Геометрическое программирование (ГП) - раздел
Задача Дидоны, или классическая изопериметрическая задача, формулируется следующим образом: среди замкнутых плоских кривых, имеющих заданную длину, найти кривую, охватывающую максимальную площадь.
Эту задачу связывают с именем Дидоны - основательницы города Карфаген и его первой царицы. Согласно легенде, финикийская царевна Дидона (Элисса), спасаясь от преследований своего брата, царя Тира, отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря искать себе прибежище. Ей приглянулось место на побережье нынешнего Тунисского залива. Дидона вступила в переговоры с местным предводителем Ярбом о продаже земли. Запросила она совсем немного - столько, сколько можно окружить бычьей шкурой. Дидоне удалось уговорить Ярба. Сделка состоялась, и тогда хитроумная Дидона изрезала шкуру быка, которую ей предоставили местные жители, на узкие полоски, связала их и окружила территорию, на которой основала крепость, а вблизи от нее - город Карфаген.
Если учесть, что Дидона выбирала участок, примыкающий к берегу моря, то задачу, стоящую перед Дидоной, можно сформулировать так: какой формы должна быть кривая длины $$l$$, чтобы площадь фигуры, ограниченная этой кривой и заданной линией $$\Gamma$$, была наибольшей. В предположении, что $$\Gamma$$ - прямая линия, решением задачи является полуокружность длины $$l$$.
Решение частного случая задачи Дидоны, когда требуется определить, какой из прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь, было известно еще математикам Древней Греции. Более того, эта геометрическая задача считается самой древней задачей на экстремум. Решение этой задачи приведено в VI книге "Начал" Евклида, где доказывается, что если рассмотреть прямоугольник и квадрат одного и того же периметра, то площадь квадрата будет больше площади прямоугольника.
Решение задачи Дидоны для прямоугольников и некоторых других частных случаев этой задачи легко получить с помощью неравенства Коши, которое устанавливает, что среднее арифметическое $$n$$ неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического:
$$\frac{x_1+x_2+\ldots +x_n}{n}\geq \sqrt[n]{x_1 x_2\ldots x_n},\quad x_{i}\geq 0,\quad i=\overline{1,n} .$$Равенство достигается только при $$x_1 = x_2 =\ldots =x_n$$.
Доказательство неравенства Коши в общем виде занимает много места, поэтому здесь мы приведем доказательство этого неравенства только при $$n=2$$:
$$(x_1-x_2)^{2}\geq 0 \Rightarrow x_1^{2} + x_{2}^{2} \geq 2 x_{1}x_{2}, \ x_1^2+x_2^2+2 x_1x_2 \geq 2 x_1x_2 + 2 x_1x_2\Rightarrow$$ $$\Rightarrow (x_1+x_2)^{2}\geq 4 x_1x_2 \Rightarrow \frac{x_1+x_2}{2}\geq\sqrt{x_1 x_2} .$$Покажем теперь на примерах, как неравенство Коши может быть использовано для решения оптимизационных геометрических задач.
Пример 1 (задача Дидоны для прямоугольников). Найдем длины сторон прямоугольника с периметром $$P$$, имеющего наибольшую площадь.
Обозначим длины сторон прямоугольника через $$x_1$$ и $$x_2$$, а его площадь - через $$S$$. Тогда
математическая
при ограничениях:
$$2 x_1 + 2 x_2=P,\ x_1\geq 0,\ x_2\geq 0.$$Воспользуемся неравенством Коши при $$n=2$$:
$$\frac{x_1+x_2}{2}\geq\sqrt{x_1 x_2} .$$Поскольку $$x_1+x_2=P/2$$, то из (1) следует:
$$\frac{P^2}{16}\geq x_1 x_2=S.$$Неравенство (2) обращается в равенство при $$x_1 = x_2 = P/4$$. Таким образом, прямоугольником наибольшей площади, имеющим заданный периметр $$P$$, является квадрат, длина стороны которого равна $$P/4$$.
Пример 2 (обратная задача Дидоны для прямоугольников). Найдем длины сторон прямоугольника с площадью $$S$$, имеющего наименьший периметр.
Используем обозначения, введенные в примере 1. Тогда
математическая
при ограничениях:
$$x_1 x_2=S,\ x_1\geq 0,\ x_2\geq 0.$$Из неравенства (1) вытекает, что
$$\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)^2\geq x_1 x_2=S.$$Следовательно, $$P=2 (x_1+x_2)\geq 4\sqrt{S}$$. Это неравенство обращается в равенство при $${x_1} = {x_2} =\sqrt{S}$$. Таким образом, прямоугольником наименьшего периметра, имеющим заданную площадь $$S$$, является квадрат, длина стороны которого равна $$\sqrt{S}$$.
Пример 3 (задача Дидоны для параллелепипедов). Площадь поверхности параллелепипеда равна $$S$$. Определим, при каких длинах сторон его объем будет максимальным.
Обозначим длины сторон параллелепипеда через $$x_1$$, $$x_2$$ и $$x_3$$, а его объем - через $$V$$. Тогда
математическая
при ограничениях:
$$2 x_1 x_2 + 2 x_1 x_3 + 2 x_2 x_3=S,$$ $$x_i\geq 0,\ i=\overline{1,3}\ .$$Воспользуемся неравенством Коши при $$n=3$$ для чисел $$x_1 x_2$$, $$x_1 x_3$$ и $$x_2 x_3$$:
$$\frac{x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3}{3}\geq \sqrt[3]{(x_1 x_2 x_3)^2}\ .$$Неравенство (4) обращается в равенство при $$x_1 x_2=x_1 x_3=x_2 x_3$$, откуда следует: $$x_1=x_2=x_3$$. Из (3) имеем: $${x_1 }={x_2}={x_3}=\sqrt{S/6}$$. При этом максимальный объем
$$V=\sqrt{\left(\frac{S}{6}\right)^3}.$$Таким образом, параллелепипед максимального объема с площадью поверхности $$S$$ имеет форму куба со стороной $$\sqrt{S/6}$$. Аналогично можно показать, что параллелепипед объема $$V$$ c минимальной площадью поверхности имеет форму куба.
Пример 4 (задача Дидоны для треугольников). Найдем длины сторон треугольника с периметром $$2 p$$, имеющего наибольшую площадь.
Обозначим длины сторон треугольника через $$x_1$$, $$x_2$$ и $$x_3$$. Площадь треугольника $$S$$
вычислим по формуле Герона. Математическая
при ограничениях:
$$x_1 + x_2 + x_3 = 2 p,\ x_i\geq 0,\ i=\overline{1,3}\ .$$Воспользуемся неравенством Коши при $$n=3$$ для чисел $$p - x_1$$, $$p - x_2$$, $$p - x_3$$:
$$\sqrt[3]{(p - x_1)(p - x_2)(p - x_3)}\leq \frac{p}{3}\ .$$Отсюда следует
$$(p-x_1)(p-x_2)(p-x_3)\leq \left(\frac{p}{3}\right )^3.$$Из (5) получим
$$S=\sqrt{p(p-x_1)(p-x_2)(p-x_3)}\leq \frac{p^2}{3\sqrt{3}} .$$Неравенство (13) обращается в равенство при $$p-x_1 = p-x_2 = p-x_3$$, т. е. при условии $$x_1 = x_2 = x_3$$. Из (6) получим
$${x_1}={x_2}={x_3}=\frac{2 p}{3},\quad \max S=\frac{p^2}{3\sqrt{3}}\ .$$Таким образом, треугольником с периметром $$2 p$$, имеющим наибольшую площадь, является равносторонний треугольник со стороной $$\frac{2 p}{3}$$.
При решении более сложных задач применяется также геометрическое неравенство или обобщенное неравенство Коши, которое непосредственно связано с двойственностью в ГП (см. лекцию 4):
$$\sum\limits_{j=1}^{n}{w}_{j}{x}_{j} \geq \prod \limits_{j=1}^{n}{x}_{j}^{{w}_{j}},$$при
$$\sum\limits_{j=1}^{n}w_{j}=1 \mbox{\quad (условие нормальности),}$$ $${w}_{j} > 0,\ \ j=\overline{1,n}\mbox{\quad (условие положительности),}$$ $$x_j\geq 0,\ j=\overline{1,n}.$$Используя неравенство (8), можно доказать две теоремы, которые широко применяются для оценивания нелинейных функций.
Теорема 1 Решением экстремальной задачи
$$\prod\limits_{i =1}^{n}x_{i}^{\beta_{i}} \rightarrow \max$$при ограничениях
$$\sum\limits_{i =1}^{n}\alpha_{i}x_{i} = S,$$ $$\ x_i> 0,\ x_i\in\mathbb{R},$$где
$$\beta_i>0,\ \alpha_i>0, \ \ \beta_i\in\mathbb{R},\ \alpha_i\in\mathbb{R},\ i = \overline{1,n},$$является вектор $$x^{*}$$ с компонентами
$$x_{i}^{*} = \frac{\beta_i S}{\alpha_i\beta}\mbox{ , где }\ \beta = \sum\limits_{i=1}^{n}\beta_i.$$Максимальное значение целевой функции $$\mu$$ вычисляется по формуле
$$\mu = \left(\frac{S}{\beta}\right)^{\beta}\prod\limits_{i=1}^n\left(\frac{\beta_i}{\alpha_i}\right)^{\beta_i}.$$Прежде, чем привести следующий пример, поясним постановку прикладной задачи, которая в нем рассматривается.
В экономике широко применяются функции, выражающие технологическую зависимость между результатами деятельности производственного объекта и затратами факторов производства. Такие функции называются производственными функциями. Во многих экономических моделях используется производственная функция Кобба-Дугласа, которая задается формулой:
$$y=a_0 L^{a_1} K^{a_2},$$где $$y$$ - объем выпускаемого продукта,
$$a_{0},\ a_{1},\ a_{2}$$ - положительные константы,
$$L$$ - затраты на труд,
$$K$$ - затраты на капитальные ресурсы при производстве этого продукта.
Пример 5 Пусть зависимость выпуска продукта от ресурсов имеет вид производственной функции Кобба-Дугласа:
$$y=a_0 {K}^{a_1} {L}^{a_2}.$$Заданы цены ресурсов $$c_K$$ и $$c_L$$ и общий объем средств $$C$$ на выпуск продукции. Определим объемы ресурсов $$K$$ и $$L$$, при которых выпуск продукции максимален.
Математическая
при ограничениях
$${c_K} {K}+{c_L} {L}=C,\ K\geq 0,\ L\geq 0.$$Для решения этой задачи применим теорему 1 при $$n = 2$$, $$S=C$$, $$x_1 = K$$, $$x_2 = L$$, $$\beta_1 = a_1$$, $$\beta_2 = a_2$$, $$\alpha_1 = c_K$$, $$\alpha_2 = c_L$$.
Оптимальные количества потребляемых ресурсов $$K^*$$ и $$L^*$$ вычисляются по формулам (9):
$$K^* =\frac{a_1}{a_1+a_2}\times\frac{C}{c_K};\ L^* =\frac{a_2}{a_1+a_2}\times \frac{C}{c_L}\ .$$Максимальный выпуск продукции $$y^*$$ вычисляется по формуле (10):
$$y^*=a_0 \left(\frac{C}{a_1+a_2}\right)^{a_1+a_2}\left(\frac{a_1}{c_K}\right)^{a_1}\left(\frac{a_2}{c_L}\right)^{a_2}.$$Приведем теперь теорему, в которой речь идет об обратной задаче (см. [1]).
Теорема 2 Решением экстремальной задачи
$$\sum\limits_{i = 1}^{n}\alpha_{i}x_{i}\rightarrow \min$$при ограничениях
$$\prod\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{\beta_i}= P,$$ $$x_i> 0,\ x_i\in\mathbb{R},\ \ i = \overline{1,n},$$где
$$\alpha_i > 0,\ \beta_i >0,\ \beta_i\in\mathbb{R},\ \alpha_i\in\mathbb{R},\ i = \overline{1,n},$$является единственный вектор $$x^{*}$$ с компонентами
$$x_{i}^{*} = \frac{\beta_i}{\alpha_i} \left[P \prod\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{\alpha_i}{\beta_i}\right)^{\beta_i} \right]^{1/\beta} = \frac{\beta_i}{\alpha_i}\ \frac{\mu}{\beta},\mbox{ где }\ \beta = \sum\limits_{i=1}^{n}\beta_i.$$Минимум целевой функции $$\mu$$ вычисляется по формуле:
$$\mu = \beta \left[ P\prod\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{\alpha_i}{\beta_i}\right)^{\beta_i} \right]^{1/\beta}.$$В следующем примере рассмотрена задача, обратная к задаче из примера 5. Для ее решения используется теорема 2.
Пример 6 Найдем, при каких наименьших затратах на ресурсы будет достигнут заданный объем выпуска продукции.
В обозначениях примера 5 математическая модель этой задачи примет вид:
$$C={c_K} K +{c_L} L\rightarrow \min$$при ограничениях
$$a_0 {K}^{a_1} {L}^{a_2}=y,\ K\geq 0,\ L\geq 0.$$Преобразуем ограничение (13):
$${K}^{a_1} {L}^{a_2}= \frac{y}{a_0}\ .$$Для решения этой задачи воспользуемся теоремой 2 при $$n = 2$$, $$x_1 =K$$, $$x_2 = L$$, $$P=\frac{y}{a_0}$$, $$\alpha_1 = c_K$$, $$\alpha_2 = c_L$$, $$\beta_1 = a_1$$, $$\beta_2 = a_2$$.
Подставляя в формулу (11) значения параметров, получим оптимальные количества ресурсов:
$$K^* =\frac{a_1}{c_K}{\left[ \frac{y}{a_0}\left(\frac{c_K}{a_1}\right)^{a_1} % \left(\frac{c_L}{a_2}\right)^{a_2}\right] }^{\frac{1}{a_1+a_2}}= \left(\frac{y}{a_0}\right)^{\frac{1}{a_1+a_2}}c_K^{\frac{-a_2}{a_1+a_2}}% c_L^{\frac{a_2}{a_1+a_2}}a_{1}^{\frac{a_2}{a_1+a_2}}a_{2}^{\frac{-a_2}{a_1+a_2}} =$$ $$={\left( \frac{y}{a_0} \right) }^{\frac{1}{a_1+a_2}} \left( \frac{c_L}{c_K} \frac{a_1}{a_2}\right)^{\frac{a_2}{a_1+a_2}},$$ $$L^* =\frac{a_2}{c_L}{\left[ \frac{y}{a_0}\left(\frac{c_K}{a_1}\right)^{a_1} \left(\frac{c_L}{a_2}\right)^{a_2}\right] }^{\frac{1}{a_1+a_2}}=\left(\frac{y}{a_0}\right)^{\frac{1}{a_1+a_2}}c_K^{\frac{a_1}{a_1+a_2}}c_L^{\frac{-a_1}{a_1+a_2}}a_{1}^{\frac{-a_1}{a_1+a_2}}a_{2}^{\frac{a_1}{a_1+a_2}} =$$ $$= {\left(\frac{y}{a_0}\right)}^{\frac{1}{a_1+a_2}} \left(\frac{c_K}{c_L} \frac{a_2}{a_1}\right)^{\frac{a_1}{a_1+a_2}}.$$Наименьшие затраты $$C^*$$ на ресурсы вычисляются по формуле (12):
$$C^*=(a_1+a_2) \left(\frac{y}{a_0}\left( \frac{c_K}{a_1}\right)^{a_1}\left( \frac{c_L}{a_2}\right)^{a_2}\right)^{\frac{1}{a_1+a_2}}.$$В двух последних примерах использовалась функция Кобба-Дугласа
$$y(K,L)= a_0 {K}^{a_1} {L}^{a_2},$$принадлежащая классу функций, к описанию которого мы переходим.
Заметим, что в этой лекции мы пока не приводим формальную постановку задачи геометрического программирования, но все рассматриваемые в ней примеры являются таковыми задачами или сводятся к ней с помощью простых преобразований.
Мономом называется функция $$u(x)$$, которая определяется следующей формулой:
$$u(x)=c\prod\limits_{j=1}^{m}{x_{j}}^{a_{j}},\quad x_j>0,\ c >0, \ a_{j}\in \mathbb{R}.$$Таким образом, моном - это произведение положительного коэффициента $$c$$ и переменных $$x_j$$ в вещественных степенях $$a_{j}$$. Эти степени образуют вектор экспонент монома, который мы будем обозначать через $$a$$. Подчеркнем, что поскольку допускаются дробные и отрицательные показатели степеней, то область определения монома ограничена строго положительными вещественными числами.
Пример 7 Определим коэффициент и вектор экспонент следующего монома:
$$u(x) = 5x_{1}^{2}x_{2}^{-3}.$$В моном входят две переменные: $$x_1$$ и $$x_2$$.
Коэффициент монома: $$c = 5$$.
Вектор экспонент монома: $$a = (2,\ -3)$$.
Перечислим основные
Теперь мы переходим к описанию базового понятия в ГП - позиномам.
Позином называется
Позином можно рассматривать как сумму мономов $$u_{i}(x),\ i= \overline{1,n}$$. Коэффициенты $$c_i$$ называют вектором коэффициентов позинома. Естественно, что область определения позинома (также как у монома) ограничена строго положительными вещественными числами.
Показатели степени $$a_{ij}$$ принято записывать в виде матрицы $$A=\|a_{ij}\|$$, которую называют матрицей экспонент. Количество
строк в матрице $$A$$ равно числу мономов $$(n)$$, а количество столбцов -
числу переменных позинома $$(m)$$.
Значение элемента $$a_{ij}$$ равно степени (экспоненте) переменной $$x_j$$ в мономе $$u_i(x)$$
С целью записи формулы (15) в компактном виде введем следующее обозначение:
$$x^A=\left(\prod\limits_{j=1}^{m}{x_{j}}^{a_{1j}}, \prod\limits_{j=1}^{m}% {x_{j}}^{a_{2j}}, \ldots, \prod\limits_{j=1}^{m}{x_{j}}^{a_{nj}}\right).$$С учетом введенного обозначения формула (15) может быть переписана в следующем виде:
$$g(x)=cx^A,\ x>0.$$Обозначим через $$A_j$$ - столбец с номером $$j$$ матрицы $$A$$. Тогда формула
$$g_j(x_j)=cx_j^{A_j},\ x_j>0,\ j= \overline{1,m}$$определяет позиномы от одной переменной $$g_j(x_j)$$, которые называются компонентами позинома $$g(x)$$.
Перечислим основные
Раcсмотрим примеры позиномов.
Пример 8 Определим вектор коэффициентов и матрицу экспонент позинома
$$g(x) = 0.5x^{2} + x^{-3} + 6x^{4}.$$В позином входит одна переменная $$x$$. Позином состоит из трех мономов: $$u_1(x) = 0.5x^{2}$$, $$u_2(x) = x^{-3}$$, $$u_3(x) = 6x^{4}$$. Вектор коэффициентов: $$c = (0. 5, 1, 6)$$. Матрицей экспонент позинома является ( $$3\times 1$$ )-матрица
$$A=\left\| \begin{array}{r} 2 \\ -3 \\ 4\\ \end{array} \right\|.$$Пример 9 Определим вектор коэффициентов и матрицу экспонент позинома
$$g(x) = 4 x_{1}x_{2}^{3}x_{3}^{-2} + 6 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}^{2} + 3.8 x_{1}x_{2}^{-2}x_{3}^{-1} + x_{1}^{3}x_{2}x_{3}.$$В позином входят три переменные $$x_1, x_2, x_3$$. Позином состоит из четырех мономов:
$$u_1(x) = 4 x_{1}x_{2}^{3}x_{3}^{-2}, \\ u_2(x) = 6 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}^{2},\\ u_3(x) = 3.8 x_{1}x_{2}^{-2}x_{3}^{-1}, \\ u_4(x) = x_{1}^{3}x_{2}x_{3}.$$Вектор коэффициентов образован коэффициентами мономов: $$c = (4, 6, 3.8, 1)$$. Матрицей экспонент позинома является ( $$4\times 3$$ )- матрица
$$A=\left\| \begin{array}{rrr} 1 3 -2\\ -2 -1 2 \\ 1 -2 -1 \\ 3 1 1 \end{array} \right\|.$$Вектор коэффициентов позинома $$c$$ и матрица экспонент $$A$$ однозначно определяют позином по формуле (15). Рассмотрим примеры.
Пример 10 По вектору коэффициентов $$c=(7, 0.5, 1)$$ и матрице экспонент
$$A=\left\| \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ -3 \end{array} \right\|$$запишем позином в форме (15).
Применяем формулу (16):
$$g(x) = cx^A=(7, 0.5, 1) (x^{1}, x^{2}, x^{-3})=7 x + 0. 5 x^{2} + x^{-3}.$$Пример 11 По вектору коэффициентов $$c=(0.3, 0.2, 0.1, 1)$$ и матрице экспонент
$$A=\left\| \begin{array}{rrrr} -2 0 1 1 \\ 1 -2 0 1 \\ 0 1 0 -1 \\ 1 1 -1 -1 \end{array} \right\|.$$запишем позином в форме (15).
Применяем формулу (16):
$$g(x) = cx^A=(0.3, 0.2, 0.1, 1) (x_{1}^{-2}x_{2}^0x_{3}^1x_{4}^1, % x_{1}^1x_{2}^{-2}x_{3}^0x_{4}^1, x_{1}^0x_{2}^1x_{3}^0x_{4}^{-1}, x_{1}^1x_{2}^1x_{3}^{-1}x_{4}^{-1})=$$ $$=0.3 x_{1}^{-2}x_{3}x_{4} + 0.2 x_{1}x_{2}^{-2}x_{4} + 0.1 x_{2}x_{4}^{-1} + x_{1}x_{2}x_{3}^{-1}x_{4}^{-1}.\hphantom{g(x}$$Пример 12 Запишем компоненты позинома из примера 9:$$g(x) = 4 x_{1}x_{2}^{3}x_{3}^{-2} + 6 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}^{2} + 3.8 x_{1}x_{2}^{-2}x_{3}^{-1} + x_{1}^{3}x_{2}x_{3}.$$
В позином входят три переменные $$x_1,\ x_2,\ x_3$$, следовательно, позином состоит из трех компонент. Вектор коэффициентов $$c= (4, 6, 3.8, 1)$$. По формуле (17) определяем:
$$g_{1}(x_1) = c x_{1}^{A_1} = % (4, 6, 3.8, 1) (x_{1}^{1}, x_{1}^{-2}, x_{1}^{1}, x_{1}^{3}) = 4 x_{1}+6 x_{1}^{-2} + 3.8 x_{1}+x_{1}^{3},$$ $$g_{2}(x_2) = c x_{2}^{A_2} = % (4, 6, 3.8, 1) (x_2^{3}, x_{2}^{-1}, x_{2}^{-2}, x_{2}^{1}) = 4 x_{2}^{3}+6 x_{2}^{-1} + 3.8 x_{2}^{-2} + x_{2},$$ $$g_{3}(x_3) = c x_{3}^{A_3} = % (4, 6, 3.8, 1) (x_3^{-2}, x_{3}^{2}, x_{3}^{-1}, x_{3}^{1}) = 4 x_{3}^{-2}+6 x_{3}^{2} + 3.8 x_{3}^{-1}+ x_{3}.$$Следует заметить, что при помощи позиномов описывается большое число закономерностей и отношений, возникающих в различных областях, среди которых: оптимальное планирование, техническое проектирование, исследование химического равновесия, потоки в сетях, оптимальное управление, теория кодирования, управление запасами, системы связи, региональная экономика, автоматизированное проектирование, расчет рисков.
Все задачи оптимизации с позиномами можно разделить на два основных вида: задачи без ограничений, когда минимизируется один позином, и задачи с ограничениями, когда минимизируется некоторый позином, а значения других позиномов не должны превышать единицы. Однако существуют и другие виды задач оптимизации с позиномами. Некоторые из них мы рассмотрим в последующих лекциях.
Описаны истоки геометрического программирования, обозначены
основные сферы применения. Показана роль неравенства Коши и его
обобщения в построении начальной теории. Введены понятия монома и
позинома. Перечислены основные
Геометрическое программирование (ГП) - раздел
Задача Дидоны, или классическая изопериметрическая задача, формулируется следующим образом: среди замкнутых плоских кривых, имеющих заданную длину, найти кривую, охватывающую максимальную площадь.
Эту задачу связывают с именем Дидоны - основательницы города Карфаген и его первой царицы. Согласно легенде, финикийская царевна Дидона (Элисса), спасаясь от преследований своего брата, царя Тира, отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря искать себе прибежище. Ей приглянулось место на побережье нынешнего Тунисского залива. Дидона вступила в переговоры с местным предводителем Ярбом о продаже земли. Запросила она совсем немного - столько, сколько можно окружить бычьей шкурой. Дидоне удалось уговорить Ярба. Сделка состоялась, и тогда хитроумная Дидона изрезала шкуру быка, которую ей предоставили местные жители, на узкие полоски, связала их и окружила территорию, на которой основала крепость, а вблизи от нее - город Карфаген.
Если учесть, что Дидона выбирала участок, примыкающий к берегу моря, то задачу, стоящую перед Дидоной, можно сформулировать так: какой формы должна быть кривая длины $$l$$, чтобы площадь фигуры, ограниченная этой кривой и заданной линией $$\Gamma$$, была наибольшей. В предположении, что $$\Gamma$$ - прямая линия, решением задачи является полуокружность длины $$l$$.
Решение частного случая задачи Дидоны, когда требуется определить, какой из прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь, было известно еще математикам Древней Греции. Более того, эта геометрическая задача считается самой древней задачей на экстремум. Решение этой задачи приведено в VI книге "Начал" Евклида, где доказывается, что если рассмотреть прямоугольник и квадрат одного и того же периметра, то площадь квадрата будет больше площади прямоугольника.
Решение задачи Дидоны для прямоугольников и некоторых других частных случаев этой задачи легко получить с помощью неравенства Коши, которое устанавливает, что среднее арифметическое $$n$$ неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического:
$$\frac{x_1+x_2+\ldots +x_n}{n}\geq \sqrt[n]{x_1 x_2\ldots x_n},\quad x_{i}\geq 0,\quad i=\overline{1,n} .$$Равенство достигается только при $$x_1 = x_2 =\ldots =x_n$$.
Доказательство неравенства Коши в общем виде занимает много места, поэтому здесь мы приведем доказательство этого неравенства только при $$n=2$$:
$$(x_1-x_2)^{2}\geq 0 \Rightarrow x_1^{2} + x_{2}^{2} \geq 2 x_{1}x_{2}, \ x_1^2+x_2^2+2 x_1x_2 \geq 2 x_1x_2 + 2 x_1x_2\Rightarrow$$ $$\Rightarrow (x_1+x_2)^{2}\geq 4 x_1x_2 \Rightarrow \frac{x_1+x_2}{2}\geq\sqrt{x_1 x_2} .$$Покажем теперь на примерах, как неравенство Коши может быть использовано для решения оптимизационных геометрических задач.
Пример 1 (задача Дидоны для прямоугольников). Найдем длины сторон прямоугольника с периметром $$P$$, имеющего наибольшую площадь.
Обозначим длины сторон прямоугольника через $$x_1$$ и $$x_2$$, а его площадь - через $$S$$. Тогда
математическая
при ограничениях:
$$2 x_1 + 2 x_2=P,\ x_1\geq 0,\ x_2\geq 0.$$Воспользуемся неравенством Коши при $$n=2$$:
$$\frac{x_1+x_2}{2}\geq\sqrt{x_1 x_2} .$$Поскольку $$x_1+x_2=P/2$$, то из (1) следует:
$$\frac{P^2}{16}\geq x_1 x_2=S.$$Неравенство (2) обращается в равенство при $$x_1 = x_2 = P/4$$. Таким образом, прямоугольником наибольшей площади, имеющим заданный периметр $$P$$, является квадрат, длина стороны которого равна $$P/4$$.
Пример 2 (обратная задача Дидоны для прямоугольников). Найдем длины сторон прямоугольника с площадью $$S$$, имеющего наименьший периметр.
Используем обозначения, введенные в примере 1. Тогда
математическая
при ограничениях:
$$x_1 x_2=S,\ x_1\geq 0,\ x_2\geq 0.$$Из неравенства (1) вытекает, что
$$\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)^2\geq x_1 x_2=S.$$Следовательно, $$P=2 (x_1+x_2)\geq 4\sqrt{S}$$. Это неравенство обращается в равенство при $${x_1} = {x_2} =\sqrt{S}$$. Таким образом, прямоугольником наименьшего периметра, имеющим заданную площадь $$S$$, является квадрат, длина стороны которого равна $$\sqrt{S}$$.
Пример 3 (задача Дидоны для параллелепипедов). Площадь поверхности параллелепипеда равна $$S$$. Определим, при каких длинах сторон его объем будет максимальным.
Обозначим длины сторон параллелепипеда через $$x_1$$, $$x_2$$ и $$x_3$$, а его объем - через $$V$$. Тогда
математическая
при ограничениях:
$$2 x_1 x_2 + 2 x_1 x_3 + 2 x_2 x_3=S,$$ $$x_i\geq 0,\ i=\overline{1,3}\ .$$Воспользуемся неравенством Коши при $$n=3$$ для чисел $$x_1 x_2$$, $$x_1 x_3$$ и $$x_2 x_3$$:
$$\frac{x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3}{3}\geq \sqrt[3]{(x_1 x_2 x_3)^2}\ .$$Неравенство (4) обращается в равенство при $$x_1 x_2=x_1 x_3=x_2 x_3$$, откуда следует: $$x_1=x_2=x_3$$. Из (3) имеем: $${x_1 }={x_2}={x_3}=\sqrt{S/6}$$. При этом максимальный объем
$$V=\sqrt{\left(\frac{S}{6}\right)^3}.$$Таким образом, параллелепипед максимального объема с площадью поверхности $$S$$ имеет форму куба со стороной $$\sqrt{S/6}$$. Аналогично можно показать, что параллелепипед объема $$V$$ c минимальной площадью поверхности имеет форму куба.
Пример 4 (задача Дидоны для треугольников). Найдем длины сторон треугольника с периметром $$2 p$$, имеющего наибольшую площадь.
Обозначим длины сторон треугольника через $$x_1$$, $$x_2$$ и $$x_3$$. Площадь треугольника $$S$$
вычислим по формуле Герона. Математическая
при ограничениях:
$$x_1 + x_2 + x_3 = 2 p,\ x_i\geq 0,\ i=\overline{1,3}\ .$$Воспользуемся неравенством Коши при $$n=3$$ для чисел $$p - x_1$$, $$p - x_2$$, $$p - x_3$$:
$$\sqrt[3]{(p - x_1)(p - x_2)(p - x_3)}\leq \frac{p}{3}\ .$$Отсюда следует
$$(p-x_1)(p-x_2)(p-x_3)\leq \left(\frac{p}{3}\right )^3.$$Из (5) получим
$$S=\sqrt{p(p-x_1)(p-x_2)(p-x_3)}\leq \frac{p^2}{3\sqrt{3}} .$$Неравенство (13) обращается в равенство при $$p-x_1 = p-x_2 = p-x_3$$, т. е. при условии $$x_1 = x_2 = x_3$$. Из (6) получим
$${x_1}={x_2}={x_3}=\frac{2 p}{3},\quad \max S=\frac{p^2}{3\sqrt{3}}\ .$$Таким образом, треугольником с периметром $$2 p$$, имеющим наибольшую площадь, является равносторонний треугольник со стороной $$\frac{2 p}{3}$$.
При решении более сложных задач применяется также геометрическое неравенство или обобщенное неравенство Коши, которое непосредственно связано с двойственностью в ГП (см. лекцию 4):
$$\sum\limits_{j=1}^{n}{w}_{j}{x}_{j} \geq \prod \limits_{j=1}^{n}{x}_{j}^{{w}_{j}},$$при
$$\sum\limits_{j=1}^{n}w_{j}=1 \mbox{\quad (условие нормальности),}$$ $${w}_{j} > 0,\ \ j=\overline{1,n}\mbox{\quad (условие положительности),}$$ $$x_j\geq 0,\ j=\overline{1,n}.$$Используя неравенство (8), можно доказать две теоремы, которые широко применяются для оценивания нелинейных функций.
Теорема 1 Решением экстремальной задачи
$$\prod\limits_{i =1}^{n}x_{i}^{\beta_{i}} \rightarrow \max$$при ограничениях
$$\sum\limits_{i =1}^{n}\alpha_{i}x_{i} = S,$$ $$\ x_i> 0,\ x_i\in\mathbb{R},$$где
$$\beta_i>0,\ \alpha_i>0, \ \ \beta_i\in\mathbb{R},\ \alpha_i\in\mathbb{R},\ i = \overline{1,n},$$является вектор $$x^{*}$$ с компонентами
$$x_{i}^{*} = \frac{\beta_i S}{\alpha_i\beta}\mbox{ , где }\ \beta = \sum\limits_{i=1}^{n}\beta_i.$$Максимальное значение целевой функции $$\mu$$ вычисляется по формуле
$$\mu = \left(\frac{S}{\beta}\right)^{\beta}\prod\limits_{i=1}^n\left(\frac{\beta_i}{\alpha_i}\right)^{\beta_i}.$$Прежде, чем привести следующий пример, поясним постановку прикладной задачи, которая в нем рассматривается.
В экономике широко применяются функции, выражающие технологическую зависимость между результатами деятельности производственного объекта и затратами факторов производства. Такие функции называются производственными функциями. Во многих экономических моделях используется производственная функция Кобба-Дугласа, которая задается формулой:
$$y=a_0 L^{a_1} K^{a_2},$$где $$y$$ - объем выпускаемого продукта,
$$a_{0},\ a_{1},\ a_{2}$$ - положительные константы,
$$L$$ - затраты на труд,
$$K$$ - затраты на капитальные ресурсы при производстве этого продукта.
Пример 5 Пусть зависимость выпуска продукта от ресурсов имеет вид производственной функции Кобба-Дугласа:
$$y=a_0 {K}^{a_1} {L}^{a_2}.$$Заданы цены ресурсов $$c_K$$ и $$c_L$$ и общий объем средств $$C$$ на выпуск продукции. Определим объемы ресурсов $$K$$ и $$L$$, при которых выпуск продукции максимален.
Математическая
при ограничениях
$${c_K} {K}+{c_L} {L}=C,\ K\geq 0,\ L\geq 0.$$Для решения этой задачи применим теорему 1 при $$n = 2$$, $$S=C$$, $$x_1 = K$$, $$x_2 = L$$, $$\beta_1 = a_1$$, $$\beta_2 = a_2$$, $$\alpha_1 = c_K$$, $$\alpha_2 = c_L$$.
Оптимальные количества потребляемых ресурсов $$K^*$$ и $$L^*$$ вычисляются по формулам (9):
$$K^* =\frac{a_1}{a_1+a_2}\times\frac{C}{c_K};\ L^* =\frac{a_2}{a_1+a_2}\times \frac{C}{c_L}\ .$$Максимальный выпуск продукции $$y^*$$ вычисляется по формуле (10):
$$y^*=a_0 \left(\frac{C}{a_1+a_2}\right)^{a_1+a_2}\left(\frac{a_1}{c_K}\right)^{a_1}\left(\frac{a_2}{c_L}\right)^{a_2}.$$Приведем теперь теорему, в которой речь идет об обратной задаче (см. [1]).
Теорема 2 Решением экстремальной задачи
$$\sum\limits_{i = 1}^{n}\alpha_{i}x_{i}\rightarrow \min$$при ограничениях
$$\prod\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{\beta_i}= P,$$ $$x_i> 0,\ x_i\in\mathbb{R},\ \ i = \overline{1,n},$$где
$$\alpha_i > 0,\ \beta_i >0,\ \beta_i\in\mathbb{R},\ \alpha_i\in\mathbb{R},\ i = \overline{1,n},$$является единственный вектор $$x^{*}$$ с компонентами
$$x_{i}^{*} = \frac{\beta_i}{\alpha_i} \left[P \prod\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{\alpha_i}{\beta_i}\right)^{\beta_i} \right]^{1/\beta} = \frac{\beta_i}{\alpha_i}\ \frac{\mu}{\beta},\mbox{ где }\ \beta = \sum\limits_{i=1}^{n}\beta_i.$$Минимум целевой функции $$\mu$$ вычисляется по формуле:
$$\mu = \beta \left[ P\prod\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{\alpha_i}{\beta_i}\right)^{\beta_i} \right]^{1/\beta}.$$В следующем примере рассмотрена задача, обратная к задаче из примера 5. Для ее решения используется теорема 2.
Пример 6 Найдем, при каких наименьших затратах на ресурсы будет достигнут заданный объем выпуска продукции.
В обозначениях примера 5 математическая модель этой задачи примет вид:
$$C={c_K} K +{c_L} L\rightarrow \min$$при ограничениях
$$a_0 {K}^{a_1} {L}^{a_2}=y,\ K\geq 0,\ L\geq 0.$$Преобразуем ограничение (13):
$${K}^{a_1} {L}^{a_2}= \frac{y}{a_0}\ .$$Для решения этой задачи воспользуемся теоремой 2 при $$n = 2$$, $$x_1 =K$$, $$x_2 = L$$, $$P=\frac{y}{a_0}$$, $$\alpha_1 = c_K$$, $$\alpha_2 = c_L$$, $$\beta_1 = a_1$$, $$\beta_2 = a_2$$.
Подставляя в формулу (11) значения параметров, получим оптимальные количества ресурсов:
$$K^* =\frac{a_1}{c_K}{\left[ \frac{y}{a_0}\left(\frac{c_K}{a_1}\right)^{a_1} % \left(\frac{c_L}{a_2}\right)^{a_2}\right] }^{\frac{1}{a_1+a_2}}= \left(\frac{y}{a_0}\right)^{\frac{1}{a_1+a_2}}c_K^{\frac{-a_2}{a_1+a_2}}% c_L^{\frac{a_2}{a_1+a_2}}a_{1}^{\frac{a_2}{a_1+a_2}}a_{2}^{\frac{-a_2}{a_1+a_2}} =$$ $$={\left( \frac{y}{a_0} \right) }^{\frac{1}{a_1+a_2}} \left( \frac{c_L}{c_K} \frac{a_1}{a_2}\right)^{\frac{a_2}{a_1+a_2}},$$ $$L^* =\frac{a_2}{c_L}{\left[ \frac{y}{a_0}\left(\frac{c_K}{a_1}\right)^{a_1} \left(\frac{c_L}{a_2}\right)^{a_2}\right] }^{\frac{1}{a_1+a_2}}=\left(\frac{y}{a_0}\right)^{\frac{1}{a_1+a_2}}c_K^{\frac{a_1}{a_1+a_2}}c_L^{\frac{-a_1}{a_1+a_2}}a_{1}^{\frac{-a_1}{a_1+a_2}}a_{2}^{\frac{a_1}{a_1+a_2}} =$$ $$= {\left(\frac{y}{a_0}\right)}^{\frac{1}{a_1+a_2}} \left(\frac{c_K}{c_L} \frac{a_2}{a_1}\right)^{\frac{a_1}{a_1+a_2}}.$$Наименьшие затраты $$C^*$$ на ресурсы вычисляются по формуле (12):
$$C^*=(a_1+a_2) \left(\frac{y}{a_0}\left( \frac{c_K}{a_1}\right)^{a_1}\left( \frac{c_L}{a_2}\right)^{a_2}\right)^{\frac{1}{a_1+a_2}}.$$В двух последних примерах использовалась функция Кобба-Дугласа
$$y(K,L)= a_0 {K}^{a_1} {L}^{a_2},$$принадлежащая классу функций, к описанию которого мы переходим.
Заметим, что в этой лекции мы пока не приводим формальную постановку задачи геометрического программирования, но все рассматриваемые в ней примеры являются таковыми задачами или сводятся к ней с помощью простых преобразований.
Мономом называется функция $$u(x)$$, которая определяется следующей формулой:
$$u(x)=c\prod\limits_{j=1}^{m}{x_{j}}^{a_{j}},\quad x_j>0,\ c >0, \ a_{j}\in \mathbb{R}.$$Таким образом, моном - это произведение положительного коэффициента $$c$$ и переменных $$x_j$$ в вещественных степенях $$a_{j}$$. Эти степени образуют вектор экспонент монома, который мы будем обозначать через $$a$$. Подчеркнем, что поскольку допускаются дробные и отрицательные показатели степеней, то область определения монома ограничена строго положительными вещественными числами.
Пример 7 Определим коэффициент и вектор экспонент следующего монома:
$$u(x) = 5x_{1}^{2}x_{2}^{-3}.$$В моном входят две переменные: $$x_1$$ и $$x_2$$.
Коэффициент монома: $$c = 5$$.
Вектор экспонент монома: $$a = (2,\ -3)$$.
Перечислим основные
Теперь мы переходим к описанию базового понятия в ГП - позиномам.
Позином называется
Позином можно рассматривать как сумму мономов $$u_{i}(x),\ i= \overline{1,n}$$. Коэффициенты $$c_i$$ называют вектором коэффициентов позинома. Естественно, что область определения позинома (также как у монома) ограничена строго положительными вещественными числами.
Показатели степени $$a_{ij}$$ принято записывать в виде матрицы $$A=\|a_{ij}\|$$, которую называют матрицей экспонент. Количество
строк в матрице $$A$$ равно числу мономов $$(n)$$, а количество столбцов -
числу переменных позинома $$(m)$$.
Значение элемента $$a_{ij}$$ равно степени (экспоненте) переменной $$x_j$$ в мономе $$u_i(x)$$
С целью записи формулы (15) в компактном виде введем следующее обозначение:
$$x^A=\left(\prod\limits_{j=1}^{m}{x_{j}}^{a_{1j}}, \prod\limits_{j=1}^{m}% {x_{j}}^{a_{2j}}, \ldots, \prod\limits_{j=1}^{m}{x_{j}}^{a_{nj}}\right).$$С учетом введенного обозначения формула (15) может быть переписана в следующем виде:
$$g(x)=cx^A,\ x>0.$$Обозначим через $$A_j$$ - столбец с номером $$j$$ матрицы $$A$$. Тогда формула
$$g_j(x_j)=cx_j^{A_j},\ x_j>0,\ j= \overline{1,m}$$определяет позиномы от одной переменной $$g_j(x_j)$$, которые называются компонентами позинома $$g(x)$$.
Перечислим основные
Раcсмотрим примеры позиномов.
Пример 8 Определим вектор коэффициентов и матрицу экспонент позинома
$$g(x) = 0.5x^{2} + x^{-3} + 6x^{4}.$$В позином входит одна переменная $$x$$. Позином состоит из трех мономов: $$u_1(x) = 0.5x^{2}$$, $$u_2(x) = x^{-3}$$, $$u_3(x) = 6x^{4}$$. Вектор коэффициентов: $$c = (0. 5, 1, 6)$$. Матрицей экспонент позинома является ( $$3\times 1$$ )-матрица
$$A=\left\| \begin{array}{r} 2 \\ -3 \\ 4\\ \end{array} \right\|.$$Пример 9 Определим вектор коэффициентов и матрицу экспонент позинома
$$g(x) = 4 x_{1}x_{2}^{3}x_{3}^{-2} + 6 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}^{2} + 3.8 x_{1}x_{2}^{-2}x_{3}^{-1} + x_{1}^{3}x_{2}x_{3}.$$В позином входят три переменные $$x_1, x_2, x_3$$. Позином состоит из четырех мономов:
$$u_1(x) = 4 x_{1}x_{2}^{3}x_{3}^{-2}, \\ u_2(x) = 6 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}^{2},\\ u_3(x) = 3.8 x_{1}x_{2}^{-2}x_{3}^{-1}, \\ u_4(x) = x_{1}^{3}x_{2}x_{3}.$$Вектор коэффициентов образован коэффициентами мономов: $$c = (4, 6, 3.8, 1)$$. Матрицей экспонент позинома является ( $$4\times 3$$ )- матрица
$$A=\left\| \begin{array}{rrr} 1 3 -2\\ -2 -1 2 \\ 1 -2 -1 \\ 3 1 1 \end{array} \right\|.$$Вектор коэффициентов позинома $$c$$ и матрица экспонент $$A$$ однозначно определяют позином по формуле (15). Рассмотрим примеры.
Пример 10 По вектору коэффициентов $$c=(7, 0.5, 1)$$ и матрице экспонент
$$A=\left\| \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ -3 \end{array} \right\|$$запишем позином в форме (15).
Применяем формулу (16):
$$g(x) = cx^A=(7, 0.5, 1) (x^{1}, x^{2}, x^{-3})=7 x + 0. 5 x^{2} + x^{-3}.$$Пример 11 По вектору коэффициентов $$c=(0.3, 0.2, 0.1, 1)$$ и матрице экспонент
$$A=\left\| \begin{array}{rrrr} -2 0 1 1 \\ 1 -2 0 1 \\ 0 1 0 -1 \\ 1 1 -1 -1 \end{array} \right\|.$$запишем позином в форме (15).
Применяем формулу (16):
$$g(x) = cx^A=(0.3, 0.2, 0.1, 1) (x_{1}^{-2}x_{2}^0x_{3}^1x_{4}^1, % x_{1}^1x_{2}^{-2}x_{3}^0x_{4}^1, x_{1}^0x_{2}^1x_{3}^0x_{4}^{-1}, x_{1}^1x_{2}^1x_{3}^{-1}x_{4}^{-1})=$$ $$=0.3 x_{1}^{-2}x_{3}x_{4} + 0.2 x_{1}x_{2}^{-2}x_{4} + 0.1 x_{2}x_{4}^{-1} + x_{1}x_{2}x_{3}^{-1}x_{4}^{-1}.\hphantom{g(x}$$Пример 12 Запишем компоненты позинома из примера 9:$$g(x) = 4 x_{1}x_{2}^{3}x_{3}^{-2} + 6 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}^{2} + 3.8 x_{1}x_{2}^{-2}x_{3}^{-1} + x_{1}^{3}x_{2}x_{3}.$$
В позином входят три переменные $$x_1,\ x_2,\ x_3$$, следовательно, позином состоит из трех компонент. Вектор коэффициентов $$c= (4, 6, 3.8, 1)$$. По формуле (17) определяем:
$$g_{1}(x_1) = c x_{1}^{A_1} = % (4, 6, 3.8, 1) (x_{1}^{1}, x_{1}^{-2}, x_{1}^{1}, x_{1}^{3}) = 4 x_{1}+6 x_{1}^{-2} + 3.8 x_{1}+x_{1}^{3},$$ $$g_{2}(x_2) = c x_{2}^{A_2} = % (4, 6, 3.8, 1) (x_2^{3}, x_{2}^{-1}, x_{2}^{-2}, x_{2}^{1}) = 4 x_{2}^{3}+6 x_{2}^{-1} + 3.8 x_{2}^{-2} + x_{2},$$ $$g_{3}(x_3) = c x_{3}^{A_3} = % (4, 6, 3.8, 1) (x_3^{-2}, x_{3}^{2}, x_{3}^{-1}, x_{3}^{1}) = 4 x_{3}^{-2}+6 x_{3}^{2} + 3.8 x_{3}^{-1}+ x_{3}.$$Следует заметить, что при помощи позиномов описывается большое число закономерностей и отношений, возникающих в различных областях, среди которых: оптимальное планирование, техническое проектирование, исследование химического равновесия, потоки в сетях, оптимальное управление, теория кодирования, управление запасами, системы связи, региональная экономика, автоматизированное проектирование, расчет рисков.
Все задачи оптимизации с позиномами можно разделить на два основных вида: задачи без ограничений, когда минимизируется один позином, и задачи с ограничениями, когда минимизируется некоторый позином, а значения других позиномов не должны превышать единицы. Однако существуют и другие виды задач оптимизации с позиномами. Некоторые из них мы рассмотрим в последующих лекциях.
Описаны истоки геометрического программирования, обозначены
основные сферы применения. Показана роль неравенства Коши и его
обобщения в построении начальной теории. Введены понятия монома и
позинома. Перечислены основные
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.