Графика: основные принципы

Более подробное описание основных примитивов (по алфавиту)

1. Задавая стрелку $$\text{\tt Arrow}$$, можно кроме концов указывать отступы от них (второй аргумент), которые могут быть как одинаковыми, так и разными (окружности нарисованы для наглядности):

$$\tt In[8]:=\{Graphics[\{Arrow[\{\{0, 0\}, \{2, 1\}\}], Circle[\{0,0\}, 0.3], \\ \phantom{In[8]:=\{Gr}Circle[\{2,1\}, 0.3], Point[\{\{0,0\}, \{2,1\}\}]\}], \\ \phantom{In[8]:=\{}Graphics[\{Arrow[\{\{0,0\},\{2,1\}\}, .3], Circle[\{0,0\}, 0.3], \\ \phantom{In[8]:=\{Gr}Circle[\{2,1\}, 0.3], Point[\{\{0,0\}, \{2,1\}\}]\}], \\ \phantom{In[8]:=\{}Graphics[\{Arrow[\{\{0,0\}, \{2,1\}\}, \{.3, .1\}], \\ \phantom{In[8]:=\{Gr}Circle[\{0,0\}, 0.3], Circle[\{2,1\}, .3], \\ \phantom{In[8]:=\{Gr}Point[\{\{0,0\}, \{2,1\}\}]\}]\}$$

Можно также управлять размером и расположением стрелочек, используя директиву $$\text{\tt Arrowheads}$$. Элементы списка задают направление (знак) и относительный размер стрелки (число). Абсолютный размер можно задавать командами $$\text{\tt Tiny, Small, Medium, Large}$$:

$$\tt In[9]:= \\ \\ \phantom{In}\{Graphics[\{Arrowheads[\{-.1, .1}], Arrow[\{\{0,0\}, \{2,1\}\}], \\ \phantom{In[9]:}Circle[\{0,0\}, 0.3], Circle[\{2,1\}, 0.3], \\ \phantom{In[9]:}Point[\{\{0,0\}, \{2,1\}\}]\}], \\ \phantom{In[}Graphics[\{Arrowheads[\{-.1, .2\}], Arrow[\{\{0,0\}, \{2,1\}\}, .3], \\ \phantom{In[9]:}Circle[\{0,0\}, 0.3], Circle[\{2,1\}, 0.3], \\ \phantom{In[9]:}Point[\{\{0,0\}, \{2,1\}\}]\}], \\ \phantom{In[}Graphics[\{Arrowheads[\{-0.1, -.05, .05, .1\}], \\ \phantom{In[9]:}Arrow[\{\{0,0\}, \{2,1\}\}, \{.3, .1\}], Circle[\{0,0\},\0.3], \\ \phantom{In[9]:}Circle[\{2,1\}, .3], Point[\{\{0,0\}, \{2,1\}\}]\}]\}$$

Элемент списка директивы $$\text{\tt Arrowheads}$$ сам может быть списком, второй элемент которого отвечает за относительное положение стрелки (число от нуля до единицы), а третий - за форму ($$\text{\tt Graphics}$$ ):

$$\tt In[10]:= \\ \\ \phantom{In}\{Graphics[\{Arrowheads[\{\{-.1, 0\}, \{-.2, 2\}, .1\}], \\ \phantom{In[10]}Arrow[\{\{0,0\}, \{2,1\}\}], Circle[\{0,0\}, 0.3], \\ \phantom{In[10]}Circle[\{2,1\}, 0.3], Point[\{\{0,0\}, \{2,1\}\}]\}], \\ \phantom{In}Graphics[ \\ \phantom{In[10}\{Arrowheads[\{\{-.1, 0\}, \{-.05, .2, Graphics [\{Red, Circle[]\}]\}, \\ \phantom{In[10]:r}.1\}], Arrow[\{\{0,0\}, \{2,1\}\}, .3], Circle[\{0,0\}, 0.3], \\ \phantom{In[10]}Circle[\{2,1\}, 0.3], Point[\{\{0,0\}, \{2,1\}\}]\}]\}$$

2. Примитив $$\text{\tt Circle}$$ может быть использован также для рисования дуг (третий аргумент задает начало и конец дуги в радианах) и эллипсов (второй аргумент в этом случае не радиус, а список длин полуосей). Примитив $$\text{\tt Cycle[]}$$ без аргументов дает единичную окружность с центром в начале координат:

$$\tt In[11]:=\{Graphics[Circle[\{0, 0\}, 1, \{$\pi$/3, 4$\pi$/3\}]], \\ \phantom{In[11]:=\{}Graphics[Circle[\{0, 0\}, \{2, 3\}]]\}$$

В качестве примера рассмотрим процедуру, изображающую отрезок прямой в геометрии Лобачевского в круге Пуанкаре:

$$\tt In[12]:= \\ \\ \phantom{In}Inv[a\_] :=a/a.a; (* Инверсия *) \\ \phantom{InMe}Mediatr[a\_, b\_] := \\ \phantom{InMe}Module[\{m, n\}, (* Серединный перпендикуляр к отрезку *) \\ \phantom{InMeM}m=$\frac{a+b}{2}$; n = \{b[\!\![1]\!\!] - a[\!\![l]\!\!] , b[\!\![2]\!\!] - a[\!\![2]\!\!]\}; \\ \phantom{InMeM}(х-m[\!\![l]\!\!]) n[\!\![l]\!\!] + (y-m[\!\![2]\!\!]) n[\!\![2]\!\!] == 0 \\ \phantom{InMe}]; \\ \phantom{In}ATan[x\_, y\_] := If [x == 0, If [y>0, -$\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$], ArcTan[$\frac{y}{x}$]]; \\ \phantom{In}(* Удобный арктангенс*) $$ $$\tt \phantom{In}LSeg[a\_, b\_] := Module [\{dt, ia, o, r, eql, eq2, res, d, $\alpha$, ax, $\varphi$\},\\ \phantom{InLSe}dt = a[\!\![l]\!\!] b[\!\![2]\!\!] - a[\!\![2]\!\!]b[\!\![l]\!\!];\\ \phantom{InLSe}If[Abs[dt] < $10^{-10}$, Line [\{a, b\}],\\ \phantom{InLSeI}ia = Inv[a];\\ \phantom{InLSeI}eql = Mediatr[a, b];\\ \phantom{InLSeI}eq2 = Mediatr[b, ia];\\ \phantom{InLSeI}res = Solve [\{eql, eq2\}, \{x, y\}] // Flatten;\\ \phantom{InLSeI}о = \{x, y\} /. res;\\ \phantom{InLSeI}r = $\sqrt{(o-a).(o-a)}$;\\ \phantom{InLSeI}d = $\sqrt{(b-a).(b-a)}$;\\ \phantom{InLSeI}$\alpha$ = ArcSin $\left[\frac{d}{2r}\right]$;\\ \phantom{InLSeI}ах = о - $\frac{a+b}{2}$;\\ \phantom{InLSeI}If[ax[\!\![1]\!\!] $\le$ 0, $\varphi$ = ATan[ax[\!\![1]\!\!], ax[\!\![2]\!\!]],\\ \phantom{InLSeII}$\varphi$ = $\pi$ + ATan[ax[\!\![l]\!\!], ax[\!\![2]\!\!]]];\\ \phantom{InLSeI}Circle[o, r, \{$\varphi$ - $\alpha$, $\varphi$ + $\alpha$\}]\\ \phantom{InLSe}]\\ \phantom{InLS}]; $$ $$\tt \phantom{In}Manipulate[ \\ \phantom{InM}Graphics[\{Circle[], \{Thick, Green, LSeg[p[\!\![1]\!\!], p[\!\![2]\!\!]]\}\}], \\ \phantom{InM}\{\{p, \{\{-1/2, -1/2\}, \{1/3, -1/3\}\}\}, Locator\}]$$

3. Аналогичные модификации имеются у примитива $$\text{\tt Disk}$$:

$$\tt In[17]:=\{Graphics [\{Orange, Disk [\{0, 0\}, 1, \{$\pi$/3, 5$\pi$/3\}]\}], \\ \phantom{In[17]:=\{}Graphics[\{Green, Disk[\{0, 0\}, \{3, 2\}]\}]\}$$

4. Примитив $$\text{\tt Line}$$ позволяет рисовать сразу несколько ломаных, например, две ломаные, отличающиеся на параллельный перенос на вектор $$a$$:

$$\tt In[18]:=11=\{\{1,0\}, \{2,3\}, \{-1,2\}\}; \\ \phantom{In[18]:=}a={1, .2}; \\ \phantom{In[18]:=}Graphics[Line[\{11, Map[a+\#, 11]\}]]$$

5. Точно так же $$\text{\tt Polygon}$$ может рисовать сразу несколько многоугольников. Кроме того, цвет многоугольника можно задавать "от вершин, по градиенту". Для этого используется опция $$\text{\tt VertexColor}$$.

$$\tt In[21]:= \\ \phantom{In}\{Graphics[Polygon[Table[\{Cos[i $\frac{2\pi}{7}$], Sin[i $\frac{2\pi}{7}$]\}, \{i, 0, 6\}], \\ \phantom{In\{Gr}VertexColors$\to$\{Red, Orange, Yellow, Green, Cyan, Blue, \\ \phantom{In\{GrVe}Magenta\}]], \\ \phantom{In\{}Graphics[Polygon[Table[\{Cos[i $\frac{2\pi}{7}$], Sin[i $\frac{2\pi}{7}$]\}, \{i, 0, 6\}], \\ \phantom{In\{Gr}VertexColors$\to$\{Orange, White, Orange, White, Orange, \\ \phantom{In\{GrVe}White, Orange\}]]\}$$

6.Если примитив $$\text{\tt Rectangle}$$ использовать с одним аргументом, то получится единичный квадрат с заданным левым нижним углом. Если вовсе без аргументов - то с левым нижним углом в начале координат.

7.Наконец, примитив $$\text{\tt Text}$$ располагает средствами для позиционирования текста (второй аргумент), выбора отступа (третий аргумент), направления (четвертый), фона (пятый) и т. п. Мы не будем на этом останавливаться подробно, приведем только один пример:

$$\tt In[22]:=Graphics[\\ \phantom{In[22]:=G}\{Circle[], Text["Это окружность"\ \!\!\!\!, \{0,0\}, Automatic,\\ \phantom{In[22]:=Gra}\{1,1\}, Background $\to$ LightRed],\\ \phantom{In[22]:=Gr}Text[Style[x\^\,\!2+y\^\,\!2==1, 15, Bold], \{1/2,0\},\\ \phantom{In[22]:=Gra}FormatType $\to$ TraditionalForm]\}]$$

Прежде чем перейти к полному списку графических директив, перечислим оставшиеся примитивы:

8. Примитив $$\text{\tt Inset}$$, служащий для вставки одного объекта внутрь другого, например, подписи к рисункам.

9. Примитив $$\text{\tt Raster}$$, изображающий прямоугольник, разбитый на раскрашенные квадратики заданных цветов.

10. Примитив $$\text{\tt Locator}$$ служит для создания динамического элемента графики, позволяющего вводить координаты текущей точки экрана.

11. Примитив $$\text{\tt GraphicsGroup}$$ служит для объединения объектов в группу, которая может быть отредактирована как единое целое.

12. Примитив $$\text{\tt GraphicsComplex}$$ - важный элемент графики, позволяющий отдельно задавать структуру одномерного, двумерного или трехмерного комплекса (набора примитивов), и отдельно задавать координаты определяющих их точек: $$\text{\tt GraphicsComplex[координаты вершин, структура]}$$. В структуре вершины задаются уже только своими номерами в списке вершин. Приведем пример. Здесь список вершин состоит из 6 элементов (первые три - вершины треугольника, оставшиеся три - середины его сторон):

$$\tt In[23]:= \phantom{In}a=\{-1,-1\}; b=\{1,-1\}; c=\{0,1\}; \\ \phantom{In}v=\{a,b,c\}$\sim$Join$\sim$\{$\frac{b+c}{2}$, $\frac{a+c}{2}$, $\frac{b+a}{2}$\}\\ \phantom{In}Graphics[GraphicsComplex[v, \\ \phantom{InGr}\{Thin, Line[\{1, 2, 3, 1\}], Green, Thick, Line [\{1, 4\}],\\ \phantom{InGra}Line[\{2, 5\}], Line [\{3, 6\}], Red, PointSize[Large],\\ \phantom{InGra}Point[\{1,2,3\}], Blue, PointSize [Medium], Point[\{4,5,6\}]\}]]$$

Это удобно, например, при создании динамических объектов. Скажем, вот иллюстрация к теореме о том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке (в $$\text{\tt Manipulate}$$ координаты трех точек из списка a задаются с помощью примитива $$\text{\tt Locator}$$, дающего возможность вводить положение точки мышью):

$$\tt In[26]:=Manipulate[\\ \phantom{In[26]:=M}Graphics[GraphicsComplex[\\ \phantom{In[26]:=Man}a$\sim$Join$\sim$$\left\{\frac{a[[2]]+a[[3]]}{2},\, \frac{a[[1]]+a[[3]]}{2},\, \frac{a[[2]]+a[[1]]}{2}\right\}$,\\ \phantom{In[26]:=Man}\{Thin, Line[\{1,2,3,1\}], Green, Thick, Line[\{1,4\}],\\ \phantom{In[26]:=Mani}Line[\{2, 5\}], Line[\{3, 6\}], Red, PointSize[Large],\\ \phantom{In[26]:=Mani}Point[\{1, 2, 3\}], Blue, PointSize[Medium],\\ \phantom{In[26]:=Mani}Point[\{4, 5, 6\}]\}], PlotRange$\to$1.5],\\ \phantom{In[26]:=M}\{\{a,\{\{-1, -1\}, \{1, -1\}, \{0, 1\}\}\},Locator\}]$$

Директивы

Директивы непосредственного управления цветом

В $$Mathematica$$ цвет задается разными способами. Кроме названий стандартных цветов и четырех основных оттенков серого (тут мы пользуемся упомянутым выше примитивом $$\text{\tt Raster}$$ )

$$\tt In[27]:=\\ \phantom{In}colors = \{Red, Green, Blue, Cyan, Magenta, Yellow, Brown,\\ \phantom{Incol}Orange, Pink, Purple,\\ \phantom{Incol}LightRed, LightGreen, LightBlue, LightCyan, LightMagenta,\\ \phantom{Incol}LightYellow, LightBrown, LightOrange, LightPink,\\ \phantom{Incol}LightPurple\}; \\ \phantom{In}cl = Partition[Map[Apply[List, \#] , colors], 10];\\ \phantom{In}Graphics[Raster[cl]]$$ $$ In[30]:=Graphics[Raster[{Map[\#[\!\![1]\!\!] , \{Black, White, Gray, LightGray\}]\}]] $$

которыми мы уже пользовались выше, есть возможность задавать цвет в форматах $$\text{\tt RGB, CMYK, Hue}$$ и, кроме того, $$\text{\tt GrayLevel}$$ для оттенков серого. В первых двух результирующий цвет представлен как сумма монохромных слагаемых ($$\text{\tt Red}$$ - красный, $$\text{\tt Green}$$ - зеленый, $$\text{\tt Blue}$$ - синий) и ($$\text{\tt Cyan}$$ - голубой, $$\text{\tt Magenta}$$ - фиолетовый, $$\text{\tt Yellow}$$ - желтый, $$\text{\tt blacK}$$ - черный), принимающих значения от нуля до единицы, что проиллюстрировано в следующих примерах:

$$\tt In[31]:= \phantom{In}Manipulate[\\ \phantom{InM}Graphics[\{RGBColor[r, g, b], Rectangle[\{0, 0\}, \{1, 1/3\}]\}],\\ \phantom{InM}\{r, 0, 1, Appearance $\to$ "Labeled"\ \!\!\!\!\!\! \},\\ \phantom{InM}\{g, 0, 1, Appearance $\to$ "Labeled"\ \!\!\!\!\!\! \},\\ \phantom{InM}\{b, 0, 1, Appearance $\to$ "Labeled"\ \!\!\!\!\!\! \}]$$ $$\tt In[32]:=\\ \phantom{In}Manipulate[\\ \phantom{InM}Graphics[\{CMYKColor[c, m, y, k], Rectangle [\{0, 0\}, \{1, 1/3\}]\}],\\ \phantom{InM}\{c, 0, 1, Appearance $\to$ "Labeled"\ \!\!\!\!\!\! \},\\ \phantom{InM}\{m, 0, 1, Appearance $\to$ "Labeled"\ \!\!\!\!\!\! \},\\ \phantom{InM}\{m, 0, 1, Appearance $\to$ "Labeled"\ \!\!\!\!\!\! \},\\ \phantom{InM}\{k, 0, 1, Appearance $\to$ "Labeled"\ \!\!\!\!\!\! \}]$$

Управление с помощью функции $$\text{\tt Hue}$$ может быть как однопараметрическим (от красного к фиолетовому и обратно), так и трех- и четырех параметрическим ($$\text{\tt Hue, Saturation, Brightness, Opacity}$$ ):

$$ In[33]:=\\ \phantom{In}Manipulate[Graphics[\{Hue[t], Rectangle[\{0, 0\}, \{1, 1/3\}]\}],\\ \phantom{InM}\{t, 0, 2, Appearance $\to$ "Labeled"\ \!\!\!\!\!\! \}]$$ $$\tt In[34]:=\\ \phantom{In}Craphics[Table[\{Hue[h], Edgeform[Gray], Rectangle[\{32h, 0\}]\},\\ \phantom{InGr}\{h, 0, 1, 1/32\}]]$$

Также однопараметрически оттенки серого задаются с помощью функции $$\text{\tt GrayLevel}$$:

$$\tt In[35]:=Manipulate[\\ \phantom{In[35]:=M}Graphics[\{GrayLevel[t], Rectangle[\{0, 0\}, \{1, 1/3\}]\}],\\ \phantom{In[35]:=M}\{t, 0, 1\}]$$

Директивы, управляющие размерами. Абсолютные и относительные характеристики

Pазмеры составляющих рисунок примитивов можно задавать как в абсолютных единицах, так и в относительных. Абсолютная единица размера точки равна 1/72 дюйма (т. е. та самая точка - $$\text{\tt point}$$ старого матричного принтера). Относительная единица - это доля от размера рисунка.

Размер точки

$$\tt In[36]:=Graphics[ \phantom{In[35]:=G}Table[\{Hue[1/i], AbsolutePointSize[i], Point[\{i,0\}]\},\\ \phantom{In[35]:=MT}\{i, 1, 20\}]]$$ $$\tt In[37]:=\\ \phantom{In}Graphics[Table[\{PointSize[1/2^{i-1}], Hue[1/i], Point[\{0, 0\}]\},\\ \phantom{InGr}\{i, 1, 5\}]]$$

Сплошная или пунктирная линия, размер черточек и пробелов

Директива $$\text{\tt AbsoluteDashing[\{d1, d2, ..\}]}$$ - последующие линии рисуются пунктиром с циклически повторяющимися интервалами абсолютных длин $$\text{\tt d1, d2, ...}$$, видимо, в пикселях. Директива $$\text{\tt Dashing[\{d1, d2, ..\}]}$$ - то же, но размеры в долях ширины всей картинки.

Чтобы почувствовать разницу между $$\text{\tt AbsoluteDashing}$$ и просто $$\text{\tt Dashing}$$, полезно поменять мышкой размер рисунка. При этом не меняется длина абсолютных $$\text{\tt dash}$$-ей (большая окружность и отрезок, идущий вправо вверх) и количество относительных $$\text{\tt dash}$$-ей (все остальные линии).

$$\tt In[38]:=\\ \phantom{In}Graphics[\{AbsoluteDashing[\{1, 5, 10\}], Line[\{\{0, 0\}, \{1, 1\}\}],\\ \phantom{InGr}Circle[], Dashing[\{.1, .2\}], Line[\{\{0, 0\}, \{1, -1\}\}],\\ \phantom{InGr}Circle[\{0, 0\}, 1/2]\}]$$

Возможны сокращенные версии этих абсолютных директив: $$\text{\tt Dotted, Dashed, DotDashed}$$:

$$\tt In[39]:=\\ \phantom{In}Graphics[\{Dotted, Line[\{\{0, 0\}, \{1, 1\}\}], Dashed, Circle[],\\ \phantom{InGr}DotDashed, Line[\{\{0, 0\}, \{1, -1\}\}]\}]$$

Толщина линии Аналогично, имеются команды, управляющие толщиной линии:

$$\tt In[40]:=AbsoluteThickness[r](*абсолютная толщина*) \\ \phantom{In[40]:=}Thickness[r](*относительная толщина*) \\ \phantom{In}Thin \\ \phantom{In}Thick \\ \\ Out[40]=AbsoluteThickness[r] \\ \\ Out[41]=Thickness[r] \\ \\ Out[42]=Thickness[Tiny] \\ \\ Out[43]=Thickness{Large] \\ \\ In[44]:= \\ \phantom{In}Graphics[{AbsoluteThickness[5], Line[\{\{0, 0\}, \{1, 1\}\}], \\ \phantom{In}Thickness[0.05], Circle[], Thin, Line[\{\{0, 0\}, \{1, -1\}\}]\}]$$

Снова поменяйте мышкой размер рисунка. Толщина абсолютных линий не меняется. Относительные линии меняют абсолютную толщину вместе с рисунком.

Вид многоугольника, диска, прямоугольника

В $$Mathematica$$ способом "заполнения объектов" управляют две директивы: $$\text{\tt EdgeForm[список директив]}$$ и $$\text{\tt FaceForm[список директив]}$$. Они определяют цвет, толщину, прозрачность и стиль заполнения. Пустой $$\text{\tt FaceForm[]}$$ дает прозрачный многоугольник. В трехмерной графике (см. ниже) с помощью $$\text{\tt FaceForm}$$ можно определить разные цвета для двух сторон многоугольника (тогда аргумент - список из двух списков директив).

$$\tt In[45]:=\{Graphics[\{EdgeForm[\{Thickness[0.5], Dashed, Orange\}],\\ \phantom{In[45]:=\{Gr}Red, Disk[]\}],\\ \phantom{In[45]:=\{}Graphics[ \\ \phantom{In[45]:=\{Gr}\{EdgeForm[\{AbsoluteThickness[0.2], Blue,\\ \phantom{In[45]:=\{Grap}Dashing[\{0.01, .01\}]\}], Cyan, Disk[]\}]\}$$ $$\tt In[46]:=\\ \phantom{In}Graphics[\\ \phantom{InG}\{\{EdgeForm[\{Thickness[0.5], Dashed, Orange\}], Red,\\ \phantom{InGra}Disk[\{0, 0\}, 1\},\\ \phantom{InGr}\{EdgeForm[\{AbsoluteThickness[0.2], Blue,\\ \phantom{InGraph}Dashing[\{0.01, .01\}]\}], FaceForm[Opacity [0.15], Cyan],\\ \phantom{InGra}Disk[\{1, 0\}, 1]\}\}]$$

Директива Directive

Эта директива служит для формирования единой директивы, являющейся композицией любого набора директив. Удобна при создании сложных комбинаций директив (см. примеры ниже).

Опции

$$Mathematica$$ также предусматривает множество опций, помогающих придать рисунку удобный, понятный и изящный вид. Общий вид опций следующий: $$\text{\tt Имя\_oпции }$\to$\text{ Значение}$$

Рамки и координатные оси

Отношения размеров, взаимное расположение и т. п. удобнее наблюдать при наличии той или иной системы отсчета. Для этого предусмотрены по умолчанию выключенные $$\text{\tt Axes}$$ (координатные оси), и $$\text{\tt Frame}$$ (рамка). Чтобы их включить, следует установить их в $$\text{\tt True}$$. Кроме того, можно вызвать координатную сетку $$\text{\tt GridLines}$$, для чего проще всего установить ее в автоматический режим $$\text{\tt Automatic}$$. Все это, разумеется, можно настраивать и украшать.

$$\tt In[47]:=\{Graphics[\{FaceForm[\{Opacity[0.45], Orange\}], Disk[]\},\\ \phantom{In[47]:=\{G}Frame $\to$ True], \\ \phantom{In[47]:=\{}Graphics[\{FaceFormf\{Opacity[0.55], Orange\}], Disk[]},\\ \phantom{In[47]:=\{G}Axes $\to$ True], \\ \phantom{In[47]:=\{}Graphics[\{FaceForm[\{Opacity[0.65], Orange\}], Disk[]\},\\ \phantom{In[47]:=\{G}Frame $\to$ True], GridLines $\to$ Automatic],\\ \phantom{In[47]:=\{}Graphics[\{FaceForm[\{Opacity[0.75], Orange\}], Disk[]\},\\ \phantom{In[47]:=\{G}Axes $\to$ True, GridLines $\to$ Automatic]\}$$

Так, например, оси можно подписать с помощью $$\text{\tt AxesLabel}$$ (приписывается список подписей) и $$\text{\tt LabelStyle}$$ (директива как подписывать или список директив для разных осей), выбрать начало координат $$\text{\tt AxesOrigin}$$ (приписываются координаты точки), стиль осей $$\text{\tt AxesStyle}$$ (директива или список директив) и деления на них с помощью $$\text{\tt Ticks}$$ (дает возможность описать каждое деление на оси максимально подробно: где, что написать, как деление отступает вниз и вверх от оси, как оно выглядит (в примере - нуль по горизонтали)) и $$\text{\tt TicksStyle}$$ (аналогично):

$$\tt In[48]:= \\ \phantom{In}Graphics[\{FaceForm[\{Opacity[0.65], Orange\}], Disk[]\}, \\ \phantom{InG}Axes $\to$ True, AxesOrigin $\to$ \{-1, -1\}, AxesLabel $\to$ {"Ширина"\ \!\!\!\!, у\}, \\ \phantom{InG}LabelStyle $\to$ Directive [Red, Medium, Italic], AxesStyle $\to$ Thick, \\ \phantom{InG}Ticks $\to$ \\ \phantom{InGr}\{\{-1/3, -2/3, \{0, "Zero"\ \!\!\!\!, \{.5, 0.03\},\\ \phantom{InGraph}Directive[Green, Thin]\}, 1/2, 1\}, Automatic\}]$$

Имеются аналогичные опции для работы с $$\text{\tt Frame}$$.

Регулировка размеров рисунка в целом

Опция $$\text{\tt PlotRange}$$ явно указывает какую область рисунка рисовать (в координатах):

$$\tt In[49]:= \\ \phantom{In}\{Graphics[Circle[], PlotRange $\to$ \{0, 1\}, Frame $\to$ True], \\ \phantom{In\{}Graphics[Circle[], PlotRange $\to$ \{\{0, 1\}, \{0, 1\}\}, Frame $\to$ True], \\ \phantom{In\{}Graphics[Circle[], PlotRange $\to$ 2, Frame $\to$ True]\}$$

Одна пара значений задает пределы изменения $$у$$-координаты, две пары -обеих координат. Может также стоять одно число, определяющее максимальные значения обеих координат. Также может принимать значения $$\text{\tt All}$$ (все точки рисунка) или $$\text{\tt Full}$$ (все данные). По умолчанию равна $$\text{\tt Automatic}$$. Последнее означает, что $$Mathematica$$ сама решает, что рисовать, а что нет.

Опция $$\text{\tt ImageSize}$$ в аналогичных терминах задает размер рисунка как целого. Чтобы лучше видеть происходящее, удобно воспользоваться опцией $$\tt Background$$, которая позволяет закрасить весь прямоугольник образа, т.е. весь $$\text{\tt ImageSize}$$:

$$\tt In[50]:= \\ \phantom{In}Graphics[Circle[], PlotRange $\to$ \{0, 1\}, ImageSize $\to$ \{100, 150\}, \\ \phantom{InG}Frame $\to$ True, Background $\to$ Orange]$$

Опция $$\text{\tt AspectRatio}$$ регулирует отношение высоты рисунка (а не $$\text{\tt Image}$$-образа) к его ширине:

$$\tt In[51]:=\\ \phantom{In}\{Graphics[Circle[], AspectRatio $\to$ Automatic, \\ \phantom{In\{G}ImageSize $\to$ \{100, 100\}, Frame $\to$ True, Background $\to$ Yellow], \\ \phantom{In\{}Graphics[Circle[], AspectRatio $\to$ 1/2, ImageSize $\to$ \{100, 100\}, \\ \phantom{In\{G}Frame $\to$ True, Background $\to$ Yellow], \\ \phantom{In\{}Graphics[Circle[], AspectRatio $\to$ 2, ImageSize $\to$ \{100, 100\}, \\ \phantom{In\{G}Frame $\to$ True, Background $\to$ Yellow]\}$$

Отступ от краев прямоугольника образа (наружу) может быть также явно задан с помощью опции $$\text{\tt ImageMargins}$$:

$$\tt In[52]:=\\ \phantom{In}\{Graphics[Circle[], PlotRange $\to$ \{0, 1\}, ImageSize $\to$ \{100, 200\}, \\ \phantom{In\{G}Frame $\to$ True, Background $\to$ LightOrange], \\ \phantom{In\{}Graphics[Circle[], PlotRange $\to$ \{0, 1\}, ImageSize $\to$ \{100, 200\}, \\ \phantom{In\{G}Frame $\to$ True, Background $\to$ LightOrange, ImageMargins $\to$ 20] , \\ \phantom{In\{}Graphics[Circle[], PlotRange $\to$ \{0, 1\}, ImageSize $\to$ \{100, 200\}, \\ \phantom{In\{G}Frame $\to$ True, Background $\to$ LightOrange, \\ \phantom{In\{G}ImageMargins $\to$ \{\{10, 20\}, \{30, 40\}\}]\}$$

Отступ от краев прямоугольника образа (внутрь) может быть также явно задан с помощью опции $$\text{\tt ImagePadding}$$. При этом можно обрезать вылезающие за $$\text{\tt Frame}$$ (заданный $$\text{\tt PlotRange}$$) фрагменты рисунка с помощью переключателя $$\text{\tt PlotRangeClipping}$$:

$$\tt In[53]:=\\ \phantom{In}\{Graphics[Circle[], PlotRange $\to$ \{0, 1\}, ImageSize $\to$ \{100, 200\}, \\ \phantom{In\{G}Frame $\to$ True, Background $\to$ LightOrange], \\ \phantom{In\{}Graphics[Circle[], PlotRange $\to$ \{0, 1\}, ImageSize $\to$ \{100, 200\}, \\ \phantom{In\{G}Frame $\to$ True, Background $\to$ LightOrange, ImagePadding $\to$ 20], \\ \phantom{In\{}Graphics[Circle[], PlotRange $\to$ \{0, 1\}, ImageSize $\to$ \{100, 200\}, \\ \phantom{In\{G}Frame $\to$ True, Background $\to$ LightOrange, \\ \phantom{In\{G}ImagePadding $\to$ \{\{10, 20\}, \{30, 40\}\}], \\ \phantom{In\{}Graphics[Circle[], PlotRange $\to$ \{0, 1\}, ImageSize $\to$ \{100, 200\}, \\ \phantom{In\{G}Frame $\to$ True, Background $\to$ LightOrange, \\ \phantom{In\{G}ImagePadding $\to$ \{\{10, 20\}, \{30, 40\}\}, PlotRangeClipping $\to$ True]\}$$

Расширение $$\text{\tt Frame}$$ от размеров границы, заданной $$\text{\tt PlotRange}$$, определяется $$\text{\tt PlotRangePadding}$$ (в размерных единицах чертежа). При этом фактически меняется $$\text{\tt PlotRange}$$:

$$\tt In[54]:=\\ \phantom{In\{}{Graphics[Circle[], PlotRange $\to$ \{0, 1\}, Frame $\to$ True, \\ \phantom{In\{G}Background $\to$ LightOrange], \\ \phantom{In\{}Graphics[Circle[], PlotRange $\to$ \{0, 1\}, Frame $\to$ True, \\ \phantom{In\{G}Background $\to$ LightOrange, PlotRangePadding $\to$ 1/2], \\ \phantom{In\{}Graphics[Circle[], PlotRange $\to$ \{0, 1\}, Frame $\to$ True, \\ \phantom{In\{G}Background $\to$ LightOrange, PlotRangePadding $\to$ 1/2, \\ \phantom{In\{G}PlotRangeClipping $\to$ True]\}$$

Украшательства

Комбинируя опции этого типа, такие как $$\text{\tt Background, Prolog, Epilog}$$ и т.п., можно регулировать вид фона, взаимное перекрытие объектов и т.п. Имеются также опции, управляющие выводом текста.

Трехмерный случай

Трехмерный случай принципиально от двумерного не отличается. Перечислим основные отличия. Прежде всего, добавляется несколько специфических трехмерных примитивов:

$$\tt In[55]:=Graphics3D[\{ \\ \phantom{In[55]:=Gr}\{Orange, Opacity[0.4], \\ \phantom{In[55]:=Gra}Cylinder[\{\{-1.5, -1.5, -1.5\}, \{1.5, 1.5, 1.5\}\}, $\sqrt{2}$]\},\\ \phantom{In[55]:=Gr}(* Прямой цилиндр, заданный осью-отрезком и радиусом*)\\ \phantom{In[55]:=Gr}\{Red, Sphere[\{0, 0, 0\}, 2]\}, (* Сфера: центр, радиус*)\\ \phantom{In[55]:=Gr}\{Green, Opacity[.3], Cuboid[\{-2, -2, -2\}, \{2, 2, -1\}]\}\}]\\ \phantom{In[55]:=}(* Прямоугольный параллелепипед, \\ \phantom{In[55]:=}Заданный координатами противоположных вершин*)$$

К графическим директивам, определяющим вид поверхности, добавляются две: $$\text{Glow[]}$$ (характеризует цвет, которым поверхность светится) и $$\text{Specularity[]}$$ (характеризует зеркальные свойства поверхности):

$$\tt In[56]:=Table[Graphics3D[{Specularity[Red, s], Black, Sphere[]\}, \\ \phantom{In[56]:=Ta}Boxed $\to$ False, ImageSize $\to$ 150], \{s, \{0, 1, 2, 10, 100\}\}]$$ $$\tt In[57]:=\\ \phantom{In}\{Graphics3D[\{Glow[Red], Black, Cuboid[]\}, Boxed $\to$ False, \\ \phantom{In\{G}ImageSize $\to$ 150], Graphics3D [\{Glow[Red], White, Cuboid[]\}, \\ \phantom{In\{G}Boxed $\to$ False, ImageSize $\to$ 150]\}$$

Кроме того, с помощью $$\text{\tt FaceForm}$$ можно теперь задавать разные цвета для разных сторон поверхности:

$$\tt In[58]:=\\ \phantom{In}Graphics3D[\{FaceForm[Blue, Orange], Sphere[]\},\\ \phantom{InG}PlotRange $\to$ \{\{-1, 1\}, \{-1/2, 1/2\}, \{-1, 1\}\}, Boxed $\to$ False]$$

В опциях $$\text{\tt Frame}$$ заменяется на $$\text{\tt Boxed}$$, добавляются возможности управлять источником света $$\text{\tt Lighting}$$ и опции, характеризующие "точку зрения" наблюдателя и некоторые другие характеристики образа:

$$\tt In[59]:=\\ \phantom{In}\{Graphics3D[{FaceForm[Blue, Orange], Sphere[]\},\\ \phantom{In\{G}PlotRange $\to$ \{\{-1, 1\}, \{-1/2, 1/2\}, \{-1, 1\}\}, Boxed $\to$ False,\\ \phantom{In\{G}Lightings $\to$ \{\{"Point"\ \!\!\!\!, White, \{0, 0, 0\}\}\}],\\ \phantom{In\{}Graphics3D[\{FaceForm[Blue, Orange], Sphere[]\},\\ \phantom{In\{G}PlotRange $\to$ \{\{-1, 1\}, \{-1/2, 1/2\}, \{-1, 1\}\}, Boxed $\to$ False,\\ \phantom{In\{G}Lighting $\to$ \{\{"Point"\ \!\!\!\!, White, \{2, 2, 2\}\}\}],\\ \phantom{In\{}Graphics3D[\{FaceForm[Blue, Orange], Sphere[]\},\\ \phantom{In\{G}PlotRange $\to$ \{\{-l, 1\}, \{-1/2, 1/2\}, \{-1, 1\}\}, Boxed $\to$ False,\\ \phantom{In\{G}Lighting $\to$ \{\{"Ambient"\ \!\!\!\!, White\}\}],\\ \phantom{In\{}Graphics3D[\{FaceForm[Blue, Orange], Sphere[]\},\\ \phantom{In\{G}PlotRange $\to$ \{\{-l, 1\}, \{-1/2, 1/2\}, \{-1, 1\}\}, Boxed $\to$ False,\\ \phantom{In\{G}Lighting $\to$ Automatic]\}$$ $$\tt In[60]:=\\ \phantom{In}Manipulate[Graphics3D[\{FaceForm[Blue, Orange], Sphere[]\}\\ \phantom{In\{Ma}PlotRange $\to$ \{\{-1, 1\}, \{-1/2, 1/2\}, \{-1, 1\}, Boxed $\to$ False,\\ \phantom{In\{Ma}VienPoint $\to$ \{x, y, z\}, Image $\to$ 200], \{x, -3, 3\},\\ \phantom{In\{M}\{y, -3, 3\}, \{z, -3, 3\}]$$

Графика, порожденная функциями и другими числовыми данными

Двумерная графика

Как уже говорилось в начале, $$Mathematica$$ располагает специальным арсеналом средств, позволяющих визуализировать числовые данные и функции. Самый простой и известный способ визуализировать функцию - это построить ее график. Это делается с помощью уже встречавшейся нам команды $$\text{\tt Plot}$$:

$$\tt In[61]:=Plot[Sin[x], \{х, -$\pi$, $\pi$\}]$$

На самом деле команда $$\text{\tt Plot}$$ генерирует по данной функции графические примитивы, директивы и опции и формирует затем соответствующую команду $$\text{\tt Graphics}$$:

$$\tt In[62]:=InputForm[Plot[Sin[x], \{x, -$\pi$, $\pi$\}]] //Short \\ \\ Out[62]=Graphics[\{\{\{\}, \{\}, \{Hue[0.67, 0.6,\\ \phantom{Out[62]=Gr}0.6], Line[\{\{<<2>>, <<30>>\}]\}\}\}, \{<<6>>\}]$$

Таким образом, мы видим, что $$\text{\tt Plot}$$, на самом деле, строит ломаную линию. При желании этим можно воспользоваться:

$$\tt In[63]:=gg = Plot[Sin[x], \{х, -$\pi$ ,$\pi$\}];\\ \phantom{In[63]:=}gg[\!\![l, 1, 3, 1]\!\!]\\ \\ Out[64]=Hue[0.67, 0.6, 0.6]$$

Вот мы вычленили директиву, предшествующую собственно ломаной. Ее можно подменить, например так:

$$\tt In[65]:=gg[\!\![l, 1, 3, l]\!\!] = Sequence [Red, Thick, Dashed];\\ \phantom{In[65]:=}gg$$

С одной стороны, в командах типа $$\text{\tt Plot}$$ можно использовать опции обычной графики. С другой стороны, есть и специальные способы управления, главные из которых $$\text{\tt PlotStyle}$$ и $$\text{\tt ColorFunction}$$. Опция $$\text{\tt PlotStyle}$$ служит для использования уже знакомых нам графических директив. Теперь $$Mathematica$$ сама поставит их в нужное место в команде $$\text{\tt Graphics}$$:

$$\tt In[67]:=\{Plot[\{Red, Dashed, Thick, Sin[x]\}, \{x, -$\pi$, $\pi$\}],\\ \phantom{In[67]:=\{}Plot[Sin[x], \{x, -$\pi$, $\pi$\},\\ \phantom{In[67]:=\{P}PlotStyle $\to$ \{RGBColor[l, 0, 0], Dashed, Thick\}]\}$$

Опция $$\text{\tt ColorFunction}$$ служит для управления цветом изображаемого графика. Имена и смысл переменных этой функции фиксированы (для каждого типа графики - свои, для обычного $$\text{\tt Plot}$$, например, это $$x, y$$ ). В качестве примера раскрасим график в соответствии с кривизной соответствующей плоской кривой:

$$\tt In[68]:=ClearAll[g];\\ \phantom{In[68]:=}cur[f\_][t\_] := $\frac{Abs[D[f[t],t,t]]}{(l+D[f[t],t]^2)^{3/2}}$;\\ \phantom{In[68]:=}g[t\_] = cur[Sin][t]; \\ \phantom{In[68]:=}\{Plot[Sin[x], {x, -$\pi$, $\pi$\}, PlotStyle $\to$ \{Thick\},\\ \phantom{In[68]:=Cl}ColorFunction $\to$ Function [\{x, y\}, Hue$[\frac{g[x]}{1.1}]$],\\ \phantom{In[68]:=Cl}ColorFunctionScaling $\to$ False],\\ \phantom{In[68]:=C}Plot[g[t], \{t, -$\pi$, $\pi$\}]\}$$

Замечание. На самом деле, чтобы картина была реалистичной, пришлось отмасштабировать кривизну так, чтобы она менялась от 0 до 1/2 (важно, чтобы не доходила до 1). Здесь мы пользуемся тем, что кривизна графика синуса меняется от нуля (на рисунке - красный) до единицы (синий). Опция $$\text{\tt ColorFunctionScaling }$\to$\text{ False}$$ отключает автоматическое масштабирование функции, отвечающей за цвет, которое затемняет дело.

Перечислим теперь встроенные возможности функции $$\text{\tt Plot}$$. Во-первых, можно рисовать сразу несколько графиков, причем они автоматически получаются разноцветными. Можно и самим регулировать их вид (с помощью $$\text{\tt PlotStyle}$$):

$$\tt In[72]:=\{Plot[\{Sin[x], 1.2Sin[2x], 1.3Sin[3x]\}, \{x, 0, 10\}],\\ \phantom{In[72]:=\{}Plot[\{Sin[х], 1.2Sin[2x], 1.3Sin[3x]\}, \{x, 0, 10\},\\ \phantom{In[72]:=\{P}PlotStyle $\to$ \{\{Red, Thick\}, \{Dashed, Blue\}, \{Orange\}\}]\}$$

Можно также закрашивать области, ограниченные графиком (графиками). Это исполняется с помощью опции $$\text{\tt Filling}$$, значение которой устанавливается в тип заполнения ("до оси", "подграфик", "надграфик"):

$$\tt In[73]:=Plot[\{Sin[x], 1.2Sin[2x], 1.3Sin[3x]\}, \{x, 0, 10\}, \\ \phantom{In[73]:=P}Filling $\to$ \{l $\to$ Axis, 2 $\to$ Bottom, 3 $\to$ Top\}]$$

Более хитрый вид заполнения: для 2-го объекта выбрано заполнение до 1-го. Можно также добавить директивы, как именно заполнять:

$$\tt In[74]:=\\ \phantom{In}\{Plot[\{Sin[x], 1.4Sin[2x]\}, \{х, 0, 10\}, Fillings $\to$ \{2 $\to$ \{1\}\}],\\ \phantom{In\{}Plot[\{Sin[x], 1.4Sin[2x]\}, \{x, 0, 10\},\\ \phantom{In\{P}Filling $\to$ \{2 $\to$ \{l, \{Red, Blue\}\}\}]\}$$

Можно явно указать, сколько точек участвуют в построении ломаной, изображающей кривую. Современные версии $$Mathematica$$ сами следят за качеством графика, поэтому $$\text{\tt PlotPoints}$$ в двумерной графике - это начальное количество точек аппроксимации (по умолчанию равен 50). Если картинка $$Mathematica$$ не нравится, она сама подразобьет кривую столько раз, сколько ей захочется. Чтобы запретить ей это, нужно ограничить рекурсию с помощью опции $$\text{\tt MaxRecursion}$$ (которая устанавливается в количество итераций). Чтобы увидеть точки-вершины ломаной, нужно использовать опцию $$\text{\tt Mesh}$$:

$$\tt In[75]:=\{Plot[Sin[x], \{x, -$\pi$, $\pi$\}, Mesh$\to$All, MaxRecursion$\to$0],\\ \phantom{In[75]:=\{}Plot[Sin[x], \{x, -$\pi$, $\pi$\}, PlotPoints$\to$5, Mesh$\to$All,\\ \phantom{In[75]:=\{P}MaxRecursion$\to$0],\\ \phantom{In[75]:=\{}Plot[Sin[x], \{x, -$\pi$, $\pi$\}, PlotPoints$\to$5, Mesh$\to$All,\\ \phantom{In[75]:=\{P}MaxRecursion$\to$1],\\ \phantom{In[75]:=\{}Plot[Sin[x], \{x, -$\pi$, $\pi$\}, PlotPoints$\to$5, Mesh$\to$All]\} $$

Иногда полезно исключить из рассмотрения какие-нибудь точки. Для этого служит опция $$\text{\tt Exclusions}$$, которая устанавливается в условие:

$$\tt In[76]:=\{Plot[Tan[x], \{х, -2$\pi$, 2$\pi$\}],\\ \phantom{In[76]:=\{}Plot[Tan[x], \{х, -2$\pi$, 2$\pi$\}, Exclusions$\to$\{Cos[x] == 0\}]\} $$

К двумерным способам представления числовых данных относятся так же:

$$\text{\tt ListPlot, ListLinePlot, ArrayPlot}$$,

$$\text{\tt PolarPlot, ParametricPlot}$$,

$$\text{\tt ContourPlot, DensityPlot}$$,

$$\text{\tt RegionPlot}$$.

Первые три служат для изображения дискретных данных (одномерных или двумерных). Вот одномерные данные:

$$\tt In[77]:=data = Table [Random[], \{20\}];\\ \phantom{In[77]:=}\{ListPlot[data, Filling $\to$ Axis], \\ \phantom{In[77]:=d}ListLinePlot[data,Filling $\to$ Axis]}$$

А вот - двумерные. Обратите внимание, что $$\text{\tt ListLinePlot}$$ просто соединяет последовательные точки линией.

$$\tt In[79]:=\\ \phantom{In}data = Table[\{Cos[\#], Sin[\#]\} \ [Random[Real, 2$\pi$]], \{i, 1, 40\}];\\ \phantom{In}\{ListPlot[data, AspectRatio $\to$ Automatic],\\ \phantom{Ind}ListLinePlot[data, AspectRatio $\to$ Automatic]\}$$

$$\text{\tt ArrayPlot}$$ изображает числа строки в виде раскрашенных квадратиков. По умолчанию они черно-белые, но можно их и раскрасить:

$$\tt In[81]:=ArrayPlot[Transpose[data]]$$

Можно задать цвета явно с помощью правил $$\text{\tt ColorRules}$$, можно использовать $$\text{\tt ColorFunction}$$. Мы нарисуем число $$\pi$$:

$$\tt In[82]:=curpet[х\_, m\_, n\_] :=\\ \phantom{In[82]:=cu}Module[\{res, хх, i\},\\ \phantom{In[82]:=cur}(*Эта подпрограммка вычисляет цифры числа х и \\ \phantom{In[82]:=curp}организовывает их в массив\}*)\\ \phantom{In[82]:=cur}хх = N[x, m n];\\ \phantom{In[82]:=cur}res = \{RealDigits[хх, 10, m] [\!\![1]\!\!]\};\\ \phantom{In[82]:=cur}xx = xх/10$^{\text{RealDigits}[xx,10,m][\![2]\!]}$;\\ \phantom{In[82]:=cur}For[i = l, i $\le$ n - 1, i++,\\ \phantom{In[82]:=curp}res = res$\sim$Join$\sim$\{RealDigits[xx, 10, m, -m i - 1][\!\![1]\!\!]\}\\ \phantom{In[82]:=cur}];\\ \phantom{In[82]:=cur}res\\ \phantom{In[82]:=cu}];\\ \phantom{In[82]:=}rules = \{0$\to$Red, 1$\to$Pink, 2$\to$Orange, 3$\to$Brown, 4$\to$Yellow,\\ \phantom{In[82]:=cur}5$\to$Green, 6$\to$Cyan, 7$\to$Blue, 8$\to$Magenta, 9$\to$Purple\}; $$ $$\tt In[84]:={ArrayPlot[curpet[$\pi$, 40, 40], ColorRules$\to$rules],\\ \phantom{In[84]:=\{}ArrayPlot[curpet[$\pi$, 40, 40], ColorFunction$\to$"Pastel"\ \!\!\!],\\ \phantom{In[82]:=\{}ArrayPlot[curpet[$\pi$, 40, 40], ColorFunction$\to$"Rainbow"\ \!\!\!] \}$$

Команда $$\text{\tt PolarPlot}$$ удобна для рисования кривых, заданных в полярных координатах. Имеется также ее модификация $$\text{\tt ListPolarPlot}$$:

$$\tt In[85]:=PolarPlot[\{l, 1 + 1/2Sin[10t], 1/2\}, \{t, 0, 2Pi\},\\ \phantom{In[85]:=P}PlotStyle $\to$ \{Green, \{Dashed, Thick, Orange\},\\ \phantom{In[85]:=Pol}\{Thickness[0.005], Green\}\}]$$

Универсальный инструмент для рисования кривых - это, конечно, команда $$\text{\tt ParametricPlot}$$. Он теперь сразу позволяет рисовать однопараметрические семейства или области:

$$\tt In[86]:=\\ \phantom{In}\{ParametricPlot[\{Cos[x], Sin[2x]\}, \{x, 0, 2$\pi$\}],\\ \phantom{In\{}ParametricPlot[r\{Cos[x], Sin[2x]\}, \{x, 0, 2$\pi$\}, \{r, 0.5, 1.5\}],\\ \phantom{In\{}ParametricPlot[r\{Cos[x], Sin[2x]\}, \{x, 0, 2$\pi$\},\\ \phantom{In\{P}\{r, 0.5, 1.5\}, Mesh$\to$None]\}$$

Можно использовать это для рисования, например, координатных линий:

$$\tt In[87]:=\\ \phantom{In}\{ParametricPlot[\{х, у\}, \{х, -1, 1\}, \{у, -1, 1\}, Axes$\to$False,\\ \phantom{In\{P}Frame$\to$False], ParametricPlot[\{r Cos[$\varphi$], r Sin[$\varphi$]\},\\ \phantom{In\{P}\{$\varphi$, 0, 2$\pi$\}, \{r, 0, 1\}, Axes$\to$False, Frame$\to$False]\} $$

или для наглядного изображения отображений из плоскости в плоскость:

$$\tt In[88]:=\\ \phantom{In}F[u\_, v\_] := \{Re[(u + iv)$^{1/3}$], Im[(u + iv)$^{1/3}$]\};\\ \phantom{In}\{ParametricPlot[\{u, v\}, \{u, -1, 1\}, \{v, -1, 1\}, Frame $\to$ False,\\ \phantom{In\{P}MeshStyle $\to$ \{Orange, Green\}],\\ \phantom{In\{}ParametricPlot[F[u, v], \{u, -1, 1\}, \{v, -1, 1\}, Frame $\to$ False,\\ \phantom{In\{P}MeshStyle $\to$ \{Orange, Green\}, AxesOrigin $\to$ \{0, 0\}]\}$$ $$\tt In[90]:=\\ \phantom{In}FF[r\_, $\varphi$\_] := \{Re[r$^{1/3}$e$^{i\frac{\varphi}{3}}$], Im[r$^{1/3}$e$^{i\frac{\varphi}{3}$]\};\\ \phantom{In}\{ParametricPlot[\{r Cos[$\varphi$], r Sin[$\varphi$]\}, \{r, 0, 1\}, \{$\varphi$ -$\pi$, $\pi$\},\\ \phantom{In\{P}Frame$\to$False, MeshStyle$\to$\{Orange, Green\}],\\ \phantom{In\{}ParametricPlot[FF[r, $\varphi$], \{r, 0, 1\}, \{$\varphi$, -$\pi$, $\pi$\}, Frame$\to$False,\\ \phantom{In\{P}MeshStyle$\to$\{Orange, Green\}, AxesOrigin$\to$\{0, 0\}]\}$$ $$\tt In[92]:=\\ \phantom{In}DLP[r\_, $\varphi$\_] := Module[\{z, z0, w\},\\ \phantom{InDLP}z=re$^{i\varphi}$;\\ \phantom{InDLP}z0 = 1/2;\\ \phantom{InDLP}w = $\frac{z-z0}{(1-z \text{Conjugate}[z0]}$;\\ \phantom{InDLP}\{Re[w], Im[w]\}\\ \phantom{InDL}];\\ \phantom{In}\{ParametricPlot[\{r Cos[$\varphi$], r Sin[$\varphi$]\}, \{r, 0, 1\}, \{$\varphi$, -$\pi$, $\pi$\},\\ \phantom{InDL}Frame$\to$False, MeshStyle$\to$\{Orange, Green\}],\\ \phantom{InD}ParametricPlot[DLP[r, $\varphi$], \{r, 0, 1\}, \{$\varphi$, -$\pi$, $\pi$\},\\ \phantom{InDL}Frame$\to$False, PlotPoints$\to$50, MeshStyle$\to$\{Orange, Green\},\\ \phantom{InDL}AxesOrigin$\to$\{0, 0\}]\}$$

Снова можно задавать осмысленные функции для раскраски кривой. Например, кривизну. Напомним, что красный соответствует нулю, и цвет меняется в синюю сторону при возрастании.

$$\tt In[94]:=ClearAll[cur, gg, xx, yy, t];\\ \phantom{In[94]:=}cur[x\_, y\_][t\_] := $\frac{\text{Abs}[D[x[t],t,t] D[y[t],t]-D[y[t],t,t] D[x[t],t]]}{(D[x[t],t]^2+D[y[t]^2)^{3/2}$;\\ \phantom{In[94]:=}xx[t\_] := Log[t] Cos[t]; yy[t\_] := Log[t] Sin[t];\\ \phantom{In[94]:=}gg[t\_] = cur[xx, yy][t];\\ \\ In[98]:=mm = NMaximize[\{gg[t], 0 $\le$ t\}, \{t\}][\!\![l]\!\!]\\ \\ Out[98]=2.65323\\ \\ In[99]:=Plot[gg[t], \{t, 0.1, 2$\pi$\}]$$ $$\tt In[100]:=\\ \phantom{In}ParametricPlot[\{xx[t], yy[t]\}, \{t, 1/2, 7$\pi$\}, PlotStyle$\to$Thick,\\ \phantom{InP}ColorFunction$\to$Function \{x, у, u\}, Hue$\left[\frac{gg[u]}{1.2mm}\right]$],\\ \phantom{InP}ColorFunctionScaling$\to$False$$

Команды $$\text{\tt ContourPlot}$$ и $$\text{\tt DensityPlot}$$ служат для рисования неявно заданных кривых и функций:

$$\tt In[101]:=\\ \phantom{In}\{ContourPlot[Cos[x] + Cos[y], \{x, 0, 4Pi\}, \{y, 0, 4Pi\}], \\ \phantom{In\{}ContourPlot[Cos[x] + Cos[y] == 1/2, \{x, 0, 4Pi\}, \{y, 0, 4Pi\}], \\ \phantom{In\{}DensityPlot[Cos[x] + Cos[y], \{x, 0, 4Pi\}, \{y, 0, 4Pi\}]\}$$

Наконец, $$\text{\tt RegionPlot}$$ изображает области, заданные неравенствами:

$$\tt In[102]:=\\ \phantom{In}RegionPlot[1/4 $\le$ х\^\,\!2 + (2у)\^\,\!2 $\le$ 1 х + у $\le$ 1/2, \{х, -1, 1\},\\ \phantom{InR}\{у, -1, 1\}, AspectRatio $\to$ Automatic]$$

Трехмерная графика

Практически все команды двумерной графики имеют аналоги в трехмерной. Снова рассмотрим сначала простейшую команду рисования графика функции двух переменных $$\text{\tt Plot3D}$$:

$$\tt In[103]:=Plot3D[уSin[x] + уSin[x], \{x, -$\pi$, $\pi$\}, \{у, -$\pi$, $\pi$\}]$$

Эта команда порождает графический комплекс с заданными нормалями вершин:

$$\tt In[104]:=\\ \phantom{In}InputForm[Plot3D[уSin[х] + уSin[х], \{х, -$\pi$, $\pi$\}, \{у, -$\pi$, $\pi$\}]] // \\ \phantom{InI}Short \\ \\ Out[104]=Graphics3D[GraphicsComplex[\{\{<<3>>\},\\ \phantom{Out[104]=Gr}\{<<3>>\}, <<2526>>, \{<<3>>\}\}, <<2>>], \{<<5>>\}] $$

точнее,

$$\tt In[105]:=\\ \phantom{In}Plot3D[уSin[x] + ySin[x], \{x, -$\pi$, $\pi$\}, \{у, -$\pi$, $\pi$\},\\ \phantom{InP}PlotStyle$\to$FaceForm[Red, Blue], PlotPoints$\to$2 , Mesh$\to$All,\\ \phantom{InP}MaxRecursion$\to$0]$$ $$\tt In[106]:=\\ \phantom{In}InputForm[Plot3D[уSin[x] + уSin[х], \{х, -$\pi$, $\pi$\}, \{у, -$\pi$, $\pi$\},\\ \phantom{InIn}PlotPoints $\to$ 2, Mesh $\to$ All, PlotStyle $\to$ MaxRecursion $\to$ 0]]\\ \\ Out[106]=\\ \\ \phantom{O}Cruahics3D[\\ \phantom{Ou}GraphicsComplex[\{\{-3.141586370404486, -3.141586370404486, 0.00003947833864787322\},\\ \phantom{OuGr}\{3.141586370404486, -3.141586370404486, -0.00003947833864787322\},\\ \phantom{OuGr}\{-3.141586370404486, 3.141586370404486, -0.00003947833864787322\},\\ \phantom{OuGr}\{3.141586370404486, 3.141586370404486, 0.00003947833864787322\},\\ \phantom{OuGr}\{0., 0., 0.\},\{3.141586370404486, 0., 0.\}, \{0., 3.141586370404486. 0.\},\\ \phantom{OuGr}\{-3.141586370404486, 0., 0.\}, \{0., -3.141586370404486, -0.\},\\ \phantom{OuGr}\{-1.570793185202243, -1.570793185202243, 3.141586370388983\},\\ \phantom{OuGr}\{1.570793185202243, -1.570793185202243, 3.141586370388983\},\\ \phantom{OuGr}\{1.570793185202243, 1.570793185202243, 3.141586370388983\},\\ $$ $$\tt \phantom{OuGr}\{-1.570793185202243, 1.570793185202243, .141586370388983\},\\ \phantom{OuGr}\{3.141586370388983, 1.570793185202243, 0.00001973916932393661\},\\ \phantom{OuGr}\{-1.570793185202243, 3.141586370404486, -6.283172740777966\},\\ \phantom{OuGr}\{-3.141586370404486, -1.570793185200043, 0.00001973916932393661\}\\ \phantom{OuGr}\{1.570793185202243, -3.141586370404486, -6.283172740777966\},\\ \phantom{OuGr}\{-1.570793185202243, -3.141586370404486, 6.283172740777966\},\\ \phantom{OuGr}\{3.141586370404486, -1.570793185202243, -0.000019739169323333333393661\},\\ \phantom{OuGr}\{1.570793185202243, 3.141586370404486, 6.283172740777966\},\\ \phantom{OuGr}\{-3.141586370404486, 1.570793185202243, -0.00001973916932393661\}\}, $$ $$\tt \phantom{OuG}\{\{\{EdgeForm[GrayLevel[0.]], MaxRecursion -> 0,\\ \phantom{OuGrap}GraphicsGroup[\{Polygon[\{\{11,6,5\}, \{14,12,6\}, \{13,8,5\}, \{10,9,5\},\\ \phantom{OuGrapGrap}\{12,7,5\}, \{15,13,7\}, \{8,10,5\}, \{16,10,8\}, \{17,11,9\},\\ \phantom{OuGrapGrap}\{18,10,1\}, \{20,12,4\}, \{13,15,3\}, \{11,17,2\}, \{10,18,9\},\\ \phantom{OuGrapGrap}\{12,14,2\}, \{20,12,4\}, \{13,15,3\}, \{11,17,2\}, \{10,18,9\}\\ \phantom{OuGrapGrap}\{11,19,6\}, \{10,16,1\}, \{12,20,7\}, \{13,21,8\}\}]\}]\}, \{\},\{\},\{\},\{\}\}\},\\ $$ $$\tt \phantom{OuG}VertexNormals -> \{\{-0.9875704433539252, 1.975144837054073*\^\,\!-6, 0.1571770320683985\},\\ \phantom{OuGra}\{-0.9875704433539252, -1.975144837054073*\^\,\!-6, 0.1571770320683985\},\\ \phantom{OuGra}\{0.9875704433539252, 1.975144837054073*\^\,\!-6, 0.1571770320683985\},\\ \phantom{OuGra}\{0.9875704433539252, -1.975144837054073*\^\,\!-6, 0.1571770320683985\},\\ \phantom{OuGra}\{0., 0., 1,\}, \{0., -0.000012566370613478698, 0.9999999999210432\},\\ \phantom{OuGra}\{0.9875704433563331, 0., 0.15717703206567918\},\\ \phantom{OuGra}\{0., 0.000012566370613478698, 0.9999999999210432\},\\ \phantom{OuGra}\{0.9875704433563331, 0., 0.15717703206567918\},\\ \phantom{OuGra}\{4.413812442766295*\^\,\!-6, 0.8944271909903205, 0.44721359549736717\},\\ \phantom{OuGra}\{4.413812442766295*\^\,\!-6, -0.8944271909903205, 0.44721359549736717\},\\ \phantom{OuGra}\{-4.413812442766295*\^\,\!-6, -0.8944271909903205, 0.44721359549736717\},\\ \phantom{OuGra}\{-4.413812442766295*\^\,\!-6, 0.8944271909903205, 0.44721359549736717\},\\ $$ $$\tt \phantom{OuGra}\{0.952890338648335, -3.811568977840421*\^\,\!-6, 0.30331502187681625\},\\ \phantom{OuGra}\{-8.827624885274624*\^\,\!-6, 0.894427190964183, 0.4472135954829845\},\\ \phantom{OuGra}\{-0.952890338648335, 3.811568977840421*\^\,\!-6, 0.30331502187681625\},\\ \phantom{OuGra}\{8.827624885274624*\^\,\!-6, -0.894427190964183, 0.44721359548429548\},\\ \phantom{OuGra}\{8.827624885274624*\^\,\!-6, 0.894427190964183, 0.44721359548429548\},\\ \phantom{OuGra}\{-0.952890338648335, -3.811568977840421*\^\,\!-6, 0.30331502187681625\},\\ \phantom{OuGra}\{-8.827624885274624*\^\,\!-6, -0.894427190964183, 0.44721359548429548\},\\ \phantom{OuGra}\{0.952890338648335, 3.811568977840421*\^\,\!-6, 0.30331502187681625\},\\ \phantom{Ou}{Axes -> True, BoxRatios -> {1, 1, 0.4}, Method -> {"RotationControl"\ \!\!\!\! -> "Globe"\ \!\!\!\!\},\\ \phantom{OuG}PlotRange -> \{\{Pi, Pi\}, \{-Pi, Pi\}, \{-6.283172740777966, 6.283172740777966\}\},\\ \phantom{OuG}PlotRangePadding -> \{Scaled[0.02], Scaled[0.02], Scaled[0.02]\}\}]$$

Снова можно пользоваться стандартными опциями трехмерной графики, снова есть $$\text{\tt PlotStyle}$$ для директив. Из новых опций обратим внимание на $$\text{\tt BoundaryStyle}$$ (приписывается графическая директива, описывающая граничную линию), $$\text{\tt Exclusions}$$ и $$\text{\tt ExclusionStyle}$$ (исключение части рисунка, заданной условием, и способ прорисовки ограничивающей линии), $$\text{\tt RegionFunction}$$ (задание области рисунка с помощью функции от стандартного набора переменных), $$\text{\tt MeshFunction}$$ (приписывается функция или функции, линии уровня которых задают координатные линии на поверхности), $$\text{\tt Mesh}$$ (приписывается количество этих линий):

$$\tt In[107]:=\\ \phantom{In}Plot3D[уSin[х] + уSin[х], \{х, -$\pi$, $\pi$\}, \{у, -$\pi$, $\pi$\},\\ \phantom{InP}MeshFunctions $\to$ \{\#3 \\}, MeshStyle $\to$ \{Orange\},\\ \phantom{InP}PlotStyle $\to$ FaceForm[Directive[Red, Specularity[White, 2]],\\ \phantom{InPlo}Blue], BoundaryStyle $\to$ \{Thick, Red\}]$$ $$\tt In[108]:=\\ \phantom{In}Plot3D[ySin[x] + ySin[x], \{x, -$\pi$, $\pi$ \}, \{у, -$\pi$, $\pi$\},\\ \phantom{InP}PlotStyle $\to$ FaceForm[Directive[Red, Specularity[White, 2]],\\ \phantom{InPPl}Blue], BoundaryStyle $\to$ \{Thick, Red\},\\ \phantom{InP}MeshFunctions $\to$ \{(\#1$^2$ + \#2$^2$) \\}, Mesh $\to$ 5,\\ \phantom{InP}RegionFunction $\to$ Function[\{x, у, z\}, 1/2 < x$^2$ + у$^2$ > 3]] $$

Из других команд отметим прежде всего команды, позволяющие рисовать параметрически заданные поверхности и кривые ($$\text{\tt ParamrtricPlot3D}$$ и ее частные случаи $$\text{\tt RevolutionPlot3D}$$ и $$\text{\tt SphericalPlot3D}$$), неявно заданные поверхности ($$\text{\tt ContourPlot3D}$$), трехмерные области, заданные неравенствами ($$\text{\tt RegionPlot3D}$$), а также трехмерные рисовалки дискретных данных, такие как $$\text{\tt ListPlot3D, ListPointPlot3D, ListSurfacePlot3D}$$.

В качестве примера рассмотрим знаменитую поверхность Боя - параметризацию проективной плоскости. Явные формулы взяты из задачника А. С. Мищенко, Ю. П. Соловьева, А. Т. Фоменко [5].

$$\tt In[109]:=\\ \phantom{In}ClearAll[x, y, z, $\theta$, $\varphi$, f1, f2, f3, r];\\ \phantom{In}f1=[$\theta$\_, $\varphi$\_] :=\\ \phantom{Inf1}$\frac12$((2x$^2$ - y$^2$ - z$^2$)(x$^2$ + y$^2$ + z$^2$) + 2yz(y$^2$-z$^2$) + zx(x$^2$ - z$^2$) +\\ \phantom{In$\frac12$((}xy(y$^2$ - x$^2$)) /. \{x $\to$ Cos[$\theta$] Cos[$\varphi$], y $\to$ Cos[$\theta$]Sin[$\varphi$],\\ \phantom{In$\frac12$}z $\to$ Sin[$\theta$]\};\\ \phantom{In}f2[$\theta$\_, $\varphi$\_] :=\\ \phantom{Inf2}$\frac{\sqrt{3}}{2}$((y$^2$ - z$^2$) (x$^2$ + y$^2$ + z$^2$) + zx(z$^2$ - x$^2$) + xy(y$^2$ - x$^2$)) /.\\ \phantom{Inf2[}\{x $\to$ Cos[$\theta$] Cos[$\varphi$], y $\to$ Cos[$\theta$] Sin[$\varphi$], z $\to$ Sin[$\theta$]\};\\ \phantom{In}f3[$\theta$\_, $\varphi$\_] := (x + y + z) ((x + y + z)$^3$ + 4(y-x) (z-y) (x-z)) /.\\ \phantom{Inf3[}\{x $\to$ Cos[$\theta$ Cos[$\varphi$], y $\to$ Cos[$\theta$]Sin[$\varphi$], z $\to$ Sin[$\theta$]\};\\ \phantom{In}r[$\theta$\_, $\varphi$\_] := \{f1[$\theta$, $\varphi$], f2[$\theta$, $\varphi$], 0.1f3[$\theta$, $\varphi$]\};$$

Сначала нарисуем эту сложную самопересекающуюся поверхность, разрезая ее на горизонтальные слои и выбрасывая каждый второй, чтобы можно было лучше рассмотреть самопересечения. Это делается с помощью опций $$\text{\tt MeshFunctions}$$ (устанавливается в функцию от стандартных переменных), $$\text{\tt MeshShading}$$ (определяет, что рисовать между $$\text{\tt Mesh}$$ - линиями, присваивается список (списки) циклически повторяющихся директив; $$\text{\tt None}$$ соответствует "ничего не рисованию") и $$\text{\tt Mesh}$$ или количество равномерно распределенных линий, или явные значения $$\text{\tt MeshFunction}$$.

$$\tt In[114]:=\\ \phantom{In}ParametricPlot3D[r[$\theta$, $\varphi$], \{$\theta$, -$\pi$/2, $\pi$/2\}, \{$\varphi$, 0, $\pi$\},\\ \phantom{InP}MeshFunctions $\to$ \{\#3 \\},\\ \phantom{InP}MeshShading $\to$ \phantom{InPa}\{Directive[\{Orange, Opacity[0.9], Specularity[White, 2]\}],\\ \phantom{InPar}None\}, PlotPoints $\to$ 30,\\ \phantom{InP}Mesh $\to$ \{\{-0.05, 0.05, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4\}\}]$$

Выделить наиболее сложный фрагмент поверхности можно с помощью опции $$\text{\tt RegionFunction}$$:

$$\tt In[115]:=\\ \phantom{In}ParametricPlot3D[r[$\theta$, $\varphi$], \{$\theta$, -$\pi$/2, $\pi$/2\}, \{$\varphi$, 0, $\pi$ \},\\ \phantom{InP}PlotStyle $\to$ Directive[\{Orange, Opacity[0.9]\}], Mesh $\to$ None, \\ \phantom{InP}PlotPoints $\to$ 30,\\ \phantom{InP}RegionFunction $\to$ Function[\{x, у, z\}, 0.05 < z < 0.2], \\ \phantom{InP}Boxed $\to$ False, Axes $\to$ None]$$

Координатные линии на поверхности, соответствующие параметризации, можно увидеть, сменив $$\text{\tt MeshFunctions}$$. Заодно разрежем поверхность в шахматном порядке:

$$\tt In[116]: = \phantom{In}ParametricPlot3D[r[$\theta$, $\varphi$], \{$\theta$, -$\pi$/2, $\pi$/2\}, \{$\varphi$, 0, $\pi$\},\\ \phantom{InP}MeshFunctions $\to$ \{\#4 \, \#5 \\},\\ \phantom{InP}MeshShading $\to$ \phantom{InPa}\{\{Directive[\{Orange, Opacity[0.9], Specularity[White, 2]\}],\\ \phantom{InPara}None\},\\ \phantom{InPar}\{None, Directive[$\setminus$\{Orange, Opacity[0.9],\\ \phantom{InParame}Specularity[White, 2]\}]\}\}, PlotPoints $\to$ 30,\\ \phantom{InP}PlotStyle $\to$ \{Opacity[0.5]\},\\ \phantom{InP}MeshStyle $\to$ \{\{Thick, Red\}, \{Thick, Brown\}\}]$$

Наконец, чтобы лучше себе представить параметризацию, выбросим края параметризующего прямоугольника. Граница выделяется с помощью опции $$\text{\tt BoundaryStyle}$$:

$$\tt In[117]:=\\ \phantom{In}ParametricPlot3D[r[$\theta$, $\varphi$], \{$\theta$, -$\pi$/2 + 0.1, $\pi$/2 - 0.1\}, \\ \phantom{InP}\{$\varphi$, 0.1, $\pi$ - 0.1\}, MeshFunctions $\to$ \{\#4 \, \#5 \\}, PlotPoints $\to$ 30,\\ \phantom{InP}PlotStyle $\to$ \{Orange, Opacity[0.9], Specularity[White, 2]\},\\ \phantom{InP}BoundaryStyle $\to$ \{Red, Thick\}]$$

Нарисуем теперь отдельно вырезанный фрагмент. Каждый кусочек нарисуем отдельно, не выводя на экран, не забыв сделать одинаковыми изображаемые области с помощью $$\text{\tt PlotRange}$$:

$$\tt In[118]:=\\ \phantom{In}gr=\{ParametricPlot3D[r[$\theta$, $\varphi$], \{$\theta$, - $\pi$/2, - $\pi$/2 + 0.1\},\\ \phantom{Ingr=}\{$\varphi$, 0, $\pi$\}, BoundaryStyle $\to$ \{Red, Thick\}, Mesh $\to$ None,\\ \phantom{Ingr=}PlotRange $\to$ 1.2], ParametricPlot3D[r[$\theta$, $\varphi$],\\ \phantom{Ingr=}\{$\theta$, $\pi$/2 - 0.1, $\pi$/2\}, \{$\varphi$, 0, $\pi$\}, BoundaryStyle $\to$ \{Red, Thick\},\\ \phantom{Ingr=}Mesh $\to$ None, PlotRange $\to$ 1.2],\\ \phantom{Ingr}ParametricPlot3D[r[$\theta$, $\varphi$], \{$\theta$, - $\pi$/2, $\pi$/2\}, \{$\varphi$, 0, 0.1\},\\ \phantom{Ingr=}BoundaryStyle $\to$ \{Red, Thick\}, Mesh $\to$ None, PlotRange $\to$ 1.2],\\ \phantom{Ingr}ParametricPlot3D[r[$\theta$, $\varphi$], \{$\theta$, -$\pi$/2, $\pi$/2\}, \{$\varphi$, $\pi$ - 0.1, $\pi$\},\\ \phantom{Ingr=}BoundaryStyle $\to$ \{Red, Thick\}, Mesh $\to$ None, PlotRange $\to$ 1.2]\};$$

А теперь посмотрим все сразу с помощью $$\text{\tt Show}$$ и, окончательно, увидим лист Мебиуса, заклеивающий границу диска:

$$\tt In[119]:=Show[gr]$$

Покажем теперь, как можно раскрасить поверхность в соответствии с ее гауссовой кривизной. Сначала вычислим кривизну:

$$ In[120]:=\\ \phantom{In}ClearAll[r, к, u, v, norm, iiForm];\\ \phantom{In}iForm[r\_][u\_, v\_] := Module[\{ru, rv\},\\ \phantom{IniFo}ru = D[r[u, v], u]; rv = D[r[u, v], v];\\ \phantom{IniFo}$\begin{pmatrix} ru.ru ru.rv \\ ru.rv rv.rv \\ \end{pmatrix}$\\ \phantom{IniF}];\\ \phantom{In}norm[r\_][u\_, v\_] := Module[\{ru, rv, nn\},\\ \phantom{Innor}ru = D[r[u, v], u]; rv = D [r[u, v], v]; nn = Cross[ru, rv];\\ \phantom{Innor}$\frac{nn}{\sqrt{nn.nn}}$\\ \phantom{Inno}];\\ \phantom{In}iiForm[r\_][u\_, v\_] := Module[\{ruu, ruv, rw, n\},\\ \phantom{IniiF}n = norm[r][u, v];\\ \phantom{IniiF}ruu = D [r[u, v], u, u]; ruv = D[r[u, v], u, v];\\ \phantom{IniiF}rvv = D [r[u, v], v, v];\\ \phantom{IniiF}$\begin{pmatrix} ruu.n ruv.n \\ ruv.n rw.n \end{pmatrix}$\\ \phantom{Inii}];\\ \phantom{In}k[r\_][u\_, v\_] := $\frac{\text{Det}[\text{iiForm}[r][u,v]]}{\text{Det}[\text{iForm}[r][u,v]]}$; $$

Параметризуем тор:

$$\tt In[125]:=\\ \phantom{In}ClearAll[R, r, $\varphi$, $\psi$, torus, g, kMax, kMin, kRescaled];\\ \phantom{In}res=$\begin{pmatrix} \text{Cos}[\varphi] \text{-Sin}[\varphi] 0\\ \text{Sin}[\varphi] \text{Cos}[\varphi] 0\\ 001 \end{pmatrix}$.(\{0, R, 0\} + \{0, rCos[$\psi$], rSin[$\psi$]\})\\ \phantom{Inres}Simplify;\\ \phantom{In}R = 3; r = 1; \\ \phantom{In}torus[$\varphi$\_, $\psi$\_] := \{-(R + rCos[$\psi$]) Sin[$\varphi$], Cos[$\varphi$](R + rCos[$\psi$]),\\ \phantom{Inres}RSin[$\psi$]\}; \end{pmatrix}$$

Масштабируем кривизну так, чтобы она принимала значения от 1 до 1/2:

$$\tt In[129]:=g[u\_, v\_]=k[torus][u, v] // Simplify;\\ \phantom{In[129]:=}kMax = Maximize[g[u, v], \{u, v\}][\!\![1]\!\!];\\ \phantom{In[129]:=}kMin = Minimize[g[u, v], \{u, v\}][\!\![1]\!\!];\\ \\ In[132]:=kRescaled[u\_, v\_] := $\frac{g[u,v]\text{-kMin}}{1.2(\text{kMax-kMin})}$; $$

Теперь раскрашиваем тор с помощью ColorFunction:

$$\tt In[133]:=ParametricPlot3D[torus[$\varphi$, $\psi$], \{$\varphi$, 0, 2$\pi$\}, \{$\psi$, 0, 2$\pi$\},\\ \phantom{In[133]:=P}Boxed $\to$ False, Axes $\to$ False,\\ \phantom{In[133]:=P}ColorFunction $\to$ Function[\{x, y, z, u, v\},\\ \phantom{In[133]:=PCo}Hue[kRescaledfu, v]]], ColorFunctionScaling $\to$ False,\\ \phantom{In[133]:=P}Mesh $\to$ None]$$

или седловую поверхность:

$$\tt In[134]:=\\ \phantom{In}sadd[x\_, y\_] := \{x, y, x$^2^ - y$^2$};\\ \phantom{In}kM[x\_, y\_] := k[sadd][x, y] // Simplify;\\ \phantom{In}kMax = Maximize[kM[u, v], u$^2$ + v$^2$ $\le$ 2, \{u, v\}][\!\![1]\!\!];\\ \phantom{In}kMin = Minimize[kM[u, v], \{u, v\}][\!\![1]\!\!];\\ \phantom{In}kRes[u\_, v\_]=$\frac{\text{kM}[u,v]-\text{kMin}}{1.4 (\text{kMax-kMin})}$;\\ \phantom{InP}ParametricPlot3D[sadd[x, y], \{x, -2, 2\}, \{y, -2, 2\},\\ \phantom{InP}Boxed $\to$ False, Axes $\to$ False,\\ \phantom{InP}RegionFunction $\to$ Function[\{x, у, z, u, v\}, (x$^2$ + y$^2$ < 1/2)],\\ \phantom{InP}ColorFunction $\to$ Function[\{x, y, z, u, v\}, Hue[kRes[х, y]]],\\ \phantom{InP}ColorFunctionScaling $\to$ False, Mesh $\to$ False,\\ \phantom{InP}BoundaryStyle $\to$ \{Thick, Blue\}]$$

Поверхности уровня удобно рисовать с помощью $$\text{\tt ContourPlot3D}$$, в аргументах которой указывается функция, интервалы значения переменных, какие (или сколько именно) значения функции рисовать ($$\text{\tt Contours}$$ приписывается количество значений или их список), директивы, описывающие, как именно рисовать поверхности ($$\text{\tt ConourStyle}$$ приписывается список директив)):

$$\tt In[140]:=\\ \phantom{In}ContourPlot3D[x$^2$ + у$^2$ - z$^2$, \{x, -2, 2\}, \{у, -2, 2\}, \{z, -2, 2\},\\ \phantom{InC}Contours $\to$ \{-1, 0, 1\},\\ \phantom{InC}ContourStyle $\to$ Мар[\{\#, Opacity[0.5]\} \, \{Blue, Red, Yellow\}],\\ \phantom{InC}Mesh $\to$ None, RegionFunction $\to$ (\#1$^2$ + \#2$^2$ < 2 \)] $$

Следующие команды $$\text{\tt ListPlot3D, ListPointPlot3D, ListSurfacePlot3D}$$ служат для визуализации дискретных наборов чисел:

$$\tt In[141]:=\{ListPlot3D[\{\{l, 2, 3, 4\}, \{1, 1, 1, 1\}, \{4, 3, 2, 1\},\\ \phantom{In[141]:=\{Li}\{4, 4, 4, 4\}\}, Mesh $\to$ All],\\ \phantom{In[141]:=\{}ListPlot3D[\{\{l, 2, 3, 4\}, \{1, 1, 1, 1\}, \{4, 3, 2, 1\},\\ \phantom{In[141]:=\{Li}\{4, 4, 4, 4\}\}, Mesh $\to$ None, InterpolationOrder $\to$ 0],\\ \phantom{In[141]:=\{}ListPlot3D[\{\{l, 2, 3, 4\}, \{1, 1, 1, 1\}, \{4, 3, 2, 1\},\\ \phantom{In[141]:=\{Li}\{4, 4, 4, 4\}\}, Mesh $\to$ None, InterpolationOrder $\to$ 3]\}$$ $$\tt In[142]:=\\ \phantom{In}\{ListPointPlot3D[Table[i$^2$ - j$^2$, \{i, -1, 1, 0.1\},\\ \phantom{In\{Li}\{j, -1, 1, 0.1\}]],\\ \phantom{In\{}ListPointPlot3D[Table[i$^2$ - j$^2$, \{i, -1, 1, 0.1\}, \{j, -1, 1, 0.1\}],\\ \phantom{In\{L}Filling $\to$ Bottom]\}$$

Наконец, $$\text{\tt ListSurfacePlot3D}$$ служит для визуализации набора точек в пространстве:

$$\tt In[143]:=\\ \phantom{In}ListSurfacePlot3D[\\ \phantom{InL}Flatten[Table[\{i, j, i$^2$ - j$^2$\}, \{i, -1, 1, 0.1\}, \{j, -1, 1, 0.1\}],\\ \phantom{InLi}1]]$$

а команда $$\text{\tt RegionPlot3D}$$ - для изображения множеств, заданных неравенствами:

$$\tt In[144]:=RegionPlot3D[-1$\le$х$\le$1 \\ -1$\le$у$\le$1 \\ -0.2$\le$z$\le$0.2 \\\\ \phantom{In[144]:=Re}Not[-1/2$\le$х$\le$1/2 \\ -1/2$\le$у$\le$1/2], \{х, -2, 2\},\\ \phantom{In[144]:=R}\{у, -2, 2\}, \{z, -2, 2\}, Mesh $\to$ None, PlotPoints $\to$ 50,\\ \phantom{In[144]:=R}Axes $\to$ None, Boxed $\to$ False, PlotStyle $\to$ \{Pink\}]$$