Исследование операций и модели экономического поведения

Математическая модель задачи выбора решений

Разбить на страницы
Показывать лекцию целиком

Стратегии сторон и исходы операции

Пусть в операции участвуют две стороны, для обозначения которых будем использовать соответственно символы P1 и P2. Примем, что сторона P1 выбирает решение x из множества X, а сторона P2 - решение y из множества Y. При этом допускается, что решения x и y могут определять не только отдельные действия, но и некоторые планы действий сторон, которые будут ими последовательно реализовываться в условиях конфликта (с учетом реакций другой стороны). В связи с этим, будем называть выбираемые сторонами решения стратегиями.

Заметим, что принятое описание возможностей сторон не раскрывает указанных выше деталей их допустимого поведения. Способы создания таких описаний будут рассмотрены позже. Фактически, на данном этапе рассмотрения символы x и y рассматриваются как "указатели" конкретных стратегий. Следует также отметить, что вводимое описание не характеризует ресурсов, необходимых для реализации выбираемых стратегий. Принимается, что во множества X и Y включены указатели лишь таких стратегий, реализация которых обеспечена необходимыми ресурсами.

Действия сторон в ходе операции завершаются некоторым исходом, который зависит от стратегий, использованных сторонами. Однако этот исход может зависеть и от некоторых других факторов (например, от погодных условий), которые не управляются сторонами, участвующими в операции. Будем называть эти факторы состояниями природы (или неконтролируемыми параметрами) и обозначать символом $$u\in U$$ (оговорим, что множество U содержит все возможные значения состояний природы). Здесь, как и в случае обозначений, использованных для стратегий сторон, символ u играет роль указателя определенного состояния природы. В каждой конкретной задаче неконтролируемые параметры могут иметь собственную интерпретацию.

Обозначим исход операции символом $$z\in Z$$ (знак Z соответствует множеству всех возможных исходов) и опишем зависимость исхода от стратегий, выбранных сторонами, и от неконтролируемых параметров как отображение вида:$$z=f(x,y,u), x\in X,y\in Y, u\in U$$ Для каждой конкретной задачи принятия решений должно быть построено свое отображение указанного вида. Запись (1.1) означает лишь, что соответствующее отображение входит в рассматриваемую схему моделирования.

Описание интересов сторон

Независимо от источника, определяющего цели сторон в конкретной операции, наличие интересов у стороны Pi, i=1,2, в этой операции проявляется в том, что любые два ее исхода z1 и z2, вообще говоря, неравноценны для указанной стороны. Формальное описание этого обстоятельства может быть обеспечено введением соответствующих бинарных отношений на множестве исходов Z.

Выделим во множестве Z такие два исхода z1 и z2, что сторона P1 считает исход z1 более предпочтительным, чем исход z2. Такие два исхода необходимо найдутся во множестве Z, ибо противный случай будет свидетельствовать об отсутствии у стороны P1 каких-либо интересов в рассматриваемой операции. Обозначим символом T1 подмножество всех пар (z1, z2) из прямого произведения $$Z\times Z$$, обладающих указанным свойством. Выделенное подмножество определяет график отношения строгого предпочтения на множестве исходов Z, ибо из того, что $$(z_1,z_2)\in T_1$$ (эквивалентная форма записи этого факта есть z1T1z2 ) следует, что для стороны P1 исход z1 строго предпочтительнее исхода z2.

Если теперь выделить из множества $$Z\times Z$$ подмножество I1 всех таких пар (z1,z2), что для стороны P1 исход z1 равноценен исходу z2, то I1 определяет график отношения безразличия на множестве исходов Z. Объединяя отношения T1 и I1, получим отношение нестрогого предпочтения$$R_1=T_1\cup I_1,$$ по которому можно восстановить исходные отношения T1 и I1.

Действительно,$$(z_1 R_1 z_2)\cap(z_2 R_1 z_1)\leftrightarrow(z_1 I_1 z_2)$$ $$(z_1 R_1 z_2)\cap\neg(z_2 R_1 z_1)\leftrightarrow(z_1 T_1 z_2)$$

Примем, что введенное отношение нестрогого предпочтения R1 является транзитивным, т.е. что оно удовлетворяет следующим условиям:$$(z_1 R_1 z_2)\cap(z_2 R_1 z_3)\rightarrow(z_1 R_1 z_3)$$ Не все отношения, встречающиеся в практике взаимодействий, обладают свойством транзитивности. Типичным примером отсутствия этого свойства являются отношения превосходства между спортивными командами, когда команда A побеждает команду B, которая, в свою очередь, побеждает команду C, из чего, однако, не следует, что команда A сильнее команды C и сможет ее победить. Иными словами, введенное условие транзитивности (1.5) выделяет достаточно широкий класс задач, которым будет ограничено рассмотрение, проводимое ниже. Отметим, что при выполнении условий (1.5), отношения R1, T1 и I1, соответственно, называются квазипорядком, строгим порядком и эквивалентностью.

Следующее обстоятельство, на которое нужно обратить внимание, состоит в том, что множество исходов Z может содержать и несравнимые элементы. Т.е. могут существовать такие пары $$(z_1,z_2)\in Z\times Z$$, для которых справедливы отношения $$(z_1,z_2)\notin R_1$$, $$(z_2,z_1)\notin R_1$$. Мы, однако, ограничим наше рассмотрение случаем, когда во множестве исходов таких несравнимых пар нет. Заметим, что в этом случае введенное отношение нестрогого предпочтения R1 из (1.2) называется полным квазипорядком.

Аналогичные отношения можно задать и для описания интересов стороны P2. При этом в схему модели будут включены отношения полного квазипорядка R2, строгого порядка T2 и эквивалентности I2, для которых справедливо подобное (1.2) отношение $$R_2=T_2\cup I_2$$ и имеют место свойства, аналогичные (1.3)-(1.5).

Введенные отношения дают простое правило, определяющее совпадение или несовпадение интересов сторон. Роль такого формального теста играет отношение$$R_1\neq R_2$$ отражающее различие интересов сторон.

Модель операции в нормальной форме

Непосредственное использование отношений R1 и R2, введенных выше для описания интересов сторон P1 и P2, предполагает задание всех пар (z1,z2), составляющих графики этих отношений. В случае, когда множество исходов Z содержит значительное число элементов, явное перечисление всех таких пар может оказаться слишком громоздким. Зачастую эту трудность можно преодолеть, вводя значительно более компактное описание отношений R1 и R2 с помощью вещественных функций H1(z) и H2(z), определенных на множестве исходов Z и неубывающих соответственно по предпочтениям R1 и R2.

Определение 1.1. Функция Hi(z), определенная на множестве исходов Z, называется неубывающей по нестрогому предпочтению Ri, если$$(\forall z_1, z_2\in Z) z_1 R_i z_2\rightarrow H_i(z_1)\ge H_i(z_2)$$ При этом, согласно (1.3) и (1.7),$$(\forall z_1,z_2\in Z) z_1 I_i z_2\leftrightarrow H_i(z_1)= H_i(z_2).$$

В случае, когда выполняются также условия$$(\forall z_1, z_2\in Z) z_1 R_i z_2\leftrightarrow H_i(z_1)\ge H_i(z_2)$$ говорят, что эта функция представляет отношение Ri. В последнем случае соответствующую функцию Hi(z) называют функцией ценности или функцией полезности исхода $$z\in Z$$.

Теорема 1.1. Функция Hi(z), неубывающая по полному квазипорядку Ri и удовлетворяющая условиям$$(\forall z_1,z_2\in Z) z_1 T_1 z_2\rightarrow H_i(z_1)>H_i(z_2),$$ представляет этот квазипорядок.

Доказательство. Свойство неубывания, включенное в условия теоремы, гарантирует справедливость утверждения (1.7). Теперь допустим, что условия (1.8) не выполняются. Т.е. во множестве $$Z\times Z$$ существует хотя бы одна пара (z1,z2), для которой справедливо неравенство$$H_i(z_1)\ge H_i(z_2)$$ но не имеет места отношение z1Riz2.

В силу предположенной полноты квазипорядка Ri, это означает справедливость обратного отношения z2Riz1, которое, в соответствии с (1.2), эквивалентно условиям$$(z_2 T_i z_1)\cup(z_2 I_i z_1)$$

Согласно (1.3), истинность правого отношения в (1.11) противоречит принятому допущению о несправедливости z1Riz2. Допущение справедливости левого отношения в (1.11) ведет, согласно (1.9), к противоречию с (1.10). Таким образом, условия (1.8) необходимо выполняются для полного квазипорядка Ri.

Теорема 1.2. Любой полный квазипорядок Ri на конечном множестве Z может быть представлен неотрицательной вещественной функцией Hi(z), удовлетворяющей условиям (1.8).

Доказательство проведем путем построения функции Hi(z), $$z\in Z$$, удовлетворяющей указанным условиям. Пусть множество исходов Z0=Z содержит N элементов. Выделим из множества Z0 подмножество Z1 всех исходов, удовлетворяющих условию:$$(\forall z'\in Z^{1})(\forall z''\in Z_0) z' R_i z''$$ Заметим, что все исходы из множества Z1 являются эквивалентными и каждый из них строго превосходит любой исход из множества $$Z_1=Z_0\backslash Z^1$$. Положим Hi(z)=1, $$z\in Z^1$$.

Теперь построим подмножество Z2 множества Z1, удовлетворяющее условию:$$(\forall z'\in Z^2)(\forall z''\in Z_1) z' R_i z''$$ При этом все исходы из множества Z2 являются эквивалентными, и каждый из них строго превосходит любой исход из множества $$Z_2=Z_1\backslash Z^2$$. Кроме того,$$(\forall z'\in Z^1)(\forall z''\in Z_2)\quad z' T_i z''$$ Выберем число $$\delta$$, $${0}<\delta\le N^{-1}$$, и положим $$H_i(z)=1-\delta$$, $$z\in Z^2$$.

Следуя описанной схеме, построим подмножество Zk+1 множества Zk, $$k\ge 1$$, удовлетворяющее условию:$$(\forall z'\in Z^{k+1})(\forall z''\in Z_{k}) z' R_i z''$$ При этом все исходы из множества Zk+1 являются эквивалентными и каждый из них строго превосходит любой исход из множества $$Z_{k+1}=Z_k\backslash Z^{k+1}$$. Кроме того,$$\left(\forall z'\in\bigcup_{l=1}^{k} Z^{l}\right)(\forall z''\in Z^{k+1})\quad z' T_{i}z''$$ Положим $$H_i(z)=1-k\delta$$, $$z\in Z^{k+1}$$. Тогда$$\left(\forall z'\in \bigcup^k_{l=1}Z^l\right) \left(\forall z''\in Z^{k+1}\right)\quad H_i(z')>H_i(z'').$$

Описанный процесс построения множеств завершается при выполнении условия $$Z_{k+1}=\oslash$$. При этом$$Z=\bigcup^k_{l=1}Z^l$$ и функция Hi(z) оказывается определенной для всех элементов $$z\in Z$$, причем, в силу способа построения, функция Hi(z) является неубывающей по предпочтению Ri. Таким образом, любой полный квазипорядок на конечном множестве исходов, действительно, представим неотрицательной вещественной функцией.

Введение функций полезности H1(z) и H2(z) (которые заведомо существуют в задачах с конечными множествами исходов, а также во многих задачах, содержащих бесконечное число исходов), фактически позволяет сторонам P1 и P2 иметь количественные оценки степени достижимости их целей при завершении операции в некотором исходе $$z\in Z$$. Указанные функции в сочетании с зависимостью (1.1) позволяют ввести критерии эффективности$$M_i(x,y,u)=H_i(f(x,y,u)),\quad i=1,2,$$ непосредственно связывающие стратегии $$x\in X$$ и $$y\in Y$$, выбираемые сторонами P1 и P2, и реализующиеся в ходе операции состояния природы $$u\in U$$ с теми уровнями полезности, которые при этом достигаются.

Определение 1.2. Построенная модель, где о стратегиях x, y сторон P1, P2 и о состояниях природы u предполагается лишь то, что они являются элементами заданных множеств X, Y и U, на прямом произведении которых $$X\times Y\times U$$ заданы критерии эффективности (1.12}, называется моделью операции в нормальной форме

Как следует из определения, модель операции в нормальной форме, представляющая собой совокупность вида$$M_i(x,y,u),\quad x\in X,\, y\in Y, \, u\in U,\, i=1,2,$$ не предполагает явного описания процесса реализации стратегий и необходимых для этого ресурсов. Ее основное назначение, как уже отмечалось, состоит в том, чтобы связать выбранные сторонами конкретные стратегии и реализовавшееся состояние природы (неконтролируемое сторонами) с достигаемым каждой стороной уровнем полезности. Такое описание является достаточным для изучения одной из важнейших проблем теории принятия решений в условиях конфликта и неопределенности - проблемы характеризации эффективного поведения сторон в конфликте.

С одной стороны, введение критериев эффективности позволяет утверждать, что при заданной стратегии второй стороны и известном состоянии природы первая сторона заинтересована в выборе такой стратегии, которая максимизирует ее критерий, т.е. решает задачу$$M_{1}(x,y,u) \xrightarrow[x\in X]{} \max.$$ Однако, сторона $$P_1$$, как уже говорилось, не контролирует выбор значений $$y$$, $$u$$ и, более того, в общем случае, может не знать эти значения в момент выбора своей стратегии.

С другой стороны, сторона $$P_2$$, выбирая свою стратегию $$y\in Y$$, стремится максимизировать свой критерий эффективности, т.е. решает задачу$$M_2(x,y,u) \xrightarrow[y\in Y]{} \max.$$ При этом очевидно, что задачи (1.14) и (1.15), в общем случае, являются существенно различными. Поэтому необходимы подходы, позволяющие предложить сторонам (или той стороне, которую представляет исследователь операции) рекомендации, обеспечивающие эффективное поведение в условиях несовпадения интересов. Рассмотрение таких подходов (применительно к моделям вида (1.13), характеризующим экономические взаимодействия) составляет основное содержание настоящей книги.

Замечание 1.1 (об информированности сторон). 1) Помимо соотношений (1.13) описание модели должно включать указания, касающиеся степени информированности сторон об условиях операции. Эти указания определяют, в какой степени каждая из сторон осведомлена о своих возможностях и о возможностях другой стороны (т.е. в какой степени сторонам известны множества стратегий X и Y ). Информированность стороны как о "чужом", так и о "своем" критерии эффективности также может быть неполной. Как правило, это последнее обстоятельство связано не с тем, что сторона плохо осознает собственные интересы. Причина обычно состоит в том, что связи стратегий и состояний природы с определяемой ими оценкой эффективности могут быть недостаточно известны сторонам. Однако в рамках этой книги, являющейся, по существу, введением в теорию выбора решений, мы будем полагать, что обеим сторонам известны критерии (1.12), задающие модель (1.13) (область определения критериев также полагается известной).

2) Как уже было отмечено, каждой стороне для решения соответствующей задачи выбора вида (1.14), (1.15) необходимы прогноз состояния природы и информация о действиях, планируемых другой стороной. Получение информации о выборе другой стороны может затрудняться ее противодействием (использованием маскировки, дезинформации и т.п.), которое диктуется различием интересов сторон. Поэтому предположение о том, что стороны проинформированы о планах друг друга, в общем случае является нереалистичным. Некоторые важные аспекты защиты собственных планов действий от попыток их раскрытия разведкой другой стороны составляют отдельный параграф этой книги. Значительное внимание будет уделено также различным подходам к оценке состояний природы.

3) Возможны, однако, задачи, в которых одна сторона получает достаточно полную информацию о намерениях другой стороны. В качестве примера рассмотрим случай, когда первая сторона, планируя закупку некоторого товара, заранее объявляет набор вариантов x, описывающих условия, в соответствии с которыми она готова осуществить указанную закупку. После получения этой информации вторая сторона (поставщик) может выбрать свой вариант предложения y. Таким образом, в этой задаче стратегия второй стороны может рассматриваться как функция вида y(x). К более подробному обсуждению примера такого рода мы вернемся в следующем параграфе.

Замечание 1.2 (о числе участников операции). В общем случае в конфликт могут быть вовлечены более чем две стороны. При этом имеются в виду участники операции, каждый из которых осуществляет выбор действий, влияющих на исход операции. Т.е., например, торговая компания, осуществляющая деятельность на рынке, рассматривается как один из участников операции, в которой участвуют также другие торговые компании, фирмы, производящие и потребляющие продукцию, а также фирмы, предлагающие услуги по рекламе.

Однако в этой книге мы будем рассматривать лишь случай, когда число участников не превышает двух. С одной стороны, поведение многих участников бескоалиционного конфликта во многом аналогично поведению участников в двухстороннем конфликте. Поэтому рассматриваемые ниже вопросы теории во многих случаях достаточно просто обобщаются на случай конфликта многих независимых сторон.

С другой стороны, изучение структур коалиций (если допускается, что коалиции возможны) составляет сложный и обширный самостоятельный объект теории, далеко выходящий за рамки задач и возможностей этой небольшой книги.

Замечание 1.3 (о классификации разделов теории исследования операций). Модель в нормальной форме, построенная для конкретных типов операций, может содержать не все компоненты, указанные в (1.13). Эта специфика может существенным образом использоваться при разработке аппарата анализа для соответствующих частных классов моделей. В связи с этим, принято выделять следующие основные случаи:

1) модели, задаваемые критериями вида$$M_i(x,y), \quad x\in X,\, y\in Y,\, i=1,2,$$ в которых не учитываются состояния природы. Операции такого рода называются играми, а их участники $$P_1$$ и $$P_2$$ - игроками. Критерии эффективности, соответствующие играм, называют функциями выигрыша или платежными функциями.

2) задачи выбора в условиях неопределенности, характеризуемые единственным критерием вида$$M(x,u), \quad x\in X,\, u\in U.$$ Единственная оперирующая сторона, фигурирующая в таких задачах, обычно именуется статистиком. Подобные операции принято называть статистическими играми. При этом вместо критерия эффективности M(x,u) принято рассматривать функцию L(u,x)=-M(x,u), интерпретируемую как потери статистика. Кроме того, для именования стратегий статистика в статистической игре обычно используется термин статистический критерий.

3) задачи оптимизации, которым соответствуют операции, задаваемые целевыми функциями M(x), определенными на множествах возможных решений $$x\in X$$. Поскольку в таких задачах исход операции полностью определяется действиями единственного участника, то, согласно (1.14), выбор оптимальной стратегии $$x^*\in X$$ сводится к решению задачи максимизации вида$$M(x^*)= \max \{M(x):x\in X\}.$$ Как следствие, центр исследований в таких задачах уходит от проблемы формирования представлений о рациональном (или о "наилучшем") поведении и смещается в область разработки численных (и аналитических) методов определения экстремумов из правой части (1.18). Уже упоминавшиеся методы оптимизации, а также методы линейного и нелинейного программирования составляют этот обширный раздел. Таким образом, рассмотрение, проводимое ниже, будет ограничено моделями вида (1.13), (1.16), (1.17).

Пример 1.1 (подготовка к участию в тендереТендер - право поставить товары, услуги, заключить контракт (с конкретной ценой и прочими условиями), представляемое после объявления торгов в конкуренции с другими фирмами. ). Органы управления некоторой территорией планируют выполнение специальных работ (таких, как, например, прокладка путепровода, возведение спортивного комплекса и т.п.) силами подрядчика, выбираемого на основе конкурса. Финансирование работ предусмотрено местным бюджетом.

Примем, что сроки проведения конкурса не утверждены (например, в силу их зависимости от обстоятельств, определяемых интересами различных групп влияния). Однако известно, что конкретный момент t проведения конкурса после его утверждения будет укладываться в отрезок времени, который мы обозначим как [0,2] (например, два ближайших месяца или два квартала). Известно также, что определяющим критерием при выборе победителя конкурса является показатель качества, которое может обеспечить претендент при проведении работ. Для количественной оценки этого показателя (в таких единицах, как, например, баллы и доли баллов, пункты и подпункты и т.п.) органами управления утверждена соответствующая методика.

Условия конкурса предусматривают ситуацию, когда уровни качества работ, заявленные и обоснованные участниками, оказываются одинаковыми (в рамках принятой системы оценки показателей). Для такого случая правила предусматривают согласительную процедуру, допускающую предложение сторонам совместно создать некоторое предприятие, которому и будет дан подряд на выполнение работ. Кроме того, конкурсная комиссия может отказать всем участникам, если предлагаемый ими уровень качества оказывается ниже некоторой отметки, также предусмотренной правилами.

Две фирмы, обозначаемые в дальнейшем как P1 и P2, планируют участвовать в конкурсе. Примем, что оценка Wi качества работ, которую фирма Pi сможет подтвердить в случае проведения конкурса в момент t, зависит от объема ресурса xi, вложенного этой фирмой за период [0,t] в освоение более эффективных технологий ведения работ. Пусть обсуждаемая зависимость имеет вид$$W_i(x_i,t)=x_i(t-1)+1,\quad 0\le x_i\le 1,\quad i=1,2,$$ где максимально доступный объем ресурса принят за единицу (см. рис.1.1).

Замечание 1.4 (об отложенном потреблении). Если фирма Pi не осуществляет инвестиций в освоение новых технологий (т.е., если Pi выбирает вариант xi=0 ) и использует имеющиеся средства, например, для немедленного укрепления материальной базы, обеспечивающей ведение работ традиционным способом, то уровень качества Wi(0,t) остается постоянным в течение всего периода [0,2]. При этом Wi(0,t)=1.

В случае вложения всех ресурсов в освоение новых технологий (т.е. при выборе варианта xi=1, к концу периода [0,2] достигается более высокий уровень качества Wi(1,2)=2. Однако при этом в начальный момент t=0 уровень качества остается таким же, каким он был до начала подготовки к тендеру. Это значение принято за нулевую отметку - см. рис.1.1.

(рис 1.1)

В остальных случаях (т.е. при $$0<x_i<1$$ ) отрезок, представляющий график Wi(xi,t) на рис.1.1, лежит в конусе, образованном графиками зависимостей Wi(0,t) и Wi(1,t)=t. Следовательно, инвестирование части средств в новые технологии, а оставшихся средств - в укрепление технологии, использовавшейся ранее, позволяет уже в начальный момент добиться превышения прежнего уровня качества. Это обстоятельство может быть существенным, поскольку, как уже было отмечено, условия конкурса предполагают, что параметр качества в любом случае должен быть не ниже некоторого значения Wmin (см. рис.1.1). С другой стороны, выбор положительного значения xi обеспечивает последовательное наращивание показателя качества и гарантирует в периоде [1, 2] превышение единичного уровня. Таким образом, при всей простоте зависимости (1.19) она правильно (хотя и схематично) отражает роль параметра xi как показателя объема отложенного потребления.

Критерии эффективности сторон, соответствующие моменту $$t\in [0,2]$$ проведения конкурса, определяются различием уровней качества, которые стороны могут обеспечить в этот момент, т.е.$$\text{M}_1(x_1,x_2,t)=W_1(x_1,t)-W_2(x_2,t)=-\text{M}_2(x_1,x_2,t).$$

Таким образом, рассмотренному примеру соответствует модель операции в нормальной форме вида (1.13), причем роль стратегий x= x1 и y=x2 играют выбираемые сторонами объемы ресурса, инвестированного в развитие. Момент t проведения конкурса сторонам заранее не известен и может интерпретироваться как состояние природы. Т.е. u=t и $$u\in [0,2]$$, где, как уже отмечалось, само множество U является заданным.

Целью операции для каждой стороны является обеспечение максимального превосходства показателя качества, достигаемого на момент конкурса, над уровнем качества, достигаемого на тот же момент другой стороной. При этом мы будем полагать, что обеим сторонам известны как зависимости (1.19), (1.20), так и доступные объемы ресурсов X=[0,1], Y=[0,1].

Замечание 1.5 (о противоположности интересов сторон). То обстоятельство, что конкурсное соревнование уже само по себе определяет противоположность интересов сторон P1 и P2, находит свое отражение в вытекающем из (1.20) равенстве$$\text{M}_1(x_1,x_2,t)+\text{M}_2(x_1,x_2,t)=0.$$ Как следует из (1.21}, всякое преимущество одной стороны достигается за счет потерь другой стороны. Ясно, что это справедливо и в случае, когда сумма критериев M1 и M2 будет равна константе, отличной от нуля. При этом ненулевая константа, имеющая место в правой части (1.21), всегда может быть приведена к нулевому значению введением соответствующей нормировки критериев.

Заметим, что в случае, когда число сторон превышает две и допустимо объединение участников в коалиции, постоянная сумма всех критериев эффективности еще не означает противоположности интересов сторон, поскольку члены одной и той же коалиции могут находиться в кооперации, а не в противостоянии друга с другом. Следовательно, случай операции с двумя сторонами (говорят еще "с двумя лицами ") и нулевой суммой критериев является в поведенческом отношении особым.

Определение 1.3. Операции двух лиц, характеризуемые нулевой суммой критериев эффективности сторон, называются антагонистическими.

Замечание 1.6 (о пороговых критериях). Рассмотренный пример представляет собой частный случай задачи соревнования двух сторон. В задачах такого рода зачастую рассматривается не столько количественное различие достижений сторон, сколько факт превосходства показателей, достигнутых одной стороной, над показателями другой стороны. Все возможные исходы можно классифицировать как "победы", "ничьи" и "поражения". Если принять, что победам, ничьим и поражениям соответствуют оценки 2, 1 и 0 "очков", то в рассматриваемой задаче можно ввести критерий эффективности вида$$N_1(x_1,x_2,t)= \left\{\begin{aligned} 2,\quad W_1(x_1,t)>W_2(x_2,t),\\ 1,\quad W_1(x_1,t)=W_2(x_2,t),\\ 0,\quad W_1(x_1,t)<W_2(x_2,t).\\ \end{aligned} \right.$$ При этом N2(x1,x2,t)=2-N1(x1,x2,t) и, следовательно, задача остается антагонистической, хотя сумма критериев и не является нулевой.

Критерий (1.22) относится к числу так называемых пороговых критериев (результат, достигаемый другой стороной, рассматривается как порог, который нужно превысить). Мы, однако, будем рассматривать случай, когда критерий задается условиями (1.20), полагая, что стороны (допускающие несовершенство методики оценки качества) заинтересованы в достижении максимально возможного превосходства над конкурентом.

Страницы:

Стратегии сторон и исходы операции

Пусть в операции участвуют две стороны, для обозначения которых будем использовать соответственно символы P1 и P2. Примем, что сторона P1 выбирает решение x из множества X, а сторона P2 - решение y из множества Y. При этом допускается, что решения x и y могут определять не только отдельные действия, но и некоторые планы действий сторон, которые будут ими последовательно реализовываться в условиях конфликта (с учетом реакций другой стороны). В связи с этим, будем называть выбираемые сторонами решения стратегиями.

Заметим, что принятое описание возможностей сторон не раскрывает указанных выше деталей их допустимого поведения. Способы создания таких описаний будут рассмотрены позже. Фактически, на данном этапе рассмотрения символы x и y рассматриваются как "указатели" конкретных стратегий. Следует также отметить, что вводимое описание не характеризует ресурсов, необходимых для реализации выбираемых стратегий. Принимается, что во множества X и Y включены указатели лишь таких стратегий, реализация которых обеспечена необходимыми ресурсами.

Действия сторон в ходе операции завершаются некоторым исходом, который зависит от стратегий, использованных сторонами. Однако этот исход может зависеть и от некоторых других факторов (например, от погодных условий), которые не управляются сторонами, участвующими в операции. Будем называть эти факторы состояниями природы (или неконтролируемыми параметрами) и обозначать символом $$u\in U$$ (оговорим, что множество U содержит все возможные значения состояний природы). Здесь, как и в случае обозначений, использованных для стратегий сторон, символ u играет роль указателя определенного состояния природы. В каждой конкретной задаче неконтролируемые параметры могут иметь собственную интерпретацию.

Обозначим исход операции символом $$z\in Z$$ (знак Z соответствует множеству всех возможных исходов) и опишем зависимость исхода от стратегий, выбранных сторонами, и от неконтролируемых параметров как отображение вида:$$z=f(x,y,u), x\in X,y\in Y, u\in U$$ Для каждой конкретной задачи принятия решений должно быть построено свое отображение указанного вида. Запись (1.1) означает лишь, что соответствующее отображение входит в рассматриваемую схему моделирования.

Описание интересов сторон

Независимо от источника, определяющего цели сторон в конкретной операции, наличие интересов у стороны Pi, i=1,2, в этой операции проявляется в том, что любые два ее исхода z1 и z2, вообще говоря, неравноценны для указанной стороны. Формальное описание этого обстоятельства может быть обеспечено введением соответствующих бинарных отношений на множестве исходов Z.

Выделим во множестве Z такие два исхода z1 и z2, что сторона P1 считает исход z1 более предпочтительным, чем исход z2. Такие два исхода необходимо найдутся во множестве Z, ибо противный случай будет свидетельствовать об отсутствии у стороны P1 каких-либо интересов в рассматриваемой операции. Обозначим символом T1 подмножество всех пар (z1, z2) из прямого произведения $$Z\times Z$$, обладающих указанным свойством. Выделенное подмножество определяет график отношения строгого предпочтения на множестве исходов Z, ибо из того, что $$(z_1,z_2)\in T_1$$ (эквивалентная форма записи этого факта есть z1T1z2 ) следует, что для стороны P1 исход z1 строго предпочтительнее исхода z2.

Если теперь выделить из множества $$Z\times Z$$ подмножество I1 всех таких пар (z1,z2), что для стороны P1 исход z1 равноценен исходу z2, то I1 определяет график отношения безразличия на множестве исходов Z. Объединяя отношения T1 и I1, получим отношение нестрогого предпочтения$$R_1=T_1\cup I_1,$$ по которому можно восстановить исходные отношения T1 и I1.

Действительно,$$(z_1 R_1 z_2)\cap(z_2 R_1 z_1)\leftrightarrow(z_1 I_1 z_2)$$ $$(z_1 R_1 z_2)\cap\neg(z_2 R_1 z_1)\leftrightarrow(z_1 T_1 z_2)$$

Примем, что введенное отношение нестрогого предпочтения R1 является транзитивным, т.е. что оно удовлетворяет следующим условиям:$$(z_1 R_1 z_2)\cap(z_2 R_1 z_3)\rightarrow(z_1 R_1 z_3)$$ Не все отношения, встречающиеся в практике взаимодействий, обладают свойством транзитивности. Типичным примером отсутствия этого свойства являются отношения превосходства между спортивными командами, когда команда A побеждает команду B, которая, в свою очередь, побеждает команду C, из чего, однако, не следует, что команда A сильнее команды C и сможет ее победить. Иными словами, введенное условие транзитивности (1.5) выделяет достаточно широкий класс задач, которым будет ограничено рассмотрение, проводимое ниже. Отметим, что при выполнении условий (1.5), отношения R1, T1 и I1, соответственно, называются квазипорядком, строгим порядком и эквивалентностью.

Следующее обстоятельство, на которое нужно обратить внимание, состоит в том, что множество исходов Z может содержать и несравнимые элементы. Т.е. могут существовать такие пары $$(z_1,z_2)\in Z\times Z$$, для которых справедливы отношения $$(z_1,z_2)\notin R_1$$, $$(z_2,z_1)\notin R_1$$. Мы, однако, ограничим наше рассмотрение случаем, когда во множестве исходов таких несравнимых пар нет. Заметим, что в этом случае введенное отношение нестрогого предпочтения R1 из (1.2) называется полным квазипорядком.

Аналогичные отношения можно задать и для описания интересов стороны P2. При этом в схему модели будут включены отношения полного квазипорядка R2, строгого порядка T2 и эквивалентности I2, для которых справедливо подобное (1.2) отношение $$R_2=T_2\cup I_2$$ и имеют место свойства, аналогичные (1.3)-(1.5).

Введенные отношения дают простое правило, определяющее совпадение или несовпадение интересов сторон. Роль такого формального теста играет отношение$$R_1\neq R_2$$ отражающее различие интересов сторон.

Модель операции в нормальной форме

Непосредственное использование отношений R1 и R2, введенных выше для описания интересов сторон P1 и P2, предполагает задание всех пар (z1,z2), составляющих графики этих отношений. В случае, когда множество исходов Z содержит значительное число элементов, явное перечисление всех таких пар может оказаться слишком громоздким. Зачастую эту трудность можно преодолеть, вводя значительно более компактное описание отношений R1 и R2 с помощью вещественных функций H1(z) и H2(z), определенных на множестве исходов Z и неубывающих соответственно по предпочтениям R1 и R2.

Определение 1.1. Функция Hi(z), определенная на множестве исходов Z, называется неубывающей по нестрогому предпочтению Ri, если$$(\forall z_1, z_2\in Z) z_1 R_i z_2\rightarrow H_i(z_1)\ge H_i(z_2)$$ При этом, согласно (1.3) и (1.7),$$(\forall z_1,z_2\in Z) z_1 I_i z_2\leftrightarrow H_i(z_1)= H_i(z_2).$$

В случае, когда выполняются также условия$$(\forall z_1, z_2\in Z) z_1 R_i z_2\leftrightarrow H_i(z_1)\ge H_i(z_2)$$ говорят, что эта функция представляет отношение Ri. В последнем случае соответствующую функцию Hi(z) называют функцией ценности или функцией полезности исхода $$z\in Z$$.

Теорема 1.1. Функция Hi(z), неубывающая по полному квазипорядку Ri и удовлетворяющая условиям$$(\forall z_1,z_2\in Z) z_1 T_1 z_2\rightarrow H_i(z_1)>H_i(z_2),$$ представляет этот квазипорядок.

Доказательство. Свойство неубывания, включенное в условия теоремы, гарантирует справедливость утверждения (1.7). Теперь допустим, что условия (1.8) не выполняются. Т.е. во множестве $$Z\times Z$$ существует хотя бы одна пара (z1,z2), для которой справедливо неравенство$$H_i(z_1)\ge H_i(z_2)$$ но не имеет места отношение z1Riz2.

В силу предположенной полноты квазипорядка Ri, это означает справедливость обратного отношения z2Riz1, которое, в соответствии с (1.2), эквивалентно условиям$$(z_2 T_i z_1)\cup(z_2 I_i z_1)$$

Согласно (1.3), истинность правого отношения в (1.11) противоречит принятому допущению о несправедливости z1Riz2. Допущение справедливости левого отношения в (1.11) ведет, согласно (1.9), к противоречию с (1.10). Таким образом, условия (1.8) необходимо выполняются для полного квазипорядка Ri.

Теорема 1.2. Любой полный квазипорядок Ri на конечном множестве Z может быть представлен неотрицательной вещественной функцией Hi(z), удовлетворяющей условиям (1.8).

Доказательство проведем путем построения функции Hi(z), $$z\in Z$$, удовлетворяющей указанным условиям. Пусть множество исходов Z0=Z содержит N элементов. Выделим из множества Z0 подмножество Z1 всех исходов, удовлетворяющих условию:$$(\forall z'\in Z^{1})(\forall z''\in Z_0) z' R_i z''$$ Заметим, что все исходы из множества Z1 являются эквивалентными и каждый из них строго превосходит любой исход из множества $$Z_1=Z_0\backslash Z^1$$. Положим Hi(z)=1, $$z\in Z^1$$.

Теперь построим подмножество Z2 множества Z1, удовлетворяющее условию:$$(\forall z'\in Z^2)(\forall z''\in Z_1) z' R_i z''$$ При этом все исходы из множества Z2 являются эквивалентными, и каждый из них строго превосходит любой исход из множества $$Z_2=Z_1\backslash Z^2$$. Кроме того,$$(\forall z'\in Z^1)(\forall z''\in Z_2)\quad z' T_i z''$$ Выберем число $$\delta$$, $${0}<\delta\le N^{-1}$$, и положим $$H_i(z)=1-\delta$$, $$z\in Z^2$$.

Следуя описанной схеме, построим подмножество Zk+1 множества Zk, $$k\ge 1$$, удовлетворяющее условию:$$(\forall z'\in Z^{k+1})(\forall z''\in Z_{k}) z' R_i z''$$ При этом все исходы из множества Zk+1 являются эквивалентными и каждый из них строго превосходит любой исход из множества $$Z_{k+1}=Z_k\backslash Z^{k+1}$$. Кроме того,$$\left(\forall z'\in\bigcup_{l=1}^{k} Z^{l}\right)(\forall z''\in Z^{k+1})\quad z' T_{i}z''$$ Положим $$H_i(z)=1-k\delta$$, $$z\in Z^{k+1}$$. Тогда$$\left(\forall z'\in \bigcup^k_{l=1}Z^l\right) \left(\forall z''\in Z^{k+1}\right)\quad H_i(z')>H_i(z'').$$

Описанный процесс построения множеств завершается при выполнении условия $$Z_{k+1}=\oslash$$. При этом$$Z=\bigcup^k_{l=1}Z^l$$ и функция Hi(z) оказывается определенной для всех элементов $$z\in Z$$, причем, в силу способа построения, функция Hi(z) является неубывающей по предпочтению Ri. Таким образом, любой полный квазипорядок на конечном множестве исходов, действительно, представим неотрицательной вещественной функцией.

Введение функций полезности H1(z) и H2(z) (которые заведомо существуют в задачах с конечными множествами исходов, а также во многих задачах, содержащих бесконечное число исходов), фактически позволяет сторонам P1 и P2 иметь количественные оценки степени достижимости их целей при завершении операции в некотором исходе $$z\in Z$$. Указанные функции в сочетании с зависимостью (1.1) позволяют ввести критерии эффективности$$M_i(x,y,u)=H_i(f(x,y,u)),\quad i=1,2,$$ непосредственно связывающие стратегии $$x\in X$$ и $$y\in Y$$, выбираемые сторонами P1 и P2, и реализующиеся в ходе операции состояния природы $$u\in U$$ с теми уровнями полезности, которые при этом достигаются.

Определение 1.2. Построенная модель, где о стратегиях x, y сторон P1, P2 и о состояниях природы u предполагается лишь то, что они являются элементами заданных множеств X, Y и U, на прямом произведении которых $$X\times Y\times U$$ заданы критерии эффективности (1.12}, называется моделью операции в нормальной форме

Как следует из определения, модель операции в нормальной форме, представляющая собой совокупность вида$$M_i(x,y,u),\quad x\in X,\, y\in Y, \, u\in U,\, i=1,2,$$ не предполагает явного описания процесса реализации стратегий и необходимых для этого ресурсов. Ее основное назначение, как уже отмечалось, состоит в том, чтобы связать выбранные сторонами конкретные стратегии и реализовавшееся состояние природы (неконтролируемое сторонами) с достигаемым каждой стороной уровнем полезности. Такое описание является достаточным для изучения одной из важнейших проблем теории принятия решений в условиях конфликта и неопределенности - проблемы характеризации эффективного поведения сторон в конфликте.

С одной стороны, введение критериев эффективности позволяет утверждать, что при заданной стратегии второй стороны и известном состоянии природы первая сторона заинтересована в выборе такой стратегии, которая максимизирует ее критерий, т.е. решает задачу$$M_{1}(x,y,u) \xrightarrow[x\in X]{} \max.$$ Однако, сторона $$P_1$$, как уже говорилось, не контролирует выбор значений $$y$$, $$u$$ и, более того, в общем случае, может не знать эти значения в момент выбора своей стратегии.

С другой стороны, сторона $$P_2$$, выбирая свою стратегию $$y\in Y$$, стремится максимизировать свой критерий эффективности, т.е. решает задачу$$M_2(x,y,u) \xrightarrow[y\in Y]{} \max.$$ При этом очевидно, что задачи (1.14) и (1.15), в общем случае, являются существенно различными. Поэтому необходимы подходы, позволяющие предложить сторонам (или той стороне, которую представляет исследователь операции) рекомендации, обеспечивающие эффективное поведение в условиях несовпадения интересов. Рассмотрение таких подходов (применительно к моделям вида (1.13), характеризующим экономические взаимодействия) составляет основное содержание настоящей книги.

Замечание 1.1 (об информированности сторон). 1) Помимо соотношений (1.13) описание модели должно включать указания, касающиеся степени информированности сторон об условиях операции. Эти указания определяют, в какой степени каждая из сторон осведомлена о своих возможностях и о возможностях другой стороны (т.е. в какой степени сторонам известны множества стратегий X и Y ). Информированность стороны как о "чужом", так и о "своем" критерии эффективности также может быть неполной. Как правило, это последнее обстоятельство связано не с тем, что сторона плохо осознает собственные интересы. Причина обычно состоит в том, что связи стратегий и состояний природы с определяемой ими оценкой эффективности могут быть недостаточно известны сторонам. Однако в рамках этой книги, являющейся, по существу, введением в теорию выбора решений, мы будем полагать, что обеим сторонам известны критерии (1.12), задающие модель (1.13) (область определения критериев также полагается известной).

2) Как уже было отмечено, каждой стороне для решения соответствующей задачи выбора вида (1.14), (1.15) необходимы прогноз состояния природы и информация о действиях, планируемых другой стороной. Получение информации о выборе другой стороны может затрудняться ее противодействием (использованием маскировки, дезинформации и т.п.), которое диктуется различием интересов сторон. Поэтому предположение о том, что стороны проинформированы о планах друг друга, в общем случае является нереалистичным. Некоторые важные аспекты защиты собственных планов действий от попыток их раскрытия разведкой другой стороны составляют отдельный параграф этой книги. Значительное внимание будет уделено также различным подходам к оценке состояний природы.

3) Возможны, однако, задачи, в которых одна сторона получает достаточно полную информацию о намерениях другой стороны. В качестве примера рассмотрим случай, когда первая сторона, планируя закупку некоторого товара, заранее объявляет набор вариантов x, описывающих условия, в соответствии с которыми она готова осуществить указанную закупку. После получения этой информации вторая сторона (поставщик) может выбрать свой вариант предложения y. Таким образом, в этой задаче стратегия второй стороны может рассматриваться как функция вида y(x). К более подробному обсуждению примера такого рода мы вернемся в следующем параграфе.

Замечание 1.2 (о числе участников операции). В общем случае в конфликт могут быть вовлечены более чем две стороны. При этом имеются в виду участники операции, каждый из которых осуществляет выбор действий, влияющих на исход операции. Т.е., например, торговая компания, осуществляющая деятельность на рынке, рассматривается как один из участников операции, в которой участвуют также другие торговые компании, фирмы, производящие и потребляющие продукцию, а также фирмы, предлагающие услуги по рекламе.

Однако в этой книге мы будем рассматривать лишь случай, когда число участников не превышает двух. С одной стороны, поведение многих участников бескоалиционного конфликта во многом аналогично поведению участников в двухстороннем конфликте. Поэтому рассматриваемые ниже вопросы теории во многих случаях достаточно просто обобщаются на случай конфликта многих независимых сторон.

С другой стороны, изучение структур коалиций (если допускается, что коалиции возможны) составляет сложный и обширный самостоятельный объект теории, далеко выходящий за рамки задач и возможностей этой небольшой книги.

Замечание 1.3 (о классификации разделов теории исследования операций). Модель в нормальной форме, построенная для конкретных типов операций, может содержать не все компоненты, указанные в (1.13). Эта специфика может существенным образом использоваться при разработке аппарата анализа для соответствующих частных классов моделей. В связи с этим, принято выделять следующие основные случаи:

1) модели, задаваемые критериями вида$$M_i(x,y), \quad x\in X,\, y\in Y,\, i=1,2,$$ в которых не учитываются состояния природы. Операции такого рода называются играми, а их участники $$P_1$$ и $$P_2$$ - игроками. Критерии эффективности, соответствующие играм, называют функциями выигрыша или платежными функциями.

2) задачи выбора в условиях неопределенности, характеризуемые единственным критерием вида$$M(x,u), \quad x\in X,\, u\in U.$$ Единственная оперирующая сторона, фигурирующая в таких задачах, обычно именуется статистиком. Подобные операции принято называть статистическими играми. При этом вместо критерия эффективности M(x,u) принято рассматривать функцию L(u,x)=-M(x,u), интерпретируемую как потери статистика. Кроме того, для именования стратегий статистика в статистической игре обычно используется термин статистический критерий.

3) задачи оптимизации, которым соответствуют операции, задаваемые целевыми функциями M(x), определенными на множествах возможных решений $$x\in X$$. Поскольку в таких задачах исход операции полностью определяется действиями единственного участника, то, согласно (1.14), выбор оптимальной стратегии $$x^*\in X$$ сводится к решению задачи максимизации вида$$M(x^*)= \max \{M(x):x\in X\}.$$ Как следствие, центр исследований в таких задачах уходит от проблемы формирования представлений о рациональном (или о "наилучшем") поведении и смещается в область разработки численных (и аналитических) методов определения экстремумов из правой части (1.18). Уже упоминавшиеся методы оптимизации, а также методы линейного и нелинейного программирования составляют этот обширный раздел. Таким образом, рассмотрение, проводимое ниже, будет ограничено моделями вида (1.13), (1.16), (1.17).

Пример 1.1 (подготовка к участию в тендереТендер - право поставить товары, услуги, заключить контракт (с конкретной ценой и прочими условиями), представляемое после объявления торгов в конкуренции с другими фирмами. ). Органы управления некоторой территорией планируют выполнение специальных работ (таких, как, например, прокладка путепровода, возведение спортивного комплекса и т.п.) силами подрядчика, выбираемого на основе конкурса. Финансирование работ предусмотрено местным бюджетом.

Примем, что сроки проведения конкурса не утверждены (например, в силу их зависимости от обстоятельств, определяемых интересами различных групп влияния). Однако известно, что конкретный момент t проведения конкурса после его утверждения будет укладываться в отрезок времени, который мы обозначим как [0,2] (например, два ближайших месяца или два квартала). Известно также, что определяющим критерием при выборе победителя конкурса является показатель качества, которое может обеспечить претендент при проведении работ. Для количественной оценки этого показателя (в таких единицах, как, например, баллы и доли баллов, пункты и подпункты и т.п.) органами управления утверждена соответствующая методика.

Условия конкурса предусматривают ситуацию, когда уровни качества работ, заявленные и обоснованные участниками, оказываются одинаковыми (в рамках принятой системы оценки показателей). Для такого случая правила предусматривают согласительную процедуру, допускающую предложение сторонам совместно создать некоторое предприятие, которому и будет дан подряд на выполнение работ. Кроме того, конкурсная комиссия может отказать всем участникам, если предлагаемый ими уровень качества оказывается ниже некоторой отметки, также предусмотренной правилами.

Две фирмы, обозначаемые в дальнейшем как P1 и P2, планируют участвовать в конкурсе. Примем, что оценка Wi качества работ, которую фирма Pi сможет подтвердить в случае проведения конкурса в момент t, зависит от объема ресурса xi, вложенного этой фирмой за период [0,t] в освоение более эффективных технологий ведения работ. Пусть обсуждаемая зависимость имеет вид$$W_i(x_i,t)=x_i(t-1)+1,\quad 0\le x_i\le 1,\quad i=1,2,$$ где максимально доступный объем ресурса принят за единицу (см. рис.1.1).

Замечание 1.4 (об отложенном потреблении). Если фирма Pi не осуществляет инвестиций в освоение новых технологий (т.е., если Pi выбирает вариант xi=0 ) и использует имеющиеся средства, например, для немедленного укрепления материальной базы, обеспечивающей ведение работ традиционным способом, то уровень качества Wi(0,t) остается постоянным в течение всего периода [0,2]. При этом Wi(0,t)=1.

В случае вложения всех ресурсов в освоение новых технологий (т.е. при выборе варианта xi=1, к концу периода [0,2] достигается более высокий уровень качества Wi(1,2)=2. Однако при этом в начальный момент t=0 уровень качества остается таким же, каким он был до начала подготовки к тендеру. Это значение принято за нулевую отметку - см. рис.1.1.

(рис 1.1)

В остальных случаях (т.е. при $$0<x_i<1$$ ) отрезок, представляющий график Wi(xi,t) на рис.1.1, лежит в конусе, образованном графиками зависимостей Wi(0,t) и Wi(1,t)=t. Следовательно, инвестирование части средств в новые технологии, а оставшихся средств - в укрепление технологии, использовавшейся ранее, позволяет уже в начальный момент добиться превышения прежнего уровня качества. Это обстоятельство может быть существенным, поскольку, как уже было отмечено, условия конкурса предполагают, что параметр качества в любом случае должен быть не ниже некоторого значения Wmin (см. рис.1.1). С другой стороны, выбор положительного значения xi обеспечивает последовательное наращивание показателя качества и гарантирует в периоде [1, 2] превышение единичного уровня. Таким образом, при всей простоте зависимости (1.19) она правильно (хотя и схематично) отражает роль параметра xi как показателя объема отложенного потребления.

Критерии эффективности сторон, соответствующие моменту $$t\in [0,2]$$ проведения конкурса, определяются различием уровней качества, которые стороны могут обеспечить в этот момент, т.е.$$\text{M}_1(x_1,x_2,t)=W_1(x_1,t)-W_2(x_2,t)=-\text{M}_2(x_1,x_2,t).$$

Таким образом, рассмотренному примеру соответствует модель операции в нормальной форме вида (1.13), причем роль стратегий x= x1 и y=x2 играют выбираемые сторонами объемы ресурса, инвестированного в развитие. Момент t проведения конкурса сторонам заранее не известен и может интерпретироваться как состояние природы. Т.е. u=t и $$u\in [0,2]$$, где, как уже отмечалось, само множество U является заданным.

Целью операции для каждой стороны является обеспечение максимального превосходства показателя качества, достигаемого на момент конкурса, над уровнем качества, достигаемого на тот же момент другой стороной. При этом мы будем полагать, что обеим сторонам известны как зависимости (1.19), (1.20), так и доступные объемы ресурсов X=[0,1], Y=[0,1].

Замечание 1.5 (о противоположности интересов сторон). То обстоятельство, что конкурсное соревнование уже само по себе определяет противоположность интересов сторон P1 и P2, находит свое отражение в вытекающем из (1.20) равенстве$$\text{M}_1(x_1,x_2,t)+\text{M}_2(x_1,x_2,t)=0.$$ Как следует из (1.21}, всякое преимущество одной стороны достигается за счет потерь другой стороны. Ясно, что это справедливо и в случае, когда сумма критериев M1 и M2 будет равна константе, отличной от нуля. При этом ненулевая константа, имеющая место в правой части (1.21), всегда может быть приведена к нулевому значению введением соответствующей нормировки критериев.

Заметим, что в случае, когда число сторон превышает две и допустимо объединение участников в коалиции, постоянная сумма всех критериев эффективности еще не означает противоположности интересов сторон, поскольку члены одной и той же коалиции могут находиться в кооперации, а не в противостоянии друга с другом. Следовательно, случай операции с двумя сторонами (говорят еще "с двумя лицами ") и нулевой суммой критериев является в поведенческом отношении особым.

Определение 1.3. Операции двух лиц, характеризуемые нулевой суммой критериев эффективности сторон, называются антагонистическими.

Замечание 1.6 (о пороговых критериях). Рассмотренный пример представляет собой частный случай задачи соревнования двух сторон. В задачах такого рода зачастую рассматривается не столько количественное различие достижений сторон, сколько факт превосходства показателей, достигнутых одной стороной, над показателями другой стороны. Все возможные исходы можно классифицировать как "победы", "ничьи" и "поражения". Если принять, что победам, ничьим и поражениям соответствуют оценки 2, 1 и 0 "очков", то в рассматриваемой задаче можно ввести критерий эффективности вида$$N_1(x_1,x_2,t)= \left\{\begin{aligned} 2,\quad W_1(x_1,t)>W_2(x_2,t),\\ 1,\quad W_1(x_1,t)=W_2(x_2,t),\\ 0,\quad W_1(x_1,t)<W_2(x_2,t).\\ \end{aligned} \right.$$ При этом N2(x1,x2,t)=2-N1(x1,x2,t) и, следовательно, задача остается антагонистической, хотя сумма критериев и не является нулевой.

Критерий (1.22) относится к числу так называемых пороговых критериев (результат, достигаемый другой стороной, рассматривается как порог, который нужно превысить). Мы, однако, будем рассматривать случай, когда критерий задается условиями (1.20), полагая, что стороны (допускающие несовершенство методики оценки качества) заинтересованы в достижении максимально возможного превосходства над конкурентом.

Предыдущее занятие Следующее занятие
Вернуться к учебному плану
^