Цель лекции: Показать эффективность объектно-ориентированного подхода к задаче нахождения численных решений задачи Коши для дифференциальных уравнений. Провести вычислительные эксперименты и сравнить различные методы.
В настоящей лекции мы будем рассматривать задачу Коши для довольного широкого класса обыкновенных дифференциальных уравнений.
Сначала перейдем к формальному определению постановки задачи Коши. Пусть $$D\subset\Bbb{R}^n$$ - область (ограниченная или нет) в $$n$$ -мерном пространстве. Пусть также задан отрезок $$[0,\Bbb{T}]$$, здесь $$\Bbb{T}>0$$ может быть и бесконечностью. Введем обозначение$$D_\Bbb{T}=\{(x,t):x\in\overline D,t\in[0,\Bbb{T}]\}.$$ Пусть в $$D_\Bbb{T}$$ задана функция $$f(x,t)$$ тогда можно рассматривать обыкновенное дифференциальное уравнение$$y'(t)=f(y(t),t),\ t\in[0,\Bbb{T}].$$ С этим уравнением связывается начальное условие$$y(0)=y^0,\ y_0\in D.$$ Задача нахождения функции $$y(t)$$ такой, что на некотором интервале $$[0,T]$$ функция $$y(t)$$ имеет непрерывную производную при $$t\in[0,T]$$ имеет место $$y(t)\in\overline{D}$$, и функция $$y(t)$$ удовлетворяет уравнению 16.1 и начальному условию 16.2.
В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказываются следующие теоремы.
Теорема 16.1. Пусть функция $$f(x,t)$$ является непрерывной в $$D_\Bbb{T}$$, тогда существует такое $$T>0$$, что на $$[0,T]$$ существует по крайней мере одно решение задачи 16.1-16.2.
В условиях теоремы существуют примеры задач Коши, которые имеют более одного решения. Действительно, если взять $$D=\Bbb{R}$$, $$\Bbb{T}=\infty$$, а в качестве функции $$f$$$$f(x,t)=\sqrt{x},$$ то задачка Коши$$y'(t)=\sqrt{y(t)},$$ $$y(0)=0$$ имеет бесконечное число решений:$$y(t)=\left\{% \begin{array}{ll} 0, t\le\alpha, \\ \frac{(t-\alpha)^2}{4}, t\ge\alpha, \\ \end{array}% \right.$$ где $$\alpha\ge0$$ - параметр семейства решений.
Чтобы гарантировать единственность решения задачи Коши, необходимо накладывать большие условия на функцию $$f$$.
Теорема 16.2. Пусть функция $$f(x,t)$$ является непрерывной в $$D_\Bbb{T}$$, и существует такая положительная константа $$L>0$$, зависящая только от $$\tau>0$$ что для любого отрезка $$[0,\tau]\subset[0,\Bbb{T}]$$ выполнено неравенство$$|f(x',t)-f(x'',t)|\le L|x'-x''|,$$ для всех $$x',x''\in D$$ и $$t\in[0,\tau]$$.
Тогда существует такое $$T>0$$, что на $$[0,T]$$ существует единственное решение задачи 16.1-16.2.
Условие 16.3 называется условием Липшица. Это условие будет заведомо выполнено, если непрерывная функция $$f$$ имеет ограниченные и непрерывные производные по $$x$$ в $$D$$.
Приведенные выше теоремы гарантируют только локальную разрешимость задачи Коши. Действительно, следующий пример задачи Коши не имеет решения на любом отрезке $$[0,T]$$, где $$T\ge\frac{\pi}{2}$$. Пусть снова $$D=\Bbb{R}^n$$, функция $$f(x,t)$$ имеет вид$$f(x,t)=x^2+1,$$ тогда задача Коши$$y'(t)=y^2(t)+1$$ $$y(0)=0,$$ имеет единственное решение$$y(t)=\tg t,$$ которое не продолжается вне интервала $$[0,\frac{\pi}{2})$$.
Чтобы гарантировать существование глобального по времени решения, необходимо накладывать дополнительные условия на рост правой части.
Теорема 16.3. Пусть выполнены все условия теоремы 16.2 и дополнительно функция $$f(x,t)$$ удовлетворяет условию в области $$D=\Bbb{R}^n$$$$|f(x,t)|\le M(|x|+1),$$ где константа $$M>0$$ не зависит ни от $$x$$, ни от $$t$$, тогда задача Коши имеет единственное решение на отрезке $$[0,\infty)$$.
В курсах по обыкновенным дифференциальным уравнениям проходят разнообразные методы нахождения точных решений дифференциальных уравнений. Однако, во-первых, случаи, когда можно найти точные решения являются исключительными случаями и для многих уравнений доказано, что найти решение в квадратурах невозможно. Во-вторых, даже если удалось найти точное решение, то это решение может быть выражено в неявном виде, либо в виде квадратур, которые в свою очередь могут не выражаться в элементарных случаях. В-третьих, во многих задачах правые части могут не быть заданы элементарными функциями. Наконец, во многих случаях построение приближенного решения с достаточной точностью является значительно более простым и эффективным, чем нахождение точного решения.
Существует довольно много численных методов решения задачи Коши
для дифференциальных уравнений. При этом многие методы были
созданы еще в "до машинную эпоху". Такие методы часто
ориентированы на ручной расчет и включают в себя использование
аналитических выкладок, например, расчет производных от правой
части. Наиболее часто используемым является
Реализуем этот метод на C#. Сначала реализуем абстрактный класс, который будет использован для конструирования различных методов построения численных решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
$$\begin{verbatim} abstract class TODE { public int N; protected double t; // текущее время // искомое решение Y[0] - само решение, // Y[i] - i-тая производная решения public double[] Y; protected double[] YY; // внутренние переменные public TODE(int N) // N - размерность системы { this.N = N; Y = new double[N]; // создать вектор решения YY = new double[N]; // и внутренних решений } // установить начальные условия. // t0 - начальное время, Y0 - начальное условие public void SetInit(double t0, double[] Y0) { t = t0; int i; for (i = 0; i < N; i++) { Y[i] = Y0[i]; } } public double GetCurrent() // вернуть текущее время { return t; } abstract public void F(double t, double[] Y, ref double[] FY); // правые части системы. // следующий шаг, dt - шаг по времени abstract public void NextStep(double dt); } \end{verbatim}$$На основе этого класса построим класс, реализующий
Прежде чем испытать наш
Правила построения точек $$y_i$$ следующие$$y_i=y_{i-1}+\frac{h_i}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4),$$ где$$k_1=f(y_{i-1},t_{i-1}),$$ $$k_2=f\left(y_{i-1}+\frac{h}{2}k_1,t_{i-1}+\frac{h}{2}\right),$$ $$k_3=f\left(y_{i-1}+\frac{h}{2}k_2,t_{i-1}+\frac{h}{2}\right),$$ $$k_4=f(y_{i-1}+hk_3,t_{i-1}+h).$$ Как мы видим, для расчета решения на следующем шаге необходимо вычислить правую часть четыре раза, зато точность этого метода имеет четвертый порядок, при условии гладкости правой части.
Перейдем к реализации метода Рунге-Кутта на основе нашего класса $$TODE$$.
$$\begin{verbatim} abstract class TRungeKutta : TODE { double[] Y1, Y2, Y3, Y4; // внутренние переменные public TRungeKutta(int N) : base(N) { Y1 = new double[N]; Y2 = new double[N]; Y3 = new double[N]; Y4 = new double[N]; } \end{verbatim}$$ $$\begin{verbatim} // следующий шаг метода Рунге-Кутта, dt - шаг по времени override public void NextStep(double dt) { if (dt < 0) { return; } int i; F(t, Y, ref Y1); // рассчитать Y1 for (i = 0; i < N; i++) { YY[i] = Y[i] + Y1[i] * (dt / 2.0); } F(t + dt / 2.0, YY, ref Y2); // рассчитать Y2 for (i = 0; i < N; i++) { YY[i] = Y[i] + Y2[i] * (dt / 2.0); } F(t + dt / 2.0, YY, ref Y3); // рассчитать Y3 for (i = 0; i < N; i++) { YY[i] = Y[i] + Y3[i] * dt; } F(t + dt, YY, ref Y4); // рассчитать Y4 for (i = 0; i < N; i++) { // рассчитать решение на новом шаге Y[i] = Y[i] + dt / 6.0 * (Y1[i] + 2.0 * Y2[i] + 2.0 * Y3[i] + Y4[i]); } t = t + dt; // увеличить шаг } } \end{verbatim}$$Теперь протестируем наши методы на примере задач Коши, описывающей
гармонические колебания математического маятника. Мы решаем
следующую задачу.$$y''(x)+y(x)=0$$
с начальными условиями$$y(0)=0,$$
$$y'(0)=1.$$
Эта задача имеет единственное решение - $$\sin t$$. Чтобы
применить к этой задаче наши методы нужно записать ее в виде
системы уравнений первого порядка.$$Y_0(t)=y(t),$$
$$Y_1(t)=y'(t).$$
После такой замены мы имеет следующую систему$$Y'_0(t)=Y_1(t)$$
$$Y'_1(t)=-Y_0(t)
$$
с начальными условиями$$Y_0(0)=0,$$
$$Y_1(0)=1.$$
Реализуем для нашей системы
Испытаем наши классы
$$\begin{verbatim} double h = 0.1; double[] Y0 = { 0, 1.0 }; THarmonicEuler HarmonicEuler = new THarmonicEuler(); HarmonicEuler.SetInit(0, Y0); THarmonicRK HarmonicRK = new THarmonicRK(); HarmonicRK.SetInit(0, Y0); StreamWriter F = File.CreateText("harmonic.txt"); double t, Euler, RK, Sin; while (HarmonicEuler.GetCurrent() < (2 * Math.PI + h / 2.0)) { t = HarmonicEuler.GetCurrent(); Euler = HarmonicEuler.Y[0]; RK = HarmonicRK.Y[0]; Sin = Math.Sin(t); F.WriteLine("{0}\t{1}\t{2}\t{3}\t\t{4}\t{5}\t{6}", t, Euler, RK, Sin, t, Math.Abs(Sin - Euler), Math.Abs(Sin - RK)); HarmonicEuler.NextStep(h); HarmonicRK.NextStep(h); } F.Close(); \end{verbatim}$$Результаты расчетов приведем на трех графиках. На рисунке 16.1 мы приводим график точного решения и приближенных, полученных методами Эйлера и Рунге-Кутты. Однако на этом графике не возможно отличить точное решение от приближенного решения, полученного методом Рунге-Кутты. На рисунках 16.2 и 16.3 мы показываем погрешности методов. Из анализа этих графиков видно, что точность метода Рунге-Кутты значительно выше, что обосновывается теоретически.
(рис 16.2) Точное и приближенное решение дифференциального уравнения(рис 16.1) Погрешность метода Эйлера
(рис 16.3) Погрешность метода Рунге–КуттыКлючевые термины
Глобальное решение - решение задачи Коши, существующее при всех $$t\ge0$$.
Задача Коши - дифференциальное уравнение с заданными начальными условиями на решение.
Метод Рунге-Кутта - наиболее распространенный метод численного интегрирования задачи Коши с точностью четвертого порядка.
Метод Эйлера - простейший метод численного интегрирования задачи Коши с точностью первого порядка.
Условие Липшица - условие на приращение функции, более сильное чем условие непрерывности, но слабее чем условие дифференцируемости.
Краткие итоги: Построены объектно-ориентированные средства для численного решения задачи Коши. Проведены вычислительные эксперименты, для сравнения методов Эйлера и Рунге-Кутты.
Цель лекции: Показать эффективность объектно-ориентированного подхода к задаче нахождения численных решений задачи Коши для дифференциальных уравнений. Провести вычислительные эксперименты и сравнить различные методы.
В настоящей лекции мы будем рассматривать задачу Коши для довольного широкого класса обыкновенных дифференциальных уравнений.
Сначала перейдем к формальному определению постановки задачи Коши. Пусть $$D\subset\Bbb{R}^n$$ - область (ограниченная или нет) в $$n$$ -мерном пространстве. Пусть также задан отрезок $$[0,\Bbb{T}]$$, здесь $$\Bbb{T}>0$$ может быть и бесконечностью. Введем обозначение$$D_\Bbb{T}=\{(x,t):x\in\overline D,t\in[0,\Bbb{T}]\}.$$ Пусть в $$D_\Bbb{T}$$ задана функция $$f(x,t)$$ тогда можно рассматривать обыкновенное дифференциальное уравнение$$y'(t)=f(y(t),t),\ t\in[0,\Bbb{T}].$$ С этим уравнением связывается начальное условие$$y(0)=y^0,\ y_0\in D.$$ Задача нахождения функции $$y(t)$$ такой, что на некотором интервале $$[0,T]$$ функция $$y(t)$$ имеет непрерывную производную при $$t\in[0,T]$$ имеет место $$y(t)\in\overline{D}$$, и функция $$y(t)$$ удовлетворяет уравнению 16.1 и начальному условию 16.2.
В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказываются следующие теоремы.
Теорема 16.1. Пусть функция $$f(x,t)$$ является непрерывной в $$D_\Bbb{T}$$, тогда существует такое $$T>0$$, что на $$[0,T]$$ существует по крайней мере одно решение задачи 16.1-16.2.
В условиях теоремы существуют примеры задач Коши, которые имеют более одного решения. Действительно, если взять $$D=\Bbb{R}$$, $$\Bbb{T}=\infty$$, а в качестве функции $$f$$$$f(x,t)=\sqrt{x},$$ то задачка Коши$$y'(t)=\sqrt{y(t)},$$ $$y(0)=0$$ имеет бесконечное число решений:$$y(t)=\left\{% \begin{array}{ll} 0, t\le\alpha, \\ \frac{(t-\alpha)^2}{4}, t\ge\alpha, \\ \end{array}% \right.$$ где $$\alpha\ge0$$ - параметр семейства решений.
Чтобы гарантировать единственность решения задачи Коши, необходимо накладывать большие условия на функцию $$f$$.
Теорема 16.2. Пусть функция $$f(x,t)$$ является непрерывной в $$D_\Bbb{T}$$, и существует такая положительная константа $$L>0$$, зависящая только от $$\tau>0$$ что для любого отрезка $$[0,\tau]\subset[0,\Bbb{T}]$$ выполнено неравенство$$|f(x',t)-f(x'',t)|\le L|x'-x''|,$$ для всех $$x',x''\in D$$ и $$t\in[0,\tau]$$.
Тогда существует такое $$T>0$$, что на $$[0,T]$$ существует единственное решение задачи 16.1-16.2.
Условие 16.3 называется условием Липшица. Это условие будет заведомо выполнено, если непрерывная функция $$f$$ имеет ограниченные и непрерывные производные по $$x$$ в $$D$$.
Приведенные выше теоремы гарантируют только локальную разрешимость задачи Коши. Действительно, следующий пример задачи Коши не имеет решения на любом отрезке $$[0,T]$$, где $$T\ge\frac{\pi}{2}$$. Пусть снова $$D=\Bbb{R}^n$$, функция $$f(x,t)$$ имеет вид$$f(x,t)=x^2+1,$$ тогда задача Коши$$y'(t)=y^2(t)+1$$ $$y(0)=0,$$ имеет единственное решение$$y(t)=\tg t,$$ которое не продолжается вне интервала $$[0,\frac{\pi}{2})$$.
Чтобы гарантировать существование глобального по времени решения, необходимо накладывать дополнительные условия на рост правой части.
Теорема 16.3. Пусть выполнены все условия теоремы 16.2 и дополнительно функция $$f(x,t)$$ удовлетворяет условию в области $$D=\Bbb{R}^n$$$$|f(x,t)|\le M(|x|+1),$$ где константа $$M>0$$ не зависит ни от $$x$$, ни от $$t$$, тогда задача Коши имеет единственное решение на отрезке $$[0,\infty)$$.
В курсах по обыкновенным дифференциальным уравнениям проходят разнообразные методы нахождения точных решений дифференциальных уравнений. Однако, во-первых, случаи, когда можно найти точные решения являются исключительными случаями и для многих уравнений доказано, что найти решение в квадратурах невозможно. Во-вторых, даже если удалось найти точное решение, то это решение может быть выражено в неявном виде, либо в виде квадратур, которые в свою очередь могут не выражаться в элементарных случаях. В-третьих, во многих задачах правые части могут не быть заданы элементарными функциями. Наконец, во многих случаях построение приближенного решения с достаточной точностью является значительно более простым и эффективным, чем нахождение точного решения.
Существует довольно много численных методов решения задачи Коши
для дифференциальных уравнений. При этом многие методы были
созданы еще в "до машинную эпоху". Такие методы часто
ориентированы на ручной расчет и включают в себя использование
аналитических выкладок, например, расчет производных от правой
части. Наиболее часто используемым является
Реализуем этот метод на C#. Сначала реализуем абстрактный класс, который будет использован для конструирования различных методов построения численных решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
$$\begin{verbatim} abstract class TODE { public int N; protected double t; // текущее время // искомое решение Y[0] - само решение, // Y[i] - i-тая производная решения public double[] Y; protected double[] YY; // внутренние переменные public TODE(int N) // N - размерность системы { this.N = N; Y = new double[N]; // создать вектор решения YY = new double[N]; // и внутренних решений } // установить начальные условия. // t0 - начальное время, Y0 - начальное условие public void SetInit(double t0, double[] Y0) { t = t0; int i; for (i = 0; i < N; i++) { Y[i] = Y0[i]; } } public double GetCurrent() // вернуть текущее время { return t; } abstract public void F(double t, double[] Y, ref double[] FY); // правые части системы. // следующий шаг, dt - шаг по времени abstract public void NextStep(double dt); } \end{verbatim}$$На основе этого класса построим класс, реализующий
Прежде чем испытать наш
Правила построения точек $$y_i$$ следующие$$y_i=y_{i-1}+\frac{h_i}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4),$$ где$$k_1=f(y_{i-1},t_{i-1}),$$ $$k_2=f\left(y_{i-1}+\frac{h}{2}k_1,t_{i-1}+\frac{h}{2}\right),$$ $$k_3=f\left(y_{i-1}+\frac{h}{2}k_2,t_{i-1}+\frac{h}{2}\right),$$ $$k_4=f(y_{i-1}+hk_3,t_{i-1}+h).$$ Как мы видим, для расчета решения на следующем шаге необходимо вычислить правую часть четыре раза, зато точность этого метода имеет четвертый порядок, при условии гладкости правой части.
Перейдем к реализации метода Рунге-Кутта на основе нашего класса $$TODE$$.
$$\begin{verbatim} abstract class TRungeKutta : TODE { double[] Y1, Y2, Y3, Y4; // внутренние переменные public TRungeKutta(int N) : base(N) { Y1 = new double[N]; Y2 = new double[N]; Y3 = new double[N]; Y4 = new double[N]; } \end{verbatim}$$ $$\begin{verbatim} // следующий шаг метода Рунге-Кутта, dt - шаг по времени override public void NextStep(double dt) { if (dt < 0) { return; } int i; F(t, Y, ref Y1); // рассчитать Y1 for (i = 0; i < N; i++) { YY[i] = Y[i] + Y1[i] * (dt / 2.0); } F(t + dt / 2.0, YY, ref Y2); // рассчитать Y2 for (i = 0; i < N; i++) { YY[i] = Y[i] + Y2[i] * (dt / 2.0); } F(t + dt / 2.0, YY, ref Y3); // рассчитать Y3 for (i = 0; i < N; i++) { YY[i] = Y[i] + Y3[i] * dt; } F(t + dt, YY, ref Y4); // рассчитать Y4 for (i = 0; i < N; i++) { // рассчитать решение на новом шаге Y[i] = Y[i] + dt / 6.0 * (Y1[i] + 2.0 * Y2[i] + 2.0 * Y3[i] + Y4[i]); } t = t + dt; // увеличить шаг } } \end{verbatim}$$Теперь протестируем наши методы на примере задач Коши, описывающей
гармонические колебания математического маятника. Мы решаем
следующую задачу.$$y''(x)+y(x)=0$$
с начальными условиями$$y(0)=0,$$
$$y'(0)=1.$$
Эта задача имеет единственное решение - $$\sin t$$. Чтобы
применить к этой задаче наши методы нужно записать ее в виде
системы уравнений первого порядка.$$Y_0(t)=y(t),$$
$$Y_1(t)=y'(t).$$
После такой замены мы имеет следующую систему$$Y'_0(t)=Y_1(t)$$
$$Y'_1(t)=-Y_0(t)
$$
с начальными условиями$$Y_0(0)=0,$$
$$Y_1(0)=1.$$
Реализуем для нашей системы
Испытаем наши классы
$$\begin{verbatim} double h = 0.1; double[] Y0 = { 0, 1.0 }; THarmonicEuler HarmonicEuler = new THarmonicEuler(); HarmonicEuler.SetInit(0, Y0); THarmonicRK HarmonicRK = new THarmonicRK(); HarmonicRK.SetInit(0, Y0); StreamWriter F = File.CreateText("harmonic.txt"); double t, Euler, RK, Sin; while (HarmonicEuler.GetCurrent() < (2 * Math.PI + h / 2.0)) { t = HarmonicEuler.GetCurrent(); Euler = HarmonicEuler.Y[0]; RK = HarmonicRK.Y[0]; Sin = Math.Sin(t); F.WriteLine("{0}\t{1}\t{2}\t{3}\t\t{4}\t{5}\t{6}", t, Euler, RK, Sin, t, Math.Abs(Sin - Euler), Math.Abs(Sin - RK)); HarmonicEuler.NextStep(h); HarmonicRK.NextStep(h); } F.Close(); \end{verbatim}$$Результаты расчетов приведем на трех графиках. На рисунке 16.1 мы приводим график точного решения и приближенных, полученных методами Эйлера и Рунге-Кутты. Однако на этом графике не возможно отличить точное решение от приближенного решения, полученного методом Рунге-Кутты. На рисунках 16.2 и 16.3 мы показываем погрешности методов. Из анализа этих графиков видно, что точность метода Рунге-Кутты значительно выше, что обосновывается теоретически.
(рис 16.2) Точное и приближенное решение дифференциального уравнения(рис 16.1) Погрешность метода Эйлера(рис 16.3) Погрешность метода Рунге–КуттыКлючевые термины
Глобальное решение - решение задачи Коши, существующее при всех $$t\ge0$$.
Задача Коши - дифференциальное уравнение с заданными начальными условиями на решение.
Метод Рунге-Кутта - наиболее распространенный метод численного интегрирования задачи Коши с точностью четвертого порядка.
Метод Эйлера - простейший метод численного интегрирования задачи Коши с точностью первого порядка.
Условие Липшица - условие на приращение функции, более сильное чем условие непрерывности, но слабее чем условие дифференцируемости.
Краткие итоги: Построены объектно-ориентированные средства для численного решения задачи Коши. Проведены вычислительные эксперименты, для сравнения методов Эйлера и Рунге-Кутты.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.