Логический вывод – индукция

Целью логического вывода является установление истинности нового утверждения, исходя из истинности ранее установленных утверждений. Крайне важно умение делать корректные выводы. Но истинность конечного утверждения зависит не только от корректности вывода. Если первоначальные утверждения, лежащие в основе любого вывода не верны, то и истинность заключительного утверждения не может считаться доказанной. Из неверных фактов и неверных правил нельзя вывести корректные следствия, каким бы корректным ни был вывод. С другой стороны, из истинных фактов и правил, нельзя сделать корректные заключения, если не пользоваться корректными правилами вывода.

Индукция – полная и частичная

Индуктивный метод вывода – это метод вывода "от частного к общему". Из истинности некоторых частных утверждений делается вывод об истинности общего случая. Индукция бывает полной, гарантирующей истинность вывода, и неполной, когда истинность не гарантируется. Пусть X – некоторое конечное множество элементов – X₁, X₂,… X_n. Если удается доказать справедливость свойства Q для всех X_i (i = 1…n), то справедливо общее утверждение, что множество X обладает свойством Q.

Такой способ доказательства является полной индукцией.

Рассмотрим некоторые примеры неполной индукции.

Пример 1:

Утверждение, сделанное на основе неполной индукции, не является истиной, Это только гипотеза, претендующая на истину. В данном конкретном случае справедливость гипотезы нетрудно доказать.

Если число N заканчивается на 5, то его можно представить в виде: N = k * 10 + 5, где k – целое число. Тогда N / 5 = 2 * k + 1 – целое число, что и доказывает истинность гипотезы.

Более того, справедливо более строгое по отношению к высказанной гипотезе утверждение, что результат деления на 5 целого числа, заканчивающегося на 5, является целым нечетным числом.

Пример 2:

Гипотеза легко опровергается. Достаточно привести один пример нечетного числа, не являющегося простым. Таковым, например, является следующее нечетное число 9.

Пример 3: Числа градины.

Рассмотрим целое число N. Будем выполнять над ним следующие преобразования, если N четно, то новое значение равно N/2, иначе новое значение равно 3*N + 1. Процесс преобразования будем продолжать. Процесс завершается, если на некотором шаге значение N станет равным 1, иначе он продолжается до бесконечности (возможен цикл или бесконечное возрастание N).

Эту гипотезу, которая считается справедливой, подтвержденной всеми рассматриваемыми частными случаями, строго доказать пока никому не удалось.