воздействие

$$\black x(t)=1(t)a_1t, (0\leq t<\infty),$$

где а₁ — const.

Все четыре типовых воздействия носят регулярный (детерминированный) характер, т. е. описываются математической функцией во времени. Однако, сигналы могут быть и нерегулярными (случайными), тогда для их описания используются средства математической статистики.

Любая САУ может находится в статическом режиме, когда y(t)=const, и в динамическом режиме, когда y(t)=var. Динамический режим может быть неустановившимся (переходным), сразу после изменения характера x(t), и установившимся, когда y(t) изменяется по тому же закону, что и x(t).

Обычно входные воздействия сводятся к типовым, в частности, к гармоническим, путем разложения любой периодической функции с периодом T

x(t)=x(t+iT), (i=0, 1, 2, ...),

удовлетворяющей условиям Дирихле (конечное число разрывов на интервале периода T), в бесконечный сходящийся тригонометрический ряд Фурье

$$\black x(t)=\frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} (a_k cos\omega_kkt + b_k sin\omega_kkt)$$

где $$\black\omega_1=2p/T, \quad\omega_k=\omega_1k$$ — круговые частоты, соответственно, основной и k-ой гармоник, рад/с; а₀, а_k, b_k — независимые от t коэффициенты Фурье.

Непериодический сигнал может быть в предельном переходе $$\black T\rightarrow\infty$$ заменен интегралом Фурье.

IY этап. Отображение САУ в системном пространстве.

В системном пространстве САУ отображается, прежде всего, передаточной функцией W(p), применение которой облегчается использованием математического аппарата, описывающего x(t) и y(t). Передаточная функция системы формируется по определенным правилам из передаточных функций отдельных звеньев. Для удобства, параллельно с W(p), вводится еще ряд типовых временных и частотных характеристик САУ:

а) передаточная характеристика h(t), как изменение выходной величины y(t) во времени, возникающее после подачи на вход единичного ступенчатого воздействия, при нулевых начальных условиях;

б) импульсная переходная характеристика $$\black\omega(t)$$, как изменение выходной величины y(t), возникающее после подачи на вход $$\black\delta$$-функции, при нулевых начальных условиях;

в) амплитудно-частотная характеристика $$\black A(\omega)$$, как зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигналов от частоты;

г) фазо-частотная характеристика $$\black\theta(\omega(t)}$$, как зависимость фазового сдвига между входным и выходным сигналами от частоты;

д) амплитудно-фазо-частотная характеристика $$\black W(j\omega)$$, модуль которой равен $$\black A(\omega)$$, а аргумент — $$\black\theta(\omega(t)}$$.

Таким образом, анализ функционирования САУ сводится к описанию x(t) в типовых формах, к описанию САУ передаточной функцией и типовыми характеристиками и к вычислению y(t) по выражению (6) и другим типовым зависимостям.

* ПРИМЕР 2. Анализ финансово-хозяйственной деятельности государственного предприятия [10, 72, 176].

I этап. Идентификация.

Определим финансово-хозяйственную деятельность предприятия как производственный процесс, направленный на производство товарной продукции. Носитель системы — предприятие. Системообразующие свойства: 1) технологические, направленные на производство потребительской стоимости; 2) финансовые, позволяющие оценивать производимую потребительскую стоимость. Производственная система — это совокупность технологических и финансовых свойств предприятия, реализующих (в форме производственного процесса) функцию по производству товарной продукции. База системы: основные фонды предприятия, трудовые ресурсы, оборотные средства, система управления. Внешняя среда: покупатели, поставщики, финансовая система государства, руководящее министерство, прочие (рис. 30).

Уточним границы производственной системы: множество покупателей, формирующих цену спроса и потребляющих продукцию; множество поставщиков, формирующих цену предложения и поставляющих сырье; множество аналогичных систем, формирующих уровень рентабельности; государственная финансовая система, охватывающая как рыночные отношения (спроса, предложения, рентабельности), так и государственные регуляторы (эмиссия денег, золотой запас, учетная ставка, процент банковского кредита, антимонопольные законы, льготы, государственные программы, государственный сектор, государственный бюджет, законы по труду, пенсионному обеспечению и т. д.); руководящее министерство.

С учетом уточнения можно отметить, что в современных условиях ни в одном государстве ни одна производственная система не может производить стоимость по условиям "чистого рынка": спрос — предложение — рентабельность. Однако, в условиях централизованного управления всей экономикой (уровнем рентабельности) и обществом (спросом и предложением) понятие производственной системы предприятия теряет смысл. Сильным приближением является отнесение системы к экономике в целом и достаточно точным является отнесение системы к совокупности экономика — общество. Из приведенного уточнения понятий, однако, не следует, что эффективней работает множество производственных систем, чем одна система экономика — общество, или наоборот. Оптимизация любой из этих систем — многокритериальная, многопараметрическая задача, имеющая свои экстремумы, локальные оптимумы и глобальный оптимум, но по заданному критерию. В системе "экономика — общество СССР" выбранные критерии и их оптимизация оказались недостаточно эффективными и не оправдали основы самой системы.

II этап. Предпосылки анализа функционирования.

Проведенная на I этапе идентификация позволяет получить статическое описание производственной системы. Для описания ее функционирования необходимо все параметры системы представить в функции времени. Однако, теория микроэкономики требуемые временные зависимости заменяет набором их дискретных значений (планируемых и текущих). Планируемые значения могут фиксироваться на сутки, неделю, месяц, год и т. п., а текущая — как в плановые, так и в другие моменты времени.

При проведении анализа функционирования основными источниками информации служат стандартные формы отчетности: 1 — баланс; 2 — прибыли (доходы) и убытки; 3 — движение уставного (неделимого) фонда; 4 — недостача, хищения и порча товарно-материальных и других ценностей; 1-П — отчет о выполнении плана по продукции; 1-С — приложение к отчету о выполнении плана по себестоимости товарной продукции; 2-Т — отчет о выполнении плана по труду; 2-НТ — отчет о выполнении плана по основным показателям технического прогресса; 10-НТ — отчет о затратах на проведение научно-технических мероприятий и их экономической эффективности; 11 — наличие и движение основных средств (фондов) и амортизационного фонда; 13 — отчет о распределении прибыли; 22 — сводная таблица основных показателей, комплексно характеризующих хозяйственную деятельность предприятия; 24 — электробаланс, состав энергетического оборудования и отчет о работе электростанций (электрогенераторных установок); 31 — реализация промышленной продукции; формы квартальной отчетности.

III этап. Анализ функционирования.

Задача 3.1. Анализ производства и реализации продукции, в том числе:

Задача 3.2. Анализ труда и заработной платы, в том числе:

Задача 3.3. Анализ основных промышленно-производственных фондов, в том числе:

Задача 3.4. Анализ технического уровня производства, в том числе:

Задача 3.5. Анализ себестоимости продукции, в том числе:

Задача 3.6. Анализ состояния и использования оборотных фондов, в том числе:

Задача 3.7. Анализ прибыли и рентабельности, в том числе:

Рассмотренный пример анализа функционирования государственного предприятия, также как и пример синтеза частного предприятия, может решаться как экстремальная задача методами математического программирования (см. табл. 9, [2, 36, 53, 90, 196]).

8.3. Специфические принципы анализа функционирования систем.

Обобщение практики анализа функционирования систем [10, 11, 12, 72, 196] позволяет сформулировать следующие, специфические для этой стадии простой эволюции систем, принципы.

ПРИНЦИП В1. Анализ функционирования систем начинается с ее идентификации и статического анализа.

ПРИНЦИП В2. Идентификацию систем целесообразно проводить в терминах и на базе ОТС и соответствующей частно-научной теории.

ПРИНЦИП В3. Функция системы носит случайный характер.

ПРИНЦИП В4. Функция системы направлена на поддержание ее устойчивости.

ПРИНЦИП В5. Функция системы может быть простой (функция характеристик) и сложной (функционал функций).

ПРИНЦИП В6. Функционирование системы заключается в изменении значений ее характеристик.

ПРИНЦИП В7. Функционирование системы может быть представлено как упорядоченный набор ее статических состояний.

ПРИНЦИП В8. Функционирование системы может быть представлено как функционирование ее частей и их взаимодействие.

ПРИНЦИП В9. Анализ функционирования многосвойственных систем может быть выполнен как анализ функционирования каждого свойства и их взаимодействия.

ПРИНЦИП В10. Устойчивость системы повышается при снижении затрат вещества и энергии на элементарную часть функции.

ПРИНЦИП В11. Реализация в системе несвойственных ее системообразующим свойствам законов снижает ее устойчивость.

ПРИНЦИП В12. Анализ функционирования системы может выполняться итеративно в форме последовательных приближений.

8.4. Общий алгоритм (макет методик) анализа функционирования систем.

При построении общего алгоритма анализа ФС, являющегося продолжением общего алгоритма системного анализа (рис. 19) и общего алгоритма статического анализа (рис. 23), в дополнение к ОТС и методологии системного анализа используются теория и специфические принципы ФС. Общий алгоритм анализа ФС (рис. 31) рассматривается как обобщающий макет методик анализа функционирования систем.

Контрольные задания и вопросы.