Систематическое рассмотрение строки коэффициентов $$(a_{i1},...,a_{in})\in K^n$$ i -го уравнения ai1x1+...+ainxn=bi ( i -я строка матрицы A=(aij) i -го уравнения (включая свободный член bi i -й строки K естественно подвело нас к определению линейного пространства строк Kn.
Пусть K - поле (например, K= R - поле действительных чисел). Рассмотрим$$K^n= \{(\alpha_1,...,\alpha_n)\mid \alpha_i\in K\} \text{ -}$$
совокупность всех упорядоченных строк $$\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)$$ длины n элементов $$\alpha_i$$, i=1,...,n, поля K. На множестве Kn определены следующие операции.
(1.1) Ассоциативность
Действительно, на i -м месте в $$(\alpha+\beta)+\gamma$$ и в $$\alpha+(\beta+\gamma)$$ имеем $$(\alpha_i+\beta_i)+\gamma_i=\alpha_i+(\beta_i+\gamma_i)$$ (ассоциативность сложения в поле K ).
(1.2) Коммутативность
Действительно, на i -м месте в $$\alpha+\beta$$ и в $$\beta+\alpha$$ имеем $$\alpha_i+\beta_i=\beta_i+\alpha_i$$ (коммутативность сложения в поле K ).
(1.3) Нулевая строка (0,...,0) в Kn является нейтральным элементом для операции сложения в Kn, поскольку $$(\alpha_1,...,\alpha_n)+(0,...,0)=(\alpha_1,...,\alpha_n)$$ для любой строки $$(\alpha_1,...,\alpha_n)\in K^n$$.
(1.4) Для любой строки $$\alpha\in K^n$$ существует противоположная строка $$\delta$$ такая, что $$\alpha+\delta=(0,...,0)$$.
Действительно, если $$\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)$$, то для $$\delta=(-\alpha_1,...,-\alpha_n)$$ ( $${}=(-1)\alpha$$ ) имеем $$\alpha+\delta=(0,...,0)$$.
Таким образом, свойства (1.1)-(1.4) означают, что множество строк Kn с операцией
(2.1) Если $$1\in K$$, $$\alpha\in K^n$$, то $$1\cdot\alpha=\alpha$$.
Действительно, для $$\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)$$ имеем $$1\cdot\alpha=(1\alpha_1,...,1\alpha_n)=(\alpha_1,...,\alpha_n)= \alpha$$.
(2.2) Если $$\lambda_1,\lambda_2\in K$$, $$\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)\in K^n$$, то $$\lambda_1(\lambda_2\alpha)=(\lambda_1\lambda_2)\alpha$$.
Действительно, для $$\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)\in K^n$$ на i -м месте в $$\lambda_1(\lambda_2\alpha)$$ и в $$(\lambda_1\lambda_2)\alpha$$ имеем $$\lambda_1(\lambda_2\alpha_i)=(\lambda_1\lambda_2)\alpha_i$$ (ассоциативность умножения в поле K ).
(3.1) Если $$\lambda\in K$$, $$\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n), \beta=(\beta_1,...,\beta_n)\in K^n$$, то $$\lambda(\alpha+\beta)=\lambda\alpha+\lambda\beta$$.
Действительно, на i -м месте в $$\lambda(\alpha+\beta)$$ и в $$\lambda\alpha+\lambda\beta$$ имеем $$\lambda(\alpha_i+\beta_i)=\lambda\alpha_i+\lambda\beta_i$$ (дистрибутивность в поле K ).
(3.2) Если $$\lambda_1,\lambda_2\in K$$, $$\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)\in K^n$$, то $$(\lambda_1+\lambda_2)\alpha=\lambda_1\alpha+\lambda_2\alpha$$.
Действительно, на i -м месте в $$(\lambda_1+\lambda_2)\alpha$$ и в $$\lambda_1\alpha+\lambda_2\alpha$$ имеем $$(\lambda_1+\lambda_2)\alpha_i=\lambda_1\alpha_i+\lambda_2\alpha_i$$ (дистрибутивность в поле K ).
Определение 4.1.1. V с операцией сложения и операциями умножения на элементы $$\lambda$$ поля K, удовлетворяющее свойствам (1.1)-(1.4), (2.1), (2.2), (3.1), (3.2), называется K
Итогом наших проверок является
Теорема 4.1.2. Множество Kn строк длины n элементов поля K с операцией сложения и с операциями умножения на элементы $$\lambda$$ поля K является линейным пространством над полем K.
Определение 4.1.3.
Лемма 4.1.4. Если $$\alpha_1,...,\alpha_m\in K^n$$, то линейная оболочка $$\langle \alpha_1,...,\alpha_m\rangle$$ является линейным пространством (подпространством в линейном пространстве строк Kn ).
Доказательство. Для $$\lambda_i,\gamma_i\in K$$ имеем:$$\begin{gathe} \sum\limits_{i=1}^{m}\lambda_i\alpha_i+ \sum\limits_{i=1}^{m}\gamma_i\alpha_i= \sum\limits_{i=1}^{m}(\lambda_i+\gamma_i)\alpha_i\in \langle \alpha_1,...,\alpha_m\rangle; \\ 0=\sum\limits_{i=1}^{m}0\cdot \alpha_i\in \langle \alpha_1,...,\alpha_m\rangle; \\ -\biggl(\,\sum\limits_{i=1}^{m}\lambda_i\alpha_i\biggr)= \sum\limits_{i=1}^{m}(-\lambda_i)\alpha_i\in \langle \alpha_1,...,\alpha_m\rangle. \end{gathe}$$
Пусть$$\left\{ \begin{array}{@{}l@{}} a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n=b_1,\\ \dotfill\\ a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n=b_m \end{array} \right.$$ (вообще говоря, неоднородная) совместная система линейных уравнений с множеством решений $$X \subseteq K^n$$,$$\left\{ \begin{array}{@{}l@{}} a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n=0,\\ \dotfill\\ a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n=0 \end{array} \right.\text{ -}$$ соответствующая ей однородная система линейных уравнений с множеством решений $$X_{\textup{одн}}\subseteq K^n$$.
Теорема 4.2.1. Пусть $$\lambda\in K$$, $$\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n), \beta=(\beta_1,...,\beta_n)\in X_{\textup{одн}}$$, $$u=(u_1,...,u_n),v=(v_1,...,v_n)\in X$$. Тогда:
Доказательство. Для любого i, $$1 \leq i \leq n$$: $$\begin{alignat*}{2} \text{1)} \quad
\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}(\alpha_j+\beta_j)=
\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\alpha_j+
\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\beta_j=0+0=0,\\ \text{2)} \quad
\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}(\lambda\alpha_j)=
\lambda\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\alpha_j=
\lambda \cdot 0=0,\\ \text{3)} \quad
\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}(\alpha_j+u_j)=
\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\alpha_j+
\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}u_j=0+b_i=b_i,\\ \text{4)} \quad
\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}(v_j-u_j)=
\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}v_j-
\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}u_j=b_i-b_i=0.
\end{alignat*}$$
Следствие 4.2.2.
Kn ).X является сдвигом подпространства решений однородной системы $$X_{\textup{одн}}$$ на любое частное решение $$u\in X$$.Доказательство. Если $$\alpha\in X_{\textup{одн}}$$, $$u\in X$$, то в силу 3) $$\alpha+u\in X$$, т. е. $$X_{\textup{одн}}+u\subseteq X$$.
Если $$v\in X$$, то v=(v-u)+u, при этом в силу 4) $$v-u\in X_{\textup{одн}}$$, таким образом, $$X\subseteq X_{\textup{одн}}+u$$.
Итак, X=Xодн+u.
Замечание 4.2.3. Позже мы покажем, что для любого линейного подпространства U линейного пространства строк Kn над полем K существует однородная система линейных уравнений, для которой Xодн=U, таким образом, любое подпространство в Kn может быть задано как пространство решений однородной системы.
Систематическое рассмотрение строки коэффициентов $$(a_{i1},...,a_{in})\in K^n$$ i -го уравнения ai1x1+...+ainxn=bi ( i -я строка матрицы A=(aij) i -го уравнения (включая свободный член bi i -й строки K естественно подвело нас к определению линейного пространства строк Kn.
Пусть K - поле (например, K= R - поле действительных чисел). Рассмотрим$$K^n= \{(\alpha_1,...,\alpha_n)\mid \alpha_i\in K\} \text{ -}$$
совокупность всех упорядоченных строк $$\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)$$ длины n элементов $$\alpha_i$$, i=1,...,n, поля K. На множестве Kn определены следующие операции.
(1.1) Ассоциативность
Действительно, на i -м месте в $$(\alpha+\beta)+\gamma$$ и в $$\alpha+(\beta+\gamma)$$ имеем $$(\alpha_i+\beta_i)+\gamma_i=\alpha_i+(\beta_i+\gamma_i)$$ (ассоциативность сложения в поле K ).
(1.2) Коммутативность
Действительно, на i -м месте в $$\alpha+\beta$$ и в $$\beta+\alpha$$ имеем $$\alpha_i+\beta_i=\beta_i+\alpha_i$$ (коммутативность сложения в поле K ).
(1.3) Нулевая строка (0,...,0) в Kn является нейтральным элементом для операции сложения в Kn, поскольку $$(\alpha_1,...,\alpha_n)+(0,...,0)=(\alpha_1,...,\alpha_n)$$ для любой строки $$(\alpha_1,...,\alpha_n)\in K^n$$.
(1.4) Для любой строки $$\alpha\in K^n$$ существует противоположная строка $$\delta$$ такая, что $$\alpha+\delta=(0,...,0)$$.
Действительно, если $$\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)$$, то для $$\delta=(-\alpha_1,...,-\alpha_n)$$ ( $${}=(-1)\alpha$$ ) имеем $$\alpha+\delta=(0,...,0)$$.
Таким образом, свойства (1.1)-(1.4) означают, что множество строк Kn с операцией
(2.1) Если $$1\in K$$, $$\alpha\in K^n$$, то $$1\cdot\alpha=\alpha$$.
Действительно, для $$\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)$$ имеем $$1\cdot\alpha=(1\alpha_1,...,1\alpha_n)=(\alpha_1,...,\alpha_n)= \alpha$$.
(2.2) Если $$\lambda_1,\lambda_2\in K$$, $$\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)\in K^n$$, то $$\lambda_1(\lambda_2\alpha)=(\lambda_1\lambda_2)\alpha$$.
Действительно, для $$\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)\in K^n$$ на i -м месте в $$\lambda_1(\lambda_2\alpha)$$ и в $$(\lambda_1\lambda_2)\alpha$$ имеем $$\lambda_1(\lambda_2\alpha_i)=(\lambda_1\lambda_2)\alpha_i$$ (ассоциативность умножения в поле K ).
(3.1) Если $$\lambda\in K$$, $$\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n), \beta=(\beta_1,...,\beta_n)\in K^n$$, то $$\lambda(\alpha+\beta)=\lambda\alpha+\lambda\beta$$.
Действительно, на i -м месте в $$\lambda(\alpha+\beta)$$ и в $$\lambda\alpha+\lambda\beta$$ имеем $$\lambda(\alpha_i+\beta_i)=\lambda\alpha_i+\lambda\beta_i$$ (дистрибутивность в поле K ).
(3.2) Если $$\lambda_1,\lambda_2\in K$$, $$\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n)\in K^n$$, то $$(\lambda_1+\lambda_2)\alpha=\lambda_1\alpha+\lambda_2\alpha$$.
Действительно, на i -м месте в $$(\lambda_1+\lambda_2)\alpha$$ и в $$\lambda_1\alpha+\lambda_2\alpha$$ имеем $$(\lambda_1+\lambda_2)\alpha_i=\lambda_1\alpha_i+\lambda_2\alpha_i$$ (дистрибутивность в поле K ).
Определение 4.1.1. V с операцией сложения и операциями умножения на элементы $$\lambda$$ поля K, удовлетворяющее свойствам (1.1)-(1.4), (2.1), (2.2), (3.1), (3.2), называется K
Итогом наших проверок является
Теорема 4.1.2. Множество Kn строк длины n элементов поля K с операцией сложения и с операциями умножения на элементы $$\lambda$$ поля K является линейным пространством над полем K.
Определение 4.1.3.
Лемма 4.1.4. Если $$\alpha_1,...,\alpha_m\in K^n$$, то линейная оболочка $$\langle \alpha_1,...,\alpha_m\rangle$$ является линейным пространством (подпространством в линейном пространстве строк Kn ).
Доказательство. Для $$\lambda_i,\gamma_i\in K$$ имеем:$$\begin{gathe} \sum\limits_{i=1}^{m}\lambda_i\alpha_i+ \sum\limits_{i=1}^{m}\gamma_i\alpha_i= \sum\limits_{i=1}^{m}(\lambda_i+\gamma_i)\alpha_i\in \langle \alpha_1,...,\alpha_m\rangle; \\ 0=\sum\limits_{i=1}^{m}0\cdot \alpha_i\in \langle \alpha_1,...,\alpha_m\rangle; \\ -\biggl(\,\sum\limits_{i=1}^{m}\lambda_i\alpha_i\biggr)= \sum\limits_{i=1}^{m}(-\lambda_i)\alpha_i\in \langle \alpha_1,...,\alpha_m\rangle. \end{gathe}$$
Пусть$$\left\{ \begin{array}{@{}l@{}} a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n=b_1,\\ \dotfill\\ a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n=b_m \end{array} \right.$$ (вообще говоря, неоднородная) совместная система линейных уравнений с множеством решений $$X \subseteq K^n$$,$$\left\{ \begin{array}{@{}l@{}} a_{11}x_1+...+a_{1n}x_n=0,\\ \dotfill\\ a_{m1}x_1+...+a_{mn}x_n=0 \end{array} \right.\text{ -}$$ соответствующая ей однородная система линейных уравнений с множеством решений $$X_{\textup{одн}}\subseteq K^n$$.
Теорема 4.2.1. Пусть $$\lambda\in K$$, $$\alpha=(\alpha_1,...,\alpha_n), \beta=(\beta_1,...,\beta_n)\in X_{\textup{одн}}$$, $$u=(u_1,...,u_n),v=(v_1,...,v_n)\in X$$. Тогда:
Доказательство. Для любого i, $$1 \leq i \leq n$$: $$\begin{alignat*}{2} \text{1)} \quad
\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}(\alpha_j+\beta_j)=
\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\alpha_j+
\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\beta_j=0+0=0,\\ \text{2)} \quad
\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}(\lambda\alpha_j)=
\lambda\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\alpha_j=
\lambda \cdot 0=0,\\ \text{3)} \quad
\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}(\alpha_j+u_j)=
\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}\alpha_j+
\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}u_j=0+b_i=b_i,\\ \text{4)} \quad
\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}(v_j-u_j)=
\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}v_j-
\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}u_j=b_i-b_i=0.
\end{alignat*}$$
Следствие 4.2.2.
Kn ).X является сдвигом подпространства решений однородной системы $$X_{\textup{одн}}$$ на любое частное решение $$u\in X$$.Доказательство. Если $$\alpha\in X_{\textup{одн}}$$, $$u\in X$$, то в силу 3) $$\alpha+u\in X$$, т. е. $$X_{\textup{одн}}+u\subseteq X$$.
Если $$v\in X$$, то v=(v-u)+u, при этом в силу 4) $$v-u\in X_{\textup{одн}}$$, таким образом, $$X\subseteq X_{\textup{одн}}+u$$.
Итак, X=Xодн+u.
Замечание 4.2.3. Позже мы покажем, что для любого линейного подпространства U линейного пространства строк Kn над полем K существует однородная система линейных уравнений, для которой Xодн=U, таким образом, любое подпространство в Kn может быть задано как пространство решений однородной системы.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.