В задачах проектирования и исследования поведения реальных объектов, процессов и систем (ОПС) математические модели должны отображать реальные физические нелинейные процессы. При этом эти процессы зависят, как правило, от многих переменных.
В результате математические модели реальных ОПС описываются
Дана
или
$$f_i(x_1,x_2,x_3, \ldots, x_n)=0, i=\overline{1 \ldots n}.$$Необходимо решить эту систему, т.е. найти вектор $$\bar X=[x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n]$$, удовлетворяющий системе (10.1) с точностью $$\varepsilon$$.
Вектор $$\bar X$$ определяет точку в n-мерном
В отличие от систем линейных уравнений для
Область, в которой начальное приближение $$\overline{X^0}$$ сходится к искомому решению, называется G. Если начальное приближение $$\overline{X^0}$$ лежит за пределами G, то решение системы получить не удается.
Выбор начальной точки $$\overline{X^0}$$ во многом определяется интуицией и опытом специалиста.
Для применения этого метода исходная система (10.1) должна быть преобразована к виду
$$\left\{ \begin{array}{l} x_1=\varphi_1(x_1,x_2,x_3, \ldots, x_n),\\ x_2=\varphi_2(x_1,x_2,x_3, \ldots, x_n),\\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots\\ x_n=\varphi_n(x_1,x_2,x_3, \ldots, x_n), \end{array} \right.$$или
$$x_i=\varphi_i(x_1,x_2,x_3, \ldots, x_n), i=\overline{1,n}.$$Далее, выбрав начальное приближение $$\overline{X^0}=[x_1^0,x_2^0,\ldots,x_n^0]$$ и используя систему (10.2), строим итерационный процесс поиска по схеме:
$$x_i^k=\varphy_i(x_1^{k-1},x_2^{k-1},x_3^{k-1}, \ldots, x_n^{k-1}),$$т.е. на каждом k-ом шаге поиска вектор переменных $$\overline{X}$$ находим, используя значения переменных, полученных на шаге (k-1).
Итерационный процесс поиска прекращается как только выполнится условие
$$\left|x_j^k – x_j^{k-1}\right| \le \varepsilon, j=\overline{1,n}.$$При этом условие (10.3) должно выполняться одновременно по всем переменным.
т.е. сумма абсолютных величин частных производных всех преобразованных уравнений системы (10.2) по j-ой переменной меньше единицы.
На рисунке 10.1 представлена схема алгоритма решения
(рис 10.1) Схема алгоритма метода простых итераций
Рассмотрим пример.
Дана
Необходимо определить
(рис 10.2)
Проверяем условие сходимости (10.4). Для заданной системы оно имеет вид:
$$\left| \delta \varphi_1 / \delta x_1\right| + \left| \delta \varphi_2 / \delta x_1\right|<1\\ \left| \delta \varphi_1 / \delta x_2\right| + \left| \delta \varphi_2 / \delta x_2\right|<1$$Находим:
$$\delta \varphi_1 / \delta x_1=0;\\ \delta \varphi_1 / \delta x_2= -x / \sqrt{1-x_2};\\ \delta \varphi_2 / \delta x_1= -1/2x_1;\\ \delta \varphi_2 / \delta x_2= 0$$В результате условие (10.4) будет иметь вид:
$$\left|0\right| + \left|1/2x_1\right|<1,\\ \left|x_2/\sqrt{1-x_2}\right| + \left|0\right|<1.$$Определяем G.
Граница
Отсюда х1=0,5 ; $$x_2=\pm \sqrt 0,5$$.
В результате
На графике уравнений строим G:
(рис 10.3)
Выбираем начальную точку $$\overline{X^0}=[0.8; -0.6]$$, принадлежащую G. Используя выбранную начальную точку $$\overline{X^0}=[0.8; -0.6]$$ решаем заданную
Дана
или
$$f_i(x_1,x_2,x_3, \ldots, x_n)=0, i=\overline{1 \ldots n}.$$Необходимо решить эту систему, т.е. найти вектор $$\bar X=[x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n]$$, удовлетворяющий системе (10.5) с точностью $$\varepsilon$$.
В основе метода Ньютона лежит идея hj и разложим каждое уравнение системы (10.5) в ряд Тейлора:
где
hj - приращение по каждой xj;
Ri - остаточные нелинейные члены второго и более высоких порядков каждого ряда Тейлора.
Если приращения hj таковы, что переменные xj принимают значения близкие к корню, то будем считать, что левые части уравнений системы (10.6) обращаются в нули. Тогда отбросив Ri сведем задачу решения hj, $$j=\overline{1,n}$$
Система (10.7) – hj, $$j=\overline{1,n_j}$$. Запишем (10.7) в
где
$$A=\left[ \begin{array}{l} \frac{\delta f_1}{\delta x_1} \frac{\delta f_1}{\delta x_2} \cdots \frac{\delta f_1}{\delta x_n}\\ \frac{\delta f_2}{\delta x_1} \frac{\delta f_2}{\delta x_2} \cdots \frac{\delta f_2}{\delta x_n}\\ \ldots \ldots \ldots \ldots \\ \frac{\delta f_n}{\delta x_1} \frac{\delta f_n}{\delta x_2} \cdots \frac{\delta f_n}{\delta x_n} \end{array} \right] \text{ – матрица коэффициентов системы},$$ $$\bar B=\left[ \begin{array}{l} -f_1\\ -f_2\\ \ldots \\ -f_n \end{array} \right] \text{ – вектор свободных членов},$$ $$\bar H=\left[ \begin{array}{l} h_1\\ h_2\\ \ldots \\ h_n \end{array} \right] \text{ – вектор неизвестных системы}.$$Матрица А, составленая из частных производных $$a_{ij}=\frac{\delta f_i}{\delta x_j}; i=\overline{1,n}; j=\overline{1,n}$$ ; называется
На первом этапе реализации метода Ньютона необходимо построить систему (10.3).
На втором этапе, начиная с начальной точки $$\overline{X^0}$$, необходимо решать систему (10.7) на каждом шаге итерационного процесса поиска методом Гаусса. Найденные значения приращений hj используются как поправки к решению, полученному на предыдущем шаге поиска, т.е.
или
$$x_j=x_j + h_j; j=\overline{1,n}.$$Итерационный процесс прекращается, как только выполнится условие
$$\left|h_j\right| \le \varepsilon;\\ j=\overline{1,n}$$по всем приращениям одновременно.
В методе Ньютона на каждом шаге итерационного процесса поиска необходимо формировать
В результате частная производная $$f_i(\bar X)$$ по первой координате х1 определится как$$\frac{\delta f_i}{\delta x_1}\approx \frac{f_i(x_1+\Delta x_1,x_2,x_3 \ldots x_n)-f_i(x_1,x_2,\ldots,x_n)}{\Delta x_1},$$
а частная производная $$f_i(\bar X)$$ по координате хj определится как
где $$\Delta x_j \approx \varepsilon$$.
На рисунке 10.4 представлена укрупнённая схема алгоритма (блок-схема) метода Ньютона. На рисунках 10.5 и 10.6 представлены схемы алгоритмов метода Ньютона с различными способами определения
(рис 10.4) Блок-схема алгоритма метода Ньютона
(рис 10.5) Схема алгоритма метода Ньютона (аналитическое определение матрицы Якоби)
(рис 10.6) Схема алгоритма метода Ньютона (определение матрицы Якоби с помощью численного дифференцирования)
В задачах проектирования и исследования поведения реальных объектов, процессов и систем (ОПС) математические модели должны отображать реальные физические нелинейные процессы. При этом эти процессы зависят, как правило, от многих переменных.
В результате математические модели реальных ОПС описываются
Дана
или
$$f_i(x_1,x_2,x_3, \ldots, x_n)=0, i=\overline{1 \ldots n}.$$Необходимо решить эту систему, т.е. найти вектор $$\bar X=[x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n]$$, удовлетворяющий системе (10.1) с точностью $$\varepsilon$$.
Вектор $$\bar X$$ определяет точку в n-мерном
В отличие от систем линейных уравнений для
Область, в которой начальное приближение $$\overline{X^0}$$ сходится к искомому решению, называется G. Если начальное приближение $$\overline{X^0}$$ лежит за пределами G, то решение системы получить не удается.
Выбор начальной точки $$\overline{X^0}$$ во многом определяется интуицией и опытом специалиста.
Для применения этого метода исходная система (10.1) должна быть преобразована к виду
$$\left\{ \begin{array}{l} x_1=\varphi_1(x_1,x_2,x_3, \ldots, x_n),\\ x_2=\varphi_2(x_1,x_2,x_3, \ldots, x_n),\\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots\\ x_n=\varphi_n(x_1,x_2,x_3, \ldots, x_n), \end{array} \right.$$или
$$x_i=\varphi_i(x_1,x_2,x_3, \ldots, x_n), i=\overline{1,n}.$$Далее, выбрав начальное приближение $$\overline{X^0}=[x_1^0,x_2^0,\ldots,x_n^0]$$ и используя систему (10.2), строим итерационный процесс поиска по схеме:
$$x_i^k=\varphy_i(x_1^{k-1},x_2^{k-1},x_3^{k-1}, \ldots, x_n^{k-1}),$$т.е. на каждом k-ом шаге поиска вектор переменных $$\overline{X}$$ находим, используя значения переменных, полученных на шаге (k-1).
Итерационный процесс поиска прекращается как только выполнится условие
$$\left|x_j^k – x_j^{k-1}\right| \le \varepsilon, j=\overline{1,n}.$$При этом условие (10.3) должно выполняться одновременно по всем переменным.
т.е. сумма абсолютных величин частных производных всех преобразованных уравнений системы (10.2) по j-ой переменной меньше единицы.
На рисунке 10.1 представлена схема алгоритма решения
(рис 10.1) Схема алгоритма метода простых итераций
Рассмотрим пример.
Дана
Необходимо определить
(рис 10.2)
Проверяем условие сходимости (10.4). Для заданной системы оно имеет вид:
$$\left| \delta \varphi_1 / \delta x_1\right| + \left| \delta \varphi_2 / \delta x_1\right|<1\\ \left| \delta \varphi_1 / \delta x_2\right| + \left| \delta \varphi_2 / \delta x_2\right|<1$$Находим:
$$\delta \varphi_1 / \delta x_1=0;\\ \delta \varphi_1 / \delta x_2= -x / \sqrt{1-x_2};\\ \delta \varphi_2 / \delta x_1= -1/2x_1;\\ \delta \varphi_2 / \delta x_2= 0$$В результате условие (10.4) будет иметь вид:
$$\left|0\right| + \left|1/2x_1\right|<1,\\ \left|x_2/\sqrt{1-x_2}\right| + \left|0\right|<1.$$Определяем G.
Граница
Отсюда х1=0,5 ; $$x_2=\pm \sqrt 0,5$$.
В результате
На графике уравнений строим G:
(рис 10.3)
Выбираем начальную точку $$\overline{X^0}=[0.8; -0.6]$$, принадлежащую G. Используя выбранную начальную точку $$\overline{X^0}=[0.8; -0.6]$$ решаем заданную
Дана
или
$$f_i(x_1,x_2,x_3, \ldots, x_n)=0, i=\overline{1 \ldots n}.$$Необходимо решить эту систему, т.е. найти вектор $$\bar X=[x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n]$$, удовлетворяющий системе (10.5) с точностью $$\varepsilon$$.
В основе метода Ньютона лежит идея hj и разложим каждое уравнение системы (10.5) в ряд Тейлора:
где
hj - приращение по каждой xj;
Ri - остаточные нелинейные члены второго и более высоких порядков каждого ряда Тейлора.
Если приращения hj таковы, что переменные xj принимают значения близкие к корню, то будем считать, что левые части уравнений системы (10.6) обращаются в нули. Тогда отбросив Ri сведем задачу решения hj, $$j=\overline{1,n}$$
Система (10.7) – hj, $$j=\overline{1,n_j}$$. Запишем (10.7) в
где
$$A=\left[ \begin{array}{l} \frac{\delta f_1}{\delta x_1} \frac{\delta f_1}{\delta x_2} \cdots \frac{\delta f_1}{\delta x_n}\\ \frac{\delta f_2}{\delta x_1} \frac{\delta f_2}{\delta x_2} \cdots \frac{\delta f_2}{\delta x_n}\\ \ldots \ldots \ldots \ldots \\ \frac{\delta f_n}{\delta x_1} \frac{\delta f_n}{\delta x_2} \cdots \frac{\delta f_n}{\delta x_n} \end{array} \right] \text{ – матрица коэффициентов системы},$$ $$\bar B=\left[ \begin{array}{l} -f_1\\ -f_2\\ \ldots \\ -f_n \end{array} \right] \text{ – вектор свободных членов},$$ $$\bar H=\left[ \begin{array}{l} h_1\\ h_2\\ \ldots \\ h_n \end{array} \right] \text{ – вектор неизвестных системы}.$$Матрица А, составленая из частных производных $$a_{ij}=\frac{\delta f_i}{\delta x_j}; i=\overline{1,n}; j=\overline{1,n}$$ ; называется
На первом этапе реализации метода Ньютона необходимо построить систему (10.3).
На втором этапе, начиная с начальной точки $$\overline{X^0}$$, необходимо решать систему (10.7) на каждом шаге итерационного процесса поиска методом Гаусса. Найденные значения приращений hj используются как поправки к решению, полученному на предыдущем шаге поиска, т.е.
или
$$x_j=x_j + h_j; j=\overline{1,n}.$$Итерационный процесс прекращается, как только выполнится условие
$$\left|h_j\right| \le \varepsilon;\\ j=\overline{1,n}$$по всем приращениям одновременно.
В методе Ньютона на каждом шаге итерационного процесса поиска необходимо формировать
В результате частная производная $$f_i(\bar X)$$ по первой координате х1 определится как$$\frac{\delta f_i}{\delta x_1}\approx \frac{f_i(x_1+\Delta x_1,x_2,x_3 \ldots x_n)-f_i(x_1,x_2,\ldots,x_n)}{\Delta x_1},$$
а частная производная $$f_i(\bar X)$$ по координате хj определится как
где $$\Delta x_j \approx \varepsilon$$.
На рисунке 10.4 представлена укрупнённая схема алгоритма (блок-схема) метода Ньютона. На рисунках 10.5 и 10.6 представлены схемы алгоритмов метода Ньютона с различными способами определения
(рис 10.4) Блок-схема алгоритма метода Ньютона
(рис 10.5) Схема алгоритма метода Ньютона (аналитическое определение матрицы Якоби)
(рис 10.6) Схема алгоритма метода Ньютона (определение матрицы Якоби с помощью численного дифференцирования)
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.