Элементы математической статистики

Цель лекции. Показать методику и инструменты MathCAD для работы со случайными величинами.

5.1. Функции для решения задач математической статистики

Случайной величиной (СВ) называется величина, которая в результате опыта может принять только одно из множества значений, причем заранее, до опыта, неизвестно, какое именно. Случайная величина (СВ) может быть дискретной, в этом случае она принимает значение из дискретного числового множества M={1, 2, 3, 4, 5} [10,12]. Случайная величина может быть непрерывной, тогда принимает значения из непрерывного числового множества. Каждая СВ полностью определяется своей функцией распределения. Если X - СВ, возможные значения которой x1,x2,.. Функцией распределения F(x), или интегральным законом распределения, случайной величины X называется зависимость вероятности P выполнения неравенства X < х от возможных значений х

$$F(x)=P(X<x), $$где P - вероятность.

Функция распределения СВ содержит о ней всю информацию, поэтому важно изучение и исследование функции распределения СВ, которую часто называют просто распределением.

Непрерывную СВ можно также задать, используя другую функцию - плотность распределения или плотность вероятности или дифференциальную функцию.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называется функция f(x), являющаяся первой производной от функции распределения F(x) - $$f(x)=F'(x)$$.

Из определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения. Если функция f(x) - плотность распределения непрерывной СВ, то для любых a < b

$$F(X)=\int\limits_{-\infty}^x f(x)dx$$

Зная плотность вероятности, можно найти функцию распределения [10,12].

Функции для генерации последовательности случайных величин (СВ) находятся в категории Random numbers; имена функций начинаются на r, далее следует сокращённое название закона, например: - rnd (x) – генерирует одно число, равномерно распределённое от 0 до х; - rnorm (n, m, d) – генерирует n чисел, распределённых по нормальному закону с средним m и среднеквадратичным отклонением $$\sigma - rpois (n,p)$$ – генерирует n чисел, распределённых по закону Пуассона с параметром р.

Функции распределения случайной величины находятся в категории Probaility distribution; имена функций начинаются на p, далее следует сокращённое название закона. Например: $$pnorm\ (x,\ m, \sigma)$$ – рассчитывает в точке x значение функции распределения вероятности для нормального закона с средним m и среднеквадратичным отклонением $$\sigma$$ ppois (n,p) – рассчитывает в точке x значение функции распределения вероятности для закона Пуассона с параметром p.

Функции плотности распределения случайной величины находятся в категории Probability density; имена функций начинаются на d, далее следует сокращённое название закона. Например: dunif (x, a, b). – значение функции плотности вероятности в точке x для равномерного закона на интервале [a,b], a < b, - dpois (x,p) – значение функции плотности вероятности в точке x для закона Пуассона с параметром p.

Функции для расчёта числовых характеристик случайных величин. При решении практических задач важно числовые параметры СВ - количественные критерии, которые позволяют дать оценку наиболее существенным признакам случайной величины. К таким величинам относятся: математическое ожидание (или среднее), дисперсия, среднеквадратическое отклонение и т.д. [10, 12]. Функции для расчёта числовых характеристик находятся в категории Statistics. Например, mean (v) – среднее значение, var (v)– дисперсия;- stdev (v)– среднеквадратичное отклонение и т.д. Здесь v - вектор значений случайной величины.

Все функции приведены в приложении.

5.2. Генерация случайных чисел

При генерации программа создаёт последовательность псевдослучайных чисел. Псевдослучайные величины вырабатываются алгоритмически и представляют последовательность чисел, обладающих свойствами случайных чисел. Псевдослучайные числа связаны с некоторым задаваемым стартовым значением. Для того, чтобы поменять саму последовательность сгенерированных случайным датчиком чисел, в MathCAD предусмотрена возможность определения начального – стартового значения. В меню Tools/ Worksheet Options (Инструменты/ Опции листа), на вкладке Built-in Variables (Встроенные переменные) в поле ввода Seed value for random устанавливается начальное (стартовое) значение для генератора псевдослучайных чисел. Альтернативный способ: использование встроенной функции seed(x) прямо в документе:

seed(x) — функция установки нового начального значения для генератора псевдослучайных чисел, х — новое начальное значение для генератора псевдослучайных чисел (целое число от 1 до 2147483647) [3, 4].

Равномерное распределение - распределение с постоянной вероятностью

Пример 5.1

Построим 8000 чисел равномерно распределенной СВ в интервале от 0 до 10 и ее график.

Используем функцию rnd(x) из категории Random numbers.

Функция rnd(x) генерирует равномерно распределенное случайное число между 0 и x . [4, 9].

Для генерации массива используем ранжированную переменную. MathCAD создает массив СВ в виде вектора, значения которого представляются в виде таблицы, 1 столбец которой – номер, 2 столбец - значение случайной величины. Если массив большой, чтобы просмотреть все значения СВ – надо щелкнуть по таблице и использовать линейку прокрутки. Можно представить СВ в виде одномерной индексной переменной. На листинге решения (Рис.5.1) R – вектор случайной величины. График СВ построен на плоскости для индексной переменной и трехмерный для вектора R. Графики построены в виде точек.

$$ORIGIN:=1$$

$$rnd(x)$$ - генерирует одно число, равномерно распределенное от 0 до x.

$$rnd(2)=2.537\times 10^{-3}$$ - равномерно распределенное случайное число в интервале [0;2]

$$rnd(3)=0.58$$ - равномерно распределенное в интервале [0;3]

$$k:=0..8000$$

$$R_k:=rnd(10)$$

$$R=\begin{array}{|c|c|} \hline 1 \\ \hline 4456 1.052 \\ \hline 4457 8.36 \\ \hline 4458 4.844 \\ \hline 4459 1.823 \\ \hline 4460 2.199 \\ \hline 4461 \textbf{4.068} \\ \hline 4462 0.418 \\ \hline 4463 1.853 \\ \hline 4464 9.569 \\ \hline 4465 8.844 \\ \hline 4466 0.148 \\ \hline \end{array}$$ $$R_1:=2.532$$ $$R_2:=9.82$$ $$R_5000:=0.612$$

(рис 5.1) Листинг решения примера 5.1. Графики СВ одномерной индндексной переменной Rk и матрицы R

Нормальное распределение

Пример 5.2

Построим 1000 элементов СВ, распределенных по нормальному закону со средним $$m=1600$$ среднеквадратичным отклонением $$\sigma=100$$.

Для генерации используем функцию rnorm () из категории Random numbers.

Функция $$rnorm (n, m, \sigma). $$- генерирует вектор n независимых случайных чисел, каждое из которых имеет нормальное распределение с средним m и среднеквадратичным отклонением $$\sigma$$;.

Функция rnorm() также создает массив СВ в виде вектора. . На листинге (Рис.5.2) NR – -вектор случайной величины. Как и в примере 5.1. построим график СВ на плоскости для индексной переменной $$NR_k$$ в виде точек и линий и трехмерный точечный для матрицы NR.

$$ORIGIN:=1$$

$$m:=1600$$

$$\sigma:=100$$

$$NR:=rnorm(1000,m,\sigma)$$

$$NR=\begin{array}{|c|c|} \hline 989 1.674\times 10^3 \\ \hline 990 1.69\times 10^3 \\ \hline 991 1.725\times 10^3 \\ \hline 992 1.476\times 10^3 \\ \hline 993 1.591\times 10^3 \\ \hline 994 1.649\times 10^3 \\ \hline 995 1.582\times 10^3 \\ \hline 996 1.573\times 10^3 \\ \hline 997 1.436\times 10^3 \\ \hline 998 1.329\times 10^3 \\ \hline 999 1.639\times 10^3 \\ \hline 1000 ... \\ \hline \end{array}$$

(рис 5.2) Листинг решения примера 5.2. Вектор СВ NR и графики вектора NR .на плоскости и в простанстве

Числовые характеристики

Рассчитаем числовые характеристики СВ: среднее, минимальное, максимальное значение, дисперсию, среднеквадратичное отклонение . Используем функции из категории Statistics.

Числовые характеристики СВ с равномерным распределением для примера 5.1 .

$$mean(R)=5.013$$ - среднее

$$min(R)=3.286\times10^{-3}$$ - минимальное

$$max(R)=10$$ - максимальное

$$var(R)=\vrule{}$$ - дисперсия

$$stdev(R)=2.884$$ - среднеквадратичное отклонение

Числовые характеристики СВ с нормальным распределением для примера 5.2

$$mean(NR)=1.604\times10^3$$ - среднее

$$min(NR)=1.275\times10^3$$ - минимальное

$$max(NR)=1.906\times10^3$$ - максимальное

$$var(NR)=9.55\times10^3$$ - дисперсия

$$stdev(NR)=97.723$$ - среднеквадратичное отклонение

5.3. Построение функции распределения и плотности распределения

Нормальное распределение

Функция плотности нормального распределения вероятности случайной величины имеет вид $$P(x,m,\sigma)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp{(\frac{-1}{2\sigma^2}(x-m)^2)}$$ где m среднее, $$\sigma$$ - среднеквадратичное отклонение. Тогда функция нормального распределения будет: $$F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int\limits_{-\infty}^x{(\frac{-1}{2\sigma^2}(t-m)^2)dt}$$

Пример 5.3

Для СВ, распределенной по нормальному закону построим функцию распределения вероятности , функцию плотности распределения вероятности и графики.

В MathCAD функции распределения находятся в категории Probaility distribution, функции плотности распределения находятся в категории Probability density. Используем функцию pnorm() и dnorm().

Функция $$pnorm (x, m, \sigma). $$– рассчитывает в точке x значение функции распределения вероятности для нормального закона со средним m и среднеквадратичным отклонением $$\sigma$$.

Функция $$dnorm (n, m, \sigma). $$– рассчитывает в точке x значение функции плотности распределения вероятности для нормального закона со средним m и среднеквадратичным отклонением $$\sigma$$.

На листинге (Рис.5.3, Рис.5.4) созданы два вектора СВ с нормальным распределением и разными параметрами m и $$\sigma$$ : NR и NR1. В векторе NR (и NR1) каждое число имеет нормальное распределение с средним m и среднеквадратичным отклонением $$\sigma$$.

Построены две функции распределения: FN(x) - для 1 элемента вектора $$NR_k$$ и FN1(x) - для 1 элемента вектора $$NR_k$$. Показаны график функций распределения FN(x) и FN1(x).

$$m:=1600$$, $$\sigma:=100$$

$$m1:=500$$, $$\sigma1:=100$$

$$NR:=rnorm(1000,m,\sigma)$$, $$NR1:=rnorm(1000,m1,\sigma1)$$

$$FN(x):=pnorm[NR_1(x),m,\sigma]$$, $$FN1(x):=pnorm[NR1_1(x),m,\sigma]$$

(рис 5.3) Листинг решения примера 5.3. Функции распределения FN(x) и FN1(x) для нормального закона и их графики

$$DN(x):=dnorm[NR_1(x),m,\sigma]$$, $$DN1(x):=pnorm[NR1_1(x),m,\sigma]$$

(рис 5.4) Листинг решения примера 5.3. Функции плотности распределения DN(x) и DN1(x) для нормального закона и их графики

5.4. Построение гистограммы распределения случайной величины

Гистограммой называется график, аппроксимирующий по случайным данным плотность их распределения. При построении гистограммы область значений случайной величины (а,b) разбивается на некоторое количество n сегментов, а затем подсчитывается процент попадания данных в каждый сегмент. Для построения гистограмм в MathCAD имеется несколько встроенных функций. Рассмотрим две функции

Функция hist (int, x) – возвращает вектор частоты попадания случайной величины х в интервалы, определяемые вектором сегментов int на отрезке (a.b), сегменты находятся в порядке возрастания a<int<b.

Функция - histogram (bin, х) – возвращает двумерную матрицу на отрезке (a.b), 1 столбец которой содержит середины разбиения отрезка на bin сегментов , 2 столбец - вектор частоты попадания случайной величины х.

На примере экспоненциального распределения случайной величины с параметром $$\lambda=20$$ продемонстрируем технологию построения гистограммы распределения.

Экспоненциальное или показательное распределение

Непрерывная случайная величина х, принимающая неотрицательные значения в полубесконечном интервале $$(0, \infty)$$, имеет экспоненциальное распределение, если плотность распределения имеет вид:

$$F(x)=\lambda\epsilon^{\lambda x}$$

Функция распределения в этом случае имеет вид:

$$F(x)=1-\epsilon^{\lambda x}$$

где $$\lambda >0$$ — положительная постоянная, параметр экспоненциального распределения.

Числовые характеристики экспоненциального распределения определяются по следующим формулам:

Математическое ожидание $$M(x)=1/\lambda$$ дисперсия $$D(x)=1/\lambda^2$$, среднеквадратичное отклонение $$\sigma(x)=1/\lambda$$

Пример 5.4

Построим гистограмму распределения для случайной величины с экспоненциальным распределением. Рассмотрим два способа построения.

1 способ. Гистограмма с произвольными сегментами разбиения

Сначала генерируем совокупность СВ, распределенных по экспоненциальному закону с параметром $$\lambda=20$$. С помощью функции $$rexp(n, \lambda)$$. построим массив R из n=1000 случайных величин. Область изменения R лежит в пределах от a=min(R) до b=max(R). Для построения гистограммы используем функцию hist (int, x) для 50 интервалов int=50. Листинг расчета, где получены вектор частоты попадания данных в интервалы гистограммы GR и вектор сегментов int, показан на pис.5.5. MathCAD создает GR и int в виде векторов и представляет в виде таблиц, где 1 столбец номер элементов, 2 столбец значения GR и int, соответственно. Графики построены на плоскости для индексной переменной и в виде для матрицы в де гистограммы и пространственной кривой.

$$ORIGIN:=1$$

$$r:=10$$, $$R:=rexp(1000,r)$$

$$R=\begin{array}{|c|c|} \hline 1 \\ \hline 20 0.069 \\ \hline 21 0.036 \\ \hline 22 0.141 \\ \hline 23 ... \\ \hline \end{array}$$

$$nint:=50$$

$$j:=1..nint$$

$$a:=min(R)$$, $$b:=max(R)$$

$$a=1.014\times 10^{-5}$$, $$b=0.994$$

$$nint_j:=a+\frac{(b-a)}{nint}j$$, $$GR:=hist(int,R)$$

$$GR=\begin{array}{|c|c|} \hline 1 \\ \hline 1 160 \\ \hline 2 131 \\ \hline 3 116 \\ \hline 4 ... \\ \hline \end{array}$$

$$int=\begin{array}{|c|c|} \hline 1 \\ \hline 27 0.537 \\ \hline 28 0.557 \\ \hline 29 0.577 \\ \hline 30 ... \\ \hline \end{array}$$

(рис 5.5) Листинг решения примера 5.4. 1 способ построения гистограммы. Матрица гистограммы GR, матрица интервалов int. Гистграмма на плоскости и в трехмерном пространстве.

2 способ. Построение матрицы гистограммы

Для построения гистограммы массива R из 1000 СВ используем функцию histogram(bin, х). Область изменения R [a, b] также разобьем на 50 интервалов. MathCAD создает двумерную матрицу GR1, 1 столбец которой содержит середины разбиения отрезка (a, b) на bin=50 сегментов, 2 столбец - вектор частоты попадания случайной величины R. Рис.5.6 представляет матрицу гистограммы GR1 и ее графики. На плоскости график от индексной переменной: - по оси OX первый столбец матрицы, по оси OY – второй столбец матрицы. В пространстве график от матрицы в виде гистограммы и поверхности.

$$GR1=histogram(int,R)$$

$$GR=\begin{array}{|c|c|c|} \hline 1 2 \\ \hline 14 0.269 14 \\ \hline 15 0.288 6 \\ \hline 16 0.308 14 \\ \hline 17 0.328 9 \\ \hline 18 0.348 3\\ \hline 19 0.368 6 \\ \hline 20 0.388 5 \\ \hline 21 0.408 1 \\ \hline 22 0.428 3 \\ \hline 23 0.448 3 \\ \hline 24 0.467 0 \\ \hline 25 0.487 0 \\ \hline 26 0.507 1 \\ \hline 27 0.527 0 \\ \hline 28 0.547 1 \\ \hline 29 0.567 1 \\ \hline 30 0.587 ... \\ \hline \end{array}$$

(рис 5.6) Листинг решения примера 5.4. 2 способ построения гистограммы. Матрица гистограммы GR1. Гистграммы на плоскости и в трехмерном пространстве

Основные итоги

В лекции представлены методы работы со случайными величинами. Рассмотрены функции всех категорий: Random numbers, pnorm. dnorm $$\sigma$$;). Statistics. Probaility distribution, Probability density, с помощью которых можно генерировать случайные последовательности с заданным распределением, рассчитывать вероятности, находить статистические характеристики, строить гистограммы распределений. На примерах показано построение графиков случайных величин в виде одномерной функции индексной переменной и в виде совокупности точек поверхности.

Задания для самостоятельного выполнения

Генерировать вектор из 5000 случайных чисел, распределенных по равномерному закону на отрезке [a,b]: a=5 b=40. Показать графическое представление точек случайной величины. Рассчитать статистические характеристики.

Для сгенерированного вектора построить функцию распределения и плотность распределения. Показать графики и матрицы распределений.

Построить гистограмму распределения для сгенерированной матрицы. Показать графики и матрицы.

Сгенерировать последовательность из 1000 случайных чисел, распределенных по заданному закону. Построить гистограмму. Рассчитать характеристики распределения: математическое ожидание, дисперсию, среднеквадратичное отклонение, медиану. Варианты законов распределения:

Нормальный закон распределения , математическое ожидание 3, среднеквадратичное отклонение 1,5.

Закон Пуассона, среднее 10.

Логнормальный закон, среднее 5, отклонение 2.

Гамма-распределение $$\alpha= 2$$.

Нормальный закон распределения , матожидание 5, отклонение 1.

Гамма-распределение (функция rgamma категории random numbers), $$\alpha= 1$$.

Закон Пуассона, среднее 3.

Бета-распределение, $$\alpha = 2, \beta = 8$$

Ключевые термины

случайная величина - величина, которая в результате опыта может принять только одно из множества значений, до опыта, неизвестно, какое именно.

функция распределения – вероятность P для случайной величины X выполнения неравенства X < х, где х – одно их возможных значений СВ, F(x) = P( X < x ), F(x) - функция аргумента х.

плотность распределения вероятности – для непрерывной случайной величины X первая производная от функции распределения F(x): $$f(x)=F'(x)$$.

Random number () – категория функций для генерации последовательности случайных величин.

Statistics () - категория функций для расчёта числовых характеристик случайных величин.

Probaility distribution - категория функций для построения распределения вероятности случайных величин.

Probability density - категория функций для построения распределения плотности вероятности случайных величин.

hist () – функция вычисления частотного распределения случайной величины для построения гистограммы с произвольными сегментами разбиения.

histogram() – функция вычисления частотного распределения случайной величины для построения гистограммы с разбиением на равные сегменты.