Базовые идеи и методы теории вероятностей

Определения

Среднеквадратичным значением случайной величины $$\xi$$ называется математическое ожидание $$M\xi^2$$:

$$M\xi^2=\sum\limits_{-\infty}^{\infty}x^2P_{\xi}(x)$$

для дискретных величин,

$$M\xi^2=\int\limits_{-\infty}^{\infty}x^2p_{\xi}(x)dx$$

для непрерывно распределенных величин. Имеет место следующее неравенство Чебышева: каково бы ни было $$\varepsilon >0$$,

$$P\{|\xi|>\varepsilon\}\le M\xi^2 \frac{1}{\varepsilon^2}$$.

Неравенство Чебышева показывает, что если среднеквадратичное значение $$M\xi^2$$ мало по сравнению с $$\varepsilon^2: M\xi^2 / \varepsilon^2 \le \delta$$ и практически можно пренебречь возможностью осуществления события $$\{|\xi|>\varepsilon\}$$ малой вероятности $$(\le\delta)$$, то будет малой и сама случайная величина $$\xi:|\xi|\le\varepsilon$$. В частности, если $$M\xi^2=0$$, то с вероятностью 1 и $$\xi=0$$.

Дисперсией случайной величины $$\xi$$, обозначаемой $$D\xi$$, называется среднеквадратичное значение $$M(\xi-a)^2$$ разности $$\xi-a$$, где $$a=M\xi$$ — математическое ожидание случайной величины $$\xi$$. Имеет место следующая формула:

$$D\xi=M\xi^2-a^2$$.

В самом деле,

$$M(\xi-a)^2=M\xi^2-2aM\xi+a^2=M\xi^2-a^2$$.

Очевидно,

$$D1=0$$,

и для любой постоянной $$c$$

$$D(c\xi)=c^2D\xi$$.

Пусть $$\xi_1$$ и $$\xi_2$$ — независимые случайные величины. Тогда дисперсия их суммы может быть найдена по формуле

$$D(\xi_1+\xi_2)=D\xi_1+D\xi_2$$.

Пусть $$\xi_1,\xi_2$$ — случайные величины, $$a_1,a_2$$ — их математическое ожидание, а $$\sigma_1^2$$ и $$\sigma_2^2$$ — их дисперсии, тогда

$$r=\frac{M(\xi_1-a_1)(\xi_2-a_2)}{\sigma_1\sigma_2}$$

называется коэффициентом корреляции этих $$\xi_1$$, $$\xi_2$$ случайных величин.

Коэффициент корреляции является простейшей характеристикой связи случайных величин. Если случайные величины независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю. Коэффициент корреляции всегда лежит в пределах

$$-1\le r\le1$$

причем, если $$r=-1$$ или $$r=1$$, то случайная величина $$\xi_1$$ есть просто линейная комбинация вида

$$\xi_1=c_1+c_2\xi_2$$,

где $$c_1$$, $$c_2$$ — некоторые постоянные.

Закон больших чисел

Рассмотрим независимые случайные величины $$\xi_1,...,\xi_n$$ имеющие одинаковое распределение вероятностей (и, в частности, одинаковые математические ожидания $$a=M\xi_k$$ и дисперсии $$\sigma^2=D\xi_k; k=1,...,n)$$. Рассмотрим среднее арифметическое значение этих величин

$$\eta=\frac{1}{n}(\xi_1+...+\xi_n)$$

Имеем

$$M\eta=\frac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n M\xi_k=a, D\eta=\frac{1}{n^2}\sum\limits_{k=1}^{n}D\xi_k=\frac{\sigma^2}{n}$$.

Используя неравенство Чебышева, получим

$$P\{|\eta-a|>\varepsilon\}\le M(\eta-a)^2 \frac{1}{\varepsilon^2}= \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2} \frac{1}{n}$$.

Очевидно, что, каково бы ни было $$\delta>0$$? при достаточно большом $$n(n>\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2} \frac{1}{\delta})$$ среднее арифметическое $$\frac{1}{n} (\xi_1+...+\xi_n)$$ величин $$\xi_1+...+\xi_n$$ с вероятностью, не меньшей $$1-\delta$$, будет содержаться в пределах

$$a-\varepsilon\le\frac{1}{n}(\xi_1+...+\xi_n)\le a+\varepsilon$$,

где $$\varepsilon >0$$ может быть заранее выбрано сколь угодно малым.

Этот факт носит название закона больших чисел. Если $$\varepsilon$$ и $$\delta$$ столь малы, что можно практически пренебречь возможностью наступления события вероятности $$\delta$$ и различием величин, отличающихся друг от друга не более чем на $$\varepsilon$$, то практически можно считать, что, несмотря на случайность, среднее арифметическое $$\frac{1}{n}(\xi_1+...+\xi_n)$$ практически совпадает с математическим ожиданием (средним значением) $$a=M\xi_k$$.

Распределение

Одинаковые, не зависимые между собой испытания, в каждом из которых рассматривается некоторое событие $$A$$, наступающее с положительной вероятностью $$p=P(A)$$, называются испытаниями Бернулли. Само событие $$A$$ условно называется "успехом", а дополнительное событие $$\bar A$$, наступающее в каждом из рассматриваемых испытаний с вероятностью $$q=1-p$$, условно называют "неудачей".

Если рассматривается $$n$$ испытаний, то каждый элементарный исход $$\omega$$ может быть описан, например, последовательностью длины n из 1 и 0 вида 10110001…, где стоящая на i-м месте 1 означает "успех" при i-м испытании, а 0 означает "неудачу". Вероятность $$P(\varpi)$$ элементарного исхода $$\omega$$, при котором ровно $$k$$ раз наступает "успех" и $$n-k$$ раз наступает "неудача", в силу независимости отдельных испытаний есть

$$P(\omega)=p^kq^{n-k}$$.

Видно, что элементарные исходы $$\omega$$ не являются равновероятными, когда $$p\ne q$$.

Рассмотрим случайную величину $$\xi$$, равную общему числу "успехов" в испытаниях Бернулли: $$\xi(\omega)=k$$, если при элементарном исходе $$\omega$$ равно $$k$$ раз наступает "успех". Различных исходов $$\omega$$, приводящих к одному и тому же числу $$k$$ "успехов", столько же, сколько можно образовать различных комбинаций из $$k$$ единиц и $$n-k$$ нулей. Число таких комбинаций равно числу сочетаний из $$n$$ по $$k$$, что составляет $$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$. Все эти исходы $$\omega$$ имеют одну и ту же вероятность $$P(\omega)=p^kq^{n-k}$$. Таким образом, распределение вероятностей случайной величины $$\xi$$ задается формулой

$$P_{\xi}(k)=C_n^kp^kq^{n-k},k=0,...,n$$.

Это – так называемое биномиальное распределение. Оно задается двумя параметрами: вероятностью отдельного "успеха"p и числом испытаний $$n$$. Случайная величина $$\xi$$ есть сумма $$n$$ независимых величин $$\xi_1,...,\xi_n$$ определяемых следующим образом: $$\xi_k=1$$, если в $$k$$ -м испытании наступает "успех", и $$\xi_k=0$$, если наступает "неудача": $$\xi=\xi_1+...+\xi_n$$.

Имеем

$$M\xi_k=p, D\xi_k=M\xi_k^2-(M\xi_k)^2=p-p^2=p(1-p)=pq$$,

откуда для математического ожидания и дисперсии случайной величины $$\xi$$ получаем следующие выражения:

$$M\xi=np; D\xi=npq$$.

При большом числе испытаний $$n$$ и сравнительно малой вероятности $$p$$, когда каждый из "успехов" является сравнительно редким событием, но среднее число "успехов" $$np$$ довольно значительно, приблизительно можно считать, что

$$P_{\xi}(k)\approx \frac{a^k}{k!}e^{-a},k=0,1,...$$,

где $$a=np$$ есть среднее число "успехов", а $$e=2.72..$$. — основание натуральных логарифмов.

Говорят, что случайная величина $$\xi$$ (принимающая лишь целочисленные значения 0, 1, …) имеет пуассоновское распределение вероятностей (распределена по закону Пуассона), если

$$P_{\xi}(k)= \frac{a^k}{k!}e^{-a},k=0,1,..$$.

Это распределение задается одним-единственным неотрицательным параметром $$a$$, совпадающим со средним значением $$M\xi$$:

$$a=M\xi=\sum\limits_{0}^{\infty}kP_{\xi}(k)$$.

Действительно, воспользовавшись разложением $$e^x= \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}$$, справедливым при всех $$x$$, имеем $$M\xi=\sum\limits_{0}^{\infty}kP_{\xi}(k)=\sum\limits_{0}^{\infty}k\frac{a^k}{k!}e^{-a}=e^{-a}\sum\limits_{1}^{\infty}\frac{a^{k-1}}{(k-1)}=a$$.

Приближенная формула 3.10. показывает, что при больших $$n$$ и малых $$p$$ случайная величина $$\xi$$, равна числу "успехов" в $$n$$ испытаниях Бернулли (с вероятностью успеха $$p$$ ), приблизительно распределена по закону Пуассона с параметром $$a=np$$.

Было отмечено, что случайная величина $$\xi$$, равная числу "успехов" в $$n$$ испытаниях Бернулли, совпадает с суммой $$n$$ независимых величин $$\xi_1,...,\xi_n$$. Введем новое обозначение, положив

$$S_n=\sum\limits_{k-1}^{n}\xi_k$$.

Пусть

$$S_n^*=\frac{S_n-MS_n}{\sqrt{DS_n}}$$,

где $$MS_n=np$$ и $$DS_n=npq$$. Имеет место следующее предельное соотношение, называемое предельной теоремой Муавра-Лапласа

$$\lim\limits_{n\to \infty}P\{x_1\le S_n^*\le x_2\}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{x_1}^{x_2}e^{-x^2/2}dx$$.

Фигурирующее здесь непрерывное распределение вероятностей с плотностью

$$p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$$

называется нормальным, или гауссовским, распределением. Как функция от $$x$$, плотность этого распределения вероятностей имеет график весьма специфической колоколообразной формы. Имеются таблицы функций нормального распределения –так называемой функции Лапласа.

На практике очень многие случайные величины распределены нормально или почти нормально. Например, ошибки всевозможных измерений, представляющие собой сумму многих "элементарных", практически независимых, ошибок, вызванных отдельными причинами. По тому же закону распределяются, как правило, ошибки стрельбы, наведения, совмещения. Отклонения напряжения в сети от номинала также вызваны суммарным действием многих независимых причин, результаты действия которых складываются. Нормальному (или близкому) закону подчиняются такие случайные величины, как суммарная выплата страхового общества за большой период и тому подобное.

Производящие функции

Пусть $$\xi$$ — целочисленная случайная величина, принимающая в зависимости от случайного исхода $$\omega$$ одно из значений 0, 1, 2, … с соответствующими вероятностями

$$P_{\xi}(k)=P\{\xi=k\},k=0,1,..$$.

Функция $$F_{\xi}(z)$$ переменной $$z,|z|\le 1$$, вида

$$F_{\xi}(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}P_{\xi}(k)z^k$$ (3.13.)

называется производящей функцией случайной величины $$\xi$$ или соответствующего распределения вероятностей $$P_{\xi}(k),k=0,1,..$$.

$$F_{\xi}(z)$$ является аналитической функцией от $$z$$ и (3.13.) дает ее разложение в степенной ряд. Ясно, что распределение вероятностей случайной величины $$\xi$$ однозначно определяется ее производящей функцией $$F_{\xi}(z)$$ ; в частности, по формуле Тейлора

$$P_{\xi}(k)=\frac{1}{k!}F_{\xi}^k (0),k=0,1,..$$.

Производящая функция $$F_{\xi}(z)$$ при фиксированном $$z$$ представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины $$\varphi (\xi)=z^{\xi}$$:

$$Z_{\xi}(z)=Mz^{\xi},|z|\le 1$$.

Цепи Маркова

Условно будем говорить о некоторой физической системе, шаг за шагом меняющей свое фазовое состояние. Будем считать, что имеется лишь конечное или счетное число различных фазовых состояний $$\varepsilon_1,\varepsilon_2,...$$. Обозначим $$\xi (n)$$ состояние системы через $$n$$ шагов. Будем предполагать, что цепочка последовательных переходов

$$\xi (0)\to\xi (1)\to..$$.

Зависит от вмешательства случая, причем соблюдается следующая закономерность: если на каком-либо шаге $$n$$ система находится в состоянии $$\varepsilon_i$$, то, независимо от предшествующих обстоятельств, она на следующем шаге с вероятностью $$p_{ij}$$ переходит в состояние $$\xi_j$$.

$$p_{ij}=P\{\xi (n+1) = \varepsilon_j / \xi (n)=\varepsilon_i\},i,j=1,2,..$$.

Описанная выше модель называется однородной цепью Маркова , а вероятности $$p_{ij}$$ называются переходными вероятностями этой цепи. Кроме них, еще задается начальное распределение вероятностей

$$p_i^0=P\{\xi(0)=\varepsilon_i\},i=1,2,..$$.

Какова вероятность того, что система через $$n$$ шагов будет находиться в состоянии $$\varepsilon_j$$?

Обозначим эту вероятность $$p_j(n)$$:

$$p_j(n)=P\{\xi (n) = \varepsilon_j\}$$.

Через $$n-1$$ шагов система обязательно будет находиться в одном из состояний $$\varepsilon_k k=1,2,...$$, причем в $$\varepsilon_k$$ она будет с вероятностью, обозначенной $$p_k(n-1)$$. При условии, что через $$(n-1)$$ шагов система будет находиться в состоянии $$\varepsilon_k$$, вероятность оказаться через $$n$$ шагов в состоянии $$\varepsilon_j$$ равна вероятности $$p_{kj}$$ перехода из $$\varepsilon_k$$ в $$\varepsilon_j$$. Используя формулу полной вероятности, получим, что

$$P\{\xi (n) = \varepsilon_j \}=\sum\limits_k P\{\xi (n)=\varepsilon_j / \xi (n-1)=\varepsilon_k\}P\{\xi (n-1) =\varepsilon_k\}$$.

Это дает следующие рекуррентные соотношения для вероятностей $$p_j(n),j=1,2,..$$.

$$p_j(0)=p_j^0,p_j(n)=\sum\limits_k p_k(n-1) p_{kj}(n=1,2,...)$$.

Если в начальный момент система находится в определенном состоянии $$\varepsilon_i$$, то начальное распределение вероятностей таково, что $$p_i^0=1,p_k^0=0$$ для $$k\ne i$$, а вероятность $$p_j(n)$$ совпадает с вероятностью $$p_{ij}(n)$$ того, что система из состояния $$\varepsilon_i$$ за $$n$$ шагов перейдет в состояние $$\varepsilon_j$$.

$$p_{ij}(n)=P\{\xi (n) =\varepsilon_j / \xi (0) = \varepsilon_i\},i,j=1,2,..$$.

При начальном распределении вида $$p_i^0=1,p_k^0=0$$ для $$k\ne i$$ формула 3.18. дает следующие соотношения между переходными вероятностями $$p_{ij}(n);i,j=1,2,..$$.:

$$p_{ij}(0)=\left\langle \begin{array}{ccc} 1,j=i;\\ p_{ij}(n)=\sum\limits_k p_{ik}(n-1)p_{kj}(n=1,2,...).\\ 0,j\ne i \end{array} \right$$.

Удобно ввести матрицу $$P(n)= \{p_{ij} (n)\}$$. Согласно формуле 3.20.

$$P(0)=I,P(1)=P,P(2)=P(1)\text{ }P=P^2,...,$$,

где $$I$$ — единичная матрица, $$P= \{p_{ij}\}$$ — матрица переходных вероятностей. Видно, что имеет место следующее равенство:

$$P(n)=P^n(n=1,2,...)$$

Случайные блуждания. Рассмотрим случайное блуждание, связанное с неограниченными испытаниями Бернулли, когда частица блуждает по целочисленным точкам действительной прямой таким образом, что, находясь в точке $$i$$, она с вероятностью p переходит на следующем шаге в соседнюю точку $$i+1$$, а с вероятностью $$q=1-p$$ — в соседнюю точку $$i-1$$. Если обозначить $$\xi (n)$$ положение частицы после $$n$$ шагов, то последовательность $$\xi (0)\to\xi (1)\to\xi (2)..$$. будет цепью Маркова с переходными вероятностями вида

$$p_{ij}=\left\langle \begin{array}{ccc} p\text{ при }j=i+1,\\ q\text{ при }j=i-1,\\ 0\text{ при }j\ne i-1,i+1 \end{array} \right$$.

Рассмотрим случайное блуждание другого типа. Частица блуждает лишь по целым неотрицательным точкам, причем из точки $$i$$ она с вероятностью $$p_i$$ переходит на следующем шаге в соседнюю точку $$i+1$$, а с вероятностью $$q_i=1-p_i$$ возвращается в нулевое положение. Соответствующие переходные вероятности суть

$$p_{ij}=\left\langle \begin{array}{ccc} p_i\text{ при }j=i+1,\\ q_i\text{ при }j=0,\\ 0\text{ при }j\ne 0,i+1 \end{array} \right$$.

Рассмотрим цепь Маркова с состояниями $$\varepsilon_1,\varepsilon_2,..$$. и переходными вероятностями $$p_{ij},i,j=1,2,..$$. Пусть в начальный момент система находится в состоянии $$\varepsilon_i$$. Временно положим $$u_n=p_{ij}(n)$$ и обозначим $$\nu_n$$ вероятность того, что через n шагов система впервые вернется в исходное состояние $$\varepsilon_i$$. Имеет место следующее равенство:

$$u_n=u_0\nu_n+u_1\nu_{n-1}+...+n_{n-1}\nu_1+u_n\nu_0,n=1,...$$,

где дополнительно введены $$u_1=1$$ и $$\nu_0=0$$.

Оно является следствием общей формулы полной вероятности. Именно, если ввести события $$B_k$$ — "система через $$k$$ шагов впервые возвращается в исходное состояние $$\varepsilon_i"$$, где $$k=1,...,n$$, и событие $$B_{n+1}$$ — "система ни разу не побывает в состоянии $$\varepsilon_i$$ в течение первых $$n$$ шагов", то $$B_1,...,B_{n+1}$$ будет полной системой событий, и вероятность события $$A$$ — "система через $$n$$ шагов будет находиться в исходном состоянии $$\varepsilon_i"$$ — по формуле полной вероятности есть

$$P(A)=\sum\limits_{i-1}^{n+1}P(A/B_k)P(B_k)$$,

где

$$P(B_k)=\nu_k;P(A|B_k)=u_{n-k},k=1,...,n; P(A|B_{n+1})=0$$.

Если обратиться к производящим функциям

$$U(z)=\sum\limits_{k-0}^{\infty}u_kz^k,V(z)=\sum\limits_{k-0}^{\infty}\nu_kz^k,|z|\le 1$$

то отношение 3.22. , справедливое при всех $$n=1,2,...$$, можно написать в виде

$$U(z)-u_0=U(z)V(z),u_0=1$$

откуда

$$U(z)=\frac{1}{1-V(z)}$$. (3.23.)

Значение

$$\nu=\sum\limits_{k-0}^{\infty}\nu_k$$ (3.24.)

есть вероятность того, что система рано или поздно попадает в исходное состояние $$\varepsilon_i$$, иначе $$\nu$$ есть вероятность возвращения в $$\varepsilon_i$$. Состояние $$\varepsilon_i$$ называется возвратным, если вероятность возвращения в него равна 1 , и невозвратным, если вероятность эта меньше 1.

Задачи

Задача о наилучшем выборе. Предположим, что имеется некоторая совокупность из предметов, сравнивая которые, наблюдатель может сказать, который лучше или хуже, а задача состоит в том, чтобы выбрать предмет как можно лучше. Предположим, что эта задача осложняется следующим обстоятельством: осмотрев и отвергнув некоторый предмет, нельзя к нему возвращаться. Тогда, в частности, можно случайно отвергнуть абсолютно наилучший предмет в надежде найти еще более лучший при дальнейшем осмотре (представьте себе, например. разборчивую невесту, которая либо принимает предложение сватающегося жениха – и тогда на этом выбор заканчивается, либо отвергает его – и тогда он безвозвратно потерян для невесты).

Рассмотрим одно естественное правило выбора: не останавливаться на том предмете, который хуже какого-нибудь уже ранее осмотренного предмета. Будем считать, что наблюдатель руководствуется этим правилом, так что при последовательном осмотре имеющихся предметов он может сразу выбрать первый из них ( и на этом процесс выбора закончится); если он этого не сделал, то он продолжает осмотр до тех пор, пока на каком-то шаге не обнаружится предмет, который будет лучше всех осмотренных ранее. Наблюдатель может выбрать этот наилучший среди осмотренных предметов (и на этом процесс выбора заканчивается), а может продолжить осмотр в надежде найти еще лучше, и так далее.

Конечно, при этом не исключено, что на самом деле будет отвергнут абсолютно наилучший предмет, и тогда вообще ничего не будет выбрано. Но если число имеющихся предметов велико, то едва ли кто-нибудь согласится взять первый попавшийся предмет, не испытав счастья найти что-нибудь получше.

Предположим, что следуя описанному правилу, наблюдатель сделает выбор, остановившись на $$k$$ -м осмотренном предмете, то есть последний из $$k$$ осмотренных предметов оказался лучше всех предшествующих и на него-то и пал выбор. Какова вероятность того, что этот выбранный предмет является наилучшим среди всей совокупности как осмотренных, так и еще не осмотренных предметов?

Обозначим как $$B$$ событие, состоящее в том, что среди $$k$$ осмотренных предметов последний оказался наилучшим, Наблюдателю известно о том, что событие $$B$$ произошло. Обозначим как $$A$$ событие, состоящее в том, что $$k$$ -й по счету предмет является наилучшим среди всех имеющихся предметов. Вопрос касается условной вероятности $$P(A|B)$$ события $$A$$ при условии наступления события $$B$$. Эта условная вероятность $$P(A|B)$$ находится по формуле 2.4. , так что для ответа на поставленный вопрос нужно найти вероятности событий $$B$$ и $$AB$$. Очевидно, событие $$A$$ содержится в $$B$$ и пересечение $$AB$$ совпадает с самим событием $$A$$. Описанные условия выбора таковы, что следует считать все возможные расположения предметов равновероятными. Вероятность события $$B$$ совпадает с вероятностью того, что при случайной перестановке $$k$$ отличимых друг от друга элементов (они отличаются по качеству) на фиксированном $$k$$ -м месте окажется наилучший из этих $$k$$ элементов. Такая вероятность равна $$\frac{(k-1)!}{k!}$$, где $$k$$! — число перестановок из $$k, (k-1)$$! — число перестановок из $$k-1$$ элементов, совместимых с тем условием, что на $$k-м$$ месте зафиксирован наилучший элемент. Итак,

$$P(B)=\frac{(k-1)!}{k!}=\frac{1}{k}$$.

Совершенно аналогично отыскивается вероятность события $$A$$, которая совпадает с вероятностью того, что при случайной перестановке $$m$$ отличимых друг от друга элементов на фиксированном $$k$$ -м месте окажется вполне определенный элемент – наилучший предмет из всей имеющейся совокупности $$m$$ предметов. Таким образом,

$$P(A)=\frac{(m-1)!}{m!}=\frac{1}{m}$$,

и искомая условная вероятность $$P(A|B)$$ есть

$$P(A)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(A)}{P(B)}=\frac{k}{m}$$.

Задача о лотерейных билетах. Сколько нужно купить лотерейных билетов, чтобы вероятность выигрыша была не меньшей, чем $$P$$?

Пусть общее количество лотерейных билетов равно $$N$$ и $$M$$ — общее количество выигрышей. Тогда вероятность того, что купленный лотерейный билет окажется из числа $$M$$ выигрышных билетов, равна $$\frac{M}{N}$$. Приобретение каждого отдельного билета можно рассматривать как отдельное испытание с вероятностью "успеха" $$p=\frac{M}{N}$$ в серии из $$n$$ независимых испытаний ( $$n$$ — число купленных билетов). Если считать, что вероятность $$p$$ мала, как это обычно бывает, а заданная вероятность $$P$$ сравнительно велика, то ясно, что нужно купить довольно большое число лотерейных билетов, чтобы вероятность хотя бы одного выигрыша была не меньше $$P$$. Поэтому случайное число выигрышных билетов приблизительно распределено по закону Пуассона, то есть вероятность того, что среди купленных билетов окажется равно $$k$$ выигрышных, есть

$$P(k)\approx \frac{a^k}{k!}e^{-a}$$,

где $$a=n\frac{M}{N}$$. Вероятность того, что хотя бы один из билетов будет выигрышным, есть $$1-P(0)=1-e^{-a}$$, так что число нужно определить как наименьшее целое число, для которого

$$e^{-a}\le 1-P$$.