Разностные уравнения и их решение

9.1. Уравнения первого и второго порядков

Пусть дана функция $$y = f(t)$$. Тогда первая разность $$\Delta$$ y определяется по формуле

$$\Delta y = f(t + h) - f(t) = y(t + h) - y(t).$$

(9.1)

В отличие от дифференциального исчисления мы не предполагаем, что $$h$$ стремится к нулю. Так как большинство экономических данных собираются через определенные равные промежутки времени, полезно считать, что $$h > 0$$. Более того, обычно полагают период между наблюдениями $$h$$ нормализованным, т.е. выбирают $$h = 1$$ (один месяц, один квартал, один год). Поэтому первые разности можно записать в виде

$$\Delta y_{t} = f(t) - f(t - 1) = y_{t} - y_{t - 1},\\ Delta y_{t + 1} = f(t + 1) - f(t) = y_{t + 1} - y_{t},\\ \Delta y_{t + 2} = f(t + 2) - f(t + 1) = y_{t + 2} - y_{t + 1}$$

и т.д.

Таким же образом сформируем вторую разность как изменение первой разности:

$$\Delta ^{2}y_{t} = \Delta (\Delta y_{t}) = \Delta (y_{t} - y_{t - 1}) = (y_{t} - y_{t - 1}) - (y_{t} - 1 - y_{t - 2}) = y_{t} - 2y_{t - 1} + y_{t - 2},\\ Delta ^{2}y_{t + 1} = y_{t + 1} - 2y_{t} + y_{t - 1}$$

и т.д.

Аналогично определяется разность n-го порядка:

$$\Delta ^{n}y_{t} = \Delta (\Delta ^{n-1}y_{t}).$$

Так как в настоящем учебном пособии в основном рассматриваются линейные модели временных рядов, изучим только один специальный случай линейного разностного уравнения $$n$$-го порядка с постоянными коэффициентами, а именно уравнение вида

(9.2)

Порядок разностного уравнения задается показателем $$n$$ - максимальной величиной шага запаздывания, или, другими словами, максимальным лагом. Уравнение считается линейным потому, что все значения зависимой переменной y входят в него в первой степени.

Коэффициенты $$a_{0}, a_{i }(i = 1, \dots , n)$$ называются параметрами уравнения и не зависят от значений $$x$$ и $$y$$. Переменная $$x$$ представляет возмущающий процесс и может зависеть от времени, текущего и прошлого значений других переменных или иметь стохастический характер изменения. Соответственно, выбирая возмущающий процесс x, можно получить широкий спектр важных макроэкономических моделей.

Рассмотрим, например, стохастическую версию классической кейнсианской модели, предложенную Самуэльсоном:

(9.3)

где

$$y_{t}$$	-	реальный общий национальный продукт;
$$c_{t}$$	-	потребление;
$$i_{t}$$	-	инвестиции в момент времени $$t$$.

Слагаемые $$\varepsilon _{ct}$$ и $$\varepsilon _{it}$$ имеют нулевые средние и объясняют случайные возмущения в потреблении и инвестировании.

Преобразуем кейнсианскую модель производства и потребления (9.3) к виду

$$y_{t} = \alpha (1 + \beta )y_{t-1} - \alpha \beta by_{t-2} + (1 + \beta b)\varepsilon _{ct} + \varepsilon _{it} - \beta \varepsilon _{ct-1}.$$

(9.4)

Уравнение (9.4) выражает $$y_{t}$$ как функцию от собственных запаздываний (лагов) и возмущающих членов. Выберем возмущающий процесс в виде

$$x_{t} = (1 + \beta ) \varepsilon _{ct} + \varepsilon _{it} - \beta \varepsilon _{it}_{-1}.$$

и получим разностное линейное уравнение второго порядка вида (9.2). Отметим, что в уравнении (9.4) отсутствует свободный член, т.е. $$a_{0} = 0$$.

Важный частный случай для последовательности {x_{t}} получаем при где $$\beta_{i}$$ - константы, $$\varepsilon _{t-i}$$ не зависят от $$y$$. При этом можно полагать, что $$\{\varepsilon _{t}\}$$ является последовательностью неопределенных внешних (экзогенных) переменных. Например, если $$\{\varepsilon _{t}\}$$ - последовательность случайных ошибок наблюдений и $$\beta _{0} = 1; \beta _{1} = \beta _{2} = \dots = 0$$, то уравнение (9.2) становится уравнением авторегрессии

$$y_{t} = a_{0} + a_{1}y_{t - 1} +\dots + a_{n}y_{t} - n + \varepsilon _{t}.$$

Пусть $$n = 1, a_{0} = 0, a_{1} = 1$$. Тогда получаем модель случайного блуждания.

Другой полезный пример дает уравнение

$$y_{t} = 0,7y_{t - 1} + \varepsilon _{t}.$$

(9.5)

Можно проверить, что решением этого разностного уравнения первого порядка является функция

(9.6)

Метод итераций (последовательных приближений). Обозначим известное значение функции $$y$$ в момент времени 0 как $$y_{0}$$. Обратимся к разностному уравнению первого порядка

$$y_{t} = a_{0} + a_{1}y_{t -1} + \varepsilon _{t}.$$

(9.7)

Подставляя $$y_{0}$$ в (9.7), получаем:

$$y_{1} = a_{0} + a_{1}y_{0} + \varepsilon _{1}.$$

Тем же путем находим $$y_{2}$$:

$$y_{2} = a_{0} + a_{1}y_{1} +\varepsilon _{2} = a_{0} + a_{1}(a_{0} + a_{1}y_{0} + \varepsilon _{1}) + \varepsilon _{2} = a_{0} + a_{0}a_{1} + (a_{1})^{2}y_{0} + a_{1}\varepsilon _{2}+ \varepsilon _{2}.$$

Продолжая процесс, найдем $$y_{3}$$:

$$y_{3} = a_{0} + a_{1}y_{2} + \varepsilon _{3} = a_{0}[1 + a_{1} + (a_{1})^{2}] + (a_{1})^{3}y_{0} + (a_{1})^{2} \varepsilon _{1} + a_{1} \varepsilon _{2} + \varepsilon _{3}.$$

Для итерации с номером $$t$$ получаем решение уравнения (9.7):

(9.8)

Предположим, что начальное значение $$y_{0}$$ неизвестно. Тогда при движении "назад" заменим $$y_{0}$$ на итерацию "назад" $$a_{0} + a_{1}y_{-1} + \varepsilon _{0}.$$ В результате получаем:

Предполагая, что $$a_{1} < 1$$ и сдвигаясь назад на m периодов $$(m \to \infty )$$, получаем: Можно показать, что полученное решение уравнения (9.7) не единственное. Решением уравнения (9.7) при любом$$ С$$ будет и выражение

(9.9)

Выражение (9.9), как и в случае дифференциальных уравнений первого порядка, представляет сумму общего решения $$y_{t}^{одн} = Ca_{1}^{T }$$ однородного разностного уравнения вида (9.2) $$y_{t} = a_{1}y_{t-1} + \varepsilon _{t}$$ и частного решения неоднородного уравнения (9.7).

Теперь рассмотрим случай $$a_{1} = 1$$. Тогда движением "назад" получаем решение в виде В отличие от предыдущего случая здесь ошибки $$\varepsilon _{i}$$ не убывают, а накапливаются.

Рассмотрим теперь уравнение второго порядка

$$y_{t} - a_{1}y_{t-1} - a_{2}y_{t-2} = 0.$$

(9.10)

Будем искать решение уравнения второго порядка в том же виде

$$y_{t}^{одн} = C\alpha ^{t}, C \ne 0.$$

Подставляя это выражение в (9.10), получаем

$$Сa_{t} - a_{1}Сa^{t-1} - a2Сa^{t-2} = 0.$$

(9.11)

Разделив обе части (9.11) на$$ Сa^{t-2}$$, получим характеристическое уравнение $$\alpha ^{2} - a_{1}\alpha - a_{2} = 0$$. При решении характеристического уравнения могут возникнуть три случая.

Случай 1. Дискриминант $$d = a_{1}^{2} + 4a_{2} > 0$$ и существуют два действительных различных корня уравнения. Тогда

$$y_{t}^{одн} = C_{1}(a_{1})_{t} + C_{2}(a_{2})^{T} .$$

Если абсолютное значение хотя бы одного из корней $$a_{1}$$ или $$a_{2}$$ превышает единицу, то однородное решение имеет "взрывной" характер при $$t \to \infty$$.

Случай 2. Если $$d = 0$$, то общее решение имеет вид

Решение носит "взрывной" характер при $$|a_{1}| > 2$$. Если $$|a_{1}| < 2$$, то из-за слагаемого поведение общего решения не так ясно. В итоге решение стремится к нулю, но вначале может носить "взрывной" характер.

Тригонометрическая функция создает волнообразное поведение решения однородного уравнения. Частота колебаний определяется параметром $$\theta$$, а амплитуда колебаний - множителем $$r = (-a_{2})^{1/2}$$. Если $$|a_{2}| = 1$$, то амплитуда не меняется. Колебания затухают при $$|a_{2}| < 1$$ и растут при $$|a_{2}| > 1$$.

Характеризация условий устойчивости. В случае существования двух корней характеристического уравнения для устойчивости требуется, чтобы оба корня находились внутри промежутка (-1; 1). В случае совпадающих характеристических корней условие устойчивости принимает вид $$|a_{1}| < 2$$. Для комплексных корней в случае 3 $$(d < 0)$$ условие устойчивости следующее: -$$a_{2} < 1 (a_{2} < 0)$$.

9.2. Системы разностных уравнений более высокого порядка

Тот же метод может быть использован для решения однородных систем разностных уравнений более высокого порядка.

Однородное разностное уравнение для (9.2) имеет вид

(9.12)

Здесь также можно ожидать, что каждое решение (9.12) представимо в виде $$y_{t}^{одн} = C\alpha _{1}^{T}$$ где$$ С$$ - произвольная постоянная. Чтобы найти возможные значения $$\alpha$$, решим уравнение

После деления обеих его частей на $$A\alpha ^{t-n}$$, получаем:

$$\alpha ^{n} - a_{1}\alpha ^{n-1} - a_{2}\alpha ^{n-2} -\dots - \alpha _{n} = 0.$$

Многочлен $$n$$-го порядка, стоящий в левой части последнего равенства, имеет $$n$$ корней $$\alpha _{1}, \alpha _{2}, \dots, \alpha _{n}$$. Можно показать, что линейная комбинация решений уравнения (9.12)

$$A_{1}\alpha _{1}^{T} + A_{2}\alpha _{2}^{T} + \dots + A_{n}\alpha _{n}^{T} .$$

будет также его решением. Произвольные постоянные $$A_{1}, \dots, A_{n}$$ вычисляются подстановкой $$n$$ начальных условий в общее решение. Числа $$\alpha _{1}, \alpha _{2}, \dots, \alpha _{n}$$ могут быть как действительными, так и комплексными. Условия устойчивости (отсутствие роста решения до бесконечности) требуют, чтобы действительные характеристические корни были по абсолютной величине меньше единицы. Для комплексных корней условие устойчивости заключается в том, чтобы все они находились внутри единичного круга комплексной плоскости. Необходимым условием нахождения характеристических корней в единичном круге является выполнение соотношения Достаточным условием нахождения характеристических корней в единичном круге является выполнение соотношения По крайней мере один из характеристических корней равен единице, если

Нахождение частных решений

1. Пусть в (9.2) $$x_{t} = 0$$. Тогда $$y_{t} = a_{0} + a_{1}y_{t} - 1 + a_{2}y_{t} - 2 +\dots + a_{n}y_{t} - n$$. Попробуем частное решение найти в виде постоянной. Подставляя $$y_{t} = C$$, получаем

$$C = a_{0} + a_{1}C + a_{2}C +\dots + a_{n}C.$$

Если $$1 - a_{1} - a_{2} -\dots - a_{n} \ne 0$$, то решение найдено. Если же $$1 - a_{1} - a_{2} -\dots - a_{n} = 0$$, то $$C$$ не определяется. В этом случае попытаемся найти частное решение в другом виде. Вспомним, что в данной ситуации и $$y_{t}$$ - расходящаяся последовательность. Попробуем получить решение в виде линейной функции (тренда) от времени $$t$$, т.е. в виде $$y_{t} = C_{t}$$. Получаем уравнение

$$C_{t} = a_{0} + a_{1}C(t - 1) +\dots + a_{n}C(t - n).$$

Раскрыв скобки, имеем:

$$(1 - a_{1} - a_{2} -\dots - a_{n})C_{t} = a_{0} - C(a_{1} + 2a_{2} + 3a_{3} +\dots + na_{n}).$$

Учитывая, что $$1 - a_{1} - a_{2} -\dots - a_{n} = 0$$, в случае $$a_{1} + 2a_{2} + 3a_{3} +\dots + na_{n} \ne 0$$ получаем решение

В противном случае ищем решение в виде функций: Для уравнения $$n$$-го порядка одна из этих функций обязательно будет частным решением.

2. Пусть в (9.2) $$x_{t}$$ имеет экспоненциальную форму $$x_{t} = сq^{rt}$$. Частное решение ищут в виде $$y_{t} = С_{0} + С_{1}q^{rt}$$, где$$ С_{0}$$ и$$ С_{1}$$ являются константами. Подставляя в уравнение это предполагаемое решение, получаем

$$С_{0} + С_{1}q^{rt} = a_{0} + a_{1}[С_{0} + С_{1}q^{r(t - 1)}] + сq^{rt}.$$

Приравнивая соответствующие слагаемые (константы приравниваем константам, слагаемые с ростом r в левой части равенства - слагаемым с тем же ростом в правой части равенства), получаем частное решение в виде

(9.13)

Отметим, что при $$|q^{r}| < 1$$ решение (9.13) сходится с ростом $$t$$ к постоянной

Если $$a_{1} = 1$$, то выбираем$$ С_{0} = C_{t}$$, а если $$a_{1} = q^{r}$$, то

3. Пусть $$x_{t} = ct p$$, где$$ с$$ - константа, а $$p$$ - положительное целое число. Следовательно,

(9.14)

Частное решение следует искать в виде общего многочлена степени $$p$$ от времени $$t$$:

$$y_{t} = C_{0} + C_{1}t + C_{2}t_{2} +\dots + C_{p}t_{p}.$$

(9.15)

Чтобы найти коэффициенты $$C_{i}$$, подставим (9.15) в (9.14). В полученном равенстве надо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях $$t$$ и получить равенства для определения $$C_{0}, C_{1}, \dots, C_{p}$$. Для простоты предположим, что $$p = 1$$ (этого достаточно для подавляющего большинства экономических приложений), и рассмотрим разностное уравнение второго порядка $$y_{t} = a_{0} + a_{1}y_{t }- 1 + a_{2}y_{t-2} + сt$$. Частное решение представим в виде $$y_{t} = C_{0} + C_{1}t$$. Подставляя частное решение в уравнение, имеем:

$$C_{0} + C_{1}t = a_{0} + a_{1}[C_{0} + C_{1}(t - 1)] + a_{2}[C_{0} + C_{1}(t - 2)] + ct.$$

Приравнивая слева и справа постоянные и члены с множителем $$t$$, получаем:

Если $$a_{1} + a_{2} = 1$$, то нужно умножить частное решение на $$t$$ и искать коэффициенты $$C_{0}$$ и $$C_{1}$$ тем же способом.

Рассмотрим пример, в котором разностные уравнения используются для изучения эффекта взаимодействия потребительского спроса и спроса на инвестиции.

Изучается односекторная модель экономики, в которой существуют три составные части общего спроса: потребительский спрос, спрос на инвестиции и правительственные расходы.

Пусть потребление в год с номером $$t$$ обозначено через $$C(t)$$ и линейно зависит от дохода в предыдущий период $$y(t - 1)$$:

$$C(t) = b + cy(t - 1).$$

Ожидаемый общий спрос в году $$(t + 1)$$ обозначим $$y^*(t + 1)$$. Пусть оптимальное соотношение "капитал - выпуск" равно $$r$$. Тогда количество капитала, требуемого для удовлетворения ожидаемого общего спроса, равно $$ry^*(t + 1)$$. Следовательно, к началу $$(t + 1)$$-го года количество капитала составит

$$k(t + 1) = ry*(t + 1).$$

Инвестиции в течение года $$t$$ должны контролировать процесс накопления капитала от $$k(t)$$ в начальный период года $$t$$ до $$k(t + 1)$$, требуемого в начальный период $$(t + 1)$$-го года. Если игнорировать амортизацию капитала, то инвестиции в год $$t$$ равны

$$I(t) = k(t + 1) - k(t),$$

поэтому

$$I(t) = r(y*(t + 1) - y*(t)).$$

Предположим, что существует запаздывание (лаг) величиной в один год между заказом на инвестиции и их выполнением, т.е. те капиталовложения, которые готовы приносить отдачу в период $$t$$, должны быть заказаны в период $$(t - 1)$$, когда известно только значение общего спроса $$y^*(t - 1)$$.

Предположим, что ожидаемый общий спрос в будущем $$y^*(t + 1)$$ приравнивается известному общему спросу в настоящий момент, т.е.:

$$y*(t + 1) = y(t - 1).$$

Отсюда

$$I(t) = r(y(t - 1) - y(t - 2)).$$

Допустим, правительственные расходы не изменяются от периода к периоду, т.е.:

$$G(t) = G.$$

Предположения $$(a), (b), (c)$$ в совокупности дают общий спрос в период $$t$$. Предполагая, что общий спрос равен общему доходу, получаем:

$$y(t) = cy(t - 1) + r[y(t - 1) - y(t - 2)] + b + G.$$

После упрощений имеем:

$$y(t) - (c + r)y(t - 1) + ry(t - 2) = F,$$

(9.16)

где $$F = b + G$$ - экзогенная (внешняя), не зависящая от времени постоянная.

Выражение (9.16) является линейным неоднородным разностным уравнением второго порядка. Характеристическое уравнение для него имеет вид

$$\alpha ^{2} - (с + r) \u03b1 + r = 0.$$

(9.17)

Прежде всего напомним, что частное решение при постоянной правой части $$F = b + G$$ равно

Далее рассмотрим три случая.

Случай 1. $$D = (c + r)^{2} - 4r > 0$$. Здесь $$c > 2\sqrt{r} - r$$. Тогда общее решение однородного уравнения

$$y(t) - (c + r)y(t - 1) + ry(t - 2) = 0$$

имеет вид

$$yt = C1(\alpha _{1})^{T} + C_{2}(\alpha _{2})^{T},$$

где

$$C_{1}$$ и $$C_{2}$$	-	произвольные постоянные;
	-	действительные различные числа.

Представим общее решение:

Если $$|a_{1}| < 1$$ и $$|a_{2}| < 1,$$ то с течением времени общий доход $$y_{t}$$ стремится к величине Но если хотя бы один из корней $$\alpha_{1}$$ или $$\alpha_{2}$$ по абсолютной величине превышает 1 и начальные условия таковы, что$$ С_{1}$$ и$$ С_{2}$$ не равны нулю, то с течением времени будет наблюдаться рост дохода.

Случай 2. $$D = 0$$, тогда $$(c + r)^{2} = 4r$$, или $$c = 2\sqrt{r}- r.$$ В этом случае

C течением времени при$$ С_{2} \ne 0$$ может наблюдаться некоторый рост общего дохода. Однако множитель $$r^{t/2}$$ при $$t \to \infty$$, и доход стабилизируется, приближаясь к

Случай 3. $$D = (c + r)2 - 4r < 0,$$ или $$c < 2\sqrt{r} - r$$. В этом случае общее решение можно получить либо с использованием комплексных корней характеристического уравнения

либо, обращаясь к теореме Муавра о представлении комплексных чисел, - в тригонометрическом виде

Рассмотрим пример. Пусть доля общего дохода, идущего на потребление (предельная склонность к потреблению),$$ с = 0,5$$, а отношение "капитал - выпуск" $$r = 5$$. Кроме того, правительственные расходы $$G = 12$$ и постоянный потребительский спрос $$b = 4$$. Найдем доход в течение последующих периодов времени, если начальный доход $$y_{0} = 26$$, а доход после первого года $$y_{1} = 28$$.

Выпишем характеристическое уравнение (9.17)

$$\alpha ^{2} - 5,5\alpha + 5,0 = 0.$$

Решая его, получаем $$\alpha _{1} \approx 4,35; \alpha _{2} \approx 1,15$$.

Представим общее решение разностного уравнения в виде

$$y_{t} = A_{1}(4,35)^{T} + A_{2}(1,15)^{T} + 32.$$

C учетом начальных условий находим $$A_{1}$$ и $$A_{2}$$. Получаем систему

Отсюда $$A_{1} \approx 0,91; A_{2} \approx -6,91$$. Исходя из этого решение принимает вид

$$y_{t} = (0,91)(4,35)^{T} - (6,91)(1,15)^{T} + 32.$$

Очевидно, что для больших значений $$t$$ рост будет в основном определяться первым слагаемым.

Контрольные вопросы

Как определить первую разность для функции $$y = f(t)$$?

Запишите линейное неоднородное разностное уравнение $$n$$-го порядка с постоянными коэффициентами.

Как свести модель Кейнса - Самуэльсона производства и потребления к линейному неоднородному разностному уравнению для производственной функции $$y(t)$$?

Выпишите модель случайных блужданий (random walk model).

Как получить решение неоднородного разностного уравнения первого порядка методом итераций?

Запишите характеристическое уравнение для однородного разностного уравнения второго порядка.

Рассмотрите три случая построения решений для однородных разностных уравнений второго порядка.

Рассмотрите три случая построения частных решений для неоднородного разностного уравнения второго порядка.

Сформулируйте условия устойчивости (решение не стремится к бесконечности) для разностных уравнений различных порядков.

Рассмотрите два случая:

$$с = 0,75, r = 0,25$$. Остальные предположения оставьте теми же, что в численном примере (п. 9.2);

$$с = 0,5, r = 0,5, y(0) = 0, y(1) = 4$$; при $$t = 0 B = b + G = 0$$, при $$t = 1$$ внешний спрос $$B = b + G = 4$$.