Ультрафильтры и компактность

Теорема 75. Всякий фильтр $$F$$ на множестве $$S$$ можно расширить до ультрафильтра $$F'\hm\supset F$$.

Доказательство этой теоремы неконструктивно: мы не предъявляем такого фильтра, а устанавливаем его существование с помощью леммы Цорна (см. [6]). Нужно только заметить, что объединение любой цепи фильтров является фильтром (что непосредственно следует из определения).

Другими словами, пока фильтр не станет ультрафильтром, мы берем "промежуточное" множество и расширяем фильтр, объявляя его большим, повторяя этот процесс по трансфинитной индукции.

160. Докажите, что на любом бесконечном множестве есть неглавный ультрафильтр. (Указание: расширим фильтр коконечных множеств до ультрафильтра.)

Можно представлять себе элементы множества $$S$$ как голосующих (которые никогда не воздерживаются от голосования). При этом фильтр на $$S$$ определяет регламент: решение принимается, если множество проголосовавших "за" является большим. Аксиомы фильтра тогда звучат так: решение, против которого все, принято быть не может; если каждое из двух решений принимается, то они принимаются и в совокупности; наконец, принятое решение не может быть отвергнуто, если некоторые из голосовавших против него передумали.

Свойство ультрафильтра также имеет ясный смысл: по любому вопросу можно принять решение (одно из двух противоположных мнений набирает большинство). Главные ультрафильтры соответствуют диктатуре (существенно мнение лишь одного голосующего); задача 150 показывает, что для конечного числа голосующих любые другие способы не позволяют принять решения по некоторым вопросам.

Ультрафильтры можно использовать для построения любопытных примеров. Вот один из них. Рассмотрим игру двух участников, в которой они по очереди объявляют некоторые натуральные числа " своими". На первом шаге начинающий игру объявляет своими числа от нуля до некоторого числа $$n_1$$, на втором шаге его противник присваивает числа от $$n_1$$ (не включая его) до некоторого большего числа $$n_2$$ (включая его), затем первый игрок присваивает числа от $$n_2$$ до $$n_3$$ и так далее. Партия продолжается неограниченно и делит натуральный ряд между первым и вторым (на два взаимно дополнительных множества). Выигрывает тот, чье множество большое (принадлежит некоторому фильтру).

Если этот фильтр является ультрафильтром, то в этой игре не может быть ничьей. Если ультрафильтр главный, то игра тривиальна — побеждает тот, кто захватит решающее число, и потому первый может гарантировать выигрыш на первом же ходу.

Теорема 76. Если ультрафильтр неглавный, то ни один из игроков не имеет выигрышной стратегии. (Стратегия — это функция, предписывающая следующий ход в зависимости от истории игры. Стратегия считается выигрышной, если ее использование гарантирует выигрыш при любой игре противника.)

Прежде всего отметим, что оба игрока не могут одновременно иметь выигрышные стратегии. (Что будет, если они оба ими воспользуются?) Покажем теперь, что если выигрышную стратегию имеет один, то ее имеет и второй. Совсем просто понять, что если у ходящего вторым есть выигрышная стратегия, то и первый может ей воспользоваться (он должен представить себя вторым, считая, что первый на первом ходу ничего не взял).

Не столь ясно, что выигрышная стратегия первого может быть использована вторым, но и это верно — поскольку конечные множества не влияют на принадлежность ультрафильтру (задача 159), второй может забыть про ход, с которого началась игра, и вообразить себя первым. (Это сделает его первый ход бессмысленным, если этот ход окажется меньше хода противника. В этом случае можно сделать сразу второй ход первого игрока, и далее следовать стратегии.)

161. Проведите это рассуждение подробно.

Сейчас мы докажем теорему компактности с помощью ультрафильтров. Для этого нам понадобится понятие произведения интерпретаций.

Пусть $$M_s$$ — семейство интерпретаций некоторой (одной и той же) сигнатуры $$\sigma$$, индексированное множеством $$S$$ (для каждого $$s\hm\in S$$ имеется своя интерпретация $$M_s$$ ). Определим произведение интерпретаций$$\prod_{s\in S} M_s.$$ Элементами носителя будут отображения, сопоставляющие c каждым индексом $$s\hm\in S$$ некоторый элемент интерпретации $$M_s$$. Иными словами, носитель строимой интерпретации будет декартовым произведением всех $$M_s$$.

Функциональные символы интерпретировать легко: они применяются отдельно в каждой компоненте. Именно так определяется произведение групп или колец в алгебре. Остается определить предикатные символы. В алгебре два элемента в произведении колец или групп считаются равными, если все их компоненты равны. По аналогии будем считать, что два элемента $$s\mapsto a_s$$ и $$s\mapsto b_s$$ делают истинным двуместный предикат $$P$$, если $$P(a_s,b_s)$$ истинно в интерпретации $$M_s$$ для всех $$s$$. (Мы взяли двуместный символ для примера, то же самое можно сделать и для символов любой валентности.)

Для произведения двух упорядоченных множеств (индексное множество $$S$$ равно $$\{1,2\}$$, сигнатура есть $$({=},{\le})$$ ) возникает покомпонентный порядок на парах: $$\langle a_1,a_2\rangle\hm\le\langle b_1,b_2\rangle$$, если $$a_1\hm\le a_2$$ и $$b_1\hm\le b_2$$. Заметим, что такой порядок на произведении двух линейно упорядоченных множеств уже не будет линейным (если сомножители состоят более чем из одного элемента).

Нам это не нравится: мы хотим, чтобы произведение интерпретаций обладало бы всеми свойствами, которыми обладают сомножители. Введем понятие фильтрованного произведения (по модулю данного фильтра). Пусть на множестве индексов $$S$$ задан фильтр $$F$$. Изменим определение истинности предикатов и будем считать, что элементы $$s\hm\mapsto a_s,\,s\hm\mapsto b_s,\dots$$ делают истинным предикат $$P$$, если $$P(a_s,b_s,\dots)$$ истинно "для большинства $$s$$ ", то есть если множество $$\{s\mid P(a_s,b_s,\dots)\}$$ принадлежит фильтру $$F$$. В остальном (носитель, функциональные символы) определение остается прежним.

Что будет равенством в фильтрованном произведении нормальных интерпретаций? Два элемента произведения (то есть функции на множестве индексов) равны, если они "совпадают почти всюду", то есть множество индексов, где они совпадают, принадлежит фильтру. При этом полученная интерпретация не будет нормальной. Чтобы перейти к нормальной, нужно рассмотреть классы равных элементов — как это делается, скажем, для пространства $$L_2$$ интегрируемых с квадратом функций, где элементами являются не сами функции, а их классы с точностью до совпадения почти всюду.

162. Что можно сказать про фильтрованное произведение по главному фильтру?

Вернемся к нашему примеру: произведению линейно упорядоченных множеств. Будет ли оно линейно упорядоченным? Это зависит от фильтра. Например, если фильтр состоит только из множества $$S$$, то фильтрованное произведение совпадает с определенным ранее, и линейного порядка не получится. Но если фильтр является ультрафильтром, то будет. В самом деле, рассмотрим два элемента $$s\hm\mapsto a_s$$ и $$s\hm\mapsto b_s$$ в произведении и два множества $$\{s\mid a_s\hm\le b_s\}$$ и $$\{s\mid a_s\hm\ge b_s\}$$. В объединении они покрывают все $$S$$, и потому (если у нас ультрафильтр) одно из них должно быть большим (если оно не большое, так малое, его дополнение большое и содержится во втором множестве).

163. Докажите, что в фильтрованном произведении нормальных интерпретаций функции и предикаты корректны относительно равенства (то есть совпадения почти всюду): при замене аргументов на равные значение функции совпадает с прежним почти всюду, а значение предиката не меняется.

Это утверждение можно сформулировать так: аксиомы равенства истинны в фильтрованном произведении нормальных интерпретаций. Для ультрафильтров верно и более общее свойство: любая формула, истинная во всех интерпретациях, истинна в фильтрованном произведении по модулю ультрафильтра. Поэтому именно такие ультрапроизведения (фильтрованные по модулю ультрафильтра) представляют основной интерес для логики.

Мы сейчас докажем это свойство по индукции. Как обычно, надо предварительно распространить его на формулы с параметрами.

Теорема 77 (Лося об ультрапроизведениях). Пусть параметрами формулы $$\varphi$$ являются переменные $$a,b,\dots$$ Она будет истинной в ультрапроизведении $$\prod_{s\in S} M_s$$ при значениях параметров $$\alpha,\beta,\dots$$ тогда и только тогда, когда множество тех $$s$$, при которых $$\varphi$$ истинна в $$M_s$$ при значениях параметров $$\alpha_s,\beta_s,\dots$$, принадлежит ультрафильтру.

Наглядно утверждение теоремы можно сформулировать так: голосование можно проводить не только по атомарным вопросам, а для любых формул. Для замкнутых формул про параметры можно ничего не говорить, и мы получаем, что формула истинна в ультрапроизведении, если и только если она истинна в большинстве (с точки зрения ультрафильтра) сомножителей. В частности, если формула истинна во всех сомножителях, то она истинна и в ультрапроизведении. Это важное утверждение заслуживает особого упоминания:

Следствие. Ультрапроизведение семейства моделей некоторой теории является моделью той же теории.

Докажем теорему Лося индукцией по построению формулы. Для атомарных формул оно непосредственно следует из определения истинности предикатов.

Пусть формула $$\varphi$$ является конъюнкцией двух других формул $$\psi\land\eta$$, для которых утверждение уже верно. Тогда множество тех индексов, для которых $$\varphi$$ истинно, является пересечение множеств тех индексов, где истинны $$\psi$$ и $$\eta$$. Тем самым нам нужно такое свойство ультрафильтра: пересечение двух множеств является большим тогда и только тогда, когда оба они большие. Оно непосредственно следует из определения фильтра (здесь неважно, что это ультрафильтр), поскольку пересечение содержится в обоих множествах.

Для объединения соответствующее свойство звучит так: объединение $$S\cup T$$ двух множеств большое тогда и только тогда, когда хотя бы одно из множеств $$S$$ и $$T$$ большое. В одну сторону (если одно из множеств большое, то и объединение таково) это вытекает из определения фильтра. В обратную сторону надо воспользоваться свойствами ультрафильтра: если $$S\hm\cup T$$ большое, а оба множества $$S$$ и $$T$$ — нет, то они малые, их дополнения большие, пересечение дополнений большое, и не пересекается с $$S\hm\cup T$$, что невозможно.

Пусть формула $$\varphi$$ имеет вид $$\lnot\psi$$. Тогда имеет место такая цепочка: ( $$\varphi$$ истинна в ультрапроизведении $$)\hm\Leftrightarrow(\psi$$ ложна в нем $$)\hm\Leftrightarrow($$ множество индексов тех сомножителей, где $$\psi$$ истинна, не является большим $$)\hm\Leftrightarrow($$ это множество является малым $$)\hm\Leftrightarrow($$ его дополнение большое $$)\Leftrightarrow($$ множество номеров тех сомножителей, где $$\psi$$ ложна (то есть $$\varphi$$ истинна), большое).

Импликация сводится к уже рассмотренным случаям ( $$\psi\hm\to\eta$$ эквивалентна $$\lnot\psi\hm\lor\eta$$ ); можно также сразу заменить формулу на эквивалентную без импликации.

Наиболее интересен случай кванторов. Можно ограничиться квантором существования (квантор всеобщности сводится к нему и к отрицаниям). Он разбирается так (мы используем не вполне корректные обозначения — надеемся, они не вызовут путаницы). Пусть формула $$\exists x\,\varphi(x,y,z,\dots)$$ истинна в ультрапроизведении. Это значит, что существует функция $$x\colon s\hm\mapsto x_s$$, для которой $$\varphi(x,y,z,\dots)$$ истинно в ультрапроизведении. По предположению индукции это означает, что для большинства $$s$$ формула $$\varphi(x_s,y_s,z_s,\dots)$$ истинна в $$M_s$$. Но тогда для этих индексов $$s$$ и формула $$\exists x\,\varphi(x,y,z,\dots)$$ истинна в $$M_s$$, что и требовалось. Обратное рассуждение аналогично: если для большинства $$s$$ найдется соответствующее значение $$x_s$$, то эти $$x_s$$ можно собрать в функцию (доопределив ее как угодно на малом множестве остальных $$s$$ ), и эта функция будет искомым значением $$x$$ в ультрапроизведении.

Теорема Лося доказана.

Мы уже говорили, что произведение нормальных интерпретаций может не быть нормальным. Но теорема Лося гарантирует, что в ультрапроизведении нормальных интерпретаций выполнены аксиомы равенства (поскольку они выполнены в каждом сомножителе), и потому равенство является отношением эквивалентности, и классы эквивалентности уже дают нормальную интерпретацию (с теми же истинными формулами).

Теорема Лося позволяет дать прямое доказательство теоремы компактности (теорема 50). Она утверждает, что если всякое конечное подмножество данного множества замкнутых формул $$T$$ совместно (имеет модель), то и все множество $$T$$ совместно.

Модель для всего множества $$T$$ строится как ультрапроизведение. Индексами будут конечные подмножества множества $$T$$. Для каждого из них сомножителем будет существующая по условию модель. Теперь надо правильно подобрать фильтр на семействе конечных подмножеств множества $$T$$. Нам нужно, чтобы для каждого $$t\in T$$ семейство всех конечных подмножеств, содержащих $$t$$, было бы большим. (В этом случае теорема Лося гарантирует, что $$t$$ будет истинно в ультрапроизведении.)

Как построить такой фильтр? Для каждого конечного $$T'\hm\subset T$$ рассмотрим семейство $$S(T')$$ всех конечных подмножеств, содержащих $$T'$$. Очевидно, пересечение таких семейств снова будет семейством такого вида ( $$S(T')\hm\cap S(T'')=S(T'\hm\cup T'')$$ ), так что после добавления всех надмножеств всех таких множеств получится фильтр. Остается расширить этот фильтр до ультрафильтра по теореме 75. Теорема компактности доказана.

Поучительно проследить до конца, что дает такого рода построение для какого-нибудь конкретного примера. Вспомним построение нестандартного натурального ряда. Оно использовало теорему компактности. Сочетая его с приведенным только что доказательством теоремы компактности (и кое-что упростив), получаем такую конструкцию.

Рассмотрим натуральные числа как интерпретацию сигнатуры $$({=},{+},{\times})$$. Рассмотрим ультрапроизведение $$*{\mathbb N}$$ счетного числа таких интерпретаций по модулю какого-либо неглавного ультрафильтра. Теорема Лося говорит, что в этой интерпретации будут истинны те же формулы, что в натуральном ряду, то есть что $$*{\mathbb N}$$ элементарно эквивалентна стандартной интерпретации $$\mathbb N$$.

Покажем, что $$\mathbb N$$ не изоморфна $$*{\mathbb N}$$. В самом деле, при таком изоморфизме нуль обязан переходить в элемент $$(0,0,0,\dots)$$ (точнее, в класс этого элемента относительно равенства), поскольку такой класс обладает свойствами нуля, однозначно его определяющими (в $$\mathbb N$$, а потому и в $$*{\mathbbN}$$ ). По аналогичным причинам единица переходит в класс $$(1,1,1,\dots)$$ и вообще число $$k$$ соответствует классу $$(k,k,k,\dots)$$. А класс $$(0,1,2,3,4,\dots)$$ отличается от любого класса $$(k,k,k,\dots)$$ (они совпадают в единственном сомножителе, а одноэлементное множество является малым, так как ультрафильтр неглавный). Таким образом, построенная нами модель $$*{\mathbbN}$$ не является стандартной.

Аналогичное рассуждение позволяет построить и нестандартные модели действительных чисел (о которых мы будем говорить в следующем разделе).

Нестандартный анализ

Один из создателей теории моделей, А.Робинсон, заметил, что с ее помощью можно придать точный смысл понятиям "бесконечно малых" и "бесконечно больших" величин, с которыми оперировали еще Ньютон и Лейбниц и которые затем были изгнаны и заменены рассуждениями с эпсилонами и дельтами.

Это направление получило название нестандартного анализа. Целей тут две: во-первых, упростить доказательства известных теорем, во-вторых, использовать методы нестандартного анализа для получения новых результатов. Насколько эти цели достигнуты за тридцать с лишним лет, прошедших с возникновения нестандартного анализа?

Простота доказательств — дело вкуса. Конечно, всякий преподаватель курса математического анализа мечтает избавиться от утомительных рассуждений с выбором достаточно малых эпсилонов. Но если вместо этого нужно постоянно переходить от модели к ее элементарному расширению и обратно, лекарство может оказаться страшнее болезни. Во всяком случае, " нестандартные" учебники математического анализа для нематематиков (один из них написан Кейслером [34]) большого распространения не получили.

Новые результаты действительно были получены; отметим, что многие из них (хотя и не все) впоследствии были передоказаны "стандартными" методами, так что и здесь революции не произошло.

Так или иначе, нестандартный анализ — интересное приложение теории моделей, и мы разберем несколько простых примеров. Более подробно об этом можно прочесть в книгах Дэвиса [11] и Успенского [27], а также в последней главе книги Робинсона [22].

Идея нестандартного анализа проста. Среди действительных чисел, увы, нет бесконечно малых (которые были бы меньше $$1/n$$ при всех $$n=1,2,3,\dots$$ ) — как говорят, поле вещественных чисел удовлетворяет аксиоме Архимеда. (Оригинальная формулировка этой аксиомы: каковы бы ни были два отрезка, можно отложить меньший из них столько раз, чтобы превзойти больший.) Но можно рассмотреть элементарное расширение поля $$\mathbb{R}$$, в котором такие бесконечно малые элементы есть, и использовать их для определения пределов, производных и прочего в исходном поле.

Перейдем к формальным определениям. Мы будет рассматривать вещественную прямую как модель очень богатой сигнатуры. Для каждого отношения на $$\mathbb R$$ (c произвольным числом аргументов) введем свой предикатный символ. Получится $$2^{\mathfrak{c}}$$ предикатных символов. Кроме того, для каждой функции из $$\mathbb{R}^n$$ в $$\mathbb{R}$$ (при всех $$n=0,1,2,\dots$$ ) введем свой функциональный символ. Это даст еще $$2^{\mathfrak{c}}$$ символов.

Пусть $$*\mathbb R$$ — любая нормальная интерпретация этой сигнатуры, элементарно эквивалентная $$\mathbb R$$. Ее можно считать полем, расширяющим поле $$\mathbb R$$. В самом деле, среди функциональных символов есть двуместные символы для сложения и умножения. Они задают некоторые операции в $$*\mathbb R$$ и относительно этих операций множество $$*\mathbb R$$ будет полем, так как аксиомы поля можно записать в виде формул (эти формулы истинны в $$\mathbb R$$, а потому и в $$*\mathbb{R}$$ ). Аналогичное рассуждение с предикатом "меньше" показывает, что $$*\mathbb{R}$$ является упорядоченным полем.

Это поле можно считать расширением поля $$\mathbb R$$. В самом деле, для каждого действительного числа $$x$$ в сигнатуре имеется константа. Значения таких констант образуют подполе в $$*\mathbb R$$, изоморфное $$\mathbb R$$. В самом деле, утверждения вида $$a\hm\ne b$$, $$a+b\hm=c$$ и $$ab\hm=c$$ являются формулами, и переносятся из $$\mathbb R$$ в $$*\mathbb R$$. Аналогичным образом это вложение сохраняет порядок.

Если поле $$*\mathbb R$$ исчерпывается значениями констант из $$\mathbb R$$,то ничего интересного не получается. Поэтому мы будем предполагать, что это не так. Возможность построить $$*\mathbb R$$, не совпадающее с $$\mathbb R$$, следует (например) из теоремы Левенгейма- Сколема о повышении мощности. Другой способ: добавим в сигнатуру новую константу $$c$$ и рассмотрим теорию$$\text{Th}(\mathbb R)+\{c>\bar a\mid a\in\mathbb R\},$$ где $$\text{Th}(\mathbb R)$$ — множество всех истинных в $$\mathbb R$$ формул нашей сигнатуры, а $$\bar a$$ — константа для числа $$a$$. Совместность этой теории следует из теоремы компактности. Любая ее модель годится в качестве $$*\mathbb R$$, поскольку значение константы $$c$$ больше всех элементов из $$\mathbb R$$.

164. Проведите это рассуждение подробно.

В дальнейшем мы предполагаем, что выбрана и зафиксирована некоторая интерпретация $$*\mathbb{R}$$, являющаяся элементарным расширением $$\mathbb R$$ и не совпадающая с $$\mathbb R$$. Ее элементы мы называем гипердействительными числами. Среди них есть и действительные числа, которые мы будем называть также стандартными элементами $$*\mathbb R$$. Остальные элементы $$*\mathbb R$$ будут нестандартными гипердействительными числами. (По нашему предположению таковые существуют.)

Утверждение об элементарной эквивалентности $$*\mathbb R$$ и $$\mathbb R$$ называют принципом переноса: он позволяет перенести истинность формулы из $$\mathbb R$$ в $$*\mathbb R$$ (или наоборот).

Возможность переноса не ограничивается алгебраическими свойствами. Например, в нашей сигнатуре есть функция $$\sin$$. В интерпретации $$*\mathbb R$$ ей соответствует функция, которую можно было бы назвать "гипердействительным синусом". Эта функция продолжает обычный синус (для стандартных аргументов), поскольку утверждения вида $$\sin a = b$$ для конкретных стандартных $$a$$ и $$b$$ можно перенести в $$*\mathbb R$$. Более того, она обладает обычными свойствами синуса: скажем, гипердействительный синус любого гипердействительного числа не превосходит единицы (в смысле порядка на $$*\mathbb R$$ ), поскольку формула $$\forall x\,{\sin x \le 1}$$ выдерживает перенос. Аналогично можно поступать и с предикатами: например, предикат "быть натуральным числом" задает в $$*\mathbb R$$ некоторое подмножество, элементы которого естественно назвать гипернатуральными числами. Гипернатуральные числа делятся на стандартные (соответствующие обычным натуральным числам в $$\mathbb R$$ ) и нестандартные. (Мы увидим, что нестандартные числа обязательно найдутся.) Множество гипернатуральных чисел обозначается $$\mathbb {\mathbb N}$$.

Аналогично определяется множество $$*{\mathbb Z}$$ гиперцелых чисел и вообще множество $$*{M}$$ для любого множества $$M$$ действительных чисел. (Множеству $$M$$ соответствует одноместный предикатный символ; $$*{M}$$ — интерпретация этого символа в $$*\mathbb R$$.) Множество $$*{M}$$ называют нестандартным расширением $$M$$. В нем содержатся те же стандартные числа, что и в $$M$$ (формулы вида $$a\hm\in M$$ для стандартных чисел $$a$$ переносятся), и, возможно, некоторые нестандартные числа.

Принцип переноса гарантирует, что для конечного $$M$$ нестандартных элементов в $$*{M}$$ не появится. В самом деле, пусть, скажем, в $$M$$ ровно три элемента $$a$$, $$b$$ и $$c$$. Тогда формула$$\forall x\,(M(x) \leftrightarrow ((x=a)\lor(x=b)\lor(x=c))),$$ в которой $$M(x)$$ — предикат, соответствующий множеству $$M$$, истинна в $$\mathbb R$$. По принципу переноса она истинна и в $$*\mathbb R$$, так что и $$*{M}$$ состоит из трех элементов, являющихся значениями констант $$a$$, $$b$$ и $$c$$ (отождествленных со стандартными действительными числами).

Впоследствии мы увидим, что бесконечное множество $$M$$ обязательно приобретет новые нестандартные элементы при переходе к $$*\mathbb R$$.

Несколько простых следствий принципа переноса:

165. Покажите, что для счетного объединения аналогичное утверждение может не быть верным и $$*{(M_0\cup M_1\cup M_2\cup\dots)}$$ может отличаться от $$(*{M_0}\cup*{M_1}\cup*{M_2}\cup\dots)$$.

Нестандартные аналоги имеют не только множества, но и функции. Мы уже говорили о нестандартном аналоге синуса. Точно так же можно определить нестандартный аналог любой всюду определенной функции (любого числа аргументов). Для не всюду определенных функций (например, для функции квадратного корня) надо рассмотреть ее график как предикат (для корня это будет предикат двух аргументов) и взять его нестандартный аналог. Этот нестандартный аналог будет графиком частичной функции (ибо свойство "быть графиком частичной функции" записывается формулой). Соответствующая функция и будет нестандартным аналогом исходной.

166. Покажите, что (построенный по этой схеме) нестандартный квадратный корень имеет областью определения множество неотрицательных гипердействительных чисел и что $$(\sqrt{x})^2\hm=x$$ для любого неотрицательного гипердействительного числа $$x$$.

167. Покажите, что для всюду определенной функции два способа ее продолжения (как функции и через график) дают одну и ту же функцию.

168. Покажите, что если множество $$A$$ является областью определения частичной функции $$\varphi$$, то его нестандартный аналог $$*{A}$$ совпадает с областью определения функции $$*{\varphi}$$.

Мы будем часто опускать звездочки в записях вида $$*{f}(x)$$, пользуясь таким соглашением: если речь идет о значении функции на гипердействительном числе, то подразумевается нестандартный аналог этой функции. (Путаницы не будет, так как на стандартных числах значения функции и ее гипердействительного аналога совпадают.)

169. Абсолютную величину гипердействительного числа $$x$$ можно определить как $$x$$ при $$x\hm\ge0$$ и как $$(-x)$$ при $$x\hm\le 0$$. С другой стороны, можно рассмотреть нестандартный аналог функции $$x\hm\mapsto |x|$$. Покажите, что получится одно и то же.

170. Покажите, что поле гипердействительных чисел является вещественно замкнутым.

Любое гипердействительное число $$x$$ можно представить в виде суммы гиперцелого числа $$n$$ и некоторого гипердействительного числа $$\alpha$$, для которого $$0\le\alpha>1$$. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть нестандартные аналоги функций целой и дробной части. Принцип переноса гарантирует, что они сохранят свои свойства. В частности, в сумме они дают исходное число, а дробная часть всегда не меньше нуля и меньше единицы.

Целью расширения было получить возможность рассматривать бесконечно большие и бесконечно малые числа. Дадим соответствующие определения.

Гипердействительное число $$\alpha$$, большее всех стандартных чисел, называется положительным бесконечно большим. Аналогично определяются отрицательные бесконечно большие числа.

171. Докажите, что число $$\alpha$$ является отрицательным бесконечно большим тогда и только тогда, когда $$-\alpha$$ является положительным бесконечно большим. Докажите, что $$|\alpha|$$ является положительным бесконечно большим тогда и только тогда, когда $$\alpha$$ является либо положительным, либо отрицательным бесконечно большим.

Гипердействительные числа, не являющиеся бесконечно большими, называют конечными. Другими словами, гипердействительное число $$x$$ называется конечным, если оно лежит в промежутке $$a\hm\le x\hm\le b$$ со стандартными концами $$a$$ и $$b$$.

Наконец, гипердействительное число называется бесконечно малым, если его абсолютная величина меньше любого стандартного положительного числа. (Согласно этому определению нуль тоже является бесконечно малым числом.) Легко проверить, что ненулевое число $$e$$ является бесконечно малым тогда и только тогда, когда $$1/e$$ бесконечно велико. В самом деле, пусть, например, $$e>0$$ бесконечно мало. Тогда $$1/e$$ больше любого стандартного числа $$c>0$$, так как $$e\hm<1/c$$. Остальные случаи разбираются аналогично.

Сумма и произведение двух конечных чисел конечны. Если $$\alpha$$ по модулю меньше стандартного числа $$a$$, а $$\beta$$ — стандартного числа $$b$$, то $$\alpha+\beta$$ по модулю меньше стандартного числа $$a+b$$, а $$\alpha\beta$$ по модулю меньше $$ab$$. (Неравенства в гипердействительных числах можно складывать и умножать, так как обычные свойства неравенств записываются формулами и допускают перенос.)

В обычном курсе математического анализа аналогом этого рассуждения является утверждение о том, что сумма и произведение ограниченных последовательностей ограничены. Другое стандартное утверждение из курса анализа — о произведении ограниченных и бесконечно малых (сходящихся к нулю) последовательностей — также имеет естественный аналог: произведение конечного и бесконечно малого гипердействительных чисел является бесконечно малым гипердействительным числом. Доказательство также вполне традиционно: если $$\alpha$$ не превосходит стандартного числа $$a$$, а $$|\beta|$$ меньше любого стандартного положительного числа, то $$\alpha\beta$$ меньше любого стандартного положительного $$e$$, так как $$|\beta|\hm<e/a$$.

Два гипердействительных числа $$\alpha,\beta$$ называются бесконечно близкими, если их разность бесконечно мала. Обозначение: $$\alpha\approx\beta$$.

172. Докажите, что если $$\alpha\approx\beta$$, то $$\alpha+\gamma\hm\approx\beta+\gamma$$ для любого гипердействительного $$\gamma$$, а $$\alpha\gamma\hm\approx\beta\gamma$$ для любого конечного гипердействительного $$\gamma$$. Покажите, что условие конечности существенно.

173. Покажите, что два конечных гипердействительных числа бесконечно близки тогда и только тогда, когда между ними нельзя вставить двух разных стандартных чисел.

Легко проверить, что отношение бесконечной близости является отношением эквивалентности на множестве гипердействительных чисел. Классы эквивалентности этого отношения иногда называют монадами (термин, использовавшийся еще Лейбницем).

Теорема 78. Всякое конечное гипердействительное число бесконечно близко к некоторому стандартному числу.

(Заметим, что обратное утверждение очевидно: всякое гипердействительное число, бесконечно близкое к некоторому стандартному $$a$$, конечно, поскольку содержится между стандартными числами $$a-1$$ и $$a+1$$.)

Пусть $$\alpha$$ — конечное гипердействительное число. Рассмотрим множество множество $$L$$ всех стандартных действительных чисел, меньших или равных $$\alpha$$, а также множество $$R$$ всех стандартных действительных чисел, больших или равных $$\alpha$$. Конечность числа $$\alpha$$ гарантирует, что оба этих множества непусты (если бы, скажем, $$R$$ было пусто, то $$\alpha$$ было бы положительным бесконечно большим). Заметим, что $$L$$ и $$R$$ не пересекаются (если только $$\alpha$$ само не является стандартным, и тогда доказывать нечего) и в объединении дают все $$\mathbb R$$.

По аксиоме полноты существует действительное число $$a$$, для которого $$L\hm\le a \hm\le R$$. Покажем, что $$\alpha-a$$ бесконечно мало. Проверим, например, что для любого стандартного $$e\hm>0$$ выполнено неравенство $$\alpha-a\hm<e$$, то есть $$\alpha<a+e$$. Это понятно: если $$a+e\le\alpha$$, то $$a+e\in L$$, что противоречит свойству $$L\hm\le a$$. По аналогичным причинам $$\alpha-a\hm>-e$$.

Стандартное число $$a$$, бесконечно близкое к конечному гипердействительному $$\alpha$$, называется стандартной частью числа $$\alpha$$. Стандартная часть определена однозначно, так как два разных стандартных числа не могут быть бесконечно близки к одному и тому же гипердействительному числу (тогда бы они были близки друг к другу, что невозможно). Поэтому можно ввести обозначение $$st\alpha$$ для стандартной части конечного числа $$\alpha$$.

174. Докажите, что если $$\alpha$$ и $$\beta$$ конечны, причем $$\alpha\hm\le\beta$$, то и $$st\alpha\hm\le st\beta$$.

Теорема 79. Среди гипердействительных чисел есть ненулевые бесконечно малые, а также бесконечно большие числа.

Напомним, что по нашему предположению $$*\mathbb R$$ не совпадает с $$\mathbb R$$, то есть существует некоторое нестандартное гипердействительное число $$\alpha$$. Если $$\alpha$$ бесконечно, то $$1/\alpha$$ — искомое ненулевое бесконечно малое число. Если $$\alpha$$ конечно, то $$\alpha-st(\alpha)$$ — искомое ненулевое бесконечно малое число (а обратное к нему будет бесконечно большим).

Заметим, что при построении гипердействительных чисел с помощью формул $$c>a$$ (для новой константы $$c$$ и всех стандартных $$a$$ ) и теоремы компактности существование бесконечно больших элементов очевидно: таковым будет значение этой самой константы $$c$$.

Теперь обратимся к натуральным и целым числам.

Теорема 80. Существуют нестандартные гипернатуральные числа, при этом все они бесконечно велики.

(Таким образом, для гипернатуральных чисел конечность и стандартность равносильны.)

Всякое положительное действительное число есть сумма натурального и числа из $$[0,1)$$. Принцип переноса гарантирует, что всякое положительное гипердействительное число $$\alpha$$ есть сумма гипернатурального $$\nu$$ и гипердействительного $$\tau$$, для которого $$0\hm\le\tau\hm<1$$. Возьмем $$\alpha$$ бесконечно большим, тогда и $$\nu$$ будет бесконечно большим. Первое утверждение доказано.

Пусть теперь $$\nu$$ — конечное гипернатуральное число. По определению конечности оно меньше некоторого стандартного числа $$a$$, скажем, числа $$5$$. Но в стандартной модели верна формула $$\begin{multline*} \forall x\, ( ((x\in\mathbb N) \land (x<5)) \to{} \\ {}\to((x=0)\lor (x=1)\lor (x=2)\lor (x=3)\lor (x=4))). \end{multline*} $$ По принципу переноса она верна и в $$*\mathbb R$$, поэтому число $$\nu$$ совпадает с одним из стандартных чисел $$0,1,2,3,4$$.

175. Покажите, что для всякого гипердействительного числа существует большее его гипернатуральное.

176. Рассмотрим гипернатуральные числа как упорядоченное множество. Покажите, что оно изоморфно $$\mathbb N + \mathbb Z\times F$$, где $$F$$ — плотное линейно упорядоченное множество без первого и последнего элементов. (Порядок на $$\mathbb Z\times F$$: сравниваются сначала вторые элементы, а при равенстве — первые.)

Гипернатуральные числа позволяют говорить о бесконечно далеких членах (стандартных) последовательностей действительных чисел. Пусть $$a_0,a_1,\dots$$ — такая последовательность. Рассмотрим ее график, то есть множество пар $$\langle 0,a_0\rangle,\langle 1,a_1\rangle,\dots$$, как двуместный предикат. Утверждение о том, что этот предикат задает график функции, определенной на натуральных числах, можно записать в виде формулы. Принцип переноса гарантирует, что гипердействительный аналог этого предиката будет функцией, определенной на гипернатуральных числах и принимающей гипердействительные значения. Значение этой функции на гипернатуральном числе $$n$$ можно обозначать $$a_n$$, не опасаясь путаницы (при стандартных $$n$$ мы получаем одно и то же).

Таким образом, любая последовательность приобретает — помимо своего желания — бесконечный "хвост".

177. Покажите, что если две последовательности отличаются лишь в конечном числе членов, то их бесконечные хвосты одинаковы.

Сейчас мы используем продолжение последовательностей для доказательства такого факта:

Теорема 81. Нестандартный аналог $$*{A}$$ множества $$A$$ действительных чисел совпадает с $$A$$ тогда и только тогда, когда множество $$A$$ конечно.

Если $$A$$ конечно, и, скажем, состоит из трех элементов $$p,q,r$$, то можно записать формулу$$\forall x\, ((x\in A) \leftrightarrow ((x=p)\lor (x=q)\lor (x=r)).$$ По принципу переноса эта формула остается истинной в $$*\mathbb R$$, так что $$*{A}$$ состоит из тех же трех элементов.

Пусть теперь $$A$$ бесконечно. Покажем, что $$*{A}$$ содержит элементы, не входящие в $$A$$. Пусть $$a_0,a_1,\ldots$$ — последовательность различных элементов множества $$A$$. Напишем формулу, которая утверждает, что все элементы этой последовательности различны и принадлежат $$A$$. По принципу переноса все бесконечные члены этой последовательности (точнее, ее гипердействительного аналога) также различны, принадлежат $$*{A}$$ и отличаются от всех конечных членов последовательности. Они и будут искомыми нестандартными элементами $$*{A}$$. В самом деле, бесконечный член $$a_\nu$$ при бесконечном гипернатуральном $$\nu$$ не может совпасть с конечными членами, а также не может совпасть со стандартным элементом $$a\hm\in A$$, не входящим в исходную последовательность (ибо утверждение " $$a_n\ne a$$ при всех $$n$$ " записывается формулой).

Галактикой гипердействительного числа $$\alpha$$ называют множество всех гипердействительных $$\beta$$, для которых разность $$\alpha-\beta$$ конечна.

178. Покажите, что множество гипердействительных чисел разбивается на галактики. Определите на галактиках естественное отношение линейного порядка и покажите, что этот порядок плотный и не имеет наибольшего и наимен

179. Каждое действительное число $$a$$, не являющееся двоично- рациональным, можно единственным образом записать в виде бесконечной двоичной дроби $$\ldots,a_0a_1\dots$$ ; другими словами, ему соответствует последовательность нулей и единиц (нас будет интересовать лишь дробная часть после запятой). Фиксируем бесконечное гипернатуральное $$\nu$$ и рассмотрим те числа $$a$$, у которых $$a_\nu=0$$. Покажите, что множество таких чисел переходит в свое дополнение при симметрии относительно любой двоично-рациональной точки (другими словами, $${a\in M}\hm\Leftrightarrow {r-a\notin M}$$ для двоично-рациональных $$r$$ ) и потому не может быть измеримым по Лебегу. \end{problem}

180. Докажите, что гиперрациональными числами являются отношения гиперцелых чисел и только они. Докажите, что каждое гипердействительное число бесконечно близко к некоторому гиперрациональному числу.

Покажем теперь, как можно ввести основные понятия математического анализа, используя бесконечно малые и бесконечно большие числа.

Теорема 82. Пусть $$M\subset\mathbb R$$. Множество $$M$$ ограничено (в обычном смысле) тогда и только тогда, когда все элементы его гипердействительного аналога конечны.

Таким образом, в курсе нестандартного анализа можно определять ограниченные множества как множества, не содержащие бесконечных элементов.

Если все элементы $$M$$ меньше некоторого стандартного $$a$$ по модулю, то и все элементы $$*{M}$$ меньше того же $$a$$ (принцип переноса), поэтому в одну сторону утверждение очевидно.

Пусть теперь $$M$$ не ограничено (скажем, сверху). Тогда в $$\mathbb R$$ верно такое утверждение: для всякого $$c$$ найдется элемент множества $$M$$, больший $$c$$. Применим принцип переноса и возьмем бесконечно большое $$c$$. Получим, что в $$*{M}$$ есть бесконечно большой элемент.

181. Покажите, что если все элементы множества $$*{M}$$ меньше некоторого гипердействительного $$c$$, то $$M$$ ограничено.

182. Говорят, что множество $$S$$ гипердействительных чисел является внутренним, если оно есть гипердействительный аналог некоторого множества $$A$$ действительных чисел. Покажите, что множество конечных гипердействительных чисел не является внутренним.

183. Докажите, что множество $$S\subset*\mathbb R$$ выразимо (в рассматриваемой нами сигнатуре, содержащей символы для всех функций и предикатов на множестве $$\mathbb R$$ ) тогда и только тогда, когда оно является внутренним.

Нестандартный анализ позволяет дать естественные определения предельной точки и предела.

Теорема 83. Число $$a$$ является предельной точкой последовательности действительных чисел $$a_0,a_1,\dots$$ тогда и только тогда, когда найдется бесконечно далекий член последовательности, бесконечно близкий к $$a$$.

(Бесконечно далеким членом последовательности мы называем значение $$a_\nu$$ при бесконечном гипернатуральном $$\nu$$.)

Если $$a$$ является предельной точкой, то для всякого положительного $$\varepsilon$$ и всякого натурального $$N$$ найдется натуральное $$n\hm>N$$, для которого $$|a_n-a|\hm<\varepsilon$$. Применим принцип переноса, положив $$\varepsilon$$ бесконечно малым и $$N$$ бесконечно большим. Получим искомый бесконечно близкий к $$a$$ член с бесконечно большим гипернатуральным номером.

Напротив, если для некоторого натурального $$N$$ и для некоторого $$\varepsilon\hm>0$$ все члены последовательности, начиная с $$N$$ -го, отстоят от $$a$$ более чем на $$\varepsilon$$, то по принципу переноса все бесконечно далекие члены последовательности также отстоят от $$a$$ более чем на $$\varepsilon$$.

184. Покажите, что число $$a$$ принадлежит замыканию множества $$M\hm\subset\mathbb R$$ тогда и только тогда, когда некоторый элемент множества $$*{M}$$ бесконечно близок к $$a$$.

185. Как определить в терминах нестандартного анализа понятие предельной точки множества (в любой окрестности которой бесконечно много членов множества)?

Теперь видно, что нестандартный анализ позволяет в два счета доказать теорему о том, что всякая ограниченная последовательность имеет предельную точку: в самом деле, любой бесконечно далекий член этой последовательности конечен, и его стандартная часть будет предельной точкой!

Теорем 84. Последовательность $$a_0,a_1,\dots$$ действительных чисел сходится к числу $$a$$ тогда и только тогда, когда все ее бесконечно далекие члены бесконечно близки к $$a$$.

Пусть $$a$$ является пределом. Тогда для всякого $$\varepsilon$$ найдется $$N$$, начиная с которого все члены последовательности отстоят от $$a$$ менее чем на $$\varepsilon$$. В частности, все бесконечно далекие члены таковы и их расстояние до $$a$$ меньше любого стандартного $$\varepsilon$$.

Напротив, пусть $$a$$ не является пределом и для всякого $$N$$ найдется член $$a_n$$ с номером $$n>N$$, отстоящий от $$a$$ более чем на $$\varepsilon>0$$ (пока что все параметры стандартны). Применим принцип переноса, взяв $$N$$ бесконечно большим, и найдем бесконечно далекий член последовательности, отстоящий от $$a$$ более чем на стандартное $$\varepsilon>0$$.

Приведем теперь нестандартные критерии стандартных топологических понятий.

Теорема 85. Множество $$M\hm\subset\mathbb R$$ открыто тогда и только тогда, когда вместо со всякой точкой $$m\hm\in M$$ оно содержит и всю ее монаду, то есть все гипердействительные точки, бесконечно близкие к $$m$$.

(Cтрого говоря, следовало бы сказать "его нестандартный аналог $$*{M}$$ " вместо "оно"; напомним также, что $$M$$ и $$*{M}$$ содержат одни и те же стандартные числа.)

Если $$M$$ открыто и содержит вместе с точкой $$m\hm\in M$$ ее $$\varepsilon$$ -окрестность, то монада точки $$m$$ по принципу переноса содержится в $$M$$.

Если же некоторая точка $$m\hm\in M$$ не является внутренней и для всякого действительного $$\varepsilon>0$$ найдется точка вне $$M$$ на расстоянии меньше $$\varepsilon$$, применим принцип переноса и возьмем бесконечно малое $$\varepsilon$$. Мы получим число, бесконечно близкое к $$m$$ и не лежащее в $$*{M}$$.

Переходя к дополнениям, получаем, что множество $$M\subset\mathbb R$$ замкнуто тогда и только тогда, когда любая стандартная точка, бесконечно близкая к некоторой точке из $$* M$$, принадлежит $$M$$.

На прямой компактными являются замкнутые ограниченные множества. Соединим нестандартные критерии замкнутости и ограниченности:

Теорема 86. Множество $$M\subset \mathbb R$$ компактно тогда и только тогда, когда любой элемент множества $$*{M}$$ бесконечно близок к некоторому (стандартному) элементу множества $$M$$.

В самом деле, ограниченность означает, что любой элемент множества $$M$$ конечен, то есть бесконечно близок к стандартному числу, а замкнутость позволяет заключить, что это число принадлежит $$M$$.

186. Используя полученные только что критерии, покажите, что любой отрезок $$[a,b]$$ действительной прямой компактен, а любой интервал $$(a,b)$$ открыт.

187. Покажите, используя нестандартный критерий открытости, что объединение любого числа открытых множеств открыто. (Напоминание: гипердействительный аналог объединения может не совпадать с объединением гипердействительных аналогов!)

188. Покажите, что пересечение двух (или любого конечного числа) открытых множеств открыто. (Где используется конечность?)

189. Докажите, что последовательность фундаментальна тогда и только тогда, когда любые два ее бесконечных члена бесконечно близки (предварительно уточнив формулировку этого утверждения).

190. Докажите, что всякая фундаментальная последовательность сходится, используя приведенный критерий фундаментальности. (Указание. Ограниченность приходится доказывать, исходя из стандартных определений.)

191. Докажите, что если последовательность ограничена и имеет единственную предельную точку, то она сходится (к этой точке).

192. Докажите, что ограниченная возрастающая последовательность имеет предел.

Перейдем к функциям действительного переменного и дадим нестандартное определение предела (аналогичное приведенному выше для последовательностей).

Теорема 87. Число $$b\in\mathbb R$$ есть предел функции $$f\colon \mathbb R\hm\to \mathbb R$$ в точке $$a\hm\in\mathbb R$$ тогда и только тогда, когда $$f(x)\hm\approx b$$ для всех $$x$$, бесконечно близких к $$a$$, но отличных от $$a$$.

Пусть функция $$f$$ имеет предел $$b$$ согласно $$\varepsilon$$ - $$\delta$$ -определению и для всякого $$\varepsilon>0$$ найдется $$\delta>0$$ с нужными свойствами. Бесконечно близкое к $$a$$ число $$x$$ попадает в $$\delta$$ -окрестность точки $$a$$ при любом стандартном $$\delta\hm>0$$, поэтому $$f(x)$$ попадает в $$\varepsilon$$ -окрестность точки $$b$$.

Напротив, если при некотором $$\varepsilon\hm>0$$ для любого $$\delta>0$$ найдется точка $$x$$, для которой $$|x-a|\hm<\delta$$, но $$|f(x)-b|\hm\ge\varepsilon$$, то можно применить принцип переноса (для данного стандартного $$\varepsilon$$ ) и взять бесконечно малое $$\delta$$.

Непосредственным следствием является нестандартный критерий непрерывности: функция $$f\colon \mathbb R\to \mathbb R$$ непрерывна в (стандартной) точке $$a$$ тогда и только тогда, когда $$f(x)\approx f(a)$$ для всех $$x$$, бесконечно близких к $$a$$.

Для функции, определенной на некотором множестве $$M\hm\subset\mathbb R$$, критерий непрерывности в точке $$m\in M$$ выглядит так: $$f(m)\hm\approx f(m')$$ для всякой точки $$m'\hm\in*{M}$$, бесконечно близкой к $$m$$.

193. Проверьте это.

Поучительно понять, чем это свойство отличается от равномерной непрерывности.

Теорема 88. Функция $$f\colon\mathbb R\to\mathbb R$$ равномерно непрерывна на множестве $$M\subset\mathbb R$$ тогда и только тогда, когда для всех $$x,y\hm\in * M$$ выполнено $${x\approx y}\hm\Rightarrow {f(x)\approx f(y)}$$.

Пусть выполнено обычное $$\varepsilon$$ - $$\delta$$ - определение непрерывности. Бесконечно близкие точки $$x,y$$ отличаются менее чем на (стандартное) $$\delta$$, а потому их образы отличаются менее чем на $$\varepsilon$$. Это верно для любого стандартного $$\varepsilon$$, поэтому $$f(x)\hm\approx f(y)$$.

Обратно, если функция не является равномерно непрерывной, то для некоторого $$\varepsilon$$ и для любого $$\delta$$ найдутся точки, отстоящие менее чем на $$\delta$$, образы которых отстоят более чем на $$\varepsilon$$. Остается применить при данном $$\varepsilon$$ принцип переноса и взять бесконечно малое $$\delta$$.

Чем это отличается от непрерывности во всех точках множества $$M$$? Непрерывность во всех точках $$M$$ означает, что для любого стандартного $$m\hm\in M$$ и любого бесконечно близкого к нему $$m'\hm\in *{M}$$ мы имеем $$f(m)\approx f(m')$$. Отсюда следует, что для любых $$m',m''\hm\in*{M}$$, бесконечно близких к некоторому стандартному $$m\hm\in M$$, выполнено $$f(m')\hm\approx f(m'')$$. Но в множестве $$*{M}$$ могут быть бесконечно близкие элементы, стандартная часть которых не лежит в $$M$$ (или вообще не имеющие стандартной части, то есть бесконечные). Легко понять, что для компактного $$M$$ такого быть не может (стандартная часть любого элемента $$m'\hm\in*{M}$$ принадлежит $$M$$ согласно теореме 86). Тем самым мы получили (почти что тривиальное) нестандартное доказательство классической теоремы: непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна.

Вот еще несколько "нестандартных" доказательств стандартных (во всех смыслах этого слова) теорем из курса математического анализа.

Теорема 89. Непрерывная на отрезке функция, принимающая значения разных знаков на концах отрезка, имеет нуль на этом отрезке.

Разделим отрезок на $$n$$ равных частей. Среди них найдется часть, на которой функция меняет знак. По принципу переноса и при делении отрезка на бесконечное гипернатуральное число частей найдется часть, на которой функция меняет знак. Но концы этой части бесконечно близки к некоторой стандартной точке отрезка. Эта точка будет нулем функции (если в ней функция, скажем, положительна, то по непрерывности в бесконечно близких к ней концах отрезка изменения знака функция будет положительной).

Теорема 90. Непрерывная во всех точках компакта функция ограничена на нем.

Пусть функция $$f$$ непрерывна на компакте $$M$$. Следуя нестандартному критерию ограниченности, мы должны показать, что значения функции $$*{f}$$ во всех точках $$*{M}$$ конечны. Но всякая точка $$x\hm\in*{M}$$ бесконечно близка к некоторой стандартной точке $$y\hm\in M$$ (компактность), а потому $$*{f}(x)\hm\approx*{f}(y)$$ (непрерывность), поэтому $$*{f}(x)$$ конечно.

Обратите внимание, что мы пользовались аксиомой полноты (для множества $$\mathbb R$$ ) только один раз, при доказательстве теоремы 78. Это и не удивительно, поскольку из утверждения этой теоремы следует аксиома полноты.

194. Убедитесь в этом, следуя такой схеме. Пусть $$A$$ — произвольное ограниченное множество действительных чисел. Покажите (стандартными рассуждениями), что для любого $$\varepsilon$$ найдется число $$c$$, являющееся верхней гранью, для которого $$c\hm-\varepsilon$$ не будет верхней гранью. Примените принцип переноса, взяв бесконечно малое $$\varepsilon$$ и рассмотрев стандартную часть соответствующего числа $$c$$.

195. Докажите, что производная стандартной функции $$f\colon\mathbb R\hm\to\mathbb R$$ в стандартной точке $$a$$ равна стандартному числу $$b$$ тогда и только тогда, когда $${(f(a+h)-f(a))/h}\hm\approx b$$ для всех бесконечно малых $${h\ne 0}$$.

196. Покажите, что $$(x^n)'=nx^{n-1}$$ согласно нестандартному определению производной (предыдущая задача).

197. Как использовать нестандартный анализ для определения понятия интеграла?

В наших примерах все рассмотрения были ограничены множеством гипердействительных чисел. Это ограничение кажется существенным — не вполне ясно, каким образом можно применить те же методы к произвольному топологическому пространству (в котором нет бесконечно больших чисел). Тем не менее это возможно, и об этом можно прочесть в книгах Дэвиса [11] или Успенского [27].