Использование угроз при формировании сделки

Угрозы в сделках с побочными платежами

Продолжим обсуждение последнего примера. Введение механизма побочных платежей привело к тому, что выигрыш v+ второй стороны в сделке (15.29) с побочными платежами оказывается меньше, чем ее выигрыш $$v^\circ$$ в сделке (14.18) без побочных платежей (ср. расположение точек (u+,v+) и $$(u^\circ, v^\circ)$$ на рис. 3.9). Выигрыш первой стороны, однако, увеличился $$(u_{+} > u^\circ)$$. В такой ситуации вторая сторона могла бы настаивать на том, что она согласует лишь такую сделку (u+,v+) с побочными платежами, при которой от введения побочных платежей выигрывают обе стороны, т.е. выполняются условия$$u_{+} \ge u^\circ,\qquad v_{+} \ge v^\circ.$$

Принятие этих условий обеими сторонами означает, что допустимыми вариантами становятся сделки из множества$$S^{+} = \{(u,v) \in R^2 \colon u + v \le \pi,\ u \ge u^\circ,\ v \ge v^\circ\},$$ а не из множества (15.28). При этом дележ, удовлетворяющий аксиомам Нэша, определяется оператором$$(u_{+}, v_{+}) = \varphi(S^{+}, u^\circ, v^\circ).$$ Соответствующая точка отмечена на рис. 3.10 номером $$1$$.

Фактически, схемы (15.28), (15.29) и (16.1), (16.2) соответствуют разному поведению сторон при согласовании сделки. Основным аргументом каждой стороны, настаивающей на своем предложении, является отказ от сотрудничества. Такой отказ, как уже отмечалось, ограничивает гарантированные выигрыши сторон P1 и P2 максиминными значениями u* и v*, соответственно, из (14.7) и (14.10). Тем не менее, стороны могут пойти на эти (или даже большие) потери с тем, чтобы другая сторона также понесла потери и стала более сговорчивой. Таким образом, возможен стиль поведения, при котором сторона P1 угрожает стороне P2 отказом от кооперации и применением некоторой (в общем случае смешанной) стратегии $$x''\in S_m$$, если ее пожелания не будут учтены. Аналогично, сторона P2 может объявить свою стратегию угрозы $$y''\in S_n$$.

В рассматриваемом примере сторона P2 может, например, настаивать на строительстве комплекса в ее районе Р2, заявляя, что в любом случае она будет реализовывать свои средства только в этом районе. Такое поведение можно интерпретировать как объявление чистой стратегии угрозы j=2. Допустим, что сторона P1 решила вести себя аналогично и объявила о применении чистой стратегии i=1 в случае отказа строить комплекс в ее районе Р1. В результате при отказе от кооперации выигрыши сторон будут определяться величинами $$u''= - 1$$ и $$v'' = 1$$ (см. рис. 3.10). Т.е. в ситуации отказа от кооперации положение стороны P1 оказывается хуже, чем положение стороны P2. Это неравенство позволяет стороне P2 требовать бoльшую долю при разделе максимальной общей полезности $$\pi$$.

Отметим, что ключевым моментом в проведенном рассмотрении является признание сторонами реалистичности угроз, т.е. их готовность на самом деле использовать угрозы при отказе от сотрудничества, и отсутствие сомнений в том, что другая сторона поступит аналогично. При этих предположениях множество сделок, которые могут согласовать стороны (с учетом возможности побочных платежей), есть$$S'' = \{(u,v) \in R^2 \colon u + v \le \pi,\ u \ge u'',\ v \ge v''\}.$$ Кроме того, дележ$$(u_{+}, v_{+}) = \varphi (S'', u'', v''),$$ удовлетворяющий аксиомам Нэша, определяется выражениями$$u_{+} = \frac{1}{2}\left[\pi + (u'' - v'')\right],\quad v_{+} = \frac{1}{2}\left[\pi - (u'' - v'')\right]\!.$$ Множество $$S''$$ из (16.3) и точка $$(u_{+}, v_{+})=(2\frac{1}{2},4\frac{1}{2})$$ из (16.4) изображены на рис. 3.10 (точка имеет номер 2).

Оптимальные угрозы в задаче с побочными платежами

Проведенное рассмотрение ведет к постановке вопроса об оптимальных стратегиях угрозы, которые максимизируют долю ( u+ для P1 и v+ для P2 ) общей ожидаемой полезности $$\pi$$, гарантированно получаемую игроком в случае достижения соглашения. Как следует из рис. 3.10, повышение значения $$u''$$ ведет к увеличению доли стороны P1 в согласованном дележе. Аналогично, повышение значения $$v''$$ увеличивает долю стороны P2. Однако стороны выбирают не уровни $$u'', v''$$, а стратегии угрозы $$x''\in S_m$$, $$y''\in S_n$$, которым соответствуют значения$$u'' = M_1(x'', y''),\qquad v'' = M_2(x'', y''),$$ определяемые в соответствии с выражениями (11.16), (11.17).

Согласно (16.5) и (16.6),$$u_{+} = \frac{1}{2} \left[\pi + M(x'', y'')\right]\!,\qquad v_{+} = \frac{1}{2} \left[\pi - M(x'', y'')\right]\!,$$ где$$M(x,y) = M_1(x,y) - M_2(x,y) = x^T(A - B)y.$$ Из (16.7) следует, что сторона P1 (при выборе стратегии угрозы $$x''$$ ) заинтересована в максимизации величины (16.8), а сторона P2 (при выборе стратегии $$y''$$ ) - в минимизации этой же величины. Таким образом, стратегия стороны P1, обеспечивающая ей максиминное значение доли u+, совпадает с оптимальной стратегией первого игрока в антагонистической игре с матрицей A-B. Аналогично, вторая сторона может обеспечить максиминное значение своей доли v+ с помощью оптимальной стратегии второго игрока в той же игре с матрицей A-B.

В рассматриваемом примере матрица$$A - B = \begin{vmatrix} 2 -2\\ 1 -1 \end{vmatrix}$$ содержит седловое значение, которому соответствуют стратегии $$x'' = (0,1)$$ и $$y'' = (0,1)$$. Т.е. в обсуждаемой операции стороне P1 целесообразно принять предложение о строительстве комплекса во втором районе (вместо того, чтобы копировать неуступчивое поведение второй стороны). При этом множество (16.3) содержит единственную точку и$$(u_{+}, v_{+}) = (u^{+}, v^{+}) = (u'', v'') = (3,4).$$ Этот вариант лучше для стороны P1, чем дележ $$(u_{+}, v_{+})=(2 \frac{1}{2},4\frac{1}{2})$$, оцененный выше для стратегии $$x''=(1,0)$$.

Рассмотрим еще один тип поведения. Пусть сторона P1 планирует (в случае срыва соглашения) использование стратегии $$x^\ast = (1/6,5/6)$$, гарантирующей ожидаемый выигрыш $$u^\ast = 2\frac{1}{3}$$ из (14.7). При этом сторона P2 объявила описанную выше стратегию угрозы $$y'' = (0,1)$$. Тогда, в случае срыва кооперации, выигрыши сторон составят пару$$(u'', v'') = (2 \frac{1}{3},3\frac{1}{2}),$$ которой соответствует точка, лежащая на левом верхнем ребре границы допустимого множества S (отмечена темным кружком на рис. 3.10). Решение (16.10) менее выгодно для первой стороны, чем вариант (16.9), соответствующий оптимальным стратегиям угрозы $$x'',y''$$. Кроме того, дележ (16.5) (отмечен точкой с номером 3 на рис. 3.10) при уровнях $$(u'', v'')$$ из (16.10) также менее выгоден для первой стороны, чем дележ из (16.9).

Угрозы в задаче без побочных платежей

Соображения о поведении, которое включает угрозы, рассмотренные выше, целесообразно учитывать и при анализе сделок без побочных платежей. Отличие состоит в том, что без побочных платежей реализуемы лишь сделки из допустимого множества S.

Отметим частный случай, для которого применимы полученные выше оценки оптимальных стратегий угрозы. Пусть содержащая эффективные (т.е. неулучшаемые) точки граница множества S лежит на прямой, описываемой уравнением $$u + v = \const$$. Примером такого рода является задача, представленная на рис. 3.8. Кроме того, пусть все множество S находится под этой прямой в полосе между двумя нормалями к указанной границе, проходящими через концевые точки "паретовского" ребра. Пример, которому соответствует рис. 3.8, удовлетворяет и этому условию. Некоторая модификация этого примера, которая иллюстрируется матрицами из табл. 3.3, представлена на рис. 3.11.

При этом (u*,v*) = (4/7,2/3) и дележу из (14.18) соответствует пара $$(u^\circ, v^\circ) = (61/42,65/42)$$, определяемая описанным выше графическим приемом и вычислимая (в силу свойств паретовского ребра границы множества S ) по формулам (15.30) при $$\pi = 3$$.

Поскольку матрица$$A - B = \begin{vmatrix} 1 - \frac{1}{2}\\ 0 -1 \end{vmatrix}$$ содержит седловое значение, то оптимальные угрозы реализуемы в чистых стратегиях $$i'' = 1$$, $$j'' = 2$$. При этом $$(u'', v'') = (-\frac{1}{2},0)$$ и, согласно (16.7), $$(u_{+}, v_{+}) = (1\frac{1}{4},1 \frac{3}{4})$$. В случае, когда описанные свойства множества S не имеют места, определение оптимальных стратегий угрозы является более сложным.