Название этого курса неслучайное. Вначале автор поставил цель расмотреть применение раздела теории вероятностей - теории массового обслуживания к решению одного из основных вопросов экономики математическому описанию функционирования рынка.
Применение теории массового обслуживания в экономике известно. Оно в основном касается таких областей, как расчет рабочих мест, например, касс или число ремонтных бригад.
Теория массового обслуживания применяется, в частности, в розничной торговле при анализе количества обслуживаемых покупателей и продолжительности их обслуживания (при условии высокого качества их обслуживания). На эти показатели оказывают влияние различные факторы (cлучайные величины). Они взаимодействуют между собой в условиях процесса обслуживания покупателей, носящего случайный характер.
Работ по применению аналогичных результатов непосредственно для расчета экономических процессов, например, исследованию спроса и предложения автор не встречал.
Подробное рассмотрение вопросов применения методов теории массового обслуживания для исследования экономичесих процессов (например, потоков поставки и приобретения товаров) показало, что наиболее перспективным является направление рассмотрения рынка, как системы обслуживающей случайные потоки.
Это позволяет математически определить основные экономические понятия - спрос, предложение, товар, склонность к потреблению и др. Математически описать связь между этими понятиями. И что самое главное получать на основании заданных исходных данных числовые результаты. Например, вероятности продажи заданной партии товаров, находить моменты перепроизводства (вероятные точки начал кризиса) и другие важные данные.
Такой подход позволяет получить очень интересные результаты.
Вначале перечислим эти результаты:
Такой подход позволяет:
Сразу хотелось бы предупредить, что математика не дает экономических прогнозов. Один из великих инвесторов 21-22 века Уоррен Баффет, говорил: "Я не делаю прогнозы, я даю оценки. Оценка не то, что прогноз". ([17], стр.21, стр.23).
Поясним - это высказывание.
Предположим вам надо проехать на автомобиле из Петербурга в Москву. И вы обратились к математику.
Он нашел соответствующую формулу и сказал, что если вы будете двигаться непрерывно и равномерно без ускорений со скоростью 60 км/час, то расстояние от Петербурга до Москвы - 600 км вы преодолеете за 10 часов.
Что дальше? Это прогноз? Нет - это оценка. Дальнейшее зависит от Вас. Вы можете поехать (равномерно, без остановок), можете полететь на самолёте (опять математика Вам позволит оценить время) или вовсе отказаться от поездки. У вас еще масса вариантов.
Вывод отсюда парадоксальный, что экономика - это политика. А математика может только сказать, что будет при принятых Вами решениях.
Можно также сказать, что экономика - это психология. Например, известен "очевидный" экономический закон, который широко используется для анализа экономических процессов.
" При увеличении цены на товар спрос падает".
Однако существует широко известный эффект - ажиотажного спроса. Известно, что при повышении цен на предметы первой необходимости появляется ажиотажный спрос. Люди закупают продукты "про запас". Как выражаются экономисты, ресурсы перемещаются из зоны потребления в зону накопления.
Известно, что когда растет цена валюты - это повышает спрос на сопрягающиеся валюты .
Однако математика позволяет определить граничные значения при заданных параметрах (как в нашем примере при заданной скорости и выполнении указанных условий быстрее не доедешь).
Так что результаты, приведенные в курсе надо рассматривать как некий инструмент, позволяющий специалисту по экономике проводить анализ экономических процессов в определённых исследователем обстоятельствах.
В то же время математические доказательства теории обслуживания случайных потоков показывают, что некоторые постулаты классической теории применимы не к общему случаю, а только к особым случаям.
Например, роль цены меняется в зависимости от соотношения спроса и предложения. Математика позволяет понять, что снижение цены приводит к повышению спроса только в том, случае, когда:
Но очень много случаев, когда при снижении цены этого увеличения в необходимом размере не происходит (например, при продаже нефти), это введет к кризису перепроизводства.
Анализ случайных потоков покупок и продаж позволяет понять суть и время периодов кризисных циклов (из которых наиболее известны Кондратьевские циклы [19]).
Одна из серьёзных проблем при анализе экономических процессов (отмеченная еще Кейнсом [15]) - это термин "товар".
Под этим понимается всё, что продаётся на рынке от хлеба до брильянтов. Товары обладают разными характеристиками, что затрудняет унифицированный анализ спроса и предложения.
В курсе введен параметр - относительное потребление. Просто говоря это определение, сводит товар к численной характеристике "Сколько единиц товара потребитель хочет приобрести и сколько может". Введение этой характеристики позоляет, не углубляясь в потребительские особенности товара, использовать математичекие методы для анализа процессов продажи и покупки товаров.
Представление рынка, как системы обслуживания случайных потоков позволяет провести новую классификацию экономических систем и отметить многие общие моменты между участниками каждой группы.
В заключение надо сказать, что в курсе за основу изложения приняты результаты, полученные моим учителем Борисом Самойловичем Лившицем [4] и недавно скончавшимся его лучшим учеником Яковом Владимировичем Фидлиным. [5]
Их книга Лившиц Б. С., Фидлин Я. В., Харкевич А. Д. Теория телеграфных и телефонных сообщений. М.: Связь, 1971. до сих пор образец по содержанию и строгости и четкости математических доказательств.
Очень большие трудности вызывал у автора вопрос как подробно приводить математические доказательства. Как показал опыт - математические аспекты теории обслуживания случайных потоков известны далеко не всем. Поэтому в курс включены сведения, позволяющие читателю получить необходимые сведения, не тратя массу времени на обращения к первоисточникам. Для корректности в курсе есть много ссылок к первоисточникам.
Для тех, кто активно заинтересуется вопросам применения теории обслуживания случайных потоков, в приложении приведены отдельно книги по теории массового облуживания на русском и английском языке.
Список литературы составлен по разделам:
Кроме этого, для изучения теории массового облуживания можно использовать один из следующих источников [6-12] и [24].
При чтении курса следует обратить внимание на задачи и их решение. Это облегчает понимание того, как теоретические результаты применяются на практике
Все вопросы и замечания можно сообщать прямо автору по e-mail адресу alexandr-berlin@yandex,ru.
$$A$$ - относительное (удельное) потребление. Предложенная нагрузка
$$a$$ - интенсивность нагрузки, поступающей от одного источника
$$C$$ - число поступивших заявок
$$-t$$ обслуженных заявок
$$C_{потер.}- $$ потерянных заявок
$$\overline{C}_{задер.}$$ - средняя длина очереди или среднее число задержанных партий товаров
$$\overline{c}_{ин_{д}}$$ - среднее число заявок от одного потребителя в единицу времени
от одной группы индивидуальных потребителей
$$\overline{c}_{пос_{р}}$$ - cреднее число заявок от одного потребителя в единицу времени
от - посредников (например, агентства по покупке и продаже квартир)
$$E_{i,\nu}(A)=E_i(A)$$ - вероятность того, что в произвольный момент
времени стационарного режима в полнодоступной группе ёмкостью v
потребителей, на которую поступает интенсивность партий товаров $$Y$$ , создаваемая простейшим потоком товаров, занято i потребителей
$$ E_{1,\nu}(A).$$ - табличные числовые значения для первой формулы Эрланга $$E_{2,\nu}(A)=E_i(A).$$- табличные числовые значения для второй формулы Эрланга
$$p( \gamma >0)$$ - вероятность того, что время ожидания больше нуля - то есть вероятность очереди
$$p_{задер.}(\gamma >t)$$ - вероятность ожидания задержанного товара
свыше времени t
$$p(R>r)$$ - вероятность того, что длина очереди превышает заданную величину r
$$P_{макс}$$ - максимальное потребление
$$P_{реал.}$$ - реальное потребление.
$$P_{заяв.}$$ - потери по числу поступивших заявок на поставку товара
$$P_{тов.}$$ - потери по объему товара
$$P_{t}$$ - потери по времени реализации
$$t$$ - cредняя длительность потребления .
$$\overline{r}$$ - средняя длина очереди
$$Y$$ - величина (объем) поступившего товара
$$\tau$$ - величина обслуженного товара
$$Y_{потер._{-\tau}}$$ - потерянного товара
$$Y_{обсл.}(t_1,t_2)=\sum\limits_{i=1}^{\nu}{\tau_i}$$ - обслуженное предложение.
$$y_{0_b}(t_1,t_2)$$ - обслуженный рынком спрос за промежуток времени $$(t_1, t2)$$ $$Y_{пост.}(t_1,t_2)$$ - поступающее предложение товаров за промежуток времени $$(t_1, t2)$$
$$Y_{пост.}(t_1,t_2)$$ - поступающий на рынок спрос за промежуток времени $$(t_1, t2)$$
$$Y_{потер.}(t_1,t_2)$$- потерянный рынком спрос в течение промежутка времени $$(t_1, t2)$$
$$y_{ВНС}$$ - величина нагрузки за ВНС;
$$y_{набл.}$$ - величина нагрузки за время наблюдения
$$\alpha$$ - параметр примитивного потока группы партий в свободном состоянии (формула Энгсета).
$$\beta$$ - параметр показательного закона распределения длительности потребления.
$$\eta$$ - пропускная способность групп потребителей
$$\gamma$$ - текущее время ожидания
$$\overline\gamma$$ - среднее время ожидания по отношению ко всем поступившим вызовам
$$\overline\gamma_з$$ - среднее время ожидания по отношению только к задержанным вызовам
$$\lambda_{s(t)}$$ - параметр симметричного потока.
$$\omega_0(z)$$ - вероятность отсутствия товаров на промежутке времени длиной $$z$$ (Поток Пальма).
Для математической оценки процессов, происходящих в экономике необходимо создать модель, которая позволила бы отразить их в математическом виде и обеспечить количественный расчет, анализ и оценку возможного поведения системы Предлагаемая модель показана на рис. 1.1.
(рис 1.1) Математическая модель рынка
Рынок содержит подсистемы, выполняющие следующие задачи.
Система производства - порождает случайный поток товаров (в общем случае отличающихся друг от друга). Под товаром понимается, любое изделие или услуга, предлагаемая для продажи, в которой имеется потребность, (в дальнейшем будет показано, как определить потребность в числовом виде). Это могут быть предметы питания, например, молоко и другие продукты питания, автомобили, дома, услуги по уборке дома, акции, строительные фирмы, предлагающие услуги по строительству домов и т.д.
Поток поступает в систему распределения.
Система распределения, может обслужить заказ немедленно или с какой-то задержкой. Задержка может быть двух типов:
Возможны два типа систем распределения.
Первые из них ставят задачу максимально быстро реализовать товар без всяких дополнительных условий. В теории массового обслуживания такая система распределения заявок на обслуживание называется полнодоступной, поскольку обеспечивает равный доступ к системе потребления и при расчётах поведения рынка - может не учитываться.
Системы второго типа распределяют товары, учитывая заданные приоритеты и ограничения для отдельных потребителей или систем потребления. Например, продажа табака, алкоголя, оружия … Системы этого типа называются неполнодоступными.
Если заказ принят, то система распределения пытается отдать его потребителям в систему потребления.
Система потребления обслуживает поток товаров. Это заключатся в том, что индивидуальные потребители или группы потребителей могут купить предложенные товар или отказаться от покупки.
Поступающий товар приобретается любой свободной группой потребителей. Занятой будем называть группу потребителей, которая за наблюдаемый период времени приобрела максимально возможную (или доступную) величину товаров и выбыла на некоторое время из потребления.
Если все группы потребителей заняты, то система потребления отказывается от приобретения товара, т.е. возникают потери.
При этом неприобретённый товар можно далее не предлагать, например, ликвидировать или система распределения может поставить его в очередь на ожидание реализации (накопление и сохранение непроданных товаров). В этом случае очень важно знать время ожидания. Оно может превысить разумное время (заданное время ожидания). В этом случае говорят об условных потерях. Поскольку товар доступен к продаже и через заданное время снимается с ожидания в соответствии с оговоренными условиями.
Если доля отказов от поступивших товаров превосходит определенную норму, то это свидетельствует о перепроизводстве, и требует мер по устранению таких потерь.
Заметим, что даже такая простая общая модель рынка имеет свои варианты.
Например, в данном случае мы рассматриваем, рынок, при котором производство и поставка товара (предложение) играет в системе роль входящего потока, а потери означают долю не проданного товара.
Практика показывает, что рынок может строиться, по принципу поступления на вход потока заявок на товары (плановая система), а потери заключатся в доле неудовлетворённых заявок спроса из-за отсутствия товаров.
Каждая из таких моделей имеет свои преимущества и недостатки, которые могут быть исследованы, но такие вопросы в курсе не рассмотрены. Рассматривается только система, где на рынок поступает предложение (поставка товаров), а спрос (потребители) его обслуживает.
Из рис.1.1 следует, что важным аспектом математической модели являются входные потоки. В соответствии с теорией обслуживания случайных потоков каждый входной поток может быть представлен математической моделью. Для определения типов случайных потоков далее используются определения из книг Лифшица и Стрельникова [4] , [8], [9],[24]. Понятия и методы теории массового обслуживания адаптируются к используемой модели рынка обслуживающей потоки товаров.
Потоком событий (в нашем случае товаров) называется последовательность предложений товаров поступающих через какие-либо интервалы или в какие-либо моменты времени.
Детерминированный поток событий - последовательность , в которой события поступают в определенные, строго фиксированные неслучайные моменты или через определенные, строго фиксированные, неслучайные промежутки времени. Например, продажа изделий с конвейера.
Случайный поток событий отличается от детерминированного тем и только тем, что моменты поставок товаров и промежутки времени между поставками являются не строго фиксированными, а случайными величинами. Детерминированные потоки являются частным случаем случайных потоков и на практике встречаются редко. Строго говоря, даже в таких потоках часто имеют место случайности. В связи с этим в теории массового облуживания потоков основное внимание уделяется рассмотрению случайных потоков вызовов.
Поток событий может быть определен одним или несколькими из трех эквивалентных способов:
последовательностью моментов наступления события $$t_1,t_2,...,t_n$$,
Например, вероятность поступления конкретного товара $$A$$ в момент $$t_1$$.
Это может быть вероятность того, что мобильные телефоны будут поставляться в магазин каждую пятницу.
В лотерее, это, например, вероятность выпадения цифры 6 в тиражах с номерами 5,7,15. При исследовании их можно обозначить как моменты $$t_5,t_7,t_{15}$$.
Последовательностью промежутков времени между событиями моментами $$z_1,z_2,…,z_n$$
Например, вероятность, что мобильные телефоны будут поставляться в магазин через каждые 7 дней.
В лотерее, это, вероятность выпадения цифры 6 через каждые 5 тиражей.
Последовательностью чисел $$k_1,k_2,…,k_n$$, определяющих количество событий, поступающих в течение заданных отрезков времени $$[t_0,t_1), [t_0,t_2),...,[t_0,t_n)$$.
Например, вероятность, что в течение 15 месяцев (отсчитываемых от исходного момента $$(t_0-t_{15})$$ свежая рыба поступит на продажу 5,6,.. 10 раз.
Для того, чтобы получить математическое описание потоков проведем их классификацию.
Потоки товаров бывают неоднородные и однородные.
Например, на продажу может быть одновременно поставлены автомобили, запасные части, средства для подкраски сколов, шины и т.д. Это неоднородный поток.
В неоднородном потоке товаров каждый товар имеет свои характеристики.
Однородный поток товаров характеризуется последовательностью, определяющей закономерность поступления товара только одного типа, т. е. последовательностью моментов поступления или промежутков времени между поставками, либо иным способом задания потока поставок.
Несмотря на то, что на практике потоки товаров, как правило, являются неоднородными. В дальнейшем под потоком товаров будем понимать однородный поток событий.
Поток неоднородных товаров можно свести к однородному потоку путем объединения нескольких групп различных товаров в один товар (например, запасные части для автомобилей).
В дальнейшем мы также ограничимся рассмотрением финитных потоков товаров, в которых на любом конечном отрезке времени поступает конечное число товаров, и математическое ожидание числа поступающих товаров также является конечной величиной.
Потоки товаров классифицируются с точки зрения стационарности, ординарности и последействия.
Стационарность - свойства потока, когда вероятность поставки того или иного числа товаров в течение наблюдаемого участка времени, зависит только от длины этого участка
Поставки (потоки) товаров в системе производства могут резко колебаться в зависимости от сезона, времени суток: количество поставляемых товаров в определенные дневные и вечерние часы может достигать максимальной величины, а в ночные часы может уменьшиться почти до нуля. Это значит, что вероятность поступления какого-либо числа товаров в определенный промежуток времени зависит от местонахождения на оси времени этого промежутка и, следовательно, поток товаров, поступающих в течение суток от любой группы производителей в сеть распределения, является нестационарным.
При изучении математической модели рынка в большинстве случаев в курсе рассматривается стационарный поток товаров.
При таком типе потока вероятность не зависит от того, где на оси времени расположен промежуток времени $$[t_0, t_1)$$, вероятность поступления $$K[t_0,t_i)$$ событий одна и та же.
Точнее это значит, что для стационарного потока вероятность поступления некоторого числа событий за какой-то промежуток времени зависит от длины этого промежутка и не зависит от его начала. В противном случае поток является нестационарным.
Заметим, что внутри ограниченного отрезка времени, например часа, не стационарность потока событий мало ощутима, что позволяет для многих практических задач полагать стационарным поток товаров, поступающих от большой группы производителей (100 и более) за небольшой отрезок времени.
Ординарность - потока выражает практическую невозможность одновременного поступления двух и более товаров в любой момент времени $$t$$.
Примером сведения рассмотрения неординарных потоков к типу ординарного является рассмотрение периодических поставок автомобилей со случайным периодом, которые могут быть неординарными.
Но если их рассматривать поставки в виде партий, то они могут рассматриваться как ординарные.
Отсутствие последействия - свойства потока, когда вероятность не зависит от момента и типа совершения предыдущих событий.
Иными словами, отсутствие последействия потока означает независимость поступления случайного потока товаров после какого-либо момента времени от его течения до этого момента.
Примером потока без последействия может служить поток поступления на рынок партий мобильных телефонов. Действительно, вероятность поступления какого-либо числа мобильных телефонов на рынок при налаженном массовом выпуске на любом отрезке времени практически не зависит от процесса поступления этих партий до начала данного отрезка.
Поток событий является потоком с последействием, если вероятность поступления того или иного числа событий за некоторый промежуток времени зависит от процесса поступления вызовов до начала этого промежутка. Например, фирма следит за количеством поставленных мобильных телефонов, и преднамеренно уменьшает выпуск, чтобы не было избыточного предложения.
Для исследования процесс функционирования рынка нужно рассмотреть многие числовые характеристики. Будем рассматривать их постепенно. В начале определим характеристики, связанные с частотой поступления товара на рынок без исследования какой товар, какие его потребительские свойства и т.п.
К основным характеристикам потока товаров следует отнести ведущую функцию потока, его параметр и интенсивность.
Ведущая функция потока товаров - $$\Lambda (t)$$ определяется как математическое ожидание поступления числа партий товаров на отрезке времени от 0 до $$t$$.
Следует подчеркнуть важность в этом определении слова число партий.
Более просто, она показывает, сколько в среднем партий товаров может поступить за рассматриваемый период (неделя, месяц, год...). Их может быть 5 партий, 100 партий и т.п. Если поток неординарный, то они могут поступить в один момент или нескольких моментах.
Пусть - $$\Lambda (t)$$ математическое ожидание числа партий, поступающих в интервал $$[0,t ) $$. Функцию $$\Lambda (t)$$ называют ведущей функцией потока.
$$\Lambda (t) = \frac {\sum\limits_i^nk_i(t)}{n}$$
$$n$$ - число наблюдений,
$$k_i(t)$$ - число партий товаров, поступивших за интервал времени [0,t )
в $$i$$-й период наблюдений (неделя, месяц, год….).
По определению мгновенной интенсивностью потока называют предел:
$$\mu (t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Lambda (t+\Delta t)- \Lambda (t)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Lambda (\Delta t)}{\Delta t}$$
Для стационарного потока мгновенная интенсивность постоянна в любой момент времени на заданном интервале. Для стационарного потока
интенсивность $$\mu$$ есть математическое ожидание числа вызовов поступающих в единицу времени.
$$\mu = \frac{\Lambda(t)}{t}$$
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Распределение вероятности имеет вид:
$$P_{k\geq 1}=a_0+a_1t$$
Тогда параметр потока постоянная величина $$\lambda (t)=a_1$$.
Например, вероятность поступления партий купальных костюмов в начале сезона увеличиваются по линейному закону в 2 раза каждую неделю.
Пример 2. Распределение вероятности имеет вид:
$$P_{k\geq 1}=1-e^{-at}$$
В этом примере, вероятность поступления партий купальных костюмов в конце сезона уменьшается экспоненциально каждую неделю.
Тогда параметр потока определяется из выражения $$\lambda (t)=a{e^{at}}$$
Параметр стационарного потока является постоянным, не зависящим от времени $$\lambda (t)=\lambda >0$$. Для любого стационарного потока всегда имеет место неравенство $$\mu \geq \lambda$$. Если поток ещё и ординарный, то $$\mu = \lambda$$.
Параметром потока товаров $$\lambda (t)$$ в момент $$t$$ называют предел отношения вероятности поступления хотя бы одной партии товаров на интервале $$[t , t+\Delta t )$$ к длительности этого интервала $$\Delta t$$ при $$\Delta t \rightarrow 0$$
$$\lambda (t)=\lim_{\Delta t\to 0} \frac {P_{K \geq 1} (t, t + \Delta t)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t\to 0} \frac {P_{K \geq 1}(\Delta t)}{\Delta t}$$
$$ \lambda (t)=\frac{d[P_{K \geq 1}(t)]}{dt} $$
Другими словами, параметр потока есть производная вероятности
поступления партий товаров в момент $$t$$ - плотность функции распределения.
Она указывает число моментов поступления.
В отличие от ведущей функции потока $$\Lambda (0,t)$$, определяющей математическое ожидание числа вызовов, поступающих в промежутке времени $$(0, t)$$, параметр потока $$\lambda (0,t)$$ характеризует не поток вызовов, а поток моментов поступления партий товаров, и эта характеристика относится не ко всему отрезку $$(0, t)$$, а лишь к фиксированному моменту $$t$$.
Для любых потоков вызовов $$\mu (t) \geq \lambda (t)$$, причем для ординарных потоков $$\mu (t) = \lambda (t)$$.
Для стационарных потоков интенсивность и параметр, постоянные величины: $$\mu (t) =\mu$$, $$\lambda (t)=\lambda$$ (поскольку в каждый момент $$t$$ поступает только одна партия товаров). Для любых стационарных потоков $$\mu \geq \lambda $$, а для стационарных ординарных $$\mu = \lambda $$.
Классификацию потоков удобно осуществлять, принимая за основной признак последействие потока. С точки зрения последействия различают три класса потоков: без последействия, с простым последействием и с ограниченным последействием.
Начнем рассмотрение этих классов с потоков без последействия.
Простейшим потоком товаров называется стационарный, ординарный поток без последействия. Простейший поток товаров полностью определяется и задаётся вероятностью поступления точно $$К$$ партий товаров за время $$[0,t )$$.
Рассмотрим первый способ задания потока 1 последовательностью моментов наступления события, $$t_1, t_2,...,t_n$$ ( раздел 1.2.1)
Обозначим эту вероятность $$P_k (t)$$ при $$К=0,1, 2,3,...,$$ и $$t>0$$ .
Найдём выражение для $$P_k (t)$$:
(рис 1.2) Поток заявок на товары
На рис. 1.2 изображен поток партий товаров на промежутке времени $$[0,t)$$. Этот промежуток состоит из $$n$$ равных отрезков длиною $$\Delta t=\frac {t}{n}$$
Рассмотрим малый отрезок времени длительностью $$\Delta t$$ и вычислим вероятность того, что в этот промежуток времени поступит хотя бы одна партия товара. По определению, параметром потока мы назвали предел отношения:
$$\lambda=\frac{ \lim_{ \Delta t \to 0} P_{K \geq 1} (t_0, t_0+ \Delta t) }{ \Delta t}=\frac{ \lim_{ \Delta t\to 0}P_{K \geq 1} (\Delta t)}{\Delta t}$$
Следовательно, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, при $$\Delta t \rightarrow 0$$ можно считать вероятность того, что в промежуток времени $$\Delta t$$
поступит хотя бы одна партия товара:
$$P_{K \geq 1} (t_0, t_0+ \Delta t) = \lambda \Delta t= \lambda \cdot \frac{t}{n}$$
а вероятность того, что не поступит ни одной партии товаров
$$P_{K = 0} (t_0, t_0+ \Delta t) = 1-\lambda \Delta t= 1-\lambda \cdot \frac{t}{n}$$
Так как по определению простейший поток - это поток без последействия, то вероятности поступления партий товаров в неперекрывающиеся промежутки времени независимы. Следовательно, $$n$$ промежутков времени можно рассматривать как $$n$$ независимых опытов, в каждом из которых за промежуток времени $$\Delta t$$math> может поступить партия товаров с вероятностью $$\lambda \cdot \frac{t}{n}$$.
Вероятность того, что среди $$n$$ промежутков будет ровно $$К$$, в которые поступают партии товаров, (второй способ задания последовательностью промежутков времени между событиями моментами $$z_1, z_2,...,z_n$$) можно определить по теореме о повторении опытов (по формуле Бернулли) из выражения
$$P_{n,K}=C_n^K(\frac{\lambda \cdot t}{n})^K(1-\frac{\lambda \cdot t}{n})^{n-K}$$
При достаточно большом числе промежутков времени $$n$$ эта вероятность приблизительно равна вероятности поступления точно $$К$$ партий товаров в промежуток времени $$[0,t )$$, так как вероятность поступления двух или более вызовов в промежуток $$\Delta t$$ имеет пренебрежимо малую вероятность (простейший поток ординарный!).
Чтобы найти точное значение $$P_{K(t)}$$, нужно перейти к пределу при $$n \to \infty$$:
$$P_K= \lim_{n\to \infty } C_n^K \frac{(\lambda \cdot t}{n})^K)(1-\frac{\lambda \cdot t}{n})=\frac{( \lambda \cdot t)^K}{K!}e^{- \lambda t}$$
Распределение вероятностей $$P_K(t)$$ называется распределением Пуассона. Чтобы убедиться, что последовательность вероятностей $$P_K(t)$$ представляет собой ряд распределений, необходимо показать, что сумма всех вероятностей $$P_{K(t)}$$ равна единице. Действительно, согласно формуле ряда Тейлора
$$\sum_{K-0}^{z} P_K(t)=\sum_{K-0}^{z} \frac{(x)^K}{K!}=e^x$$
получим:
$$\sum_{K-0}^{z} P_K(t)=\sum_{K-0}^{z} \frac{( \lambda t)^K}{K!}e^{- \lambda t}=\\ e^{- \lambda t}\sum_{K-0}^{z} \frac{( \lambda t)^K}{K!}=e^{- \lambda t}e^{ \lambda t}=1$$Чтобы построить распределение Пуассона, необходимо для всех $$К$$
рассчитать $$P_K(t)$$. Это распределение дискретной случайной величины. Например, при $$\lambda \cdot t=4$$ распределение имеет следующий вид (рис. 1.3):
(рис 1.3) Огибающие распределения
Огибающие распределения Пуассона при различных $$\lambda \cdot t$$ имеют следующий вид (рис. 1.4):
(рис 1.4) Огибающие распределения
Как видно из рисунка, с возрастанием огибающая принимает всё более
симметричный вид. При $$\lambda \cdot t \geq 10$$ имеет место хорошее совпадение между огибающей закона распределения Пуассона и нормальным законом распределения (который является законом распределения непрерывной случайной величины), формула и график которого:
$$f(t)=\frac{1}{ \sigma \cdot \sqrt{x} \sqrt{2 \cdot \pi } }e^{-\frac{(x-a)^2}{2 \sigma }}$$
(рис 1.5) Нормальный закон распределения
Определим математическое ожидание числа партий товаров, поступающих за время $$[0,t )$$:
$$M_k= \Lambda (t)= \sum_{k=0}^{ \infty } KP_K(t)=\sum_{k=0}^{ \infty }K\frac{( \lambda t )^K}{K!}e^{- \lambda t}$$ - выражение начального момента первого порядка.
Первый член суммы при $$К=0$$ равен нулю, следовательно
суммирование можно начинать с $$К=1$$:
$$M_k= \Lambda (t)= \sum_{k=1}^{ \infty }K\frac{( \lambda t )^K}{K!}e^{- \lambda t}= \lambda te^{- \lambda t}\sum_{k=1}^{ \infty }\frac{( \lambda t)^{K-1}}{(K-1)!}$$
Обозначая $$K-1=r$$ , с помощью ряда Маклорена получим:
$$\Lambda (t)= \lambda te^{- \lambda t} \sum_{r=0}^{ \Lambda (t)= \infty } \frac{( \lambda t)^r}{r!}= \lambda te^{- \lambda te^{ \lambda t}} e^{ \lambda t}= \lambda t$$
Но с другой стороны:
$$\Lambda (t) = \mu \cdot t$$ - по определению для стационарного потока.
Следовательно, для простейшего потока интенсивность численно равна
параметру - $$\mu = \lambda$$.
Дисперсию случайной величины, распределённой по закону Пуассона, будем определять из выражения:
$$D_k= \sum_{K=0}^{ \infty } [K-M_K]^2P_K= \alpha_2-M_k^2$$
где $$M_K$$ - математическое ожидание, $$M_K =\Lambda (t)=\lambda \cdot t , \alpha_2$$ - начальный момент второго порядка.
По определению:
$$\alpha_2= \sum_{K=0}^{\infty} K^2 P^K$$
$$\alpha_2= \sum_{K=0}^{\infty}K^2}\frac{(\lambda \cdot t)^K}{K!} e^{- \lambda \cdot t}= \\ \lambda \cdot t \sum_{K=1}^{\infty} K \cdot \frac{(\lambda \cdot t)^{K-1}}{(K-1)!}} \cdot e^{- \lambda \cdot t}= \\ \lambda \cdot t \sum _{K=1}^{\infty}(K-1+1) \cdot \frac {(\lambda \cdot t)^{K-1}}{(K-1)!}}= \\ \lambda \cdot t [ \lambda \cdot t \sum _{K=1}^{\infty} (K-1) \cdot \frac {(\lambda \cdot t)^{K-1}}{(K-1)!}} - \frac {(\lambda \cdot t)^{K-1}}{(K-1)!}}]$$
Уже было доказано, что:
$$\sum_{K=1}^{ \infty } (K-1)\cdot \frac{ (\lambda \cdot t)^{K-1}}{(K-1)!}= \sum_{r=0}^{ \Lambda (t)= \infty } r\cdot \frac{ (\lambda t)^r }{r!}= \lambda t$$
Кроме того:
$$\sum_{K=1}^{ \infty } (K-1)\cdot \frac{ (\lambda \cdot t)^{K-1}}{(K-1)!}\cdot e^{- \lambda \cdot t}=e^{- \lambda \cdot t}\cdot \sum_{r=0}^{ \infty }\frac{( \lambda t)^r}{r!}=e^{- \lambda \cdot t}\cdot e^{ \lambda \cdot t}=1$$
Следовательно:
$$\alpha_2=\lambda \cdot t\cdot [\lambda \cdot t + 1]$$
Дисперсия простейшего потока:
$$D_K=\alpha_2 - M_{K^2}=\lambda \cdot t \cdot (\lambda \cdot t +1)-( \lambda \cdot t)^2=\lambda \cdot t$$
Таким образом, дисперсия простейшего потока вызовов равна
математическому ожиданию:
$$M_K=D_K=\lambda \cdot t$$
Из этого свойства простейшего потока следует важный для практики вывод: относительное колебание простейшего потока вызовов тем меньше,
чем больше его математическое ожидание.
Относительное колебание оценивается коэффициентом вариации отношением:
$$V= \frac{ \sigma _K}{M_K}=\frac{ \sqrt{D_K} }{M_K}= \frac {\sqrt{ \lambda t} }{ \lambda t}=\frac {1}{\sqrt{ \lambda t} }$$
$$\lim_{ \lambda t \to \infty } \frac {\sqrt{ \lambda t} }{ \lambda t}= \lim_{\lambda t \to \infty} \frac {1}{ \sqrt{ \lambda t}} = 0$$
то есть при $$\lambda \cdot t \rightarrow \infty$$ $$V \rightarrow \infty$$;
$$\lim_{\lambda t \to 0 } \frac {\sqrt{ \lambda t} }{ \lambda t}= \lim_{\lambda t \to 0} \frac {1}{\sqrt{ \lambda t}}= \infty$$
то есть при $$\lambda \cdot t \rightarrow 0$$ $$V \rightarrow \infty$$ .
$$\lambda \cdot t$$ - математическое ожидание числа вызовов, поступающих за $$[0, t )$$.
Отсюда эффективность системы массового обслуживания выше, чем больше
интенсивность поступающего на систему потока товаров. Это фундаментальное свойство случайных потоков событий широко используется в системах массового обслуживания: в телекоммуникациях для концентрации потоков вызовов строят телефонные станции большой ёмкости и коммутационные узлы; в торговле - супер- и гипермаркеты; на транспорте крупные аэропорты и вокзалы.
Объединение и разъединение независимых простейших потоков:
Объединение независимых простейших потоков с параметрами
$$\lambda_1 , \lambda _2 , \lambda _3 ,... , \lambda _i ,... ,\lambda_n$$ тоже будет простейшим потоком с параметром $$\lambda = \sum_{i=1}^{n} \lambda _i$$, равным сумме параметров объединяемых потоков.
Рекуррентная формула Пуассона:
$$\left. \begin{array}{ccc} P_K (t) = \frac{ (\lambda \cdot t)^K}{K! \cdot}e^{- \lambda \cdot t} \\ P_K (t) = \frac{ (\lambda \cdot t)^{K-1}}{(K-1)! \cdot}e^{- \lambda \cdot t}\\ \end{array} \right\} \frac{P_K(t)}{P_{K-1}(t)}=\frac{ \lambda \cdot t}{K}, P_K(t)=\frac{P_{K-1}(t) \lambda \cdot t}{K}$$
Обозначим $$t_в$$ - среднюю длительность пребывания в системе одного товара (обычно принимается $$t_в=1$$). Разделим и умножим $$t$$ на $$t_в$$:
$$P_K(\frac{tt_B}{t_B})=\frac{(\frac{ \lambda \cdot \frac{t}{t_B}}{t_B})^K}{K!}\cdot e^{- \lambda \frac{tt_B}{t_B}}$$
Введём $$n=\frac{t}{t_B}$$ и получим:
$$P_K(nt_B)=\frac{(n\cdot Y)^K}{K!}\cdot e^{- \lambda n\cdot Y}$$
где $$Y$$ - интенсивность предложения.
Если $$t=t_в$$ , то
$$P_K(t_B)=\frac{(Y)^K}{K!}\cdot e^Y$$
Учитывая сказанное, для более эффективного обслуживания потоков товаров желательно производить их объединение.
Без доказательства отметим ещё одно интересное свойство простейшего потока: при суммировании большого числа независимы ординарных стационарных потоков с практически любым последействием, получается поток, сколь угодно близкий к простейшему.
Аналогия: при суммировании большого числа независимых случайных величин, подчинённых практически любым законам распределения, получается величина, приближённо распределённая по нормальному закону.
Мы отмечали, что поток вызовов однозначно может быть определён
промежутками между заявками на товар $$z_1 , z_2 , ... , z_i ,...$$ , а задаётся функцией распределения $$Z_i$$ промежутков между поступлениями заявок на товар: $$F1(t)=P(z_i<t)$$
(рис 1.6) Распределения zi промежутков между поступлениями
$$z_1=t_1 , z_2=t_2-t_1 , ... z_i=t_i-t_{i-1}$$
Где $$t_1 , t_2 , ... ,t_i$$ - моменты появления партий товаров.
Вспомним также, что вероятность появления ровно $$К$$ партий товара за время $$[0,t )$$ определяется выражением:
$$P(t)_K=\frac{(\lambda \cdot t)^K}{K!}\cdot e^{-\lambda\cdot t}$$
Отсюда вероятность того, что за промежуток $$[0,t )$$ не поступит ни одна партия товара, то есть $$К=0$$:
$$P_0(t)=e^{-\lambda \cdot t}$$, так как $$0!=1$$ .
По определению под функцией распределения случайной величины zi
понимается вероятность того, то $$z_i<t$$:
$$F_1(t)=P(z_i<t)$$, $$i=1,2 ,...$$
Это есть вероятность появления заявок на товар за время $$t$$ (рис. 1.7) .
(рис 1.7) Отрезок поступления товара zi и общее время отрезка t
Вероятность противоположного события:
$$1-(t)=P( z_i \geq t )$$, $$i=1,2 ,...$$
Это есть вероятность того, что за время $$t$$ не появится ни одной заявки на товар. Так как простейший поток не обладает последействием, то появление в момент $$t_{i-1}$$ заявки на товар не влияет на появление заявки на товар в дальнейшем . Поэтому:
$$P(z_i \geq t)=P_0(t)=e^{-\lambda \cdot t}$$
Отсюда: $$F_1(t)=P( z_i<t )=1-e^{-\lambda \cdot t}$$
Функция распределения промежутков $$z_i$$:
(рис 1.8) Функция распределения промежутков zi
Дифференцируя по $$t$$ , найдём плотность распределения случайной
величины $$z_i$$:
$$f (t)=\lambda \cdot e^{-\lambda \cdot t}$$ (для $$t>0$$)
Закон распределения случайной величины с такой плотностью
вероятности называется показательным (отрицательным экспоненциальным),
Марковским. Таким образом, простейший поток вызовов можно однозначно
задать либо:
$$P_K(t)=\frac{(\lambda \cdot t)^K}{K!}\cdot e^{-\lambda \cdot t}$$, $$K=0,1, 2... , t>0$$
либо:
$$F_1(t)=P(z_i<t)=1- e^{-\lambda \cdot t}$$
$$f(t)= \lim_{ \Delta t \to 0} =\frac{F(t+\Delta t)-F(t)}{\Delta t}$$
Вероятность того, что $$z_i$$ будет заключена между $$z$$ и $$z+dz$$ равна
$$f (z)\cdot dz$$
Математическое ожидание промежутка времени $$z_i$$ между двумя
Поступлениями партий товаров:
(рис 1.9) Плотность распределения случайной величины zi
$$M(t)= \intop_{0}^{ \infty } t\cdot f(t)\cdot dt = \lambda \cdot \intop_{0}^{ \infty }te^{- \lambda \cdot t}dt$$
Точнее:
$$\frac{\intop_{0}^{ \infty } t\cdot f(t)\cdot dt }{\intop_{0}^{ \infty } f(t)\cdot dt }=\frac{\intop_{0}^{ \infty } t\cdot f(t)\cdot dt }{1}=\intop_{0}^{ \infty } t\cdot f(t)\cdot dt$$
$$z=M(z)=\frac{1}{\lambda}$$
Отсюда $$\lambda=\frac{1}{z}$$
Предыдущий интеграл берётся по частям:
$$\intop_{0}^{ \infty } t\cdot f(t)\cdot dt=\intop_{0}^{ \infty }u \cdot dv =[u\cdot v] |_0^\infty \intop_{0}^{ \infty }v \cdot du $$
Обозначим:
$$\left. \begin{array}{ccc} t=u \\ e^{- \lambda \cdot t} \cdot dt = dv\\ \end{array} \right\} \rightarrow \begin{array}{ccc} dt=du \\ v=-\frac{1}{\lambda} \cdot e^{-\lambda t}\\ \end{array}$$
С учётом предыдущих обозначений, возьмём интеграл по частям:
$$\intop_{0}^{ \infty } t \cdot f(t) \cdot dt=[-t\cdot \frac{1}{ \lambda } \cdot e^{- \lambda \cdot t}]|^{\infty}_0 - \intop_{0}^{ \infty }\frac{1}{ \lambda } \cdot e^{- \lambda \cdot t}=[-t \cdot \frac{1}{ \lambda }\cdot e^{-\lambda \cdot t}]|^{\infty}_0 + [-\frac{1}{ \lambda }\cdot e^{-\lambda \cdot t}]$$
$$-t\cdot \frac{1}{ \lambda }[\cdot e]^{ \uparrow }(- \lambda \cdot t])]|_{ \downarrow }0^{ \uparrow _{ \infty }}$$ - данное выражение содержит неопределённость $$\frac{ \infty }{ \infty }$$ , которая раскрывается по правилу Лопиталя (берётся производная от числителя и знаменателя).
Показательный закон обладает следующим замечательным свойством:
если промежуток времени, распределённый по показательному закону, уже длился некоторое время, то это не влияет на закон распределения оставшейся
части промежутка: он будет также показательным.
Следует отметить, что только показательный закон обладает этим
свойством. Это свойство представляет собой, фактически, другую формулировку для "отсутствия последействия", которое является основным
свойством простейшего потока.
Заканчивая рассмотрение свойств простейшего потока вызовов, следует
отметить, что потоки вызовов, которые создают заявки на товары в реальных условиях подчиняются свойствам простейшего потока только при условии, если эти потоки создаются бесконечно большим количеством источников нагрузки.
Однако достаточно точные результаты получаются при условии, если число источников нагрузки $$N$$ на 2-3 порядка больше удельной интенсивности потока: $$C=\frac{\lambda}{N}$$
Длительность потребления поступившей партии товаров может быть постоянной, либо случайной.
Последовательность моментов окончания потребления товара образует
поток освобождений потребителя (группы потребителей). Свойства потока освобождений в общем случае зависят от свойств поступающего потока заявок на товар, функционирования рынка и закона распределения длительности потребления.
При постоянной длительности потребления и обслуживании всех заявок на товары без потерь свойства потока освобождений совпадают со свойствами потока поступления товаров. Происходит только сдвиг по времени на величину h между моментом поступления заявки на товар и моментом окончания его потребления.
При случайной длительности потребления, например, при потреблении участниками рынка, длительность потребления группы зависит от продолжительности потребления каждым участником группы. Наиболее простым и самым распространённым законом распределения длительности потребления является показательный.
$$F_2 (t)=P(t_ в <t)=1-e^{-\beta \cdot t}$$
$$F_2 (t)$$ - вероятность освобождения одного группы потребителей за время $$t$$,
где =- математическое ожидание длительности обслуживания
одной партии товаров,
$$\beta=\frac{1}{t_{пост.}}$$ - параметр показательного закона.
Вероятность $$F_2 (t)$$ можно рассматривать как вероятность
освобождения одного потребителя за время $$t$$ .
Продолжительность потребления группы потребителей рынка достаточно хорошо описывается показательным распределением.
Найдём параметр потока освобождений при показательном законе
длительности потребления. Пусть в момент $$t_0$$ занято $$К$$ групп потребителей из $$v$$.
По определению параметра:
$$v_{осв} = \lim_{ \Delta t\to 0} \farc{P_{i \geq 1}(K, \Delta t)}{\Delta t}$$
Здесь $$P\geq 1$$ $$(K , \Delta t)$$ есть вероятность освобождения за $$\Delta t$$ хотя бы одной группы потребителей в предположении, что в момент $$t_0$$ их было занято $$К$$.
Эта вероятность равна $$P_{i\geq 1} (K , \Delta t)=1-P_{i=0} (K , \Delta t)$$
Найдём $$P_{i=0}$$ $$(K , \Delta t)$$ - вероятность того, что за $$\Delta t$$ не освободится ни одного из $$К$$ занятых устройств.
Вероятность не освобождения одного устройства за $$\Delta t$$:
$$1-F_2 (t)=P_{i=0} (1, \Delta t)=e^{-\beta \cdot \Delta t }$$
Вероятность того, что не освободится и первое, и второе, … и $$К$$-е:
$$P i=0 (K , \Delta t)=e -\beta \cdot \Delta t \cdot e -\beta \cdot \Delta t \cdot...=e -K\cdot \beta \cdot \Delta t$$
Вероятность того, что за $$\Delta t$$ освободится хотя бы одно устройство при условии, что в момент времени $$t_0$$ их было занято $$K$$-ое :$$P_{i\geq 1} (K , \Delta t t)=1-P_{i=0} (K , \Delta t)=1-e^{K \beta \Delta t }$$
Вспомним ряд Маклорена:
$$e^x=\frac{x_0}{0!}+\frac{x_1}{1!}+\frac{x_2}{2!}+…$$ (принято, что $$0!=1$$)
$$e^x = x_{00}!+x_{11}!+x_{22}!+... 0!=1$$
$$e^{ -K\cdot \beta \cdot \Delta t} =1-K\cdot \beta cdot \Delta t +0(\Delta t)$$, так как $$(\Delta t) ^2$$ есть бесконечно малая величина;
$$P_{ i\geq 1} (K , \Delta t)=1-e^{ -K \cdot \beta \cdot \Delta t} =K\cdot \beta \cdot \Delta t +0(\Delta t)$$
Подставим это выражение в формулу для $$v_{осв}$$ :
$$v_{осв} =\lim_{ \Delta t\to 0} (K\cdot \beta +\frac{0( \Delta t)}{ \Delta t} \Delta t)=K\cdot \beta$$
Таким образом, параметр потока освобождений зависит от числа занятых
соединительных устройств и поток освобождений не является простейшим.
$$v_{осв} =K\cdot \beta$$
где $$K$$ - число занятых устройств в момент $$t_0$$ ,
$$\beta =\frac{1}{\overline t_{потреб.}}$$
$$\frac{1}{\overline t_{потреб.}}$$ - параметр показательного закона,
$$\overline t_{потреб.}$$ - математическое ожидание длительности потребления.
Примитивный поток включает в себя энгсетовский поток
и поток с повторными вызовами.
Стационарный ординарный поток, параметр которого $$\lambda_s (t)$$ зависит от состояния рынка $$s$$ в рассматриваемый момент времени $$t$$ называет потоком с простым последействием.
Например, поток от ограниченного числа источников $$N$$:
$$\lambda_i =\alpha \cdot (N-i)$$
где: $$\alpha$$ - параметр одного источника в свободном состоянии, $$i$$ - число приобретенных товаров в момент $$t$$.
Простейший поток - это стационарный, ординарный поток без последействия. На практике наблюдается много случаев, когда некоторые из этих свойств не выполняются.
Потоком с простым последействием называют случайный ординарный
поток вызовов, параметр которого $$\lambda_s (t)$$ зависит от состояния рынка $$s(t)$$ в рассматриваемый момент $$t$$.
Например, поток товаров от ограниченного числа источников является потоком с простым последействием, так как вероятность поступления новых товаров зависит от числа уже установленных соединений. Эта вероятность прямо пропорциональна величине $$N -i$$ , где $$N$$ - число источников, $$i$$ - число установленных в данный момент соединений.
Параметр такого потока:
$$\lambda i =\alpha \cdot(N-i)$$
где $$\alpha$$ - параметр источника в свободном состоянии.
Этот поток в литературе называют примитивным потоком или Энгсетовским. Этот поток является одним из примеров потоков с простым последействием.
Если число потребителей недостаточно, то появляются повторные поставки непроданных товаров. Поток с повторными поставками является потоком с простым последействием.
Поток товаров называется потоком с ограниченным последействием, если случайные величины
моментов поступления товаров $$z_1 ,z_2 ,...$$ взаимно независимы и распределены по любому закону. Для задания такого потока достаточно задать набор функций
распределения случайных величин $$z_i$$:
$$F_i (t)=P(z_i < t), i\geq1$$
(для сравнения можно отметить, что для простейшего потока все промежутки между вызовами распределены по одному и тому же экспоненциальному закону
$$F_1 (t)=F_2 (t)=...=F(t)=1-e^{-\lambda \cdot t} )$$
В потоках с ограниченным последействием последействие воздействует
только в течение одного промежутка между вызовами. Для простейшего потока отсутствует последействие в течение одного промежутка времени между вызовами. При экспоненциальном законе распределения оставшаяся часть промежутка $$z_i -\tau$$ распределена по тому же закону, что и весь промежуток $$z_i$$.
Одним из классов потоков с ограниченным последействием является
рекуррентный поток - это поток с ограниченным последействием, для которого все промежутки времени между вызовами, кроме первого, распределены по одному и тому же закону:
$$F_2 (t)=F_3 (t)=...=F(t)$$
Рекуррентный поток определяется функциями:
$$F_1 (t) =P(z_1 < t)$$
$$F(t)=P(z, K < t), K\geq 2$$
Частным классом рекуррентных потоков является поток Пальма - это стационарный, ординарный, рекуррентный поток. Поток Пальма является в то же время обобщением простейшего потока, для которого требование отсутствия последействия заменяется более широким требованием ограниченности последействия.
Название этого курса неслучайное. Вначале автор поставил цель расмотреть применение раздела теории вероятностей - теории массового обслуживания к решению одного из основных вопросов экономики математическому описанию функционирования рынка.
Применение теории массового обслуживания в экономике известно. Оно в основном касается таких областей, как расчет рабочих мест, например, касс или число ремонтных бригад.
Теория массового обслуживания применяется, в частности, в розничной торговле при анализе количества обслуживаемых покупателей и продолжительности их обслуживания (при условии высокого качества их обслуживания). На эти показатели оказывают влияние различные факторы (cлучайные величины). Они взаимодействуют между собой в условиях процесса обслуживания покупателей, носящего случайный характер.
Работ по применению аналогичных результатов непосредственно для расчета экономических процессов, например, исследованию спроса и предложения автор не встречал.
Подробное рассмотрение вопросов применения методов теории массового обслуживания для исследования экономичесих процессов (например, потоков поставки и приобретения товаров) показало, что наиболее перспективным является направление рассмотрения рынка, как системы обслуживающей случайные потоки.
Это позволяет математически определить основные экономические понятия - спрос, предложение, товар, склонность к потреблению и др. Математически описать связь между этими понятиями. И что самое главное получать на основании заданных исходных данных числовые результаты. Например, вероятности продажи заданной партии товаров, находить моменты перепроизводства (вероятные точки начал кризиса) и другие важные данные.
Такой подход позволяет получить очень интересные результаты.
Вначале перечислим эти результаты:
Такой подход позволяет:
Сразу хотелось бы предупредить, что математика не дает экономических прогнозов. Один из великих инвесторов 21-22 века Уоррен Баффет, говорил: "Я не делаю прогнозы, я даю оценки. Оценка не то, что прогноз". ([17], стр.21, стр.23).
Поясним - это высказывание.
Предположим вам надо проехать на автомобиле из Петербурга в Москву. И вы обратились к математику.
Он нашел соответствующую формулу и сказал, что если вы будете двигаться непрерывно и равномерно без ускорений со скоростью 60 км/час, то расстояние от Петербурга до Москвы - 600 км вы преодолеете за 10 часов.
Что дальше? Это прогноз? Нет - это оценка. Дальнейшее зависит от Вас. Вы можете поехать (равномерно, без остановок), можете полететь на самолёте (опять математика Вам позволит оценить время) или вовсе отказаться от поездки. У вас еще масса вариантов.
Вывод отсюда парадоксальный, что экономика - это политика. А математика может только сказать, что будет при принятых Вами решениях.
Можно также сказать, что экономика - это психология. Например, известен "очевидный" экономический закон, который широко используется для анализа экономических процессов.
" При увеличении цены на товар спрос падает".
Однако существует широко известный эффект - ажиотажного спроса. Известно, что при повышении цен на предметы первой необходимости появляется ажиотажный спрос. Люди закупают продукты "про запас". Как выражаются экономисты, ресурсы перемещаются из зоны потребления в зону накопления.
Известно, что когда растет цена валюты - это повышает спрос на сопрягающиеся валюты .
Однако математика позволяет определить граничные значения при заданных параметрах (как в нашем примере при заданной скорости и выполнении указанных условий быстрее не доедешь).
Так что результаты, приведенные в курсе надо рассматривать как некий инструмент, позволяющий специалисту по экономике проводить анализ экономических процессов в определённых исследователем обстоятельствах.
В то же время математические доказательства теории обслуживания случайных потоков показывают, что некоторые постулаты классической теории применимы не к общему случаю, а только к особым случаям.
Например, роль цены меняется в зависимости от соотношения спроса и предложения. Математика позволяет понять, что снижение цены приводит к повышению спроса только в том, случае, когда:
Но очень много случаев, когда при снижении цены этого увеличения в необходимом размере не происходит (например, при продаже нефти), это введет к кризису перепроизводства.
Анализ случайных потоков покупок и продаж позволяет понять суть и время периодов кризисных циклов (из которых наиболее известны Кондратьевские циклы [19]).
Одна из серьёзных проблем при анализе экономических процессов (отмеченная еще Кейнсом [15]) - это термин "товар".
Под этим понимается всё, что продаётся на рынке от хлеба до брильянтов. Товары обладают разными характеристиками, что затрудняет унифицированный анализ спроса и предложения.
В курсе введен параметр - относительное потребление. Просто говоря это определение, сводит товар к численной характеристике "Сколько единиц товара потребитель хочет приобрести и сколько может". Введение этой характеристики позоляет, не углубляясь в потребительские особенности товара, использовать математичекие методы для анализа процессов продажи и покупки товаров.
Представление рынка, как системы обслуживания случайных потоков позволяет провести новую классификацию экономических систем и отметить многие общие моменты между участниками каждой группы.
В заключение надо сказать, что в курсе за основу изложения приняты результаты, полученные моим учителем Борисом Самойловичем Лившицем [4] и недавно скончавшимся его лучшим учеником Яковом Владимировичем Фидлиным. [5]
Их книга Лившиц Б. С., Фидлин Я. В., Харкевич А. Д. Теория телеграфных и телефонных сообщений. М.: Связь, 1971. до сих пор образец по содержанию и строгости и четкости математических доказательств.
Очень большие трудности вызывал у автора вопрос как подробно приводить математические доказательства. Как показал опыт - математические аспекты теории обслуживания случайных потоков известны далеко не всем. Поэтому в курс включены сведения, позволяющие читателю получить необходимые сведения, не тратя массу времени на обращения к первоисточникам. Для корректности в курсе есть много ссылок к первоисточникам.
Для тех, кто активно заинтересуется вопросам применения теории обслуживания случайных потоков, в приложении приведены отдельно книги по теории массового облуживания на русском и английском языке.
Список литературы составлен по разделам:
Кроме этого, для изучения теории массового облуживания можно использовать один из следующих источников [6-12] и [24].
При чтении курса следует обратить внимание на задачи и их решение. Это облегчает понимание того, как теоретические результаты применяются на практике
Все вопросы и замечания можно сообщать прямо автору по e-mail адресу alexandr-berlin@yandex,ru.
$$A$$ - относительное (удельное) потребление. Предложенная нагрузка
$$a$$ - интенсивность нагрузки, поступающей от одного источника
$$C$$ - число поступивших заявок
$$-t$$ обслуженных заявок
$$C_{потер.}- $$ потерянных заявок
$$\overline{C}_{задер.}$$ - средняя длина очереди или среднее число задержанных партий товаров
$$\overline{c}_{ин_{д}}$$ - среднее число заявок от одного потребителя в единицу времени
от одной группы индивидуальных потребителей
$$\overline{c}_{пос_{р}}$$ - cреднее число заявок от одного потребителя в единицу времени
от - посредников (например, агентства по покупке и продаже квартир)
$$E_{i,\nu}(A)=E_i(A)$$ - вероятность того, что в произвольный момент
времени стационарного режима в полнодоступной группе ёмкостью v
потребителей, на которую поступает интенсивность партий товаров $$Y$$ , создаваемая простейшим потоком товаров, занято i потребителей
$$ E_{1,\nu}(A).$$ - табличные числовые значения для первой формулы Эрланга $$E_{2,\nu}(A)=E_i(A).$$- табличные числовые значения для второй формулы Эрланга
$$p( \gamma >0)$$ - вероятность того, что время ожидания больше нуля - то есть вероятность очереди
$$p_{задер.}(\gamma >t)$$ - вероятность ожидания задержанного товара
свыше времени t
$$p(R>r)$$ - вероятность того, что длина очереди превышает заданную величину r
$$P_{макс}$$ - максимальное потребление
$$P_{реал.}$$ - реальное потребление.
$$P_{заяв.}$$ - потери по числу поступивших заявок на поставку товара
$$P_{тов.}$$ - потери по объему товара
$$P_{t}$$ - потери по времени реализации
$$t$$ - cредняя длительность потребления .
$$\overline{r}$$ - средняя длина очереди
$$Y$$ - величина (объем) поступившего товара
$$\tau$$ - величина обслуженного товара
$$Y_{потер._{-\tau}}$$ - потерянного товара
$$Y_{обсл.}(t_1,t_2)=\sum\limits_{i=1}^{\nu}{\tau_i}$$ - обслуженное предложение.
$$y_{0_b}(t_1,t_2)$$ - обслуженный рынком спрос за промежуток времени $$(t_1, t2)$$ $$Y_{пост.}(t_1,t_2)$$ - поступающее предложение товаров за промежуток времени $$(t_1, t2)$$
$$Y_{пост.}(t_1,t_2)$$ - поступающий на рынок спрос за промежуток времени $$(t_1, t2)$$
$$Y_{потер.}(t_1,t_2)$$- потерянный рынком спрос в течение промежутка времени $$(t_1, t2)$$
$$y_{ВНС}$$ - величина нагрузки за ВНС;
$$y_{набл.}$$ - величина нагрузки за время наблюдения
$$\alpha$$ - параметр примитивного потока группы партий в свободном состоянии (формула Энгсета).
$$\beta$$ - параметр показательного закона распределения длительности потребления.
$$\eta$$ - пропускная способность групп потребителей
$$\gamma$$ - текущее время ожидания
$$\overline\gamma$$ - среднее время ожидания по отношению ко всем поступившим вызовам
$$\overline\gamma_з$$ - среднее время ожидания по отношению только к задержанным вызовам
$$\lambda_{s(t)}$$ - параметр симметричного потока.
$$\omega_0(z)$$ - вероятность отсутствия товаров на промежутке времени длиной $$z$$ (Поток Пальма).
Для математической оценки процессов, происходящих в экономике необходимо создать модель, которая позволила бы отразить их в математическом виде и обеспечить количественный расчет, анализ и оценку возможного поведения системы Предлагаемая модель показана на рис. 1.1.
(рис 1.1) Математическая модель рынка
Рынок содержит подсистемы, выполняющие следующие задачи.
Система производства - порождает случайный поток товаров (в общем случае отличающихся друг от друга). Под товаром понимается, любое изделие или услуга, предлагаемая для продажи, в которой имеется потребность, (в дальнейшем будет показано, как определить потребность в числовом виде). Это могут быть предметы питания, например, молоко и другие продукты питания, автомобили, дома, услуги по уборке дома, акции, строительные фирмы, предлагающие услуги по строительству домов и т.д.
Поток поступает в систему распределения.
Система распределения, может обслужить заказ немедленно или с какой-то задержкой. Задержка может быть двух типов:
Возможны два типа систем распределения.
Первые из них ставят задачу максимально быстро реализовать товар без всяких дополнительных условий. В теории массового обслуживания такая система распределения заявок на обслуживание называется полнодоступной, поскольку обеспечивает равный доступ к системе потребления и при расчётах поведения рынка - может не учитываться.
Системы второго типа распределяют товары, учитывая заданные приоритеты и ограничения для отдельных потребителей или систем потребления. Например, продажа табака, алкоголя, оружия … Системы этого типа называются неполнодоступными.
Если заказ принят, то система распределения пытается отдать его потребителям в систему потребления.
Система потребления обслуживает поток товаров. Это заключатся в том, что индивидуальные потребители или группы потребителей могут купить предложенные товар или отказаться от покупки.
Поступающий товар приобретается любой свободной группой потребителей. Занятой будем называть группу потребителей, которая за наблюдаемый период времени приобрела максимально возможную (или доступную) величину товаров и выбыла на некоторое время из потребления.
Если все группы потребителей заняты, то система потребления отказывается от приобретения товара, т.е. возникают потери.
При этом неприобретённый товар можно далее не предлагать, например, ликвидировать или система распределения может поставить его в очередь на ожидание реализации (накопление и сохранение непроданных товаров). В этом случае очень важно знать время ожидания. Оно может превысить разумное время (заданное время ожидания). В этом случае говорят об условных потерях. Поскольку товар доступен к продаже и через заданное время снимается с ожидания в соответствии с оговоренными условиями.
Если доля отказов от поступивших товаров превосходит определенную норму, то это свидетельствует о перепроизводстве, и требует мер по устранению таких потерь.
Заметим, что даже такая простая общая модель рынка имеет свои варианты.
Например, в данном случае мы рассматриваем, рынок, при котором производство и поставка товара (предложение) играет в системе роль входящего потока, а потери означают долю не проданного товара.
Практика показывает, что рынок может строиться, по принципу поступления на вход потока заявок на товары (плановая система), а потери заключатся в доле неудовлетворённых заявок спроса из-за отсутствия товаров.
Каждая из таких моделей имеет свои преимущества и недостатки, которые могут быть исследованы, но такие вопросы в курсе не рассмотрены. Рассматривается только система, где на рынок поступает предложение (поставка товаров), а спрос (потребители) его обслуживает.
Из рис.1.1 следует, что важным аспектом математической модели являются входные потоки. В соответствии с теорией обслуживания случайных потоков каждый входной поток может быть представлен математической моделью. Для определения типов случайных потоков далее используются определения из книг Лифшица и Стрельникова [4] , [8], [9],[24]. Понятия и методы теории массового обслуживания адаптируются к используемой модели рынка обслуживающей потоки товаров.
Потоком событий (в нашем случае товаров) называется последовательность предложений товаров поступающих через какие-либо интервалы или в какие-либо моменты времени.
Детерминированный поток событий - последовательность , в которой события поступают в определенные, строго фиксированные неслучайные моменты или через определенные, строго фиксированные, неслучайные промежутки времени. Например, продажа изделий с конвейера.
Случайный поток событий отличается от детерминированного тем и только тем, что моменты поставок товаров и промежутки времени между поставками являются не строго фиксированными, а случайными величинами. Детерминированные потоки являются частным случаем случайных потоков и на практике встречаются редко. Строго говоря, даже в таких потоках часто имеют место случайности. В связи с этим в теории массового облуживания потоков основное внимание уделяется рассмотрению случайных потоков вызовов.
Поток событий может быть определен одним или несколькими из трех эквивалентных способов:
последовательностью моментов наступления события $$t_1,t_2,...,t_n$$,
Например, вероятность поступления конкретного товара $$A$$ в момент $$t_1$$.
Это может быть вероятность того, что мобильные телефоны будут поставляться в магазин каждую пятницу.
В лотерее, это, например, вероятность выпадения цифры 6 в тиражах с номерами 5,7,15. При исследовании их можно обозначить как моменты $$t_5,t_7,t_{15}$$.
Последовательностью промежутков времени между событиями моментами $$z_1,z_2,…,z_n$$
Например, вероятность, что мобильные телефоны будут поставляться в магазин через каждые 7 дней.
В лотерее, это, вероятность выпадения цифры 6 через каждые 5 тиражей.
Последовательностью чисел $$k_1,k_2,…,k_n$$, определяющих количество событий, поступающих в течение заданных отрезков времени $$[t_0,t_1), [t_0,t_2),...,[t_0,t_n)$$.
Например, вероятность, что в течение 15 месяцев (отсчитываемых от исходного момента $$(t_0-t_{15})$$ свежая рыба поступит на продажу 5,6,.. 10 раз.
Для того, чтобы получить математическое описание потоков проведем их классификацию.
Потоки товаров бывают неоднородные и однородные.
Например, на продажу может быть одновременно поставлены автомобили, запасные части, средства для подкраски сколов, шины и т.д. Это неоднородный поток.
В неоднородном потоке товаров каждый товар имеет свои характеристики.
Однородный поток товаров характеризуется последовательностью, определяющей закономерность поступления товара только одного типа, т. е. последовательностью моментов поступления или промежутков времени между поставками, либо иным способом задания потока поставок.
Несмотря на то, что на практике потоки товаров, как правило, являются неоднородными. В дальнейшем под потоком товаров будем понимать однородный поток событий.
Поток неоднородных товаров можно свести к однородному потоку путем объединения нескольких групп различных товаров в один товар (например, запасные части для автомобилей).
В дальнейшем мы также ограничимся рассмотрением финитных потоков товаров, в которых на любом конечном отрезке времени поступает конечное число товаров, и математическое ожидание числа поступающих товаров также является конечной величиной.
Потоки товаров классифицируются с точки зрения стационарности, ординарности и последействия.
Стационарность - свойства потока, когда вероятность поставки того или иного числа товаров в течение наблюдаемого участка времени, зависит только от длины этого участка
Поставки (потоки) товаров в системе производства могут резко колебаться в зависимости от сезона, времени суток: количество поставляемых товаров в определенные дневные и вечерние часы может достигать максимальной величины, а в ночные часы может уменьшиться почти до нуля. Это значит, что вероятность поступления какого-либо числа товаров в определенный промежуток времени зависит от местонахождения на оси времени этого промежутка и, следовательно, поток товаров, поступающих в течение суток от любой группы производителей в сеть распределения, является нестационарным.
При изучении математической модели рынка в большинстве случаев в курсе рассматривается стационарный поток товаров.
При таком типе потока вероятность не зависит от того, где на оси времени расположен промежуток времени $$[t_0, t_1)$$, вероятность поступления $$K[t_0,t_i)$$ событий одна и та же.
Точнее это значит, что для стационарного потока вероятность поступления некоторого числа событий за какой-то промежуток времени зависит от длины этого промежутка и не зависит от его начала. В противном случае поток является нестационарным.
Заметим, что внутри ограниченного отрезка времени, например часа, не стационарность потока событий мало ощутима, что позволяет для многих практических задач полагать стационарным поток товаров, поступающих от большой группы производителей (100 и более) за небольшой отрезок времени.
Ординарность - потока выражает практическую невозможность одновременного поступления двух и более товаров в любой момент времени $$t$$.
Примером сведения рассмотрения неординарных потоков к типу ординарного является рассмотрение периодических поставок автомобилей со случайным периодом, которые могут быть неординарными.
Но если их рассматривать поставки в виде партий, то они могут рассматриваться как ординарные.
Отсутствие последействия - свойства потока, когда вероятность не зависит от момента и типа совершения предыдущих событий.
Иными словами, отсутствие последействия потока означает независимость поступления случайного потока товаров после какого-либо момента времени от его течения до этого момента.
Примером потока без последействия может служить поток поступления на рынок партий мобильных телефонов. Действительно, вероятность поступления какого-либо числа мобильных телефонов на рынок при налаженном массовом выпуске на любом отрезке времени практически не зависит от процесса поступления этих партий до начала данного отрезка.
Поток событий является потоком с последействием, если вероятность поступления того или иного числа событий за некоторый промежуток времени зависит от процесса поступления вызовов до начала этого промежутка. Например, фирма следит за количеством поставленных мобильных телефонов, и преднамеренно уменьшает выпуск, чтобы не было избыточного предложения.
Для исследования процесс функционирования рынка нужно рассмотреть многие числовые характеристики. Будем рассматривать их постепенно. В начале определим характеристики, связанные с частотой поступления товара на рынок без исследования какой товар, какие его потребительские свойства и т.п.
К основным характеристикам потока товаров следует отнести ведущую функцию потока, его параметр и интенсивность.
Ведущая функция потока товаров - $$\Lambda (t)$$ определяется как математическое ожидание поступления числа партий товаров на отрезке времени от 0 до $$t$$.
Следует подчеркнуть важность в этом определении слова число партий.
Более просто, она показывает, сколько в среднем партий товаров может поступить за рассматриваемый период (неделя, месяц, год...). Их может быть 5 партий, 100 партий и т.п. Если поток неординарный, то они могут поступить в один момент или нескольких моментах.
Пусть - $$\Lambda (t)$$ математическое ожидание числа партий, поступающих в интервал $$[0,t ) $$. Функцию $$\Lambda (t)$$ называют ведущей функцией потока.
$$\Lambda (t) = \frac {\sum\limits_i^nk_i(t)}{n}$$
$$n$$ - число наблюдений,
$$k_i(t)$$ - число партий товаров, поступивших за интервал времени [0,t )
в $$i$$-й период наблюдений (неделя, месяц, год….).
По определению мгновенной интенсивностью потока называют предел:
$$\mu (t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Lambda (t+\Delta t)- \Lambda (t)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Lambda (\Delta t)}{\Delta t}$$
Для стационарного потока мгновенная интенсивность постоянна в любой момент времени на заданном интервале. Для стационарного потока
интенсивность $$\mu$$ есть математическое ожидание числа вызовов поступающих в единицу времени.
$$\mu = \frac{\Lambda(t)}{t}$$
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Распределение вероятности имеет вид:
$$P_{k\geq 1}=a_0+a_1t$$
Тогда параметр потока постоянная величина $$\lambda (t)=a_1$$.
Например, вероятность поступления партий купальных костюмов в начале сезона увеличиваются по линейному закону в 2 раза каждую неделю.
Пример 2. Распределение вероятности имеет вид:
$$P_{k\geq 1}=1-e^{-at}$$
В этом примере, вероятность поступления партий купальных костюмов в конце сезона уменьшается экспоненциально каждую неделю.
Тогда параметр потока определяется из выражения $$\lambda (t)=a{e^{at}}$$
Параметр стационарного потока является постоянным, не зависящим от времени $$\lambda (t)=\lambda >0$$. Для любого стационарного потока всегда имеет место неравенство $$\mu \geq \lambda$$. Если поток ещё и ординарный, то $$\mu = \lambda$$.
Параметром потока товаров $$\lambda (t)$$ в момент $$t$$ называют предел отношения вероятности поступления хотя бы одной партии товаров на интервале $$[t , t+\Delta t )$$ к длительности этого интервала $$\Delta t$$ при $$\Delta t \rightarrow 0$$
$$\lambda (t)=\lim_{\Delta t\to 0} \frac {P_{K \geq 1} (t, t + \Delta t)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t\to 0} \frac {P_{K \geq 1}(\Delta t)}{\Delta t}$$
$$ \lambda (t)=\frac{d[P_{K \geq 1}(t)]}{dt} $$
Другими словами, параметр потока есть производная вероятности
поступления партий товаров в момент $$t$$ - плотность функции распределения.
Она указывает число моментов поступления.
В отличие от ведущей функции потока $$\Lambda (0,t)$$, определяющей математическое ожидание числа вызовов, поступающих в промежутке времени $$(0, t)$$, параметр потока $$\lambda (0,t)$$ характеризует не поток вызовов, а поток моментов поступления партий товаров, и эта характеристика относится не ко всему отрезку $$(0, t)$$, а лишь к фиксированному моменту $$t$$.
Для любых потоков вызовов $$\mu (t) \geq \lambda (t)$$, причем для ординарных потоков $$\mu (t) = \lambda (t)$$.
Для стационарных потоков интенсивность и параметр, постоянные величины: $$\mu (t) =\mu$$, $$\lambda (t)=\lambda$$ (поскольку в каждый момент $$t$$ поступает только одна партия товаров). Для любых стационарных потоков $$\mu \geq \lambda $$, а для стационарных ординарных $$\mu = \lambda $$.
Классификацию потоков удобно осуществлять, принимая за основной признак последействие потока. С точки зрения последействия различают три класса потоков: без последействия, с простым последействием и с ограниченным последействием.
Начнем рассмотрение этих классов с потоков без последействия.
Простейшим потоком товаров называется стационарный, ординарный поток без последействия. Простейший поток товаров полностью определяется и задаётся вероятностью поступления точно $$К$$ партий товаров за время $$[0,t )$$.
Рассмотрим первый способ задания потока 1 последовательностью моментов наступления события, $$t_1, t_2,...,t_n$$ ( раздел 1.2.1)
Обозначим эту вероятность $$P_k (t)$$ при $$К=0,1, 2,3,...,$$ и $$t>0$$ .
Найдём выражение для $$P_k (t)$$:
(рис 1.2) Поток заявок на товары
На рис. 1.2 изображен поток партий товаров на промежутке времени $$[0,t)$$. Этот промежуток состоит из $$n$$ равных отрезков длиною $$\Delta t=\frac {t}{n}$$
Рассмотрим малый отрезок времени длительностью $$\Delta t$$ и вычислим вероятность того, что в этот промежуток времени поступит хотя бы одна партия товара. По определению, параметром потока мы назвали предел отношения:
$$\lambda=\frac{ \lim_{ \Delta t \to 0} P_{K \geq 1} (t_0, t_0+ \Delta t) }{ \Delta t}=\frac{ \lim_{ \Delta t\to 0}P_{K \geq 1} (\Delta t)}{\Delta t}$$
Следовательно, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, при $$\Delta t \rightarrow 0$$ можно считать вероятность того, что в промежуток времени $$\Delta t$$
поступит хотя бы одна партия товара:
$$P_{K \geq 1} (t_0, t_0+ \Delta t) = \lambda \Delta t= \lambda \cdot \frac{t}{n}$$
а вероятность того, что не поступит ни одной партии товаров
$$P_{K = 0} (t_0, t_0+ \Delta t) = 1-\lambda \Delta t= 1-\lambda \cdot \frac{t}{n}$$
Так как по определению простейший поток - это поток без последействия, то вероятности поступления партий товаров в неперекрывающиеся промежутки времени независимы. Следовательно, $$n$$ промежутков времени можно рассматривать как $$n$$ независимых опытов, в каждом из которых за промежуток времени $$\Delta t$$math> может поступить партия товаров с вероятностью $$\lambda \cdot \frac{t}{n}$$.
Вероятность того, что среди $$n$$ промежутков будет ровно $$К$$, в которые поступают партии товаров, (второй способ задания последовательностью промежутков времени между событиями моментами $$z_1, z_2,...,z_n$$) можно определить по теореме о повторении опытов (по формуле Бернулли) из выражения
$$P_{n,K}=C_n^K(\frac{\lambda \cdot t}{n})^K(1-\frac{\lambda \cdot t}{n})^{n-K}$$
При достаточно большом числе промежутков времени $$n$$ эта вероятность приблизительно равна вероятности поступления точно $$К$$ партий товаров в промежуток времени $$[0,t )$$, так как вероятность поступления двух или более вызовов в промежуток $$\Delta t$$ имеет пренебрежимо малую вероятность (простейший поток ординарный!).
Чтобы найти точное значение $$P_{K(t)}$$, нужно перейти к пределу при $$n \to \infty$$:
$$P_K= \lim_{n\to \infty } C_n^K \frac{(\lambda \cdot t}{n})^K)(1-\frac{\lambda \cdot t}{n})=\frac{( \lambda \cdot t)^K}{K!}e^{- \lambda t}$$
Распределение вероятностей $$P_K(t)$$ называется распределением Пуассона. Чтобы убедиться, что последовательность вероятностей $$P_K(t)$$ представляет собой ряд распределений, необходимо показать, что сумма всех вероятностей $$P_{K(t)}$$ равна единице. Действительно, согласно формуле ряда Тейлора
$$\sum_{K-0}^{z} P_K(t)=\sum_{K-0}^{z} \frac{(x)^K}{K!}=e^x$$
получим:
$$\sum_{K-0}^{z} P_K(t)=\sum_{K-0}^{z} \frac{( \lambda t)^K}{K!}e^{- \lambda t}=\\ e^{- \lambda t}\sum_{K-0}^{z} \frac{( \lambda t)^K}{K!}=e^{- \lambda t}e^{ \lambda t}=1$$Чтобы построить распределение Пуассона, необходимо для всех $$К$$
рассчитать $$P_K(t)$$. Это распределение дискретной случайной величины. Например, при $$\lambda \cdot t=4$$ распределение имеет следующий вид (рис. 1.3):
(рис 1.3) Огибающие распределения
Огибающие распределения Пуассона при различных $$\lambda \cdot t$$ имеют следующий вид (рис. 1.4):
(рис 1.4) Огибающие распределения
Как видно из рисунка, с возрастанием огибающая принимает всё более
симметричный вид. При $$\lambda \cdot t \geq 10$$ имеет место хорошее совпадение между огибающей закона распределения Пуассона и нормальным законом распределения (который является законом распределения непрерывной случайной величины), формула и график которого:
$$f(t)=\frac{1}{ \sigma \cdot \sqrt{x} \sqrt{2 \cdot \pi } }e^{-\frac{(x-a)^2}{2 \sigma }}$$
(рис 1.5) Нормальный закон распределения
Определим математическое ожидание числа партий товаров, поступающих за время $$[0,t )$$:
$$M_k= \Lambda (t)= \sum_{k=0}^{ \infty } KP_K(t)=\sum_{k=0}^{ \infty }K\frac{( \lambda t )^K}{K!}e^{- \lambda t}$$ - выражение начального момента первого порядка.
Первый член суммы при $$К=0$$ равен нулю, следовательно
суммирование можно начинать с $$К=1$$:
$$M_k= \Lambda (t)= \sum_{k=1}^{ \infty }K\frac{( \lambda t )^K}{K!}e^{- \lambda t}= \lambda te^{- \lambda t}\sum_{k=1}^{ \infty }\frac{( \lambda t)^{K-1}}{(K-1)!}$$
Обозначая $$K-1=r$$ , с помощью ряда Маклорена получим:
$$\Lambda (t)= \lambda te^{- \lambda t} \sum_{r=0}^{ \Lambda (t)= \infty } \frac{( \lambda t)^r}{r!}= \lambda te^{- \lambda te^{ \lambda t}} e^{ \lambda t}= \lambda t$$
Но с другой стороны:
$$\Lambda (t) = \mu \cdot t$$ - по определению для стационарного потока.
Следовательно, для простейшего потока интенсивность численно равна
параметру - $$\mu = \lambda$$.
Дисперсию случайной величины, распределённой по закону Пуассона, будем определять из выражения:
$$D_k= \sum_{K=0}^{ \infty } [K-M_K]^2P_K= \alpha_2-M_k^2$$
где $$M_K$$ - математическое ожидание, $$M_K =\Lambda (t)=\lambda \cdot t , \alpha_2$$ - начальный момент второго порядка.
По определению:
$$\alpha_2= \sum_{K=0}^{\infty} K^2 P^K$$
$$\alpha_2= \sum_{K=0}^{\infty}K^2}\frac{(\lambda \cdot t)^K}{K!} e^{- \lambda \cdot t}= \\ \lambda \cdot t \sum_{K=1}^{\infty} K \cdot \frac{(\lambda \cdot t)^{K-1}}{(K-1)!}} \cdot e^{- \lambda \cdot t}= \\ \lambda \cdot t \sum _{K=1}^{\infty}(K-1+1) \cdot \frac {(\lambda \cdot t)^{K-1}}{(K-1)!}}= \\ \lambda \cdot t [ \lambda \cdot t \sum _{K=1}^{\infty} (K-1) \cdot \frac {(\lambda \cdot t)^{K-1}}{(K-1)!}} - \frac {(\lambda \cdot t)^{K-1}}{(K-1)!}}]$$
Уже было доказано, что:
$$\sum_{K=1}^{ \infty } (K-1)\cdot \frac{ (\lambda \cdot t)^{K-1}}{(K-1)!}= \sum_{r=0}^{ \Lambda (t)= \infty } r\cdot \frac{ (\lambda t)^r }{r!}= \lambda t$$
Кроме того:
$$\sum_{K=1}^{ \infty } (K-1)\cdot \frac{ (\lambda \cdot t)^{K-1}}{(K-1)!}\cdot e^{- \lambda \cdot t}=e^{- \lambda \cdot t}\cdot \sum_{r=0}^{ \infty }\frac{( \lambda t)^r}{r!}=e^{- \lambda \cdot t}\cdot e^{ \lambda \cdot t}=1$$
Следовательно:
$$\alpha_2=\lambda \cdot t\cdot [\lambda \cdot t + 1]$$
Дисперсия простейшего потока:
$$D_K=\alpha_2 - M_{K^2}=\lambda \cdot t \cdot (\lambda \cdot t +1)-( \lambda \cdot t)^2=\lambda \cdot t$$
Таким образом, дисперсия простейшего потока вызовов равна
математическому ожиданию:
$$M_K=D_K=\lambda \cdot t$$
Из этого свойства простейшего потока следует важный для практики вывод: относительное колебание простейшего потока вызовов тем меньше,
чем больше его математическое ожидание.
Относительное колебание оценивается коэффициентом вариации отношением:
$$V= \frac{ \sigma _K}{M_K}=\frac{ \sqrt{D_K} }{M_K}= \frac {\sqrt{ \lambda t} }{ \lambda t}=\frac {1}{\sqrt{ \lambda t} }$$
$$\lim_{ \lambda t \to \infty } \frac {\sqrt{ \lambda t} }{ \lambda t}= \lim_{\lambda t \to \infty} \frac {1}{ \sqrt{ \lambda t}} = 0$$
то есть при $$\lambda \cdot t \rightarrow \infty$$ $$V \rightarrow \infty$$;
$$\lim_{\lambda t \to 0 } \frac {\sqrt{ \lambda t} }{ \lambda t}= \lim_{\lambda t \to 0} \frac {1}{\sqrt{ \lambda t}}= \infty$$
то есть при $$\lambda \cdot t \rightarrow 0$$ $$V \rightarrow \infty$$ .
$$\lambda \cdot t$$ - математическое ожидание числа вызовов, поступающих за $$[0, t )$$.
Отсюда эффективность системы массового обслуживания выше, чем больше
интенсивность поступающего на систему потока товаров. Это фундаментальное свойство случайных потоков событий широко используется в системах массового обслуживания: в телекоммуникациях для концентрации потоков вызовов строят телефонные станции большой ёмкости и коммутационные узлы; в торговле - супер- и гипермаркеты; на транспорте крупные аэропорты и вокзалы.
Объединение и разъединение независимых простейших потоков:
Объединение независимых простейших потоков с параметрами
$$\lambda_1 , \lambda _2 , \lambda _3 ,... , \lambda _i ,... ,\lambda_n$$ тоже будет простейшим потоком с параметром $$\lambda = \sum_{i=1}^{n} \lambda _i$$, равным сумме параметров объединяемых потоков.
Рекуррентная формула Пуассона:
$$\left. \begin{array}{ccc} P_K (t) = \frac{ (\lambda \cdot t)^K}{K! \cdot}e^{- \lambda \cdot t} \\ P_K (t) = \frac{ (\lambda \cdot t)^{K-1}}{(K-1)! \cdot}e^{- \lambda \cdot t}\\ \end{array} \right\} \frac{P_K(t)}{P_{K-1}(t)}=\frac{ \lambda \cdot t}{K}, P_K(t)=\frac{P_{K-1}(t) \lambda \cdot t}{K}$$
Обозначим $$t_в$$ - среднюю длительность пребывания в системе одного товара (обычно принимается $$t_в=1$$). Разделим и умножим $$t$$ на $$t_в$$:
$$P_K(\frac{tt_B}{t_B})=\frac{(\frac{ \lambda \cdot \frac{t}{t_B}}{t_B})^K}{K!}\cdot e^{- \lambda \frac{tt_B}{t_B}}$$
Введём $$n=\frac{t}{t_B}$$ и получим:
$$P_K(nt_B)=\frac{(n\cdot Y)^K}{K!}\cdot e^{- \lambda n\cdot Y}$$
где $$Y$$ - интенсивность предложения.
Если $$t=t_в$$ , то
$$P_K(t_B)=\frac{(Y)^K}{K!}\cdot e^Y$$
Учитывая сказанное, для более эффективного обслуживания потоков товаров желательно производить их объединение.
Без доказательства отметим ещё одно интересное свойство простейшего потока: при суммировании большого числа независимы ординарных стационарных потоков с практически любым последействием, получается поток, сколь угодно близкий к простейшему.
Аналогия: при суммировании большого числа независимых случайных величин, подчинённых практически любым законам распределения, получается величина, приближённо распределённая по нормальному закону.
Мы отмечали, что поток вызовов однозначно может быть определён
промежутками между заявками на товар $$z_1 , z_2 , ... , z_i ,...$$ , а задаётся функцией распределения $$Z_i$$ промежутков между поступлениями заявок на товар: $$F1(t)=P(z_i<t)$$
(рис 1.6) Распределения zi промежутков между поступлениями
$$z_1=t_1 , z_2=t_2-t_1 , ... z_i=t_i-t_{i-1}$$
Где $$t_1 , t_2 , ... ,t_i$$ - моменты появления партий товаров.
Вспомним также, что вероятность появления ровно $$К$$ партий товара за время $$[0,t )$$ определяется выражением:
$$P(t)_K=\frac{(\lambda \cdot t)^K}{K!}\cdot e^{-\lambda\cdot t}$$
Отсюда вероятность того, что за промежуток $$[0,t )$$ не поступит ни одна партия товара, то есть $$К=0$$:
$$P_0(t)=e^{-\lambda \cdot t}$$, так как $$0!=1$$ .
По определению под функцией распределения случайной величины zi
понимается вероятность того, то $$z_i<t$$:
$$F_1(t)=P(z_i<t)$$, $$i=1,2 ,...$$
Это есть вероятность появления заявок на товар за время $$t$$ (рис. 1.7) .
(рис 1.7) Отрезок поступления товара zi и общее время отрезка t
Вероятность противоположного события:
$$1-(t)=P( z_i \geq t )$$, $$i=1,2 ,...$$
Это есть вероятность того, что за время $$t$$ не появится ни одной заявки на товар. Так как простейший поток не обладает последействием, то появление в момент $$t_{i-1}$$ заявки на товар не влияет на появление заявки на товар в дальнейшем . Поэтому:
$$P(z_i \geq t)=P_0(t)=e^{-\lambda \cdot t}$$
Отсюда: $$F_1(t)=P( z_i<t )=1-e^{-\lambda \cdot t}$$
Функция распределения промежутков $$z_i$$:
(рис 1.8) Функция распределения промежутков zi
Дифференцируя по $$t$$ , найдём плотность распределения случайной
величины $$z_i$$:
$$f (t)=\lambda \cdot e^{-\lambda \cdot t}$$ (для $$t>0$$)
Закон распределения случайной величины с такой плотностью
вероятности называется показательным (отрицательным экспоненциальным),
Марковским. Таким образом, простейший поток вызовов можно однозначно
задать либо:
$$P_K(t)=\frac{(\lambda \cdot t)^K}{K!}\cdot e^{-\lambda \cdot t}$$, $$K=0,1, 2... , t>0$$
либо:
$$F_1(t)=P(z_i<t)=1- e^{-\lambda \cdot t}$$
$$f(t)= \lim_{ \Delta t \to 0} =\frac{F(t+\Delta t)-F(t)}{\Delta t}$$
Вероятность того, что $$z_i$$ будет заключена между $$z$$ и $$z+dz$$ равна
$$f (z)\cdot dz$$
Математическое ожидание промежутка времени $$z_i$$ между двумя
Поступлениями партий товаров:
(рис 1.9) Плотность распределения случайной величины zi
$$M(t)= \intop_{0}^{ \infty } t\cdot f(t)\cdot dt = \lambda \cdot \intop_{0}^{ \infty }te^{- \lambda \cdot t}dt$$
Точнее:
$$\frac{\intop_{0}^{ \infty } t\cdot f(t)\cdot dt }{\intop_{0}^{ \infty } f(t)\cdot dt }=\frac{\intop_{0}^{ \infty } t\cdot f(t)\cdot dt }{1}=\intop_{0}^{ \infty } t\cdot f(t)\cdot dt$$
$$z=M(z)=\frac{1}{\lambda}$$
Отсюда $$\lambda=\frac{1}{z}$$
Предыдущий интеграл берётся по частям:
$$\intop_{0}^{ \infty } t\cdot f(t)\cdot dt=\intop_{0}^{ \infty }u \cdot dv =[u\cdot v] |_0^\infty \intop_{0}^{ \infty }v \cdot du $$
Обозначим:
$$\left. \begin{array}{ccc} t=u \\ e^{- \lambda \cdot t} \cdot dt = dv\\ \end{array} \right\} \rightarrow \begin{array}{ccc} dt=du \\ v=-\frac{1}{\lambda} \cdot e^{-\lambda t}\\ \end{array}$$
С учётом предыдущих обозначений, возьмём интеграл по частям:
$$\intop_{0}^{ \infty } t \cdot f(t) \cdot dt=[-t\cdot \frac{1}{ \lambda } \cdot e^{- \lambda \cdot t}]|^{\infty}_0 - \intop_{0}^{ \infty }\frac{1}{ \lambda } \cdot e^{- \lambda \cdot t}=[-t \cdot \frac{1}{ \lambda }\cdot e^{-\lambda \cdot t}]|^{\infty}_0 + [-\frac{1}{ \lambda }\cdot e^{-\lambda \cdot t}]$$
$$-t\cdot \frac{1}{ \lambda }[\cdot e]^{ \uparrow }(- \lambda \cdot t])]|_{ \downarrow }0^{ \uparrow _{ \infty }}$$ - данное выражение содержит неопределённость $$\frac{ \infty }{ \infty }$$ , которая раскрывается по правилу Лопиталя (берётся производная от числителя и знаменателя).
Показательный закон обладает следующим замечательным свойством:
если промежуток времени, распределённый по показательному закону, уже длился некоторое время, то это не влияет на закон распределения оставшейся
части промежутка: он будет также показательным.
Следует отметить, что только показательный закон обладает этим
свойством. Это свойство представляет собой, фактически, другую формулировку для "отсутствия последействия", которое является основным
свойством простейшего потока.
Заканчивая рассмотрение свойств простейшего потока вызовов, следует
отметить, что потоки вызовов, которые создают заявки на товары в реальных условиях подчиняются свойствам простейшего потока только при условии, если эти потоки создаются бесконечно большим количеством источников нагрузки.
Однако достаточно точные результаты получаются при условии, если число источников нагрузки $$N$$ на 2-3 порядка больше удельной интенсивности потока: $$C=\frac{\lambda}{N}$$
Длительность потребления поступившей партии товаров может быть постоянной, либо случайной.
Последовательность моментов окончания потребления товара образует
поток освобождений потребителя (группы потребителей). Свойства потока освобождений в общем случае зависят от свойств поступающего потока заявок на товар, функционирования рынка и закона распределения длительности потребления.
При постоянной длительности потребления и обслуживании всех заявок на товары без потерь свойства потока освобождений совпадают со свойствами потока поступления товаров. Происходит только сдвиг по времени на величину h между моментом поступления заявки на товар и моментом окончания его потребления.
При случайной длительности потребления, например, при потреблении участниками рынка, длительность потребления группы зависит от продолжительности потребления каждым участником группы. Наиболее простым и самым распространённым законом распределения длительности потребления является показательный.
$$F_2 (t)=P(t_ в <t)=1-e^{-\beta \cdot t}$$
$$F_2 (t)$$ - вероятность освобождения одного группы потребителей за время $$t$$,
где =- математическое ожидание длительности обслуживания
одной партии товаров,
$$\beta=\frac{1}{t_{пост.}}$$ - параметр показательного закона.
Вероятность $$F_2 (t)$$ можно рассматривать как вероятность
освобождения одного потребителя за время $$t$$ .
Продолжительность потребления группы потребителей рынка достаточно хорошо описывается показательным распределением.
Найдём параметр потока освобождений при показательном законе
длительности потребления. Пусть в момент $$t_0$$ занято $$К$$ групп потребителей из $$v$$.
По определению параметра:
$$v_{осв} = \lim_{ \Delta t\to 0} \farc{P_{i \geq 1}(K, \Delta t)}{\Delta t}$$
Здесь $$P\geq 1$$ $$(K , \Delta t)$$ есть вероятность освобождения за $$\Delta t$$ хотя бы одной группы потребителей в предположении, что в момент $$t_0$$ их было занято $$К$$.
Эта вероятность равна $$P_{i\geq 1} (K , \Delta t)=1-P_{i=0} (K , \Delta t)$$
Найдём $$P_{i=0}$$ $$(K , \Delta t)$$ - вероятность того, что за $$\Delta t$$ не освободится ни одного из $$К$$ занятых устройств.
Вероятность не освобождения одного устройства за $$\Delta t$$:
$$1-F_2 (t)=P_{i=0} (1, \Delta t)=e^{-\beta \cdot \Delta t }$$
Вероятность того, что не освободится и первое, и второе, … и $$К$$-е:
$$P i=0 (K , \Delta t)=e -\beta \cdot \Delta t \cdot e -\beta \cdot \Delta t \cdot...=e -K\cdot \beta \cdot \Delta t$$
Вероятность того, что за $$\Delta t$$ освободится хотя бы одно устройство при условии, что в момент времени $$t_0$$ их было занято $$K$$-ое :$$P_{i\geq 1} (K , \Delta t t)=1-P_{i=0} (K , \Delta t)=1-e^{K \beta \Delta t }$$
Вспомним ряд Маклорена:
$$e^x=\frac{x_0}{0!}+\frac{x_1}{1!}+\frac{x_2}{2!}+…$$ (принято, что $$0!=1$$)
$$e^x = x_{00}!+x_{11}!+x_{22}!+... 0!=1$$
$$e^{ -K\cdot \beta \cdot \Delta t} =1-K\cdot \beta cdot \Delta t +0(\Delta t)$$, так как $$(\Delta t) ^2$$ есть бесконечно малая величина;
$$P_{ i\geq 1} (K , \Delta t)=1-e^{ -K \cdot \beta \cdot \Delta t} =K\cdot \beta \cdot \Delta t +0(\Delta t)$$
Подставим это выражение в формулу для $$v_{осв}$$ :
$$v_{осв} =\lim_{ \Delta t\to 0} (K\cdot \beta +\frac{0( \Delta t)}{ \Delta t} \Delta t)=K\cdot \beta$$
Таким образом, параметр потока освобождений зависит от числа занятых
соединительных устройств и поток освобождений не является простейшим.
$$v_{осв} =K\cdot \beta$$
где $$K$$ - число занятых устройств в момент $$t_0$$ ,
$$\beta =\frac{1}{\overline t_{потреб.}}$$
$$\frac{1}{\overline t_{потреб.}}$$ - параметр показательного закона,
$$\overline t_{потреб.}$$ - математическое ожидание длительности потребления.
Примитивный поток включает в себя энгсетовский поток
и поток с повторными вызовами.
Стационарный ординарный поток, параметр которого $$\lambda_s (t)$$ зависит от состояния рынка $$s$$ в рассматриваемый момент времени $$t$$ называет потоком с простым последействием.
Например, поток от ограниченного числа источников $$N$$:
$$\lambda_i =\alpha \cdot (N-i)$$
где: $$\alpha$$ - параметр одного источника в свободном состоянии, $$i$$ - число приобретенных товаров в момент $$t$$.
Простейший поток - это стационарный, ординарный поток без последействия. На практике наблюдается много случаев, когда некоторые из этих свойств не выполняются.
Потоком с простым последействием называют случайный ординарный
поток вызовов, параметр которого $$\lambda_s (t)$$ зависит от состояния рынка $$s(t)$$ в рассматриваемый момент $$t$$.
Например, поток товаров от ограниченного числа источников является потоком с простым последействием, так как вероятность поступления новых товаров зависит от числа уже установленных соединений. Эта вероятность прямо пропорциональна величине $$N -i$$ , где $$N$$ - число источников, $$i$$ - число установленных в данный момент соединений.
Параметр такого потока:
$$\lambda i =\alpha \cdot(N-i)$$
где $$\alpha$$ - параметр источника в свободном состоянии.
Этот поток в литературе называют примитивным потоком или Энгсетовским. Этот поток является одним из примеров потоков с простым последействием.
Если число потребителей недостаточно, то появляются повторные поставки непроданных товаров. Поток с повторными поставками является потоком с простым последействием.
Поток товаров называется потоком с ограниченным последействием, если случайные величины
моментов поступления товаров $$z_1 ,z_2 ,...$$ взаимно независимы и распределены по любому закону. Для задания такого потока достаточно задать набор функций
распределения случайных величин $$z_i$$:
$$F_i (t)=P(z_i < t), i\geq1$$
(для сравнения можно отметить, что для простейшего потока все промежутки между вызовами распределены по одному и тому же экспоненциальному закону
$$F_1 (t)=F_2 (t)=...=F(t)=1-e^{-\lambda \cdot t} )$$
В потоках с ограниченным последействием последействие воздействует
только в течение одного промежутка между вызовами. Для простейшего потока отсутствует последействие в течение одного промежутка времени между вызовами. При экспоненциальном законе распределения оставшаяся часть промежутка $$z_i -\tau$$ распределена по тому же закону, что и весь промежуток $$z_i$$.
Одним из классов потоков с ограниченным последействием является
рекуррентный поток - это поток с ограниченным последействием, для которого все промежутки времени между вызовами, кроме первого, распределены по одному и тому же закону:
$$F_2 (t)=F_3 (t)=...=F(t)$$
Рекуррентный поток определяется функциями:
$$F_1 (t) =P(z_1 < t)$$
$$F(t)=P(z, K < t), K\geq 2$$
Частным классом рекуррентных потоков является поток Пальма - это стационарный, ординарный, рекуррентный поток. Поток Пальма является в то же время обобщением простейшего потока, для которого требование отсутствия последействия заменяется более широким требованием ограниченности последействия.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.