Теорема Лагранжа

Случается, что внутри группы есть еще одна группа меньшего размера. Например, внутри диедральной группы $$D_n$$ множество поворотов $$\{R^i| i = 0, 1,\dots , n - 1 \}$$ является группой. Это пример подгруппы.

Определение. Пусть G - группа. Подмножество Н в G называется подгруппой, если вьшолняются следующие свойства:

Можно видеть, что множество положительных рациональных чисел $$Q_+$$ представляет подгруппу мультипликативной группы $$Q^*$$, четные целые числа представляют подгруппу в аддитивной группе Z. Еще одним примером подгруппы является множество {е, Т} в $$D_n$$. Множество из одного элемента {е} и само множество G также являются подгруппами для любой группы G.

Множество ортогональных матриц размера N*N формирует подгруппу, обозначаемую О(N), в обобщенной линейной группе GL(N).

Упражнение. Определить все возможные подгруппы в $$D_4$$.

Важным классом подгрупп являются циклические подгруппы. Зафиксируем элемент g в группе G. Пусть Н будет множеством всех целых степеней g:

Ясно, что это множество является подгруппой, так как $$g^kg^s=g^{k+s}$$ Если группа G конечна, то циклическая подгруппа, генерируемая элементом g не может быть бесконечной и список степеней g будет содержать бесконечно много повторений. Давайте проанализируем структуру подгруппы в этом случае.

Определение. Порядком элемента g в группе G является наименьшее натуральное число n, такое что $$g^n = е$$. Если такового числа не существует, то значение порядка - бесконечность.

Примеры. В группе $$D_4$$ элемент Т имеет порядок 2, а элемент R - 4. В $$Q^*$$ элемент g = -1 имеет порядок 2, так как $$(-1)^2 = 1$$, а элемент g = 5 имеет бесконечный порядок, так как никакая положительная степень числа 5 не дает 1.

Утверждение. Пусть G - конечная группа. Тогда любой элемент g в G имеет конечный порядок. Если n - порядок g, то циклическая подгруппа, генерируемая g имеет n элементов: $$g^0 = е,\; g^1 = g, g^2, g^3,\dots , g^{n-1}$$

Доказательство. Так как множество всех степеней должно содержать повторения, то имеет место $$g^s=g^r$$ для некоторых целых $$s > r$$. Умножая обе части равенства на $$g^{-s}$$, получим: $$g^{r-s}=e$$, где r - s - положительное число. Следовательно, g - конечная группа.

Пусть n - порядок G. Тогда $$g^n = е,\; g^{n+1} = g$$, и так далее. Каждая положительная степень g приводится к одному из элементов: $$g^0, g^1,\dots , g^{n-1}$$ Для отрицательных степеней g справедливо $$g^{-1}=g^ng^{-1}=g^{n-1},\; g^{-2}=g^{n-2}$$, и так далее. Из этого следует справедливость нашего утверждения.

Определение. Группа G называется циклической, если существует элемент g в G, такой что целые степени g исчерпывают G.

Определение. Пусть g - элемент группы G и пусть Н - подгруппа в G. Смежный класс (coset) gH - это множество произведений gh, где h пробегает все значения из Н.

Давайте рассмотрим смежные классы подгруппы $$Н = \{е, R, R^2, R^3\}$$ в диедральной группе $$D_4$$.

Очевидно, что смежный класс еН совпадает с Н. Смежный класс RH также совпадает с Н, поскольку он содержит элементы $$\{R, R_2, R_3, R_4 = е\}$$. Смежный класс $$ТН - \{Т, ТR, ТR_2, ТR_3\}$$. Фактически для любого I смежные классы $$(TR^i)Н$$ и смежный класс ТН совпадают. В данном примере можно видеть, что есть только два различных смежных классы: $$\{е, R, R^2, R^3 \}$$ и $$\{Т, ТR, ТR^2, ТR^3 \}$$.

Из принципа Судоку для таблицы умножения следует, что размер любого смежного класса gH равен числу элементов в подгруппе Н.

Утверждение. Пусть Н - подгруппа в группе G. Тогда G - это объединение неперекрывающихся смежных классов.

Доказательство. Необходимо показать, что два различных смежных класса не перекрываются, это значит, что если два смежных класса аН и bН имеют общий элемент с, то классы эквивалентны. В самом деле, если с принадлежит обоим классам, то $$с = ah_1 = bh_2$$ для некоторых $$h_1, h_2$$ в Н. Тогда $$а =bh_2h_1^{-1}$$. Нам нужно показать, что любой элемент аН содержится в bН и наоборот. Пусть d - элемент аН. Тогда для некоторого $$h_3$$ в Н, $$d = аh_3 = bh_2h_1^{-1}h_3$$. Так как Н - подгруппа, то $$h_2h_1^{-1}h_3$$ содержится в Н, следовательно, d принадлежит смежному классу bН. Аналогично, каждый элемент bН содержится в классе аН, так что аН = bН.

Смежные классы покрывают всю группу, поскольку каждый элемент g принадлежит своему собственному смежному классу gН.

Определение. Число элементов группы G называется порядком группы.

Теорема (Лагранжа). Пусть G - конечная группа.

(а) Порядок любой подгруппы Н в G является делителем порядка G

(b) Порядок любого элемента g в G является делителем порядка G.

Доказательство. Группа G является объединением неперекрывающихся смежных классов подгруппы Н. Поскольку все классы имеют один и тот же размер, то:

Порядок G = Порядок Н * Число смежных классов Н.

Из этого следует справедливость утверждения части (а) нашей теоремы.

Для доказательства части (b) заметим, что каждый элемент g генерирует циклическую подгруппу, чей порядок эквивалентен порядку элемента g, а это значит, что (b) следует из (а).

Следствие. Пусть G - группа порядка n и пусть g - элемент G. Тогда $$g^n=e$$.

Доказательство. Пусть k - порядок g. По теореме Лагранжа n = ks для некоторого s. Тогда $$g^n=(g^k)^s=e^s=e$$