Введем особый класс операторов — измеряющие операторы. Пусть есть пространство состояний $$\calN\otimes\calK$$, причем первый сомножитель разложен в прямую сумму попарно ортогональных подпространств: $$\calN\double=\bigoplus\limits_j \calL_j$$. Тогда всякий оператор вида $$W=\sum\limits_{j}^{} \Pi_{\calL_j}\otimes U_j$$ будем называть измеряющим.
Чтобы оправдать такое название, рассмотрим следующий процесс. Пусть имеется некоторое состояние, описываемое матрицей плотности $$\rho\in\LL(\calN)$$. Подсоединим прибор ; совместное состояние системы и прибора описывается матрицей плотности $$\rho\otimes\ket{0^m}\bra{0^m}$$ (мы считаем, что во втором сомножителе, описывающем прибор, есть выделенный базис, например, что это $$\BB^{\otimes n}$$ ).
Теперь применяем измеряющий оператор $$W$$. Получаем состояние$$W\Bigl(\rho\otimes\ket{0^m}\bra{0^m}\Bigr)W^\dagger =\sum_{j}^{}\Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j}\otimes U_j\ket{0}\bra{0}U_j^\dagger$$ (здесь мы воспользовались характеристическими свойствами проектора $$\Pi^\dagger=\Pi$$, $$\Pi^2=\Pi$$ ).
И последнее действие: прибор становится классическим. Это означает, что матрица диагонализуется по второму сомножителю. Посмотрим, во что переходят при этом вторые сомножители в написанной сумме:$$\gamma_j=\ket{\xi_j}\bra{\xi_j} \longmapsto \sum_{k}^{} \left| \langle k|\xi_j\rangle\right|^2 \ket{k}\bra{k} \quad\left(\text{так как } \left(\gamma_j\right)\raisebox{-2pt}{\big|}_{kk} = \langle k|\gamma_j|k\rangle\right).$$ Теперь запишем получившийся результат:$$\sum_{j}^{}\sum_{k}^{}\left(\Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j} \left|\langle k|U_j|0\rangle \right|^2,\,k\right) = \sum_{j}^{}\sum_{k}^{}\PP(k\big|j)\left(\Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j}, k\right),$$ где введены условные вероятности $$\PP(k\big|j) = \left|\langle k|U_j|0\rangle \right|^2$$. Заметим, что для измерения (как оно было определено в предыдущем разделе) $$\PP(k\big|j)=\delta_{kj}$$, поэтому только что описанный процесс можно назвать "вероятностным измерением". Введенные таким образом квантовые условные вероятности ведут себя как обычные, если рассматриваются произведения измеряющих операторов, построенных на одном и том же ортогональном разложении пространства состояний (см. ниже).
Приведем примеры измеряющих операторов.
1. Оператор $$\Lambda(U)=\Pi_0\otimes I + \Pi_1\otimes U$$, действующий на пространстве $$\BB\otimes \calN$$, — измеряющий.
1'. Нетривиально, что он измеряющий и по второй компоненте. Поскольку $$U$$ — унитарный оператор, его можно разложить в сумму проекторов на собственные подпространства: $$U=\sum_{j} \lambda_j\Pi_{\calL_j}$$, $$|\lambda_j|=1$$. Тогда $$\Lambda(U)=\sum_{j} (\Pi_0+\lambda_j\Pi_1)\otimes\Pi_{\calL_j}= \sum_{j}^{} \begin{pmatrix} 10\\ 0\lambda_j \end{pmatrix} \otimes\Pi_{\calL_j}$$. В этом случае условные вероятности равны $$\PP(0\big|j) =1$$ и $$\PP(1\big|j) =0$$, поэтому такой оператор, хотя и является измеряющим по определению, фактически ничего не измеряет.
Замечание для физиков. Пусть $$U$$ — оператор фазового сдвига света при прохождении сквозь стеклянную пластинку. Мы можем разделить луч света на два, пропустив его через полупрозрачное зеркало, затем один из полученных лучей пропустить через стеклянную пластинку, а затем заставить полученные в результате лучи интерферировать. По картине интерференции можно узнать фазовый сдвиг.
Математический вариант предыдущего примера. Аналогом полупрозрачного зеркала будет служить оператор$$H=\displaystyle\frac{1}{\sqrt2} \leftp\begin{array}{rr}11\\1-1\end{array}\rightp.$$ Как видно из приведенной выше картинки, его нужно применить в начале и в конце. Строго говоря, рассмотрим оператор$$\Xi(U)=(H\otimes I)\Lambda(U)(H\otimes I).$$ Если начальный вектор имеет вид $$\ket{\psi}=\ket{\eta}\otimes\ket{\xi}$$ ( $$\ket{\xi}\in\calL_j$$ ), то $$\Xi(U)\ket{\psi}$$ $$=\ket{\eta'}\otimes\ket{\xi}$$, где$$\ket{\eta'}=\frac{1}{\sqrt2} \leftp\begin{array}{rr}11\\1-1\end{array}\rightp \begin{pmatrix} 10\\0\lambda_j \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2}\leftp\begin{array}{rr}11\\1-1\end{array}\rightp \ket{\eta} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+\lambda_j1-\lambda_j\\1-\lambda_j1+\lambda_j \end{pmatrix} \ket{\eta}.$$ Поэтому$$\displaystyle \Xi(U) =\sum\limits_{j}^{} \overbrace{\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+\lambda_j1-\lambda_j\\1-\lambda_j1+\lambda_j \end{pmatrix} }^{R_j} \otimes\Pi_{\calL_j}.$$ Теперь подсчитаем условные вероятности. Собственные числа унитарного оператора равны по модулю 1, поэтому можно полагать $$\lambda_j= e^{2\pi\ii \varphi_j}$$. В результате имеем$$\PP(0\big| j)=\left|\langle 0|R_j|0\rangle \right|^2= \left|\frac{1+\lambda_j}{2}\right|^2=\frac{1+\cos(2\pi\varphi)}{2}.$$
В дальнейшем именно с помощью такого оператора мы будем оценивать собственные числа. Для этого придется брать разные биты в качестве первых сомножителей (разные "приборы"). Конечно, следует убедиться, что это корректно (т.е., что вероятности будут перемножаться).
Мы будем рассматривать измеряющие операторы, соответствующие одному и тому же ортогональному разложению $$\calN=\bigoplus_{j}\calL_j$$.
1. Произведение измеряющих операторов — измеряющий оператор. Действительно, пусть есть два измеряющих оператора$$W^{(1)}=\sum_{j}^{} R^{(1)}_j\otimes\Pi_{\calL_j} \text{ и } W^{(2)}=\sum_{j}^{} R^{(2)}_j\otimes\Pi_{\calL_j}.$$ Поскольку $$\Pi_{\calL_j}\Pi_{\calL_k}\ne0\ \ \Leftrightarrow j=k$$, имеем$$W^{(2)}W^{(1)}=\sum_{j}^{} R^{(2)}_jR^{(1)}_j\otimes\Pi_{\calL_j}.$$
2. Условные вероятности для произведения измеряющих "разными приборами" операторов перемножаются. Более точно, пусть $$R^{(1)}\double={\widetilde R}^{1}\otimes I$$, а $$R^{(2)}= I\otimes{\widetilde R}^{2}$$. Тогда $$\PP(k_1,k_2\,\big|\,j)\double=\PP_1(k_1\,\big|\,j)\PP_2(k_2\,\big|\,j)$$. Это равенство следует непосредственно из определения условных вероятностей и из очевидного тождества$$\Bigl(\bra{\xi_1}\otimes\bra{\xi_2}\Bigr) \Bigl(U_1\otimes U_2\Bigr) \Bigl(\ket{\eta_1}\otimes\ket{\eta_2}\Bigr)= \bra{\xi_1}U_1\ket{\eta_1}\,\bra{\xi_2}U_2\ket{\eta_2}.$$
3. Формула полной вероятности. Пусть есть измеряющий оператор $$W= \sum_{}^{} R_j\otimes \Pi_{\calL_j}$$. Если применить его к состоянию $$\ket0\bra0\otimes\rho$$, где $$\rho\double\in\LL(\calN)$$, то вероятность наблюдения состояния $$k$$ можно записать в виде:$$\PP\Bigl(W(\ket0\bra0\otimes\rho)W^\dagger,\,\CC(\ket{k})\otimes\calN\Bigr) \,=\, \sum\limits_{j} \PP(k\big| j) \PP(\rho, \calL_j).$$
Доказательство. $$W\Bigl(\ket0\bra0\otimes\rho\Bigr)W^\dagger = \gamma =\sum\limits_{j}^{} \left(R_j\ket0\bra0 R_j^\dagger\right)\otimes \Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j}$$. Ранее было доказано, что $$\PP\bigl(\gamma,\,\CC(\ket{k})\otimes\calN\bigr)= \PP\bigl(\Tr_\calN\gamma,\CC(\ket{k})\bigr)$$. Далее,$$\Tr_\calN\gamma = \sum\limits_{j}^{} \left(R_j\ket0\bra0 R_j^\dagger\right)\times \Tr\left(\Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j}\right).$$ Поскольку$$\Tr\left(\Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j}\right)= \Tr\left(\Pi_{\calL_j}^2\rho\right)= \Tr\left(\Pi_{\calL_j}\rho\right)\bydef \PP\left(\rho, \calL_j\right),$$ получаем искомое выражение $$\PP\bigl(\gamma,\,\CC(\ket{k})\otimes\calN\bigr)= \sum\limits_{j}^{} \PP(k\big| j) \PP(\rho, \calL_j)$$.
Задача 11.1. Докажите формулу полной вероятности напрямую, не используя взятия частичного следа.
Задача 11.2. "Обратимое измерение" Пусть $$W=\sum_{k=1}^{t}\Pi_{\calL_k}\otimes V_k$$ — измеряющий оператор, $$V_k\ket{0}=\sum_{y,z}c_{y,z}(k)\ket{y,z}$$. (Имеется в виду, что операторы $$V_k$$ действуют на $$m+s$$ q-бит; первые $$m$$ q-бит (т.е. $$y$$ ) — "полезный результат", остальные $$s$$ q-бит (т.е. $$z$$ ) — "мусор".) Допустим, что $$V$$ измеряет некоторую функцию $$f\colon\{1,\dots,t\}\to\cb^m$$ с вероятностью ошибки $$\le\eps$$, т.е.$$\PP(f(k)\,|k)\ \bydef\ \sum_z|c_{f(k),z}(k)|^2\ \ge\ 1-\eps.$$ Постройте c использованием $$W$$ и $$W^{-1}$$ квантовую схему полиномиального размера, реализующую с точностью $$O(\eps^{1/2})$$ новый измеряющий оператор$$U = \sum_{k=1}^{t}\Pi_{\calL_k}\otimes Q_{f(k)}\,, \quad\mbox{где}\ Q_v\ket{y}\,=\,\ket{y\xor v}.$$ (Разрешается "брать напрокат" дополнительные q-биты.)
Введем особый класс операторов — измеряющие операторы. Пусть есть пространство состояний $$\calN\otimes\calK$$, причем первый сомножитель разложен в прямую сумму попарно ортогональных подпространств: $$\calN\double=\bigoplus\limits_j \calL_j$$. Тогда всякий оператор вида $$W=\sum\limits_{j}^{} \Pi_{\calL_j}\otimes U_j$$ будем называть измеряющим.
Чтобы оправдать такое название, рассмотрим следующий процесс. Пусть имеется некоторое состояние, описываемое матрицей плотности $$\rho\in\LL(\calN)$$. Подсоединим прибор ; совместное состояние системы и прибора описывается матрицей плотности $$\rho\otimes\ket{0^m}\bra{0^m}$$ (мы считаем, что во втором сомножителе, описывающем прибор, есть выделенный базис, например, что это $$\BB^{\otimes n}$$ ).
Теперь применяем измеряющий оператор $$W$$. Получаем состояние$$W\Bigl(\rho\otimes\ket{0^m}\bra{0^m}\Bigr)W^\dagger =\sum_{j}^{}\Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j}\otimes U_j\ket{0}\bra{0}U_j^\dagger$$ (здесь мы воспользовались характеристическими свойствами проектора $$\Pi^\dagger=\Pi$$, $$\Pi^2=\Pi$$ ).
И последнее действие: прибор становится классическим. Это означает, что матрица диагонализуется по второму сомножителю. Посмотрим, во что переходят при этом вторые сомножители в написанной сумме:$$\gamma_j=\ket{\xi_j}\bra{\xi_j} \longmapsto \sum_{k}^{} \left| \langle k|\xi_j\rangle\right|^2 \ket{k}\bra{k} \quad\left(\text{так как } \left(\gamma_j\right)\raisebox{-2pt}{\big|}_{kk} = \langle k|\gamma_j|k\rangle\right).$$ Теперь запишем получившийся результат:$$\sum_{j}^{}\sum_{k}^{}\left(\Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j} \left|\langle k|U_j|0\rangle \right|^2,\,k\right) = \sum_{j}^{}\sum_{k}^{}\PP(k\big|j)\left(\Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j}, k\right),$$ где введены условные вероятности $$\PP(k\big|j) = \left|\langle k|U_j|0\rangle \right|^2$$. Заметим, что для измерения (как оно было определено в предыдущем разделе) $$\PP(k\big|j)=\delta_{kj}$$, поэтому только что описанный процесс можно назвать "вероятностным измерением". Введенные таким образом квантовые условные вероятности ведут себя как обычные, если рассматриваются произведения измеряющих операторов, построенных на одном и том же ортогональном разложении пространства состояний (см. ниже).
Приведем примеры измеряющих операторов.
1. Оператор $$\Lambda(U)=\Pi_0\otimes I + \Pi_1\otimes U$$, действующий на пространстве $$\BB\otimes \calN$$, — измеряющий.
1'. Нетривиально, что он измеряющий и по второй компоненте. Поскольку $$U$$ — унитарный оператор, его можно разложить в сумму проекторов на собственные подпространства: $$U=\sum_{j} \lambda_j\Pi_{\calL_j}$$, $$|\lambda_j|=1$$. Тогда $$\Lambda(U)=\sum_{j} (\Pi_0+\lambda_j\Pi_1)\otimes\Pi_{\calL_j}= \sum_{j}^{} \begin{pmatrix} 10\\ 0\lambda_j \end{pmatrix} \otimes\Pi_{\calL_j}$$. В этом случае условные вероятности равны $$\PP(0\big|j) =1$$ и $$\PP(1\big|j) =0$$, поэтому такой оператор, хотя и является измеряющим по определению, фактически ничего не измеряет.
Замечание для физиков. Пусть $$U$$ — оператор фазового сдвига света при прохождении сквозь стеклянную пластинку. Мы можем разделить луч света на два, пропустив его через полупрозрачное зеркало, затем один из полученных лучей пропустить через стеклянную пластинку, а затем заставить полученные в результате лучи интерферировать. По картине интерференции можно узнать фазовый сдвиг.
Математический вариант предыдущего примера. Аналогом полупрозрачного зеркала будет служить оператор$$H=\displaystyle\frac{1}{\sqrt2} \leftp\begin{array}{rr}11\\1-1\end{array}\rightp.$$ Как видно из приведенной выше картинки, его нужно применить в начале и в конце. Строго говоря, рассмотрим оператор$$\Xi(U)=(H\otimes I)\Lambda(U)(H\otimes I).$$ Если начальный вектор имеет вид $$\ket{\psi}=\ket{\eta}\otimes\ket{\xi}$$ ( $$\ket{\xi}\in\calL_j$$ ), то $$\Xi(U)\ket{\psi}$$ $$=\ket{\eta'}\otimes\ket{\xi}$$, где$$\ket{\eta'}=\frac{1}{\sqrt2} \leftp\begin{array}{rr}11\\1-1\end{array}\rightp \begin{pmatrix} 10\\0\lambda_j \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2}\leftp\begin{array}{rr}11\\1-1\end{array}\rightp \ket{\eta} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+\lambda_j1-\lambda_j\\1-\lambda_j1+\lambda_j \end{pmatrix} \ket{\eta}.$$ Поэтому$$\displaystyle \Xi(U) =\sum\limits_{j}^{} \overbrace{\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+\lambda_j1-\lambda_j\\1-\lambda_j1+\lambda_j \end{pmatrix} }^{R_j} \otimes\Pi_{\calL_j}.$$ Теперь подсчитаем условные вероятности. Собственные числа унитарного оператора равны по модулю 1, поэтому можно полагать $$\lambda_j= e^{2\pi\ii \varphi_j}$$. В результате имеем$$\PP(0\big| j)=\left|\langle 0|R_j|0\rangle \right|^2= \left|\frac{1+\lambda_j}{2}\right|^2=\frac{1+\cos(2\pi\varphi)}{2}.$$
В дальнейшем именно с помощью такого оператора мы будем оценивать собственные числа. Для этого придется брать разные биты в качестве первых сомножителей (разные "приборы"). Конечно, следует убедиться, что это корректно (т.е., что вероятности будут перемножаться).
Мы будем рассматривать измеряющие операторы, соответствующие одному и тому же ортогональному разложению $$\calN=\bigoplus_{j}\calL_j$$.
1. Произведение измеряющих операторов — измеряющий оператор. Действительно, пусть есть два измеряющих оператора$$W^{(1)}=\sum_{j}^{} R^{(1)}_j\otimes\Pi_{\calL_j} \text{ и } W^{(2)}=\sum_{j}^{} R^{(2)}_j\otimes\Pi_{\calL_j}.$$ Поскольку $$\Pi_{\calL_j}\Pi_{\calL_k}\ne0\ \ \Leftrightarrow j=k$$, имеем$$W^{(2)}W^{(1)}=\sum_{j}^{} R^{(2)}_jR^{(1)}_j\otimes\Pi_{\calL_j}.$$
2. Условные вероятности для произведения измеряющих "разными приборами" операторов перемножаются. Более точно, пусть $$R^{(1)}\double={\widetilde R}^{1}\otimes I$$, а $$R^{(2)}= I\otimes{\widetilde R}^{2}$$. Тогда $$\PP(k_1,k_2\,\big|\,j)\double=\PP_1(k_1\,\big|\,j)\PP_2(k_2\,\big|\,j)$$. Это равенство следует непосредственно из определения условных вероятностей и из очевидного тождества$$\Bigl(\bra{\xi_1}\otimes\bra{\xi_2}\Bigr) \Bigl(U_1\otimes U_2\Bigr) \Bigl(\ket{\eta_1}\otimes\ket{\eta_2}\Bigr)= \bra{\xi_1}U_1\ket{\eta_1}\,\bra{\xi_2}U_2\ket{\eta_2}.$$
3. Формула полной вероятности. Пусть есть измеряющий оператор $$W= \sum_{}^{} R_j\otimes \Pi_{\calL_j}$$. Если применить его к состоянию $$\ket0\bra0\otimes\rho$$, где $$\rho\double\in\LL(\calN)$$, то вероятность наблюдения состояния $$k$$ можно записать в виде:$$\PP\Bigl(W(\ket0\bra0\otimes\rho)W^\dagger,\,\CC(\ket{k})\otimes\calN\Bigr) \,=\, \sum\limits_{j} \PP(k\big| j) \PP(\rho, \calL_j).$$
Доказательство. $$W\Bigl(\ket0\bra0\otimes\rho\Bigr)W^\dagger = \gamma =\sum\limits_{j}^{} \left(R_j\ket0\bra0 R_j^\dagger\right)\otimes \Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j}$$. Ранее было доказано, что $$\PP\bigl(\gamma,\,\CC(\ket{k})\otimes\calN\bigr)= \PP\bigl(\Tr_\calN\gamma,\CC(\ket{k})\bigr)$$. Далее,$$\Tr_\calN\gamma = \sum\limits_{j}^{} \left(R_j\ket0\bra0 R_j^\dagger\right)\times \Tr\left(\Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j}\right).$$ Поскольку$$\Tr\left(\Pi_{\calL_j}\rho\Pi_{\calL_j}\right)= \Tr\left(\Pi_{\calL_j}^2\rho\right)= \Tr\left(\Pi_{\calL_j}\rho\right)\bydef \PP\left(\rho, \calL_j\right),$$ получаем искомое выражение $$\PP\bigl(\gamma,\,\CC(\ket{k})\otimes\calN\bigr)= \sum\limits_{j}^{} \PP(k\big| j) \PP(\rho, \calL_j)$$.
Задача 11.1. Докажите формулу полной вероятности напрямую, не используя взятия частичного следа.
Задача 11.2. "Обратимое измерение" Пусть $$W=\sum_{k=1}^{t}\Pi_{\calL_k}\otimes V_k$$ — измеряющий оператор, $$V_k\ket{0}=\sum_{y,z}c_{y,z}(k)\ket{y,z}$$. (Имеется в виду, что операторы $$V_k$$ действуют на $$m+s$$ q-бит; первые $$m$$ q-бит (т.е. $$y$$ ) — "полезный результат", остальные $$s$$ q-бит (т.е. $$z$$ ) — "мусор".) Допустим, что $$V$$ измеряет некоторую функцию $$f\colon\{1,\dots,t\}\to\cb^m$$ с вероятностью ошибки $$\le\eps$$, т.е.$$\PP(f(k)\,|k)\ \bydef\ \sum_z|c_{f(k),z}(k)|^2\ \ge\ 1-\eps.$$ Постройте c использованием $$W$$ и $$W^{-1}$$ квантовую схему полиномиального размера, реализующую с точностью $$O(\eps^{1/2})$$ новый измеряющий оператор$$U = \sum_{k=1}^{t}\Pi_{\calL_k}\otimes Q_{f(k)}\,, \quad\mbox{где}\ Q_v\ket{y}\,=\,\ket{y\xor v}.$$ (Разрешается "брать напрокат" дополнительные q-биты.)
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.