Сделки без побочных платежей

В качестве иллюстрации на рис. 3.1 изображены (темными кружками) точки множества R, соответствующего задаче выбора пункта для строительства с долевым участием, матрицы которой содержатся в табл. 2.8 (см. лекцию 11). При этом для каждой точки указаны пары стратегий, совместная реализация которых обеспечивает выигрыши сторон, представленные этой точкой.

Как уже обсуждалось выше, варианты, представленные на рис. 3.1, имеют разную привлекательность для сторон P1 и P2. Поэтому для создания условий кооперации (без побочных платежей) важно расширить множество возможных вариантов. Такое расширение оказывается возможным, например, для повторяющихся сделок, когда соглашения сторон могут относиться не к отдельному акту выбора, а к поведению во всей серии подобных сделок. В этом случае объектом договоренности может быть принятие смешанной стратегии$$p = (p_{11}\dots p_{mn}) \in S_{m \times n},$$ определяющей согласованные сторонами вероятности pij совместного выбора пар чистых стратегий (i,j). При этом выбор конкретной стратегии p из (14.2) обеспечивает сторонам P1 и P2 математические ожидания выигрыша, определяемые (соответственно) выражениями:$$\mu_1(p) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij} p_{ij}$$ и$$\mu_2(p) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n b_{ij} p_{ij}.$$

В качестве иллюстрации вернемся к примеру, представленному на рис. 3.1, и рассмотрим согласованную смешанную стратегию сторон P1 и P2 вида$$p^\ast = \left(\frac{1}{2}, 0, 0, \frac{1}{2}\right) \in S_4,$$ "смешивающую" пары чистых стратегий (i=1,j=1) и (i=2,j=2) с равными вероятностями. Как следует из (14.3)-(14.5), соответствующая этой смешанной стратегии пара математических ожиданий$$u = \mu_1(p^\ast) =1 \frac{1}{2},\quad v = \mu_2(p^\ast) = 1 \frac{1}{2},$$ отмеченная темным прямоугольником на рис. 3.2, могла бы быть основой согласия сторон.

Заметим, что, согласно (14.3) и (14.4), каждая пара $$(\mu_1(p), \mu_2(p))$$ есть выпуклая линейная комбинация точек множества R из (14.1) с весами pij, $$1\le i\le m$$, $$1\le j\le n$$. Следовательно, множество$$S = \{(\mu_1(p), \mu_2(p))\colon p \in S_{m \times n}\}$$ всех пар математических ожиданий, достижимых сторонами P1 и P2 путем выбора соответствующих рулеток p из (14.2), является выпуклой оболочкой множества R из (14.1).

В силу конечности множества R его выпуклая оболочка S представляет собой наименьший плоский многоугольник, включающий все точки из R (см. треугольник, являющийся образом множества S в примере, представленном на рис. 3.2). При этом вершинами такого многоугольника могут быть лишь точки из R (причем не обязательно все точки из R ).

В связи с отмеченной выше реализуемостью любой пары ожидаемых выигрышей (u,v) из множества S (обеспечиваемой согласованным выбором сторонами P1 и P2 соответствующей рулетки) его называют допустимым множеством.

Принципы формирования сделки (аксиомы Нэша)

Перейдем к обсуждению условий, определяющих выбор сторонами конкретного варианта сделки (u,v) из множества S (или выбор рулетки p из (14.2), порождающей этот вариант). Конкретные условия, которые мы рассмотрим, были предложены Дж.Нэшем (см. лекцию 3). Поэтому их обычно называют аксиомами Нэша.

При всей специфике взаимодействий участников конкретной операции, согласующих взаимоприемлемый вариант сделки, можно выделить некоторые общие моменты, обычно присущие таким взаимодействиям. Согласно Нэшу, они состоят в следующем.

Участник P1 своими односторонними действиями (т.е. без кооперации с участником P2 ) может гарантировать себе математическое ожидание выигрыша, равное величине$$u^\ast = M_1 (x^\ast, y') = \max_x \min_y M_1(x,y),$$ где M1(x,y) из (11.16), (11.17), а $$x\in S_m$$ и $$y\in S_n$$ есть смешанные стратегии, независимо используемые сторонами. Т.е. при оценке гарантированного уровня мы исходим из того, что сторона P2 может вести себя как противник стороны P1 в антагонистической игре с матрицей A, характеризующей интересы P1. При таком поведении стороны P2 ее ожидаемый выигрыш есть величина$$v' = M_2(x^\ast, y').$$ При этом пара (u*,v') принадлежит множеству S, поскольку рулетка p из (14.2), имеющая компоненты$$p_{ij} = x^\ast_i y'_j,\quad 1 \le i \le m,\ 1 \le j \le n,$$ обеспечивает выполнение равенств$$\mu_1(p) = u^\ast,\quad \mu_2(p) = v';$$ ср. (11.16) и (14.3), (14.7). Кроме того, согласно (14.7),$$u^\ast = \min\{M_1 (x^\ast, y)\colon y \in S_n\} \le M_1(x^\ast, y^\ast).$$

Аналогично сторона P2 (также своими односторонними действиями) может гарантировать себе ожидаемый выигрыш$$v^\ast = M_2(x', y^\ast) = \max_y \min_x M_2(x,y).$$ При этом$$u' = M_1(x', y^\ast),$$ $$v^\ast = \min \{M_2(x, y^\ast)\colon x \in S_m\} \le M_2(x^\ast, y^\ast),$$ и $$(u', v^\ast) \in S$$ поскольку рулетка с компонентами$$q_{ij} = x'_i y^\ast_j,\quad 1 \le i \le m,\ 1 \le j \le n,$$ обеспечивает выполнение равенств$$\mu_1(q) = u',\quad \mu_2(q) = v^\ast.$$

Далее, рулетка p* с компонентами$$p^\ast_{ij} = x^\ast_i y^\ast_j,\quad 1 \le i \le m,\ 1 \le j \le n,$$ также порождает допустимую точку$$(\mu_1(p^\ast), \mu_2(p^\ast)) = (M_1(x^\ast, y^\ast),M_2(x^\ast, y^\ast)) \in S,$$ которая, согласно (14.9), (14.12), доминирует пару (u*,v*). Заметим, что эта последняя пара может и не быть допустимой.

Таким образом, в допустимом множестве S всегда есть вариант сделки, превосходящий (возможно, нестрого) пару гарантированных уровней ( u*,v*), что и является основанием, определяющим интерес сторон к кооперации. Следующий пример иллюстрирует отношения всех рассмотренных пар выигрышей.

Пример 3.1. Рассмотрим $$2\times 3$$ биматричную игру с матрицами из табл. 3.1. Допустимое множество S для этого примера построено на рис. 3.3 как многоугольник. Вершины этого многоугольника принадлежат множеству (14.1), соответствующему матрицам из табл. 3.1. Точки, соответствующие вершинам многоугольника S, отмечены на рисунке темными кружками.

Согласно (14.7), (14.8) и (14.10), (14.11) рассматриваемый пример характеризуется значениямиЗаметим, что матрица A содержит седловое значение, а в матрице $$B$$ второй столбец доминирует первый и, следовательно, получение оценок для второго игрока сводится к анализу $$2\times 2$$ матрицы.$$u^\ast = 0,\quad v' = 4,\quad v^\ast = 8{,}4,\quad u' = 8{,}76$$ и рулетками$$x^\ast = (1,0),\quad y'=(1,0,0),\quad y^\ast = (0; 0{,}6; 0{,}4),\quad x' = (0{,}7; 0{,}3).$$ При этом ( $$u^\ast, v^\ast) \not\in S$$, а точка $$(9{,}6;8{,}4)$$ из (14.14), соответствующая рулетке $$p^\ast$$ из (14.13), принадлежит границе допустимого множества.

Первое предположение Нэша состоит в том, что стороны P1 и P2 будут согласовывать лишь сделки $$(u^\circ, v^\circ)$$, удовлетворяющие неравенствам$$u^\circ \ge u^\ast,\quad v^\circ \ge v^\ast.$$ Это естественное допущение, которое мы будем записывать также в векторной форме$$(u^\circ, v^\circ) \ge (u^\ast, v^\ast),$$ получило название аксиомы индивидуальной рациональности. При этом принимается и другое естественное условие, что стороны согласуют лишь допустимые сделки ( аксиома допустимости ), т.е.$$(u^\circ, v^\circ) \in S.$$ Как мы уже установили, сделки, отвечающие условиям (14.15), (14.16), заведомо существуют.

Следующее условие ( аксиома неулучшаемости или оптимальности по Парето), введенное Нэшем, отражает то обстоятельство, что обе стороны проявят готовность рассматривать варианты, повышающие выигрыш каждой из них. Поэтому сделка, принимаемая окончательно, должна быть уже неулучшаема (см. определение в лекции 3). Мы будем записывать это условие в следующей форме$$(\forall(u,v) \in S)\ (u,v) \ge (u^\circ, v^\circ) \to (u,v) = (u^\circ, v^\circ),$$ которая аналогична записи (3.4).

Формулировки двух следующих условий Нэша предполагают, что сделка $$(u^\circ, v^\circ)$$, согласуемая сторонами, может быть определена как некоторая функция$$(u^\circ, v^\circ) = \varphi (S, u^\ast, v^\ast).$$ Т.е. выдвигаемые принципы поведения сторон при согласовании сделки могут быть отражены в операторе $$\varphi$$, аргументами которого являются допустимое множество S и выигрыши u*,v*, гарантируемые односторонними действиями соответственно P1 и P2. Предположение (14.18) фактически означает, что оператор $$\varphi$$ (ниже мы установим его существование) является моделью формирования сделки. Заметим также, что излагаемая ниже теория справедлива для любого выпуклого, ограниченного и замкнутого множества S и пары уровней u*,v* доминируемых какой-либо точкой из S. Т.е. величины S и u*, v*, соответственно, из (14.6), (14.7) и (14.12), связанные с некоторой $$m\times n$$ биматричной игрой, можно интерпретировать как (основной в нашем рассмотрении) частный случай.

Теперь введем четвертое условие Нэша, утверждающее, что согласованная сторонами сделка $$(u^\circ, v^\circ)$$ сохраняется при усечении исходного множества S до некоторого подмножества $$T \subset S$$, включающего эту сделку. Эту аксиому независимости от посторонних альтернатив можно записать в следующем виде:$$[(u^\circ, v^\circ) \!\in\! T \!\subset\! S] \ [(u^\circ, v^\circ) \!=\! \varphi(S, u^\ast, v^\ast)] \!\to\! (u^\circ, v^\circ) \!=\! \varphi(T, u^\ast, v^\ast).$$

Сформулируем пятое условие, называемое аксиомой независимости от линейного преобразования. Введем линейное преобразование шкал полезностей сторон вида:$$\tilde{u} = \alpha u + a,\quad \tilde{v} = \beta v + b,\quad \alpha > 0,\ \beta > 0,$$ переводящее множество S в некоторое множество T. Пятая аксиома утверждает справедливость следующего следствия:$$(u^\circ, v^\circ) \!=\! \varphi(S, u^\ast, v^\ast) \!\to\! (\alpha u^\circ \!+\! a, \beta v^\circ \!+\! b) \!=\! \varphi(T, \beta u^\ast \!+\! a,\, \beta v^\ast \!+\! b).$$ Т.е. при линейном изменении шкал полезностей согласованная сделка просто пересчитывается в соответствии с новой шкалой, сохраняя свою приемлемость для обеих сторон. Следует, однако, заметить, что при значительных изменениях масштабов выигрышей могут меняться сами принципы поведения людей (и в том числе их отношение к нравственным и другим запретам). Поэтому аксиома (14.21) может оказаться реалистичной лишь при не очень больших изменениях масштабов.

Последнее условие ( аксиома симметрии ) имеет вид следствия:$$[u^\ast = v^\ast] \ [(u,v) \in S \leftrightarrow (v,u) \in S] \to u^\circ = v^\circ.$$ Т.е. аксиома относится к случаю, когда допустимое множество S симметрично относительно биссектрисы первого координатного угла на плоскости (v,u), а выигрыши u*,v*, гарантируемые односторонними действиями игроков P1 и P2, совпадают по величине. Пример такого случая представлен нарис. 3.2. Предполагается, что в подобной задаче полезности, достигаемые сторонами в согласованной сделке $$(u^\circ, v^\circ)$$, должны совпадать. Можно интерпретировать это предположение как признание невозможности увеличения своего выигрыша по сравнению с выигрышем партнера, если ресурсы сторон, отражаемые симметричным множеством S и совпадающими гарантированными уровнями u*,v*, являются в некотором роде одинаковыми. Разумеется, эти три аргумента оператора $$\varphi$$ из (14.18) не описывают всех (могущих встретиться в практике переговоров) аспектов взаимоотношений сторон при согласовании сделки. Поэтому условие (14.22) можно интерпретировать и как некоторое нормативное определение справедливости.

Замечание 3.2 (о дележах ). Любая допустимая, индивидуально рациональная сделка, удовлетворяющая условию (14.17), может рассматриваться как некоторое (не улучшаемое одновременно для обеих сторон) распределение полезности в исходе операции. Поэтому сделки, удовлетворяющие условиям (14.15)-(14.17), называют дележами.