Группы - математический инструментарий для изучения симметрий. Идея теории групп состоит в обобщении алгебры чисел, расширяя ее до алгебры симметрий. Группу можно ассоциировать с любым симметричным объектом, будь то объект материального мира или абстрактная математическая конструкция.
Неформально трансформация симметрии объекта, перемещая точки объекта, сохраняет его как целое. Хорошим примером, который всегда стоит иметь ввиду, говоря о группах, является вращение сферы. Когда мы вращаем сферу, то ее точки движутся, но сфера как множество точек сохраняется неизмеиной. Группу можно рассматривать как множество всех трансформаций симметрии данного объекта.
Концепция симметрии сыграла центральную роль в разработке физики 20-го века. Хотя использование симметрии в физике восходит к Галилею, Эйнштейн был тем, кто сделал симметрию краеугольным камнем физики. Ему удалось построить теорию относительности, исходя из единственного постулата о геометрия такого объекта как " пространство - время" и трансформаций симметрия этого объекта.
Вот несколько общих принципов, универсально справедливых для трансформаций симметрии любого объекта:
Сохраняя в памяти эти принципы, мы можем теперь дать формальное определение группы.
Определение. Группа G - это множество элементов с:
е, называемым единичным или тождественным элементом;Для всех элементов х, у, z из G имеет место:
х * е = е * х = х; (аксиома тождественности)(х * у) * z = х * (у * z); (закон ассоциативности).Мы можем непосредственно видеть, что аксиомы тождественности и инверсия выполняются для всех трансформаций симметрии. Оказывается, что закон ассоциативности является универсальным и выполняется для композиции трансформаций (аргументация, которую мы использовали для доказательства справедливости ассоциативного закона в случае линейных трансформаций, применима и в более общем контексте).
Еще раз укажем на контринтуитивный характер операции композиции $$f \circ g$$. Когда композиция применяется к некоторому аргументу р, то первой выполняется трансформация g, а затем к результату применяется трансформация f : $$(f\circ g) (р) = f (g(р))$$
Первые примеры групп приходят из арифметики.
Рассмотрим множество $$Q^*$$- ненулевых рациональных чисел. Это множество замкнуто относительно операций умножения и обращения рациональных чисел. Единичным (тождественным) элементом является число 1. На множестве выполняются все три аксиомы, так что, по определению, $$Q^*$$ -это группа.
Еще одним примером числового множества, представляющего группу, является множество $$R^*$$ - множество ненулевых вещественных чисел. (Заметьте, чтобы получить мультипликативную группу из множества вещественных чисел и множества рациональных чисел удаляется 0, так как для этот элемента первые две аксиомы не выполняются.)
Мы можем рассмотреть группы с операцией, отличной от умножения. На самом деле важно не имя операции, а ее свойства. Давайте дадим другое определение группы, назвав операцию, применяемую к паре элементов множества, сложением. С операцией сложения аксиома тождественности имеет вид: х + е = е + х = х. Ясно, что при операции сложения в арифметике роль тождественного элемента играет 0. Поэтому для аддитивных групп (групп с операцией сложения) тождественный элемент обозначается как "0". Аксиома инверсии в этом случае говорит, что сумма элемента с его обратным элементом равна 0. Понятно, что обратный элемент к элементу х рассматривается в этом случае как отрицательный элемент и обозначается как -х.
Это дает нам множество примеров аддитивных групп:
(Z, +);(Q, +);(R, +);(V, +).B примерах, приходящих из арифметики, для элементов часто выполняется и коммутативный закон: х у = у * х (х + у = у + х для аддитивных групп). Коммутативный закон не является частью законов группы. Для многих групп этот закон не выполняется. Группы, удовлетворяющие коммутативному закону, называются коммутативными или абелевыми группами (в честь норвежского математика Нильса Абеля).
Примером некоммутативной группы является множество обратимых квадратных матриц размера N * N. Эта группа называется обобщенной линейной группой (General Linear group) и обозначается как GL(N). Единичным элементом этой группы является единичная матрица I. Множество замкнуто относительно операции умножения матриц, так как существует формула для обращения произведения матриц:
На первый взгляд странно, что порядок множителей меняется при обращении произведения. Можно, конечно, сказать, что в данном случае произведение матриц и обращение согласуются с принципом " Носки и Обувь". Утром, когда одеваемся, вначале одеваем носки, а затем одеваем обувь. Вечером все выполняется в обратном порядке, - вначале снимаем обувь, затем снимаем носки.
Справедливость этого порядка можно доказать, умножив обе части этого равенства слева на матрицу (АВ):
Как мы видели ранее, произведение матриц в общем случае не коммутативно, так что GL(N) - некоммутативная группа.
Мы собираемся обсудить наш следующий пример более детально. Рассмотрим группу G трансформаций симметрий квадрата. Есть два типа симметричных преобразований - повороты и отражения. Тождественной трансформацией I при поворотах является поворот на угол в $$0\citc$$. Другие повороты - это повороты против часовой стрелки на углы $$90\circ,\; 180\circ\;, 270\circ$$. Обозначим эти повороты соответственно $$R_1, R_2, R_3$$. Группа G содержит также 4 отражения. Два отражения $$Т_1$$ и $$Т_2$$ с осями, проходящими через середины противоположных сторон квадрата, и два отражения $$V_1$$ и $$V_2$$ с осями, проходящими через противоположные вершины квадрата (по диагоналям).
$$Т_1$$- горизонтальная ось, $$Т_2$$ - вертикальная, $$V_1$$ - диагональ первого квадранта, $$V_2$$ - второго )
Будем полагать, что первый базисный вектор $$е_1$$ плоскости $$R^2$$ лежит на оси $$Т_1$$, а вектор $$е_2$$ -на оси $$Т_2$$.
Вычислим теперь матрицы, задающие все 8 трансформаций в G:
Мы хотим теперь вычислить таблицу умножения для этой группы. Достаточно просто вычислить произведение поворотов. Понятно, что если выполнить поворот на $$270\circ$$, а затем поворот на $$180\circ$$, то результатом этих двух поворотов будет поворот на $$90\circ$$. Отсюда: $$R_2R_3=R_1$$. Это позволяет заполнить четверть таблицы умножения:
Далее заметим, что таблица умножения для групп удовлетворяет принципу "Судоку", - ни один элемент таблицы не появляется дважды ни в одной строке и ни в одном столбце. Алгебраическая аргументация такова: если в строке Х появится один и тот же элемент в столбцах У и Z, то это означает, что имеет место равенство: ХУ = Х Z. Умножая обе стороны равенства слева на $$Х^{-1}$$, получим: $$Х^{-1}(ХУ)=Х^{-1}(ХZ)$$. Применяя законы ассоциативности, инверсии и тождественности приходим к заключению, что Y=Z, что является противоречием, поскольку все трансформации различны. Следовательно, наша посылка о том, что один и тот же элемент может появляться дважды в строке, ошибочна.
Так как элементы не могут повторяться, то каждая строка и столбец должны содержать все элементы группы. Из этого следует, что нижний левый и верхний правый углы таблицы умножения должны быть заполнены отражениями, а нижний правый угол должен содержать повороты.
Следовательно, произведение двух поворотов дает поворот. Произведение поворота и отражения независимо от порядка дает отражение. Произведение двух отражений дает поворот.
Достаточно просто заполнить первый столбец и первую строку, поскольку множителем является тождественный элемент. Мы также знаем, что отражение, примененное дважды, дает тождественный результат. Заметим также, что матрица $$R_2$$ это -I. Будучи поворотом на $$180\circ$$, она трансформирует каждый вектор в его противоположность. Так как умножение на - I означает замену знаков у всех элементов на противоположный знак независимо от порядка умножения, то результаты достаточно просто вычислить. Запишем их:
Вычислим теперь $$Т_1R_1$$ и $$R_1Т_1$$:
$$Т_1R_1=\begin{pmatrix}10\\0-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0-1\\10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0-1\\-10 \end{pmatrix}=V_2,\\ R_1T_1=\begin{pmatrix}0-1\\10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}10\\0-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}01\\10 \end{pmatrix}=V_2$$Это показывает, что группа симметрий квадрата не коммутативна! Поместим вычисленные значения в таблицу:
Затем, используя принцип Судоку, заполним часть клеток таблицы умножения: $$Т_1R_3=V_1,\; R_3T_1=V_2,\; T_2R_1=V_1,\; T_2R_3=V+2,\; R_1T_2=V_2,\; R_3T_2=V_1$$.
Мы можем вычислить $$V_1R_1$$ и $$R_1V_1$$, используя ассоциативный закон:
$$V_1R_1=(T_2R_1)R_1=T_2(R_1R_1)=T_2R_2=T_1,\\ R_1V_1=R_1(R_1T_1)=(R_1R_1)T_1=R_2T_1=T_2$$Заполним остаток пустующих клеток двух углов таблицы:
Оставим заполнение клеток последнего угла таблицы в качестве упражнения.
Некоторые группы, которые нам хотелось бы изучать могут быть очень большими. Например, число элементов одной важной группы, называемой " Монстр", равно:
808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000.
Если бы мы решили заполнить таблицу умножения для этой группы, то нам бы не хватило чернил, так как число элементов таблицы превосходит число атомов видимой нам Вселенной.
Мы хотим разработать более эффективный и более алгебраический метод для проведения вычислений в группе.
Давайте обобщим наш предыдущий пример и рассмотрим группу симметрий $$D_n$$ правильного многоугольника с n вершинами. Эта группа называется диедральной группой. Нетрудно видеть, что эта группа имеет n поворотов (на углы, кратные $$360\circ/n$$) и n отражений. Будем обозначать поворот против часовой стрелки на угол $$360\circ/n$$ через R. Зафиксируем одно из отражений и назовем его Т. Все повороты в диедральной группе могут быть представлены как степени R: $$R, R^2, R^3, \dots , R^{n-1}, R^n = е$$. Последний поворот $$R^n$$ равен е. Та же аргументация, которую мы использовали в случае квадрата, показывает, что произведение отражения и поворота дает отражение. В соответствие с принципом Судоку все отражения $$Т, ТR, ТR^2, \dots , ТR^{n-1}$$ различны и, следовательно, задают все отражения в диедральной группе $$D_n$$.
Это позволяет нам перечислить все элементы диедральной группы следующим образом:
$$D_n = {R^i`,TR^i|i=0,1,2,\dots,n-1}.$$Отметим два равенства: $$R^n = е$$ и $$Т^2 = е$$. Так как произведение $$R^i$$ и Т является отражением, то квадрат этого произведения, будучи квадратом отражения, равен тождественному элементу: $$(R^iT)^2 = е$$. Отсюда следует, что произведение $$R^iT$$ совпадает со своим обращением: $$R^iT = (R^iT)^{-1} = Т^{-1}R^-i} = ТR^{-i)$$. Полученные три отношения:
позволяют умножать любые два элемента диедральной группы. Для примера давайте вычислим в группе $$D_7$$ произведение $$ТR^5$$ и $$ТR^3$$:
$$(TR^5)(TR^3)=T(R^5T)R^3=T(TR^{-5})R^3=T^2R^{-2}=R^7R^{-2}=R^5$$Группы - математический инструментарий для изучения симметрий. Идея теории групп состоит в обобщении алгебры чисел, расширяя ее до алгебры симметрий. Группу можно ассоциировать с любым симметричным объектом, будь то объект материального мира или абстрактная математическая конструкция.
Неформально трансформация симметрии объекта, перемещая точки объекта, сохраняет его как целое. Хорошим примером, который всегда стоит иметь ввиду, говоря о группах, является вращение сферы. Когда мы вращаем сферу, то ее точки движутся, но сфера как множество точек сохраняется неизмеиной. Группу можно рассматривать как множество всех трансформаций симметрии данного объекта.
Концепция симметрии сыграла центральную роль в разработке физики 20-го века. Хотя использование симметрии в физике восходит к Галилею, Эйнштейн был тем, кто сделал симметрию краеугольным камнем физики. Ему удалось построить теорию относительности, исходя из единственного постулата о геометрия такого объекта как " пространство - время" и трансформаций симметрия этого объекта.
Вот несколько общих принципов, универсально справедливых для трансформаций симметрии любого объекта:
Сохраняя в памяти эти принципы, мы можем теперь дать формальное определение группы.
Определение. Группа G - это множество элементов с:
е, называемым единичным или тождественным элементом;Для всех элементов х, у, z из G имеет место:
х * е = е * х = х; (аксиома тождественности)(х * у) * z = х * (у * z); (закон ассоциативности).Мы можем непосредственно видеть, что аксиомы тождественности и инверсия выполняются для всех трансформаций симметрии. Оказывается, что закон ассоциативности является универсальным и выполняется для композиции трансформаций (аргументация, которую мы использовали для доказательства справедливости ассоциативного закона в случае линейных трансформаций, применима и в более общем контексте).
Еще раз укажем на контринтуитивный характер операции композиции $$f \circ g$$. Когда композиция применяется к некоторому аргументу р, то первой выполняется трансформация g, а затем к результату применяется трансформация f : $$(f\circ g) (р) = f (g(р))$$
Первые примеры групп приходят из арифметики.
Рассмотрим множество $$Q^*$$- ненулевых рациональных чисел. Это множество замкнуто относительно операций умножения и обращения рациональных чисел. Единичным (тождественным) элементом является число 1. На множестве выполняются все три аксиомы, так что, по определению, $$Q^*$$ -это группа.
Еще одним примером числового множества, представляющего группу, является множество $$R^*$$ - множество ненулевых вещественных чисел. (Заметьте, чтобы получить мультипликативную группу из множества вещественных чисел и множества рациональных чисел удаляется 0, так как для этот элемента первые две аксиомы не выполняются.)
Мы можем рассмотреть группы с операцией, отличной от умножения. На самом деле важно не имя операции, а ее свойства. Давайте дадим другое определение группы, назвав операцию, применяемую к паре элементов множества, сложением. С операцией сложения аксиома тождественности имеет вид: х + е = е + х = х. Ясно, что при операции сложения в арифметике роль тождественного элемента играет 0. Поэтому для аддитивных групп (групп с операцией сложения) тождественный элемент обозначается как "0". Аксиома инверсии в этом случае говорит, что сумма элемента с его обратным элементом равна 0. Понятно, что обратный элемент к элементу х рассматривается в этом случае как отрицательный элемент и обозначается как -х.
Это дает нам множество примеров аддитивных групп:
(Z, +);(Q, +);(R, +);(V, +).B примерах, приходящих из арифметики, для элементов часто выполняется и коммутативный закон: х у = у * х (х + у = у + х для аддитивных групп). Коммутативный закон не является частью законов группы. Для многих групп этот закон не выполняется. Группы, удовлетворяющие коммутативному закону, называются коммутативными или абелевыми группами (в честь норвежского математика Нильса Абеля).
Примером некоммутативной группы является множество обратимых квадратных матриц размера N * N. Эта группа называется обобщенной линейной группой (General Linear group) и обозначается как GL(N). Единичным элементом этой группы является единичная матрица I. Множество замкнуто относительно операции умножения матриц, так как существует формула для обращения произведения матриц:
На первый взгляд странно, что порядок множителей меняется при обращении произведения. Можно, конечно, сказать, что в данном случае произведение матриц и обращение согласуются с принципом " Носки и Обувь". Утром, когда одеваемся, вначале одеваем носки, а затем одеваем обувь. Вечером все выполняется в обратном порядке, - вначале снимаем обувь, затем снимаем носки.
Справедливость этого порядка можно доказать, умножив обе части этого равенства слева на матрицу (АВ):
Как мы видели ранее, произведение матриц в общем случае не коммутативно, так что GL(N) - некоммутативная группа.
Мы собираемся обсудить наш следующий пример более детально. Рассмотрим группу G трансформаций симметрий квадрата. Есть два типа симметричных преобразований - повороты и отражения. Тождественной трансформацией I при поворотах является поворот на угол в $$0\citc$$. Другие повороты - это повороты против часовой стрелки на углы $$90\circ,\; 180\circ\;, 270\circ$$. Обозначим эти повороты соответственно $$R_1, R_2, R_3$$. Группа G содержит также 4 отражения. Два отражения $$Т_1$$ и $$Т_2$$ с осями, проходящими через середины противоположных сторон квадрата, и два отражения $$V_1$$ и $$V_2$$ с осями, проходящими через противоположные вершины квадрата (по диагоналям).
$$Т_1$$- горизонтальная ось, $$Т_2$$ - вертикальная, $$V_1$$ - диагональ первого квадранта, $$V_2$$ - второго )
Будем полагать, что первый базисный вектор $$е_1$$ плоскости $$R^2$$ лежит на оси $$Т_1$$, а вектор $$е_2$$ -на оси $$Т_2$$.
Вычислим теперь матрицы, задающие все 8 трансформаций в G:
Мы хотим теперь вычислить таблицу умножения для этой группы. Достаточно просто вычислить произведение поворотов. Понятно, что если выполнить поворот на $$270\circ$$, а затем поворот на $$180\circ$$, то результатом этих двух поворотов будет поворот на $$90\circ$$. Отсюда: $$R_2R_3=R_1$$. Это позволяет заполнить четверть таблицы умножения:
Далее заметим, что таблица умножения для групп удовлетворяет принципу "Судоку", - ни один элемент таблицы не появляется дважды ни в одной строке и ни в одном столбце. Алгебраическая аргументация такова: если в строке Х появится один и тот же элемент в столбцах У и Z, то это означает, что имеет место равенство: ХУ = Х Z. Умножая обе стороны равенства слева на $$Х^{-1}$$, получим: $$Х^{-1}(ХУ)=Х^{-1}(ХZ)$$. Применяя законы ассоциативности, инверсии и тождественности приходим к заключению, что Y=Z, что является противоречием, поскольку все трансформации различны. Следовательно, наша посылка о том, что один и тот же элемент может появляться дважды в строке, ошибочна.
Так как элементы не могут повторяться, то каждая строка и столбец должны содержать все элементы группы. Из этого следует, что нижний левый и верхний правый углы таблицы умножения должны быть заполнены отражениями, а нижний правый угол должен содержать повороты.
Следовательно, произведение двух поворотов дает поворот. Произведение поворота и отражения независимо от порядка дает отражение. Произведение двух отражений дает поворот.
Достаточно просто заполнить первый столбец и первую строку, поскольку множителем является тождественный элемент. Мы также знаем, что отражение, примененное дважды, дает тождественный результат. Заметим также, что матрица $$R_2$$ это -I. Будучи поворотом на $$180\circ$$, она трансформирует каждый вектор в его противоположность. Так как умножение на - I означает замену знаков у всех элементов на противоположный знак независимо от порядка умножения, то результаты достаточно просто вычислить. Запишем их:
Вычислим теперь $$Т_1R_1$$ и $$R_1Т_1$$:
$$Т_1R_1=\begin{pmatrix}10\\0-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0-1\\10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0-1\\-10 \end{pmatrix}=V_2,\\ R_1T_1=\begin{pmatrix}0-1\\10 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}10\\0-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}01\\10 \end{pmatrix}=V_2$$Это показывает, что группа симметрий квадрата не коммутативна! Поместим вычисленные значения в таблицу:
Затем, используя принцип Судоку, заполним часть клеток таблицы умножения: $$Т_1R_3=V_1,\; R_3T_1=V_2,\; T_2R_1=V_1,\; T_2R_3=V+2,\; R_1T_2=V_2,\; R_3T_2=V_1$$.
Мы можем вычислить $$V_1R_1$$ и $$R_1V_1$$, используя ассоциативный закон:
$$V_1R_1=(T_2R_1)R_1=T_2(R_1R_1)=T_2R_2=T_1,\\ R_1V_1=R_1(R_1T_1)=(R_1R_1)T_1=R_2T_1=T_2$$Заполним остаток пустующих клеток двух углов таблицы:
Оставим заполнение клеток последнего угла таблицы в качестве упражнения.
Некоторые группы, которые нам хотелось бы изучать могут быть очень большими. Например, число элементов одной важной группы, называемой " Монстр", равно:
808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000.
Если бы мы решили заполнить таблицу умножения для этой группы, то нам бы не хватило чернил, так как число элементов таблицы превосходит число атомов видимой нам Вселенной.
Мы хотим разработать более эффективный и более алгебраический метод для проведения вычислений в группе.
Давайте обобщим наш предыдущий пример и рассмотрим группу симметрий $$D_n$$ правильного многоугольника с n вершинами. Эта группа называется диедральной группой. Нетрудно видеть, что эта группа имеет n поворотов (на углы, кратные $$360\circ/n$$) и n отражений. Будем обозначать поворот против часовой стрелки на угол $$360\circ/n$$ через R. Зафиксируем одно из отражений и назовем его Т. Все повороты в диедральной группе могут быть представлены как степени R: $$R, R^2, R^3, \dots , R^{n-1}, R^n = е$$. Последний поворот $$R^n$$ равен е. Та же аргументация, которую мы использовали в случае квадрата, показывает, что произведение отражения и поворота дает отражение. В соответствие с принципом Судоку все отражения $$Т, ТR, ТR^2, \dots , ТR^{n-1}$$ различны и, следовательно, задают все отражения в диедральной группе $$D_n$$.
Это позволяет нам перечислить все элементы диедральной группы следующим образом:
$$D_n = {R^i`,TR^i|i=0,1,2,\dots,n-1}.$$Отметим два равенства: $$R^n = е$$ и $$Т^2 = е$$. Так как произведение $$R^i$$ и Т является отражением, то квадрат этого произведения, будучи квадратом отражения, равен тождественному элементу: $$(R^iT)^2 = е$$. Отсюда следует, что произведение $$R^iT$$ совпадает со своим обращением: $$R^iT = (R^iT)^{-1} = Т^{-1}R^-i} = ТR^{-i)$$. Полученные три отношения:
позволяют умножать любые два элемента диедральной группы. Для примера давайте вычислим в группе $$D_7$$ произведение $$ТR^5$$ и $$ТR^3$$:
$$(TR^5)(TR^3)=T(R^5T)R^3=T(TR^{-5})R^3=T^2R^{-2}=R^7R^{-2}=R^5$$
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.