В криптографии мы должны обрабатывать матрицы. Хотя эта тема принадлежит специальному разделу алгебры, который называется линейной алгеброй, необходим краткий обзор матриц для подготовки к изучению криптографии. Читатели, знакомые с этими вопросами, могут пропустить часть или весь этот раздел. Раздел начинается с некоторых определений и примеров использования матрицы в модульной арифметике.
Матрица — l x m элементов, в которых l — число строк, m — число столбцов. Матрица обычно обозначается заглавной буквой, такой, как A. Элемент aij расположен в i -той строке и j -том столбце. Хотя элементы матрицы могут быть любым множеством чисел, мы обсуждаем только матрицы с элементами в Z.
Пример матрицы с m столбцами и l строками
$$\begin{pmatrix}
a_{11} a_{12} ... a_{1m}\\
a_{21} a_{22} ... a_{2m}\\
... \\
a_{l1} a_{l2} ... a_{lm}\\
\end{pmatrix}$$
Если матрица имеет только одну строку ( l = 1 ), она называется матрицей-строкой ; если она имеет только один столбец ( m = 1 ), то называется матрицей-столбцом. Матрица называется квадратной, если число строк равно числу столбцов ( l = m ) и содержит элементы a11, a22, ……, amm. Матрица обозначается 0, если все строки и все столбцы содержат нули. Единичная матрица обозначается I, если она квадратная и содержит все единицы на главной диагонали и все нули на других местах. Рисунок 3.2 показывает некоторые примеры матриц с элементами из Z.
(рис 3.2) Примеры матриц
В линейной алгебре для матриц определены одно уравнение (равенство) и четыре операции (сложение, вычитание, умножение и
Две матрицы равны, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и соответствующие элементы равны. Другими словами, A = B, если мы имеем aij = bij для всех i и j.
Операция сложения двух матриц может применяться, если матрицы имеют одинаковое число столбцов и строк. Сложение записывают как C =A + B. В этом случае полученная в результате матрица C имеет тот же самый номер строк и столбцов, как A или B. Каждый элемент C — сумма двух соответствующих элементов A и B: aij + bij.
Операция вычитания производится аналогично сложению, за исключением того, что каждый элемент B вычитается из соответствующего элемента A: dij= aij – bij.
Пример 3.1
Ниже показан пример сложения и вычитания.
$$\begin{pmatrix} 12 4 4\\ 11 12 30\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 2 1\\ 3 2 10\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 2 3\\ 8 10 20\\ \end{pmatrix}\\ C=A+B\\ \begin{pmatrix} -2 0 -2\\ -5 -8 -10\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 2 1\\ 3 2 10\\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7 2 3\\ 8 10 20\\ \end{pmatrix}\\ C=A-B$$Две матрицы различного размера могут быть перемножены, если число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы. Если A — матрица размера l x m, а матрица B размера m x p, то произведением будет матрица C размером l x p. Если элемент матрицы A обозначить aij, а каждый элемент матрицы B обозначить bjk, то элемент матрицы C — cik — вычисляется следующим образом:
Пример 3.2
Рисунок 3.3 показывает произведение матрицы-строки ( $$1 \times 3$$ ) на матрицу-столбец ( $$3 \times 1$$ ). В результате получаем матрицу размером $$1 \times 1$$.
(рис 3.3) Умножение матрицы-строки на матрицу-столбец Пример 3.3
Рисунок 3.4 показывает произведение матрицы $$2 \times 3$$ на матрицу $$3 \times 4$$. В результате получаем матрицу $$2 \times 4$$
(рис 3.4) Умножение матрицы 2 x 3 на матрицу 3 x 4.
Мы можем также умножить матрицу на число (называемое скаляр ). Если A — матрица $$l \times m$$ и x — скаляр, то C = xA — матрица $$l \times m$$, в которой $${c_{ij}} = x \times {a_{ij}}$$.
(рис 3.5) Скалярное умножение Пример 3.4
Рисунок 3.5 показывает пример
Детерминант — квадратная матрица A размера $$m \times m$$, обозначаемая как det (A) — скалярное вычисление рекурсивно, как это показано ниже:
Aij получается из A удалением i -той строки j -того столбца.Пример 3.5
Рисунок 3.6 показывает, как можно вычислить m 1 или 2, это позволяет найти
(рис 3.6) Вычисление детерминанта матрицы 2 x 2Пример 3.6
Рисунок 3.7 показывает вычисление детерминанта матрицы $$3 \times 3$$.
(рис 3.7) Вычисление детераминаната матрицы 3 x 3
Матрицы имеют аддитивные и мультипликативные
Аддитивная B, такая, что A + B = 0. Другими словами, мы имеем элементы bij = –aij для всех значений i и j. Обычно аддитивная A обозначается как (-A).
Мультипликативная A — квадратная матрица B, такая, что $$A \times B = B \times A = I$$. Обычно мультипликативная A-1. Мультипликативная det (A) имеет мультипликативную Z, то не существует мультипликативной Z. Однако матрицы с реальными элементами имеют
Криптография использует матрицы вычетов: матрицы могут содержать все элементы из Zn. Все операции на матрицах вычетов выполняются так же, как и на матрицах целых чисел, за исключением того, что операции производятся в модульной арифметике. Есть одно интересное свойство: матрица вычетов имеет мультипликативную Zn. Другими словами, матрица вычета имеет мультипликативную НОД (det (A), n) = 1.
Пример 3.7
Рисунок 3.8 показывает матрицу вычетов в Zn и его мультипликативной A-1. Возьмем det (A) = 21, который имеет мультипликативную 5 в Z26. Обратите внимание, что когда мы умножаем эти две матрицы, то результат — Z26.
(рис 3.8) Матрица вычетов и мультипликативная инверсия Две матрицы, сравнимые по модулю n, записываются как $$A \equiv B(\bmod n)$$, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и все соответствующие элементы — сравнимые по модулю n. Другими словами, $$A \equiv B(\bmod n)$$, если $${a_{ij}} \equiv {b_{ij}}(\bmod n)$$ для всех i и j.
Криптография часто включает в себя решение уравнения или множества уравнений одной или более переменных с коэффициентом в Zn. Этот раздел показывает, как решать уравнения с одним неизвестным, когда степень переменной равна 1 (
Давайте посмотрим, как решаются уравнения с одним неизвестным, содержащие сравнения, то есть уравнения ax = b (mod n). Уравнение этого типа может не иметь ни одного решения или иметь ограниченное число решений. Предположим, что НОД (a, n) = d. Если d†b, решение не существует. Если d|b, то имеется d решений.
Если d|b, то для того, чтобы найти решения, мы используем следующую стратегию.
d.x0.x = x0 + k (n/d) для k = 0, 1..., (d – 1).Пример 3.8
Решить уравнение $$10x \equiv 2(\bmod 15)$$.
Сначала мы найдем НОД(10,15) = 5. Полученное число 5 не делится на 2, решение отсутствует.
Пример 3.9
Решить уравнение $$14x \equiv 12(\bmod 18)$$.
Решение
Заметим, что НОД (14, 18) = 2. Поскольку 2 делит 12, мы имеем точно два решения, но сначала сократим уравнение:
Оба решения, 6 и 15, удовлетворяют уравнению сравнения, потому что $$(14 \times 6)\bmod 18 = 12$$, а также $$(14 \times 15)\bmod 18 = 12$$.
Пример 3.10
Решить уравнение $$3x + 4 \equiv 6\left( {\bmod 13} \right)$$.
Решение
Сначала мы приводим уравнение к форме $$ax \equiv b(\bmod n)$$. Мы прибавляем (–4) к обеим сторонам ( 4 аддитивная НОД (3, 13) = 1, уравнение имеет только одно решение, $${x_0} = (2 \times {3^{ - 1}})\bmod 13 = 18 \mod 13 = 5$$. Мы можем видеть, что ответ удовлетворяет первоначальному уравнению: $$3 \times 5 + 4 = 6\left( {\bmod 13} \right)$$.
Мы можем решить систему bn. Мы можем это уравнение представить как произведение матриц. Если обе стороны сравнения умножить на мультипликативную
(рис 3.9) Система линейных уравнений Пример 3.11
Решить систему следующих трех уравнений:
3x + 5y + 7z = 3 (mod 16) x + 4y + 13z = 5 (mod 16) 2x + 7y + 3z = 4 (mod 16)
Решение
Здесь x, y и z играют роли x1, x2, и x3. Матрица, сформированная из коэффициентов уравнений, — обратима. Мы находим мультипликативную 3, 5 и 4. Результат — $$x \equiv 15(\bmod 16)$$, $$y \equiv 4(\bmod 16)$$ и $$z \equiv 14(\bmod 16)$$. Мы можем проверить ответ, подставляя эти значения в уравнения.
Для более детального изучения положений, обсужденных в этой лекции, мы рекомендуем нижеследующие книги и сайты. Пункты, указанные в скобках, показаны в списке ссылок в конце книги.
Несколько книг дают простой, но полный охват теории чисел: [Ros06], [Sch99], [Cou99] и [BW00]. Матрицы обсуждаются в любой книге по линейной алгебре: [LEF04], [DF04] и [Dur05] — это хорошие книги для начинающих.
Нижеследующие сайты дают больше информации о темах, рассмотренных в этой лекции.
Z, содержит все целые числа от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности. Для целых чисел определены три общих a на n, мы можем получить q и r. Отношение между этими четырьмя целыми числами можно показать как $$q \times n + r$$. Мы говорим a|n, если $$a = q \times n$$. В этой лекции мы рассмотрели четыре свойства теории НОД (a, b) и вычислить значение s и t, которые удовлетворяют уравнению as + bt = НОД (a, b).
Линейное диофантово уравнение двух переменных: ax + by = c. Оно имеет частное и общие решения.r, когда мы делим a на n. Мы используем новый оператор, названный модулем (mod), такой, что a mod n = r. Здесь n называется модулем, а r называется вычетом.n — всегда целое число от 0 и до n-1. Мы можем сказать, что операция по модулю n создает набор, который в модульной арифметике называется множеством наименьших вычетов по модулю n, или Zn.Z в Zn не совпадают один в один. Определенные элементы Z могут быть отображены в элемент Zn. В модульной арифметике все целые числа в Z, отображаемые в Zn, называются сравнениями по модулю. Для обозначения этой операции применяется оператор сравнения ( $$\equiv$$ ).[a] — множество целых чисел, сравнимых по модулю n. Это множество всех целых чисел x = a (mod n).Z, могут быть также определены для множества Zn. При необходимости результат может быть отражен в Zn при помощи операции mod.Zn два числа a и b — аддитивные a имеет мультипликативную Zn тогда и только тогда, когда НОД (n, a) = 1 ( a и n — взаимно простые числа).b в Zn, когда даны n и b и НОД (n, b) = 1. Мультипликативная b — это значение t при соответствующем отображении в Zn.l является номером строки, а m — номер столбца. Мы обозначаем матрицу заглавной буквой и жирным шрифтом, например, A. Элемент aij расположен в i -той строке и j -том столбце.Zn.НОД (a,n)|b, то имеется ограниченное число решений.Z и Zn. Какое из этих множеств может содержать отрицательные целые числа? Как мы можем отобразить целое число в Z в целое число в Zn?Zn и множеством Zn*? В каком множестве каждый элемент имеет аддитивную Zn?5|26 3|123 27†127 15†21 23|96 8|5
88 и 220300 и 4224 и 320401 и 700НОД (a, b) = 24, найдите НОД (a, b, 16)НОД (a, b, c) = 12, найдите НОД (a, b, c, 16)НОД (200, 180, и 450)НОД (200, 180 450 610)n — неотрицательное целое число.НОД (2n + 1, n)а, найдите НОД (201, 100), НОД (81, 40) и НОД (501, 250)n — неотрицательное целое число.НОД (3 n + 1,2n +1).а, найдите НОД (301, 201) и НОД (121, 81)s и t:4 и 7291 и 4284 и 320400 и 6022 mod 7140 mod 10-78 mod 130 mod 15(273 + 147) mod 10(4223 + 17323) mod 10(148 + 14432) mod 12(2467+461) mod 12mod, докажите следующее:10, — самая правая цифра100, — целое число, составленное из двух самых правых цифр1000, — целое число, составленное из трех самых правых цифр5 — такой же, что и остаток от деления самой правой цифры на 5. Используйте свойства оператора mod, чтобы доказать это утверждение.2 — такой же, что и остаток от деления самой правой цифры на 2. Используйте свойства оператора mod, чтобы доказать это утверждение.4 — такой же, что и остаток от деления двух самых правых цифр на 4. Используйте свойства оператора mod, чтобы доказать это утверждение.8 — такой же, что и остаток от деления самых правых трех цифр на 8. Используйте свойства оператора mod, чтобы доказать это утверждение.9 — такой же, как и остаток от деления суммы его десятичных цифр на 9. Другими словами, остаток от деления 6371 на 9 — такой же, как при делении 17 на 9, потому что 6 + 3 + 7 + 1 = 17. Используйте свойства оператора mod, чтобы доказать это утверждение.10 при делении на 7. Мы можем доказать, что эти значения будут повторяться для более высоких степеней.100 mod 7 = 1 101 mod 7 = 3 102 mod 7 = 2
103 mod 7 = 1 104 mod 7 = –3 105 mod 7 = –2
Используя вышеупомянутую информацию, найдите остаток от деления целого числа на 7. Проверьте ваш метод с числом 631453672.
10 на 11. Мы можем доказать, что эти значения будут повторяться для более высоких степеней102 mod 11 = 1 101 mod 11 = –1 102 mod 11 = 1 103 mod 11 = –1
Используя вышеупомянутую информацию, найдите остаток от деления целого числа на 11. Проверьте ваш метод с числом 631453672.
10 на 13. Мы можем доказать, что эти значения будут повторяться для более высоких степеней.102 mod 13 = 1 101 mod 13 = –3 102 mod 13 = –4
103 mod 3 = –1 104 mod 13 = 3 105 mod 13 = 4
Используя вышеупомянутую информацию, найдите остаток от целого числа при делении на 13. Проверьте ваш метод с числом 631453672.
A = 0, B = 1... Z = 25 ). Мы можем создать модульную арифметику, используя модуль 26.(A + N) mod 26 в этой системе?(A + 6) mod 26 в этой системе?(Y – 5) mod 26 в этой системе?(C – 10) mod 26 в этой системе?20.20.Z180, используя расширенный 3871322425x + 10y = 1519x + 13y = 2014x + 21y = 7740x +16y = 8815x + 12y = 1318x + 30y = 2015x + 25y = 6940x +30y = 9815 39 2,70$. Найдите несколько решений.В криптографии мы должны обрабатывать матрицы. Хотя эта тема принадлежит специальному разделу алгебры, который называется линейной алгеброй, необходим краткий обзор матриц для подготовки к изучению криптографии. Читатели, знакомые с этими вопросами, могут пропустить часть или весь этот раздел. Раздел начинается с некоторых определений и примеров использования матрицы в модульной арифметике.
Матрица — l x m элементов, в которых l — число строк, m — число столбцов. Матрица обычно обозначается заглавной буквой, такой, как A. Элемент aij расположен в i -той строке и j -том столбце. Хотя элементы матрицы могут быть любым множеством чисел, мы обсуждаем только матрицы с элементами в Z.
Пример матрицы с m столбцами и l строками
$$\begin{pmatrix}
a_{11} a_{12} ... a_{1m}\\
a_{21} a_{22} ... a_{2m}\\
... \\
a_{l1} a_{l2} ... a_{lm}\\
\end{pmatrix}$$
Если матрица имеет только одну строку ( l = 1 ), она называется матрицей-строкой ; если она имеет только один столбец ( m = 1 ), то называется матрицей-столбцом. Матрица называется квадратной, если число строк равно числу столбцов ( l = m ) и содержит элементы a11, a22, ……, amm. Матрица обозначается 0, если все строки и все столбцы содержат нули. Единичная матрица обозначается I, если она квадратная и содержит все единицы на главной диагонали и все нули на других местах. Рисунок 3.2 показывает некоторые примеры матриц с элементами из Z.
(рис 3.2) Примеры матриц
В линейной алгебре для матриц определены одно уравнение (равенство) и четыре операции (сложение, вычитание, умножение и
Две матрицы равны, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и соответствующие элементы равны. Другими словами, A = B, если мы имеем aij = bij для всех i и j.
Операция сложения двух матриц может применяться, если матрицы имеют одинаковое число столбцов и строк. Сложение записывают как C =A + B. В этом случае полученная в результате матрица C имеет тот же самый номер строк и столбцов, как A или B. Каждый элемент C — сумма двух соответствующих элементов A и B: aij + bij.
Операция вычитания производится аналогично сложению, за исключением того, что каждый элемент B вычитается из соответствующего элемента A: dij= aij – bij.
Пример 3.1
Ниже показан пример сложения и вычитания.
$$\begin{pmatrix} 12 4 4\\ 11 12 30\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 2 1\\ 3 2 10\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 2 3\\ 8 10 20\\ \end{pmatrix}\\ C=A+B\\ \begin{pmatrix} -2 0 -2\\ -5 -8 -10\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 2 1\\ 3 2 10\\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 7 2 3\\ 8 10 20\\ \end{pmatrix}\\ C=A-B$$Две матрицы различного размера могут быть перемножены, если число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы. Если A — матрица размера l x m, а матрица B размера m x p, то произведением будет матрица C размером l x p. Если элемент матрицы A обозначить aij, а каждый элемент матрицы B обозначить bjk, то элемент матрицы C — cik — вычисляется следующим образом:
Пример 3.2
Рисунок 3.3 показывает произведение матрицы-строки ( $$1 \times 3$$ ) на матрицу-столбец ( $$3 \times 1$$ ). В результате получаем матрицу размером $$1 \times 1$$.
(рис 3.3) Умножение матрицы-строки на матрицу-столбец Пример 3.3
Рисунок 3.4 показывает произведение матрицы $$2 \times 3$$ на матрицу $$3 \times 4$$. В результате получаем матрицу $$2 \times 4$$
(рис 3.4) Умножение матрицы 2 x 3 на матрицу 3 x 4.
Мы можем также умножить матрицу на число (называемое скаляр ). Если A — матрица $$l \times m$$ и x — скаляр, то C = xA — матрица $$l \times m$$, в которой $${c_{ij}} = x \times {a_{ij}}$$.
(рис 3.5) Скалярное умножение Пример 3.4
Рисунок 3.5 показывает пример
Детерминант — квадратная матрица A размера $$m \times m$$, обозначаемая как det (A) — скалярное вычисление рекурсивно, как это показано ниже:
Aij получается из A удалением i -той строки j -того столбца.Пример 3.5
Рисунок 3.6 показывает, как можно вычислить m 1 или 2, это позволяет найти
(рис 3.6) Вычисление детерминанта матрицы 2 x 2Пример 3.6
Рисунок 3.7 показывает вычисление детерминанта матрицы $$3 \times 3$$.
(рис 3.7) Вычисление детераминаната матрицы 3 x 3
Матрицы имеют аддитивные и мультипликативные
Аддитивная B, такая, что A + B = 0. Другими словами, мы имеем элементы bij = –aij для всех значений i и j. Обычно аддитивная A обозначается как (-A).
Мультипликативная A — квадратная матрица B, такая, что $$A \times B = B \times A = I$$. Обычно мультипликативная A-1. Мультипликативная det (A) имеет мультипликативную Z, то не существует мультипликативной Z. Однако матрицы с реальными элементами имеют
Криптография использует матрицы вычетов: матрицы могут содержать все элементы из Zn. Все операции на матрицах вычетов выполняются так же, как и на матрицах целых чисел, за исключением того, что операции производятся в модульной арифметике. Есть одно интересное свойство: матрица вычетов имеет мультипликативную Zn. Другими словами, матрица вычета имеет мультипликативную НОД (det (A), n) = 1.
Пример 3.7
Рисунок 3.8 показывает матрицу вычетов в Zn и его мультипликативной A-1. Возьмем det (A) = 21, который имеет мультипликативную 5 в Z26. Обратите внимание, что когда мы умножаем эти две матрицы, то результат — Z26.
(рис 3.8) Матрица вычетов и мультипликативная инверсия Две матрицы, сравнимые по модулю n, записываются как $$A \equiv B(\bmod n)$$, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и все соответствующие элементы — сравнимые по модулю n. Другими словами, $$A \equiv B(\bmod n)$$, если $${a_{ij}} \equiv {b_{ij}}(\bmod n)$$ для всех i и j.
Криптография часто включает в себя решение уравнения или множества уравнений одной или более переменных с коэффициентом в Zn. Этот раздел показывает, как решать уравнения с одним неизвестным, когда степень переменной равна 1 (
Давайте посмотрим, как решаются уравнения с одним неизвестным, содержащие сравнения, то есть уравнения ax = b (mod n). Уравнение этого типа может не иметь ни одного решения или иметь ограниченное число решений. Предположим, что НОД (a, n) = d. Если d†b, решение не существует. Если d|b, то имеется d решений.
Если d|b, то для того, чтобы найти решения, мы используем следующую стратегию.
d.x0.x = x0 + k (n/d) для k = 0, 1..., (d – 1).Пример 3.8
Решить уравнение $$10x \equiv 2(\bmod 15)$$.
Сначала мы найдем НОД(10,15) = 5. Полученное число 5 не делится на 2, решение отсутствует.
Пример 3.9
Решить уравнение $$14x \equiv 12(\bmod 18)$$.
Решение
Заметим, что НОД (14, 18) = 2. Поскольку 2 делит 12, мы имеем точно два решения, но сначала сократим уравнение:
Оба решения, 6 и 15, удовлетворяют уравнению сравнения, потому что $$(14 \times 6)\bmod 18 = 12$$, а также $$(14 \times 15)\bmod 18 = 12$$.
Пример 3.10
Решить уравнение $$3x + 4 \equiv 6\left( {\bmod 13} \right)$$.
Решение
Сначала мы приводим уравнение к форме $$ax \equiv b(\bmod n)$$. Мы прибавляем (–4) к обеим сторонам ( 4 аддитивная НОД (3, 13) = 1, уравнение имеет только одно решение, $${x_0} = (2 \times {3^{ - 1}})\bmod 13 = 18 \mod 13 = 5$$. Мы можем видеть, что ответ удовлетворяет первоначальному уравнению: $$3 \times 5 + 4 = 6\left( {\bmod 13} \right)$$.
Мы можем решить систему bn. Мы можем это уравнение представить как произведение матриц. Если обе стороны сравнения умножить на мультипликативную
(рис 3.9) Система линейных уравнений Пример 3.11
Решить систему следующих трех уравнений:
3x + 5y + 7z = 3 (mod 16) x + 4y + 13z = 5 (mod 16) 2x + 7y + 3z = 4 (mod 16)
Решение
Здесь x, y и z играют роли x1, x2, и x3. Матрица, сформированная из коэффициентов уравнений, — обратима. Мы находим мультипликативную 3, 5 и 4. Результат — $$x \equiv 15(\bmod 16)$$, $$y \equiv 4(\bmod 16)$$ и $$z \equiv 14(\bmod 16)$$. Мы можем проверить ответ, подставляя эти значения в уравнения.
Для более детального изучения положений, обсужденных в этой лекции, мы рекомендуем нижеследующие книги и сайты. Пункты, указанные в скобках, показаны в списке ссылок в конце книги.
Несколько книг дают простой, но полный охват теории чисел: [Ros06], [Sch99], [Cou99] и [BW00]. Матрицы обсуждаются в любой книге по линейной алгебре: [LEF04], [DF04] и [Dur05] — это хорошие книги для начинающих.
Нижеследующие сайты дают больше информации о темах, рассмотренных в этой лекции.
Z, содержит все целые числа от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности. Для целых чисел определены три общих a на n, мы можем получить q и r. Отношение между этими четырьмя целыми числами можно показать как $$q \times n + r$$. Мы говорим a|n, если $$a = q \times n$$. В этой лекции мы рассмотрели четыре свойства теории НОД (a, b) и вычислить значение s и t, которые удовлетворяют уравнению as + bt = НОД (a, b).
Линейное диофантово уравнение двух переменных: ax + by = c. Оно имеет частное и общие решения.r, когда мы делим a на n. Мы используем новый оператор, названный модулем (mod), такой, что a mod n = r. Здесь n называется модулем, а r называется вычетом.n — всегда целое число от 0 и до n-1. Мы можем сказать, что операция по модулю n создает набор, который в модульной арифметике называется множеством наименьших вычетов по модулю n, или Zn.Z в Zn не совпадают один в один. Определенные элементы Z могут быть отображены в элемент Zn. В модульной арифметике все целые числа в Z, отображаемые в Zn, называются сравнениями по модулю. Для обозначения этой операции применяется оператор сравнения ( $$\equiv$$ ).[a] — множество целых чисел, сравнимых по модулю n. Это множество всех целых чисел x = a (mod n).Z, могут быть также определены для множества Zn. При необходимости результат может быть отражен в Zn при помощи операции mod.Zn два числа a и b — аддитивные a имеет мультипликативную Zn тогда и только тогда, когда НОД (n, a) = 1 ( a и n — взаимно простые числа).b в Zn, когда даны n и b и НОД (n, b) = 1. Мультипликативная b — это значение t при соответствующем отображении в Zn.l является номером строки, а m — номер столбца. Мы обозначаем матрицу заглавной буквой и жирным шрифтом, например, A. Элемент aij расположен в i -той строке и j -том столбце.Zn.НОД (a,n)|b, то имеется ограниченное число решений.Z и Zn. Какое из этих множеств может содержать отрицательные целые числа? Как мы можем отобразить целое число в Z в целое число в Zn?Zn и множеством Zn*? В каком множестве каждый элемент имеет аддитивную Zn?5|26 3|123 27†127 15†21 23|96 8|5
88 и 220300 и 4224 и 320401 и 700НОД (a, b) = 24, найдите НОД (a, b, 16)НОД (a, b, c) = 12, найдите НОД (a, b, c, 16)НОД (200, 180, и 450)НОД (200, 180 450 610)n — неотрицательное целое число.НОД (2n + 1, n)а, найдите НОД (201, 100), НОД (81, 40) и НОД (501, 250)n — неотрицательное целое число.НОД (3 n + 1,2n +1).а, найдите НОД (301, 201) и НОД (121, 81)s и t:4 и 7291 и 4284 и 320400 и 6022 mod 7140 mod 10-78 mod 130 mod 15(273 + 147) mod 10(4223 + 17323) mod 10(148 + 14432) mod 12(2467+461) mod 12mod, докажите следующее:10, — самая правая цифра100, — целое число, составленное из двух самых правых цифр1000, — целое число, составленное из трех самых правых цифр5 — такой же, что и остаток от деления самой правой цифры на 5. Используйте свойства оператора mod, чтобы доказать это утверждение.2 — такой же, что и остаток от деления самой правой цифры на 2. Используйте свойства оператора mod, чтобы доказать это утверждение.4 — такой же, что и остаток от деления двух самых правых цифр на 4. Используйте свойства оператора mod, чтобы доказать это утверждение.8 — такой же, что и остаток от деления самых правых трех цифр на 8. Используйте свойства оператора mod, чтобы доказать это утверждение.9 — такой же, как и остаток от деления суммы его десятичных цифр на 9. Другими словами, остаток от деления 6371 на 9 — такой же, как при делении 17 на 9, потому что 6 + 3 + 7 + 1 = 17. Используйте свойства оператора mod, чтобы доказать это утверждение.10 при делении на 7. Мы можем доказать, что эти значения будут повторяться для более высоких степеней.100 mod 7 = 1 101 mod 7 = 3 102 mod 7 = 2
103 mod 7 = 1 104 mod 7 = –3 105 mod 7 = –2
Используя вышеупомянутую информацию, найдите остаток от деления целого числа на 7. Проверьте ваш метод с числом 631453672.
10 на 11. Мы можем доказать, что эти значения будут повторяться для более высоких степеней102 mod 11 = 1 101 mod 11 = –1 102 mod 11 = 1 103 mod 11 = –1
Используя вышеупомянутую информацию, найдите остаток от деления целого числа на 11. Проверьте ваш метод с числом 631453672.
10 на 13. Мы можем доказать, что эти значения будут повторяться для более высоких степеней.102 mod 13 = 1 101 mod 13 = –3 102 mod 13 = –4
103 mod 3 = –1 104 mod 13 = 3 105 mod 13 = 4
Используя вышеупомянутую информацию, найдите остаток от целого числа при делении на 13. Проверьте ваш метод с числом 631453672.
A = 0, B = 1... Z = 25 ). Мы можем создать модульную арифметику, используя модуль 26.(A + N) mod 26 в этой системе?(A + 6) mod 26 в этой системе?(Y – 5) mod 26 в этой системе?(C – 10) mod 26 в этой системе?20.20.Z180, используя расширенный 3871322425x + 10y = 1519x + 13y = 2014x + 21y = 7740x +16y = 8815x + 12y = 1318x + 30y = 2015x + 25y = 6940x +30y = 9815 39 2,70$. Найдите несколько решений.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.