Алгебра событий. Пусть $$\Omega$$ - пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента (т.е. непустое множество произвольной природы). Мы собираемся определить набор подмножеств $$\Omega$$, которые будут называться событиями, и затем задать вероятность как функцию, определенную только на множестве событий.
Итак, событиями мы будем называть не любые подмножества $$\Omega$$, а лишь элементы некоторого выделенного набора подмножеств множества $$\Omega$$. При этом необходимо позаботиться, чтобы этот набор подмножеств был замкнут относительно обычных операций над событиями, т.е. чтобы объединение, пересечение, дополнение событий снова давало событие. Сначала введем понятие алгебры множеств.
Определение 4 Множество $$\mathcal A$$, элементами которого являются подмножества множества $$\Omega$$ (не обязательно все) называется алгеброй, если оно удовлетворяет следующим условиям:
(A1) $$\Omega\in \mathcal A$$ (алгебра содержит достоверное событие);
(A2) если $$A\in\mathcal A$$, то $$\overline A\in\mathcal A$$ (вместе с любым множеством алгебра содержит противоположное к нему);
(A3) если $$A\in\mathcal A$$ и $$B \in\mathcal A$$, то $$A\cup B\in\mathcal A$$ (вместе с любыми двумя множествами алгебра содержит их объединение).
Из (A1) и (A2) следует, что пустое множество $$\emptyset=\overline{\Omega}$$ также содержится в $$\mathcal A$$, т.е. алгебра содержит и невозможное событие.
Из условия (A3) следует, что вместе с любым конечным набором множеств алгебра содержит их объединение: для любого $$n\in\mathbb N$$, для любых $$A_1,\,\dots,\,A_n\in\mathcal A$$ выполнено $$A_1\cup\ldots\cup A_n \in\mathcal A$$.
Вместо замкнутости относительно объединения можно требовать замкнутость относительно пересечения.
Свойство 1. В определении 4 можно заменить (А3) на (А4) если $$A\in\mathcal A$$ и $$B\in\mathcal A$$, то $$A\cap B\in\mathcal A$$.
Доказательство. Докажем, что при выполнении (A1) и (A2) из (A3) следует (A4). Если $$A$$, $$B\in\mathcal A$$, то $$\overline A\in\mathcal A$$ и $$\overline B\in \mathcal A$$ по свойству (A2). Тогда из (A3) следует, что $$\overline A\cup\overline B\in\mathcal A$$. Вновь пользуясь (A2), получим, что дополнение $$\overline{\overline A\cup\overline B}$$ к этому множеству также принадлежит алгебре $$\mathcal A$$. В силу формул двойственности, дополнение к объединению равно пересечению дополнений:$$A\cap B= \overline{\overline A\cup\overline B}\in\mathcal A.$$
Аналогично доказывается, что при выполнении (A1) и (A2) из (A4) следует (A3), т.е. эти два свойства в определении взаимозаменяемы.
Пример 22. Пусть $$\Omega=\{\spadesuit,\, \clubsuit,\,\diamondsuit,\,\heartsuit\}$$ - пространство элементарных исходов. Следующие наборы подмножеств $$\Omega$$ являются алгебрами:
Упражнение. Доказать, что если $$\Omega$$ состоит из $$n$$ элементов, то в множестве всех его подмножеств ровно $$2^n$$ элементов.
Сигма-алгебра событий. В теории вероятностей часто возникает необходимость объединять счетные наборы событий и считать событием результат такого объединения. При этом свойства (A3) алгебры оказывается недостаточно: из него не вытекает, что объединение счетной последовательности множеств из алгебры снова принадлежит алгебре. Поэтому разумно наложить более суровые ограничения на класс событий.
Определение 5. Множество $$\mathcal F$$, элементами которого являются подмножества множества $$\Omega$$ (не обязательно все) называется $$\sigma$$ -алгеброй ( $$\sigma$$ -алгеброй событий), если выполнены следующие условия:
(S1) $$\Omega\in \mathcal F$$ ( $$\sigma$$ -алгебра событий содержит достоверное событие);
(S2) если $$\vphantom{\int^1}A\in\mathcal F$$, то $$\overline A\in\mathcal F$$ (вместе с любым событием $$\sigma$$ -алгебра содержит противоположное событие);
(S3) если $$A_1$$, $$A_2,\, \ldots\in\mathcal F$$, то $$A_1\cup A_2\cup\ldots\in\mathcal F$$ (вместе с любым счетным набором событий $$\sigma$$ -алгебра содержит их объединение).
Упражнение. Доказать, что вместо (S1) достаточно предположить непустоту множества $$\mathcal F$$. Вывести из (S1) и (S2), что $$\emptyset\in\mathcal F$$.
Этого набора аксиом достаточно для замкнутости множества $$\mathcal F$$ относительно счетного числа любых других операций над событиями. В частности, аналогично свойству 1 проверяется следующее утверждение.
Свойство 2. В определении 5 можно заменить (S3) на (S4): (S4) если $$A_1$$, $$A_2,\, \ldots\in\mathcal F$$, то $$A_1\cap A_2\cap\ldots\in\mathcal F$$.
Свойство 3. Всякая $$\sigma$$ -алгебра является алгеброй.
Доказательство. Пусть $$\mathcal F$$ - $$\sigma$$ -алгебра. Нужно проверить, что она удовлетворяет свойству (A3), т.е. для любых $$A\in\mathcal F$$ и $$B \in\mathcal F$$ выполняется $$A\cup B\in\mathcal F$$.
Превратим пару $$A,\,B$$ в счетную последовательность событий так: $$A,\,B,\,B,\,B,\,\dots$$, т.е. положим $$A_1=A$$, $$A_i=B$$ при всех $$i \ge 2$$. Объединение $$A\cup B$$ совпадает с объединением всех множеств $$A_i$$ из этой бесконечной последовательности. А так как $$\mathcal F$$ - $$\sigma$$ -алгебра, то$$\hspace*{3cm} A\cup B=\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i\in\mathcal F. \hspace*{3cm}$$
Итак, всякая $$\sigma$$ -алгебра автоматически является алгеброй, но не наоборот. Приведем пример алгебры, не являющейся $$\sigma$$ -алгеброй.
Пример 23. Пусть $$\Omega=\mathbb R$$, и пусть $$\mathcal A$$ - множество, содержащее любые конечные подмножества $$\mathbb R$$ (т.е. состоящие из конечного числа точек, в том числе пустое) и их дополнения. Так, множество $$\{0,\, 2,\, \pi\}$$ принадлежит $$\mathcal A$$, множество $$(-\infty,\,-7{,}2)\cup(-7{,}2,\,5)\cup(5,\,\infty)$$ не принадлежит $$\mathcal A$$.
Легко проверить, что множество $$\mathcal A$$ является алгеброй. Действительно, пустое множество и само $$\Omega=\mathbb R$$ там содержатся, дополнение к любому конечному подмножеству множества вещественных чисел содержится в $$\mathcal A$$ по определению, дополнение к множеству вида $$\mathbb R \setminus A$$ для конечных $$A$$ совпадает с $$A$$ и также принадлежит $$\mathcal A$$ по определению. Свойство (A3) проверяется непосредственно: объединение любых конечных множеств снова конечно и поэтому принадлежит $$\mathcal A$$. Объединение конечного множества с множеством вида $$\mathbb R\setminus A$$, где $$A$$ конечно, есть снова множество вида $$\mathbb R\setminus B$$, где $$B$$ конечно (или пусто) и т.д.
Однако алгебра $$\mathcal A$$ не содержит ни одного счетного множества точек. Действительно, объединяя конечные множества в конечном числе, мы можем получить только конечное множество. Например, натуральный ряд $$\mathbb N$$ не принадлежит $$\mathcal A$$. Поэтому $$\mathcal A$$ не является $$\sigma$$ -алгеброй: для бесконечной, но счетной последовательности одноточечных множеств $$A_i=\{i\}$$ из $$\mathcal A$$ их объединение $$\mathbb N=A_1\cup A_2\cup\ldots$$ не принадлежит $$\mathcal A$$.
Все алгебры из примера 22 являются $$\sigma$$ -алгебрами, поскольку содержат лишь конечное число элементов. Вообще, на конечном множестве $$\Omega$$ понятия алгебры и $$\sigma$$ -алгебры совпадают. Множество всех подмножеств $$\Omega$$ является $$\sigma$$ -алгеброй для любого $$\Omega$$.
Борелевская $$\sigma$$ -алгебра. Приведем еще один пример $$\sigma$$ -алгебры, которая нам будет необходима в дальнейшем,- $$\sigma$$ -алгебры борелевских множеств на вещественной прямой.
Борелевской сигма-алгеброй в $$\mathbb R$$ называется самая маленькая среди всех возможных $$\sigma$$ -алгебр, содержащих любые интервалы на прямой. Разумеется, $$\sigma$$ -алгебры, содержащие все интервалы, существуют. Например, множество всех подмножеств $$\mathbb R$$ - это $$\sigma$$ -алгебра, и она содержит все интервалы. Что же такое "самая маленькая $$\sigma$$ -алгебра" из нескольких данных? Обратимся к примерам.
Пусть $$\Omega=\mathbb R$$ - вещественная прямая. Рассмотрим некоторые наборы множеств, не являющиеся $$\sigma$$ -алгебрами, и увидим, как их можно дополнить до $$\sigma$$ -алгебр.
Пример 24.
Множество $$\mathfrak A = \{\mathbb R,\, \emptyset,\, [0,\,1],\,
\{ 0\}\}$$ не является $$\sigma$$ -алгеброй, так как,
например, $$\overline{\{0\}}=\mathbb R\setminus \{0\}=
(-\infty,\,0)\cup(0,\,\infty)\not\in\mathfrak A$$.
Самый маленький набор множеств, содержащий $$\mathfrak A$$ и
являющийся $$\sigma$$ -алгеброй (минимальная $$\sigma$$ -алгебра),
получится, если включить в него всевозможные
объединения, пересечения и
Определение 6. Минимальной $$\sigma$$ -алгеброй, содержащей набор множеств $$\mathfrak A$$, называется пересечение всех $$\sigma$$ -алгебр, содержащих $$\mathfrak A$$.
Еще раз напомним, что пересекать в определении 6 есть что: хотя бы одна $$\sigma$$ -алгебра, содержащая данный набор множеств, всегда найдется - это $$\sigma$$ -алгебра всех подмножеств $$\Omega$$.
Упражнение. Доказать, что пересечение двух $$\sigma$$ -алгебр, содержащих набор множеств $$\mathfrak A$$, снова является $$\sigma$$ -алгеброй, содержащей $$\mathfrak A$$.
Упражнение. Найти минимальную $$\sigma$$ -алгебру, содержащую следующий набор подмножеств $$\mathbb R$$: $$\mathfrak A = \left\{ \mathbb R,\, \emptyset,\, [0,\,1],\, \{3\} \right\}$$.
Дадим определение борелевской сигма-алгебры. Пусть по-прежнему $$\Omega=\mathbb R$$, а множество $$\mathfrak A$$ состоит из всевозможных открытых интервалов $$(a,\,b)$$, где $$a<b$$: $$\mathfrak A=\{(a,\,b)\,|\, -\infty<a<b<\infty\}$$. Это множество всех интервалов не является ни алгеброй, ни $$\sigma$$ -алгеброй.
Определение 7. Минимальная $$\sigma$$ -алгебра, содержащая множество $$\mathfrak A$$ всех интервалов на вещественной прямой, называется борелевской $$\sigma$$ -алгеброй в $$\mathbb R$$ и обозначается $$\mathfrak B (\mathbb R)$$.
Перечислим некоторые множества на прямой, содержащиеся в $$\mathfrak B (\mathbb R)$$ по определению. Таковы все привычные нам множества. Чтобы получить множество, не содержащееся в $$\mathfrak B (\mathbb R)$$, требуются специальные построения. Итак, мы знаем, что все интервалы на прямой принадлежат $$\mathfrak B (\mathbb R)$$, и $$\mathfrak B (\mathbb R)$$ - $$\sigma$$ -алгебра. Отсюда сразу следует, что $$\mathfrak B (\mathbb R)$$ содержит любое множество, которое можно получить из интервалов с помощью счетного числа операций объединения или пересечения, а также взятием дополнения.
В частности, $$\mathbb R\in \mathfrak B (\mathbb R)$$ по свойству (S1). Далее, все одноточечные множества $$\{x\}$$, где $$x\in\mathbb R$$, принадлежат $$\mathfrak B (\mathbb R)$$. Действительно, интервалы $$\Bigl(x-\frac1n,\,x+\frac1n\Bigr)$$ принадлежат $$\mathfrak B (\mathbb R)$$, по определению, при любом $$n$$. Их счетное пересечение также принадлежит $$\mathfrak B (\mathbb R)$$ по свойству (S4):$$\{x\}=\bigcap\limits_{n=1}^\infty \Bigl(x-\frac1n,\,x+\frac1n\,\Bigr)\in\mathfrak B (\mathbb R).$$
Далее, любой интервал вида $$(a,\,b\,]$$ (или $$[a,\,b)$$, или $$[a,\,b\,]$$ ), где $$a<b$$, принадлежит $$\mathfrak B (\mathbb R)$$ как объединение открытого интервала и точки (или двух точек): $$(a,\,b\,]=(a,\,b)\cup \{b\}$$.
Упражнение. Докажите, что множество натуральных чисел $$\mathbb N$$ и множество рациональных чисел $$\mathbb Q$$ принадлежат $$\mathfrak B (\mathbb R)$$.
Борелевская $$\sigma$$ -алгебра в $$\mathbb R^n$$ строится совершенно так же, как в $$\mathbb R$$. Это должна быть минимальная $$\sigma$$ -алгебра, содержащая все множества вида $$(a_1,\,b_1)\times\,\ldots\,\times(a_n,\,b_n)$$ - уже не интервалы, как в $$\mathbb R$$, а прямоугольники в $$\mathbb R^2$$, параллелепипеды в $$\mathbb R^3$$ и т.д. Вместе с ними $$\mathfrak B (\mathbb R^n)$$ содержит любые множества, являющиеся "предельными" для объединений измельчающихся прямоугольников. Например, круг в $$\mathbb R^2$$ является борелевским множеством - можно изнутри или снаружи приблизить его объединениями прямоугольников.
Итак, мы определили специальный класс $$\mathcal F$$ подмножеств $$\Omega$$, названный $$\sigma$$ -алгеброй событий. Применение счетного числа любых операций (объединений, пересечений, дополнений) к множествам из $$\mathcal F$$ снова дает множество из $$\mathcal F$$, т.е. не выводит за рамки этого класса. Событиями будем называть только множества $$A\in\mathcal F$$.
Определим теперь понятие вероятности как функции, определенной на множестве событий (функции, которая каждому событию ставит в соответствие число - вероятность этого события).
Определение 8. Пусть $$\Omega$$ - некоторое непустое множество, $$\mathcal F$$ - $$\sigma$$ -алгебра его подмножеств. Функция $$\mu : \mathcal F \to \mathbb R\cup\{+\infty\}$$ называется мерой на $$(\Omega,\,\mathcal F)$$, если она удовлетворяет условиям:
( $$\mu 1$$ ) $${\mu(A)\ge 0}$$ для любого множества $$A\in\mathcal F;$$
( $$\mu 2$$ ) для любого счетного набора попарно непересекающихся множеств $$A_1,\,A_2,\,A_3,\,\ldots\,\in\mathcal F$$ (т.е. такого, что $$A_i\cap A_j=\emptyset$$ при всех $$i\neq j$$ ) мера их объединения равна сумме их мер:$$\mu\biggl(\,\bigcup_{i=1}^\infty A_i \biggr)=\sum_{i=1}^\infty \mu(A_i)$$ ("счетная аддитивность" или " $$\sigma$$ -аддитивность" меры).
Упражнение. Зачем в свойстве ( $$\mu 2$$ ) требуется, чтобы события не пересекались? Может ли какая-нибудь функция $$\mu\,:\,\mathcal F\to\mathbb R$$ удовлетворять свойству $$\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)$$ при любых событиях $$A$$ и $$B$$? Привести пример такой функции и доказать, что других не существует.
Упражнение. Указать область определения и область значений функции $$\mu$$. Для каких $$A\subset \Omega$$ определено значение $$\mu(A)$$?
Пример 25. Пусть $$\Omega=\{a,\,b,\,c\}$$, $$\mathcal F=2^\Omega$$ - множество всех подмножеств $$\Omega$$. Зададим меру $$\mu$$ на $$\mathcal F$$ так: $$\mu\{a\}=3$$, $$\mu\{b\}=17$$, $$\mu\{c\}=1$$, $$\mu\{a,\,b\}=20$$, $$\mu\{a,\,c\}=4$$, $$\mu\{b,\,c\}=18$$, $$\mu\{a,\,b,\,c\}=21$$, $$\mu(\emptyset)=0$$. Для краткости записи мы вместо $$\mu(\{a\})$$ писали всюду $$\mu\{a\}$$.
Пример 26. Пусть $$\Omega=\mathbb N$$, $$\mathcal F=2^\mathbb N$$ - множество всех подмножеств натурального ряда. Зададим меру $$\mu$$ на $$\mathcal F$$ так: $$\mu(A)=|A|$$ - число элементов в множестве $$A$$ (бесконечность, если множество $$A$$ бесконечно).
Пример 27. (мера Лебега) Когда мы говорили о геометрической вероятности, мы использовали термин "мера области $$A$$ в $$\mathbb R^m$$ ", имея в виду "длину" на прямой, "площадь" на плоскости, "объем" в трехмерном пространстве. Являются ли все эти "длины-площади-объемы" настоящими мерами в смысле определения 8? Мы решим этот вопрос для прямой, оставляя плоскость и пространство большей размерности читателю.
Замечание Если вам уже расхотелось читать дальше, сообщаем: мерой Лебега в задачниках и учебниках называют как раз "длину-площадь-объем", так что все в порядке, дальнейшее до определения вероятности можно смело пропустить.
Рассмотрим вещественную прямую с $$\sigma$$ -алгеброй борелевских множеств. Эта $$\sigma$$ -алгебра, по определению, есть наименьшая $$\sigma$$ -алгебра, содержащая все интервалы. Для каждого интервала $$(a,\,b)$$ число $$b-a$$ назовем длиной интервала $$(a,\,b)$$.
Мы не станем доказывать следующее утверждение:
Теорема 6. Существует единственная мера $$\lambda$$ на $$(\mathbb R,\,\mathfrak B (\mathbb R))$$, значение которой на любом интервале равно его длине: $$\lambda(a,\,b)={b-a}$$. Эта мера называется мерой Лебега.
Нам пригодится свойство, которым обладает любая мера. Это свойство непрерывности меры иногда называют аксиомой непрерывности, имея в виду, что ею можно заменить ( $$\mu$$ 2) в определении 8.
Теорема 7 (свойство непрерывности меры). Пусть дана убывающая последовательность $$B_1\supseteq B_2 \supseteq B_3\supseteq \ldots$$ множеств из $$\mathcal F$$, причем $$\mu(B_1)<\infty$$. Пусть $$B=\bigcap\limits_{n=1}^\infty B_n$$. Тогда $$\mu(B)=\lim\limits_{n\to\infty}\mu(B_n)$$.
Доказательство. Обозначим через $$C_n$$ кольца: $$C_n=B_n\setminus B_{n+1}$$. Множества $$B$$, $$C_1$$, $$C_2$$, $$\ldots$$ попарно не пересекаются. Тогда из представлений$$\textstyle B_1=B\cup\biggl(\,\bigcup\limits_{i=1}^{\smash{\infty}} C_i\biggr), \quad \textstyle B_n=B\cup\biggl(\,\bigcup\limits_{i=n}^{\smash{\infty}} C_i\biggr)$$ вытекают, в силу аксиомы ( $$\mu$$ 2), соответствующие равенства и для мер:$$\mu(B_1)=\mu(B)+\sum\limits_{i=1}^\infty \mu(C_i), \qquad \mu(B_n)=\mu(B)+\sum\limits_{i=n}^\infty \mu(C_i).$$ Первая сумма $$\sum\limits_{i=1}^\infty \mu(C_i)$$ в силу условия $$\mu(B_1)<\infty$$, есть сумма абсолютно сходящегося ряда (составленного из неотрицательных слагаемых). Из сходимости этого ряда следует, что "хвост" ряда, равный как раз $$\sum\limits_{i=n}^\infty \mu(C_i)$$, стремится к нулю при $$n\to\infty$$. Поэтому$$\qquad\mu(B_n)=\mu(B)+\sum\limits_{i=n}^\infty \mu(C_i)\, \mathop{\longrightarrow}\limits_{n\to\infty}\, \mu(B)+0=\mu(B). \qquad$$
В полезности этого свойства легко убедиться упражнениями. Упражнение. Используя аксиому непрерывности меры для убывающей последовательности множеств $$B_n=(x-1/n,\,x+1/n)$$, доказать, что мера Лебега одноточечного подмножества $$\{x\}$$ вещественной прямой равна нулю: $$\lambda\,\{x\}=0$$. Используя этот факт, доказать, что $$\lambda\,(\mathbb N)=0$$, $$\lambda\,(\mathbb Z)=0$$, $$\lambda\,(\mathbb Q)=0$$, $$\lambda\,(a,\,b)=\lambda\,[\,a,\,b\,]$$.
Замечание. В отсутствие предположения $$\mu(B_1)<\infty$$ свойство $$\mu(B)=\lim\limits_{n\to\infty}\mu(B_n)$$ может не выполняться.
Например, зададим меру на $$\mathfrak B (\mathbb R)$$ так: $$\mu(B)=0$$, если $$B$$ не более чем счетно, иначе $$\mu(B)=\infty$$. Тогда для множеств $$B_n=(x-1/n,\,x+1/n)$$ имеем:$$B=\textstyle\bigcap\limits_{n=1}^\infty B_n=\{x\}, \quad \mu(B_n)=\infty \not\to \mu(B)=0.$$
Наконец, мы в состоянии определить понятие вероятности как нормированной меры.
Определение 9. Пусть $$\Omega$$ - непустое множество, $$\mathcal F$$ - $$\sigma$$ -алгебра его подмножеств. Мера $$\mu : \mathcal F \to\mathbb R$$ называется нормированной, если $$\mu(\Omega)=1$$. Другое название нормированной меры - вероятность.
То же самое еще раз и подробно:
Определение 10. Пусть $$\Omega$$ - пространство элементарных исходов, $$\mathcal F$$ - $$\sigma$$ -алгебра его подмножеств (событий). Вероятностью или вероятностной мерой на $$(\Omega,\,\mathcal F)$$ называется функция $$\mathsf P : \mathcal F \to \mathbb R$$, обладающая свойствами:
(P1) $$\mathsf P(A)\ge 0$$ для любого события $$A\in\mathcal F;$$
(P2) для любого счетного набора попарно несовместных событий $$A_1,\,A_2,\,A_3,\,\ldots\in\mathcal F$$ имеет место равенство$$\mathsf P\biggl(\,{\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i }\biggr)= \sum_{i{=}1}^\infty \mathsf P(A_i);$$
(P3) вероятность достоверного события равна единице: $$\mathsf P(\Omega)=1$$.
Свойства (P1) - (P3) называют аксиомами вероятности.
Определение 11. Тройка $$\langle\Omega,\mathcal F, \mathsf P\rangle$$, в которой $$\Omega$$ - пространство элементарных исходов, $$\mathcal F$$ - $$\sigma$$ -алгебра его подмножеств и $$\mathsf P$$ - вероятностная мера на $$\mathcal F$$, называется вероятностным пространством.
Докажем свойства вероятности, вытекающие из аксиом. Ниже мы не будем всякий раз оговаривать, что имеем дело только с событиями.
Теорема 8. Вероятность обладает следующими свойствами.
Доказательство.
Упражнение. Докажите свойство 7 и формулу (3.1) с помощью математической индукции.
Приведем пример задачи, в которой использование формулы включения-исключения - самый простой путь решения.
Пример 28. (задача о рассеянной секретарше) Есть $$n$$ писем и $$n$$ подписанных конвертов. Письма раскладываются в конверты наудачу по одному. Найти вероятность того, что хотя бы одно письмо попадет в предназначенный ему конверт.
Решение. Пусть событие $$A_i$$, $$i=1,\,\ldots,\,n$$, означает, что $$i$$ -е письмо попало в свой конверт. Тогда$$A=\{\textit{хотя бы одно письмо попало в свой конверт}\}= A_1\cup\ldots\cup A_n.$$
Cобытия $$A_1$$, $$\ldots$$, $$A_n$$ совместны, поэтому используем формулу (3.1). По классическому определению вероятности вычислим вероятности всех событий $$A_i$$ и их пересечений. Элементарными исходами будут всевозможные перестановки $$n$$ писем по $$n$$ конвертам. Их общее число есть $$|\Omega|=n$$!, и событию $$A_i$$ благоприятны $$(n-1)$$! из них, а именно перестановки всех писем, кроме $$i$$ -го, лежащего в своем конверте. Поэтому $$\mathsf P(A_i)=\frac{(n-1)!}{n!}=\frac{1}{n}$$ - одна и та же для всех $$i$$. Точно так же$$\mathsf P(A_i A_j)=\frac{(n-2)!}{n!}=\frac{1}{n(n-1)},\quad \mathsf P(A_i A_j A_m)=\frac{1}{n(n-1)(n-2)} \ \text{ и т.д.}$$
Вычислим количество слагаемых в каждой сумме в формуле (3.1). Например, сумма по $${1\le i<j<m\le n}$$ состоит из $$C_{n}^{3}$$ слагаемых - ровно столько троек индексов можно образовать из $$n$$ номеров событий. Подставляя все вероятности в формулу (3.1), получаем:
$$\begin{multiple*} \mathsf P(A)=n\cdot\frac1n-C_n^2\cdot\frac{1}{n(n\,{-}\,1)}+ C_n^3\cdot\frac{1}{n(n\,{-}\,1)(n\,{-}\,2)}-\ldots+{(-1)}^{n-1}\frac{1}{n!} = \\ =1-\frac1{2!}+\frac1{3!}-\ldots+{(-1)}^{n-1}\frac{1}{n!}\,. \end{multiple*}$$Упражнение. Выписать разложение $$e^{-1}$$ в ряд Тейлора и убедиться в том, что $$\mathsf P(A) \longrightarrow 1-e^{-1}$$ при $$n\to\infty$$.
Алгебра событий. Пусть $$\Omega$$ - пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента (т.е. непустое множество произвольной природы). Мы собираемся определить набор подмножеств $$\Omega$$, которые будут называться событиями, и затем задать вероятность как функцию, определенную только на множестве событий.
Итак, событиями мы будем называть не любые подмножества $$\Omega$$, а лишь элементы некоторого выделенного набора подмножеств множества $$\Omega$$. При этом необходимо позаботиться, чтобы этот набор подмножеств был замкнут относительно обычных операций над событиями, т.е. чтобы объединение, пересечение, дополнение событий снова давало событие. Сначала введем понятие алгебры множеств.
Определение 4 Множество $$\mathcal A$$, элементами которого являются подмножества множества $$\Omega$$ (не обязательно все) называется алгеброй, если оно удовлетворяет следующим условиям:
(A1) $$\Omega\in \mathcal A$$ (алгебра содержит достоверное событие);
(A2) если $$A\in\mathcal A$$, то $$\overline A\in\mathcal A$$ (вместе с любым множеством алгебра содержит противоположное к нему);
(A3) если $$A\in\mathcal A$$ и $$B \in\mathcal A$$, то $$A\cup B\in\mathcal A$$ (вместе с любыми двумя множествами алгебра содержит их объединение).
Из (A1) и (A2) следует, что пустое множество $$\emptyset=\overline{\Omega}$$ также содержится в $$\mathcal A$$, т.е. алгебра содержит и невозможное событие.
Из условия (A3) следует, что вместе с любым конечным набором множеств алгебра содержит их объединение: для любого $$n\in\mathbb N$$, для любых $$A_1,\,\dots,\,A_n\in\mathcal A$$ выполнено $$A_1\cup\ldots\cup A_n \in\mathcal A$$.
Вместо замкнутости относительно объединения можно требовать замкнутость относительно пересечения.
Свойство 1. В определении 4 можно заменить (А3) на (А4) если $$A\in\mathcal A$$ и $$B\in\mathcal A$$, то $$A\cap B\in\mathcal A$$.
Доказательство. Докажем, что при выполнении (A1) и (A2) из (A3) следует (A4). Если $$A$$, $$B\in\mathcal A$$, то $$\overline A\in\mathcal A$$ и $$\overline B\in \mathcal A$$ по свойству (A2). Тогда из (A3) следует, что $$\overline A\cup\overline B\in\mathcal A$$. Вновь пользуясь (A2), получим, что дополнение $$\overline{\overline A\cup\overline B}$$ к этому множеству также принадлежит алгебре $$\mathcal A$$. В силу формул двойственности, дополнение к объединению равно пересечению дополнений:$$A\cap B= \overline{\overline A\cup\overline B}\in\mathcal A.$$
Аналогично доказывается, что при выполнении (A1) и (A2) из (A4) следует (A3), т.е. эти два свойства в определении взаимозаменяемы.
Пример 22. Пусть $$\Omega=\{\spadesuit,\, \clubsuit,\,\diamondsuit,\,\heartsuit\}$$ - пространство элементарных исходов. Следующие наборы подмножеств $$\Omega$$ являются алгебрами:
Упражнение. Доказать, что если $$\Omega$$ состоит из $$n$$ элементов, то в множестве всех его подмножеств ровно $$2^n$$ элементов.
Сигма-алгебра событий. В теории вероятностей часто возникает необходимость объединять счетные наборы событий и считать событием результат такого объединения. При этом свойства (A3) алгебры оказывается недостаточно: из него не вытекает, что объединение счетной последовательности множеств из алгебры снова принадлежит алгебре. Поэтому разумно наложить более суровые ограничения на класс событий.
Определение 5. Множество $$\mathcal F$$, элементами которого являются подмножества множества $$\Omega$$ (не обязательно все) называется $$\sigma$$ -алгеброй ( $$\sigma$$ -алгеброй событий), если выполнены следующие условия:
(S1) $$\Omega\in \mathcal F$$ ( $$\sigma$$ -алгебра событий содержит достоверное событие);
(S2) если $$\vphantom{\int^1}A\in\mathcal F$$, то $$\overline A\in\mathcal F$$ (вместе с любым событием $$\sigma$$ -алгебра содержит противоположное событие);
(S3) если $$A_1$$, $$A_2,\, \ldots\in\mathcal F$$, то $$A_1\cup A_2\cup\ldots\in\mathcal F$$ (вместе с любым счетным набором событий $$\sigma$$ -алгебра содержит их объединение).
Упражнение. Доказать, что вместо (S1) достаточно предположить непустоту множества $$\mathcal F$$. Вывести из (S1) и (S2), что $$\emptyset\in\mathcal F$$.
Этого набора аксиом достаточно для замкнутости множества $$\mathcal F$$ относительно счетного числа любых других операций над событиями. В частности, аналогично свойству 1 проверяется следующее утверждение.
Свойство 2. В определении 5 можно заменить (S3) на (S4): (S4) если $$A_1$$, $$A_2,\, \ldots\in\mathcal F$$, то $$A_1\cap A_2\cap\ldots\in\mathcal F$$.
Свойство 3. Всякая $$\sigma$$ -алгебра является алгеброй.
Доказательство. Пусть $$\mathcal F$$ - $$\sigma$$ -алгебра. Нужно проверить, что она удовлетворяет свойству (A3), т.е. для любых $$A\in\mathcal F$$ и $$B \in\mathcal F$$ выполняется $$A\cup B\in\mathcal F$$.
Превратим пару $$A,\,B$$ в счетную последовательность событий так: $$A,\,B,\,B,\,B,\,\dots$$, т.е. положим $$A_1=A$$, $$A_i=B$$ при всех $$i \ge 2$$. Объединение $$A\cup B$$ совпадает с объединением всех множеств $$A_i$$ из этой бесконечной последовательности. А так как $$\mathcal F$$ - $$\sigma$$ -алгебра, то$$\hspace*{3cm} A\cup B=\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i\in\mathcal F. \hspace*{3cm}$$
Итак, всякая $$\sigma$$ -алгебра автоматически является алгеброй, но не наоборот. Приведем пример алгебры, не являющейся $$\sigma$$ -алгеброй.
Пример 23. Пусть $$\Omega=\mathbb R$$, и пусть $$\mathcal A$$ - множество, содержащее любые конечные подмножества $$\mathbb R$$ (т.е. состоящие из конечного числа точек, в том числе пустое) и их дополнения. Так, множество $$\{0,\, 2,\, \pi\}$$ принадлежит $$\mathcal A$$, множество $$(-\infty,\,-7{,}2)\cup(-7{,}2,\,5)\cup(5,\,\infty)$$ не принадлежит $$\mathcal A$$.
Легко проверить, что множество $$\mathcal A$$ является алгеброй. Действительно, пустое множество и само $$\Omega=\mathbb R$$ там содержатся, дополнение к любому конечному подмножеству множества вещественных чисел содержится в $$\mathcal A$$ по определению, дополнение к множеству вида $$\mathbb R \setminus A$$ для конечных $$A$$ совпадает с $$A$$ и также принадлежит $$\mathcal A$$ по определению. Свойство (A3) проверяется непосредственно: объединение любых конечных множеств снова конечно и поэтому принадлежит $$\mathcal A$$. Объединение конечного множества с множеством вида $$\mathbb R\setminus A$$, где $$A$$ конечно, есть снова множество вида $$\mathbb R\setminus B$$, где $$B$$ конечно (или пусто) и т.д.
Однако алгебра $$\mathcal A$$ не содержит ни одного счетного множества точек. Действительно, объединяя конечные множества в конечном числе, мы можем получить только конечное множество. Например, натуральный ряд $$\mathbb N$$ не принадлежит $$\mathcal A$$. Поэтому $$\mathcal A$$ не является $$\sigma$$ -алгеброй: для бесконечной, но счетной последовательности одноточечных множеств $$A_i=\{i\}$$ из $$\mathcal A$$ их объединение $$\mathbb N=A_1\cup A_2\cup\ldots$$ не принадлежит $$\mathcal A$$.
Все алгебры из примера 22 являются $$\sigma$$ -алгебрами, поскольку содержат лишь конечное число элементов. Вообще, на конечном множестве $$\Omega$$ понятия алгебры и $$\sigma$$ -алгебры совпадают. Множество всех подмножеств $$\Omega$$ является $$\sigma$$ -алгеброй для любого $$\Omega$$.
Борелевская $$\sigma$$ -алгебра. Приведем еще один пример $$\sigma$$ -алгебры, которая нам будет необходима в дальнейшем,- $$\sigma$$ -алгебры борелевских множеств на вещественной прямой.
Борелевской сигма-алгеброй в $$\mathbb R$$ называется самая маленькая среди всех возможных $$\sigma$$ -алгебр, содержащих любые интервалы на прямой. Разумеется, $$\sigma$$ -алгебры, содержащие все интервалы, существуют. Например, множество всех подмножеств $$\mathbb R$$ - это $$\sigma$$ -алгебра, и она содержит все интервалы. Что же такое "самая маленькая $$\sigma$$ -алгебра" из нескольких данных? Обратимся к примерам.
Пусть $$\Omega=\mathbb R$$ - вещественная прямая. Рассмотрим некоторые наборы множеств, не являющиеся $$\sigma$$ -алгебрами, и увидим, как их можно дополнить до $$\sigma$$ -алгебр.
Пример 24.
Множество $$\mathfrak A = \{\mathbb R,\, \emptyset,\, [0,\,1],\,
\{ 0\}\}$$ не является $$\sigma$$ -алгеброй, так как,
например, $$\overline{\{0\}}=\mathbb R\setminus \{0\}=
(-\infty,\,0)\cup(0,\,\infty)\not\in\mathfrak A$$.
Самый маленький набор множеств, содержащий $$\mathfrak A$$ и
являющийся $$\sigma$$ -алгеброй (минимальная $$\sigma$$ -алгебра),
получится, если включить в него всевозможные
объединения, пересечения и
Определение 6. Минимальной $$\sigma$$ -алгеброй, содержащей набор множеств $$\mathfrak A$$, называется пересечение всех $$\sigma$$ -алгебр, содержащих $$\mathfrak A$$.
Еще раз напомним, что пересекать в определении 6 есть что: хотя бы одна $$\sigma$$ -алгебра, содержащая данный набор множеств, всегда найдется - это $$\sigma$$ -алгебра всех подмножеств $$\Omega$$.
Упражнение. Доказать, что пересечение двух $$\sigma$$ -алгебр, содержащих набор множеств $$\mathfrak A$$, снова является $$\sigma$$ -алгеброй, содержащей $$\mathfrak A$$.
Упражнение. Найти минимальную $$\sigma$$ -алгебру, содержащую следующий набор подмножеств $$\mathbb R$$: $$\mathfrak A = \left\{ \mathbb R,\, \emptyset,\, [0,\,1],\, \{3\} \right\}$$.
Дадим определение борелевской сигма-алгебры. Пусть по-прежнему $$\Omega=\mathbb R$$, а множество $$\mathfrak A$$ состоит из всевозможных открытых интервалов $$(a,\,b)$$, где $$a<b$$: $$\mathfrak A=\{(a,\,b)\,|\, -\infty<a<b<\infty\}$$. Это множество всех интервалов не является ни алгеброй, ни $$\sigma$$ -алгеброй.
Определение 7. Минимальная $$\sigma$$ -алгебра, содержащая множество $$\mathfrak A$$ всех интервалов на вещественной прямой, называется борелевской $$\sigma$$ -алгеброй в $$\mathbb R$$ и обозначается $$\mathfrak B (\mathbb R)$$.
Перечислим некоторые множества на прямой, содержащиеся в $$\mathfrak B (\mathbb R)$$ по определению. Таковы все привычные нам множества. Чтобы получить множество, не содержащееся в $$\mathfrak B (\mathbb R)$$, требуются специальные построения. Итак, мы знаем, что все интервалы на прямой принадлежат $$\mathfrak B (\mathbb R)$$, и $$\mathfrak B (\mathbb R)$$ - $$\sigma$$ -алгебра. Отсюда сразу следует, что $$\mathfrak B (\mathbb R)$$ содержит любое множество, которое можно получить из интервалов с помощью счетного числа операций объединения или пересечения, а также взятием дополнения.
В частности, $$\mathbb R\in \mathfrak B (\mathbb R)$$ по свойству (S1). Далее, все одноточечные множества $$\{x\}$$, где $$x\in\mathbb R$$, принадлежат $$\mathfrak B (\mathbb R)$$. Действительно, интервалы $$\Bigl(x-\frac1n,\,x+\frac1n\Bigr)$$ принадлежат $$\mathfrak B (\mathbb R)$$, по определению, при любом $$n$$. Их счетное пересечение также принадлежит $$\mathfrak B (\mathbb R)$$ по свойству (S4):$$\{x\}=\bigcap\limits_{n=1}^\infty \Bigl(x-\frac1n,\,x+\frac1n\,\Bigr)\in\mathfrak B (\mathbb R).$$
Далее, любой интервал вида $$(a,\,b\,]$$ (или $$[a,\,b)$$, или $$[a,\,b\,]$$ ), где $$a<b$$, принадлежит $$\mathfrak B (\mathbb R)$$ как объединение открытого интервала и точки (или двух точек): $$(a,\,b\,]=(a,\,b)\cup \{b\}$$.
Упражнение. Докажите, что множество натуральных чисел $$\mathbb N$$ и множество рациональных чисел $$\mathbb Q$$ принадлежат $$\mathfrak B (\mathbb R)$$.
Борелевская $$\sigma$$ -алгебра в $$\mathbb R^n$$ строится совершенно так же, как в $$\mathbb R$$. Это должна быть минимальная $$\sigma$$ -алгебра, содержащая все множества вида $$(a_1,\,b_1)\times\,\ldots\,\times(a_n,\,b_n)$$ - уже не интервалы, как в $$\mathbb R$$, а прямоугольники в $$\mathbb R^2$$, параллелепипеды в $$\mathbb R^3$$ и т.д. Вместе с ними $$\mathfrak B (\mathbb R^n)$$ содержит любые множества, являющиеся "предельными" для объединений измельчающихся прямоугольников. Например, круг в $$\mathbb R^2$$ является борелевским множеством - можно изнутри или снаружи приблизить его объединениями прямоугольников.
Итак, мы определили специальный класс $$\mathcal F$$ подмножеств $$\Omega$$, названный $$\sigma$$ -алгеброй событий. Применение счетного числа любых операций (объединений, пересечений, дополнений) к множествам из $$\mathcal F$$ снова дает множество из $$\mathcal F$$, т.е. не выводит за рамки этого класса. Событиями будем называть только множества $$A\in\mathcal F$$.
Определим теперь понятие вероятности как функции, определенной на множестве событий (функции, которая каждому событию ставит в соответствие число - вероятность этого события).
Определение 8. Пусть $$\Omega$$ - некоторое непустое множество, $$\mathcal F$$ - $$\sigma$$ -алгебра его подмножеств. Функция $$\mu : \mathcal F \to \mathbb R\cup\{+\infty\}$$ называется мерой на $$(\Omega,\,\mathcal F)$$, если она удовлетворяет условиям:
( $$\mu 1$$ ) $${\mu(A)\ge 0}$$ для любого множества $$A\in\mathcal F;$$
( $$\mu 2$$ ) для любого счетного набора попарно непересекающихся множеств $$A_1,\,A_2,\,A_3,\,\ldots\,\in\mathcal F$$ (т.е. такого, что $$A_i\cap A_j=\emptyset$$ при всех $$i\neq j$$ ) мера их объединения равна сумме их мер:$$\mu\biggl(\,\bigcup_{i=1}^\infty A_i \biggr)=\sum_{i=1}^\infty \mu(A_i)$$ ("счетная аддитивность" или " $$\sigma$$ -аддитивность" меры).
Упражнение. Зачем в свойстве ( $$\mu 2$$ ) требуется, чтобы события не пересекались? Может ли какая-нибудь функция $$\mu\,:\,\mathcal F\to\mathbb R$$ удовлетворять свойству $$\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)$$ при любых событиях $$A$$ и $$B$$? Привести пример такой функции и доказать, что других не существует.
Упражнение. Указать область определения и область значений функции $$\mu$$. Для каких $$A\subset \Omega$$ определено значение $$\mu(A)$$?
Пример 25. Пусть $$\Omega=\{a,\,b,\,c\}$$, $$\mathcal F=2^\Omega$$ - множество всех подмножеств $$\Omega$$. Зададим меру $$\mu$$ на $$\mathcal F$$ так: $$\mu\{a\}=3$$, $$\mu\{b\}=17$$, $$\mu\{c\}=1$$, $$\mu\{a,\,b\}=20$$, $$\mu\{a,\,c\}=4$$, $$\mu\{b,\,c\}=18$$, $$\mu\{a,\,b,\,c\}=21$$, $$\mu(\emptyset)=0$$. Для краткости записи мы вместо $$\mu(\{a\})$$ писали всюду $$\mu\{a\}$$.
Пример 26. Пусть $$\Omega=\mathbb N$$, $$\mathcal F=2^\mathbb N$$ - множество всех подмножеств натурального ряда. Зададим меру $$\mu$$ на $$\mathcal F$$ так: $$\mu(A)=|A|$$ - число элементов в множестве $$A$$ (бесконечность, если множество $$A$$ бесконечно).
Пример 27. (мера Лебега) Когда мы говорили о геометрической вероятности, мы использовали термин "мера области $$A$$ в $$\mathbb R^m$$ ", имея в виду "длину" на прямой, "площадь" на плоскости, "объем" в трехмерном пространстве. Являются ли все эти "длины-площади-объемы" настоящими мерами в смысле определения 8? Мы решим этот вопрос для прямой, оставляя плоскость и пространство большей размерности читателю.
Замечание Если вам уже расхотелось читать дальше, сообщаем: мерой Лебега в задачниках и учебниках называют как раз "длину-площадь-объем", так что все в порядке, дальнейшее до определения вероятности можно смело пропустить.
Рассмотрим вещественную прямую с $$\sigma$$ -алгеброй борелевских множеств. Эта $$\sigma$$ -алгебра, по определению, есть наименьшая $$\sigma$$ -алгебра, содержащая все интервалы. Для каждого интервала $$(a,\,b)$$ число $$b-a$$ назовем длиной интервала $$(a,\,b)$$.
Мы не станем доказывать следующее утверждение:
Теорема 6. Существует единственная мера $$\lambda$$ на $$(\mathbb R,\,\mathfrak B (\mathbb R))$$, значение которой на любом интервале равно его длине: $$\lambda(a,\,b)={b-a}$$. Эта мера называется мерой Лебега.
Нам пригодится свойство, которым обладает любая мера. Это свойство непрерывности меры иногда называют аксиомой непрерывности, имея в виду, что ею можно заменить ( $$\mu$$ 2) в определении 8.
Теорема 7 (свойство непрерывности меры). Пусть дана убывающая последовательность $$B_1\supseteq B_2 \supseteq B_3\supseteq \ldots$$ множеств из $$\mathcal F$$, причем $$\mu(B_1)<\infty$$. Пусть $$B=\bigcap\limits_{n=1}^\infty B_n$$. Тогда $$\mu(B)=\lim\limits_{n\to\infty}\mu(B_n)$$.
Доказательство. Обозначим через $$C_n$$ кольца: $$C_n=B_n\setminus B_{n+1}$$. Множества $$B$$, $$C_1$$, $$C_2$$, $$\ldots$$ попарно не пересекаются. Тогда из представлений$$\textstyle B_1=B\cup\biggl(\,\bigcup\limits_{i=1}^{\smash{\infty}} C_i\biggr), \quad \textstyle B_n=B\cup\biggl(\,\bigcup\limits_{i=n}^{\smash{\infty}} C_i\biggr)$$ вытекают, в силу аксиомы ( $$\mu$$ 2), соответствующие равенства и для мер:$$\mu(B_1)=\mu(B)+\sum\limits_{i=1}^\infty \mu(C_i), \qquad \mu(B_n)=\mu(B)+\sum\limits_{i=n}^\infty \mu(C_i).$$ Первая сумма $$\sum\limits_{i=1}^\infty \mu(C_i)$$ в силу условия $$\mu(B_1)<\infty$$, есть сумма абсолютно сходящегося ряда (составленного из неотрицательных слагаемых). Из сходимости этого ряда следует, что "хвост" ряда, равный как раз $$\sum\limits_{i=n}^\infty \mu(C_i)$$, стремится к нулю при $$n\to\infty$$. Поэтому$$\qquad\mu(B_n)=\mu(B)+\sum\limits_{i=n}^\infty \mu(C_i)\, \mathop{\longrightarrow}\limits_{n\to\infty}\, \mu(B)+0=\mu(B). \qquad$$
В полезности этого свойства легко убедиться упражнениями. Упражнение. Используя аксиому непрерывности меры для убывающей последовательности множеств $$B_n=(x-1/n,\,x+1/n)$$, доказать, что мера Лебега одноточечного подмножества $$\{x\}$$ вещественной прямой равна нулю: $$\lambda\,\{x\}=0$$. Используя этот факт, доказать, что $$\lambda\,(\mathbb N)=0$$, $$\lambda\,(\mathbb Z)=0$$, $$\lambda\,(\mathbb Q)=0$$, $$\lambda\,(a,\,b)=\lambda\,[\,a,\,b\,]$$.
Замечание. В отсутствие предположения $$\mu(B_1)<\infty$$ свойство $$\mu(B)=\lim\limits_{n\to\infty}\mu(B_n)$$ может не выполняться.
Например, зададим меру на $$\mathfrak B (\mathbb R)$$ так: $$\mu(B)=0$$, если $$B$$ не более чем счетно, иначе $$\mu(B)=\infty$$. Тогда для множеств $$B_n=(x-1/n,\,x+1/n)$$ имеем:$$B=\textstyle\bigcap\limits_{n=1}^\infty B_n=\{x\}, \quad \mu(B_n)=\infty \not\to \mu(B)=0.$$
Наконец, мы в состоянии определить понятие вероятности как нормированной меры.
Определение 9. Пусть $$\Omega$$ - непустое множество, $$\mathcal F$$ - $$\sigma$$ -алгебра его подмножеств. Мера $$\mu : \mathcal F \to\mathbb R$$ называется нормированной, если $$\mu(\Omega)=1$$. Другое название нормированной меры - вероятность.
То же самое еще раз и подробно:
Определение 10. Пусть $$\Omega$$ - пространство элементарных исходов, $$\mathcal F$$ - $$\sigma$$ -алгебра его подмножеств (событий). Вероятностью или вероятностной мерой на $$(\Omega,\,\mathcal F)$$ называется функция $$\mathsf P : \mathcal F \to \mathbb R$$, обладающая свойствами:
(P1) $$\mathsf P(A)\ge 0$$ для любого события $$A\in\mathcal F;$$
(P2) для любого счетного набора попарно несовместных событий $$A_1,\,A_2,\,A_3,\,\ldots\in\mathcal F$$ имеет место равенство$$\mathsf P\biggl(\,{\textstyle\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i }\biggr)= \sum_{i{=}1}^\infty \mathsf P(A_i);$$
(P3) вероятность достоверного события равна единице: $$\mathsf P(\Omega)=1$$.
Свойства (P1) - (P3) называют аксиомами вероятности.
Определение 11. Тройка $$\langle\Omega,\mathcal F, \mathsf P\rangle$$, в которой $$\Omega$$ - пространство элементарных исходов, $$\mathcal F$$ - $$\sigma$$ -алгебра его подмножеств и $$\mathsf P$$ - вероятностная мера на $$\mathcal F$$, называется вероятностным пространством.
Докажем свойства вероятности, вытекающие из аксиом. Ниже мы не будем всякий раз оговаривать, что имеем дело только с событиями.
Теорема 8. Вероятность обладает следующими свойствами.
Доказательство.
Упражнение. Докажите свойство 7 и формулу (3.1) с помощью математической индукции.
Приведем пример задачи, в которой использование формулы включения-исключения - самый простой путь решения.
Пример 28. (задача о рассеянной секретарше) Есть $$n$$ писем и $$n$$ подписанных конвертов. Письма раскладываются в конверты наудачу по одному. Найти вероятность того, что хотя бы одно письмо попадет в предназначенный ему конверт.
Решение. Пусть событие $$A_i$$, $$i=1,\,\ldots,\,n$$, означает, что $$i$$ -е письмо попало в свой конверт. Тогда$$A=\{\textit{хотя бы одно письмо попало в свой конверт}\}= A_1\cup\ldots\cup A_n.$$
Cобытия $$A_1$$, $$\ldots$$, $$A_n$$ совместны, поэтому используем формулу (3.1). По классическому определению вероятности вычислим вероятности всех событий $$A_i$$ и их пересечений. Элементарными исходами будут всевозможные перестановки $$n$$ писем по $$n$$ конвертам. Их общее число есть $$|\Omega|=n$$!, и событию $$A_i$$ благоприятны $$(n-1)$$! из них, а именно перестановки всех писем, кроме $$i$$ -го, лежащего в своем конверте. Поэтому $$\mathsf P(A_i)=\frac{(n-1)!}{n!}=\frac{1}{n}$$ - одна и та же для всех $$i$$. Точно так же$$\mathsf P(A_i A_j)=\frac{(n-2)!}{n!}=\frac{1}{n(n-1)},\quad \mathsf P(A_i A_j A_m)=\frac{1}{n(n-1)(n-2)} \ \text{ и т.д.}$$
Вычислим количество слагаемых в каждой сумме в формуле (3.1). Например, сумма по $${1\le i<j<m\le n}$$ состоит из $$C_{n}^{3}$$ слагаемых - ровно столько троек индексов можно образовать из $$n$$ номеров событий. Подставляя все вероятности в формулу (3.1), получаем:
$$\begin{multiple*} \mathsf P(A)=n\cdot\frac1n-C_n^2\cdot\frac{1}{n(n\,{-}\,1)}+ C_n^3\cdot\frac{1}{n(n\,{-}\,1)(n\,{-}\,2)}-\ldots+{(-1)}^{n-1}\frac{1}{n!} = \\ =1-\frac1{2!}+\frac1{3!}-\ldots+{(-1)}^{n-1}\frac{1}{n!}\,. \end{multiple*}$$Упражнение. Выписать разложение $$e^{-1}$$ в ряд Тейлора и убедиться в том, что $$\mathsf P(A) \longrightarrow 1-e^{-1}$$ при $$n\to\infty$$.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.