В средней школе рассматривались линейные уравнения ax=b и системы линейных уравнений$$\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
ax+by=e,\\
cx+dy=f,
\end{array}
\right.$$
где $$a, b, c, d, e, f \in R$$ - действительные числа.
В излагаемой теории систем линейных уравнений мы будем совершать с коэффициентами операции сложения и умножения, а также делить (т. е. умножать на обратный элемент) на ненулевой элемент. Таким образом, естественно рассматривать системы линейных уравнений с коэффициентами из произвольного поля K. Для понимания основных моментов теории систем линейных уравнений можно считать, что K - поле R действительных чисел.
Наша ближайшая цель - исследовать системы m линейных уравнений общего вида от n переменных x1, x2, x3,...,xn$$\begin{equation}\label{eq1.1}
\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1,\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2,\\
\dotfill\\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m,
\end{array}
\right.
\end{equation}$$
где $$m,n \in N$$, $$a_{ij},b_i \in K$$.
Таким образом, i -е уравнение, $$1\le i \le m$$, нашей системы записывается в виде ai1x1+ai2x2+ ... +ainxn=bi
( aij - коэффициент при переменной xj в i -м уравнении, bi - свободный член i -го уравнения), или, кратко,$$\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j=b_i.$$
Прямоугольная $$(m \times n)$$ - таблица коэффициентов $$a_{ij} \in K$$ ( m строк, n столбцов)$$A= \begin{pmatrix}
a_{11} a_{12} a_{13} ... a_{1n}\\
a_{21} a_{22} a_{23} ... a_{2n}\\
\hdotsfor{5}\\
a_{m1} a_{m2} a_{m3} ... a_{mn}
\end{pmatrix}$$
называется матрицей m строк, n+1 столбец)$$A(a_{ij}|b_i)=
\left(\left.
\begin{matrix}
a_{11} a_{12} a_{13} ... a_{1n}\\
a_{21} a_{22} a_{23} ... a_{2n}\\
\hdotsfor{5}\\
a_{m1} a_{m2} a_{m3} ... a_{mn}
\end{matrix}
\right|
\begin{matrix}
b_1\\
b_2\\
...\\
b_m
\end{matrix}
\right)$$
называется
Если m=n (число уравнений равно числу переменных), то система линейных уравнений (и матрица $$A=\left(
\begin{smallmatrix}
a_{11}... a_{1n}\\
\multispan{3}{\dotfill}\\
a_{n1}... a_{nn}
\end{smallmatrix}\right)$$
ее коэффициентов при переменных) называется квадратной.
В квадратной матрице$$\begin{pmatrix}
a_{11} ... a_{1n}\\
\hdotsfor{3}\\
a_{n1} ... a_{nn}
\end{pmatrix}$$
можно определить диагональ и b1=...=bm=0, то система называется
Определение 3.1.1. n элементов поля K (l1,...,ln), $$l_i \in K$$, такая, что при подстановке в i -е уравнение, $$1\leq i \leq m$$, l1 вместо x1, l2 вместо x2,...,li вместо xi,...,ln вместо xn получаем bi (свободный член i -го уравнения), т. е.$$\sum_{j=1}^{n} a_{ij}l_j=b_i.$$
Таким образом, строчка (l1, ..., ln) является решением, если значения l1, ..., ln соответственно для x1, ..., xn удовлетворяют всем m уравнениям системы (3.1).
Через X обозначим совокупность всех решений системы линейных уравнений (3.1).
Замечание 3.1.2.
Kn всех строк длины n элементов из поля K ).|X|=1 ), то система называется |X| > 1, то совместная система называется
| Число решений | ||
0 |
1 |
>1 |
| Система несовместная, $$X=\varnothing$$ | Система определенная, |X|=1 |
Система неопределенная, |X|>1 |
| Примеры | ||
| $$\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
x_1+x_2=0,\\
x_1+x_2=1
\end{array}
\right$$. $$X=\varnothing$$ несовместная с. л. у. |
$$\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
x_1+x_2=1,\\
x_1-x_2=0
\end{array}
\right$$. $$X=\left\{\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\right\}$$ $$|X|=1$$ определенная с. л. у. |
$$\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
x_1+x_2=1
\end{array}
\right$$. $$x_2=c\in K$$, $$x_1=1-c$$ $$X=\{ (1-c,c)\mid\allowbreak c \in K \}$$ $$|X|=|K|>1$$ неопределенная с. л. у. |
Основная задача исследования систем линейных уравнений (3.1) заключается в описании (нахождении) множества решений $$X \subseteq K^n$$ (в частности, определения, к какому типу принадлежит система (3.1): несовместная, определенная, неопределенная).
Две системы линейных уравнений от одного набора x1,..., xn неизвестных и соответственно из m и p уравнений$$\begin{alignat*}{2} (\textbf{I})
\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n=b_1,\\
\dotfill\\
a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n=b_m,
\end{array}
\right.\\[2mm] (\textbf{II}) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
a'_{11}x_1+...+a'_{1n}x_n=b'_1,\\
\dotfill\\
a'_{p1}x_1+...+a'_{pn}x_n=b'_p
\end{array}
\right.
\end{alignat*}$$
называются эквивалентными, если их множества решений $$X_{\textbf{I}}$$ и $$X_{\textbf{II}}$$ совпадают (т. е. подмножества $$X_{\textbf{I}}$$ и $$X_{\textbf{II}}$$ в Kn совпадают, $$X_{\textbf{I}}=X_{\textbf{II}}$$ ). Это означает, что: либо они одновременно являются пустыми подмножествами $$X_{\textbf{I}}=\varnothing=X_{\textbf{II}}$$ (т. е. обе системы (I) и (II) несовместны), либо они одновременно непустые $$X_{\textbf{I}} \ne \varnothing$$, $$X_{\textbf{II}} \ne \varnothing$$ и $$X_{\textbf{I}}=X_{\textbf{II}}$$ (т. е. каждое решение системы I является решением системы II и каждое решение системы II является решением системы I).
Пример 3.2.1.
x1,...,xn эквивалентны (в этом случае $$X_1=\varnothing=X_2$$ ).K= R ), поскольку$$X_{\textbf{I}}=\left\{\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\right\}= X_{\textbf{II}}.$$
План алгоритма, предложенного Гауссом, был весьма прост:
Отметим, что близкий метод "фан-чен" был известен уже в древнекитайской математике.
Определение 3.4.1 (элементарное преобразование 1-го типа). При $$i\ne k$$ к i -му уравнению системы прибавляется k -е уравнение, умноженное на число $$c \in K$$ (обозначение: (i)'=(i)+c(k) ; т. е. лишь одно i -е уравнение (i) заменяется на новое уравнение (i)'=(i)+c(k) ). Новое i -е уравнение имеет вид (ai1+cak1)x1+...+(ain+cakn)xn=bi+cbk,
или, кратко,$$\sum_{j=1}^{n}a_{ij}'x_j=\sum_{j=1}^{n}(a_{ij}+ca_{kj})x_j=b_i+cb_k=b_i',$$
т. е. в новом i -м уравнении aij'=aij+cakj, bi'=bi+cbk.
Определение 3.4.2 (элементарное преобразование 2-го типа). При $$i\ne k$$ i -е и k -е уравнение меняются местами, остальные уравнения не изменяются (обозначение: (i)'=(k), (k)'=(i) ; для коэффициентов это означает следующее: для j=1,...,n$$a_{ij}'=a_{kj},\quad b_i'=b_k;\qquad a_{kj}'=a_{ij},\quad b_k'=b_i).$$
Замечание 3.4.3. Для удобства в конкретных вычислениях можно применять элементарное преобразование 3-го типа: i -е уравнение умножается на ненулевое число $$0 \ne c \in K$$, (i)'=c(i).
Предложение 3.4.4. Если от системы I мы перешли к системе II при помощи конечного числа элементарных преобразований 1-го и 2-го типа, то от системы II можно вернуться к системе I также элементарными преобразованиями 1-го и 2-го типа.
Доказательство.
(i)'=(i)+c(k), то (k)'=(k), (i)=(i)'-c(k)=(i)'-c(k)'.(i)'=(k), (k)'=(i), то (i)=(k)', (k)=(i)'.Замечание 3.4.5. Утверждение верно и с включением в число элементарных преобразований элементарного преобразования 3-го типа. Если $$0 \ne c \in K$$ и (i)'=c(i), то $$0 \ne c^{-1} \in K$$ и (i)=c-1(i)'.
Теорема 3.4.6.После последовательного применения конечного числа элементарных преобразований 1-го или 2-го типа к системе линейных уравнений получается система линейных уравнений, эквивалентная первоначальной.
Доказательство. Заметим, что достаточно рассмотреть случай перехода от системы I к системе II при помощи одного элементарного преобразования и доказать для множеств решений включение $$X_{\textbf{I}} \subseteq X_{\textbf{II}}$$ (поскольку в силу доказанного предложения от системы II можно вернуться к системе I и поэтому будем иметь включение $$X_{\textbf{II}} \subseteq X_{\textbf{I}}$$, т. е. будет доказано равенство $$X_{\textbf{I}}=X_{\textbf{II}}$$ ).
Случай 1, элементарное преобразование 1-го типа: (i)'=(i)+c(k), $$i \ne k$$. Пусть $$l=(l_1,...,l_n)\in X_{\textbf{I}}$$ - решение первой системы. Проверим, что оно удовлетворяет новому i -му уравнению:$$\sum_{j=1}^n(a_{ij}+ca_{kj})l_j=b_i+cb_k.$$
Действительно,$$\sum_{j=1}^n(a_{ij}+ca_{kj})l_j= \sum^n_{j=1}a_{ij}l_j+c\sum^n_{j=1}a_{kj}l_j=b_i+cb_k.$$
Случай 2, элементарное преобразование 2-го типа: (i)'=(k), (k)'=(i), $$i \ne k$$. Утверждение очевидно.
Замечание 3.4.7. Утверждение верно и для элементарного преобразования 3-го типа: (i)'=c(i), $$c \ne 0$$. Действительно, подставляя решение $$(l_1,...,l_n)\in X_{\textbf{I}}$$ в новое i -е уравнение$$\sum^n_{j=1}ca_{ij}x_j=cb_i,$$
получаем$$\sum^n_{j=1}ca_{ij}l_j=c\biggl(\sum^n_{j=1}a_{ij}l_j\biggr)=cb_i.$$
Определение 3.5.1 (определение ступенчатой матрицы (системы)). Под ступенчатой системой линейных уравнений понимается система линейных уравнений со ступенчатой матрицей коэффициентов, т. е.:
(0,...,0,aik,...,ain), $$a_{ik}\ne0$$ - первый ненулевой элемент в i -й строке (называемый лидером i -й строки), то ars=0 для всех $$i<r \le m$$, $$1 \le s \le k$$ (элементы ars=0 для всех мест (r,s), расположенных в строчках, ниже i -й, и в столбцах s=1,2,...,k ). Другими словами, лидер строки с большим номером стоит строго правее.Определение 3.5.2. Ненулевая матрица $$A\in\mM_{m,n}(K)$$ имеет главный ступенчатый вид, если матрица A имеет ступенчатый вид, все лидеры ненулевых строк $$a_{1l_1},a_{2l_2},...,a_{rl_r}$$ ( $$1 \leq l_1<...<l_r \leq n$$ ) равны 1 и для каждого j, $$1 \leq j \leq r$$, в lj -м столбце матрицы A единственный ненулевой элемент - это $$a_{jl_j}=1$$.
Примеры 3.5.3. Матрица$$\begin{pmatrix} \boldsymbol{1} 1 2 1\\ 0 0 \boldsymbol{1} 0\\ 0 0 0 0 \end{pmatrix}$$ имеет ступенчатый вид (выделены лидеры строк), но не главный ступенчатый вид.
Матрица$$\begin{pmatrix} \boldsymbol{1} 1 0 1\\ 0 0 \boldsymbol{1} 0\\ 0 0 0 0 \end{pmatrix}$$ имеет главный ступенчатый вид.
Нулевая матрица имеет ступенчатый вид.
Матрица$$\begin{pmatrix} 0 0 0\\ \boldsymbol{1} 0 1\\ 0 0 \boldsymbol{1} \end{pmatrix}$$ не является ступенчатой (нулевая строка находится выше ненулевых строк).
Матрицы$$\begin{pmatrix} \boldsymbol{1} 1 0 1\\ 0 0 0 \boldsymbol{1}\\ 0 \boldsymbol{1} 0 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \boldsymbol{1} 1 0 1\\ 0 0 0 \boldsymbol{1}\\ 0 0 0 \boldsymbol{1} \end{pmatrix}$$ не являются ступенчатыми (лидер третьей строки находится не строго правее, чем лидер второй строки).
Замечание 3.5.4. Свойство быть ступенчатой матрицей алгоритмически (с помощью компьютера) распознаваемо.
Лемма 3.5.5. Пусть $$\alpha=(a_1,a_2,...,a_n), \beta=(b_1,b_2,...,b_n)\in K^n$$, ak - лидер строки $$\alpha$$, bl - лидер строки $$\beta$$, $$k \leq l$$, cm - лидер строки $$\alpha+\beta=(c_1,...,c_n)$$, ci=ai+bi, $$1 \leq i \leq n$$. Тогда:
k<m, то k=l.Доказательство.
bk=-ak, то ak+bk=0, и тогда k<m ).k<m. Если k<l, то bk=0,$$\alpha+\beta=(0,...,0,a_k,...,a_n+b_n),\quad a_k\neq 0,$$
и поэтому k = m, что противоречит k<m.Итак, k=l.
Следствие 3.5.6. Пусть $$\alpha,\beta_1,...,\beta_m\in K^n$$, $$\alpha=(a_1,...,a_n)$$, $$\beta_i=(b_{i1},...,b_{in})$$, $$1 \leq i \leq m$$, $$\alpha=\sum\limits_{j=1}^m \lambda_j\beta_j$$, $$\lambda_j\in K$$, $$a_k$$ - лидер строки $$\alpha$$, $$b_{l_i}$$ - лидер строки $$\beta_i$$. Тогда $$k \geq \min\{l_i\}$$.
Теорема 3.5.7 (алгоритм Гаусса). Всякую систему линейных уравнений конечным числом элементарных преобразований 1-го и 2-го типов можно привести к ступенчатому виду (т. е. к системе линейных уравнений, матрица коэффициентов которой является ступенчатой матрицей).
Доказательство. Можно считать, что не все коэффициенты aij равны нулю и, более того, что при x_1 (т. е. в первом столбце матрицы коэффициентов) есть ненулевой элемент $$a_{j1} \ne 0$$ (в противном случае можно перейти к системе от переменных x2,...,xn ). Если a11=0, то, переставляя 1 -е и j -е уравнения (строки расширенной матрицы) (т. е. совершая преобразование 2-го типа), приходим к случаю, когда $$a_{11}'\ne 0$$.
Для i=2,3,...,m последовательно проведем преобразования 1-го типа$$(i)'=(i)-\frac{a_{i1}}{a_{11}}(1)$$
(здесь $$c=-\frac{a_{i1}}{a_{11}}$$ ). Тогда$$a_{i1}'=a_{i1}-\frac{a_{i1}}{a_{11}}a_{11}=0.$$
Рассматривая получившиеся $$2\text{-е},...,m\text{-е}$$ уравнения, если среди коэффициентов есть ненулевые (пусть k - первый столбец с ненулевым элементом alk' среди a2k',...,amk' ), повторим нашу процедуру: переставим второе уравнение (строку) с l -м уравнением (строкой) и обеспечим нули ниже коэффициента a2k'.
Этот процесс остановится в том случае, когда все коэффициенты при переменных в оставшихся уравнениях равны нулю.
Итак, окончательная получившаяся система линейных уравнений будет иметь ступенчатый вид (т. е. матрица коэффициентов при переменных x1,x2,...,xn будет иметь ступенчатый вид).
Замечания 3.5.8.
r уравнений в ступенчатом виде с ненулевыми коэффициентами при переменных, т. е. число "ступенек", $$r\le m$$. Возможен случай r=m (т. е. блок уравнений с нулевыми коэффициентами при x1,...,xn отсутствует). Независимость числа r от способа приведения к ступенчатому виду будет установлена позже (это - ранг матрицы коэффициентов).Следствие 3.5.9. Всякая система линейных уравнений эквивалентна некоторой ступенчатой системе линейных уравнений.
Следствие 3.5.10. Каждую матрицу элементарными преобразованиями строк 1-го и 2-го типа можно привести к ступенчатому виду.
В средней школе рассматривались линейные уравнения ax=b и системы линейных уравнений$$\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
ax+by=e,\\
cx+dy=f,
\end{array}
\right.$$
где $$a, b, c, d, e, f \in R$$ - действительные числа.
В излагаемой теории систем линейных уравнений мы будем совершать с коэффициентами операции сложения и умножения, а также делить (т. е. умножать на обратный элемент) на ненулевой элемент. Таким образом, естественно рассматривать системы линейных уравнений с коэффициентами из произвольного поля K. Для понимания основных моментов теории систем линейных уравнений можно считать, что K - поле R действительных чисел.
Наша ближайшая цель - исследовать системы m линейных уравнений общего вида от n переменных x1, x2, x3,...,xn$$\begin{equation}\label{eq1.1}
\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1,\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2,\\
\dotfill\\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m,
\end{array}
\right.
\end{equation}$$
где $$m,n \in N$$, $$a_{ij},b_i \in K$$.
Таким образом, i -е уравнение, $$1\le i \le m$$, нашей системы записывается в виде ai1x1+ai2x2+ ... +ainxn=bi
( aij - коэффициент при переменной xj в i -м уравнении, bi - свободный член i -го уравнения), или, кратко,$$\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j=b_i.$$
Прямоугольная $$(m \times n)$$ - таблица коэффициентов $$a_{ij} \in K$$ ( m строк, n столбцов)$$A= \begin{pmatrix}
a_{11} a_{12} a_{13} ... a_{1n}\\
a_{21} a_{22} a_{23} ... a_{2n}\\
\hdotsfor{5}\\
a_{m1} a_{m2} a_{m3} ... a_{mn}
\end{pmatrix}$$
называется матрицей m строк, n+1 столбец)$$A(a_{ij}|b_i)=
\left(\left.
\begin{matrix}
a_{11} a_{12} a_{13} ... a_{1n}\\
a_{21} a_{22} a_{23} ... a_{2n}\\
\hdotsfor{5}\\
a_{m1} a_{m2} a_{m3} ... a_{mn}
\end{matrix}
\right|
\begin{matrix}
b_1\\
b_2\\
...\\
b_m
\end{matrix}
\right)$$
называется
Если m=n (число уравнений равно числу переменных), то система линейных уравнений (и матрица $$A=\left(
\begin{smallmatrix}
a_{11}... a_{1n}\\
\multispan{3}{\dotfill}\\
a_{n1}... a_{nn}
\end{smallmatrix}\right)$$
ее коэффициентов при переменных) называется квадратной.
В квадратной матрице$$\begin{pmatrix}
a_{11} ... a_{1n}\\
\hdotsfor{3}\\
a_{n1} ... a_{nn}
\end{pmatrix}$$
можно определить диагональ и b1=...=bm=0, то система называется
Определение 3.1.1. n элементов поля K (l1,...,ln), $$l_i \in K$$, такая, что при подстановке в i -е уравнение, $$1\leq i \leq m$$, l1 вместо x1, l2 вместо x2,...,li вместо xi,...,ln вместо xn получаем bi (свободный член i -го уравнения), т. е.$$\sum_{j=1}^{n} a_{ij}l_j=b_i.$$
Таким образом, строчка (l1, ..., ln) является решением, если значения l1, ..., ln соответственно для x1, ..., xn удовлетворяют всем m уравнениям системы (3.1).
Через X обозначим совокупность всех решений системы линейных уравнений (3.1).
Замечание 3.1.2.
Kn всех строк длины n элементов из поля K ).|X|=1 ), то система называется |X| > 1, то совместная система называется
| Число решений | ||
0 |
1 |
>1 |
| Система несовместная, $$X=\varnothing$$ | Система определенная, |X|=1 |
Система неопределенная, |X|>1 |
| Примеры | ||
| $$\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
x_1+x_2=0,\\
x_1+x_2=1
\end{array}
\right$$. $$X=\varnothing$$ несовместная с. л. у. |
$$\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
x_1+x_2=1,\\
x_1-x_2=0
\end{array}
\right$$. $$X=\left\{\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\right\}$$ $$|X|=1$$ определенная с. л. у. |
$$\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
x_1+x_2=1
\end{array}
\right$$. $$x_2=c\in K$$, $$x_1=1-c$$ $$X=\{ (1-c,c)\mid\allowbreak c \in K \}$$ $$|X|=|K|>1$$ неопределенная с. л. у. |
Основная задача исследования систем линейных уравнений (3.1) заключается в описании (нахождении) множества решений $$X \subseteq K^n$$ (в частности, определения, к какому типу принадлежит система (3.1): несовместная, определенная, неопределенная).
Две системы линейных уравнений от одного набора x1,..., xn неизвестных и соответственно из m и p уравнений$$\begin{alignat*}{2} (\textbf{I})
\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n=b_1,\\
\dotfill\\
a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n=b_m,
\end{array}
\right.\\[2mm] (\textbf{II}) \quad \left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
a'_{11}x_1+...+a'_{1n}x_n=b'_1,\\
\dotfill\\
a'_{p1}x_1+...+a'_{pn}x_n=b'_p
\end{array}
\right.
\end{alignat*}$$
называются эквивалентными, если их множества решений $$X_{\textbf{I}}$$ и $$X_{\textbf{II}}$$ совпадают (т. е. подмножества $$X_{\textbf{I}}$$ и $$X_{\textbf{II}}$$ в Kn совпадают, $$X_{\textbf{I}}=X_{\textbf{II}}$$ ). Это означает, что: либо они одновременно являются пустыми подмножествами $$X_{\textbf{I}}=\varnothing=X_{\textbf{II}}$$ (т. е. обе системы (I) и (II) несовместны), либо они одновременно непустые $$X_{\textbf{I}} \ne \varnothing$$, $$X_{\textbf{II}} \ne \varnothing$$ и $$X_{\textbf{I}}=X_{\textbf{II}}$$ (т. е. каждое решение системы I является решением системы II и каждое решение системы II является решением системы I).
Пример 3.2.1.
x1,...,xn эквивалентны (в этом случае $$X_1=\varnothing=X_2$$ ).K= R ), поскольку$$X_{\textbf{I}}=\left\{\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\right\}= X_{\textbf{II}}.$$
План алгоритма, предложенного Гауссом, был весьма прост:
Отметим, что близкий метод "фан-чен" был известен уже в древнекитайской математике.
Определение 3.4.1 (элементарное преобразование 1-го типа). При $$i\ne k$$ к i -му уравнению системы прибавляется k -е уравнение, умноженное на число $$c \in K$$ (обозначение: (i)'=(i)+c(k) ; т. е. лишь одно i -е уравнение (i) заменяется на новое уравнение (i)'=(i)+c(k) ). Новое i -е уравнение имеет вид (ai1+cak1)x1+...+(ain+cakn)xn=bi+cbk,
или, кратко,$$\sum_{j=1}^{n}a_{ij}'x_j=\sum_{j=1}^{n}(a_{ij}+ca_{kj})x_j=b_i+cb_k=b_i',$$
т. е. в новом i -м уравнении aij'=aij+cakj, bi'=bi+cbk.
Определение 3.4.2 (элементарное преобразование 2-го типа). При $$i\ne k$$ i -е и k -е уравнение меняются местами, остальные уравнения не изменяются (обозначение: (i)'=(k), (k)'=(i) ; для коэффициентов это означает следующее: для j=1,...,n$$a_{ij}'=a_{kj},\quad b_i'=b_k;\qquad a_{kj}'=a_{ij},\quad b_k'=b_i).$$
Замечание 3.4.3. Для удобства в конкретных вычислениях можно применять элементарное преобразование 3-го типа: i -е уравнение умножается на ненулевое число $$0 \ne c \in K$$, (i)'=c(i).
Предложение 3.4.4. Если от системы I мы перешли к системе II при помощи конечного числа элементарных преобразований 1-го и 2-го типа, то от системы II можно вернуться к системе I также элементарными преобразованиями 1-го и 2-го типа.
Доказательство.
(i)'=(i)+c(k), то (k)'=(k), (i)=(i)'-c(k)=(i)'-c(k)'.(i)'=(k), (k)'=(i), то (i)=(k)', (k)=(i)'.Замечание 3.4.5. Утверждение верно и с включением в число элементарных преобразований элементарного преобразования 3-го типа. Если $$0 \ne c \in K$$ и (i)'=c(i), то $$0 \ne c^{-1} \in K$$ и (i)=c-1(i)'.
Теорема 3.4.6.После последовательного применения конечного числа элементарных преобразований 1-го или 2-го типа к системе линейных уравнений получается система линейных уравнений, эквивалентная первоначальной.
Доказательство. Заметим, что достаточно рассмотреть случай перехода от системы I к системе II при помощи одного элементарного преобразования и доказать для множеств решений включение $$X_{\textbf{I}} \subseteq X_{\textbf{II}}$$ (поскольку в силу доказанного предложения от системы II можно вернуться к системе I и поэтому будем иметь включение $$X_{\textbf{II}} \subseteq X_{\textbf{I}}$$, т. е. будет доказано равенство $$X_{\textbf{I}}=X_{\textbf{II}}$$ ).
Случай 1, элементарное преобразование 1-го типа: (i)'=(i)+c(k), $$i \ne k$$. Пусть $$l=(l_1,...,l_n)\in X_{\textbf{I}}$$ - решение первой системы. Проверим, что оно удовлетворяет новому i -му уравнению:$$\sum_{j=1}^n(a_{ij}+ca_{kj})l_j=b_i+cb_k.$$
Действительно,$$\sum_{j=1}^n(a_{ij}+ca_{kj})l_j= \sum^n_{j=1}a_{ij}l_j+c\sum^n_{j=1}a_{kj}l_j=b_i+cb_k.$$
Случай 2, элементарное преобразование 2-го типа: (i)'=(k), (k)'=(i), $$i \ne k$$. Утверждение очевидно.
Замечание 3.4.7. Утверждение верно и для элементарного преобразования 3-го типа: (i)'=c(i), $$c \ne 0$$. Действительно, подставляя решение $$(l_1,...,l_n)\in X_{\textbf{I}}$$ в новое i -е уравнение$$\sum^n_{j=1}ca_{ij}x_j=cb_i,$$
получаем$$\sum^n_{j=1}ca_{ij}l_j=c\biggl(\sum^n_{j=1}a_{ij}l_j\biggr)=cb_i.$$
Определение 3.5.1 (определение ступенчатой матрицы (системы)). Под ступенчатой системой линейных уравнений понимается система линейных уравнений со ступенчатой матрицей коэффициентов, т. е.:
(0,...,0,aik,...,ain), $$a_{ik}\ne0$$ - первый ненулевой элемент в i -й строке (называемый лидером i -й строки), то ars=0 для всех $$i<r \le m$$, $$1 \le s \le k$$ (элементы ars=0 для всех мест (r,s), расположенных в строчках, ниже i -й, и в столбцах s=1,2,...,k ). Другими словами, лидер строки с большим номером стоит строго правее.Определение 3.5.2. Ненулевая матрица $$A\in\mM_{m,n}(K)$$ имеет главный ступенчатый вид, если матрица A имеет ступенчатый вид, все лидеры ненулевых строк $$a_{1l_1},a_{2l_2},...,a_{rl_r}$$ ( $$1 \leq l_1<...<l_r \leq n$$ ) равны 1 и для каждого j, $$1 \leq j \leq r$$, в lj -м столбце матрицы A единственный ненулевой элемент - это $$a_{jl_j}=1$$.
Примеры 3.5.3. Матрица$$\begin{pmatrix} \boldsymbol{1} 1 2 1\\ 0 0 \boldsymbol{1} 0\\ 0 0 0 0 \end{pmatrix}$$ имеет ступенчатый вид (выделены лидеры строк), но не главный ступенчатый вид.
Матрица$$\begin{pmatrix} \boldsymbol{1} 1 0 1\\ 0 0 \boldsymbol{1} 0\\ 0 0 0 0 \end{pmatrix}$$ имеет главный ступенчатый вид.
Нулевая матрица имеет ступенчатый вид.
Матрица$$\begin{pmatrix} 0 0 0\\ \boldsymbol{1} 0 1\\ 0 0 \boldsymbol{1} \end{pmatrix}$$ не является ступенчатой (нулевая строка находится выше ненулевых строк).
Матрицы$$\begin{pmatrix} \boldsymbol{1} 1 0 1\\ 0 0 0 \boldsymbol{1}\\ 0 \boldsymbol{1} 0 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \boldsymbol{1} 1 0 1\\ 0 0 0 \boldsymbol{1}\\ 0 0 0 \boldsymbol{1} \end{pmatrix}$$ не являются ступенчатыми (лидер третьей строки находится не строго правее, чем лидер второй строки).
Замечание 3.5.4. Свойство быть ступенчатой матрицей алгоритмически (с помощью компьютера) распознаваемо.
Лемма 3.5.5. Пусть $$\alpha=(a_1,a_2,...,a_n), \beta=(b_1,b_2,...,b_n)\in K^n$$, ak - лидер строки $$\alpha$$, bl - лидер строки $$\beta$$, $$k \leq l$$, cm - лидер строки $$\alpha+\beta=(c_1,...,c_n)$$, ci=ai+bi, $$1 \leq i \leq n$$. Тогда:
k<m, то k=l.Доказательство.
bk=-ak, то ak+bk=0, и тогда k<m ).k<m. Если k<l, то bk=0,$$\alpha+\beta=(0,...,0,a_k,...,a_n+b_n),\quad a_k\neq 0,$$
и поэтому k = m, что противоречит k<m.Итак, k=l.
Следствие 3.5.6. Пусть $$\alpha,\beta_1,...,\beta_m\in K^n$$, $$\alpha=(a_1,...,a_n)$$, $$\beta_i=(b_{i1},...,b_{in})$$, $$1 \leq i \leq m$$, $$\alpha=\sum\limits_{j=1}^m \lambda_j\beta_j$$, $$\lambda_j\in K$$, $$a_k$$ - лидер строки $$\alpha$$, $$b_{l_i}$$ - лидер строки $$\beta_i$$. Тогда $$k \geq \min\{l_i\}$$.
Теорема 3.5.7 (алгоритм Гаусса). Всякую систему линейных уравнений конечным числом элементарных преобразований 1-го и 2-го типов можно привести к ступенчатому виду (т. е. к системе линейных уравнений, матрица коэффициентов которой является ступенчатой матрицей).
Доказательство. Можно считать, что не все коэффициенты aij равны нулю и, более того, что при x_1 (т. е. в первом столбце матрицы коэффициентов) есть ненулевой элемент $$a_{j1} \ne 0$$ (в противном случае можно перейти к системе от переменных x2,...,xn ). Если a11=0, то, переставляя 1 -е и j -е уравнения (строки расширенной матрицы) (т. е. совершая преобразование 2-го типа), приходим к случаю, когда $$a_{11}'\ne 0$$.
Для i=2,3,...,m последовательно проведем преобразования 1-го типа$$(i)'=(i)-\frac{a_{i1}}{a_{11}}(1)$$
(здесь $$c=-\frac{a_{i1}}{a_{11}}$$ ). Тогда$$a_{i1}'=a_{i1}-\frac{a_{i1}}{a_{11}}a_{11}=0.$$
Рассматривая получившиеся $$2\text{-е},...,m\text{-е}$$ уравнения, если среди коэффициентов есть ненулевые (пусть k - первый столбец с ненулевым элементом alk' среди a2k',...,amk' ), повторим нашу процедуру: переставим второе уравнение (строку) с l -м уравнением (строкой) и обеспечим нули ниже коэффициента a2k'.
Этот процесс остановится в том случае, когда все коэффициенты при переменных в оставшихся уравнениях равны нулю.
Итак, окончательная получившаяся система линейных уравнений будет иметь ступенчатый вид (т. е. матрица коэффициентов при переменных x1,x2,...,xn будет иметь ступенчатый вид).
Замечания 3.5.8.
r уравнений в ступенчатом виде с ненулевыми коэффициентами при переменных, т. е. число "ступенек", $$r\le m$$. Возможен случай r=m (т. е. блок уравнений с нулевыми коэффициентами при x1,...,xn отсутствует). Независимость числа r от способа приведения к ступенчатому виду будет установлена позже (это - ранг матрицы коэффициентов).Следствие 3.5.9. Всякая система линейных уравнений эквивалентна некоторой ступенчатой системе линейных уравнений.
Следствие 3.5.10. Каждую матрицу элементарными преобразованиями строк 1-го и 2-го типа можно привести к ступенчатому виду.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.