Вырожденное распределение. Говорят, что случайная величина $$\xi$$ имеет вырожденное распределение в точке $$c\in\mathbb R$$, и пишут: $$\xi{\,\sim\,} \mathrm I_c$$, если $$\xi$$ принимает единственное значение $$c$$ с вероятностью 1, т.е. $$\Prob(\xi=c)=1$$. Функция распределения $$\xi$$ имеет вид$$F_\xi(x)=\Prob(\xi<x)=\Prob(c<x)=\begin{cases} 0, \text{если } x\le c, \cr 1, \text{если } x>c. \end{cases}$$
Распределение
Бернулли.
Говорят, что случайная величина $$\xi$$
имеет
Функция распределения случайной величины $$\xi$$ такова:$$F_\xi(x)=\Prob(\xi<x)=\begin{cases} 0, \text{если } x\le 0, \cr 1-p, \text{если } 0<x\le 1, \cr 1, \text{если } x>1. \end{cases}$$
Биномиальное
распределение.
Говорят, что случайная величина $$\xi$$
имеет биномиальное распределение с параметрами $$n\in \mathbb N$$ и $$p\in(0,\,1)$$,
и пишут: $$\xi{\,\sim\,} {\mathrm B}_{n,p}$$, если $$\xi$$ принимает значения $$k=0,\,1,\,\dots,\,n$$
с вероятностями $$\Prob(\xi=k)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$$. Случайная
величина
с таким распределением имеет смысл числа успехов в $$n$$
испытаниях
схемы Бернулли с вероятностью успеха $$p$$.
Таблица распределения $$\xi$$ имеет вид$$\begin{tabular}{l|c|c|c|c|c|c}
$\xi$ 0 1 \ldots
$k$ \ldots $n$ \\ \hline
$\Prob\vphantom{\int^b}$ $(1-p)^n$
$np(1-p)^{n-1}$ \ldots
$C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$ \ldots $p^n$
\end{tabular}\,.$$
Например, количество выпавших шестерок при двадцати подбрасываниях правильной
игральной
кости имеет биномиальное распределение $${\mathrm B}_{20, \frac16}$$.
Геометрическое распределение. Говорят, что случайная величина $$\tau$$ имеет геометрическое распределение с параметром $$p\in(0,\,1)$$, и пишут $$\tau \sim {\mathrm G}_p$$, если $$\tau$$ принимает значения $$k=1,\,2,\,3,\,\dots$$ с вероятностями $${\Prob(\tau=k)}=p (1-p)^{k-1}$$. Случайная величина с таким распределением имеет смысл номера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха $$p$$. Таблица распределения $$\tau$$ имеет вид$$\begin{tabular}{l|c|c|c|c|c} $\tau$ 1 2 \ldots $k$ \ldots \\ \hline $\Prob\vphantom{\int^b}$ $p$ $p(1-p)$ \ldots $p(1-p)^{k-1}$ \ldots \end{tabular}\,.$$
Распределение
Пуассона.
Говорят, что случайная величина $$\xi$$
имеет
Гипергеометрическое распределение. Говорят, что случайная величина $$\xi$$ имеет гипергеометрическое распределение с параметрами $$n$$, $$N$$ и $$K$$, где $$K \le N$$, $$n \le N$$, если $$\xi$$ принимает целые значения $$k$$ такие, что $${0\le k\le K}$$, $$0\le n-k\le N-K$$, с вероятностями $$\Prob(\xi=k)={C_K^k C_{N-K}^{n-k}}\,/\,{C_N^n}$$. Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа белых шаров среди $$n$$ шаров, выбранных наудачу и без возвращения из урны, содержащей $$K$$ белых шаров и $$N-K$$ не белых.
Упражнение.
Построить графики функций распределения для вырожденного
распределения,
Равномерное распределение. Говорят, что $$\xi$$ имеет равномерное распределение на отрезке $$[a,\,b]$$, и пишут: $$\xi \sim U_{a,b}$$, если плотность распределения $$\xi$$ постоянна на отрезке $$[a,\,b]$$ и равна нулю вне него:$$f_\xi(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a}, \textrm{\, если\, } x\in[a,\,b], \cr \,0, \textrm{\, если\, } x\not\in[a,\,b]. \end{cases}$$ Площадь под графиком этой функции равна единице, $$f_\xi(x)\ge 0$$. Поэтому $$f_\xi(x)$$ является плотностью распределения.
Случайная величина $$\xi \sim U_{a,b}$$ имеет смысл координаты точки, выбранной наудачу на отрезке $$[a,\,b]$$. Вычислим функцию распределения случайной величины $$\xi$$:$$F_\xi(x)=\Prob(\xi<x)=\!\!\!\int\limits_{-\infty}^x \!\!f_\xi(t) dt= \begin{cases} \int\limits_{-\infty}^x 0\ dt, x < a, \cr \int\limits_{-\infty}^a 0\ dt +\int\limits_{a}^x \frac{1}{b-a} dt, a\le x\le b, \cr \int\limits_{-\infty}^a 0\ dt+ \int\limits_{a}^b \frac{1}{b-a} dt+\int\limits_{b}^x 0\ dt, x>b. \end{cases}$$ Графики плотности и функции распределения равномерного распределения на отрезке $$[a, b]$$ изображены на рис 7.1
(рис 7.1) Плотность и функция распределения Ua, bЗаметьте, что в точках $$a$$ и $$b$$ функция распределения недифференцируема, и плотность можно задать как угодно.
Показательное распределение. Говорят, что $$\xi$$ имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром $$\alpha>0$$, и пишут: $$\xi{\,\sim\,}{\mathrm E}_\alpha$$, если $$\xi$$ имеет следующую плотность распределения:$$f_\xi(x)=\begin{cases} 0, \text{ если }\, x < 0, \cr \alpha e^{-\alpha x}, \text{ если }\, x\ge 0. \end{cases}$$ Функция распределения случайной величины $$\xi$$ непрерывна:$$F_\xi(x)=\Prob(\xi<x)=\begin{cases} 0, \text{ если }\, x < 0, \cr 1-e^{-\alpha x}, \text{ если }\, x\ge 0. \end{cases}$$
Графики плотности и функции распределения показательного распределения с параметром $$\alpha$$ приведены на рис 7.2
(рис 7.2) Плотность и функция распределенияПлотность показательного распределения равна нулю на отрицательной полуоси, поэтому вероятность события $$\{\xi < 0\}$$ нулевая - случайная величина с показательным распределением не может быть отрицательна. К тому же плотность отлична от нуля на всей положительной полуоси, поэтому случайная величина с показательным распределением может принимать сколь угодно большие положительные значения: для всякого $$x$$ вероятность события $$\{\xi>x\}$$ не равна нулю.
Показательное распределение является единственным абсолютно непрерывным распределением, для которого выполнено свойство "нестарения" (и в этом смысле оно является непрерывным аналогом дискретного геометрического распределения).
Теорема 23. Пусть $$\xi{\,\sim\,}{\mathrm E}_\alpha$$. Тогда для любых $$x,\,y>0$$$$\begin{equation} \Prob(\xi>x+y | \xi>x)=\Prob(\xi>y). \end{equation}$$
Нормальное
распределение.
Говорят, что $$\xi$$ имеет
нормальное (
На рис 7.3 приведены графики плотностей нормальных распределений с одним и тем же параметром $$a$$ и разными значениями параметра $$\sigma$$.
(рис 7.3) Плотности нормальных распределенийУбедимся, что $$f_\xi(x)$$ является плотностью распределения. Так как $$f_\xi(x)>0$$ для всех $$x\in\mathbb R$$, то свойство (f1) выполнено. Проверим (f2):$$\begin{multiple} \int\limits_{-\infty}^\infty f_\xi(x)\,dx= \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~ e^{-\tfrac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}\,dx= \left[\begin{array}{c}\text{ замена переменных } \cr t=\frac{x-a}{\sigma}, \, dx=\sigma\,dt \end{array}\right]\, =\\\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~ e^{-t^2/2}\sigma\,dt= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}~ \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-t^2/2}\,dt\,=\frac{I}{\sqrt{2\pi}}\,=1, \end{multiple}$$ где через $$I$$ обозначен табличный интеграл (интеграл Пуассона)$$I=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\,dx=\sqrt{2\pi}.$$
Нормальное распределение $${\mathrm N}_{0,\,1}$$ с параметрами $$a=0$$ и $$\sigma^2=1$$ называется стандартным нормальным распределением. Плотность стандартного нормального распределения равна $$f_\xi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2/2}$$.
Мы будем использовать специальное обозначение $$\Phi_{a,\,\sigma^2}(x)$$ для функции распределения нормального закона $${\mathrm N}_{a,\,\sigma^2}\vphantom{a^{a^a}}$$ (рис 7.3). Первообразная функции $$e^{-x^{\smash{2}}}$$ не может быть выражена через элементарные функции. Поэтому функцию $$\Phi_{a,\,\sigma^2}(x)$$ можно записать лишь в виде интеграла$$\Phi_{a,\,\sigma^2}(x)=\int\limits_{-\infty}^x \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\tfrac{(t-a)^2}{2\sigma^2}} dt, \qquad \Phi_{0,\,1}(x)=\int\limits_{-\infty}^x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\tfrac{t^2}{2}} dt.$$ Функция $$\Phi_{0,\,1}(x)$$ табулирована, т.е. ее значения при различных вещественных $$x$$ вычислены. Их можно найти в соответствующих таблицах.
Гамма-распределение.
Говорят, что $$\xi$$ имеет
гамма-распределение с параметрами $$\alpha>0$$, $$\lambda>0$$,
и пишут: $$\xi{\,\sim\,}\Gamma_{\alpha,\,\lambda}$$,
если $$\xi$$ имеет следующую плотность распределения:$$f_\xi(x)=\begin{cases}
0, \text{ если }\, x\le 0, \cr
c\cdot x^{\lambda-1}e^{-\alpha x}, \text{ если }\, x> 0,
\end{cases}$$
(рис 7.4) Функция распределения нормального распределениягде постоянная $$c$$ вычисляется из свойства (f2) плотности так:$$1=\int\limits_{-\infty}^\infty f_\xi(x)\,dx=
c\int\limits_0^\infty x^{\lambda-1}e^{-\alpha x}\,dx=
\frac{c}{\alpha^\lambda}\int\limits_0^\infty (\alpha
x)^{\lambda-1}e^{-\alpha x}\,d(\alpha x)
=\frac{c}{\alpha^\lambda}\,\Gamma(\lambda),$$
откуда $$c={\alpha^{\lambda}}\,/\,{\Gamma(\lambda)}$$.
Здесь через $$\Gamma(\lambda)$$ обозначен интеграл$$\Gamma(\lambda)=\int\limits_0^\infty
x^{\lambda-1}e^{-x}\,dx=(\lambda-1)
\Gamma(\lambda-1),$$
называемый гамма-
Полезно отметить, что показательное распределение есть частный случай гамма распределения: $${\mathrm E}_\alpha=\Gamma_{\alpha,\,1}$$.
Функцию распределения гамма-распределения можно записать, вообще говоря, только в виде интеграла:$$\quad F_\xi(x)=\frac{\alpha^{\lambda}}{\Gamma(\lambda)}\; \int\limits_0^x \;t^{\lambda-1}e^{-\alpha t} dt.$$
Распределение Коши.
Говорят, что $$\xi$$ имеет
Плотность распределения Коши симметрична относительно прямой $$x=a$$ и похожа на плотность нормального распределения, но имеет
более толстые "хвосты"
на $$\pm\infty$$. Функция распределения случайной величины $$\xi$$ с
Распределение Парето. Говорят, что $$\xi$$ имеет распределение Парето с параметром $$\alpha >0$$, если $$\xi$$ имеет следующие плотность и функцию распределения:$$f_\xi(x)=\begin{cases} \frac{\alpha}{x^{\alpha+1}}, \text{ если }\, x \ge 1,\cr 0, \text{ если }\, x < 1; \end{cases}\qquad F_\xi(x)=\begin{cases} 1-\frac{1}{x^\alpha}, \text{ если }\, x \ge 1,\cr 0, \text{ если }\, x < 1. \end{cases}$$ Часто рассматривают более широкий класс распределений Парето, сосредоточенных не на $$[1,\,\infty)$$, а на $$[c,\,\infty)$$ при $$c>0$$.
С другими абсолютно непрерывными распределениями (хи-квадрат Пирсона, распределениями Стьюдента, Фишера, Колмогорова, Лапласа, Вейбулла, логарифмически нормальным и некоторыми другими) читатель познакомится при изучении математической статистики.
Свойства нормального распределения. Рассмотрим отдельно свойства самого главного распределения. Сначала установим связь между функциями $$\Phi_{a,\,\sigma^2}(x)$$ и $$\Phi_{0,\,1}(x)$$.
Свойство 14. Для любого $$x\in \mathbb R$$ справедливо соотношение:$$\Phi_{a,\,\sigma^2}(x)=\Phi_{0,\,1}\Bigl(\frac{x-a}{\sigma}\Bigr).$$
Доказательство. Действительно,$$\Phi_{a,\,\sigma^2}(x)=\!\int\limits_{-\infty}^x {\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e}^{-(t-a)^2/\,2\sigma^2}dt =\!{\int\limits_{-\infty}^{\tfrac{x-a}{\sigma\mathstrut}}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y^2/\mspace{2mu}2}dy =\Phi_{0,\,1}\Bigl(\frac{x-a}{\sigma}\Bigr).$$ Мы сделали замену переменных $$y=\frac{t-a}{\sigma}$$, $$dt=\sigma\,dy$$, верхняя граница интегрирования $$t=x$$ при такой замене перешла в $$y=\frac{x-a}{\sigma}$$.
То же самое для случайных величин можно сформулировать так:
Следствие 2. Если $$\xi\,{\,\sim\,}\,{\mathrm N}_{a,\,\sigma^2}$$, то $$\eta=\frac{\xi-a}{\sigma}\,{\,\sim\,}\,{\mathrm N}_{0,\,1}$$.
Доказательство. Убедимся, что случайная величина $$\eta$$ имеет функцию распределения $$\Phi_{0,\,1}(x)$$:$$\begin{eqnarray*} F_\eta(x)=\Prob(\eta<x)=\Prob\Bigl(\frac{\xi-a}{\sigma}<x\Bigr)= \Prob(\xi<\sigma x+a)\,= \\ =\Phi_{a,\,\sigma^2}(\sigma x+a)= \Phi_{0,\,1}\Bigl(\frac{\sigma x+a-a}{\sigma}\Bigr)=\Phi_{0,\,1}(x). \end{eqnarray*}$$
Следствие 3. Если $$\xi\,{\,\sim\,}\,{\mathrm N}_{a,\,\sigma^2}$$, то$$\Prob(x_1< \xi<x_2)=\Phi_{a,\,\sigma^2}(x_2)-\Phi_{a,\,\sigma^2}(x_1)= \Phi_{0,\,1}\Bigl(\frac{x_2-a}{\sigma}\Bigr)- \Phi_{0,\,1}\Bigl(\frac{x_1-a}{\sigma}\Bigr).$$
Видим, что вычисление любых вероятностей для нормально распределенной случайной величины сводится к вычислению функции распределения $$\Phi_{0,\,1}(x)$$. Она обладает следующими свойствами ( нарисуйте их на графике плотности стандартного нормального распределения ).
Свойство 15. $$\Phi_{0,\,1}(0)=0{,}5$$, $$\Phi_{0,\,1}(-x)=1-\Phi_{0,\,1}(x)$$.
Свойство 16. Если $$\xi\,{\,\sim\,}\,{\mathrm N}_{0,1}$$, то для любого $$x>0$$$$\Prob(|\xi|<x)=1-2\Phi_{0,\,1}(-x)=2\Phi_{0,\,1}(x)-1.$$
Доказательство. При $$x>0$$ имеем$$\begin{multiple*} \Prob(|\xi|<x)=\Prob(-x<\xi<x)= \Phi_{0,\,1}(x)-{\Phi_{0,\,1}(-x)}=\\=1-2\Phi_{0,\,1}(-x)=2\Phi_{0,\,1}(x)-1.\qquad \end{multiple*}$$
Свойство 17. (Правило трех сигм) Если $$\xi\,{\,\sim\,}\,{\mathrm N}_{a,\,\sigma^2}$$, то$$\Prob(|\xi-a|\ge 3\sigma)=0{,}0027 \textup{ \, ( совсем мало )}.$$
Доказательство. Перейдем к противоположному событию:$$\Prob\bigl(|\xi-a|\ge 3\sigma\bigr)=1-\Prob\bigl(|\xi-a|<3\sigma\bigr)= 1-\Prob\biggl(\Bigl|\frac{\xi-a}{\sigma}\Bigr|<3\biggr).$$ Но величина $$\eta=\frac{\xi-a}{\sigma\mathstrut}$$ имеет стандартное нормальное распределение и можно использовать свойство 16$$1-\Prob(|\eta|<3) =2\Phi_{0,\,1}(-3)= 2\cdot 0{,}00135=0{,}0027.$$ Число $$\Phi_{0,\,1}(-3)=0{,}00135$$ полезно отыскать в таблице.
Большого смысла в запоминании числа 0,0027 нет, но полезно помнить, что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границах от $$a-3\sigma$$ до $$a+3\sigma$$.
Вырожденное распределение. Говорят, что случайная величина $$\xi$$ имеет вырожденное распределение в точке $$c\in\mathbb R$$, и пишут: $$\xi{\,\sim\,} \mathrm I_c$$, если $$\xi$$ принимает единственное значение $$c$$ с вероятностью 1, т.е. $$\Prob(\xi=c)=1$$. Функция распределения $$\xi$$ имеет вид$$F_\xi(x)=\Prob(\xi<x)=\Prob(c<x)=\begin{cases} 0, \text{если } x\le c, \cr 1, \text{если } x>c. \end{cases}$$
Распределение
Бернулли.
Говорят, что случайная величина $$\xi$$
имеет
Функция распределения случайной величины $$\xi$$ такова:$$F_\xi(x)=\Prob(\xi<x)=\begin{cases} 0, \text{если } x\le 0, \cr 1-p, \text{если } 0<x\le 1, \cr 1, \text{если } x>1. \end{cases}$$
Биномиальное
распределение.
Говорят, что случайная величина $$\xi$$
имеет биномиальное распределение с параметрами $$n\in \mathbb N$$ и $$p\in(0,\,1)$$,
и пишут: $$\xi{\,\sim\,} {\mathrm B}_{n,p}$$, если $$\xi$$ принимает значения $$k=0,\,1,\,\dots,\,n$$
с вероятностями $$\Prob(\xi=k)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$$. Случайная
величина
с таким распределением имеет смысл числа успехов в $$n$$
испытаниях
схемы Бернулли с вероятностью успеха $$p$$.
Таблица распределения $$\xi$$ имеет вид$$\begin{tabular}{l|c|c|c|c|c|c}
$\xi$ 0 1 \ldots
$k$ \ldots $n$ \\ \hline
$\Prob\vphantom{\int^b}$ $(1-p)^n$
$np(1-p)^{n-1}$ \ldots
$C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$ \ldots $p^n$
\end{tabular}\,.$$
Например, количество выпавших шестерок при двадцати подбрасываниях правильной
игральной
кости имеет биномиальное распределение $${\mathrm B}_{20, \frac16}$$.
Геометрическое распределение. Говорят, что случайная величина $$\tau$$ имеет геометрическое распределение с параметром $$p\in(0,\,1)$$, и пишут $$\tau \sim {\mathrm G}_p$$, если $$\tau$$ принимает значения $$k=1,\,2,\,3,\,\dots$$ с вероятностями $${\Prob(\tau=k)}=p (1-p)^{k-1}$$. Случайная величина с таким распределением имеет смысл номера первого успешного испытания в схеме Бернулли с вероятностью успеха $$p$$. Таблица распределения $$\tau$$ имеет вид$$\begin{tabular}{l|c|c|c|c|c} $\tau$ 1 2 \ldots $k$ \ldots \\ \hline $\Prob\vphantom{\int^b}$ $p$ $p(1-p)$ \ldots $p(1-p)^{k-1}$ \ldots \end{tabular}\,.$$
Распределение
Пуассона.
Говорят, что случайная величина $$\xi$$
имеет
Гипергеометрическое распределение. Говорят, что случайная величина $$\xi$$ имеет гипергеометрическое распределение с параметрами $$n$$, $$N$$ и $$K$$, где $$K \le N$$, $$n \le N$$, если $$\xi$$ принимает целые значения $$k$$ такие, что $${0\le k\le K}$$, $$0\le n-k\le N-K$$, с вероятностями $$\Prob(\xi=k)={C_K^k C_{N-K}^{n-k}}\,/\,{C_N^n}$$. Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа белых шаров среди $$n$$ шаров, выбранных наудачу и без возвращения из урны, содержащей $$K$$ белых шаров и $$N-K$$ не белых.
Упражнение.
Построить графики функций распределения для вырожденного
распределения,
Равномерное распределение. Говорят, что $$\xi$$ имеет равномерное распределение на отрезке $$[a,\,b]$$, и пишут: $$\xi \sim U_{a,b}$$, если плотность распределения $$\xi$$ постоянна на отрезке $$[a,\,b]$$ и равна нулю вне него:$$f_\xi(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a}, \textrm{\, если\, } x\in[a,\,b], \cr \,0, \textrm{\, если\, } x\not\in[a,\,b]. \end{cases}$$ Площадь под графиком этой функции равна единице, $$f_\xi(x)\ge 0$$. Поэтому $$f_\xi(x)$$ является плотностью распределения.
Случайная величина $$\xi \sim U_{a,b}$$ имеет смысл координаты точки, выбранной наудачу на отрезке $$[a,\,b]$$. Вычислим функцию распределения случайной величины $$\xi$$:$$F_\xi(x)=\Prob(\xi<x)=\!\!\!\int\limits_{-\infty}^x \!\!f_\xi(t) dt= \begin{cases} \int\limits_{-\infty}^x 0\ dt, x < a, \cr \int\limits_{-\infty}^a 0\ dt +\int\limits_{a}^x \frac{1}{b-a} dt, a\le x\le b, \cr \int\limits_{-\infty}^a 0\ dt+ \int\limits_{a}^b \frac{1}{b-a} dt+\int\limits_{b}^x 0\ dt, x>b. \end{cases}$$ Графики плотности и функции распределения равномерного распределения на отрезке $$[a, b]$$ изображены на рис 7.1
(рис 7.1) Плотность и функция распределения Ua, bЗаметьте, что в точках $$a$$ и $$b$$ функция распределения недифференцируема, и плотность можно задать как угодно.
Показательное распределение. Говорят, что $$\xi$$ имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром $$\alpha>0$$, и пишут: $$\xi{\,\sim\,}{\mathrm E}_\alpha$$, если $$\xi$$ имеет следующую плотность распределения:$$f_\xi(x)=\begin{cases} 0, \text{ если }\, x < 0, \cr \alpha e^{-\alpha x}, \text{ если }\, x\ge 0. \end{cases}$$ Функция распределения случайной величины $$\xi$$ непрерывна:$$F_\xi(x)=\Prob(\xi<x)=\begin{cases} 0, \text{ если }\, x < 0, \cr 1-e^{-\alpha x}, \text{ если }\, x\ge 0. \end{cases}$$
Графики плотности и функции распределения показательного распределения с параметром $$\alpha$$ приведены на рис 7.2
(рис 7.2) Плотность и функция распределенияПлотность показательного распределения равна нулю на отрицательной полуоси, поэтому вероятность события $$\{\xi < 0\}$$ нулевая - случайная величина с показательным распределением не может быть отрицательна. К тому же плотность отлична от нуля на всей положительной полуоси, поэтому случайная величина с показательным распределением может принимать сколь угодно большие положительные значения: для всякого $$x$$ вероятность события $$\{\xi>x\}$$ не равна нулю.
Показательное распределение является единственным абсолютно непрерывным распределением, для которого выполнено свойство "нестарения" (и в этом смысле оно является непрерывным аналогом дискретного геометрического распределения).
Теорема 23. Пусть $$\xi{\,\sim\,}{\mathrm E}_\alpha$$. Тогда для любых $$x,\,y>0$$$$\begin{equation} \Prob(\xi>x+y | \xi>x)=\Prob(\xi>y). \end{equation}$$
Нормальное
распределение.
Говорят, что $$\xi$$ имеет
нормальное (
На рис 7.3 приведены графики плотностей нормальных распределений с одним и тем же параметром $$a$$ и разными значениями параметра $$\sigma$$.
(рис 7.3) Плотности нормальных распределенийУбедимся, что $$f_\xi(x)$$ является плотностью распределения. Так как $$f_\xi(x)>0$$ для всех $$x\in\mathbb R$$, то свойство (f1) выполнено. Проверим (f2):$$\begin{multiple} \int\limits_{-\infty}^\infty f_\xi(x)\,dx= \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~ e^{-\tfrac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}\,dx= \left[\begin{array}{c}\text{ замена переменных } \cr t=\frac{x-a}{\sigma}, \, dx=\sigma\,dt \end{array}\right]\, =\\\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}~ e^{-t^2/2}\sigma\,dt= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}~ \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-t^2/2}\,dt\,=\frac{I}{\sqrt{2\pi}}\,=1, \end{multiple}$$ где через $$I$$ обозначен табличный интеграл (интеграл Пуассона)$$I=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\,dx=\sqrt{2\pi}.$$
Нормальное распределение $${\mathrm N}_{0,\,1}$$ с параметрами $$a=0$$ и $$\sigma^2=1$$ называется стандартным нормальным распределением. Плотность стандартного нормального распределения равна $$f_\xi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^2/2}$$.
Мы будем использовать специальное обозначение $$\Phi_{a,\,\sigma^2}(x)$$ для функции распределения нормального закона $${\mathrm N}_{a,\,\sigma^2}\vphantom{a^{a^a}}$$ (рис 7.3). Первообразная функции $$e^{-x^{\smash{2}}}$$ не может быть выражена через элементарные функции. Поэтому функцию $$\Phi_{a,\,\sigma^2}(x)$$ можно записать лишь в виде интеграла$$\Phi_{a,\,\sigma^2}(x)=\int\limits_{-\infty}^x \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\tfrac{(t-a)^2}{2\sigma^2}} dt, \qquad \Phi_{0,\,1}(x)=\int\limits_{-\infty}^x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\tfrac{t^2}{2}} dt.$$ Функция $$\Phi_{0,\,1}(x)$$ табулирована, т.е. ее значения при различных вещественных $$x$$ вычислены. Их можно найти в соответствующих таблицах.
Гамма-распределение.
Говорят, что $$\xi$$ имеет
гамма-распределение с параметрами $$\alpha>0$$, $$\lambda>0$$,
и пишут: $$\xi{\,\sim\,}\Gamma_{\alpha,\,\lambda}$$,
если $$\xi$$ имеет следующую плотность распределения:$$f_\xi(x)=\begin{cases}
0, \text{ если }\, x\le 0, \cr
c\cdot x^{\lambda-1}e^{-\alpha x}, \text{ если }\, x> 0,
\end{cases}$$
(рис 7.4) Функция распределения нормального распределениягде постоянная $$c$$ вычисляется из свойства (f2) плотности так:$$1=\int\limits_{-\infty}^\infty f_\xi(x)\,dx=
c\int\limits_0^\infty x^{\lambda-1}e^{-\alpha x}\,dx=
\frac{c}{\alpha^\lambda}\int\limits_0^\infty (\alpha
x)^{\lambda-1}e^{-\alpha x}\,d(\alpha x)
=\frac{c}{\alpha^\lambda}\,\Gamma(\lambda),$$
откуда $$c={\alpha^{\lambda}}\,/\,{\Gamma(\lambda)}$$.
Здесь через $$\Gamma(\lambda)$$ обозначен интеграл$$\Gamma(\lambda)=\int\limits_0^\infty
x^{\lambda-1}e^{-x}\,dx=(\lambda-1)
\Gamma(\lambda-1),$$
называемый гамма-
Полезно отметить, что показательное распределение есть частный случай гамма распределения: $${\mathrm E}_\alpha=\Gamma_{\alpha,\,1}$$.
Функцию распределения гамма-распределения можно записать, вообще говоря, только в виде интеграла:$$\quad F_\xi(x)=\frac{\alpha^{\lambda}}{\Gamma(\lambda)}\; \int\limits_0^x \;t^{\lambda-1}e^{-\alpha t} dt.$$
Распределение Коши.
Говорят, что $$\xi$$ имеет
Плотность распределения Коши симметрична относительно прямой $$x=a$$ и похожа на плотность нормального распределения, но имеет
более толстые "хвосты"
на $$\pm\infty$$. Функция распределения случайной величины $$\xi$$ с
Распределение Парето. Говорят, что $$\xi$$ имеет распределение Парето с параметром $$\alpha >0$$, если $$\xi$$ имеет следующие плотность и функцию распределения:$$f_\xi(x)=\begin{cases} \frac{\alpha}{x^{\alpha+1}}, \text{ если }\, x \ge 1,\cr 0, \text{ если }\, x < 1; \end{cases}\qquad F_\xi(x)=\begin{cases} 1-\frac{1}{x^\alpha}, \text{ если }\, x \ge 1,\cr 0, \text{ если }\, x < 1. \end{cases}$$ Часто рассматривают более широкий класс распределений Парето, сосредоточенных не на $$[1,\,\infty)$$, а на $$[c,\,\infty)$$ при $$c>0$$.
С другими абсолютно непрерывными распределениями (хи-квадрат Пирсона, распределениями Стьюдента, Фишера, Колмогорова, Лапласа, Вейбулла, логарифмически нормальным и некоторыми другими) читатель познакомится при изучении математической статистики.
Свойства нормального распределения. Рассмотрим отдельно свойства самого главного распределения. Сначала установим связь между функциями $$\Phi_{a,\,\sigma^2}(x)$$ и $$\Phi_{0,\,1}(x)$$.
Свойство 14. Для любого $$x\in \mathbb R$$ справедливо соотношение:$$\Phi_{a,\,\sigma^2}(x)=\Phi_{0,\,1}\Bigl(\frac{x-a}{\sigma}\Bigr).$$
Доказательство. Действительно,$$\Phi_{a,\,\sigma^2}(x)=\!\int\limits_{-\infty}^x {\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e}^{-(t-a)^2/\,2\sigma^2}dt =\!{\int\limits_{-\infty}^{\tfrac{x-a}{\sigma\mathstrut}}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y^2/\mspace{2mu}2}dy =\Phi_{0,\,1}\Bigl(\frac{x-a}{\sigma}\Bigr).$$ Мы сделали замену переменных $$y=\frac{t-a}{\sigma}$$, $$dt=\sigma\,dy$$, верхняя граница интегрирования $$t=x$$ при такой замене перешла в $$y=\frac{x-a}{\sigma}$$.
То же самое для случайных величин можно сформулировать так:
Следствие 2. Если $$\xi\,{\,\sim\,}\,{\mathrm N}_{a,\,\sigma^2}$$, то $$\eta=\frac{\xi-a}{\sigma}\,{\,\sim\,}\,{\mathrm N}_{0,\,1}$$.
Доказательство. Убедимся, что случайная величина $$\eta$$ имеет функцию распределения $$\Phi_{0,\,1}(x)$$:$$\begin{eqnarray*} F_\eta(x)=\Prob(\eta<x)=\Prob\Bigl(\frac{\xi-a}{\sigma}<x\Bigr)= \Prob(\xi<\sigma x+a)\,= \\ =\Phi_{a,\,\sigma^2}(\sigma x+a)= \Phi_{0,\,1}\Bigl(\frac{\sigma x+a-a}{\sigma}\Bigr)=\Phi_{0,\,1}(x). \end{eqnarray*}$$
Следствие 3. Если $$\xi\,{\,\sim\,}\,{\mathrm N}_{a,\,\sigma^2}$$, то$$\Prob(x_1< \xi<x_2)=\Phi_{a,\,\sigma^2}(x_2)-\Phi_{a,\,\sigma^2}(x_1)= \Phi_{0,\,1}\Bigl(\frac{x_2-a}{\sigma}\Bigr)- \Phi_{0,\,1}\Bigl(\frac{x_1-a}{\sigma}\Bigr).$$
Видим, что вычисление любых вероятностей для нормально распределенной случайной величины сводится к вычислению функции распределения $$\Phi_{0,\,1}(x)$$. Она обладает следующими свойствами ( нарисуйте их на графике плотности стандартного нормального распределения ).
Свойство 15. $$\Phi_{0,\,1}(0)=0{,}5$$, $$\Phi_{0,\,1}(-x)=1-\Phi_{0,\,1}(x)$$.
Свойство 16. Если $$\xi\,{\,\sim\,}\,{\mathrm N}_{0,1}$$, то для любого $$x>0$$$$\Prob(|\xi|<x)=1-2\Phi_{0,\,1}(-x)=2\Phi_{0,\,1}(x)-1.$$
Доказательство. При $$x>0$$ имеем$$\begin{multiple*} \Prob(|\xi|<x)=\Prob(-x<\xi<x)= \Phi_{0,\,1}(x)-{\Phi_{0,\,1}(-x)}=\\=1-2\Phi_{0,\,1}(-x)=2\Phi_{0,\,1}(x)-1.\qquad \end{multiple*}$$
Свойство 17. (Правило трех сигм) Если $$\xi\,{\,\sim\,}\,{\mathrm N}_{a,\,\sigma^2}$$, то$$\Prob(|\xi-a|\ge 3\sigma)=0{,}0027 \textup{ \, ( совсем мало )}.$$
Доказательство. Перейдем к противоположному событию:$$\Prob\bigl(|\xi-a|\ge 3\sigma\bigr)=1-\Prob\bigl(|\xi-a|<3\sigma\bigr)= 1-\Prob\biggl(\Bigl|\frac{\xi-a}{\sigma}\Bigr|<3\biggr).$$ Но величина $$\eta=\frac{\xi-a}{\sigma\mathstrut}$$ имеет стандартное нормальное распределение и можно использовать свойство 16$$1-\Prob(|\eta|<3) =2\Phi_{0,\,1}(-3)= 2\cdot 0{,}00135=0{,}0027.$$ Число $$\Phi_{0,\,1}(-3)=0{,}00135$$ полезно отыскать в таблице.
Большого смысла в запоминании числа 0,0027 нет, но полезно помнить, что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границах от $$a-3\sigma$$ до $$a+3\sigma$$.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.