Лабораторная работа № 2: Модель множественной линейной регрессии

Предприятие ведет продажу однородной сельскохозяйственной продукции. Руководство предприятия проводит изучение зависимости объема продаж от выбранной цены. При этом оно проводит рекламную акцию и несет некоторые расходы на рекламу. Данные наблюдений приведены в табл. 1, где $$Q$$ - объем продаж (кг); $$P$$ - цена одной единицы продукции (руб.), $$R$$ - расходы на рекламу (100 руб.).

Таблица 1

Требуется:

найти зависимость объема ($$Q$$) продаж от цены ($$P$$) и рекламных расходов ($$R$$);

экономически обосновать знаки коэффициентов в построенных моделях;

рассмотреть модель, учитывающую, что для расходов на рекламу существует эффект насыщения, т.е. начиная с некоторого момента вложения в рекламу перестают приводить к увеличению объема продаж. Рассмотреть зависимость вида $$Q = \beta _{0} + \beta _{1}P_{i }+ \beta _{2}R_{i }+ \beta _{3}R_{i}^{2} + \varepsilon_{i}$$;

найти МНК-оценки коэффициентов множественной регрессии. Оценить значимость полученного уравнения в целом и значимость отдельных коэффициентов;

оценить прогностические возможности полученного регрессионного уравнения, учитывая коэффициент детерминации;

найти 95%-ные доверительные интервалы коэффициентов $$\beta _{i}, i = 0, 1, 2$$;

дать экономическую интерпретацию коэффициентов множественной регрессии;

найти объем продаж при цене единицы продукции 6 руб. и рекламных расходах 280 руб. Вычислить 95%-ный доверительный интервал для величины объема продаж.

Отчет по лабораторной работе № 2

I. Определим наличие статистической зависимости между переменными. Для этого вычислим корреляционную матрицу (табл. 2) и описательные статистики (табл. 3), построим поля рассеяния и гистограммы исходных признаков (рис. 1).

Таблица 2

Таблица 3

(рис 1)

Значимые коэффициенты корреляции свидетельствуют о том, что имеется статистическая связь между объемом продаж $$Q$$ и ценой единицы продукции $$P$$, а также между объемом продаж $$Q$$ и расходами на рекламу $$R$$. Причем связь между объемом продаж и ценой единицы продукции отрицательная, а значит, с увеличением цены объем продаж уменьшается. Этот вывод не противоречит основным представлениям экономической теории и здравому смыслу.

Иначе обстоит дело с расходами на рекламу и объемом продаж. Значимая отрицательная корреляционная связь показывает, что с увеличением расходов на рекламу объемы продаж продукции падают. Это может свидетельствовать или об отрицательном эффекте рекламной акции (например, в результате неграмотной ее организации), или о том, что связь между рассматриваемыми переменными не является прямой, т.е. реклама влияет на результирующий признак опосредованно, через некоторые другие переменные.

Регрессионная модель зависимости объема продаж от затрат на рекламу представлена в табл. 4.

Таблица 4

Для более подробного исследования рассмотрим уравнение парной регрессии

ОБЪЕМ_ПР = 877,0006 – 84,8295 РЕКЛ_ЗАТ, $$R^{2}$$ = 0,56383892.

Все коэффициенты уравнения регрессии значимы на стандартном 5%-ном уровне.

Анализ остатков построенного уравнения регрессии показывает, что более половины наблюдаемых значений находятся за пределами 95%-ного доверительного коридора (трубки) (рис. 2). Это указывает на то, что, несмотря на значимость полученного уравнения, оно может быть улучшено за счет введения в него дополнительных объясняющих переменных.

(рис 2)

Регрессионная модель зависимости объема продаж от цены товара представлена в табл. 5.

Таблица 5

Уравнение регрессионной зависимости между объемом продаж и ценой

ОБЪЕМ_ПР = 1198,030 - 104,119 ЦЕНА, $$R^{2}$$ = 0,23149631

хотя и является значимым ($$р$$ - значение менее 0,0317), все же недостаточно хорошо воспроизводит качество зависимости ($$R^{2} = 0,23149631$$).

Проведенный предварительный анализ свидетельствует о необходимости использования более сложной модели, в частности, модели, позволяющей одновременно учитывать влияние всей совокупности факторов.

Регрессионная модель зависимости объема продаж от затрат на рекламу и цену товара представлена в табл. 6.

Таблица 6

Уравнение множественной регрессии, одновременно учитывающее оба фактора - $$Q$$ и $$R$$, имеет вид

ОБЪЕМ_ПР = 1255,010 - 66,733 ЦЕНА - 75,867 РЕКЛ_ЗАТ, $$R^{2}$$ = 0,65264.

Это уравнение значимо ($$р < 0,00012$$) и на 65,26% объясняет вариацию зависимой переменной$$ Р$$. Однако в этом уравнении знак перед переменной РЕКЛ_ЗАТ не соответствует ожиданиям: естественно было предположить, что увеличение рекламных расходов будет приводить к увеличению объема продаж, т.е. знак перед переменной РЕКЛ_ЗАТ должен быть положительным.

В использовании рекламы существенным является "эффект насыщения", заключающийся в том, что при увеличивающемся уровне расходов каждый последующий рубль дает меньшую отдачу, чем при начальном уровне расходов. С учетом этого в модель вводится переменная КВ_РЕКЛ, численно равная квадрату рекламных затрат. (Как известно, квадратичная функция $$y = ax^{2}+ bx + c при a < 0$$ обладает локальным максимумом.) Предполагается, что новая переменная будет иметь в регрессионной модели отрицательный знак, если сделанные предположения имеют место.

Результаты расчета коэффициентов уравнения регрессии подтверждают справедливость сделанных предположений:

ОБЪЕМ_ПР =	963,718 -	111,498 ЦЕНА +	255,251 РЕКЛ_ЗАТ	- 43,238 КВ_РЕКЛ
(ср. кв. откл. коэф.)	(131,7)	(21,6)	(63,4)	(8,2)

R2 = 0,83357.

Множественная регрессионная модель представлена в табл. 7.

Таблица 7

Полученное уравнение регрессии является значимым и примерно на 87,4% (поскольку коэффициент множественной детерминации $$R^{2} = 0,87357$$) объясняет вариацию зависимой переменной. Все входящие в уравнение переменные значимы на уровне менее 1%.

Дисперсионный анализ уравнения регрессии представлен в табл. 8.

$$Таблица 8$$

Доверительные интервалы для коэффициентов уравнения регрессии определяются с учетом того, что число степеней свободы модели равняется $$n - k - 1 = 20 - 3 - 1 = 16$$, где $$n$$ - число наблюдений, $$k$$ - число объясняющих переменных модели, а . Значения ошибок (точнее, средних квадратичных отклонений) коэффициентов следует взять из таблицы результатов регрессионного анализа. Используя формулу

получим $$I_{0,95}(\u03b2_{1}) = (-159,066; -63,930)$$.

Гипотезу о несущественном влиянии переменной$$ Р$$ (цены) на зависимую переменную $$Q$$ (объем продаж) отвергаем, так как $$\beta _{1} = 0 \hat{I} I_{0,95}(b_{1})$$.

Аналогичные выводы можно сделать относительно других переменных, анализируя построенные доверительные интервалы. Так, $$H_{0} : \beta _{2} = 0$$ отвергаем, поскольку $$I_{0,95}(\u03b2_{2}) = (115,666; 394,836)$$. К такому же выводу о значимости коэффициента $$\beta _{3}$$ можно прийти на основании рассмотрения соответствующего доверительного интервала $$I_{0,95}(b_{3}) = (-61,219; -25,256)$$.

Экономическая интерпретация коэффициентов уравнения регрессии связана с анализом рассматриваемой ситуации. Так, значение коэффициента при переменной$$ Р$$ (цена), равное -111,498, указывает на то, что в случае увеличения цены на одну единицу при прочих равных условиях объем продаж $$Q$$ в среднем сократится на 111 кг. Более надежным (практически достоверным, имеющим вероятность 0,95) будет утверждение о том, что уменьшение объема продаж будет находиться в интервале от 63 до 159 кг.

Для вычисления объема продаж при цене единицы продукции 6 руб. и рекламных расходах 280 руб. следует воспользоваться режимом Predict dependent var. Результаты расчетов представлены в табл. 9.

Таблица 9

Анализ этих результатов показывает, что при указанных выше значениях объясняющих переменных объем продаж составит в среднем 670 кг. При этом с вероятностью 0,95, т.е. практически достоверно, можно ожидать, что среднее значение величины Q будет находиться в интервале от 634 до 706 кг.

II. Теперь представим упрощенный вариант отчета по лабораторной работе № 2, но содержащий описание процедуры оптимизации продажной цены с целью максимизации выручки.

Для этого воспользуемся исходными данными, представленными в табл. 10.

Выберем в качестве зависимой переменной выручку (объем продаж), а в качестве предсказывающих независимых факторов - цену продукта и расходов на рекламу. Сначала построим линейную модель, результаты расчетов представлены в табл. 11.

Таблица 10

Таблица 11

Несмотря на то что линейное уравнение значимо ($$R^{2 }= 0,92884131$$), значимыми оказались и коэффициенты уравнения, т.е. по эконометрическим признакам уравнение можно признать хорошим. Однако оно не согласуется с экономическим смыслом поставленной задачи. Некоторые коэффициенты оказались отрицательными, а значит, увеличение расходов на рекламу влечет уменьшение объемов продаж. На практике такое уменьшение происходит, только если цена превысит свой оптимальный уровень, а расходы на рекламу выйдут за разумный предел. Поэтому требуется усложнить модель - включить в нее квадратичные слагаемые. Добавив квадратичные слагаемые в табл. 10, получим табл. 12.

Таблица 12

Результаты расчетов по квадратичной модели представим в табл. 13.

Таблица 13

Полученная регрессия отражает экономический смысл связей между объемом продаж, ценой продукта и расходами на рекламу. При малых значениях цены и расходов на рекламу их положительные коэффициенты определяют движение выручки. Следовательно, выручка будет расти. Если цена и расходы превысят оптимальный уровень, то определяющими движение выручки станут отрицательные коэффициенты при квадрате цены и квадрате расходов на рекламу. В этом случае выручка будет падать. В полученной регрессии есть один существенный недостаток. Если предположить, что цена продукта нулевая и расходы на рекламу нулевые, то выручка должна быть равна нулю. В нашей модели это не так, поскольку остается свободный член не равный нулю. Следовательно, нужно построить регрессию с квадратичными слагаемыми и с нулевым свободным членом (табл. 14).

Таблица 14

Окончательная модель объема продаж выглядит следующим образом:

$$Объем продаж = 301,0636 \cdot цена + 34,0372 \cdot расх. рекл. - 21,0087 \cdot кв. цены - 18,0058 \cdot кв. расх. рекл.$$

Рассчитаем оптимальные значения цены и расходы на рекламу исходя из полученной модели и условия максимизации выручки:

$$V_{макс} = a_{1} \cdot ц^{опт} - a_{2}(ц^{опт})^{2} + b_{1} \cdot рекл^{опт} - b_{2}(рекл^{опт})^{2} = \\ = 301,0636 \cdot 7,1652 - 21,0087 \cdot 7,1652 \cdot 7,1652 +\\ \cdot0,94517 - 8,0058 \cdot 0,94517 \cdot 0,94517 = 1094,67786,$$

где

$$а_{1}$$	-	коэффициент при цене;
$$а_{2}$$	-	коэффициент при цене в квадрате;
$$b_{1}$$	-	коэффициент при расходах на рекламу;
$$b_{2}$$	-	коэффициент при расходах на рекламу в квадрате;
$$V$$	-	объем продаж.