Квантовые вероятности

Задача 9.1. Докажите, что операторы вида $$\rho=\sum_{k}^{}p_k\ket{\xi_k}\bra{\xi_k}$$ — это в точности эрмитовы неотрицательно определенные операторы со следом 1, т.е. операторы, удовлетворяющие условиям:$$2)\; \rho=\rho^\dagger;\qquad 2)\; \forall\,\ket{\eta}\ \langle\eta|\rho|\eta\rangle \geq0; \qquad 3)\; Tr\rho=1.$$

В дальнейшем под матрицей плотности понимается любой оператор с этими свойствами.

Рассуждение о "распределении вероятностей на квантовых состояниях" носило вспомогательный характер. Задача состоит в том, чтобы обобщить понятие квантового состояния так, чтобы оно включало в себя классические распределения вероятностей. Полученный нами ответ (последнее выражение в (9.2)) зависит лишь от матрицы плотности, поэтому мы можем постулировать, что обобщенные квантовые состояния и матрицы плотности — это одно и то же (такая аксиома не противоречит физическим наблюдениям). Если состояние задается одним вектором ( $$\rho=\ket{\xi}\bra{\xi}$$ ), то оно называется чистым, если состояние задается общей матрицей плотности, то оно называется смешанным.

Определение 9.1. Для квантового состояния, задаваемого матрицей плотности $$\rho$$, и подпространства $$\calM$$ вероятность "события" $$\calM$$ равна $$\PP(\rho,\calM)= Tr(\rho\Pi_\calM)$$.

Диагональные матрицы $$\rho=\sum_{j}^{} w_j\ket{j}\bra{j}$$ соответствуют классическим распределениям вероятностей на множестве базисных векторов. Это означает, что при вычислении вероятности по общей квантовой формуле для диагональной матрицы и координатного подпространства $$\calM$$ (натянутого на часть базисных векторов $$\ket{a}$$: $$a\in M$$ ) получается то же, что и при вычислении по обычной классической формуле: $$\PP(\rho,\calM)=\Pr(w,M)$$.

Продолжим сравнение свойств классической и квантовой вероятности, под последней мы будем теперь понимать общее определение с использованием матриц плотности. (Свойства $$1^{\rm q}$$ и $$2^{\rm q}$$ остаются в силе).

Определение 9.2. Пусть $$X\in\LL(\calN_1\otimes\calN_2)=\LL(\calN_1)\otimes \LL(\calN_2)$$. Частичный след оператора $$X$$ по пространству $$\calN_2$$ определен следующим образом: если $$X=\sum_{m}^{} A_m\otimes B_m$$, то $$\Tr_{\calN_2}X=\sum_{m}^{} A_m\, (\Tr B_m)$$.

Докажем, что это определение корректно, т.е. не зависит от выбора слагаемых в представлении $$X=\sum_{m} A_m\otimes B_m$$. Для этого зафиксируем некоторые ортонормированные базисы в пространствах $$\calN_1,\, \calN_2$$ и выразим частичный след через матричные элементы $$X_{jj'kk'}=\bra{j,j'}X\ket{k,k'}$$. Пусть $$A_m= \sum\limits_{j,k}^{}a^m_{jk}\ket{j}\bra{k}$$ и $$B_m= \sum\limits_{j',k'}^{}b^m_{j'k'}\ket{j'}\bra{k'}$$. Тогда$$X=\mkern-5mu\sum\limits_{j,j',k,k'}^{}\mkern-2mu X_{jj'kk'}\ket{j,j'}\bra{k,k'}=\sum_{m}^{} A_m\otimes B_m= \mkern-5mu \sum\limits_{j,j'k,k',m}^{}\mkern-2mu a^m_{jk}b^m_{j'k'}\ket{j,j'}\bra{k,k'}$$ и частичный след равен$$\Tr_{\calN_2}X=\sum_{m}^{} \sum_{j,k}^{}a^m_{jk}\Bigl(\sum_{l}^{}b^m_{ll}\Bigr)\ket{j}\bra{k} =\sum_{j,k}^{}\sum_{l}^{}X_{jlkl} \ket{j}\bra{k}.$$

Рассмотрим пример, когда взятие частичного следа от матрицы плотности, соответствующей чистому состоянию, приводит к матрице плотности, соответствующей смешанному состоянию.

Пусть $$\calN_1=\calN_2= \BB$$, а $$\rho=\ket\psi\bra\psi$$, где $$\ket\psi=\frac{1}{\sqrt2}\left(\ket{0,0}+\ket{1,1}\right)$$. В этом случае $$\rho=\frac{1}{2}\sum\limits_{a,b}^{}\ket{a,a}\bra{b,b}$$, поэтому получаем$$Tr_{\calN_2}\rho\,=\,\frac{1}{2}\sum_{a}\ket{a}\bra{a}\,=\, \begin{pmatrix}1/20\\01/2\end{pmatrix}.$$ Эта матрица соответствует смешанному состоянию (чистым состояниям соответствуют матрицы ранга 1). Более того, это смешанное состояние эквивалентно классическому распределению вероятностей: $$0$$ и $$1$$ имеют вероятности, равные $$\slashfrac{1}{2}$$. Таким образом, отбрасывание второго q-бита приводит к чисто классическому распределению вероятностей на первом q-бите.

Утверждение 9.1. Любое смешанное состояние $$\rho\in\LL(\calN)$$ представимо как частичный след $$\Tr_\calF(\ket\psi\bra\psi)$$ от чистого состояния большей системы, $$\ket\psi\in\calN\otimes\calF$$, причем можно считать, что $$\dim\calF\leq\dim\calN$$.

Доказательство. Полагаем $$\calF=\calN^*$$. Так как $$\rho$$ неотрицательно определена, то существует $$\sqrt\rho\in\LL(\calN)=\calN\otimes\calN^*$$. Докажем, что для $$\ket\psi=\sqrt\rho$$ выполнено искомое, т.е. $$\rho=\Tr_{\calN^*}(\ket{\sqrt\rho}\bra{\sqrt\rho})$$.

Поскольку $$\rho$$ эрмитова, она диагонализуется в некотором ортонормированном базисе $$\{\ket{\xi_j}\}$$. Тогда $$\rho=\sum_{j}p_j\ket{\xi_j}\bra{\xi_j}$$, а $$\ket\psi= \sqrt\rho=$$ $$\sum_{j}\sqrt{p_j}\ket{\xi_j}\bra{\xi_j}$$, и $$\ket\psi\bra\psi=\sum_{jk}^{}\sqrt{p_jp_k}(\ket{\xi_j}\otimes\bra{\xi_j}) (\ket{\xi_k}\otimes\bra{\xi_k})$$. Вклад в частичный след вносят лишь слагаемые с $$j=k$$. Поэтому $$Tr_{\calN^*}(\ket{\psi}\bra{\psi})\double= \sum_{j}p_j\ket{\xi_j}\bra{\xi_j} =\rho$$.

Задача 9.2. Пусть имеется чистое состояние $$\ket{\psi}\in\calN\otimes\calF$$. Докажите, что существует так называемое разложение Шмидта:$$\ket\psi=\sum_j\lambda_j\ket{\xi_j}\otimes\ket{\eta_j},$$ где $$0<\lambda_j\le 1$$, а множества векторов $$\{\ket{\xi_j}\}\subset\calN$$ и $$\{\ket{\eta_j}\}\subset\calF$$ являются ортонормированными.

Заметим, что числа $$\lambda_j^2$$ — это ненулевые собственные числа частичных следов $$\rho=Tr_\calF(\ket\psi\bra\psi)$$ и $$\rho'=Tr_\calN(\ket\psi\bra\psi)$$. (Таким образом, ненулевые собственные числа $$\rho$$ и $$\rho'$$ совпадают.) Отсюда следует, что взятие частичного следа от чистого состояния приводит к чистому состоянию тогда и только тогда, когда исходное состояние разложимо: $$\ket\psi=\ket{\xi}\otimes\ket{\eta}$$.

Задача 9.3. Пусть $$\ket{\psi_1},\ket{\psi_2}\in\calN\otimes\calF$$ — два чистых состояния, таких что $$Tr_\calF(\ket{\psi_1}\bra{\psi_1})=Tr_\calF(\ket{\psi_2}\bra{\psi_2})$$. Докажите, что $$\ket{\psi_2}=(I_{\calN}\double\otimes U)\ket{\psi_1}$$ для некоторого унитарного оператора $$U$$ на пространстве $$\calF$$.