Построение интервальных оценок параметров вероятностных распределений

Теоретическая часть

При оценивании неизвестных параметров часто используются интервальные оценки, которые позволяют получить вероятностную характеристику точности оценивания неизвестного параметра. Метод интервальных оценок применяется в случае небольшого числа наблюдений, по которым необходимо произвести оценку параметра [6].

Пусть $$\vec X_n$$ — случайная выборка объема $$n$$ из генеральной совокупности $$X$$ с функцией распределения $$F(x;\theta)$$, зависящей от параметра $$\theta$$, значение которого неизвестно. Предположим, что для параметра $$\theta$$ построен интервал $$(\theta_i(\vec X_n),\theta_{\hat a}(\vec X_n))$$, где $$\theta_i(\vec X_n)$$ и $$\theta_{\hat a}(\vec X_n)$$ являются функциями случайной выборки $$\vec X_n$$, такими, что выполняется равенство

В этом случае интервал $$(\theta_i(\vec X_n),\theta_{\hat a}(\vec X_n)), где \theta_i(\vec X_n)$$ называют интервальной оценкой для параметра $$\theta$$ с коэффициентом доверия $$\gamma$$ (или, сокращенно, $$\gamma$$ - доверительной интервальной оценкой ), а $$\theta_i(\vec X_n)$$ и $$\theta_{\hat a}(\vec X_n)$$, соответственно, нижней и верхней границами интервальной оценки [13].

Интервальная оценка $$(\theta_i(\vec X_n),\theta_{\hat a}(\vec X_n)), где \theta_i(\vec X_n)$$ представляет собой интервал со случайными границами, который с заданной вероятностью $$\gamma$$ накрывает неизвестное истинное значение параметра $$\theta$$. Таким образом, для различных реализаций случайной выборки $$\vec X_n$$ статистики $$\theta_i(\vec X_n)$$ и $$\theta_{\hat a}(\vec X_n)$$ могут принимать различные значения. При этом вероятностной характеристикой точности оценивания параметра $$\theta$$ является случайная величина

которая для любой реализации $$\vec x_n$$ случайной выборки $$\vec X_n$$ есть длина интервала $$(\theta_i(\vec X_n),\theta_{\hat a}(\vec X_n))$$, где $$\theta_i(\vec X_n)$$.

Интервал $$(\theta_i(\vec X_n),\theta_{\hat a}(\vec X_n)), где \theta_i(\vec X_n)$$ называют доверительным интервалом для параметра $$\theta$$ с коэффициентом доверия $$\gamma$$ или $$\gamma$$ - доверительным интервалом.

Наряду с термином "коэффициент доверия" широко используют термины " доверительная вероятность " и " уровень доверия ". При этом коэффициент доверия $$\gamma$$ чаще всего выбирают равным 0.9, 0.95 или 0.99, т. е. близким к 1.

Построение интервальных оценок осуществляется на основе какой-либо центральной статистики, т. е. такой статистики $$T(\vec X_n,\theta)$$, функция распределения которой

не зависит от параметра $$\theta$$ [13]. При этом принимаются во внимание следующие предположения:

Согласно предположению (допущению) 1, для любого числа $$q\in (0,1)$$ существует единственный корень $$h_q$$ уравнения $$F_T(t)=q$$, который называют квантилью q функции распределения $$F_T(t)$$ случайной величины $$T(\vec X_n,\theta)$$. Тогда, согласно допущению 2, имеют место равенства

которые справедливы для любых возможных значений параметра $$\theta$$, т. к. $$T(\vec X_n,\theta)$$ — центральная статистика и ее функция распределения $$F_T(t)$$ не зависит от $$\theta$$.

Этапы построения доверительного интервала

соответственно в случае, когда $$T(\vec x_n,\theta)$$ — возрастающая функция параметра $$\theta$$. Если же $$T(\vec x_n,\theta)$$ — убывающая функция параметра $$\theta$$, то границы интервалов получают путем решения уравнений

соответственно.

Практическая часть

1. Интервальная оценка параметра экспоненциального распределения

Определение. Случайная непрерывная величина $$Х$$ имеет экспоненциальный (показательный) закон распределения с параметром $$\lambda$$, если ее плотность вероятности имеет вид

Характеристики экспоненциального распределения

Математическое ожидание:

дисперсия:

Для интервальной оценки параметра экспоненциального распределения вводится центральная статистика вида

где $$\bar x =\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_i$$ – выборочное среднее реализации $$\vec X_n$$.

Статистика (6.5) имеет $$\chi^2$$ распределение с $$2n$$ степенями свободы. По функции распределения находим квантили для уровней $$\alpha$$ и $$\beta$$, таких, что $$\gamma=1-\alpha-\beta$$ где $$\gamma$$ — уровень доверия или доверительная вероятность. Границы доверительного интервала определяются из уравнений (с учетом того, что введенная центральная статистика является возрастающей функцией искомого параметра $$\lambda$$ ):

откуда получаем границы доверительного интервала

Для моделирования процесса оценки границ доверительного интервала сгенерируем массив случайных чисел $$Х$$, распределенных по экспоненциальному закону с помощью функции $$exprnd$$ системы MATLAB с заданным параметром — истинным параметром $$\lambda$$ ( $$L$$ в программе). Для заданного объема $$n$$ выборки случайных чисел рассчитаем среднее выборочное $$m$$. Для вычисления квантилей применим функцию $$chi2inv$$ системы MATLAB с $$2n$$ степенями свободы. Ввод данных для решения задачи осуществляется интерактивно с помощью диалогового окна $$inputdlg$$.

Возможная программная реализация интервальной оценки параметра экспоненциального распределения:

clear,clc,close all
options.Resize = 'on';
options.WindowStyle ='normal';
options.Interpreter = 'tex';  

D = inputdlg({'\bf Введите параметр экспоненциального распределения .......',...
'\bf Введите количество испытаний: ', ...
'\bf введите уровень вероятности a: ',...
'\bf введите уровень вероятности  b: '},...
'Данные задачи по умолчанию',1,...
{' 1.25',' 1000',' 0.01',' 0.04'}, options);
L = str2num(char(D(1)));
n = str2num(char(D(2)));
a = str2num(char(D(3)));
b = str2num(char(D(4)));
pause(0.5)
y = 1-a-b;
x = exprnd(1/L,n,1); %% 1/L - математическое ожидание
m = mean(x); %% среднее значение
a1 = chi2inv(a,2*n); %% обратная функция хи-квадрат
b1 = chi2inv(1-b,2*n);
Ln = a1/(2*n*m);
Lv = b1/(2*n*m);
LL = [Lv Ln];
Dlina = max(LL)- min(LL);
d = 'Доверительная вероятность';
fprintf('\n\tИстинное значение параметра: %g\n ',L)
fprintf('\t%s: %g\n',d,y)
fprintf('\tГраницы доверительного интервала:\n')
fprintf('\t\t\t%s: %g\n', 'нижняя граница', Ln)
fprintf('\t\t\t%s: %g\n', 'верхняя граница',Lv)
fprintf('\tДлина доверительного интервала: %g\n',Dlina)
if L < Ln | L > Lv
fprintf('\n\tИстинное значение параметра не входит в доверительный интервал!\n')
end
%%----------------------- Диаграмма ---------------------
xL = [Ln L];
xLv = [L,Lv];
line([min(xL)-0.2*min(xL) max(xLv)+0.1*max(xLv)],[0 0],'linew',2,'color','k')
line([Ln Ln],[0 1],'linew',2,'linestyle',':')
line([Lv Lv],[0 1],'linew',2,'linestyle',':')
line([L L],[0 1],'color','r','linew',1.5)
 
text(Ln,-0.05,sprintf('%s', '\bf\fontsize{12}\lambda\fontsize{10}_н'))
text(Lv,-0.05, sprintf('%s', '\bf\fontsize{12}\lambda\fontsize{10}_в'))
 text((Ln+Lv)/2,-0.25, sprintf('%s%g', '\bf\fontsize{12}\lambda\fontsize{10}_н = ', Ln))
text((Ln+Lv)/2,-0.35, sprintf('%s%g', '\bf\fontsize{12}\lambda\fontsize{10}_и_c_т = ', L), 'color','r')
text((Ln+Lv)/2,-0.45, sprintf('%s%g', '\bf\fontsize{12}\lambda\fontsize{10}_в = ', Lv))
 
text(min(Ln, Lv),1.1,sprintf('\\bf Интервальная оценка параметра '))
text(min(Ln,Lv),1.03,sprintf('\\bf экспоненциального распределения'))
 
set(gca,'visible','off')
ylim([-0.5 1])
set(gcf,'color','w')

Результат выполнения программы в командном окне MATLAB

Истинное значение параметра: 1.25
 	Доверительная вероятность: 0.95
	Границы доверительного интервала:
			нижняя граница: 1.12687
			верхняя граница: 1.28248
	Длина доверительного интервала: 0.15561

На рис. 6.1 приводится диалоговое окно с параметрами задачи.

На рис. 6.2 приведена диаграмма доверительного интервала.

Задание 1

№ 1: n = 100; № 2: n = 200; № 3: n = 300; № 4: n = 400; № 5: n = 500;
№ 6: n = 600; № 7: n = 700; № 8: n = 800;  № 9: n = 900; № 10: n = 1100.

№ 1: (1-1.9); № 2: (0.2-0.29); № 3: (1.3-1.39); № 4: (1.4-1.49); № 5 (1.5-1.59);
№ 6 (1.6-1.69); № 7: (1.7-1.79); № 8: (1.8-1.89); № 9: (1.9-1.99); № 10 (0.35-0.80).