Примеры моделей, получаемых из фундаментальных законов природы

Разбить на страницы

Показывать лекцию целиком

По сравнению с п.1 из предыдущей лекции более подробно и для более сложных объектов рассмотрим модели, следующие из законов Архимеда, Ньютона, Кулона и других хорошо известных законов. Обсудим некоторые свойства рассматриваемых объектов.

Примеры моделей, получаемых из фундаментальных законов природы

1. Траектория всплытия подводной лодки. Пусть подводная лодка, находящаяся в момент времени t = 0 на глубине Н от поверхности моря и движущаяся с постоянной горизонтальной скоростью v (рис. 2.1), получает приказ подняться на поверхность. Если промежуток времени, за который цистерны подлодки освобождаются от воды и заполняются воздухом, с тем чтобы ее средняя плотность $$\rho_1$$ стала меньше плотности воды $$\rho_0$$, невелик, то можно считать, что в момент t=0 на подлодку начинает действовать выталкивающая сила, большая, чем вес лодки. По закону Архимеда выталкивающая сила равна $$F = gV \rho_0$$, где g -ускорение свободного падения, V - объем подлодки. Суммарная сила, действующая на подлодку в вертикальном направлении, - разность между F и весом тела $$Р = gV \rho_1$$, а сообщаемое ею ускорение по второму закону Ньютона равно$$\rho_1 V \frac{d^2 h}{dt^2} = F - P = gV(\rho_0 - \rho_1).$$

Координата I, характеризующая горизонтальное положение подлодки, изменяется по закону движения тела с постоянной скоростью:$$\frac{dl}{dt}=v.$$

Решая эти уравнения, находим, что$$h(t) = g \frac{\rho_0 - \rho_1}{\rho_1} \, t^2, \qquad l(t) = vt,$$ и что лодка всплывет на поверхность в момент t = t_k, когда$$h(t_k)=g \frac{\rho_0 - \rho_1}{\rho_1} \, t_k^2 =H, \qquad t_k= \left( \frac{\rho_1 H}{g(\rho_0-\rho_1)} \right)^{^1 \! /_2}.$$

При этом в горизонтальном направлении подлодка пройдет расстояние$$L=vt_k= v\left( \frac{\rho_1 H}{g(\rho_0 - \rho_1)} \right)^{^1 \! /_2}.$$

Исключая из (1) время, найдем траекторию движения подлодки в координатах (I, h),$$h=g \frac{\rho_0 - \rho_1}{\rho_1 v^2} \, l^2,$$ которая оказывается параболой с вершиной в точке I = 0, h = 0 (при выводе (1) вертикальная скорость лодки, а также величины I и h принимались равными нулю в момент t = 0 ). Считалось также, что никакие другие вертикальные силы, кроме F и Р, на подлодку не действуют. Это предположение верно лишь при малых скоростях всплытия, когда можно пренебречь сопротивлением воды движению лодки.

(рис 2.1)

Итак, непосредственное применение закона Архимеда, определяющего величину выталкивающей силы, и закона Ньютона, связывающего силу, действующую на тело, и его ускорение, позволило легко найти траекторию подлодки.

Очевидно, что параболической траекторией обладает любое движущееся в плоскости тело, имеющее по одному из направлений постоянную скорость и на которое в другом направлении действует постоянная сила (уравнения (1) фактически дают параметрическую запись параболы). К таким движениям относятся, например, полет камня, брошенного с высоты Н с горизонтальной скоростью v или полет электрона в электрическом поле плоского конденсатора. Однако в последнем случае получить траекторию тела непосредственно из фундаментальных законов нельзя, требуется применить более детальную процедуру. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

2. Отклонение заряженной частицы в электронно-лучевой трубке. Будем считать, что обкладки конденсатора электроннолучевой трубки (рис. 2.2) представляют собой бесконечные плоскости

(рис 2.2)

(предположение справедливо в случае, если расстояние между обкладками много меньше их размеров, а электрон движется на большом удалении от их краев). Очевидно, что электрон будет притягиваться к нижней обкладке и отталкиваться от верхней. Сила притяжения F двух разноименных зарядов элементарно определяется из закона Кулона$$F= \frac{q_1 q_2}{r^2},$$ где q₁ и q₂ - величины зарядов, r - расстояние между ними. Сложность заключается в том, что в данном примере на обкладке находится бесконечно много зарядов, каждый из которых расположен на своем расстоянии от движущегося электрона. Поэтому необходимо сначала найти силу, индуцируемую каждым зарядом, и затем, просуммировав все элементарные силы, определить результирующее действие обкладок на электрон.

Разобьем всю плоскость нижней обкладки на элементарные "полоски", характеризующиеся координатами r₁, r₂, r₃ ; $$- \infty < r_1, r_3 < \infty$$ ; r₂ = 0 (см. рис. 2.2).

Подсчитаем силу притяжения электрона зарядом, находящемся на элементарной площадке ds=dr₁dr₃ и равным dq=q₀ds, где q₀ - поверхностная плотность заряда на обкладке. Если частица находится на расстоянии r₂ от заряженной плоскости, то$$dr_1 = r_2 (\tg (\alpha + d \alpha) - \tg \alpha) = r_2 \frac{d \alpha}{\cos^2 \alpha}$$ (здесь учитывается малость величны da ). Для определения величины dr₃ имеем$$\frac{r_3+dr_3}{r_1+dr_1} = \frac{\tg (\beta + d \beta)}{\sin (\alpha + d \alpha)}, \qquad \frac{r_3}{r_2} = \frac{\tg \beta}{\tg \alpha}.$$

Из последних двух формул находим$$dr_3 = (r_1+dr_1) \tg (\beta + d \beta) -r_1 \tg \beta = \frac{r_1 d \beta / (\cos^2 \beta) + dr_1 \tg \beta}{\sin \alpha},$$ где, аналогично предыдущему, учтена также и малость величины $$d \beta$$. Умножая dr₁ на dr₃ и отбрасывая член более высокого порядка малости, получаем $$ds = r_2 r_1 da \; d \beta / (\cos^2 \alpha \, \cos^2 \beta \, \sin \alpha)$$. Сила притяжения электрона с зарядом q_е к элементарной площадке ds равна$$dF= \frac{q_e q_0 r_2 r_1 d \alpha d \beta}{r^2 \cos^2 \alpha \, \cos^2 \beta \, \sin \alpha},$$ где r - "среднее" расстояние от электрона до площадки, которое с учетом малости величин $$d \alpha, d \beta$$ вычисляется по формуле $$f = r_2/(\cos \alpha \, \cos \beta)$$. В итоге для элементарной силы имеем$$dF=q_e q_0 \frac{r_1}{r_2} \frac{d \alpha \, d \beta}{\sin \alpha} = \frac{q_e q_0}{\cos \alpha} d \alpha \, d \beta,$$ а для ее вертикальной составляющей$$dF_{\bot} = dF \cos \beta \, \cos \alpha = q_e q_0 \cos \beta \, d \alpha \, d \beta.$$

Проинтегрировав выражение для $$F_{\bot}$$ по $$\beta$$ от $$\beta = 0$$ до $$\beta = \pi/2$$, найдем силу притяжения электрона к части элементарной "полоски", расположенной в квадранте r₁ > 0, r₃ > 0:$$dF^+_{\alpha} = q_e q_0 \, d \alpha .$$

Просуммировав $$dF^+_{\alpha}$$ по $$\alpha$$ от $$\alpha = 0$$ до $$\alpha = \pi/2$$, т.е. по всем полоскам квадранта r₁ > 0, r₃ > 0, определим силу притяжения, индуцируемую зарядами, расположенными в этом квадранте:$$dF^+ = \frac{\pi}{2} \, q_e q_0 .$$

Учитывая действие всех четырех квадрантов плоскости нижней обкладки и проводя аналогичные рассуждения для верхней обкладки, получим результирующую силу притяжения (отталкивания) электрона ко всем зарядам конденсатора$$F = 4 \pi q_e q_0.$$

Сила F направлена вдоль оси r₂ к нижней обкладке (составляющие F по осям r₁, r₃, очевидно, равны нулю в силу симметрии - чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть действие заряда, находящегося на площадке, расположенной в квадранте r₁ < 0, r₃ < 0 и симметричной площадке ds ).

Поскольку сила F не зависит от r₂, а по горизонтальной оси частица движется с постоянной скоростью v, то приходим к ситуации предыдущего пункта - применив второй закон Ньютона, легко получить формулы, аналогичные (1), описывающие движение электрона по параболической траектории и дающие возможность вычислить все ее параметры. Однако в отличие от случая с подлодкой прямое применение фундаментального закона Кулона для получения модели движения электрона оказывается невозможным. Потребовалось, опираясь на фундаментальный закон, сначала описать элементарный акт взаимодействия зарядов, и уж затем, просуммировав все эти акты, удалось найти результирующую силу.

Подобная ситуация и последовательность действий весьма типичны при построении моделей, так как многие фундаментальные законы устанавливают взаимоотношения как раз между элементарными частями исходного объекта. Это, разумеется, справедливо не только для электрических сил, но, например, и для сил тяготения.

3. Колебания колец Сатурна. Построим модель движения точечной массы М₀ в поле сил тяготения, создаваемом материальным кольцом с радиусом R₀ линейной плотностью р₀. Кольцо считается бесконечно тонким, движение происходит вдоль оси кольца (рис. 2.3).

(рис 2.3)

Данная схема может рассматриваться как идеализация процесса колебаний колец Сатурна. Тем не менее, несмотря на существенные упрощения, непосредственное использование закона всемирного тяготения$$F=\gamma \frac{m_0 m_1}{r^2},$$ где F - сила притяжения двух тел, имеющих массы m₀ и m₁, r - расстояние между ними, $$\gamma$$ - постоянная тяготения, не может дать окончательной модели движения колец Сатурна, так как массы m₀, m₁ должны быть точечными.

Поэтому вычислим сначала силу притяжения между точечной массой M₀ и массой dm, содержащейся в малом элементе кольца dl, которую уже можно считать точечной:$$dF=\gamma \frac{M_0 dm}{R^2}.$$

Здесь R, r - соответственно расстояние от массы М₀ до кольца и до центра кольца. Очевидно, что при $$0 \le \alpha \le \pi / 2$$ (для $$\pi / 2 \le \alpha \le 2 \pi$$ выкладки аналогичны)$$\frac{R_0}{R} = \sin \alpha = \frac{R_0}{\sqrt{r^2 + R^2_0}}, \qquad \frac{r}{R} = - \cos \alpha = \frac{r}{\sqrt{r^2 + R^2_0}}.$$

Поскольку$$dm = \rho dl = \rho_0 R_0 d\beta = -\rho_0 r \tg \alpha d \beta,$$ то$$dF = -\gamma \frac{M_0 \rho_0}{R^2} r \tg \alpha \, d \beta = -\gamma\frac{M_0 \rho_0}{r} \sin\alpha \, \cos \alpha \, d \beta$$

Найдем проекцию силы dF на ось r (именно эта проекция определяет интересующее нас движение):$$dF_{\perp} = dF \cos \alpha = -\gamma\frac{M_0 \rho_0}{r} \sin\alpha \, \cos^2 \alpha \, d \beta$$

Просуммировав теперь силы тяготения, создаваемые всеми элементами кольца, т.е. взяв интеграл от $$dF_{\perp}$$ по $$\beta$$ от $$\beta = 0$$ до $$\beta = 2\pi$$, найдем результирующую силу:$$F = -2 \pi \gamma \frac{M_0 \rho_0}{r} \sin \alpha \, \cos^2 \alpha = - \gamma M_0 M_1 \frac{r}{(r^2 + R^2_0)^{^3 \! / _2}}$$ где $$M_0 = 2\pi/R_0 \rho_0$$ - полная масса кольца. Как и в предыдущем пункте, горизонтальная проекция результирующей силы равна нулю из-за симметричного расположения кольца относительно массы М₀.

Сила тяготения (3) существенно отличается от выражения, даваемого законом для точечных масс, переходя в него лишь при $$r \gg R_0$$, когда кольцо можно уподобить точечной массе благодаря большому, в сравнении с размерами кольца, расстоянию между тяготеющими телами. Если же $$r \ll R_0$$, то$$F= - \gamma \frac{M_0 M_1}{R^3_0} \, r,$$ и сила притяжения, в противоположность случаю точечных масс, убывает с уменьшением расстояния между объектами.

Применив к массе М₀ второй закон Ньютона, получим уравнение ее движения вдоль оси r:$$\frac{d^2r}{dt^2} = -\gamma M_1 \frac{r}{(r^2 + R^2_0)^{^3 \! / _2}}$$ которое, в отличие от п.1 и п.2, существенно нелинейно и становится линейным лишь при $$r \ll R_0$$:$$\frac{d^2r}{dt^2} = -\gamma \frac{M_1}{R^3_0} \, r.$$

4. Заключение.

Даже в простейших ситуациях для построения модели может потребоваться использование не одного, а нескольких фундаментальных законов.

Прямое формальное применение фундаментальных законов к объекту, рассматриваемому как целое, не всегда возможно. В этих случаях требуется просуммировать элементарные акты взаимодействия между его частями, принимая во внимание свойства объекта (например, его геометрию).

Одними и теми же моделями могут описываться совершенно разные по своей природе объекты, подчиняющиеся разным фундаментальным законам, и, наоборот, данному закону могут отвечать принципиально разные модели (например, линейные и нелинейные).

Необходимо использовать все возможности для проверки правильности построения модели.

Страницы: