В лекции 8 текущего курса рассматривались такие виды объектов нечисловой природы, как нечеткие и случайные множества. Цель настоящего приложения - глубже изучить свойства
В дальнейшем считается, что все рассматриваемые нечеткие множества являются подмножествами одного и того же множества $$Y$$.
Как известно, законами же Моргана называются следующие тождества алгебры множеств
$$\overline{A \bigcup B}= \bar A \bigcap \bar B,\\ \overline{A \bigcap B}= \bar A \bigcup \bar B $$Теорема 1. Для нечетких множеств справедливы тождества
$$\overline{A \bigcup B}= \bar A \bigcap \bar B\\ \overline{A \bigcap B}= \bar A \bigcup \bar B$$ $$\overline{A + B}= \bar A \bar B,\\ \overline{A B}= \bar A + \bar B$$Доказательство теоремы 1 состоит в непосредственной проверке справедливости соотношений (2) и (3) путем вычисления значений
Тождества (2) и (3) назовем законами де Моргана для нечетких множеств. В отличие от классического случая соотношений (1), они состоят из четырех тождеств, одна пара которых относится к операциям объединения и пересечения, а вторая - к операциям произведения и суммы. Как и соотношение (1) в алгебре множеств,
Некоторые свойства операций над множествами не выполнены для
Верен ли дистрибутивный закон для
Теорема 2. Для любых нечетких множеств $$А, В$$ и $$С$$
$$A \bigcap (B \bigcup C)=(A \bigcap B) \bigcup (A \bigcap C)$$В то же время равенство
$$A(B+C)=AB+AC$$справедливо тогда и только тогда, когда при всех $$y \in Y$$
$$(\mu_A^2(y)- \mu_A(y)) \mu_B(y) \mu_C(y)=0$$Доказательство. Фиксируем произвольный элемент $$y \in Y$$. Для сокращения записи обозначим $$a= \mu_A(y), b= \mu_B(y), c=\mu_C(y)$$. Для доказательства тождества (4) необходимо показать, что
$$\min (a,\max(b,c))= \max( \min(a,b), \min(a,c))$$Рассмотрим различные упорядочения трех чисел $$a, b, c$$. Пусть сначала $$a \le b \le c$$ Тогда левая часть соотношения (6) есть $$\min(a,c)=a$$ а правая $$\max(a,a)=a$$ т.е. равенство (6) справедливо.
Пусть $$b \le c \le a$$ Тогда в соотношении (6) слева стоит $$\min(a,c)=a$$ а справа $$\max(b,a)=a$$ т.е. соотношение (6) опять является равенством.
Если $$b \le c \le a$$ то в соотношении (6) слева стоит $$\min(a,c)=c$$ а справа $$\max(b,c)=c$$ т.е. обе части снова совпадают.
Три остальные упорядочения чисел $$a, b, c$$ разбирать нет необходимости, поскольку в соотношение (6) числа $$b$$ и $$c$$ входят симметрично. Тождество (4) доказано.
Второе утверждение теоремы 2 вытекает из того, что в соответствии с определениями операций над нечеткими множествами (см. лекцию текущего курса8)
$$\mu_{A(B+C)}(y)=a(b+c-bc)=ab+ac_abc$$и
$$\mu_{AB+AC}(y)=ab+ac-(ab)(ac)=ab+ac-a^2bc$$Эти два выражения совпадают тогда и только тогда, когда, когда $$a^2bc=abc$$ что и требовалось доказать.
Определение 1. Носителем нечеткого множества $$A$$ называется совокупность всех точек $$e \in Y$$, для которых $$\mu_A(y)>0$$
Следствие теоремы 2. Если носители нечетких множеств $$В$$ и $$С$$ совпадают с $$У$$, то равенство (5) имеет место тогда и только тогда, когда А - "четкое" (т.е. обычное, классическое, не нечеткое) множество.
Доказательство. По условию $$\mu_B(y) \mu_C(y) \ne 0$$ при всех $$y \in Y$$. Тогда из теоремы 2 следует, что $$\mu_A^2(y)- \mu_A(y)=0$$ т.е. $$\mu_A(y)=1$$ или $$\mu_A(y)=0$$, что и означает, что $$A$$ - четкое множество.
С самого начала появления современной теории нечеткости в 1960-е годы началось обсуждение ее взаимоотношений с теорией вероятностей. Дело в том, что функция принадлежности нечеткого множества напоминает распределение вероятностей. Отличие только в том, что сумма вероятностей по всем возможным значениям случайной величины (или интеграл, если множество возможных значений несчетно) всегда равна 1, а сумма $$S$$ значений
В работах по нечетким множествам довольно часто утверждается, что теория нечеткости является самостоятельным разделом
При сравнении различных аксиоматик теории нечеткости и теории вероятностей нетрудно увидеть, что списки аксиом различаются. Из этого, однако, отнюдь не следует, что между указанными теориями нельзя установить связь, типа известного сведения евклидовой геометрии на плоскости к арифметике (точнее к теории числовой системы $$R^2$$ - см., например, монографию [4]). Напомним, что эти две аксиоматики - евклидовой геометрии и арифметики - на первый взгляд весьма сильно различаются.
Можно понять желание энтузиастов нового направления подчеркнуть принципиальную новизну своего научного аппарата. Однако не менее важно установить связи нового подхода с ранее известными.
Как оказалось, теория
Определение 2. Пусть $$A=A(\omega)$$ - случайное подмножество конечного множества $$У$$. Нечеткое множество $$В$$, определенное на $$У$$, называется проекцией $$А$$ и обозначается $$\Proj A$$, если
$$\mu_B(y)=P(y \in A)$$при всех $$y \in Y$$
Очевидно, каждому случайному множеству $$А$$ можно поставить в соответствие с помощью формулы (7) нечеткое множество $$В = \Proj A$$. Оказывается, верно и обратное.
Теорема 3. Для любого нечеткого подмножества $$В$$ конечного множества $$У$$ существует случайное подмножество $$А $$ множества $$У$$ такое, что $$В = \Proj A$$ .
Доказательство. Достаточно задать распределение случайного множества $$А$$. Пусть $$У_1$$ - носитель В (см. определение 1 выше). Без ограничения общности можно считать, что $$Y_1=\{y_1, y_2, \dots, y_m\}$$ при некотором $$m$$ и элементы $$У_1$$ занумерованы в таком порядке, что
$$0< \mu_B(y_1) \le \mu_B(y_2) \le \dots, \le \mu_B(y_m)$$Введем множества
$$Y(1)=Y_1, Y(2)=\{y_2, \dots, y_m\}, \dots, Y(t)=\{y_y, \dots, y_m\}. \dots, Y(m)=\{y_m\}$$Положим
$$P(A=Y(1))= \mu_B(y_1), P(A=Y(2))= \mu_B(y_2)- \mu_B(y_1), \dots,\\ P(A=Y(t))= \mu_B(y_t)- \mu_B(y_{t-1}), \dots, P(A=Y(m))= \mu_B(y_m)- \mu_B(y_{m-1}),\\ P(A= \oslash)=1- \mu_B(y_m)$$Для всех остальных подмножеств $$Х$$ множества $$У$$ положим $$Р(А=Х)=0$$. Поскольку элемент $$y_t$$ входит во множества $$Y(1), Y(2), \dots, Y(t) $$ и не входит во множества $$Y(t+1), \dots, Y(m) $$, то из приведенных выше формул следует, что $$p(y_t \in A)= \mu_B(y_t)$$ Если $$y \notin Y_1$$ то, очевидно, $$p(y \in A)=0$$ Теорема 3 доказана.
Распределение случайного множества с независимыми элементами, как следует из рассмотрений лекции 8 текущего курса, полностью определяется его проекцией. Для конечного случайного множества общего вида это не так. Для уточнения сказанного понадобится следующая теорема.
Теорема 4. Для случайного подмножества $$А$$ множества $$У $$ из конечного числа элементов наборы чисел $$P(A=X), X \subseteq Y$$ и $$P(X \subseteq A) X \subseteq Y$$ выражаются один через другой.
Доказательство. Второй набор выражается через первый следующим образом:
$$P(X \subseteq A)= \sum_{X':X \subseteq X'} P(A=X')$$Элементы первого набора выразить через второй можно с помощью формулы включений и исключений из формальной логики, в соответствии с которой $$P(A=X)=P(X \subseteq A)- \sum P(X \bigcup \{y\} \subseteq A)+ \sum P(X \bigcup \{y_1, y_2\} \subseteq A)- \dots \pm P(Y \subseteq A)$$ В этой формуле в первой сумме $$у $$ пробегает все элементы множества $$Y\X$$, во второй сумме переменные суммирования $$у_1$$ и $$у_2$$ не совпадают и также пробегают это множество, и т.д. Ссылка на формулу включений и исключений завершает доказательство теоремы 4.
В соответствии с теоремой 4 случайное множество $$А$$ можно характеризовать не только распределением, но и набором чисел $$P(X \subseteq A), X \subseteq Y$$. В этом наборе $$P( \oslash \subseteq A)=1$$ а других связей типа равенств нет. В этот набор входят числа $$P(\{y\} \subseteq A)=P(y \in A)$$ следовательно, фиксация проекции случайного множества эквивалентна фиксации $$k = Card(Y) $$ параметров из $$(2^k-1) $$ параметров, задающих распределение случайного множества $$А$$ в общем случае.
Будет полезна следующая теорема.
Теорема 5. Если $$Proj A = B$$, то $$Proj \bar A=\bar B$$
Для доказательства достаточно воспользоваться тождеством из теории случайных множеств $$p(\bar A =X)=P(A= \bar X)$$ формулой для вероятности накрытия $$P(y \in A)$$ из лекции 8 текущего курса, определением отрицания нечеткого множества и тем, что сумма всех $$P(A=X) $$ равна 1.
Выясним, как операции над случайными множествами соотносятся с операциями над их проекциями. В силу
Теорема 6. Если случайные подмножества $$А_1$$ и $$А_2$$ конечного множества $$У$$ независимы, то нечеткое множество $$Proj (A_1 \bigcap A_2)$$ является произведением нечетких множеств $$Proj A_1$$ и $$Proj A_2$$ .
Доказательство. Надо показать, что для любого $$y \in Y$$
$$P(y \in A_1 \bigcap A_2)=P(y \in A_1) P(y \in A_2)$$По формуле для вероятности накрытия точки случайным множеством ( лекция 8 текущего курса)
$$P(y \in A_1 \bigcap A_2)= \sum_{X \colon y \in X} P((A_1 \bigcap A_2)=X)$$Как известно, распределение пересечения случайных множеств $$A_1 \bigcap A_2$$ можно выразить через их совместное распределение следующим образом:
$$P(A_1 \bigcap A_2=X)= \sum_{X_1, X_2 \colon X_1 \bigcap X_2=X} P(A_1=X_1, A_2=X_2)$$Из соотношений (9) и (10) следует, что вероятность накрытия для пересечения случайных множеств можно представить в виде двойной суммы
$$P(y \in A_1 \bigcap A_2)= \sum_{X \colon y \in X} \sum_{X_1, X_2 \colon X_1 \bigcap X_2=X} P(A_1=X_1, A_2=X_2)$$Заметим теперь, что правую часть формулы (11) можно переписать следующим образом:
$$\sum_{X_1, X_2 \colon e \in X_1, e \in X_2} P(A_1=X_1, A_2=X_2)$$Действительно, формула (11) отличается от формулы (12) лишь тем, что в ней сгруппированы члены, в которых пересечение переменных суммирования $$X_1 \bigcap X_2$$ принимает
Для завершения доказательства теоремы 6 достаточно еще раз сослаться на формулу для вероятности накрытия точки случайным множеством ( лекция 8 текущего курса).
Определение 3. Носителем случайного множества $$С$$ называется совокупность всех тех элементов $$y \in Y$$ для которых $$P(y \in C)>0$$
Теорема 7. Равенство
$$Proj (A_1 \bigcap A_2)=(Proj A_1) \bigcap (Proj A_2)$$верно тогда и только тогда, когда пересечение носителей случайных множеств $$\bar {A_1} \bigcap A_2$$ и $$A_1 \bigcap \bar {A_2}$$ пусто.
Доказательство. Необходимо выяснить условия, при которых
$$p(y \in A_1 \bigcap A_2)= \min (P(y \in A_1), P(y \in A_2))$$Положим
$$p_1=P(y \in A_1 \bigcap A_2), p_2=P(y \in \bar {A_1} \bigcap A_2), p_3=P(y \in A_1 \bigcap \bar {A_2})$$Тогда равенство (13) сводится к условию
$$p_1=\min(p_1+p_2, p_1+p_3)$$Ясно, что соотношение (14) выполнено тогда и только тогда, когда $$р_2р_3=0$$ при всех $$y \in Y$$ т.е. не существует ни одного элемента $$y_0 \in Y$$ такого, что одновременно $$P(y_0 \in \bar {A_1} \bigcap A_2) >0$$ и $$P(y_0 \in A_1 \bigcap \bar {A_2})>0$$, а это эквивалентно пустоте пересечения носителей случайных множеств $$\bar {A_1} \bigcap A_2$$ и $$A_1 \bigcap \bar {A_2}$$. Теорема 7 доказана.
Выше получены некоторые связи между нечеткими и случайными множествами. Стоит отметить, что изучение этих связей в работе [5] (эта работа выполнена в 1974 г. и доложена на семинаре "Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов" 18 декабря 1974 г. - см. [5, с.169]) началось с введения случайных множеств с целью развития и обобщения аппарата
Цель сведения
Определение 4. Вероятностное пространство $$\{\Omega, G, P\}$$ назовем делимым, если для любого измеримого множества $$X \in G$$ и любого положительного числа $$\alpha$$, меньшего $$Р(Х) $$, можно указать измеримое множество $$Y \subset X$$ такое, что $$P(Y)= \alpha$$
Пример. Пусть $$\Omega$$ - единичный куб конечномерного
Таким образом,
Доказательство сформулированного в примере утверждения проводится стандартными математическими приемами, основанными на том, что измеримое множество можно сколь угодно точно приблизить открытыми множествами, последние представляются в виде суммы не более чем счетного числа открытых шаров, а для шаров делимость проверяется непосредственно (от шара $$Х$$ тело объема $$\alpha < P(X)$$ отделяется соответствующей плоскостью).
Теорема 8. Пусть даны случайное множество $$А$$ на делимом вероятностном пространстве $$\{\Omega, G, P\}$$ со значениями во множестве всех подмножеств множества $$У$$ из конечного числа элементов, и нечеткое множество $$D$$ на $$У$$. Тогда существуют случайные множества $$С_1, С_2, С_3, С_4$$ на том же вероятностном пространстве такие, что
$$Proj (A \bigcapC_1)=B \bigcap D, Proj(A \bigcap C_2)=BD, Proj(A \bigcup C_3)=B \bigcup D,\\ Proj (A \bigcup C_4) B+D, Proj C_i=D, i=1,2,3,4$$где $$B = Proj A$$.
Доказательство. В силу справедливости
Рассмотрим распределение вероятностей во множестве всех подмножеств множества $$У$$, соответствующее случайному множеству $$С$$ такому, что $$Proj C = D$$ (оно существует в силу теоремы 3). Построим случайное множество $$С_2$$ с указанным распределением, независимое от $$А$$. Тогда $$Proj (A\bigcap C_2)=BD$$ по теореме 6.
Перейдем к построению случайного множества $$С_1$$. По теореме 7 необходимо и достаточно определить случайное множество $$C_1(\omega)$$ так, чтобы $$Proj C_1 = D$$ и пересечение носителей случайных множеств $$A \bigcap \bar {C_1}$$ и $$\bar A \bigcap C_1$$ было пусто, т.е. $$p_3=P(y \in \bigcap \bar {C_1})=0$$ для $$y \in Y_1=\{y \colon \mu_B(y) \le \mu_D(y)\}$$ и $$p_2=P(y \in \bar A \bigcap C_1)=0$$ для $$y \in Y_2= \{y \colon \mu_B(y) \ge \mu_D(y)\}$$.
Построим $$C_1(\omega)$$, исходя из заданного случайного множества $$A(\omega)$$ Пусть $$y_1 \in Y_2$$. Исключим элемент $$y_1$$ из $$A(\omega)$$ для стольких
(именно здесь используется делимость вероятностного пространства, на котором задано случайное множество $$A(\omega)$$ ). Для $$y \ne y_1$$, очевидно,
$$p(y \in A_1)= P(y \in A)$$Аналогичным образом последовательно исключаем $$у$$ из $$A(\omega)$$ для всех $$y \in Y_2$$ и добавляем у в $$A(\omega)$$ для всех $$y \in Y_1$$, меняя на каждом шагу $$P(y \in A_i)$$ только для $$y=y_1$$ так, чтобы
$$P(y_1 \in A_i)= \mu_D(y_1)$$(ясно, что при рассмотрении $$y_1 \in Y_1 \bigcap Y_2$$ случайное множество $$A_i(\omega)$$ не меняется). Перебрав все элементы $$У$$, получим случайное множество $$A_k(\omega)=C_1(\omega)$$, для которого выполнено требуемое. Теорема 8 доказана.
Основной результат о сведении теории
Теорема 9. Пусть $$B_1, B_2, B_3, \dots, B_t$$ - некоторые нечеткие подмножества множества $$У$$ из конечного числа элементов. Рассмотрим результаты последовательного выполнения теоретико-множественных операций
$$B^m=(( \dots ((B_1 \circ B_2) \circ B_3) \circ \dots) \circ B_{m-1}) \circ B_m, m=1,2,\dots, t$$где - символ одной из следующих теоретико-множественных операций над нечеткими множествами: пересечение, произведение, объединение, сумма (на разных местах могут стоять разные символы). Тогда существуют случайные подмножества $$A_1, A_2, A_3, \dots, A_t$$ того же множества $$У$$ такие, что
$$Proj A_i=B_i, i=1,2,\dots, t$$и, кроме того, результаты теоретико-множественных операций связаны аналогичными соотношениями
$$Proj \{((\dots ((A_1 \otimes A_2) \otimes A_3) \otimes \dots) \otimes A_{m-1}) \otimes A_m\}=B^m, m=1,2, \dots, t$$где знак $$\otimes $$ означает, что на рассматриваемом месте стоит символ пересечения $$\bigcap $$ случайных множеств, если в определении $$B^m$$ стоит символ пересечения или символ произведения нечетких множеств, и соответственно символ объединения $$\bigcup $$ случайных множеств, если в $$B^m$$ стоит символ объединения или символ суммы нечетких множеств.
Комментарий. Поясним содержание теоремы. Например, если
$$B^5=(((B_1+B_2) \bigcap B_3)B_4) \bigcup B_5$$то
$$(((A_2 \otimes A_2) \otimes A_3) \otimes A_4) \otimes A_5=(((A_1 \bigcup A_2) \bigcap A_3) \bigcap A_4) \bigcup A_5$$Как совместить справедливость дистрибутивного закона для случайных множеств (вытекающего из его справедливости для обычных множеств) с теоремой 2 выше, в которой показано, что для
где
$$B^3=(B_1+B_2)B_3$$но при этом, вообще говоря,
$$Proj(A_1 \bigcap A_3) \ne B_1B_3$$и, кроме случаев, указанных в теореме 2,
$$Proj((A_1 \bigcup A_2) \bigcap A_3) \ne B_1B_3+B_2B_3$$Доказательство теоремы 9 проводится по индукции. При t=1 распределение случайного множества строится с помощью теоремы 3. Затем конструируется само случайное множество $$А_1$$, определенное на делимом вероятностном пространстве (нетрудно проверить, что на делимом вероятностном пространстве можно построить случайное подмножество конечного множества с любым заданным распределением именно в силу делимости пространства). Далее случайные множества $$А_2, А_3, \dots, A_t$$ строим по индукции с помощью теоремы 8. Теорема 9 доказана.
Замечание. Проведенное доказательство теоремы 9 проходит и в случае, когда при определении $$B^m$$ используются отрицания, точнее, кроме $$B^m$$ ранее введенного вида используются также последовательности результатов
А именно, сначала при помощи
Итак, в настоящем приложении описаны связи между такими объектами нечисловой природы, как нечеткие и случайные множества, установленные в нашей стране в первой половине 1970-х годов. Через несколько лет, а именно, в начале 1980-х годов, близкие подходы стали развиваться и за рубежом. Одна из работ [6] носит примечательное название "Нечеткие множества как
В эконометрике разработан ряд методов статистического анализа нечетких данных, в том числе методы классификации, регрессии, проверки гипотез о совпадении
В лекции 8 текущего курса рассматривались такие виды объектов нечисловой природы, как нечеткие и случайные множества. Цель настоящего приложения - глубже изучить свойства
В дальнейшем считается, что все рассматриваемые нечеткие множества являются подмножествами одного и того же множества $$Y$$.
Как известно, законами же Моргана называются следующие тождества алгебры множеств
$$\overline{A \bigcup B}= \bar A \bigcap \bar B,\\ \overline{A \bigcap B}= \bar A \bigcup \bar B $$Теорема 1. Для нечетких множеств справедливы тождества
$$\overline{A \bigcup B}= \bar A \bigcap \bar B\\ \overline{A \bigcap B}= \bar A \bigcup \bar B$$ $$\overline{A + B}= \bar A \bar B,\\ \overline{A B}= \bar A + \bar B$$Доказательство теоремы 1 состоит в непосредственной проверке справедливости соотношений (2) и (3) путем вычисления значений
Тождества (2) и (3) назовем законами де Моргана для нечетких множеств. В отличие от классического случая соотношений (1), они состоят из четырех тождеств, одна пара которых относится к операциям объединения и пересечения, а вторая - к операциям произведения и суммы. Как и соотношение (1) в алгебре множеств,
Некоторые свойства операций над множествами не выполнены для
Верен ли дистрибутивный закон для
Теорема 2. Для любых нечетких множеств $$А, В$$ и $$С$$
$$A \bigcap (B \bigcup C)=(A \bigcap B) \bigcup (A \bigcap C)$$В то же время равенство
$$A(B+C)=AB+AC$$справедливо тогда и только тогда, когда при всех $$y \in Y$$
$$(\mu_A^2(y)- \mu_A(y)) \mu_B(y) \mu_C(y)=0$$Доказательство. Фиксируем произвольный элемент $$y \in Y$$. Для сокращения записи обозначим $$a= \mu_A(y), b= \mu_B(y), c=\mu_C(y)$$. Для доказательства тождества (4) необходимо показать, что
$$\min (a,\max(b,c))= \max( \min(a,b), \min(a,c))$$Рассмотрим различные упорядочения трех чисел $$a, b, c$$. Пусть сначала $$a \le b \le c$$ Тогда левая часть соотношения (6) есть $$\min(a,c)=a$$ а правая $$\max(a,a)=a$$ т.е. равенство (6) справедливо.
Пусть $$b \le c \le a$$ Тогда в соотношении (6) слева стоит $$\min(a,c)=a$$ а справа $$\max(b,a)=a$$ т.е. соотношение (6) опять является равенством.
Если $$b \le c \le a$$ то в соотношении (6) слева стоит $$\min(a,c)=c$$ а справа $$\max(b,c)=c$$ т.е. обе части снова совпадают.
Три остальные упорядочения чисел $$a, b, c$$ разбирать нет необходимости, поскольку в соотношение (6) числа $$b$$ и $$c$$ входят симметрично. Тождество (4) доказано.
Второе утверждение теоремы 2 вытекает из того, что в соответствии с определениями операций над нечеткими множествами (см. лекцию текущего курса8)
$$\mu_{A(B+C)}(y)=a(b+c-bc)=ab+ac_abc$$и
$$\mu_{AB+AC}(y)=ab+ac-(ab)(ac)=ab+ac-a^2bc$$Эти два выражения совпадают тогда и только тогда, когда, когда $$a^2bc=abc$$ что и требовалось доказать.
Определение 1. Носителем нечеткого множества $$A$$ называется совокупность всех точек $$e \in Y$$, для которых $$\mu_A(y)>0$$
Следствие теоремы 2. Если носители нечетких множеств $$В$$ и $$С$$ совпадают с $$У$$, то равенство (5) имеет место тогда и только тогда, когда А - "четкое" (т.е. обычное, классическое, не нечеткое) множество.
Доказательство. По условию $$\mu_B(y) \mu_C(y) \ne 0$$ при всех $$y \in Y$$. Тогда из теоремы 2 следует, что $$\mu_A^2(y)- \mu_A(y)=0$$ т.е. $$\mu_A(y)=1$$ или $$\mu_A(y)=0$$, что и означает, что $$A$$ - четкое множество.
С самого начала появления современной теории нечеткости в 1960-е годы началось обсуждение ее взаимоотношений с теорией вероятностей. Дело в том, что функция принадлежности нечеткого множества напоминает распределение вероятностей. Отличие только в том, что сумма вероятностей по всем возможным значениям случайной величины (или интеграл, если множество возможных значений несчетно) всегда равна 1, а сумма $$S$$ значений
В работах по нечетким множествам довольно часто утверждается, что теория нечеткости является самостоятельным разделом
При сравнении различных аксиоматик теории нечеткости и теории вероятностей нетрудно увидеть, что списки аксиом различаются. Из этого, однако, отнюдь не следует, что между указанными теориями нельзя установить связь, типа известного сведения евклидовой геометрии на плоскости к арифметике (точнее к теории числовой системы $$R^2$$ - см., например, монографию [4]). Напомним, что эти две аксиоматики - евклидовой геометрии и арифметики - на первый взгляд весьма сильно различаются.
Можно понять желание энтузиастов нового направления подчеркнуть принципиальную новизну своего научного аппарата. Однако не менее важно установить связи нового подхода с ранее известными.
Как оказалось, теория
Определение 2. Пусть $$A=A(\omega)$$ - случайное подмножество конечного множества $$У$$. Нечеткое множество $$В$$, определенное на $$У$$, называется проекцией $$А$$ и обозначается $$\Proj A$$, если
$$\mu_B(y)=P(y \in A)$$при всех $$y \in Y$$
Очевидно, каждому случайному множеству $$А$$ можно поставить в соответствие с помощью формулы (7) нечеткое множество $$В = \Proj A$$. Оказывается, верно и обратное.
Теорема 3. Для любого нечеткого подмножества $$В$$ конечного множества $$У$$ существует случайное подмножество $$А $$ множества $$У$$ такое, что $$В = \Proj A$$ .
Доказательство. Достаточно задать распределение случайного множества $$А$$. Пусть $$У_1$$ - носитель В (см. определение 1 выше). Без ограничения общности можно считать, что $$Y_1=\{y_1, y_2, \dots, y_m\}$$ при некотором $$m$$ и элементы $$У_1$$ занумерованы в таком порядке, что
$$0< \mu_B(y_1) \le \mu_B(y_2) \le \dots, \le \mu_B(y_m)$$Введем множества
$$Y(1)=Y_1, Y(2)=\{y_2, \dots, y_m\}, \dots, Y(t)=\{y_y, \dots, y_m\}. \dots, Y(m)=\{y_m\}$$Положим
$$P(A=Y(1))= \mu_B(y_1), P(A=Y(2))= \mu_B(y_2)- \mu_B(y_1), \dots,\\ P(A=Y(t))= \mu_B(y_t)- \mu_B(y_{t-1}), \dots, P(A=Y(m))= \mu_B(y_m)- \mu_B(y_{m-1}),\\ P(A= \oslash)=1- \mu_B(y_m)$$Для всех остальных подмножеств $$Х$$ множества $$У$$ положим $$Р(А=Х)=0$$. Поскольку элемент $$y_t$$ входит во множества $$Y(1), Y(2), \dots, Y(t) $$ и не входит во множества $$Y(t+1), \dots, Y(m) $$, то из приведенных выше формул следует, что $$p(y_t \in A)= \mu_B(y_t)$$ Если $$y \notin Y_1$$ то, очевидно, $$p(y \in A)=0$$ Теорема 3 доказана.
Распределение случайного множества с независимыми элементами, как следует из рассмотрений лекции 8 текущего курса, полностью определяется его проекцией. Для конечного случайного множества общего вида это не так. Для уточнения сказанного понадобится следующая теорема.
Теорема 4. Для случайного подмножества $$А$$ множества $$У $$ из конечного числа элементов наборы чисел $$P(A=X), X \subseteq Y$$ и $$P(X \subseteq A) X \subseteq Y$$ выражаются один через другой.
Доказательство. Второй набор выражается через первый следующим образом:
$$P(X \subseteq A)= \sum_{X':X \subseteq X'} P(A=X')$$Элементы первого набора выразить через второй можно с помощью формулы включений и исключений из формальной логики, в соответствии с которой $$P(A=X)=P(X \subseteq A)- \sum P(X \bigcup \{y\} \subseteq A)+ \sum P(X \bigcup \{y_1, y_2\} \subseteq A)- \dots \pm P(Y \subseteq A)$$ В этой формуле в первой сумме $$у $$ пробегает все элементы множества $$Y\X$$, во второй сумме переменные суммирования $$у_1$$ и $$у_2$$ не совпадают и также пробегают это множество, и т.д. Ссылка на формулу включений и исключений завершает доказательство теоремы 4.
В соответствии с теоремой 4 случайное множество $$А$$ можно характеризовать не только распределением, но и набором чисел $$P(X \subseteq A), X \subseteq Y$$. В этом наборе $$P( \oslash \subseteq A)=1$$ а других связей типа равенств нет. В этот набор входят числа $$P(\{y\} \subseteq A)=P(y \in A)$$ следовательно, фиксация проекции случайного множества эквивалентна фиксации $$k = Card(Y) $$ параметров из $$(2^k-1) $$ параметров, задающих распределение случайного множества $$А$$ в общем случае.
Будет полезна следующая теорема.
Теорема 5. Если $$Proj A = B$$, то $$Proj \bar A=\bar B$$
Для доказательства достаточно воспользоваться тождеством из теории случайных множеств $$p(\bar A =X)=P(A= \bar X)$$ формулой для вероятности накрытия $$P(y \in A)$$ из лекции 8 текущего курса, определением отрицания нечеткого множества и тем, что сумма всех $$P(A=X) $$ равна 1.
Выясним, как операции над случайными множествами соотносятся с операциями над их проекциями. В силу
Теорема 6. Если случайные подмножества $$А_1$$ и $$А_2$$ конечного множества $$У$$ независимы, то нечеткое множество $$Proj (A_1 \bigcap A_2)$$ является произведением нечетких множеств $$Proj A_1$$ и $$Proj A_2$$ .
Доказательство. Надо показать, что для любого $$y \in Y$$
$$P(y \in A_1 \bigcap A_2)=P(y \in A_1) P(y \in A_2)$$По формуле для вероятности накрытия точки случайным множеством ( лекция 8 текущего курса)
$$P(y \in A_1 \bigcap A_2)= \sum_{X \colon y \in X} P((A_1 \bigcap A_2)=X)$$Как известно, распределение пересечения случайных множеств $$A_1 \bigcap A_2$$ можно выразить через их совместное распределение следующим образом:
$$P(A_1 \bigcap A_2=X)= \sum_{X_1, X_2 \colon X_1 \bigcap X_2=X} P(A_1=X_1, A_2=X_2)$$Из соотношений (9) и (10) следует, что вероятность накрытия для пересечения случайных множеств можно представить в виде двойной суммы
$$P(y \in A_1 \bigcap A_2)= \sum_{X \colon y \in X} \sum_{X_1, X_2 \colon X_1 \bigcap X_2=X} P(A_1=X_1, A_2=X_2)$$Заметим теперь, что правую часть формулы (11) можно переписать следующим образом:
$$\sum_{X_1, X_2 \colon e \in X_1, e \in X_2} P(A_1=X_1, A_2=X_2)$$Действительно, формула (11) отличается от формулы (12) лишь тем, что в ней сгруппированы члены, в которых пересечение переменных суммирования $$X_1 \bigcap X_2$$ принимает
Для завершения доказательства теоремы 6 достаточно еще раз сослаться на формулу для вероятности накрытия точки случайным множеством ( лекция 8 текущего курса).
Определение 3. Носителем случайного множества $$С$$ называется совокупность всех тех элементов $$y \in Y$$ для которых $$P(y \in C)>0$$
Теорема 7. Равенство
$$Proj (A_1 \bigcap A_2)=(Proj A_1) \bigcap (Proj A_2)$$верно тогда и только тогда, когда пересечение носителей случайных множеств $$\bar {A_1} \bigcap A_2$$ и $$A_1 \bigcap \bar {A_2}$$ пусто.
Доказательство. Необходимо выяснить условия, при которых
$$p(y \in A_1 \bigcap A_2)= \min (P(y \in A_1), P(y \in A_2))$$Положим
$$p_1=P(y \in A_1 \bigcap A_2), p_2=P(y \in \bar {A_1} \bigcap A_2), p_3=P(y \in A_1 \bigcap \bar {A_2})$$Тогда равенство (13) сводится к условию
$$p_1=\min(p_1+p_2, p_1+p_3)$$Ясно, что соотношение (14) выполнено тогда и только тогда, когда $$р_2р_3=0$$ при всех $$y \in Y$$ т.е. не существует ни одного элемента $$y_0 \in Y$$ такого, что одновременно $$P(y_0 \in \bar {A_1} \bigcap A_2) >0$$ и $$P(y_0 \in A_1 \bigcap \bar {A_2})>0$$, а это эквивалентно пустоте пересечения носителей случайных множеств $$\bar {A_1} \bigcap A_2$$ и $$A_1 \bigcap \bar {A_2}$$. Теорема 7 доказана.
Выше получены некоторые связи между нечеткими и случайными множествами. Стоит отметить, что изучение этих связей в работе [5] (эта работа выполнена в 1974 г. и доложена на семинаре "Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов" 18 декабря 1974 г. - см. [5, с.169]) началось с введения случайных множеств с целью развития и обобщения аппарата
Цель сведения
Определение 4. Вероятностное пространство $$\{\Omega, G, P\}$$ назовем делимым, если для любого измеримого множества $$X \in G$$ и любого положительного числа $$\alpha$$, меньшего $$Р(Х) $$, можно указать измеримое множество $$Y \subset X$$ такое, что $$P(Y)= \alpha$$
Пример. Пусть $$\Omega$$ - единичный куб конечномерного
Таким образом,
Доказательство сформулированного в примере утверждения проводится стандартными математическими приемами, основанными на том, что измеримое множество можно сколь угодно точно приблизить открытыми множествами, последние представляются в виде суммы не более чем счетного числа открытых шаров, а для шаров делимость проверяется непосредственно (от шара $$Х$$ тело объема $$\alpha < P(X)$$ отделяется соответствующей плоскостью).
Теорема 8. Пусть даны случайное множество $$А$$ на делимом вероятностном пространстве $$\{\Omega, G, P\}$$ со значениями во множестве всех подмножеств множества $$У$$ из конечного числа элементов, и нечеткое множество $$D$$ на $$У$$. Тогда существуют случайные множества $$С_1, С_2, С_3, С_4$$ на том же вероятностном пространстве такие, что
$$Proj (A \bigcapC_1)=B \bigcap D, Proj(A \bigcap C_2)=BD, Proj(A \bigcup C_3)=B \bigcup D,\\ Proj (A \bigcup C_4) B+D, Proj C_i=D, i=1,2,3,4$$где $$B = Proj A$$.
Доказательство. В силу справедливости
Рассмотрим распределение вероятностей во множестве всех подмножеств множества $$У$$, соответствующее случайному множеству $$С$$ такому, что $$Proj C = D$$ (оно существует в силу теоремы 3). Построим случайное множество $$С_2$$ с указанным распределением, независимое от $$А$$. Тогда $$Proj (A\bigcap C_2)=BD$$ по теореме 6.
Перейдем к построению случайного множества $$С_1$$. По теореме 7 необходимо и достаточно определить случайное множество $$C_1(\omega)$$ так, чтобы $$Proj C_1 = D$$ и пересечение носителей случайных множеств $$A \bigcap \bar {C_1}$$ и $$\bar A \bigcap C_1$$ было пусто, т.е. $$p_3=P(y \in \bigcap \bar {C_1})=0$$ для $$y \in Y_1=\{y \colon \mu_B(y) \le \mu_D(y)\}$$ и $$p_2=P(y \in \bar A \bigcap C_1)=0$$ для $$y \in Y_2= \{y \colon \mu_B(y) \ge \mu_D(y)\}$$.
Построим $$C_1(\omega)$$, исходя из заданного случайного множества $$A(\omega)$$ Пусть $$y_1 \in Y_2$$. Исключим элемент $$y_1$$ из $$A(\omega)$$ для стольких
(именно здесь используется делимость вероятностного пространства, на котором задано случайное множество $$A(\omega)$$ ). Для $$y \ne y_1$$, очевидно,
$$p(y \in A_1)= P(y \in A)$$Аналогичным образом последовательно исключаем $$у$$ из $$A(\omega)$$ для всех $$y \in Y_2$$ и добавляем у в $$A(\omega)$$ для всех $$y \in Y_1$$, меняя на каждом шагу $$P(y \in A_i)$$ только для $$y=y_1$$ так, чтобы
$$P(y_1 \in A_i)= \mu_D(y_1)$$(ясно, что при рассмотрении $$y_1 \in Y_1 \bigcap Y_2$$ случайное множество $$A_i(\omega)$$ не меняется). Перебрав все элементы $$У$$, получим случайное множество $$A_k(\omega)=C_1(\omega)$$, для которого выполнено требуемое. Теорема 8 доказана.
Основной результат о сведении теории
Теорема 9. Пусть $$B_1, B_2, B_3, \dots, B_t$$ - некоторые нечеткие подмножества множества $$У$$ из конечного числа элементов. Рассмотрим результаты последовательного выполнения теоретико-множественных операций
$$B^m=(( \dots ((B_1 \circ B_2) \circ B_3) \circ \dots) \circ B_{m-1}) \circ B_m, m=1,2,\dots, t$$где - символ одной из следующих теоретико-множественных операций над нечеткими множествами: пересечение, произведение, объединение, сумма (на разных местах могут стоять разные символы). Тогда существуют случайные подмножества $$A_1, A_2, A_3, \dots, A_t$$ того же множества $$У$$ такие, что
$$Proj A_i=B_i, i=1,2,\dots, t$$и, кроме того, результаты теоретико-множественных операций связаны аналогичными соотношениями
$$Proj \{((\dots ((A_1 \otimes A_2) \otimes A_3) \otimes \dots) \otimes A_{m-1}) \otimes A_m\}=B^m, m=1,2, \dots, t$$где знак $$\otimes $$ означает, что на рассматриваемом месте стоит символ пересечения $$\bigcap $$ случайных множеств, если в определении $$B^m$$ стоит символ пересечения или символ произведения нечетких множеств, и соответственно символ объединения $$\bigcup $$ случайных множеств, если в $$B^m$$ стоит символ объединения или символ суммы нечетких множеств.
Комментарий. Поясним содержание теоремы. Например, если
$$B^5=(((B_1+B_2) \bigcap B_3)B_4) \bigcup B_5$$то
$$(((A_2 \otimes A_2) \otimes A_3) \otimes A_4) \otimes A_5=(((A_1 \bigcup A_2) \bigcap A_3) \bigcap A_4) \bigcup A_5$$Как совместить справедливость дистрибутивного закона для случайных множеств (вытекающего из его справедливости для обычных множеств) с теоремой 2 выше, в которой показано, что для
где
$$B^3=(B_1+B_2)B_3$$но при этом, вообще говоря,
$$Proj(A_1 \bigcap A_3) \ne B_1B_3$$и, кроме случаев, указанных в теореме 2,
$$Proj((A_1 \bigcup A_2) \bigcap A_3) \ne B_1B_3+B_2B_3$$Доказательство теоремы 9 проводится по индукции. При t=1 распределение случайного множества строится с помощью теоремы 3. Затем конструируется само случайное множество $$А_1$$, определенное на делимом вероятностном пространстве (нетрудно проверить, что на делимом вероятностном пространстве можно построить случайное подмножество конечного множества с любым заданным распределением именно в силу делимости пространства). Далее случайные множества $$А_2, А_3, \dots, A_t$$ строим по индукции с помощью теоремы 8. Теорема 9 доказана.
Замечание. Проведенное доказательство теоремы 9 проходит и в случае, когда при определении $$B^m$$ используются отрицания, точнее, кроме $$B^m$$ ранее введенного вида используются также последовательности результатов
А именно, сначала при помощи
Итак, в настоящем приложении описаны связи между такими объектами нечисловой природы, как нечеткие и случайные множества, установленные в нашей стране в первой половине 1970-х годов. Через несколько лет, а именно, в начале 1980-х годов, близкие подходы стали развиваться и за рубежом. Одна из работ [6] носит примечательное название "Нечеткие множества как
В эконометрике разработан ряд методов статистического анализа нечетких данных, в том числе методы классификации, регрессии, проверки гипотез о совпадении
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.