Эконометрика опирается на твердый научный фундамент - теорию вероятностей и статистику. В области теории вероятностей наша страна является признанным мировым лидером. Практически все специалисты в этой области исходят в своей работе из аксиоматики теории вероятностей, предложенной академиком А.Н. Колмогоровым в 1933 г. [1].
Однако в отечественной и зарубежной литературе присутствуют различные интерпретации терминов и разделов эконометрики, теории вероятностей, статистики. Одна из причин состоит в том, что используют в своей работе эти научные области специалисты разных профессий - экономисты, инженеры, математики… Поэтому мы приводим основную терминологию и краткое описание математической статистики и ее новых разделов.
Определения практически всех используемых в литературе понятий теории вероятностей и математической статистики и основные сведения о соответствующих математических объектах собраны в Энциклопедии [2]. Ниже приведены определения и обозначения (в стиле [2]) лишь для основных понятий теории вероятностей и прикладной статистики, используемых в настоящем учебном пособии. Как показали предыдущие публикации, эта сводка позволяет осознанно изучать и применять эконометрические методы для анализа конкретных экономических данных. Однако она, очевидно, не заменяет систематических курсов теории вероятностей и прикладной математической статистики, знакомство с которыми - необходимая предпосылка для изучения эконометрики.
Споры по поводу терминов весьма распространены. Весьма популярно желание добиться единства терминологии. Однако практика терминологических дискуссий показывает, что придти к единому мнению обычно не удается. Не помогают достижению единства и административные меры, например, принятие государственных стандартов, "несоблюдение которых карается по закону". Зачастую такие стандарты содержат в себе много спорного, а то и ошибочного.
Почти в каждой области знания параллельно существуют различные терминологические системы. Большого вреда это обычно не приносит. Так, операция умножения двух чисел $$a$$ и $$b$$ может быть обозначена четырьмя способами - крестиком (т.е. $$a \times b$$ ), точкой $$(a. b)$$, отсутствием знака между сомножителями $$(ab)$$ или звездочкой, как при программировании $$(a* b)$$. Случайные величины обозначают либо латинскими буквами, либо греческими. Для математического ожидания используют либо символ $$М$$, либо символ $$Е$$, и т.п.. Обычно можно без труда понять, о чем идет речь.
Однако при изучении настоящего курса эконометрики необходимо пользоваться вполне определенной терминологической системой. Она и приводится ниже. При этом мы отнюдь не отрицаем пригодности других систем терминов и определений в тех или иных случаях.
| №№ пп. | Термины | Определения | Примечания |
|---|---|---|---|
| 1. Теория вероятностей | |||
| 1.1. Общие понятия | |||
| 1.1.1. | Пространство |
Множество, элементы которого, называемые |
Пространство |
| 1.1.2 | Случайное событие | Измеримое подмножество пространства |
Термин "измеримое" понимают в смысле теории измеримых множеств. Случайные события образуют $$\sigma$$ -алгебру $$G$$ |
| 1.1.3 | Вероятностная мера | Сигма-аддитивная мера $$P$$, определенная на всех случайных событиях и такая, что $$P(\Omega?) = 1, где \Omega$$? - пространство |
Вероятностная мера $$P$$ - функция, ставящая в соответствие каждому случайному событию $$A $$ его вероятность $$P(A) $$. Термин "мера" понимают в смысле математической теории меры. Синонимы: вероятностное распределение, распределение вероятностей, распределение, вероятность на пространстве |
| 1.1.4. | Вероятностное пространство | Совокупность $$\{\Omega?, G, P\}$$ пространства |
Вероятностное пространство (синоним: поле вероятностей) - основной исходный объект теории вероятностей и |
| 1.1.5. | Вероятность события $$A$$ | Значение $$P(A) $$ вероятностной меры $$P$$ на случайном событии $$A$$ | В силу закона больших чисел частота реализации события $$A$$ при неограниченном увеличении где $$m/n$$ - частота, $$p$$ - вероятность события $$A$$, $$n$$ - число повторений. Это свойство нельзя принимать за определение вероятности события в математической теории вероятностей. Оно указывает способ оценивания вероятности по опытным данным. |
| 1.1.6. | Независимость случайных событий | Случайные события $$А$$ и $$В$$ являются независимыми, если $$Р(АВ) = Р(А)Р(В) $$, где $$АВ$$ - |
Общематематическое понятие пересечения множеств $$А\bigcupВ$$ в теории вероятностей по традиции эквивалентно понятию произведения событий $$АВ$$. |
| 1.1.7 | Случайный элемент | Измеримая функция, определенная на вероятностном пространстве | Случайный элемент $$Х$$ принимает значения в измеримом пространстве $$(Z,J) $$, где $$Z$$ - пространство значений $$Х$$, а $$J$$ - класс измеримых подмножеств $$Z$$ ; при этом для любого $$Q\in J$$ множество $$Х^{-1}(Q) $$ является случайным событием. Если $$Z$$ - множество действительных чисел $$R^1$$, то случайный элемент $$Х$$ называют случайной величиной. Если $$Z = R^k$$ - конечномерное векторное пространство размерности $$k=2,3, \dots$$, то случайный элемент $$Х$$ называют случайным вектором. |
| 1.1.8. | Распределение случайного элемента | Функция множества, задающая вероятность принадлежности случайного элемента измеримому подмножеству его области значений | Для случайного элемента $$Х$$, определенного на вероятностном пространстве $$\{\Omega, G, P\}$$ со значениями в измеримом пространстве $$(Z,J) $$, его распределение $$P_1:J -\to [0,1] $$ задается формулой $$P_1 (Q) = P (Х^{-1}(Q)), Q \in J$$. |
| 1.1.9. | Дискретный случайный элемент | Случайный элемент, область значений которого состоит из конечного или счетного множества точек. | Распределение случайного элемента $$Х$$, принимающего только значения $$х_1, х_2,\dots$$, полностью описывается числами $$р_i = P(X=х_i), i = 1,2,\dots$$, причем $$р_1 + р_2 +\dots = 1$$. |
| 1.1.10 | Параметрическое семейство распределений | Функция, определенная на параметрическом пространстве (подмножестве конечномерного векторного пространства), которая каждому значению параметра (числу или вектору, входящему в параметрическое пространство) ставит в соответствие распределение случайного элемента. | Параметр может быть одномерным или конечномерным. Вместо "зависимость от $$k$$ -мерного параметра" часто говорят "зависимость от k параметров". |
| 1.1.11 | Независимость случайных элементов | Определенные на одном и том же вероятностном пространстве случайные элементы $$X_1, X_2,\dots,X_k$$ со значениями в измеримых пространствах $$(Z_1, J_1), (Z_2, J_2), \dots, (Z_k, J_k) $$ соответственно называются независимыми, если для любых $$Q_1\in J_1, Q_2 \inJ_2,\dots, Q_k \inJ_k$$ имеем $$Р(X_1\in Q_1, X_2 \in Q_2,\dots, X_k \inQ_k) = Р(X_1\inQ_1)P(X_2\inQ_2)\dots P(X_k\inQ_k) $$. | Для случайных величин и векторов, имеющих плотности вероятности, независимость эквивалентна тому, что плотность вероятности вектора $$(Х_1, Х_2, \dots, Х_k) $$ равна произведению плотностей вероятностей случайных величин $$Х_i$$, т.е. $$f (x_1, x_2, \dots, x_k) = f(x_1)f(x_2) \dots f(x_k) $$. Результаты экспериментов, которые проведены независимо друг от друга, как правило, моделируются с помощью независимых случайных величин. |
| 1.1.12 | Математическая модель явления (процесса), в которой использованы понятия теории вероятностей и математической статистики | Установление (формулировка) исходной |
|
| 1.2. Случайная величина | |||
| 1.2.1. | Случайная величина | Однозначная действительная измеримая функция на вероятностном пространстве | Однозначная действительная функция $$X:\Omega \toR^1$$ является случайной величиной, если для любого $$х\inR^1$$ множество $$\{\omega:X(\omega) \le x\}$$ является случайным событием. Случайная величина - это случайный элемент со значениями в $$R^1$$. (Здесь $$R^1$$ - множество действительных чисел.) |
| 1.2.2. | Функция распределения | Функция, определяющая для всех действительных чисел $$х$$ вероятность того, что случайная величина $$Х$$ принимает значения, меньшие $$х$$ | Функция распределения $$F(x) = P(X < x) = P\{\omega?:X(\omega?) < x\}$$. Функция распределения непрерывна слева. Примечание. Иногда функцию распределения определяют как $$F(x) = P(X < x) = P\{\omega:X(\omega) < x\}$$. Тогда она непрерывна справа |
| 1.2.3. | Плотность вероятности | Функция $$p(t) $$ такая, что $$F(x)=\int_{-\infty}^x p(t)dt$$, при всех $$х$$, где $$F(x) $$ - функция распределения рассматриваемой случайной величины | Сокращенная форма: плотность |
| 1.2.4. | Непрерывная случайная величина | Случайная величина, функция распределения которой при всех действительных $$x$$ непрерывна | |
| 1.2.5 | Значение случайной величины, для которого функция распределения принимает значение $$p$$ или имеет место "скачок" со значения меньше $$p$$ до значения больше $$p$$ | Число $$х_р$$ - |
|
| 1.2.6. | Медиана | ||
| 1.2.7. | Мода непрерывной случайной величины | Значение случайной величины, соответствующее |
Мод у непрерывной случайной величины может быть несколько (конечное число или бесконечно много). Краткая форма термина: мода |
| 1.2.8. | Математическое ожидание | Среднее взвешенное по вероятностям значение случайной величины $$X(\omega)$$, т.е. $$\int_{\Omega} X(\omega )P(d\omega )$$ | Математическое ожидание обозначают $$М(Х), Е(Х), МХ, ЕХ$$ и др. Рекомендуемое обозначение: $$М(Х) $$. При этом $$M(X)=\int_{\Omega}X(\omega )P(d\omega )=\int_{-\infty}^{+\infty}xdF(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}tp(t)dt$$, где $$F(x) $$ - функция распределения, а $$p(t) $$ - плотность вероятности случайной величины $$Х = X(\omega)$$. Математическое ожидание существует не для всех случайных величин $$Х$$. Для существования математического ожидания необходимо и достаточно абсолютной сходимости соответствующего интеграла |
| 1.2.9. | Дисперсия (случайной величины $$X$$ ) | Математическое ожидание квадрата разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием | Для случайной величины $$Х$$ дисперсия $$D(X) = \sigma^2=\sigma^2(X)=М(X-М(X))^2$$. Дисперсия равна 0 тогда и только тогда когда $$Р(Х=а)=1$$ для некоторого а |
| 1.2.10 | Среднее квадратическое отклонение | Неотрицательный квадратный корень из дисперсии | |
| 1.2.11 | Отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию | Применяется для положительных случайных величин как показатель разброса | |
| 1.2.12. | Момент порядка $$q$$ (случайной величины $$X$$ ) | Математическое ожидание случайной величины $$X^q$$ | |
| 1.2.13 | Центральный момент порядка q (случайной величины $$X$$ ) | Математическое ожидание случайной величины $$(X-М(X))^q$$, где М(Х) - математическое ожидание $$Х$$. | Дисперсия - центральный момент порядка 2. |
| 1.2.14 | Характеристи-ческая функция (случайной величины $$X$$ ) | Функция от $$t \in R^1,$$ при каждом $$t$$ равная математическому ожиданию случайной величины $$e^{itX}$$, где $$i$$ - |
$$М(e^{itX}) = М(\cos(tX) + i\sin(tX)) = М(\cos(tX)) + iМ(\sin(tX)) $$. |
| 1.3. Случайный вектор | |||
| 1.3.1. | Случайный вектор | Однозначная измеримая функция на вероятностном пространстве со значениями в конечномерном |
Случайный вектор $$Х$$ - это случайный элемент со значениями в $$R^k$$, т.е. $$X = X(\omega?) = (X_1(\omega?), X_2(\omega?),\dots, X_k(\omega?))$$, где $$X_i(\omega?), i = 1,2,\dots,k$$, - случайные величины, заданные на одном и том же вероятностном пространстве |
| 1.3.2. | Функция распределения (случайного вектора) | Функция распределения $$F(x_1, x_2, \dots, x_k) $$ случайного вектора $$X(\omega) = (X_1(\omega?), X_2(\omega?),\dots, X_k(\omega?))$$ удовлетворяет равенству $$F(x_1, x_2,\dots, x_k) = P (X_1<x_1, X_2<x_2,\dots, X_k<x_k) = P\{ \omega?:X_1(\omega?)< x_1, X_2(\omega?)< x_2,\dots, X_k(\omega?)< x_k) \}$$. | |
| 1.3.3. | Плотность вероятности (случайного вектора) | Функция $$p(x) $$ такая, что $$P(X \in A)=\int_A p(x) dx$$ для случайного вектора $$X = X(\omega)$$ и любого борелевского подмножества $$А$$ конечномерного |
|
| 1.3.4. | Математическое ожидание случайного вектора | Вектор, компоненты которого - математические ожидания компонент случайного вектора | Математическое ожидание случайного вектора $$X = (X_1, X_2, /dots, X_k) $$ есть $$(М(X_1), М(X_2), \dots, М(X_k)) $$, где $$М(X_i) $$ - математическое ожидание случайной величины $$X_i$$, являющейся $$i$$ - ой компонентой случайного вектора $$X$$, $$i = 1,2,\dots, k$$. |
| 1.3.5. | Ковариация (для двумерного вектора) | Ковариацией вектора $$(X,Y) $$ называется математическое ожидание случайной величины $$(X - МX))(Y - М(Y)) $$, где $$М(X) $$ и $$М(Y) $$ - математические ожидания случайных величин $$X$$ и $$Y$$. | $$\cov(X,Y) = М (X - М(X))(Y - М(Y)) $$ ; если $$X = Y$$, то $$cov(X,Y) = D(X) $$ - дисперсия $$X$$. |
| 1.3.6. | Ковариационная матрица случайного вектора | Квадратная матрица $$\|c_{ij}\|$$ порядка $$k$$, в которой $$c_{ij}$$ - ковариация двумерного вектора $$(X_i, X_j) $$, где $$X_i$$ и $$X_j$$ - компоненты случайного вектора $$X = (X_1, X_2,\dots, X_k), i,j = 1,2, \dots,k$$. | Ковариационная матрица симметрична, на главной диагонали стоят дисперсии $$X_i$$ - компонент $$X, i = 1,2,\dots,k$$. |
| 1.3.7. | Отношение ковариации вектора $$(X,Y) $$ к произведению средних квадратических отклонений $$\sigma(X) $$ и $$?\sigma (У) $$ случайных величин $$Х$$ и $$У$$. | $$r(X,Y)-\frac{cov(X,Y)}{ \sigma(X)\sigma(Y)}$$. Если $$Y = aX+b, то |r(X,Y)| = 1$$. Верно и обратное: если $$|r(X,Y)| = 1$$, то $$Y = aX+b$$.. | |
| 1.3.8. | Корреляционная матрица случайного вектора | Квадратная матрица $$\|r_{ij}\|$$ порядка $$k$$, в которой $$r_{ij}$$ - |
Корреляционная матрица симметрична, на главной диагонали стоят единицы |
| 2. Прикладная статистика | |||
| 2.1. Общие понятия | |||
| 2.1.1. | Признак | Свойство (характеристика) объекта наблюдения | Частными видами наблюдения являются измерение, испытание, анализ, опыт, проверка и т.д. |
| 2.1.2. | Результат наблюдения | Значение признака объекта наблюдения | Результат наблюдения может быть числом, вектором, элементом конечного множества или математическим объектом иной природы |
| 2.1.3. | Выборка | Совокупность значений одного и того же признака у подвергнутых наблюдению объектов | Выборка - совокупность чисел или векторов, или математических объектов иной природы, соответствующих изучаемым реальным объектам наблюдения |
| 2.1.4. | Число результатов наблюдений, включенных в выборку | ||
| 2.1.5. | Примерами |
||
| 2.1.6. | Простая |
Выборка, в которой результаты наблюдений моделируются как совокупность независимых одинаково распределенных случайных элементов | Если результаты наблюдений имеют распределение F, то говорят, что "выборка извлечена из распределения F". |
| 2.1.7. | Выборка объема $$n$$, в которую включены результаты наблюдений над объектами, отбираемыми из конечной совокупности так, что любой набор n объектов имеет одинаковую вероятность быть отобранным | Если $$N$$ - число объектов конечной совокупности, то для получения случайной выборки объема $$n$$ из этой совокупности, $$n < N$$, отбор объектов для проведения наблюдений должен проводиться так, чтобы любой набор из $$n$$ объектов имел одну и ту же вероятность быть отобранным, равную $$n!(N-n)!/ N$$!, т.е. обратной величине к числу сочетаний из $$N$$ элементов по $$n$$. | |
| 2.1.8. | Статистика | Измеримая функция результатов наблюдений, включенных в выборку, используемая для получения статистических выводов | Статистики используются для описания данных, оценивания, проверки гипотез. Статистика, как функция случайного элемента, является случайным элементом. Статистика принимает значения в некотором измеримом пространстве $$(Z,J) $$, своем для каждой статистики |
| 2.2. Описание данных | |||
| 2.2.1. | Отношение числа наблюдений, в которых осуществилось событие, к |
||
| 2.2.2. | Эмпирическое распределение | Распределение случайного элемента, в котором каждому результату наблюдения, включенному в выборку, соответствует одна и та же вероятность, равная обратной величине объема выборки | Если в выборку включены результаты наблюдений $$x_1, x_2, \dots, x_n$$, то эмпирическое распределение - это распределение случайной величины $$Х$$ такой, что $$Р(Х= x_i) = 1/n, i = 1,2,\dots, n$$. Если несколько результатов наблюдений совпадают: $$x_1 = x_2 =\dots = x_k = a$$, то полагают $$Р(Х=а) = k/n$$. |
| 2.2.3. | Функция эмпирического распределения | Определена, когда результаты наблюдений - числа или |
|
| 2.2.4. | Сумма результатов наблюдений, включенных в выборку, деленная на ее объем | ||
| 2.2.5 | Выборочная дисперсия | Сумма квадратов отклонений результатов наблюдений, включенных в выборку, от их |
Выборочная дисперсия $$s^2=\frac 1n \sum_{i=1}^n(x_i-x_{cp})^2$$, где $$x_1, x_2, \dots, x_n $$ - результаты наблюдений, включенные в выборку; $$x_{ср}$$ - |
| 2.2.6. | Неотрицательный квадратный корень из выборочной дисперсии | ||
| 2.2.7. | Выборочный момент порядка $$q$$ | Момент порядка $$q$$ случайной величины, имеющей эмпирическое распределение | $$m_q = 1/n \sum_{i=1}^n х_iq$$, где $$х_i$$ по п.2.2.5. |
| 2.2.8. | Выборочный центральный момент порядка $$q$$ | Центральный момент порядка $$q$$ случайной величины, имеющей эмпирическое распределение | $$m_q = 1/n\sum_i=1}^n (х_i - x_{ср})q,$$ где $$х_i$$ и $$x_{ср}$$ по п.2.2.5. |
| 2.2.9 | $$k$$ -я порядковая статистика | $$k$$ -й элемент $$x_{(k)} $$ в вариационном ряду, полученном из выборки объема $$n$$, элементы которой $$x_1, x_2,\dots, x_n$$ расположены в порядке неубывания: $$x(1) \le x(2) \le \dots \le x(k) \le \dots \le x(n) $$. | |
| 2.2.10 | Размах выборки | Разность между наибольшим и наименьшим значениями результатов наблюдений в выборке | Если $$x(1) $$ и $$x(n) $$ - первая и $$n$$ -ая порядковые статистики в выборке объема $$n$$, то размах $$R = x_{(n)} - x_{(1)} $$. |
| 2.2.11. | Выборочная ковариация | Ковариация двумерного случайного вектора, имеющего эмпирическое распределение | Если $$(x_i, y_i), i=1,2,\dots,n$$, - результаты наблюдений, включенные в выборку, то выборочная ковариация равна $$1/n\sum_{i=1}^n (х_i - x_{ср})(y_i - y_{ср})$$, где $$х_i$$ и $$x_{ср}$$ по п.2.2.5, $$y_{ср} = 1/n\sum_{i=1}^ny_i$$ |
| 2.2.12 | Выборочная ковариационная матрица | Ковариационная матрица случайного вектора, имеющего эмпирическое распределение | На главной диагонали выборочной ковариационной матрицы стоят выборочные дисперсии по п.2.2.5, а вне главной диагонали - выборочные ковариации по п.2.2.11 |
| 2.2.13 | Выборочный |
Выборочный |
|
| 2.2.14 | Выборочная корреляционная матрица | Корреляционная матрица случайного вектора, имеющего эмпирическое распределение | На главной диагонали выборочной корреляционной матрицы стоят 1, а вне главной диагонали - выборочные коэффициенты корреляции по п.2.2.13. |
| 2.2.15 | Выборочный |
Отношение |
Выборочный |
| 2.3. Оценивание | |||
| 2.3.1. | Оценивание | Приближенное определение интересующей специалиста составляющей |
Составляющими |
| 2.3.2 | Оценка | Результат оценивания по конкретной выборке | Оценка является статистикой, а потому случайным элементом, в частных случаях - случайной величиной или случайным вектором |
| 2.3.3. | Точечное оценивание | Вид оценивания, при котором для оценивания используется одно определенное значение | |
| 2.3.4. | Доверительное оценивание | Вид оценивания, при котором для оценивания используется множество | Рассматриваемое множество лежит в пространстве возможных состояний оцениваемой составляющей |
| 2.3.5 | Доверительное множество | Определяемое по выборке множество в пространстве возможных состояний оцениваемой составляющей, используемое при доверительном оценивании | Доверительное множество является случайным множеством |
| 2.3.6 | Доверительная вероятность | Вероятность того, что доверительное множество содержит действительное значение оцениваемой составляющей | В конкретных задачах оценивания для фиксированных |
| 2.3.7 | Доверительный интервал | Доверительное множество, являющееся интервалом | Интервалы могут быть как ограниченными, так и неограниченными (лучами). |
| 2.3.8. | Доверительные границы | Концы (границы) |
|
| 2.3.9. | Верхняя доверительная граница | Граница |
Для |
| 2.3.10 | Нижняя доверительная граница | Граница |
Различие верхних, нижних и двусторонних доверительных границ необходимо учитывать при проведении конкретных расчетов, т.к. часто все виды границ определяются с помощью одних и тех же таблиц |
| 2.3.11 | Двусторонние доверительные границы | Границы ограниченного (и сверху, и снизу) |
Для двусторонних границ $$(T_1;T_2) $$ с вероятностью 1 справедливо неравенство $$T1 \le T_2$$. |
| 2.4. Проверка |
|||
| 2.4.1. | Определенное предположение о свойствах распределений случайных элементов, лежащих в основе наблюдаемых случайных явлений (процессов). | ||
| 2.4.2 | Нулевая гипотеза | Из возможных |
|
| 2.4.3. | Альтернативная гипотеза | Сокращенная форма - альтернатива | |
| 2.4.4. | Правило, по которому на основе результатов наблюдений принимается решение о принятии или отклонении нулевой гипотезы | Принимаемое решение может однозначно определяться по результатам наблюдений (нерандомизированный критерий) или в некоторой степени зависеть от случая (рандомизированный критерий). | |
| 2.4.5. | Статистика критерия | Статистика, на основе которой сформулировано решающее правило | Как правило, нерандомизированный |
| 2.4.6. | Область в пространстве возможных выборок со следующими свойствами: если наблюдаемая выборка принадлежит данной области, то отвергают нулевую гипотезу (и принимают альтернативную), в противном случае ее принимают (и отвергают альтернативную). | Если |
|
| 2.4.7. | Множество чисел такое, что при попадании в него статистики критерия нулевую гипотезу отвергают, в противном случае принимают | Краткая форма: |
|
| 2.4.8. | Критические значения | Границы (концы) одного или двух интервалов, составляющих критическую область статистики критерия | Критическими значениями являются одно или два из чисел $$t_1, t_2$$ в случае, если |
| 2.4.9 | Ошибка первого рода | Ошибка, заключающаяся в том, что нулевую гипотезу отвергают, в то время как в действительности эта гипотеза верна | |
| 2.4.10 | Уровень значимости | Вероятность ошибки первого рода или точная верхняя грань таких вероятностей | Если нулевая гипотеза является сложной (например, задается с помощью множества параметров $$\Theta_0$$ ), то вероятность ошибки первого рода может быть не числом $$(\alpha)$$, а функцией $$(\alpha (\theta_0), \theta_0 \in \Theta_0) $$. В качестве уровня значимости берут точную верхнюю грань значений указанной функции: $$\alpha=\sup_{\theta_0 \in \Theta_0} \alpha(\theta_0)$$ |
| 2.4.11 | Ошибка, заключающаяся в том, что нулевую гипотезу принимают, в то время как в действительности эта гипотеза неверна (а верна альтернативная гипотеза). | ||
| 2.4.12 | Вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если альтернативная гипотеза верна | ||
| 2.4.13 | Функция мощности |
Функция, определяющая вероятность того, что нулевая гипотеза будет отклонена | Функция мощности критерия задана на множестве всех гипотез, используемых в конкретной задаче статистической проверки гипотез. Сужением ее на нулевую гипотезу является функция, задающая вероятность ошибки первого рода. Сужением ее на альтернативу является |
| 2.4.14 | Оперативная характеристика |
Функция, определяющая вероятность того, что нулевая гипотеза будет принята | Оперативная характеристика - дополнение до единицы функции мощности |
| 2.4.15 | Критерий согласия | Критерий проверки гипотезы согласия, т.е. того, что функция распределения результатов наблюдения, включенных в простую случайную выборку, совпадает с заданной или входит в заданное параметрическое семейство | |
| 2.4.16 | Критерий однородности | Критерий для проверки гипотезы о том, что функции распределений результатов наблюдений из двух или нескольких независимых простых случайных выборок совпадают (абсолютная однородность) или отдельные их характеристики совпадают (однородность в смысле математических ожиданий, коэффициентов вариации и т.д.). | Рассматривают также критерии независимости, симметрии, случайности, отбраковки и др |
| 2.4.17 | Номинальный (заданный) уровень значимости | Число, используемое в статистических таблицах, с помощью которого выбирают критическое значение статистики критерия при проверке статистической гипотезы | Номинальный (заданный) уровень значимости обычно берут равным 0,1; 0,05; 0,01. |
| 2.4.18 | Реальный (истинный) уровень значимости | Уровень значимости |
Из-за дискретности распределения статистики критерия реальный уровень значимости может быть в несколько раз меньше номинального |
| 2.4.19 | Достигаемый уровень значимости | Случайная величина, равная вероятности попадания статистики критерия в критическую область, заданную рассчитанным по выборке значением статистики критерия | Для |
| 2.4.20 | Независимые выборки | Выборки, объединение элементов которых моделируется набором независимых (в совокупности) случайных элементов | См. п.1.1.11. |
Приведем краткие описания (типа статей в энциклопедических изданиях) математической статистики и ее наиболее важных для эконометрики сравнительно новых разделов, разработанных в основном после 1970 г., а именно, статистики объектов нечисловой природы и статистики интервальных данных.
Статистика математическая - наука о математических методах анализа данных, полученных при проведении массовых наблюдений (измерений, опытов). В зависимости от математической природы конкретных результатов наблюдений статистика математическая делится на статистику чисел, многомерный статистический анализ, анализ функций (процессов) и временных рядов, статистику объектов нечисловой природы. Существенная часть статистики математической основана на вероятностных моделях.
Выделяют общие задачи описания данных, оценивания и проверки гипотез. Рассматривают и более частные задачи, связанные с проведением выборочных обследований, восстановлением зависимостей, построением и использованием классификаций (типологий) и др.
Для описания данных строят таблицы, диаграммы, иные наглядные представления, например, корреляционные поля. Вероятностные модели обычно не применяются. Некоторые методы описания данных опираются на продвинутую теорию и возможности современных компьютеров. К ним относятся, в частности, кластер-анализ, нацеленный на выделение групп объектов, похожих друг на друга, и многомерное шкалирование, позволяющее наглядно представить объекты на плоскости, в наименьшей степени исказив расстояния между ними.
Методы оценивания и проверки гипотез опираются на вероятностные модели порождения данных. Эти модели делятся на параметрические и непараметрические. В параметрических моделях предполагается, что изучаемые объекты описываются функциями распределения, зависящими от небольшого числа (1-4) числовых параметров. В непараметрических моделях функции распределения предполагаются произвольными непрерывными. В статистике математической оценивают параметры и характеристики распределения (математическое ожидание, медиану, дисперсию, квантили и др.), плотности и функции распределения, зависимости между переменными (на основе линейных и непараметрических коэффициентов корреляции, а также параметрических или непараметрических оценок функций, выражающих зависимости) и др. Используют точечные и интервальные (дающие границы для истинных значений) оценки.
В статистике математической есть общая теория проверки гипотез и большое число методов, посвященных проверке конкретных гипотез. Рассматривают гипотезы о значениях параметров и характеристик, о проверке однородности (т.е. о совпадении характеристик или функций распределения в двух выборках), о согласии эмпирической функции распределения с заданной функцией распределения или с параметрическим семейством таких функций, о симметрии распределения и др.
Большое значение для эконометрики имеет раздел статистики математической, связанный с проведением выборочных обследований, со свойствами различных схем организации выборок и построением адекватных методов оценивания и проверки гипотез.
Задачи восстановления зависимостей активно изучаются более 200 лет, с момента разработки К. Гауссом в 1794 г. метода наименьших квадратов. В настоящее время наиболее актуальны методы поиска информативного подмножества переменных и непараметрические методы.
Различные методы построения (кластер-анализ), анализа и использования (дискриминантный анализ) классификаций (типологий) именуют также методами распознавания образов (с учителем и без), автоматической классификации и др.
Математические методы в статистике основаны либо на использовании сумм (на основе Центральной Предельной Теоремы теории вероятностей) или показателей различия (расстояний, метрик), как в статистике объектов нечисловой природы. Строго обоснованы обычно лишь асимптотические результаты. В настоящее время компьютеры играют большую роль в статистике математической. Они используются как для расчетов, так и для имитационного моделирования (в частности, в методах размножения выборок и при изучении пригодности асимптотических результатов).
Классическая статистика математическая лучше всего представлена в [2], [3]. Обзор современного состояния статистики математической дан в [5].
Статистика объектов нечисловой природы - раздел математической статистики, в котором статистическими данными являются объекты нечисловой природы, т.е. элементы множеств, не являющихся линейными пространствами. Объекты нечисловой природы нельзя складывать и умножать на число. Примерами являются результаты измерений в шкалах наименований, порядка, интервалов; ранжировки, разбиения, толерантности и другие бинарные отношения; результаты парных и множественных сравнений; люсианы, т.е. конечные последовательности из 0 и1; множества; нечеткие множества. Необходимость применения объектов нечисловой природы возникает во многих областях научной и практической деятельности, в том числе и в социологии. Примерами являются ответы на "закрытые" вопросы в эконометрических, маркетинговых, социологических анкетах, в которых респондент должен выбрать одну или несколько из фиксированного числа подсказок, мили измерение мнений о привлекательности (товаров, услуг, профессий, политиков и др.), проводимое по порядковой шкале. Наряду со специальными теориями для каждого отдельного вида объектов нечисловой природы в статистике объектов нечисловой природы имеется и теория обработки данных, лежащих в пространстве общей природы, результаты которой применимы во всех специальных теориях.
В статистике объектов нечисловой природы классические задачи математической статистики - описание данных, оценивание, проверку гипотез - рассматривают для данных неклассического типа, что приводит к своеобразию постановок задач и методов их решения. Например, из-за отсутствия линейной структуры в пространстве, в котором лежат статистические данные, в статистике объектов нечисловой природы математическое ожидание определяют не через сумму или интеграл, как в классическом случае, а как решение задачи минимизации некоторой функции. Эта функция представляет собой математическое ожидание (в классическом смысле) показателя различия между значением случайного объекта нечисловой природы и фиксированным элементом пространства. Эмпирическое среднее определяют как результат минимизации суммы расстояний от нечисловых результатов наблюдений до фиксированного элемента пространства. Справедлив закон больших чисел: эмпирическое среднее сходится при увеличении объема выборки к математическому ожиданию, если результаты наблюдений являются независимыми одинаково распределенными случайными объектами нечисловой природы и выполнены некоторые математические "условия регулярности".
Аналогичным образом определяют условное математическое ожидание и регрессионную зависимость. Из доказанной в статистике объектов нечисловой природы сходимости решений экстремальных статистических задач к решениям соответствующих предельных задач вытекает состоятельность оценок в параметрических задачах оценивания параметров и аппроксимации, а также ряд результатов в многомерном статистическом анализе. Большую роль в статистике объектов нечисловой природы играют непараметрические методы, в частности, методы непараметрической оценки плотности и регрессионной зависимости в пространствах общей природы, в том числе и в дискретных пространствах.
Для решения многих задач статистики объектов нечисловой природы - нахождения эмпирического среднего, оценки регрессионной зависимости, классификации наблюдений и др. - используют показатели различия (меры близости, расстояния, метрики) между элементами рассматриваемых пространств, вводимые аксиоматически. Так, в монографии [6] аксиоматически введено расстояние между множествами. Принятое в теории измерений как части статистики объектов нечисловой природы условие адекватности (инвариантности) алгоритмов анализа данных позволяет указать вид средних величин, расстояний, показателей связи и т.д., соответствующих измерениям в тех или иных шкалах. Методы построения, анализа и использования классификаций и многомерного шкалирования дают возможность сжать информацию и дать ей наглядное представление. К статистике объектов нечисловой природы относятся методы ранговой корреляции, статистического анализа бинарных отношений (ранжировок, разбиений, толерантностей), параметрические и непараметрические методы обработки результатов парных и множественных сравнений. Теория люсианов (последовательностей независимых испытаний Бернулли) развита в асимптотике растущей размерности.
Статистика объектов нечисловой природы как самостоятельный раздел прикладной математической статистики выделена в монографии [6]. Обзору ее основных направлений посвящен, например, сборник [7]. Ей посвящен раздел в энциклопедии [2].
Статистика интервальных данных (СИД) - раздел статистики объектов нечисловой природы, в котором элементами выборки являются интервалы в $$R$$, в частности, порожденные наложением ошибок измерения на значения случайных величин. СИД входит в теорию устойчивости (робастности) статистических процедур (см. [6]) и примыкает к интервальной математике (см. [8]). В СИД изучены проблемы регрессионного анализа, планирования эксперимента, сравнения альтернатив и принятия решений в условиях интервальной неопределенности и др.
Развиты асимптотические методы статистического анализа интервальных данных при больших объемах выборок и малых погрешностях измерений. В отличие от классической математической статистики, сначала устремляется к бесконечности
Многие утверждения СИД отличаются от аналогов из классической математической статистики. В частности, не существует состоятельных оценок: средний квадрат ошибки оценки, как правило, асимптотически равен сумме дисперсии этой оценки, рассчитанной согласно классической теории, и квадрата нотны. Метод моментов иногда оказывается точнее метода максимального правдоподобия. Нецелесообразно с целью повышения точности выводов увеличивать
Многим задачам классической математической статистики могут быть поставлены в соответствие задачи СИД, в которых элементы выборок - действительные числа заменены на интервалы. В статистическое программное обеспечение включают алгоритмы СИД, "параллельные" их аналогам из классической математической статистики. Это позволяет учесть наличие погрешностей у результатов наблюдений.
Эконометрика опирается на твердый научный фундамент - теорию вероятностей и статистику. В области теории вероятностей наша страна является признанным мировым лидером. Практически все специалисты в этой области исходят в своей работе из аксиоматики теории вероятностей, предложенной академиком А.Н. Колмогоровым в 1933 г. [1].
Однако в отечественной и зарубежной литературе присутствуют различные интерпретации терминов и разделов эконометрики, теории вероятностей, статистики. Одна из причин состоит в том, что используют в своей работе эти научные области специалисты разных профессий - экономисты, инженеры, математики… Поэтому мы приводим основную терминологию и краткое описание математической статистики и ее новых разделов.
Определения практически всех используемых в литературе понятий теории вероятностей и математической статистики и основные сведения о соответствующих математических объектах собраны в Энциклопедии [2]. Ниже приведены определения и обозначения (в стиле [2]) лишь для основных понятий теории вероятностей и прикладной статистики, используемых в настоящем учебном пособии. Как показали предыдущие публикации, эта сводка позволяет осознанно изучать и применять эконометрические методы для анализа конкретных экономических данных. Однако она, очевидно, не заменяет систематических курсов теории вероятностей и прикладной математической статистики, знакомство с которыми - необходимая предпосылка для изучения эконометрики.
Споры по поводу терминов весьма распространены. Весьма популярно желание добиться единства терминологии. Однако практика терминологических дискуссий показывает, что придти к единому мнению обычно не удается. Не помогают достижению единства и административные меры, например, принятие государственных стандартов, "несоблюдение которых карается по закону". Зачастую такие стандарты содержат в себе много спорного, а то и ошибочного.
Почти в каждой области знания параллельно существуют различные терминологические системы. Большого вреда это обычно не приносит. Так, операция умножения двух чисел $$a$$ и $$b$$ может быть обозначена четырьмя способами - крестиком (т.е. $$a \times b$$ ), точкой $$(a. b)$$, отсутствием знака между сомножителями $$(ab)$$ или звездочкой, как при программировании $$(a* b)$$. Случайные величины обозначают либо латинскими буквами, либо греческими. Для математического ожидания используют либо символ $$М$$, либо символ $$Е$$, и т.п.. Обычно можно без труда понять, о чем идет речь.
Однако при изучении настоящего курса эконометрики необходимо пользоваться вполне определенной терминологической системой. Она и приводится ниже. При этом мы отнюдь не отрицаем пригодности других систем терминов и определений в тех или иных случаях.
| №№ пп. | Термины | Определения | Примечания |
|---|---|---|---|
| 1. Теория вероятностей | |||
| 1.1. Общие понятия | |||
| 1.1.1. | Пространство |
Множество, элементы которого, называемые |
Пространство |
| 1.1.2 | Случайное событие | Измеримое подмножество пространства |
Термин "измеримое" понимают в смысле теории измеримых множеств. Случайные события образуют $$\sigma$$ -алгебру $$G$$ |
| 1.1.3 | Вероятностная мера | Сигма-аддитивная мера $$P$$, определенная на всех случайных событиях и такая, что $$P(\Omega?) = 1, где \Omega$$? - пространство |
Вероятностная мера $$P$$ - функция, ставящая в соответствие каждому случайному событию $$A $$ его вероятность $$P(A) $$. Термин "мера" понимают в смысле математической теории меры. Синонимы: вероятностное распределение, распределение вероятностей, распределение, вероятность на пространстве |
| 1.1.4. | Вероятностное пространство | Совокупность $$\{\Omega?, G, P\}$$ пространства |
Вероятностное пространство (синоним: поле вероятностей) - основной исходный объект теории вероятностей и |
| 1.1.5. | Вероятность события $$A$$ | Значение $$P(A) $$ вероятностной меры $$P$$ на случайном событии $$A$$ | В силу закона больших чисел частота реализации события $$A$$ при неограниченном увеличении где $$m/n$$ - частота, $$p$$ - вероятность события $$A$$, $$n$$ - число повторений. Это свойство нельзя принимать за определение вероятности события в математической теории вероятностей. Оно указывает способ оценивания вероятности по опытным данным. |
| 1.1.6. | Независимость случайных событий | Случайные события $$А$$ и $$В$$ являются независимыми, если $$Р(АВ) = Р(А)Р(В) $$, где $$АВ$$ - |
Общематематическое понятие пересечения множеств $$А\bigcupВ$$ в теории вероятностей по традиции эквивалентно понятию произведения событий $$АВ$$. |
| 1.1.7 | Случайный элемент | Измеримая функция, определенная на вероятностном пространстве | Случайный элемент $$Х$$ принимает значения в измеримом пространстве $$(Z,J) $$, где $$Z$$ - пространство значений $$Х$$, а $$J$$ - класс измеримых подмножеств $$Z$$ ; при этом для любого $$Q\in J$$ множество $$Х^{-1}(Q) $$ является случайным событием. Если $$Z$$ - множество действительных чисел $$R^1$$, то случайный элемент $$Х$$ называют случайной величиной. Если $$Z = R^k$$ - конечномерное векторное пространство размерности $$k=2,3, \dots$$, то случайный элемент $$Х$$ называют случайным вектором. |
| 1.1.8. | Распределение случайного элемента | Функция множества, задающая вероятность принадлежности случайного элемента измеримому подмножеству его области значений | Для случайного элемента $$Х$$, определенного на вероятностном пространстве $$\{\Omega, G, P\}$$ со значениями в измеримом пространстве $$(Z,J) $$, его распределение $$P_1:J -\to [0,1] $$ задается формулой $$P_1 (Q) = P (Х^{-1}(Q)), Q \in J$$. |
| 1.1.9. | Дискретный случайный элемент | Случайный элемент, область значений которого состоит из конечного или счетного множества точек. | Распределение случайного элемента $$Х$$, принимающего только значения $$х_1, х_2,\dots$$, полностью описывается числами $$р_i = P(X=х_i), i = 1,2,\dots$$, причем $$р_1 + р_2 +\dots = 1$$. |
| 1.1.10 | Параметрическое семейство распределений | Функция, определенная на параметрическом пространстве (подмножестве конечномерного векторного пространства), которая каждому значению параметра (числу или вектору, входящему в параметрическое пространство) ставит в соответствие распределение случайного элемента. | Параметр может быть одномерным или конечномерным. Вместо "зависимость от $$k$$ -мерного параметра" часто говорят "зависимость от k параметров". |
| 1.1.11 | Независимость случайных элементов | Определенные на одном и том же вероятностном пространстве случайные элементы $$X_1, X_2,\dots,X_k$$ со значениями в измеримых пространствах $$(Z_1, J_1), (Z_2, J_2), \dots, (Z_k, J_k) $$ соответственно называются независимыми, если для любых $$Q_1\in J_1, Q_2 \inJ_2,\dots, Q_k \inJ_k$$ имеем $$Р(X_1\in Q_1, X_2 \in Q_2,\dots, X_k \inQ_k) = Р(X_1\inQ_1)P(X_2\inQ_2)\dots P(X_k\inQ_k) $$. | Для случайных величин и векторов, имеющих плотности вероятности, независимость эквивалентна тому, что плотность вероятности вектора $$(Х_1, Х_2, \dots, Х_k) $$ равна произведению плотностей вероятностей случайных величин $$Х_i$$, т.е. $$f (x_1, x_2, \dots, x_k) = f(x_1)f(x_2) \dots f(x_k) $$. Результаты экспериментов, которые проведены независимо друг от друга, как правило, моделируются с помощью независимых случайных величин. |
| 1.1.12 | Математическая модель явления (процесса), в которой использованы понятия теории вероятностей и математической статистики | Установление (формулировка) исходной |
|
| 1.2. Случайная величина | |||
| 1.2.1. | Случайная величина | Однозначная действительная измеримая функция на вероятностном пространстве | Однозначная действительная функция $$X:\Omega \toR^1$$ является случайной величиной, если для любого $$х\inR^1$$ множество $$\{\omega:X(\omega) \le x\}$$ является случайным событием. Случайная величина - это случайный элемент со значениями в $$R^1$$. (Здесь $$R^1$$ - множество действительных чисел.) |
| 1.2.2. | Функция распределения | Функция, определяющая для всех действительных чисел $$х$$ вероятность того, что случайная величина $$Х$$ принимает значения, меньшие $$х$$ | Функция распределения $$F(x) = P(X < x) = P\{\omega?:X(\omega?) < x\}$$. Функция распределения непрерывна слева. Примечание. Иногда функцию распределения определяют как $$F(x) = P(X < x) = P\{\omega:X(\omega) < x\}$$. Тогда она непрерывна справа |
| 1.2.3. | Плотность вероятности | Функция $$p(t) $$ такая, что $$F(x)=\int_{-\infty}^x p(t)dt$$, при всех $$х$$, где $$F(x) $$ - функция распределения рассматриваемой случайной величины | Сокращенная форма: плотность |
| 1.2.4. | Непрерывная случайная величина | Случайная величина, функция распределения которой при всех действительных $$x$$ непрерывна | |
| 1.2.5 | Значение случайной величины, для которого функция распределения принимает значение $$p$$ или имеет место "скачок" со значения меньше $$p$$ до значения больше $$p$$ | Число $$х_р$$ - |
|
| 1.2.6. | Медиана | ||
| 1.2.7. | Мода непрерывной случайной величины | Значение случайной величины, соответствующее |
Мод у непрерывной случайной величины может быть несколько (конечное число или бесконечно много). Краткая форма термина: мода |
| 1.2.8. | Математическое ожидание | Среднее взвешенное по вероятностям значение случайной величины $$X(\omega)$$, т.е. $$\int_{\Omega} X(\omega )P(d\omega )$$ | Математическое ожидание обозначают $$М(Х), Е(Х), МХ, ЕХ$$ и др. Рекомендуемое обозначение: $$М(Х) $$. При этом $$M(X)=\int_{\Omega}X(\omega )P(d\omega )=\int_{-\infty}^{+\infty}xdF(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}tp(t)dt$$, где $$F(x) $$ - функция распределения, а $$p(t) $$ - плотность вероятности случайной величины $$Х = X(\omega)$$. Математическое ожидание существует не для всех случайных величин $$Х$$. Для существования математического ожидания необходимо и достаточно абсолютной сходимости соответствующего интеграла |
| 1.2.9. | Дисперсия (случайной величины $$X$$ ) | Математическое ожидание квадрата разности между случайной величиной и ее математическим ожиданием | Для случайной величины $$Х$$ дисперсия $$D(X) = \sigma^2=\sigma^2(X)=М(X-М(X))^2$$. Дисперсия равна 0 тогда и только тогда когда $$Р(Х=а)=1$$ для некоторого а |
| 1.2.10 | Среднее квадратическое отклонение | Неотрицательный квадратный корень из дисперсии | |
| 1.2.11 | Отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию | Применяется для положительных случайных величин как показатель разброса | |
| 1.2.12. | Момент порядка $$q$$ (случайной величины $$X$$ ) | Математическое ожидание случайной величины $$X^q$$ | |
| 1.2.13 | Центральный момент порядка q (случайной величины $$X$$ ) | Математическое ожидание случайной величины $$(X-М(X))^q$$, где М(Х) - математическое ожидание $$Х$$. | Дисперсия - центральный момент порядка 2. |
| 1.2.14 | Характеристи-ческая функция (случайной величины $$X$$ ) | Функция от $$t \in R^1,$$ при каждом $$t$$ равная математическому ожиданию случайной величины $$e^{itX}$$, где $$i$$ - |
$$М(e^{itX}) = М(\cos(tX) + i\sin(tX)) = М(\cos(tX)) + iМ(\sin(tX)) $$. |
| 1.3. Случайный вектор | |||
| 1.3.1. | Случайный вектор | Однозначная измеримая функция на вероятностном пространстве со значениями в конечномерном |
Случайный вектор $$Х$$ - это случайный элемент со значениями в $$R^k$$, т.е. $$X = X(\omega?) = (X_1(\omega?), X_2(\omega?),\dots, X_k(\omega?))$$, где $$X_i(\omega?), i = 1,2,\dots,k$$, - случайные величины, заданные на одном и том же вероятностном пространстве |
| 1.3.2. | Функция распределения (случайного вектора) | Функция распределения $$F(x_1, x_2, \dots, x_k) $$ случайного вектора $$X(\omega) = (X_1(\omega?), X_2(\omega?),\dots, X_k(\omega?))$$ удовлетворяет равенству $$F(x_1, x_2,\dots, x_k) = P (X_1<x_1, X_2<x_2,\dots, X_k<x_k) = P\{ \omega?:X_1(\omega?)< x_1, X_2(\omega?)< x_2,\dots, X_k(\omega?)< x_k) \}$$. | |
| 1.3.3. | Плотность вероятности (случайного вектора) | Функция $$p(x) $$ такая, что $$P(X \in A)=\int_A p(x) dx$$ для случайного вектора $$X = X(\omega)$$ и любого борелевского подмножества $$А$$ конечномерного |
|
| 1.3.4. | Математическое ожидание случайного вектора | Вектор, компоненты которого - математические ожидания компонент случайного вектора | Математическое ожидание случайного вектора $$X = (X_1, X_2, /dots, X_k) $$ есть $$(М(X_1), М(X_2), \dots, М(X_k)) $$, где $$М(X_i) $$ - математическое ожидание случайной величины $$X_i$$, являющейся $$i$$ - ой компонентой случайного вектора $$X$$, $$i = 1,2,\dots, k$$. |
| 1.3.5. | Ковариация (для двумерного вектора) | Ковариацией вектора $$(X,Y) $$ называется математическое ожидание случайной величины $$(X - МX))(Y - М(Y)) $$, где $$М(X) $$ и $$М(Y) $$ - математические ожидания случайных величин $$X$$ и $$Y$$. | $$\cov(X,Y) = М (X - М(X))(Y - М(Y)) $$ ; если $$X = Y$$, то $$cov(X,Y) = D(X) $$ - дисперсия $$X$$. |
| 1.3.6. | Ковариационная матрица случайного вектора | Квадратная матрица $$\|c_{ij}\|$$ порядка $$k$$, в которой $$c_{ij}$$ - ковариация двумерного вектора $$(X_i, X_j) $$, где $$X_i$$ и $$X_j$$ - компоненты случайного вектора $$X = (X_1, X_2,\dots, X_k), i,j = 1,2, \dots,k$$. | Ковариационная матрица симметрична, на главной диагонали стоят дисперсии $$X_i$$ - компонент $$X, i = 1,2,\dots,k$$. |
| 1.3.7. | Отношение ковариации вектора $$(X,Y) $$ к произведению средних квадратических отклонений $$\sigma(X) $$ и $$?\sigma (У) $$ случайных величин $$Х$$ и $$У$$. | $$r(X,Y)-\frac{cov(X,Y)}{ \sigma(X)\sigma(Y)}$$. Если $$Y = aX+b, то |r(X,Y)| = 1$$. Верно и обратное: если $$|r(X,Y)| = 1$$, то $$Y = aX+b$$.. | |
| 1.3.8. | Корреляционная матрица случайного вектора | Квадратная матрица $$\|r_{ij}\|$$ порядка $$k$$, в которой $$r_{ij}$$ - |
Корреляционная матрица симметрична, на главной диагонали стоят единицы |
| 2. Прикладная статистика | |||
| 2.1. Общие понятия | |||
| 2.1.1. | Признак | Свойство (характеристика) объекта наблюдения | Частными видами наблюдения являются измерение, испытание, анализ, опыт, проверка и т.д. |
| 2.1.2. | Результат наблюдения | Значение признака объекта наблюдения | Результат наблюдения может быть числом, вектором, элементом конечного множества или математическим объектом иной природы |
| 2.1.3. | Выборка | Совокупность значений одного и того же признака у подвергнутых наблюдению объектов | Выборка - совокупность чисел или векторов, или математических объектов иной природы, соответствующих изучаемым реальным объектам наблюдения |
| 2.1.4. | Число результатов наблюдений, включенных в выборку | ||
| 2.1.5. | Примерами |
||
| 2.1.6. | Простая |
Выборка, в которой результаты наблюдений моделируются как совокупность независимых одинаково распределенных случайных элементов | Если результаты наблюдений имеют распределение F, то говорят, что "выборка извлечена из распределения F". |
| 2.1.7. | Выборка объема $$n$$, в которую включены результаты наблюдений над объектами, отбираемыми из конечной совокупности так, что любой набор n объектов имеет одинаковую вероятность быть отобранным | Если $$N$$ - число объектов конечной совокупности, то для получения случайной выборки объема $$n$$ из этой совокупности, $$n < N$$, отбор объектов для проведения наблюдений должен проводиться так, чтобы любой набор из $$n$$ объектов имел одну и ту же вероятность быть отобранным, равную $$n!(N-n)!/ N$$!, т.е. обратной величине к числу сочетаний из $$N$$ элементов по $$n$$. | |
| 2.1.8. | Статистика | Измеримая функция результатов наблюдений, включенных в выборку, используемая для получения статистических выводов | Статистики используются для описания данных, оценивания, проверки гипотез. Статистика, как функция случайного элемента, является случайным элементом. Статистика принимает значения в некотором измеримом пространстве $$(Z,J) $$, своем для каждой статистики |
| 2.2. Описание данных | |||
| 2.2.1. | Отношение числа наблюдений, в которых осуществилось событие, к |
||
| 2.2.2. | Эмпирическое распределение | Распределение случайного элемента, в котором каждому результату наблюдения, включенному в выборку, соответствует одна и та же вероятность, равная обратной величине объема выборки | Если в выборку включены результаты наблюдений $$x_1, x_2, \dots, x_n$$, то эмпирическое распределение - это распределение случайной величины $$Х$$ такой, что $$Р(Х= x_i) = 1/n, i = 1,2,\dots, n$$. Если несколько результатов наблюдений совпадают: $$x_1 = x_2 =\dots = x_k = a$$, то полагают $$Р(Х=а) = k/n$$. |
| 2.2.3. | Функция эмпирического распределения | Определена, когда результаты наблюдений - числа или |
|
| 2.2.4. | Сумма результатов наблюдений, включенных в выборку, деленная на ее объем | ||
| 2.2.5 | Выборочная дисперсия | Сумма квадратов отклонений результатов наблюдений, включенных в выборку, от их |
Выборочная дисперсия $$s^2=\frac 1n \sum_{i=1}^n(x_i-x_{cp})^2$$, где $$x_1, x_2, \dots, x_n $$ - результаты наблюдений, включенные в выборку; $$x_{ср}$$ - |
| 2.2.6. | Неотрицательный квадратный корень из выборочной дисперсии | ||
| 2.2.7. | Выборочный момент порядка $$q$$ | Момент порядка $$q$$ случайной величины, имеющей эмпирическое распределение | $$m_q = 1/n \sum_{i=1}^n х_iq$$, где $$х_i$$ по п.2.2.5. |
| 2.2.8. | Выборочный центральный момент порядка $$q$$ | Центральный момент порядка $$q$$ случайной величины, имеющей эмпирическое распределение | $$m_q = 1/n\sum_i=1}^n (х_i - x_{ср})q,$$ где $$х_i$$ и $$x_{ср}$$ по п.2.2.5. |
| 2.2.9 | $$k$$ -я порядковая статистика | $$k$$ -й элемент $$x_{(k)} $$ в вариационном ряду, полученном из выборки объема $$n$$, элементы которой $$x_1, x_2,\dots, x_n$$ расположены в порядке неубывания: $$x(1) \le x(2) \le \dots \le x(k) \le \dots \le x(n) $$. | |
| 2.2.10 | Размах выборки | Разность между наибольшим и наименьшим значениями результатов наблюдений в выборке | Если $$x(1) $$ и $$x(n) $$ - первая и $$n$$ -ая порядковые статистики в выборке объема $$n$$, то размах $$R = x_{(n)} - x_{(1)} $$. |
| 2.2.11. | Выборочная ковариация | Ковариация двумерного случайного вектора, имеющего эмпирическое распределение | Если $$(x_i, y_i), i=1,2,\dots,n$$, - результаты наблюдений, включенные в выборку, то выборочная ковариация равна $$1/n\sum_{i=1}^n (х_i - x_{ср})(y_i - y_{ср})$$, где $$х_i$$ и $$x_{ср}$$ по п.2.2.5, $$y_{ср} = 1/n\sum_{i=1}^ny_i$$ |
| 2.2.12 | Выборочная ковариационная матрица | Ковариационная матрица случайного вектора, имеющего эмпирическое распределение | На главной диагонали выборочной ковариационной матрицы стоят выборочные дисперсии по п.2.2.5, а вне главной диагонали - выборочные ковариации по п.2.2.11 |
| 2.2.13 | Выборочный |
Выборочный |
|
| 2.2.14 | Выборочная корреляционная матрица | Корреляционная матрица случайного вектора, имеющего эмпирическое распределение | На главной диагонали выборочной корреляционной матрицы стоят 1, а вне главной диагонали - выборочные коэффициенты корреляции по п.2.2.13. |
| 2.2.15 | Выборочный |
Отношение |
Выборочный |
| 2.3. Оценивание | |||
| 2.3.1. | Оценивание | Приближенное определение интересующей специалиста составляющей |
Составляющими |
| 2.3.2 | Оценка | Результат оценивания по конкретной выборке | Оценка является статистикой, а потому случайным элементом, в частных случаях - случайной величиной или случайным вектором |
| 2.3.3. | Точечное оценивание | Вид оценивания, при котором для оценивания используется одно определенное значение | |
| 2.3.4. | Доверительное оценивание | Вид оценивания, при котором для оценивания используется множество | Рассматриваемое множество лежит в пространстве возможных состояний оцениваемой составляющей |
| 2.3.5 | Доверительное множество | Определяемое по выборке множество в пространстве возможных состояний оцениваемой составляющей, используемое при доверительном оценивании | Доверительное множество является случайным множеством |
| 2.3.6 | Доверительная вероятность | Вероятность того, что доверительное множество содержит действительное значение оцениваемой составляющей | В конкретных задачах оценивания для фиксированных |
| 2.3.7 | Доверительный интервал | Доверительное множество, являющееся интервалом | Интервалы могут быть как ограниченными, так и неограниченными (лучами). |
| 2.3.8. | Доверительные границы | Концы (границы) |
|
| 2.3.9. | Верхняя доверительная граница | Граница |
Для |
| 2.3.10 | Нижняя доверительная граница | Граница |
Различие верхних, нижних и двусторонних доверительных границ необходимо учитывать при проведении конкретных расчетов, т.к. часто все виды границ определяются с помощью одних и тех же таблиц |
| 2.3.11 | Двусторонние доверительные границы | Границы ограниченного (и сверху, и снизу) |
Для двусторонних границ $$(T_1;T_2) $$ с вероятностью 1 справедливо неравенство $$T1 \le T_2$$. |
| 2.4. Проверка |
|||
| 2.4.1. | Определенное предположение о свойствах распределений случайных элементов, лежащих в основе наблюдаемых случайных явлений (процессов). | ||
| 2.4.2 | Нулевая гипотеза | Из возможных |
|
| 2.4.3. | Альтернативная гипотеза | Сокращенная форма - альтернатива | |
| 2.4.4. | Правило, по которому на основе результатов наблюдений принимается решение о принятии или отклонении нулевой гипотезы | Принимаемое решение может однозначно определяться по результатам наблюдений (нерандомизированный критерий) или в некоторой степени зависеть от случая (рандомизированный критерий). | |
| 2.4.5. | Статистика критерия | Статистика, на основе которой сформулировано решающее правило | Как правило, нерандомизированный |
| 2.4.6. | Область в пространстве возможных выборок со следующими свойствами: если наблюдаемая выборка принадлежит данной области, то отвергают нулевую гипотезу (и принимают альтернативную), в противном случае ее принимают (и отвергают альтернативную). | Если |
|
| 2.4.7. | Множество чисел такое, что при попадании в него статистики критерия нулевую гипотезу отвергают, в противном случае принимают | Краткая форма: |
|
| 2.4.8. | Критические значения | Границы (концы) одного или двух интервалов, составляющих критическую область статистики критерия | Критическими значениями являются одно или два из чисел $$t_1, t_2$$ в случае, если |
| 2.4.9 | Ошибка первого рода | Ошибка, заключающаяся в том, что нулевую гипотезу отвергают, в то время как в действительности эта гипотеза верна | |
| 2.4.10 | Уровень значимости | Вероятность ошибки первого рода или точная верхняя грань таких вероятностей | Если нулевая гипотеза является сложной (например, задается с помощью множества параметров $$\Theta_0$$ ), то вероятность ошибки первого рода может быть не числом $$(\alpha)$$, а функцией $$(\alpha (\theta_0), \theta_0 \in \Theta_0) $$. В качестве уровня значимости берут точную верхнюю грань значений указанной функции: $$\alpha=\sup_{\theta_0 \in \Theta_0} \alpha(\theta_0)$$ |
| 2.4.11 | Ошибка, заключающаяся в том, что нулевую гипотезу принимают, в то время как в действительности эта гипотеза неверна (а верна альтернативная гипотеза). | ||
| 2.4.12 | Вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если альтернативная гипотеза верна | ||
| 2.4.13 | Функция мощности |
Функция, определяющая вероятность того, что нулевая гипотеза будет отклонена | Функция мощности критерия задана на множестве всех гипотез, используемых в конкретной задаче статистической проверки гипотез. Сужением ее на нулевую гипотезу является функция, задающая вероятность ошибки первого рода. Сужением ее на альтернативу является |
| 2.4.14 | Оперативная характеристика |
Функция, определяющая вероятность того, что нулевая гипотеза будет принята | Оперативная характеристика - дополнение до единицы функции мощности |
| 2.4.15 | Критерий согласия | Критерий проверки гипотезы согласия, т.е. того, что функция распределения результатов наблюдения, включенных в простую случайную выборку, совпадает с заданной или входит в заданное параметрическое семейство | |
| 2.4.16 | Критерий однородности | Критерий для проверки гипотезы о том, что функции распределений результатов наблюдений из двух или нескольких независимых простых случайных выборок совпадают (абсолютная однородность) или отдельные их характеристики совпадают (однородность в смысле математических ожиданий, коэффициентов вариации и т.д.). | Рассматривают также критерии независимости, симметрии, случайности, отбраковки и др |
| 2.4.17 | Номинальный (заданный) уровень значимости | Число, используемое в статистических таблицах, с помощью которого выбирают критическое значение статистики критерия при проверке статистической гипотезы | Номинальный (заданный) уровень значимости обычно берут равным 0,1; 0,05; 0,01. |
| 2.4.18 | Реальный (истинный) уровень значимости | Уровень значимости |
Из-за дискретности распределения статистики критерия реальный уровень значимости может быть в несколько раз меньше номинального |
| 2.4.19 | Достигаемый уровень значимости | Случайная величина, равная вероятности попадания статистики критерия в критическую область, заданную рассчитанным по выборке значением статистики критерия | Для |
| 2.4.20 | Независимые выборки | Выборки, объединение элементов которых моделируется набором независимых (в совокупности) случайных элементов | См. п.1.1.11. |
Приведем краткие описания (типа статей в энциклопедических изданиях) математической статистики и ее наиболее важных для эконометрики сравнительно новых разделов, разработанных в основном после 1970 г., а именно, статистики объектов нечисловой природы и статистики интервальных данных.
Статистика математическая - наука о математических методах анализа данных, полученных при проведении массовых наблюдений (измерений, опытов). В зависимости от математической природы конкретных результатов наблюдений статистика математическая делится на статистику чисел, многомерный статистический анализ, анализ функций (процессов) и временных рядов, статистику объектов нечисловой природы. Существенная часть статистики математической основана на вероятностных моделях.
Выделяют общие задачи описания данных, оценивания и проверки гипотез. Рассматривают и более частные задачи, связанные с проведением выборочных обследований, восстановлением зависимостей, построением и использованием классификаций (типологий) и др.
Для описания данных строят таблицы, диаграммы, иные наглядные представления, например, корреляционные поля. Вероятностные модели обычно не применяются. Некоторые методы описания данных опираются на продвинутую теорию и возможности современных компьютеров. К ним относятся, в частности, кластер-анализ, нацеленный на выделение групп объектов, похожих друг на друга, и многомерное шкалирование, позволяющее наглядно представить объекты на плоскости, в наименьшей степени исказив расстояния между ними.
Методы оценивания и проверки гипотез опираются на вероятностные модели порождения данных. Эти модели делятся на параметрические и непараметрические. В параметрических моделях предполагается, что изучаемые объекты описываются функциями распределения, зависящими от небольшого числа (1-4) числовых параметров. В непараметрических моделях функции распределения предполагаются произвольными непрерывными. В статистике математической оценивают параметры и характеристики распределения (математическое ожидание, медиану, дисперсию, квантили и др.), плотности и функции распределения, зависимости между переменными (на основе линейных и непараметрических коэффициентов корреляции, а также параметрических или непараметрических оценок функций, выражающих зависимости) и др. Используют точечные и интервальные (дающие границы для истинных значений) оценки.
В статистике математической есть общая теория проверки гипотез и большое число методов, посвященных проверке конкретных гипотез. Рассматривают гипотезы о значениях параметров и характеристик, о проверке однородности (т.е. о совпадении характеристик или функций распределения в двух выборках), о согласии эмпирической функции распределения с заданной функцией распределения или с параметрическим семейством таких функций, о симметрии распределения и др.
Большое значение для эконометрики имеет раздел статистики математической, связанный с проведением выборочных обследований, со свойствами различных схем организации выборок и построением адекватных методов оценивания и проверки гипотез.
Задачи восстановления зависимостей активно изучаются более 200 лет, с момента разработки К. Гауссом в 1794 г. метода наименьших квадратов. В настоящее время наиболее актуальны методы поиска информативного подмножества переменных и непараметрические методы.
Различные методы построения (кластер-анализ), анализа и использования (дискриминантный анализ) классификаций (типологий) именуют также методами распознавания образов (с учителем и без), автоматической классификации и др.
Математические методы в статистике основаны либо на использовании сумм (на основе Центральной Предельной Теоремы теории вероятностей) или показателей различия (расстояний, метрик), как в статистике объектов нечисловой природы. Строго обоснованы обычно лишь асимптотические результаты. В настоящее время компьютеры играют большую роль в статистике математической. Они используются как для расчетов, так и для имитационного моделирования (в частности, в методах размножения выборок и при изучении пригодности асимптотических результатов).
Классическая статистика математическая лучше всего представлена в [2], [3]. Обзор современного состояния статистики математической дан в [5].
Статистика объектов нечисловой природы - раздел математической статистики, в котором статистическими данными являются объекты нечисловой природы, т.е. элементы множеств, не являющихся линейными пространствами. Объекты нечисловой природы нельзя складывать и умножать на число. Примерами являются результаты измерений в шкалах наименований, порядка, интервалов; ранжировки, разбиения, толерантности и другие бинарные отношения; результаты парных и множественных сравнений; люсианы, т.е. конечные последовательности из 0 и1; множества; нечеткие множества. Необходимость применения объектов нечисловой природы возникает во многих областях научной и практической деятельности, в том числе и в социологии. Примерами являются ответы на "закрытые" вопросы в эконометрических, маркетинговых, социологических анкетах, в которых респондент должен выбрать одну или несколько из фиксированного числа подсказок, мили измерение мнений о привлекательности (товаров, услуг, профессий, политиков и др.), проводимое по порядковой шкале. Наряду со специальными теориями для каждого отдельного вида объектов нечисловой природы в статистике объектов нечисловой природы имеется и теория обработки данных, лежащих в пространстве общей природы, результаты которой применимы во всех специальных теориях.
В статистике объектов нечисловой природы классические задачи математической статистики - описание данных, оценивание, проверку гипотез - рассматривают для данных неклассического типа, что приводит к своеобразию постановок задач и методов их решения. Например, из-за отсутствия линейной структуры в пространстве, в котором лежат статистические данные, в статистике объектов нечисловой природы математическое ожидание определяют не через сумму или интеграл, как в классическом случае, а как решение задачи минимизации некоторой функции. Эта функция представляет собой математическое ожидание (в классическом смысле) показателя различия между значением случайного объекта нечисловой природы и фиксированным элементом пространства. Эмпирическое среднее определяют как результат минимизации суммы расстояний от нечисловых результатов наблюдений до фиксированного элемента пространства. Справедлив закон больших чисел: эмпирическое среднее сходится при увеличении объема выборки к математическому ожиданию, если результаты наблюдений являются независимыми одинаково распределенными случайными объектами нечисловой природы и выполнены некоторые математические "условия регулярности".
Аналогичным образом определяют условное математическое ожидание и регрессионную зависимость. Из доказанной в статистике объектов нечисловой природы сходимости решений экстремальных статистических задач к решениям соответствующих предельных задач вытекает состоятельность оценок в параметрических задачах оценивания параметров и аппроксимации, а также ряд результатов в многомерном статистическом анализе. Большую роль в статистике объектов нечисловой природы играют непараметрические методы, в частности, методы непараметрической оценки плотности и регрессионной зависимости в пространствах общей природы, в том числе и в дискретных пространствах.
Для решения многих задач статистики объектов нечисловой природы - нахождения эмпирического среднего, оценки регрессионной зависимости, классификации наблюдений и др. - используют показатели различия (меры близости, расстояния, метрики) между элементами рассматриваемых пространств, вводимые аксиоматически. Так, в монографии [6] аксиоматически введено расстояние между множествами. Принятое в теории измерений как части статистики объектов нечисловой природы условие адекватности (инвариантности) алгоритмов анализа данных позволяет указать вид средних величин, расстояний, показателей связи и т.д., соответствующих измерениям в тех или иных шкалах. Методы построения, анализа и использования классификаций и многомерного шкалирования дают возможность сжать информацию и дать ей наглядное представление. К статистике объектов нечисловой природы относятся методы ранговой корреляции, статистического анализа бинарных отношений (ранжировок, разбиений, толерантностей), параметрические и непараметрические методы обработки результатов парных и множественных сравнений. Теория люсианов (последовательностей независимых испытаний Бернулли) развита в асимптотике растущей размерности.
Статистика объектов нечисловой природы как самостоятельный раздел прикладной математической статистики выделена в монографии [6]. Обзору ее основных направлений посвящен, например, сборник [7]. Ей посвящен раздел в энциклопедии [2].
Статистика интервальных данных (СИД) - раздел статистики объектов нечисловой природы, в котором элементами выборки являются интервалы в $$R$$, в частности, порожденные наложением ошибок измерения на значения случайных величин. СИД входит в теорию устойчивости (робастности) статистических процедур (см. [6]) и примыкает к интервальной математике (см. [8]). В СИД изучены проблемы регрессионного анализа, планирования эксперимента, сравнения альтернатив и принятия решений в условиях интервальной неопределенности и др.
Развиты асимптотические методы статистического анализа интервальных данных при больших объемах выборок и малых погрешностях измерений. В отличие от классической математической статистики, сначала устремляется к бесконечности
Многие утверждения СИД отличаются от аналогов из классической математической статистики. В частности, не существует состоятельных оценок: средний квадрат ошибки оценки, как правило, асимптотически равен сумме дисперсии этой оценки, рассчитанной согласно классической теории, и квадрата нотны. Метод моментов иногда оказывается точнее метода максимального правдоподобия. Нецелесообразно с целью повышения точности выводов увеличивать
Многим задачам классической математической статистики могут быть поставлены в соответствие задачи СИД, в которых элементы выборок - действительные числа заменены на интервалы. В статистическое программное обеспечение включают алгоритмы СИД, "параллельные" их аналогам из классической математической статистики. Это позволяет учесть наличие погрешностей у результатов наблюдений.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.