Доходность и риск

Доходность всегда относится к конкретному периоду времени. Например, 1 тыс. рублей можно заработать за месяц, а можно и за год. Даже расчет относительного показателя доходности не сделает эти цифры сопоставимыми. Если продолжить пример и предположить, что вложение 10 млн. рублей принесло доход в 1 тыс. рублей за 1 неделю, а инвестирование 10 тыс. рублей обеспечило такой же доход за 6 месяцев, то полученные выше значения доходности будут недостаточно объективны. Для обеспечения сопоставимости этих показателей, их необходимо привести к единой временной базе. В финансах доходность обычно приводится к годовому исчислению, то есть исходные данные аннуилизируются. Сравнивая формулы расчета доходности и формулу годовой процентной ставки (2.2.1), можно заметить их идентичность. И доходность, и процентная ставка отражают темп прироста первоначально вложенных сумм. Рассчитывая доходность, по сути дела определяют величину соответствующей процентной ставки.

Существуют различные способы начисления процентов и, соответственно, различные процентные ставки. Наращение по простой и сложной ставкам приводит к различным результатам. Какая конкретно ставка должна использоваться при определении годовой доходности? В финансах принято в качестве измерителя доходности использовать эффективную сложную процентную ставку, то есть годовую ставку, предполагающую однократное в течение года реинвестирование начисленных процентов. Однако для краткосрочных финансовых операций (продолжительностью менее 1 года) допускается применение простой процентной ставки. Так, например, доходность ГКО рассчитывалась по ставке простых процентов (формула 2.2.14) в предположении, что продолжительность года составляет 365 дней. Безусловно, такая неоднозначность осложняет жизнь финансисту, однако возникающие трудности не следует абсолютизировать. Прежде всего необходимо понять, что способ аннуилизации доходности ни в коей мере не влияет на реальные параметры рассматриваемой финансовой операции. Доходность является абстрактным показателем, применяемым для обеспечения сопоставимости и сравнительной оценки различных вложений капитала. Поэтому, сравнивая между собой две инвестиции по уровню их доходности, важно убедиться в сопоставимости методик расчета этих показателей. Вопрос о том, какой из способов расчета лучше или "правильнее" не является самым важным. Необходимо, чтобы для обеих операций использовался один и тот же способ аннуилизации.

Продолжая пример, рассчитаем доходность двух вложений различными способами (в обоих случаях продолжительность года составляет 365 дней):

по эффективной ставке сложных процентов. По формуле (2.2.15) находим:

для $$Р = 10 млн. рублей$$, $$S = 10 млн. 1 тыс. рублей$$, $$n = \frac{7}{365}$$ (1 неделя)

$$i_с_л=\left(\frac{10000001}{10000000}\right)^\frac{365}{7}-1=0,52\%$$

для $$Р = 10 тыс. рублей$$, $$S = 11 тыс. рублей$$, $$n = \frac{6}{12}$$ (6 месяцев)

$$i_с_л=\left(\frac{11000}{10000}\right)^\frac{12}{6}-1=21\%$$

по простой процентной ставке. По формуле (2.2.12) находим:

для $$Р = 10 млн. рублей$$, $$S = 10 млн. 1 тыс. рублей$$, $$t = 7 дней$$, $$K = 365 дней$$

$$i_п_р=\frac{10000001-10000000}{10000000*7}*365=0,52\%$$

для $$Р = 10 тыс. рублей$$, $$S = 11 тыс. рублей$$, $$t = 6 мес$$., $$K = 12 мес$$.

$$i_п_р=\frac{11000-10000}{10000*6}*12=20\%$$

Применив формулу эквивалентности простой и сложной процентных ставок (2.2.21), получим аналогичные результаты:

для $$Р = 10 млн. рублей$$

$$i_с_л=\left(1+0,0052*\frac{7}{365}\right)^\frac{365}{7}-1=0,52\%$$

для $$Р = 10 тыс. рублей$$

$$i_с_л=\left(1+0,2*\frac{6}{12}\right)^\frac{12}{6}-1=21\%$$

С позиций финансовой теории обоснованным является использование сложной процентной ставки, так как данный метод учитывает возможность реинвестирования начисленных процентов. Но в ряде случаев расчет доходности производится в соответствии с принятыми на данном рынке обычаями. Общим правилом является использование простой процентной ставки для краткосрочных финансовых операций (депозитные сертификаты, казначейские векселя, краткосрочные ссуды и т.п.). Во всех остальных случаях используется эффективная сложная процентная ставка. Следует отметить, что использование эффективной сложной ставки для расчета доходности также не свободно от недостатков. Предположение об однократном реинвестировании начисленных процентов нуждается в обосновании. Более логичным было бы предположение о непрерывной капитализации процентов, то есть расчет доходности по ставке сложных непрерывных процентов.

Рассмотрим несколько примеров расчета доходности краткосрочных инвестиций (продолжительностью менее 1 года). Как уже отмечалось, в данном случае применяется ставка простых процентов, поэтому большое значение имеет способ подсчета числа дней в периоде, а также метод определения продолжительности года (временной базы). Подробнее об этом говорилось в параграфе. 2.1.1. По 90-дневному банковскому депозитному сертификату, купленному за 10 тыс. рублей, в конце срока его действия получен доход в сумме 1 тыс. рублей. Фактическая доходность за 90 дней составила 10% (1 000 / 10 000), годовая доходность в предположении, что год равен 360 дням будет равна 40%:

$$i_п_р=\frac{11000-10000}{10000*90}*360=40\%$$

Если предположить точную временную базу ( $$t$$ = 365 дней), то доходность операции составит 40,56%. Допустим, что данный сертификат был приобретен дороже номинала – за 10 тыс. 200 рублей и продан через 45 дней за 10 тыс. 800 рублей. Тогда его фактическая годовая доходность (при $$t$$ = 360) составит 47,06%:

$$i_п_р=\frac{10800-10200}{10200*45}*360=47,06\%$$

Если по условиям сертификата на него начислялись простые проценты из расчета 25% годовых, то сначала следует найти их общую сумму, причитающуюся владельцу за 45 дней. Применив формулу (2.1.3), получим:

$$i_4_5_д_н=10000*\frac{45}{360}*0,25=312,5рублей$$

Тогда общий доход от владения сертификатом в течение 45 дней составит 912,5 рублей (10 800 – 10 200 + 312,5), а полная годовая доходность владения этим инструментом (hpr) 71,57%:

$$i_п_р=\frac{10800+312,5-10200}{10200*45}*360=71,57\%$$

Таким образом, рассчитывая фактическую доходность, прежде всего необходимо выявить все доходы, полученные от инвестиции как в форме текущих выплат, так и в виде прироста стоимости инвестиций, а затем разделить их на начальные инвестиции (фактически вложенный капитал). Полученная величина аннуилизируется путем умножения на принятую временную базу и деления на длительность операции.

Данное правило полезно помнить при определении доходности финансовых инструментов, продаваемых со скидкой (дисконтом). В этом случае не следует путать учетную ставку, устанавливаемую по данному инструменту (процент скидки) с величиной доходности. Ставка дисконта служит для определения суммы дохода в абсолютном выражении (рублях). Только найдя эту сумму, можно приступать к расчету доходности инструмента. Например, вексель номиналом 50 тыс. рублей продается по курсу 85%, т.е. с дисконтом 15%. Он будет выкуплен через 60 дней по номиналу. Следовательно, через 2 месяца инвестор получит доход в сумме 7,5 тыс. рублей (50 х 0,15). Доходность этой операции составит (при t = 360 дней) 105,88%:

$$i_п_р=\frac{50-42,5}{42,5*60}*360=105,88\%$$

То есть, ставка дисконта, установленная по векселю не отражает его фактической доходности, а является номинальной величиной, используемой только для определения абсолютной суммы дохода. Это относится и к случаю, когда ставка дисконта установлена в годовом исчислении. Например, по вышеупомянутому векселю известен его номинал, срок и годовая учетная ставка 60%. Тогда, применив формулу банковского учета (2.1.8), сначала найдем продажную стоимость векселя:

$$P=50000*\left(1-\frac{60}{360}*0,6\right)=45000$$

Следовательно, фактический доход инвестора составит 5 тыс. рублей (50 000 – 45 000), а фактическая годовая доходность операции – 66,67%:

$$i_п_р=\frac{50000-45000}{45000*60}*360=66,67\%$$

Если известна доходность за период, меньший, чем год (месяц, 40 дней, полугодие и т.д.), то годовую доходность можно определить умножив имеющиеся данные на число периодов в году: доходность за месяц умножается на 12, квартальная доходность – на 4 и т.д. Данный способ аннуилизации применим только в случае использования простой процентной ставки. Например, доходность за 75 дней составила 5%, временная база – 365 дней. Тогда годовая доходность будет равна 24,33% (5 х 365 / 75). Как уже отмечалось выше, способ расчета дохода не влияет на параметры финансовой операции. То есть, фактические денежные потоки, порождаемые операцией, являются входными переменными и не зависят от того, какие арифметические действия выполняет над их величинами финансист, чтобы определить доходность. Поэтому, ничто не мешает финансовому менеджеру рассчитать доходность одной и той же операции различными способами. Для этого следует применить формулы расчета эквивалентных процентных ставок (см. параграф 2.2). В предыдущем примере годовая доходность векселя как ставка простых процентов составила 66,67%. Применив формулу (2.2.21), определим эквивалентную ей сложную процентную ставку:

$$i_с_л=\left(1+\frac{60}{360}*0,6667\right)^\frac{360}{60}-1=88,17\%$$

Применив формулу (2.2.29) можно рассчитать годовую доходность по сложной непрерывной ставке (силе роста):

$$\delta=\frac{\ln\left(1+\frac{60}{360}*0,6667\right)}{\frac{60}{360}}=63,22\%$$

То есть, одна и та же операция, приносящая инвестору 5 тыс. рублей дохода на вложенные 45 тыс. рублей через 60 дней, может быть охарактеризована следующими показателями доходности:

по ставке простых процентов ( $$i_п_р$$ ) – 66,67%;

по эффективной сложной процентной ставке ( $$i_с_л$$ ) – 88,17%;

по сложной непрерывной процентной ставке (силе роста $$\delta$$ ) – 63,22%.

Так как данная операция является краткосрочной, то для ее оценки более приемлем первый показатель доходности (по ставке простых процентов). Однако финансовый менеджер может с успехом использовать и два других измерителя доходности для сравнения с параметрами иных операций, осуществляемых предприятием.

5.2. Определение средней доходности

В практике финансовых расчетов часто возникает необходимость расчета средней доходности набора (портфеля) инвестиций за определенный период или средней доходности вложения капитала за несколько периодов времени (например, 3 квартала или 5 лет). В первом случае используется формула среднеарифметической взвешенной, в которой в качестве весов используются суммы инвестиций каждого вида. Вернемся к примеру из предыдущего параграфа с вложением 1000 рублей в два вида деятельности: торговую и финансовую. Можно сказать, что владелец этих денег сформировал инвестиционный портфель, состоящий из двух инструментов – инвестиции в собственный капитал магазина и финансовые (спекулятивные) инвестиции. Сумма каждого из вложений составила 500 рублей. Доходность по первому направлению вложений составила 10%, по второму – 40% годовых. Применив формулу средней арифметической (в данном случае, ввиду равенства весов, можно использовать среднюю арифметическую простую) получим среднюю доходность инвестиций за год, равную 25% ((10 + 40) / 2). Она в точности соответствует полной доходности "портфеля", рассчитанной в предыдущем параграфе. Если бы владелец изменил структуру своих инвестиций и вложил в торговлю только 300 рублей (30%), а в финансовые спекуляции 700 рублей (70%), то при неизменных уровнях доходности каждого из направлений средняя доходность его "портфеля" составила бы 31% (10 * 0,3 + 40 * 0,7). Следовательно, общую формулу расчета средней доходности инвестиционного портфеля можно представить следующим образом:

$$\bar r=\sum\limits_{i=1}^nr_i*w_i$$

$$n$$ – число видов финансовых инструментов в портфеле;

$$r_i$$ – доходность $$i$$ -го инструмента;

$$w_i$$ – доля (удельный вес) стоимости $$i$$ -го инструмента в общей стоимости портфеля на начало периода.

Реальный срок вложения капитала может принимать любые значения – от одного дня до многих лет. Для обеспечения сопоставимости показателей доходности по инвестициям различной продолжительности эти показатели приводятся к единой временной базе – году (аннуилизируются). Методика аннуилизации доходности была рассмотрена в предыдущем параграфе. Однако, годовая доходность одних и тех же инвестиций может быть неодинаковой в различные промежутки времени. Например, доходность владения финансовым инструментом (за счет прироста его рыночной цены) составила за год 12%. В течение второго года цена увеличилась еще на 15%, а в течение третьего – на 10%. Возникает вопрос: чему равна средняя годовая доходность владения инструментом за 3 года? Так как годовая доходность суть процентная ставка, средняя доходность за период рассчитывается по формулам средних процентных ставок. В зависимости от вида процентной ставки (простая или сложная) ее средняя величина может определяться как среднеарифметическая, взвешенная по длительности периодов, в течение которых она оставалась неизменной, или как среднегеометрическая, взвешенная таким же образом (см. § 2.2).

В принципе возможно применение обоих способов для определения средней за несколько периодов доходности. Например, среднеарифметическая доходность инструмента, о котором говорилось выше, составит за три года 12,33% ((12 + 15 + 10) / 3). В данном случае продолжительность периодов, в течение которых доходность оставалась неизменной (год), не менялась, поэтому используется формула простой средней. Применив формулу средней геометрической, получим $$r_{ср} = 12,315\% (((1 + 0,12) * (1 + 0,15) * (1 + 0,1))1/3-1)$$. При незначительной разнице в результатах, техника вычисления среднеарифметической доходности значительно проще, чем среднегеометрической, поэтому довольно часто используется более простой способ расчета.

Однако при этом допускается существенная методическая ошибка: игнорируется цепной характер изменения доходности от периода к периоду. Доходность 12% была рассчитана к объему инвестиций на начало первого года, а доходность 15% - к их величине на начало следующего года. Эти величины не равны друг другу, так как в течение первого года инвестиции подорожали на 12%. За второй год они стали дороже еще на 15%, то есть их объем на начало третьего года также отличался от двух предыдущих сумм. Применяя формулу средней арифметической, молчаливо предполагают, что объем инвестиций оставался неизменным в течение всех периодов, то есть по сути рассчитывается средний базисный темп прироста. В данном случае это предположение совершенно неверно, поэтому следует рассчитывать средний цепной темп прироста по формуле средней геометрической, так как начальная сумма инвестиций меняется от периода к периоду. Представим исходные данные примера в табличной форме (табл. 5.1).

Динамика доходности акции за 3 года руб.

Годы	Стоимость акции на начало года	Прирост стоимости акции за год	Годовая доходность, (гр. 3 / гр. 2)
1	2	3	4
1	100	12	12%
2	112	16,8	15%
3	128,8	12,88	10%

Из таблицы видно, что 10% доходности за третий год, по абсолютной величине дохода (12,88 руб.) "дороже" 12% за первый год (12 руб.). Простое арифметическое усреднение неоднородных величин в принципе является бессмысленным занятием, хотя иногда оно дает результаты, близкие к правильным. Среднеарифметическая доходность всегда выше среднегеометрической и эта разница увеличивается по мере усиления разброса исходных показателей.

Неправомерность использования средней арифметической становится особенно наглядной, когда наряду с положительными возникают и отрицательные значения доходности. Предположим, что в течение первого года цена акции возросла вдвое, но к концу второго года она вернулась на свое исходное значение (100 руб.). Занесем соответствующие данные в таблицу (табл. 5.2).

Динамика доходности акции за 2 года руб.

Годы	Стоимость акции на начало года	Прирост стоимости акции за год	Годовая доходность, (гр. 3 / гр. 2)
1	2	3	4
1	100	100	100%
2	200	-100	-50%

По формуле средней арифметической получим, что среднегодовая доходность за весь период составила 25% ((100 – 50) / 2). Очевидно, что это абсолютно неверный результат, так как богатство владельца акции нисколько не изменилось и составило к концу второго года те же самые 100 рублей, что и в начале первого года. Полная доходность за период владения составила 0% ((100 – 100) / 100). Такой же результат получим, применив формулу средней геометрической доходности: ((1 + 1) * (1 – 0,5))^1/2 – 1 = 0%.

Причина столь грубой ошибки заключается не в изначальной "порочности" средней арифметической, а в том, что в данном случае она применялась не по назначению. Для расчета доходности за каждый отдельный год в качестве величины первоначальных инвестиций бралась новая сумма, включающая в себя реинвестированный доход, полученный за прошлые годы. По умолчанию, для расчета доходности использовалась сложная процентная ставка, поэтому и среднюю доходность за период владения следовало рассчитывать по формуле средней геометрической. Такой подход является общепринятым в финансовой теории и он всегда применяется для операций, длительность которых превышает 1 год. Однако в случае краткосрочных операций (продолжительностью до 1 года) допускается использование простой процентной ставки, среднее значение которой рассчитывается по формуле средней арифметической. В этом случае, доходность за каждый период должна рассчитываться путем деления суммы полученного дохода на одну и ту же величину – инвестиции в данный финансовый инструмент, сделанные в начале первого периода.

Предположим, что срок владения акцией составил не 2 года, а 2 месяца. После двукратного увеличения ее стоимости в течение 1 месяца, инвестор решил подержать ее подольше, надеясь на дальнейший рост курса. Однако в следующем месяце цена акции резко упала и вернулась к своей исходной величине – 100 рублей. Решив не испытывать больше судьбу, владелец продал акцию в конце второго месяца за эту цену. Доходность акции, рассчитанная по ставке простых процентов (К = 360 дней), составит: за первый месяц 1200% ((200 – 100) / 100) * 360 / 30); за второй месяц -1200% (отрицательная величина) ((100 – 200) / 100) * 360 / 30). Таким образом, среднеарифметическая доходность будет равна 0 ((1200 – 1200) / 2).

Можно сделать вывод, что расчет средней за несколько периодов времени доходности лучше производить по формуле средней геометрической. Вычисление среднеарифметической доходности оправдано лишь в тех случаях, когда доходность за каждый период в отдельности рассчитывается как простая процентная ставка. Это допускается при анализе краткосрочных финансовых операций.

Доходность не обязательно должна изменяться каждый год. Один и тот же уровень доходности может наблюдаться в течение ряда лет. В этом случае для расчета средней годовой доходности используется формула средней геометрической взвешенной. В качестве весов используются длительности периодов, в течение которых наблюдался один и тот же уровень доходности. Например, 1 млн. рублей был вложен в собственный капитал предприятия. Чистая прибыль за первый год составила 200 тыс. рублей, за второй – 120 тыс. рублей, в третьем году было получено 264 тыс. рублей чистой прибыли. Ежегодно 100% чистой прибыли реинвестировалось. Рассчитаем среднюю годовую доходность вложения капитала за весь период (табл. 5.3). Как видно из таблицы, доходность за первый и за третий годы составила 20% годовых. Следовательно, для расчета средней доходности за три года следует применить среднюю геометрическую взвешенную. Для 10-процентной доходности вес будет равен 1, а для доходности 20% – 2. Подставив эти значения в формулу (2.2.4), получим:

$$\bar r=\sqrt[3]{(1+0,2)^2*(1+0,1)^1}-1=16,57\%$$

Следовательно, данная инвестиция приносила в среднем по $$16,57%$$ в год своему владельцу. Капитал предприятия к концу третьего года составил 1 млн. 584 тыс. рублей (1320 + 264). Эквивалентный результат мог бы быть получен при размещении 1 млн. рублей на банковский депозит под эффективную годовую ставку $$16,57\%$$ $$(1000000 * (1 + 0,1657)^3 = 1584000)$$.

Применив формулу среднеарифметической взвешенной, получим:

$$\bar r_а_р_и_ф_м=\frac{20*2+10*1}{3}=16,67\%$$

Изменение собственного капитала, тыс. руб.

Годы	Размер капитала на начало года	Чистая прибыль за год	Годовая доходность, (гр. 3 / гр. 2)
1	2	3	4
1	1000	200	20%
2	1200	120	10%
3	1320	264	20%

В данном случае нельзя сказать, что эквивалентный результат (1 млн. 584 тыс. рублей) мог бы быть получен путем размещения 1 млн. рублей на трехлетний депозит под простую процентную ставку 16,67%. Начисление простых процентов по этой ставке даст лишь 1 млн. 500 тыс. 100 рублей через 3 года. Это служит еще одним доказательством некорректности использования арифметической средней в подобных вычислениях.

График выплаты дивидендов тыс. руб.

Годы	Размер капитала на начало года	Чистая прибыль (дивиденды) за год	Годовая доходность, (гр. 3 / гр. 2)
1	2	3	4
1	1000	200	20%
2	1000	120	12%
3	1000	264	26,4%

Во всех вышеприведенных примерах рассматривался только один вид дохода – прирост стоимости капитала. При определении доходности за единичный период (например – год) данный факт не играет существенной роли, так как и прирост капитала и текущий доход абсолютно равноценны для инвестора, и тот и другой одинаково увеличивают его богатство. Однако, при расчете средней доходности за несколько лет необходимо учитывать различия между этими видами дохода. Получая текущий доход, инвестор оставляет неизменной сумму первоначальных инвестиций. Предположим, что вся чистая прибыль, отраженная в таблице 5.3, ежегодно изымалась собственником капитала в виде дивидендов (табл. 5.4). В этом случае размер инвестированного капитала на начало каждого года оставался неизменным – 1 млн. рублей. Средняя геометрическая доходность за три года составит $$19,32\% ((1 + 0,2) * (1 + 0,12) * (1 + 0,264))^\frac{1}{3} – 1)$$ ; среднеарифметическая доходность будет равна $$19,47\% ((20 + 12 + 26,4) / 3)$$.

Для анализа инвестиций, приносящих оба вида дохода (текущий и прирост стоимости) широкое распространение получило использование еще одного показателя средней за ряд периодов доходности. В данной роли выступает многократно упоминавшаяся ранее внутренняя норма доходности (irr). Данный показатель учитывает все текущие доходы за период инвестиций и прирост стоимости капитала в конце этого периода. Он незаменим при выполнении прогнозных расчетов по возвратным инвестициям (долгосрочным кредитам, облигационным займам и т.п.), так как позволяет определять полную доходность инвестиций или доходность к погашению (yield to maturity – YTM). Так же как и внутренняя норма доходности, доходность к погашению представляет собой среднюю эффективную процентную ставку, дисконтирование по которой приравнивает приведенную величину совокупных доходов к сумме первоначальных инвестиций:

$$P=\sum\limits_{k=1}^n\frac{CF}{(1+YTM)^k}+\frac{N}{(1+YTM)^n$$

$$P$$ – сумма первоначальных инвестиций;

$$CF$$ – поток ежегодных текущих доходов от инвестиций;

$$N$$ – разовая выплата инвестору в конце срока, на который вложен капитал (например, возврат основной суммы кредита);

$$n$$ – общий срок вложения капитала.

Являясь средней процентной ставкой, YTM по своему значению может отличаться как от среднеарифметической, так и среднегеометрической доходности, хотя часто она близка последней. Например, вложение ста тысяч рублей на срок 3 года гарантирует инвестору получение ежегодного текущего дохода в сумме 10 тыс. рублей (в конце каждого года) и возврат всей вложенной суммы в конце третьего года. Соответствующий денежный поток может быть представлен следующим образом (табл. 5.5).

Денежный поток от инвестиций тыс. руб.

Годы	Размер капитала на начало года	Доход за год	Годовая доходность, (гр. 3 / гр. 2)	Денежный поток для расчета YTM
1	2	3	4	5
0	-	-	-	-100
1	100	10	10%	10
2	100	10	10%	10
3	100	10	10%	110

Очевидно, что как среднеарифметическая, так и среднегеометрическая доходности составят одну и ту же величину – 10%. Использовав данные гр. 5 табл. 5.5 и финансовую функцию ВНДОХ электронного табличного процессора MS Excel, получим внутреннюю доходность потока равную также 10%. Несколько изменим структуру ожидаемого денежного потока – в первый год текущий доход составит 0, зато во втором году будет получено 20 тыс. рублей дохода. Среднеарифметическая доходность при этом останется неизменной (10%), средняя геометрическая уменьшится до $$9,7\% (((1 + 0) * (1 + 0,2) * (1 + 0,1))^\frac{1}{3} – 1)$$, а внутренняя норма доходности составит 9,68%. Это объясняется более поздним поступлением доходов – приведенная стоимость дополнительных 10 тыс. рублей, полученных во втором году, ниже, чем у той же суммы, выплаченной годом раньше.

Предположим, что первоначальные инвестиции составят не 100, а только 95 тыс. рублей, а текущий доход поступает равномерно по 10 тыс. рублей в год (табл. 5.6).

Годы	Размер капитала на начало года	Доход за год	Годовая доходность, (гр. 3 / гр. 2)	Денежный поток для расчета YTM
1	2	3	4	5
0	-	-	-	-95
1	95	10	10,53%	10
2	95	10	10,53%	10
3	95	15	15,79%	110

Среднеарифметическая доходность составит $$12,28\% ((10,53 * 2 + 15,79) / 3)$$ ; среднегеометрическая – $$12,25% (((1 + 0,1053)^2 * (1 + 0,1579))^\frac{1}{3} – 1)$$. Доходность к погашению также возрастет и составит $$12,09\%$$.

Технические трудности вычисления IRR обусловили разработку упрощенного метода приблизительной оценки величины доходности к погашению. Для этих целей используется следующая формула:

$$YTM\approx\frac{CF+\frac{N-P}{n}}{\frac{N+P}{2}}$$

Условные обозначения те же, что и в формуле (5.2.2). Применив ее к данным из табл. 5.6, получим:

$$YTM\approx\frac{10+\frac{100-95}{3}}{\frac{100+95}{2}}\approx11,97\%$$

Отклонение от точной величины YTM составило 0,12 процентных пункта (12,09 – 11,97). При более высоких уровнях доходности и более длительных сроках инвестиций, точность расчетов по данной формуле значительно ухудшается. Так, если предположить, что первоначальные инвестиции составили не 95, а 80 тыс. рублей, ежегодный текущий доход равен 30, а не 10 тыс. рублей, и поступать он будет в течение пяти, а не трех лет, то приближенное значение YTM по формуле (5.2.3) составит 42,35%, в то время как точная ее величина равна 46,34% (больше на 3,99 процентных пункта). Любопытно, что значение среднегеометрической доходности составит в этом случае 50,55%, то есть она превысит YTM на 4,21 процентных пункта (50,55 – 46,34). Иными словами, расчет по предлагаемой формуле дает не намного более точный результат, чем вычисление среднегеометрической доходности.

В заключение, следует отметить, что ни один из рассмотренных выше показателей средней доходности (арифметическая, геометрическая и ytm) не является наиболее "точным" или "правильным". Каждый из них имеет четко очерченную сферу своего применения. Средняя арифметическая незаменима при расчете средней доходности инвестиционного портфеля за один и тот же период. Средняя геометрическая является инструментом анализа временных рядов, поэтому ее следует использовать для нахождение средней доходности за несколько смежных периодов. Как правило, подобные задачи возникают при ретроспективном анализе уже совершенных сделок, о которых известны лишь значения их доходности за отдельные периоды. Потребность в расчете YTM появляется при планировании финансовых операций, по которым наряду с текущими доходами ожидается возникновение прироста стоимости вложенного капитала. Вся сумма этого прироста относится на самую крайнюю дату – срок возврата первоначальных инвестиций – отсюда название показателя "доходность к погашению".

5.3. Ожидаемая доходность основных финансовых инструментов

Эффективное управление капиталом предполагает способность менеджера не только рассчитывать фактические показатели по уже совершенным операциям, но и (прежде всего) прогнозировать результаты будущих, планируемых финансовых операций. Ориентиром для такого прогнозирования являются будущие денежные потоки, возникновение которых ожидается от того либо иного способа инвестирования или привлечения капитала. Основными финансовыми инструментами осуществления капиталовложений или получения нового капитала являются ценные бумаги, прежде всего акции и облигации. Умение правильно определять ожидаемую доходность этих инструментов является необходимым условием выработки и обоснования эффективных управленческих решений.

Облигации являются более "предсказуемым" инструментом, так как в большинстве случаев по ним выплачивается фиксированный доход. Это облегчает планирование будущих денежных потоков и расчет ожидаемой доходности облигаций. В самом общем случае владение облигацией может принести два вида дохода – текущий в виде ежегодных купонных выплат и капитализированный, возникающий в результате превышения выкупной стоимости над ценой приобретения инструмента. Облигации, приносящие оба этих дохода называются купонными. По ним могут быть рассчитаны несколько показателей доходности. Одним из них является купонная доходность (ставка), определяемая отношением величины годового купона к номинальной (нарицательной) стоимости облигации:

$$r_к_у_п=\frac{C}{N}$$

$$С$$ – сумма годового купона;

$$N$$ – номинальная стоимость облигации.

Например, по облигации номиналом 5 тыс. рублей предполагается ежегодно выплачивать купонный доход в сумме 1 тыс. рублей. В этом случае купонная ставка составит 20% годовых (1 / 5). Данный показатель очень далек от реальной доходности владения облигацией, так как во-первых, он учитывает только один вид дохода (купонные выплаты), а во-вторых, в знаменателе формулы показываются не фактические начальные инвестиции (цена покупки), а номинал облигации, то есть сумма долга, подлежащая возврату. Купонная ставка объявляется в момент эмиссии облигаций и служит для определения абсолютной суммы купонных выплат в рублях. Например, в объявлении о размещении займа сообщается, что по облигации номиналом 10 тыс. рублей установлена купонная ставка 18%. Это означает, что ежегодно владельцу одной облигации будет выплачиваться купонный доход в сумме 1,8 тыс. рублей (10 * 0,18).

Более приближенным к реальности является показатель текущей доходности, определяемый как отношение годовой купонной выплаты к цене покупки облигации:

$$r_т_е_к=\frac{C}{P}$$

где $$P$$ – цена приобретения облигации (сумма первоначальных инвестиций).

Например, если тысячерублевая облигация с ежегодным купоном 20% была приобретена за 925 рублей, то ее текущая годовая доходность составит 21,62% (200 / 925). Отличие от купонной ставки заключается в более точном учете первоначальных инвестиций. Однако текущей доходности присущ другой недостаток предыдущего показателя – она не отражает капитализированной доходности. Поэтому она также не может использоваться для сравнения эффективности различных инвестиций.

Строго говоря, оба рассмотренных выше показателя обладают еще одним недостатком – они не учитывают влияния на доходность количества купонных выплат в течение года. Как правило, эти выплаты производятся 2 раза в год. Держатель облигации получает возможность реинвестирования суммы купона за первое полугодие. Поэтому выплата по 500 рублей за каждые 6 месяцев выгоднее ему, чем разовая выплата 1000 рублей в конце года. Казалось бы, данное отличие легко учесть, введя в расчеты параметр $$m$$ – число начислений процентов в году. На практике этого не делается – в числителях формул расчета текущей и купонной доходности отражается общая сумма купонных выплат за год. С одной стороны это позволяет избежать путаницы, а с другой – введение только одного дополнительного параметра не решает всей проблемы. На самом деле неоднократное в течение года перечисление дохода порождает качественно новую задачу: вместо единичной выплаты возникает денежный поток. Поэтому использовать для него формулы начисления процентов на разовые платежи в принципе неверно. Чрезмерное усложнение математического аппарата в данном случае также неоправданно, принимая во внимание приблизительный характер самих показателей.

Наиболее совершенным показателем, в значительной мере свободным от трех названных выше недостатков, является средняя доходность за весь ожидаемый период владения облигацией. Для ее расчета используется качественно иной подход: вычисляется значение доходности к погашению (YTM) по методике, рассмотренной в предыдущем параграфе. Потенциальному инвестору в дополнение к уже известным данным (купон, номинал, цена покупки облигации) необходимо определиться со сроком, в течение которого он намерен владеть инструментом. Если этот период совпадает со сроком самой облигации, то он может рассчитывать на получение в конце срока суммы, равной номиналу. Иначе он должен спрогнозировать цену по которой облигация может быть продана в конце срока владения. В любом случае, проблема определения ожидаемой средней доходности облигации сведется для него к вычислению внутренней нормы доходности порождаемого ею денежного потока. Доход от прироста инвестиций будет отнесен к самой последней выплате в конце срока, то есть полученная величина будет отражать доходность к погашению.

Например, купонная трехлетняя облигация номиналом 3 тыс. рублей продается по курсу 92,5. Один раз в год по ней предусмотрена выплата купона в размере 750 рублей. Для того, чтобы определить YTM этого инструмента, инвестор должен сначала определить цену его покупки, перемножив курс на номинал: 3000 * 0,925 = 2775 рублей. Тогда поток платежей по облигации может быть представлен следующим числовым рядом: -2775, 750, 750, 3750. В соответствии с формулой (5.2.2) доходность к погашению представляет собой решение относительно YTM следующего уравнения:

$$2775=\frac{750}{1+YTM}+\frac{750}{(1+YTM)^2}\frac{3750}{(1+YTM)^3}$$

С помощью функции ВНДОХ на персональном компьютере можно вычислить $$YTM\approx 29,08\%$$. В то же время купонная ставка составит лишь $$25\% (750 / 3000)$$, а текущая доходность облигации $$\approx 27,03% (750 / 2775)$$. В случае отсутствия под рукой компьютера или финансовых таблиц, можно применить упрощенную формулу расчета YTM (5.2.3):

$$YTM\approx\frac{750+\frac{3000-2775}{3}}{\frac{3000+2775}{2}}\approx28,57\%$$

Предположим, инвестор не собирается держать облигацию в течение всего срока ее "жизни". В конце второго года он планирует продать ее за 2990 рублей. В этом случае денежный поток примет следующий вид: -2775, 750, 3740, а исходное уравнение для расчета YTM запишется в форме:

$$2775=\frac{750}{1+YTM}+\frac{3740}{(1+YTM)^2}$$

Внутренняя норма доходности этого потока (а следовательно – и YTM облигации) составит в этом случае 30,39%.

Аналогичная ситуация может возникнуть при наличии у эмитента права на досрочный выкуп (отзыв, call) облигации по фиксированной цене. В этом случае рассчитывается показатель доходности на момент отзыва (yield to call, YTC). Методика его расчета проиллюстрирована в предыдущем примере: вместо номинала облигации используется ее отзывная цена, а общий срок "жизни" инструмента заменяется числом лет, оставшихся до даты возможного выкупа. По такому же принципу рассчитывается ожидаемая полная доходность конвертируемых облигаций, которые через определенный период времени могут быть обменены (конвертированы) на обыкновенные акции предприятия-эмитента. Вместо отзывной цены в уравнении используется конверсионная стоимость облигации (PC), равная произведению ожидаемой рыночной цены обыкновенной акции на коэффициент конверсии (kC). Значение коэффициента конверсии устанавливается эмитентом при размещении займа. Спрогнозировать будущую рыночную цену обыкновенной акции, на которую может быть обменена облигация, должен сам инвестор.

В отличие от показателей купонной и текущей доходности, YTM реагирует на изменение числа купонных выплат в течение года. В случае, если это число превышает единицу, необходимо скорректировать ожидаемый денежный поток. Например, вместо одноразовой выплаты 750 рублей в год, эмитент решил выплачивать по 375 рублей каждое полугодие. В этом случае денежный поток будет иметь следующую структуру: -2775, 375, 375, 375, 375, 375, 3375. Соответственно, изменится уравнение для расчета YTM:

$$2775=\frac{750}{(1+YTM)^\frac{1}{2}}+\frac{375}{(1+YTM)^\frac{2}{2}}+\frac{375}{(1+YTM)^\frac{3}{2}}+\frac{375}{(1+YTM)^\frac{4}{2}}+\frac{375}{(1+YTM)^\frac{5}{2}}+\frac{375}{(1+YTM)^\frac{6}{2}}$$

Доходность к погашению в этом случае составит $$\approx30,99%$$.

Безусловно, показатель доходности к погашению не является идеальным. Будучи средней эффективной процентной ставкой, он "заглаживает" возможные колебания доходности в течение периода владения облигацией. Кроме того, он совершенно не учитывает индивидуальные возможности реинвестирования доходов, которые имеются у отдельных инвесторов: эффективная ставка предполагает однократное реинвестирование в течение года. Тем не менее, пока еще не изобретено иного способа подсчета доходности, который в такой же степени чутко реагировал бы на любые изменения ожидаемого денежного потока. Поэтому именно YTM (и его разновидность YTC) получили наиболее широкое применение в финансовом анализе. Не следует забывать, что эти показатели являются ничем иным как разновидностями основополагающего финансового понятия – внутренней нормы доходности (IRR).

Наряду с купонными существуют облигации с нулевым купоном (бескупонные или дисконтные). Доход по ним образуется только за счет разницы между ценой покупки и продажи. Как правило, они продаются со скидкой (дисконтом) от номинальной цены, а выкупаются по номиналу. К этим инструментам вообще неприменимы понятия купонной и текущей доходности: их полная доходность включает в себя только вторую составляющую – прирост стоимости капитала. Методика расчета доходности краткосрочных дисконтных облигаций (например, ГКО) уже неоднократно рассматривалась в настоящем пособии, поэтому в данном параграфе будут рассмотрены только долгосрочные (с продолжительностью свыше 1 года) финансовые инструменты. Очевидно, что измерителем доходности таких инвестиций должна являться сложная процентная ставка. Рассмотрим пример: двухлетняя дисконтная облигация номиналом 10 тыс. рублей продается по курсу 78. Следовательно, общая сумма дохода к концу второго года по ней составит 2 тыс. 200 рублей (10000 – 7800). Доходность к погашению этой облигации может быть найдена из уравнения:

$$7800=\frac{10000}{(1+YTM)^2}$$

По сути дела, задача сводится к определению сложной эффективной годовой ставки по формуле (2.2.15). Применив эту формулу, получим $$YTM=13,228\%((\frac{10000}{7800})^\frac{1}{2}-1)$$. Иными словами, разместив на банковский депозит 7800 рублей под эффективную ставку 13,228%, через 2 года с него можно было бы снять наращенную сумму 10 тыс. рублей $$(7800 * (1 + 0,13228)^2)$$. Точно такой же результат можно получить, применив компьютерную функцию ВНДОХ для денежного потока (-7800, 0, 10000). Однако в данном случае задача проще, чем при расчете YTM купонных облигаций, поэтому нет необходимости для усложнения расчетов: достаточно помнить формулу определения эффективной ставки (2.2.15).

Ожидаемая доходность бессрочных облигаций, по которым выплачиваются "вечные" ренты, рассчитывается по формуле:

$$r=\frac{C}{P}$$

$$C$$ – сумма ежегодных купонных выплат;

$$P$$ – цена приобретения облигации.

Очевидно, что этот показатель отражает только текущую доходность, так как условиями размещения подобных займов не предусматривается выплата каких-то иных доходов. Тем не менее, никто не мешает инвестору запланировать перепродажу облигации через несколько лет владения ею по цене, которая может отличаться от цены покупки. В этом случае он сможет рассчитать доходность к погашению данного инструмента. Например, покупая за 46 фунтов стерлингов бессрочную консоль Казначейства Великобритании, по которой ежегодно выплачивается доход в сумме 4 фунта стерлингов, инвестор может рассчитывать на годовую доходность 8,696% (4 / 46). Однако, если по его "расчислению" через два года он сможет продать эту облигацию на вторичном рынке за 50 фунтов, то ее доходность к погашению (точнее, к перепродаже) должна находиться путем решения следу ющего уравнения:

$$46=\frac{4}{1+YTM}+\frac{54}{(1+YTM)^2}$$

irr (а следовательно, и доходность к погашению облигации) данного денежного потока составит $$\approx12,78\%$$. Применив приближенную формулу расчета (5.2.3), получим:

$$YTM\approx\frac{4+\frac{50-46}{2}}{\frac{50+46}{2}}=12,5\%$$

Основное отличие акций состоит в неопределенности величины ожидаемых по ним доходов. В этом смысле можно выделить привилегированные акции, дивиденды по которым, как правило, известны заранее и должны выплачиваться раньше дивидендов по обыкновенным акциям. По сути дела привилегированные акции являются промежуточной стадией между собственным (обыкновенные акции) и заемным (облигации) капиталом. Для определения их доходности используется формула, аналогичная применяемой для бессрочных облигаций:

$$r=\frac{div}{P}$$

$$div$$ – сумма ожидаемых дивидендов на 1 акцию,

$$P$$ – цена приобретения акции.

Точно так же, как для бессрочных облигаций, в случае планируемой перепродажи акции на вторичном рынке, полная доходность владения ею может быть определена как YTM.

Для обыкновенных акций прогнозирование величины будущих дивидендов является наиболее важной и самой сложной проблемой. Чаще всего при этом используется модель постоянного роста (модель Гордона), предполагающая неизменный в обозримом будущем темп прироста суммы дивидендов, выплачиваемых по акции. Ожидаемая доходность владения акцией в этом случае будет находиться по следующей формуле:

$$r=\frac{D_0*(1+g)}{P}+g=\frac{D_1}{P}+g$$

$$P$$ – цена покупки акции;

$$D0$$ – последний выплаченный дивиденд по акции;

$$D_1$$ – дивиденд, ожидаемый к выплате в ближайшем периоде в будущем;

$$g$$ – ожидаемый темп прироста дивиденда в будущем.

Например, на рынке имеется предложение обыкновенных акций по цене 250 рублей за 1 шт. Известно, что в прошлом году по ним был выплачен дивиденд в сумме 30 рублей на 1 акцию. В дальнейшем ожидается непрерывный рост дивиденда на 2% в год. Ожидаемая доходность акции составит:

$$r=\frac{30*(1+0,02)}{250}+0,02=14,24\%$$

Абсолютно все формулы, рассмотренные в данном параграфе, строились на предположении об определенности потоков будущих доходов, выплачиваемых владельцам ценных бумаг. Однако в реальности 100%-й определенности практически никогда не существует. Даже самые надежные инструменты (например, правительственные облигации) несут в себе опасность того, что фактический результат может значительно отличаться от ожидаемого: высокая инфляция может "съесть" весь фиксированный доход по облигации, несмотря на четкое выполнение эмитентом своих номинальных обязательств. Следовательно, во всех финансовых расчетах должен присутствовать еще один важнейший параметр (о котором практически ничего не было сказано в предыдущих параграфах), характеризующий меру неопределенности, сопряженную с возможностью получения ожидаемого дохода. В финансах эта неопределенность обозначается термином риск, отражающим вероятность получения результата, отличающегося от запланированного. Так как важнейшим результатом любой финансовой операции является получение дохода на инвестиции, величина риска отождествляется со степенью разброса фактической доходности операции вокруг ее ожидаемой величины. Чем больше разброс данных, тем рискованнее финансовая операция.

Возвращаясь к рассмотренным выше формулам, можно сказать, что все полученные с их помощью результаты являются не более, чем субъективными оценками. Каждому результату должна быть приписана вероятность его возникновения в будущем. Большинство из них предполагает наличие вариантов, то есть множественность исходов. Поэтому от прогнозирования однозначных цифр необходимо перейти к изучению распределения вероятностей того или иного события. Без этого заучивание рассмотренных формул становится бессмысленным занятием, а попытки их практического применения обернутся существенным материальным ущербом для инвестора.

5.4. Риск и его виды

С введением в рассмотрение концепции риска, коренным образом меняется подход к оценке роли финансового менеджмента в системе управления предприятием. Основная цель управления – максимизация богатства собственников проявляется как в увеличении номинального собственного капитала, так и в росте рыночной капитализации бизнеса. Очевидно, что и тому и другому способствует повышение доходности вложенного капитала. Увеличивать стоимость предприятия можно только реализуя наиболее высокодоходные инвестиционные проекты. Роль финансового менеджера сводится к отбору и оценке наиболее перспективных проектов и поиску источников их финансирования. Вполне естественным может показаться предположение, что важнейшим критерием отбора как раз и является уровень доходности проекта. Однако, такой прямолинейный подход игнорирует фундаментальную финансовую истину – более высокий ожидаемый доход сопряжен с более высоким риском его неполучения или риском потери вложенного капитала.

Поэтому, анализируя любой инвестиционный проект, финансист прежде всего должен оценить уровень связанного с ним риска и только потом определять, достаточна ли планируемая рентабельность проекта для компенсации этого риска. Оценка риска предполагает его количественное измерение, что довольно непросто, принимая во внимание значительную эмоциональную насыщенность данного термина. Финансисты избежали соблазна соизмерять величину риска с количеством выпитого шампанского и условились понимать под ним степень неопределенности результата, точнее – вариацию (разброс) ожидаемых значений доходности вокруг ее средней величины (математического ожидания). Под математическим ожиданием понимается среднеарифметическая из всех прогнозируемых значений доходности, взвешенная по вероятности достижения ею этих значений.

Такая трактовка риска позволила унифицировать подход к его различным видам. С позиции конкретного предприятия существует большое число видов самых разнообразных рисков, которые могут повлиять на уровень доходности реализуемых проектов: риск процентной ставки, валютные риски, инфляционный, политический, страновый и многие другие виды рисков. Однако, с позиции инвестора все эти риска могут быть объединены в одну группу – общий риск или риск отдельных ценных бумаг (рис. 5.1). Наряду с перечисленными видами общего риска, внешними по отношению к предприятию, существуют внутренние общие риски, для измерения которых используются показатели операционного и финансового левериджа. Первый из них был рассмотрен в гл. 3 данного пособия, о втором речь пойдет несколько позже.

Инвестор как правило не держит только один вид ценных бумаг. Житейский принцип "не складывать все яйца в одну корзину" подсказывает, что значительно безопаснее обладать набором из нескольких финансовых инструментов, выпущенных различными эмитентами: так называемым портфелем инвестиций . В этом случае более важным для инвестора является не уровень общего риска каждой ценной бумаги в отдельности, а совокупный риск инвестиционного портфеля или рыночный риск . Объединяя различные финансовые инструменты в портфель, инвестор стремится максимально диверсифицировать риск, то есть избежать одновременного изменения доходности каждого инструмента в одном и том же направлении. Та часть рыночного риска, которая поддается такой диверсификации называется несистематическим или диверсифицируемым риском . Величина рыночного риска, не поддающаяся диверсификации называется систематическим (недиверсифицируемым) риском . Чем меньше бумаг в портфеле, тем выше величина несистематического риска, которая может быть снижена путем диверсификации портфеля, то есть путем помещения в него все большего числа различных финансовых активов. Считается, что портфель, состоящий из 40 случайным образом отобранных акций, является в достаточной степени диверсифицируемым и добавление в него каждой новой акции уже не будет давать столь же высокого снижения несистематического риска, как это было для первых 40 ценных бумаг.

Пределом для диверсификации служит уровень риска, присущий данному финансовому рынку в целом. Такой риск называется систематическим, он определяется не спецификой отдельных бумаг, обращающихся на рынке, а общими тенденциями, характерными для рынка в целом: общим ростом или понижением деловой активности. Индикаторами общего состояния рынка являются рассмотренные в предыдущей лекции индексы, например – DJIA или SP 500. Репрезентативность этих индексов позволяет использовать их для характеристики состояния конкретного финансового рынка (например NYSE) в целом. Можно сказать, что фондовые индексы отражают поведение некой "средней" акции, вобравшей в себя все специфические особенности отдельных активов, обращающихся на данном рынке.

Диверсификация инвестиционного портфеля является наиболее очевидным и простым способом минимизации риска. Если воспользоваться статистической терминологией, диверсифицируемый риск отражается в степени корреляции между отдельными активами, входящими в портфель. Наличие высокой положительной корреляции (коэффициент корреляции близкий к +1) увеличивает несистематический риск портфеля; при отрицательных значениях коэффициента корреляции этот риск минимизируется. Однако, наряду со взаимосвязями между акциями, входящими в портфель, существует корреляция их доходности с доходностью рынка в целом, то есть поведением "средней" акции. Влияние этой связи нельзя устранить путем простой диверсификации портфеля, поэтому управление инвестиционным риском предполагает использование более сложных методов. Для правильного понимания их сути необходимо более подробно рассмотреть общие принципы количественного измерения риска.

(рис 5.1) Классификация инвестиционных рисков

5.5. Количественное измерение риска

Средняя арифметическая ожидаемых доходностей ( $$r_i$$ ) инвестиций, взвешенная по вероятности возникновения отдельных значений, называется математическим ожиданием. Условимся называть эту величину средней ожидаемой доходностью:

$$\bar r=\sum\limits_{i}r_2*p_i$$

где $$p_i$$ – вероятность получения доходности $$r_i$$.

В статистике количественным измерителем степени разброса значений переменной вокруг ее средней величины (математического ожидания) является показатель дисперсии ( $$\sigma^2$$ ):

$$\sigma^2=\sum\limits_{i}(r_i-\bar r)^2*p_i$$

Квадратный корень из дисперсии называется средним квадратическим или стандартным отклонением $$\sigma$$:

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\sum\limits_{i}(r_i-\bar r)^2*p_i}$$

Данный показатель используется в финансовом менеджменте для количественного измерения степени риска планируемых инвестиций. Чем больше разброс ожидаемых значений доходности вложений вокруг их среднеарифметической величины, тем выше риск, сопряженный с данным вложением. Фактическая величина доходности может быть как значительно выше, так и значительно ниже ее средней величины.

Практическая ценность такого подхода заключается не только (и не столько) в применении статистических формул, а в осознании необходимости многовариантного планирования инвестиционных решений. Любые ожидаемые результаты этих решений могут носить лишь вероятностный характер. От финансиста требуется не только правильно применить формулу расчета доходности инвестиций, но и дать количественную оценку вероятности возникновения конкретного результата. Как минимум, необходимо планировать не менее трех вариантов развития событий: оптимистический, пессимистический и наиболее вероятный. Полная вероятность возникновения всех этих вариантов должна быть равна 1.

Например, оценивая две акции А и Б, инвестор пришел к выводу, что распределение вероятностей их ожидаемой доходности можно представить следующим образом:

Распределение вероятностей доходности акций

Варианты прогноза	Вероятность		Доходность, %
	акция А	акция Б	акция А	акция Б
Оптимистический	0,3	0,3	100	20
Реалистический	0,4	0,4	15	15
Пессимистический	0,3	0,3	-70	10

Среднеарифметическая ожидаемая доходность (математическое ожидание), взвешенная по вероятности каждого варианта составит:

для акции А $$\bar {r_A}=100*0,3+15*0,4+-70*0,3=15\%$$

для акции Б $$\bar {r_B}=20*0,3+15*0,4+10*0,3=15\%$$

То есть, с точки зрения ожидаемой доходности инвестору безразлично, какую именно акцию приобрести – любая из них должна принести ему 15% дохода. Однако, данная логика рассуждений ошибочна. Прежде всего инвестор должен оценить величину риска, сопряженного с каждым из сравниваемых активов. Для этого ему следует рассчитать стандартные отклонения доходности $$\sigma$$ по каждой ценной бумаге. Выполним эти расчеты в табл. 5.8:

Расчет среднего квадратического отклонения

Акция	$$r_i$$	$$p_i$$	$$\bar r$$	$$r_i-\bar r$$	$$(r_i-\bar r)^2*p_i$$
А	100	0,3	15	85	2167,5
	15	0,4	15	0	0
	-70	0,3	15	-85	2167,5
Итого А:		1		0	4335
$$\sigma_{A}$$					$$\sqrt{4335}=65,841$$
Б	20	0,3	15	5	7,5
	15	0,4	15	0	0
	10	0,3	15	-5	7,5
Итого Б:		1		0	15
$$\sigmaБ$$					$$\sqrt{15}=3,873$$

Разброс значений ожидаемой доходности по акции А почти в 20 раз больше, чем по акции Б. Очевидно, что первое вложение является более рискованным, поэтому предлагаемая по нему компенсация риска в виде 15%-ой доходности абсолютно недостаточна. Точно такую же среднюю ожидаемую доходность способна принести менее рискованная акция Б. Схема на рис. 5.2 наглядно иллюстрирует разброс ожидаемых значений доходности по двум акциям: он значительно шире по первому активу (А).На этой схеме изображено распределение вероятностей. В данном случае оно является дискретным, прерывистым, поэтому данные представлены в форме столбцов (гистограмма). В случае непрерывного распределения, график представляет собой плавную кривую.

Тесноту связи двух переменных в статистике измеряют при помощи коэффициентов корреляции, которые рассчитываются по формуле:

$$\rho_А_Б=\frac{C_o_v(А,Б)}{\sigma_А*\sigma_Б$$

где $$Cov(А, Б)$$ – коэффициент ковариации между доходностью акций А и Б.

Коэффициент ковариации вычисляется по формуле:

$$C_o_v(А,Б)=\sum\limits_{i}(r_i^А-\bar r)*(r_i^Б-\bar r)*p_i$$

Использовав данные табл. 5.8, получим:

$$C_o_v(А,Б)=85*5*0,3+0*0*0,4+-85*-5*0,3=255$$

Тогда коэффициент корреляции составит:

$$\rho_А_Б=\frac{255}{65,841*3,873}=1$$(рис 5.2)

То есть, "поведение" акций на рынке абсолютно идентично, поэтому они не могут быть использованы для диверсификации несистематического риска инвестиционного портфеля. С увеличением стоимости акции А будет возрастать в цене и акция Б, соответственно падение цены на первую акцию обусловливается влиянием тех же факторов, что и на вторую. В случае положительного влияния факторов, инвестор будет богатеть значительно быстрее, однако в противоположном случае, его убытки также будут возрастать опережающими темпами.

5.6. Модель оценки финансовых активов (CAPM)

Наряду с доходностью ценных бумаг или их портфелей, может быть определена доходность конкретного финансового рынка (например NYSE) в целом. Для этого можно использовать изменение какого-либо фондового индекса (DJIA, SP 500 и т.п.). Прирост (снижение) этого индекса за определенный период должен быть отнесен к значению индекса на начало периода:

$$r_m=\frac{I_1-I_0}{I_0}$$

$$I_1, I_0$$ – значения фондовых индексов соответственно на конец и начало периода;

$$r_m$$ – уровень доходности рынка в целом.

Например, фактическое значение индекса SP 500 составило на 10 мая 2000 года 1384,29, на следующий день оно достигло уровня 1401,74. Темп прироста за день (дневная доходность "средней" акции) равен 1,26%. Аннуилизировав этот результат по ставке простых процентов (временная база – 366 дней), получим:

$$r_m=\frac{1401,74-1384,29}{1384,29}*366=461,37\%$$

Полученный гигантский результат отражает изменение индекса лишь за 1 день, поэтому его не стоит автоматически экстраполировать на все остальные дни года. Безусловно, рост курса акций будет чередоваться с его падением, в результате чего фактическая годовая доходность "средней" акции будет иметь гораздо более скромную величину. В табл. 5.9 приведена динамика фактической годовой доходности индекса SP 500 за ряд лет в сопоставлении с динамикой доходности одной отдельно взятой акции, обращающейся на этом же рынке.

Годы	Доходность одной акции ( $$r$$ ), %	Доходность рынка ( $$r_m$$ ), %
1981	6,12	13,94
1982	14,97	13,94
1983	2,72	1,44
1984	13,2	18,41
1985	11,55	7,11

Приведенные в таблице данные позволяют сопоставить между собой изменения доходности отдельной акции и доходности рынка в целом. Если в предыдущем параграфе находилась теснота связи между отдельными акциями, входящими в инвестиционный портфель, то теперь можно найти степень зависимости доходности одной акции от уровня прибыльности всего рынка. В статистике подобные задачи решаются путем построения регрессионных уравнений вида:

$$y=\alpha+\beta*x+e$$

$$y$$ – результативный показатель;

$$x$$ – влияющий фактор;

$$a$$ - свободный член уравнения регрессии;

$$b$$ – коэффициент регрессии;

$$e$$ – погрешность.

Важнейшим параметром этого уравнения является коэффициент регрессии $$b$$, который показывает, насколько сильно изменение факторного показателя $$x$$ влияет на результирующий признак $$y$$.

В случае линейной формы регрессионного уравнения, простейшим способом оценки его параметров является использование метода наименьших квадратов, заключающегося в решении относительно $$\alpha$$: и $$\beta$$ следующей системы линейных уравнений:

$$\left\{\begin{array} \sum_{}y =\alpha*n+\beta*\sum_{}x\\ \sum_{}x*y=\alpha*\sum_{}x+\beta*\sum_{}x^2} \end{array}\right.$$

$$n$$ – общее число наблюдений (лет).

Решив ее, получим:

$$y=6,37+0,27x+e$$

Значение коэффициента регрессии $$\beta = 0,27$$ показывает, что с увеличением средней доходности рынка на 1 процентный пункт, доходность данной ценной бумаги возрастет лишь на 0,27 пункта. Иными словами, акция подвержена относительно менее сильному воздействию рыночных колебаний: при снижении рыночной доходности на 1 пункт, падение доходов по этой акции также составит в среднем лишь 0,27 пункта. Графическая аппроксимация фактических данных линейной функцией представлена на рис. 5.3 Коэффициент регрессии $$\beta$$ представлен на нем углом наклона линии регрессии к оси абсцисс.

(рис 5.3) Графическое представление взаимосвязи между доходностью отдельной акции и средней рыночной доходностью

Таким образом, коэффициент регрессии $$\beta$$ служит количественным измерителем систематического риска, не поддающегося диверсификации. Ценная бумага, имеющая $$\beta$$ -коэффициент, равный 1, копирует поведение рынка в целом. Если значение коэффициента выше 1, реакция ценной бумаги опережает изменение рынка как в одну, так и в другую сторону. Систематический риск такого финансового актива выше среднего. Менее рисковыми являются активы, $$\beta$$ -коэффициенты которых ниже 1 (но выше 0). Концепция $$\beta$$ -коэффициентов составляют основу модели оценки финансовых активов (Capital Assets Pricing Model, CAPM). При помощи этого показателя может быть рассчитана величина премии за риск, требуемой инвесторами по вложениям, имеющим систематический риск выше среднего.

Формула определения требуемой инвесторами доходности финансового инструмента имеет вид:

$$\gamma=\gamma_f+\beta*(\gamma_m-\gamma_f)$$

$$\gamma_f$$ – безрисковый уровень доходности (risc free).

Считается, что инвесторы питают неприязнь к излишнему на их взгляд риску (risc aversion), поэтому любая ценная бумага, отличная от безрисковых государственных облигаций или казначейских векселей, может рассчитывать на признание инвесторов только в том случае, если уровень ее ожидаемой доходности компенсирует присущий ей дополнительный риск. Данная надбавка называется премией за риск (второе слагаемое в формуле 5.6.4), она напрямую зависит от величины $$\beta$$ -коэффициента данного актива, так как предназначена для компенсации только систематического риска. Несистематический риск может быть устранен самим инвестором путем диверсификации своего портфеля, поэтому рынок не считает нужным устанавливать вознаграждение за этот вид риска.

Сама по себе CAPM является изящной научной теорией, имеющей солидное математическое обоснование. Для того, чтобы она "работала" необходимо соблюдение таких заведомо нереалистических условий как наличие абсолютно эффективного рынка, отсутствие транзакционных издержек и налогов, равный доступ всех инвесторов к кредитным ресурсам и др. Тем не менее столь абстрактное логическое построение получило практически всеобщее признание в мире реальных финансов. Крупнейшие рыночные институты, такие как инвестиционный банк Merril Lynch, регулярно рассчитывают $$\beta$$ -коэффициенты всех крупных компаний, котирующихся на фондовых биржах. Отсутствие в России сформированной финансовой инфраструктуры пока еще препятствует использованию всего потенциала, заложенного в данную модель. Поэтому рассмотрим пример

(рис 5.4) Взаимосвязь уровня b-коэффициента и требуемой доходности расчета уровня ожидаемой доходности с использованием подхода capm на фондовом рынке сша.

Компания, имеющая $$\beta$$ -коэффициент 2,5, собирается привлечь дополнительный собственный капитал путем эмиссии обыкновенных акций. Уровень безрисковой процентной ставки составляет 6,25%, средняя доходность рынка, рассчитанная по индексу SP 500, – 14%. Для того, чтобы сделать свои ценные бумаги привлекательными для инвесторов, компания должна предложить по ним ежегодный доход не ниже 25,625% (6,25 + 2,5 * (14 – 6,25)). Размер премии за риск составит 19,375%. Столь существенные ограничения, накладываемые рынком на возможности снижения цены капитала, устанавливают предел доходности инвестиционных проектов, которые компания собиралась финансировать привлекаемым капиталом: внутренняя норма доходности этих проектов должна быть не ниже 25,625%. В противном случае NPV проектов окажется отрицательной, то есть они не обеспечат увеличения стоимости предприятия. Если бы $$\beta$$ -коэффициент компании был равен 1,5, то размер премии за риск составил бы 11,625% (1,5 * (14 – 6,25)), то есть цена нового капитала составила бы лишь 17,875%. Полученные результаты могут быть представлены на графике, показывающем зависимость требуемой инвесторами нормы доходности при заданных значениях $$\b$$ -коэффициента, безрисковой процентной ставки ( $$r_f$$ ) и средней рыночной доходности ( $$r_m$$ ). Данный график отражает линию рынка ценных бумаг (Security Market Line, SML) (рис. 5.4).

Использование CAPM дает финансовому менеджеру инструмент прогнозирования издержек по привлечению нового капитала для реализации инвестиционных проектов. Финансы любого предприятия являются открытой системой, поэтому, планируя свои капиталовложения, оно обязано учитывать при этом конъюнктуру финансового рынка. Менеджеры компании могут абсолютно ничего не знать об индивидуальных особенностях и личных предпочтениях потенциальных инвесторов. Это не освобождает их от обязанности предугадать главную потребность любого инвестора – получить доход, компенсирующий риск инвестиций. В этом им может помочь использование модели оценки финансовых активов.

5.7. Финансовый леверидж

Понимание природы инвестиционного риска и умение оценивать его величину важно не только для инвестора, но и финансового менеджера предприятия. Величина $$\beta$$ -коэффициента конкретной компании служит для инвестора ориентиром при определении им уровня желаемой доходности по ценным бумагам этой компании. Для финансового менеджера ставка выплачиваемого дохода означает цену привлечения капитала. Поэтому, планируя источники финансирования инвестиций, он обязан учитывать рыночную оценку риска своей компании. В противном случае параметры доходности эмитируемых ценных бумаг окажутся выше или ниже тех, которые могли быть одобрены рынком. А это будет означать или непомерно высокую цену нового капитала или невозможность разместить ценные бумаги из-за их низкой доходности. Риск конкретной ценной бумаги интересует инвестора только как фактор изменения общего риска портфеля. При необходимости данный риск может быть диверсифицирован, если этого окажется недостаточно, инвестор может просто избавиться от слишком рискованной на его взгляд бумаги. Финансовый менеджер находится в качественно иной ситуации – весь его "портфель" состоит из одного только предприятия, избавиться от которого он может лишь потеряв свою работу. Он обязан четко представлять причины, обусловившие ту или иную рыночную оценку риска, присущего данной компании.

Как видно из схемы на рис. 5.1 (параграф 5.4), наряду с внешними факторами (валютный риск, риск процентной ставки и др.), существуют внутренние предпосылки увеличения или снижения риска предприятия: предпринимательский (деловой) и финансовый риски. Под предпринимательским понимается риск неполучения операционной прибыли (прибыли до уплаты процентов по кредитам и налога на прибыль). Одной из характеристик этого риска является операционный леверидж, рассмотренный в параграфе 3.2. Финансовый риск сопряжен с возможностью неполучения чистой прибыли до уплаты налога на прибыль, но после выплаты процентов. Одним из измерителей риска такого рода является финансовый леверидж или эффект финансового рычага. Сравнив между собой формулы определения операционной прибыли и чистой прибыли до налогообложения, можно сделать вывод, что дополнительным фактором риска в случае финансового левериджа выступает общая сумма процентов за кредит:

$$Приб=(p-v)*q-F_0-I$$ $$E-I=(p-v)*q-F_0$$

$$Приб$$ – операционная прибыль;

$$E-I$$ – чистая прибыль до уплаты налога на прибыль;

$$p$$ – цена 1 изделия;

$$v$$ – переменные издержки на 1 изделие;

$$q$$ – объем продаж;

$$F_0$$ – фиксированные расходы, связанные только с операционной деятельностью (без процентов за кредит);

$$I$$ – сумма процентов за кредит.

Очевидно, что сумма процентных платежей увеличивается по мере роста удельного веса заемного капитала в общей структуре источников финансирования предприятия. Следовательно, финансовый леверидж отражает степень зависимости предприятия от кредиторов, то есть величину риска потери платежеспособности. Чем выше финансовый леверидж, тем выше риск во-первых неполучения чистой прибыли, а во-вторых – банкротства предприятия. С другой стороны, финансовый леверидж способствует повышению рентабельности собственного капитала: не вкладывая в предприятие дополнительный собственный капитал (он замещается заемными средствами), владельцы получают большую сумму чистой прибыли, "заработанную" заемным капиталом. Кроме этого предприятие получает возможность воспользоваться "налоговым щитом", так как в отличие от дивидендов по акциям сумма процентов за кредит вычитается из общей величины прибыли, подлежащей налогообложению. Однако, чтобы воспользоваться преимуществами финансового левериджа, предприятию необходимо выполнить обязательное условие – заработать операционную прибыль, достаточную как минимум для покрытия процентных платежей по заемным средствам.

Являясь постоянной величиной по отношению к операционной прибыли, сумма процентов выполняет примерно ту же функцию, что и сумма фиксированных расходов в случае операционного левериджа: в точке ее покрытия возникает чистая прибыль и, чем выше плата за кредит, тем быстрее растет чистая прибыль на 1 акцию в окрестностях точки покрытия. По мере снижения операционной прибыли, величина чистого дохода каждого акционера также будет уменьшаться непропорционально быстро. Увеличение доли заемного капитала создает эффект рычага, действующего в обоих направлениях -– как в сторону повышения чистой прибыли на 1 акцию, так и в сторону ее снижения. Понуждая руководство предприятия увеличивать его финансовую зависимость от кредиторов, собственники полностью принимают на себя дополнительный финансовый риск: проценты по кредиту должны быть уплачены независимо от результатов работы, а выплата дивидендов производится только из чистой прибыли, которую предприятие может и не получить. Кроме того, в случае банкротства предприятия, кредиторы будут иметь преимущества в сравнении с акционерами на получение своей доли в его имуществе. Владельцы окажутся последними в очереди претендентов на остаточную стоимость ликвидируемого предприятия. Столь значительное повышение риска акционеров компенсируется более высоким уровнем рентабельности собственного капитала, который обеспечит предприятие в случае благополучного исхода.

Изменение чистой прибыли до уплаты налога на 1 акцию по отношению к операционной прибыли

Предприятие 1			Предприятие 2
Доля займа, %	Операционная прибыль, тыс. руб.	Чистая прибыль на 1 акцию, руб.	Доля займа, %	Операционная прибыль, тыс. руб.	Чистая прибыль на 1 акцию, руб.
10	-1000	-0,22	0,5	-1000	-3,42
10	0	-0,02	0,5	0	-1,62
10	500	0,08	0,5	500	-0,72
10	1000	0,18	0,5	1000	0,18

Нанеся эти значения на график (рис. 5.5), можно видеть, что чистая прибыль на 1 акцию второго предприятия растет быстрее, чем первого, относительно операционной прибыли. То есть в случае роста операционной прибыли на 1 процентный пункт, чистая прибыль на 1 акцию у второго предприятия увеличится значительно быстрее. Точно так же она будет быстрее снижаться при уменьшении операционной прибыли на 1 пункт.

Количественное влияние эффекта финансового рычага принято измерять отношением суммы операционной прибыли к величине чистой прибыли до налогообложения:

$$L_ф_и_н_а_н_с=\frac{Приб}{Приб-I}=\frac{Приб}{E-I}$$

Например, у предприятия, получившего операционную прибыль 10 млн. рублей, и уплатившего 2 млн. рублей процентов за кредит, финансовый леверидж составит 1,25 (10 / (10 – 2)). Если же степень финансовой зависимости предприятия была в 3 раза выше, то есть ему пришлось заплатить 6 млн. рублей процентных платежей, эффект финансового рычага будет равен 2,5 (10 / (10 – 6)). В первом случае увеличение операционной прибыли на 1 процентный пункт обеспечит собственникам рост чистой прибыли до налогообложения в расчете на 1 акцию на 1,25 пункта, во втором – на 2,5 процентных пункта. Столь же быстро будут снижаться доходы владельцев в случае снижения операционной прибыли.

(рис 5.5) График финансового левериджа

Влияние финансового левериджа "накладывается" на эффект операционного рычага. Общий риск предприятия резко возрастает, если и операционный и финансовый леверидж имеют значения выше единицы. Произведение двух этих показателей называется общим или комбинированным левериджем . Объединив формулы (5.7.3) и (2) из параграфа 3.2, получим:

$$L_к_о_м_б=L_о_п_е_р*L_ф_и_н_а_н_с=\frac{M}{Приб}*\frac{Приб}{E-I}=\frac{M}{E-I}=\frac{(p-v)*q}{(p-v)*q-F_0-I}$$

То есть, комбинированный леверидж предприятия, имеющего операционный леверидж 1,7 и финансовый леверидж 1,5, составит 2,55 (1,7 * 1,5). Для предприятия, операционный леверидж которого равен 3, а финансовый 0,4, общий леверидж будет заметно ниже: 1,2 (3 * 0,4). Понимание смысла и механизма действия эффектов финансового и операционного рычагов дает финансовому менеджеру возможность управлять внутренним риском своего предприятия, способствуя тем самым снижению цены капитала, привлекаемого на финансовом рынке.

Величина операционного и финансового рисков не может не влиять на общий инвестиционный риск ценных бумаг предприятия. Даже на слабоэффективных рынках у всех инвесторов имеется возможность получать финансовую отчетность предприятия и рассчитывать интересующие их показатели. Связь между комбинированным левериджем и $$\beta$$ -коэффициентом фирмы может быть выражена следующим уравнением:

$$\beta=\frac{\sigma_i*\rho_i_,_m}{\sigma_m}$$

$$\sigma_i$$ - стандартное отклонение прибыли на 1 акцию предприятия $$i$$ ;

$$\rho_i_,_m$$ - коэффициент корреляции между уровнем прибыли на 1 акцию предприятия i и доходностью рынка в целом;

$$\sigma_m$$ - стандартное отклонение доходности рынка.

Связь между $$\beta$$ -коэффициентом и финансовым левериджем выражается формулой:

$$\beta_L=\beta_U*(1+\frac{D}{S})$$

где

$$\beta_L $$ - $$\beta$$ -коэффициент предприятия, имеющего займы ( Leveraged);

$$\beta_U $$ - $$\beta$$ -коэффициент предприятия, не имеющего займов ( Unleveraged);

$$D$$ – рыночная цена всех долговых ценных бумаг предприятия (в том числе и привилегированных акций);

$$S$$ – рыночная цена обыкновенных акций предприятия.

Например, $$\beta$$ -коэффициент предприятия, не имеющее заемного капитала, равен 2,7. Если руководство предприятия захочет привлечь заемные средства, доведя их долю в общей рыночной стоимости своего рыночного капитала до 30% (то есть отношение $$\frac{D}{S}$$ составит 0,42857 (0,3 / 0,7)), то рынок даст следующую оценку $$\beta$$ -коэффициенту предприятия:

$$\beta_{L-0,3}=2,7*(1+0,42857)\approx3,86$$

Столь заметное увеличение $$\beta$$ -коэффициента может привести к удорожанию капитала, доступного предприятию, поэтому его руководство должно обеспечить инвестирование "свежих" финансовых ресурсов в проекты с более высокой внутренней нормой доходности.