Напомним, что f[x,y,...] - универсальный (канонический) вид выражения, где x, y,... могут быть выражениями или атомарными объектами (числами, символами, строками).
Последовательность аргументов x, y, ... называется Sequence.
In[1] :=f [Sequence [x,у,z] ] Out[1]=f[x,y,z] In[2]:=f [x, Sequence [y,z],w] Out[2] = f [x,y,z,w]
f называется заголовком ( Head ) выражения f[x, y, ...]. Заголовок f может быть как символом, так и более сложным выражением (в приведенных ниже примерах заголовки - это f[2] и (a+b) ):
In[3]:=f [2][х,у]
(а + Ь)[х]
Out[3] =f[2][х, у]
Out[4] =(а+b)[х]
Еще пример: заголовком является InterpolatingFunction[{{0.,3.}},<>] (команда First - взятие первого элемента списка):
In[5]:=
у/.First[NDSolve[{y''[х] == -у[х], у[0] == у'[0]==2} ,
y,{х,0,3}]]
f[x]
f[2.3]
Plot[f[x],{x,0,3}]
Out[5] =InterpolatingFunction [{{0.,3.}}, <>]
Out[6] =InterpolatinqFunction [{f0.,3.}}, <>][х]
Out[7] =0.158858
In[9] := Clear [f]
Команда FullForm позволяет представить выражение в каноническом виде:
Out[10] =
Times[Power[
Plus[a,Power[Plus [b, Times[-1, c]],Rational[1, 2]]],
-1],Plus[x,y,Times[-1,w,z]]]
Выражения имеют структуру дерева:
$$In[11]:= TreeForm[\frac{x+y-zw}{a+(b-c))^{\frac12}}] $$
Список, как частный случай выражения, тоже имеет структуру дерева:
In[12]:=TreeForm[{a,{b,с},d}]
Если в одной скобке стоит последовательность выражений $$expr_1; expr_2; \dots$$, разделенных точкой с запятой, то на самом деле там имеется одно выражение $$CompoundExpression[expr_1; expr_2; \dots ] $$ . Например, последовательность выражений
In[13]:=х=2; у=х2;
y
0ut[14]=4
представляет собой одно выражение
In[15]:=CompoundExpression[х=2,у=х2,у] Out[15]=4 In[16]:=Clear[x,у]
Каждое выражение разбито на уровни. Посмотреть на них можно с помощью команды Level[expr,levelspec], где levelspec описывает интересующие уровни:
$$In[18]:= Table [Level \left [ \frac{x+y-zw}{a+(b-c)^{\frac 12}} , \{i\}\right ], \{i, 0, 7\}]\\
Out[18] =\\
\left \{ \left \{ \frac{x+y-wz}{a+\sqrt{b-c}}\right \},\left \{ \frac{1}{a+\sqrt{b-c}}, x+y-wz \right \}, \{a+\sqrt{b-c}, -1 x, y, -wz\},\\
\begim{matrix}
\{a, \sqrt{b-c}, -1, w,z\}, \{b-c, \frac 12\}, \{b, -c\}, \{-1, c\}, \{\}\}
\end{matrix}$$levelspec ={n} - только n -й уровень (нулевой уровень - само выражение):
levelspec = n - все уровни от 1-го до n -го (нулевой уровень не включен):
levelspec = {n, m} - уровни с номерами между n и m:
levelspec = {n, Infinity} - уровни с номерами, не меньшими, чем n:
Заголовок выражения f[x, y, ...] - это f, заголовки атомарных объектов называются их типами.
In[23]:=Head[f [х, у] ] Out[23] = f In[24]: = Head[x + у] Out[24] = Plus
Типы атомарных объектов:
Integer ;Rational ;Real ;Complex ;Symbol ;String.In[25]:= {Head[l] , FullFormfl]}
{Head[l/2], FullForm[l / 2] }
{Head[l.l], FullForm[l.l] }
{Head[l + i], FullForm[l+ i]}
{Head[x], FullForm[x]}
{Head["abc"], FullForm["abc"]}
Out[25]= {Integer, 1}
Out[26]= {Rational, Rational [1, 2]}
Out[27]= {Real, 1.1'}
Out[28] = {Complex, Complex[l, 1]}
Out[29] = {Symbol, x}
Out[30]= {String, "abc"}
Интересный пример. Сравните:
In[31] : = {Head [x + i] , FullForm [x + u] }
Out[31]= {Plus, Plus [Complex [0, 1], x] }
Замена заголовка. Осуществляется командой Apply или @@:
In[32]: = Apply[g, f[x,у]]
Out[32] = g[x, у]
In[33]: = Head[{a,b,с,d}]
Out[33] = List
In[34]: = Apply[Plus,{a,b,c,d}]
Out[34] =a+b+c+d
In[35]:=Plus@@{a,b,c,d}
Out[35] = a + b + с + d
Команда Apply не действует на атомарных объектах:
In[36]: = х = Apply [List, l] Out[36] = 1 In[37]: = Head[x] Out[37] = Integer In[38]: = х = Apply [List, 1/2] Out[38] = 1/2 In[39]:=Head[x] Out[39]= Rational In[40]: = x = . In[41]:=Head[x] Out[41] = Symbol
Важно уметь переходить от одного типа к другому.
Команда IntegerString[integer] преобразует целое число integer в строку (знак игнорируется):
In[42]:= IntegerString [25 361] // InputForm Out[42] = "25361"
Команда FromDigits[str] преобразует строку цифр в целое число, а также список цифр в целое число. Чтобы преобразовать число в список цифр, можно использовать команду IntegerDigits:
In[43] :=FromDigits ["43476"]
FromDigits[{5, 2, 3, 8}]
IntegerDigits[374 632]
Out[43] = 43476
Out[44] = 52 3 8
Out[45]={3, 7, 4, 6, 3, 2}
Команда ToString[expr] преобразует выражение expr в строку. При этом форму вывода form можно указать в качестве второго аргумента: ToString[expr,form]:
In[46] := ToString [x2]
ToString[x2] // InputForm
Out[46] = 2
Out[47] = "2\nx"
In[48]:=ToString [x2 , InputForm]
ToString[x2, InputForm] // InputForm
Out[48]=x^2
Out[49] ="х^2"
Команда ToExpression[str] преобразует строку в соответствующее выражение. Модифицированная команда ToExpression[str,form] преобразует строку в выражение, используя при этом правило вывода form:
In[50] := ToExpression [ "Sin [x] "] Out[50]= Sin [x] In[51] := ToExpression [ "sin (x) " , TraditionalForm] Out[51] = Sin [x] In[52] := ToExpression [ "\sin (x) ", TeXForm] Out[52] = Sin [x]
Команда Symbol[str] превращает строку в символ:
In[53]:= Symbol ["х"] Out[53]=x
Строка из 10 символов:
In[54] := Table [Symbol ["x" <> ToStringfi]] , {i, 10}]
Out[54]={xl, х2, хЗ, х4, х5, хб, х7, х8, х9, х10}
In[55] := Table [ToExpression ["х" <> ToString[i] ] , {i, 10}]
Out[55]={xl, x2, хЗ, х4, х5, хб, x7, x8, x9, x10}
Команда SymbolName[symbol] превращает символ symbol в строку - имя этого символа:
In[56] := SymbolName [х] // InputForm Out[56] = "x"
Доступ к фрагментам выражения осуществляется как к элементам списка (заголовок Head - нулевой элемент):
$$In[58]:=\left \{ \left ( \frac{x+y-zw}{a+(b-c)^{\frac 12}} \right ) [[0]], \left ( \frac{x+y-zw}{a+(b-c)^\frac12 \right )[[1]], \left ( \frac{x+y-zw}{a+(b-c)^\frac 12}\right ) [[2]],$$
$$\begin{matrix}
\left ( \frac{x+y-zw}{a+(b-c)^ \frac 12} \right ) [[3]] \right \}
\end{matrix}\\
Part::partw: Part\; 3\; of \frac{x+y-wz}{a+ \sqrt{b-c}} does\; not\; exist. >>\\$$
$$Out[58] = \left \{Times, \frac{1}{a+ \sqrt{b-c}}, x+y-zw, \frac{x+y-zw}{a+ \sqrt{b-c}} [[3]] \right \}$$
$$In[59]:=TreeForm \left [ \left ( \frac{x+y-zw}{a+(b-c)^{\frac 12}} \right ) [[2]] \right ]$$
$$In[60]:=\left \{ \left ( \frac{x+y-zw}{a+(b-c)^{ \frac 12} \right ) [[2,1]], \left ( \frac{x+y-zw}{a+(b-c)^{\frac 12}} \right )[[2,2]], \left ( \frac{x+y-zw}{a+(b-c)^{\frac 12}} \right ) [[2,3]],\\
\begin{matrix}
\left ( \frac {x+y-zw}{a+(b-c)^{\frac 12}} \right ) [[2,4]] \right \}\\
\end{matrix}
$$Patt::partw: Part 4 of x + y-wz does not exist. >>$$Out[60]=\left \{x, y, -wz, \frac{x+y-zw}{a+\sqrt {b-c}} [[2, 4]] \right \}$$
Полное имя каждого объекта состоит из двух частей: контекста ( context ) и короткого имени ( short name ). Полное имя объекта пишется в следующем виде: context'short name. Обратная кавычка ' называется меткой контекста ( context mark ).
In[61] : = abc'x
abc'x =10
abc'х2
Out[6l]=abc'x
Out[62]=10
Out[63]=100
Символы с одинаковым именем, но разными контекстами - различны:
In[64]: = х == х
а'х==b'х
а'х==а'у
Out[64] =True
Out[65] =а'х==b'х
Out[66] =а'х==а'у
В каждый момент времени фиксирован так называемый текущий контекст, имя которого находится в переменной $Context:
In[67]:=$Context Out[67]=Global'
Объекты текущего контекста можно называть их короткими именами:
In[68]:=х==Global'х Out[68]=True
Контексты аналогичны директориям (папкам) с файлами:
In[69]:=a'b'x==а'с'х Out[69]=а'b'х==а'с'х
Отметим, что в момент запуска Mathematica устанавливается контекст Global'. Пользовательские символы относятся именно к этому контексту. Однако, скажем, Pi имеет контекст System'. Чтобы в этом убедиться, примените к Pi команду Context[]:
In[70]:= Context [x]
Context[Pi]
Out[70] = Global'
Out[71] = System'
В Mathematica реализована возможность пользоваться краткими именами объектов, относящихся к разным основным контекстам. Все такие контексты перечислены в списке $ContextPath. Полный список имеющихся контекстов можно получить, выполнив команду Contexts[]:
In[72]:=$ContextPath // InputForm
Out[72] =
{"PacletManager'", "WebServices'" , "System'", "Global'"}
Если в $ContextPath встречаются два контекста, содержащих один и тот же символ, скажем x, то при обращении к x он интерпретируется в соответствии с тем контекстом, который встречается первым в списке $ContextPath (все остальные одноименные символы "затеняются"):
In[73]:=$ContextPath={"а'","b'"}≈Join≈ $ContextPath
{а"х, b"х}
Context[x]
Out[73]=
{a", b', PacletManager', WebServices', System', Global'}
Out[74]={x,b'x]
Out[75]=a'
Таким образом, здесь x воспринимается как $$a'x$$. Если такой x больше не нужен, можно выполнить команду $$Remove[x] $$, и символ a'x будет уничтожен. Теперь x будет восприниматься как $$b'x$$:
In [76]:=Remove [x]
Context[x]
Out[77]=b'
In[78]:=Remove [x]
Context[x]
Out[79]=Global'
In[80]:=$ContextPath=Drop[$ContextPath,2]
Out[80]={PacletManager',WebServices',System',Global'}
Пакеты - расширения Mathematica, написанные на языке Mathematica и содержащие определения, которые "учат" Mathematica работать в соответствующих областях. Загрузить такой пакет можно командой <<package или Needs[package], где package имеет такой же формат, как context:
In[81]:=<< VectorAnalysis'
Одной из функций, реализованных в этом пакете, является вычисление дивергенции $$Div[\xi] $$ (в заданной координатной системе) или в координатной системе coorsystem с помощью команды $$Div[\xi, coorsystem] $$:
In[82] :=SetCoordinates [Cartesian [x, y, z] ]
(* задает текущую систему координат*)
Div[{x2,y2, z2}]
Out[82] = Cartesian [x, y, z]
Out[83] =2x+2y+2 z
In[84] :=SetCoordinates [Spherical [r, θ, ϕ] ]
Div[{r2, θ2, ϕ2}]
Out[84] = Spherical [r, θ, ϕ]
$$Out[85]=\frac{Csc[\theta] (2 r \varphi + r \theta^2 Cos [\theta] +4 r^3 Sin [\theta] +2 r \theta Sin [\theta]}{r^2}
$$In[86]: = CoordinateSystem
(*выдает название текущей системы координат *)
Div [{r2, ϕ2, z2},Cylindrical [r,ϕ, z] ]
Out[86] = Spherical
$$Out[87]=\frac{3r^2+2rz+2 \varphi}{r}
$$Текущий список загруженных пакетов присвоен переменной $Packages:
In[88]:=$Packages
Out[88] = {VectorAnalysis ', JLink',
PacletManager', WebServices', System', Global'}
Типичная ошибка при использовании пакета - попытка выполнить до его загрузки некоторую функцию f, короткое имя которой имеется у одной из функций пакета. Если такое произошло, то выполняемой функции автоматически присваивается контекст Global'. После загрузки пакета одноименная функция из этого пакета начинает затенять функцию Global 'f, о чем сообщается в диагностике. Если вам не нужна функция из пакета, а нужна определенная вами, выполните команду Remove[f] (см. выше).
Отличие << (или Get ) от Needs: команда Needs загружает пакет только если он еще не был загружен, что определяется по тому, есть ли его имя в списке $Packages или нет.
Команда Definition[x] или ?x выводит определения для x (команда ?x дает больше информации), заданные с помощью команд = и :=:
In[89]:=х=а-2;
x
Out|90]=-2+а
In[91]:=Definition [x]
Out[91] =
х=-2+а
In[92]:=?x
х=-2+а
In[93]:=Clear[x]
Definition[x]
Out[94]=Null
Продемонстрируем разницу между Unset ( =. ) и Clear (команда Unset работает только для выражения, точно соответствующего тому, которому присваивали; Clear работает для всех ассоциированных выражений):
In[95]:=f[x_]:=x2 ;
f[x_,y_]=x+y;
Definition[f ]
Out[97]=
f[x_]:=x2
f[x_,y_]=x+у
In[98]:=f=.
Definition[f ]
Out[99]=
f[x_]:=x2
f[x_,y_]=x+у
In[100]:=f[y_]=.
Definition[f]
Out[101]=
f[x_,y_]=x+y
In[102]:=f [x_]:=x2 ;
Definition[f ]
Out[103]=
f[x_,y_]=x+у
f[x_]:=x2
In[104]:=Clear[f ]
Definition[f]
Out[105]=Null
Шаблоны используются как для описания возможного вида аргументов функций, так и для выбора объекта из списка.
Шаблон "_" (Blank[]) указывает на любой объект. Шаблон "x_" - на любой объект, которому, для обращения к нему, присвоено имя x:
In[106]:=f [x_]:=х2
Шаблон "_h " - любой объект, имеющий заголовок h:
In[107]:=fint[x_Integer]:=х2
{fint[2],fint[l/2],fint[x]}
Out[108]={4,fint[1/2],fint[x]}
Шаблон "s:obj" - объекты вида obj, которым приписано имя s:
In[109]:=fobj[x:{-,-}]:=x[[l]]+x[[2]]
{fobj[{l,2}],fobj[{l,2,3}],fobj[x]}
Out[110]={3,fobj[{l,2,3}],fobj[x]}
Шаблон "_ _" ( BlankSequence[] ) - любая последовательность, состоящая из одного или более выражений:
In[111]:=fseq[x_]:={x}2
fseq[3]
fseq[3, 5]
Out[112]={9}
Out[113]= fseq[3, 5]
In[114]:=Clear [fseq]
fseq[x__]:={x}2
fseq[3]
fseq[3,5]
Out[116]={9}
Out[117]={9,25}
Шаблон "_ _ _" ( BlankNullSequence[] ) - любая последовательность, состоящая из нуля или более выражений (в приведенном ниже примере <> обозначает объединение (конкатенацию) строк, а ToString[expr] превращает выражение expr в соответствующую строку):
In[118]:=fnulseq[x___]:="число аргументов равно "<>
ToString[Length[{х}]]
fnulseq[]
fnulseq[3]
fnulseq[3,5]
Out[119] = число аргументов равно 0
Out[200] = число аргументов равно 1
Out[l2l] = число аргументов равно 2
Шаблон Repeated[p] или "p.." обозначает так называемую последовательность ( Sequence ) из одного или более аргументов, каждый из которых соответствует шаблону (Pattern) p. Шаблон RepeatedNull[p] или "p..." обозначает последовательность ( Sequence ) из нуля или более аргументов, каждый из которых соответствует шаблону (Pattern) p.
In[122]:=fpat[x:{_,_}..]:=Plus@@{х}
In[123]:=fpat[{xl,х2},{yl,у2},{zl,z2}]
Out[123]={xl+yl+zl,x2+y2+z2}
In[124]:=fpat[{xl,x2},y,{zl,z2}]
Out[124]=fpat[{xl,x2},y,{zl,z2}]
In[125]:=fpat[{xl,x2},{yl,y2},{{zll,zl2},z2}]
Out[125]={{xl+yl+zll,xl+yl+zl2},x2+y2+z2}
С помощью шаблона можно также описать, что делать, если аргумент функции отсутствует.
Шаблон "x_:v" - если аргумент пропущен, то его значение по умолчанию ( Default ) равно v. Шаблон "x_h:v" - то же с указанием типа.
Шаблон "x_." - если аргумент пропущен, то его значение по умолчанию ассоциировано с определяемой функцией, а именно, если имя этой функции f, то умолчание хранится в Default[f] (отметим, что Default[f] нужно задавать до определения функции):
In[126]:=f[x_; 10] := x2;
f[5]
f[5, 7]
f[]
Out[127] = 25
Out[128] = f [5, 7]
Out[129] = l00
In[130]:= Clear [f ]
Default[f] = 9;
f[x_.] : = x2;
f[5]
f[5, 7]
f[]
Out[133] = 25
Out[134] = f [5, 7]
Out[135] = 81
Команда Clear не очищает значение Default. Чтобы очистить его, воспользуйтесь либо Default[f] =., либо ClearAll[f] :
In[136]:=Clear[f]
Definition[f]
Out[137] =
Default[f]=9
In[138]:=Default[f] =.
Definition[f]
Out[139]=Null
In[140]:=Default[f]=9;
f[x_]:=x2 ;
Definition[f]
ClearAll[f];
Definition[f]
Out[142] =
f[x_]:=x2
Default[f]=9
Out[144]=Null
Выбор из списка объектов {e1,e2,...} по шаблону pattern можно осуществить с помощью команды Cases[{e1,e2,...},pattern]:
In[145]:=Cases [{l, {2, x2}, y3 , 2}, _^_]
Out[145]={y3}
Выбор из объектов {e1,e2,...} по шаблону pattern на уровнях, заданных levelspec, - командой Cases[{e1,e2,...},pattern,levelspec]:
In[146]:=Cases [{l, {2, x2}, у3, 2}, _^_, {2}]
Out[146]={x2}
Команда Cases[expr,pattern,levelspec] применима к произвольным выражениям expr:
In[147]:= Cases [fexp[l, {2, x2} , y3 , 2, g[y, z1/2]], _^_,
{0, Infinity}]
Out[147]={x2, y3, √z }
In[148] :=Clear [f, tint, fobj , fexp, fseq, fnulseq]
С опциями мы сталкивались выше, настраивая вид графики. Здесь мы разберемся с тем, как они устроены.
Каждому объекту s можно приписать опции rhs, выполнив команду Options[s] = rhs:
In[l49]:=Options[s]={a, b, c}
Out[149]={a, b, c}
Меняя Options, можно управлять процессом вычисления выражения. В приведенном ниже примере команда MemberQ[Options[s], a] проверяет, входит ли объект a в список Options[s] :
In[150]:=s[x_]:=If[MemberQ [Options [s], a] ,
Print["a входит в Options"],
Print["a HE входит в Options"]]
s[2]
а входит в Options
In[152]:= Options[s]={b,с};
s[2]
a HE входит в Options
У многих встроенных функций и констант имеются заранее заданные опции. Обычно они имеют вид правил $$lhs \to rhs$$. Чтобы посмотреть опции у объекта s, выполните команду Options[s]:
In[154]:=Options[Plot]
Out[154] =
{AlignmentPoint -> Center, AspectRatio -> 1/(GoldenRatio),
Axes -> True, AxesLabel -> None, AxesOrigin -> Automatic,
AxesStyle -> {}, Background -> None,
BaselinePosition -> Automatic, BaseStyle -> {},
ClippingStyle -> None, ColorFunction -> Automatic,
ColorFunctionScaling ->True, ColorOutput ->Automatic,
ContentSelectable -> Automatic,
CoordinatesToolOptions -> Automatic,
DisplayFunction : -> $DisplayFunction, Epilogs {},
Evaluated -> Automatic, EvaluationMonitor -> None,
Exclusions -> Automatic, ExclusionsStyle -> None,
Filling -> None, FillingStyle -> Automatic,
FormatType : -> TraditionalForm, Frame -> False,
FrameLabel -> None, FrameStyle -> {},
FrameTicks -> Automatic, FrameTicksStyle -> {},
GridLines -> None, GridLinesStyle -> {}, ImageMargins -> 0.,
ImagePadding -> All, ImageSize -> Automatic,
ImageSizeRaw -> Automatic, LabelStyle -> {},
MaxRecursion -> Automatic, Mesh -> None,
MeshFunctions -> {Bl }, MeshShading -> None,
MeshStyle -> Automatic, Method -> Automatic,
PerformanceGoal : -> $PerformanceGoal, PlotLabel -> None,
PlotPoints -> Automatic, PlotRange -> {Full, Automatic},
PlotRangeClipping -> True, PlotRangePadding -> Automatic,
PlotRegion -> Automatic, PlotStyle -> Automatic,
PreservelmageOptions -> Automatic, Prologs -> {},
RegionFunction -> (True s) , RotateLabel -> True,
Ticks -> Automatic, TicksStyle -> {},
WorkingPrecision -> MachinePrecision}
Чтобы посмотреть значение конкретной опции объекта s, выполните команду Options[s,name], где name - имя требуемой опции:
In[155]:=Options[Plot,Plotstyle]
Out[155]={PlotStyle -> Automatic}
In[156]:=Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,0,1}]
Чтобы изменить опции объекта s с именами name1, name2,..., выполните команду $$SetOptions[s, \{name1 \to values1, name2 \to value2, \dots \}]$$:
In[157]:=SetOptions [Plot, PlotStyle -> Dashing [{. 05 , .01}]];
Options[Plot, PlotStyle]
Out[158]={PlotStyle ->Dashing[{0.05,0.01}] }
In[159]:=Plot[{Sin[x], Cos[x]}, {x,0,1}]
In[160]:=SetOptions [Plot, PlotStyle -> abc] ;
Options[Plot, PlotStyle]
Plot[{Sin [x] , Cos[x]}, {x, 0, 1}]
Out[l6l]={PlotStyle -> abc}
Graphics: :gprim:
abc was encountered where a Graphics primitive or directive was expected. >>
Graphics: :gprim:
abc was encountered where a Graphics primitive or directive was expected. >>
Для опций, определенных в виде правил замены, имеются удобные способы их использования и изменения в пользовательских функциях. Выражение OptionsPattern[] используется в качестве последовательности опций OptionValue[name] - значение опции name (правая часть выражения $$name \to Rhs$$ ) из списка опций OptionsPattern[]:
In[16З]:=Clear[s]
Options[s]={u ->u0,v->v0};
s[x_,OptionsPattern[]]:=
{x,OptionValue[u],OptionValue[v]}
s[l]
s[l,u->4]
s[1,u->4,v->7]
s[l]
Out[166]={1, u0, v0}
Out[167]={1, 4, v0}
Out[168]={1, 4, 7}
Out[169]={1, u0, v0}
Список OptionsPattern[s] позволяет использовать в качестве аргумента выражения f опции другого выражения s, не меняя при этом опции самого выражения f:
In[l70]:=f [x_, OptionsPattern[s]]:=
{х, OptionValue[u], OptionValue[v]}
Options[f]
Out[171]={}
In[172]:=f [1]
f [1, u -> 4]
f[l, u -> 4, v -> 7]
f[l]
Out[172]= {1, u0, v0}
Out[173]= {1, 4, v0}
Out[174]= {l, 4, 7}
Out[175]= {1, u0, v0}
Правила в опциях могут быть как в виде Rule (или $$lhs \to rhs$$ ), так и в виде RuleDelayed (или lhs :> rhs ). В этом примере значение опции с именем u равно 10 и не меняется при изменении х:
In[176]: = х = 10;
Options [s] = {u -> x, v -> v0};
s[l]
Out[179]= {1, 10, v0}
In[179]: = x = 8;
s[l]
Out[180]= {1, 10, v0}
А в этом примере значение опции с именем u равно текущему значению выражения x:
In[181]: = х = 12;
Options [s] = {u: -> x, v -> v0};
s[l]
Out[183] = {1, 12, v0}
In[184]:=x = 9;
s[l]
Out[185]= {1, 9, v0}
В этом примере значение опции с именем u также равно текущему значению выражения x:
In[186] := Clear [s, x]
Options [s] = {u -> x} ;
s[OptionsPattern[]] : = OptionValue[u]
s[]
s[u -> 1]
Out[189] = x
Out[190] = 1
In[191]:=x = 5;
s[]
Out[192] = 5
In[193]: = x = 7;
s[]
Out[194] = 7
Команда Clear[s] не очищает опции для s. Чтобы очистить s полностью, вместе с опциями (и еще некоторыми связанными с s объектами), воспользуйтесь командой ClearAll[s]:
In[195] := Clear [s, f]
Definition[s]
Out[196] =
Options [s] = {u -> 9}
In[197]:=ClearAll [s]
Definition[s]
Out[198]=Null
Атрибуты служат для задания некоторых специальных неявных свойств функций, таких как коммутативность ( Orderless ), ассоциативность ( Flat ) и другие. Имеется 19 типов возможных атрибутов (см. Help ). Посмотреть атрибуты объекта можно командой Attributes[x]:
In[199] : = Attributes [Plus]
Out[199]= {Flat, bistable, NumericFunction,
Oneldentity, Orderless, Protected}
Задать атрибуты для x можно так: Attributes[x] ={attr1, attr2, ...}:
In[200]:=С1еагА11 [f, x]
In[201]:=f [{1, 2, 3}]
Out[201] = f [{1, 2, 3}]
In[202]:=Attributes [f] = {Listable}
f [{1, 2, 3}]
Out[202]= {Listable}
Out[203] = { f [ 1 ] , f [2], f [3]}
Добавить атрибут attr для x можно командой SetAttributes[x,attr]:
In[204]:=f [f [x, y] , z]
Out[204] = f [f [x, y] , z]
In[205]:=SetAttributes[f, Flat]
f[f[x, y],z]
Out[206] = f [x, y, z]
Удалить атрибут attr из списка атрибутов объекта x можно командой ClearAttributes[x, attr]:
In[207]:=ClearAttributes [f, Flat]
f[f[x, y], z]
Out[208] = f [f [x, y] , z]
Полный список атрибутов символов в пакете Mathematica:
Orderless - коммутативность функции:
In[209]:=f [х, у] == f [у, х]
Out[209] = f [x, у] ==f[y, x]
In[210] := SetAttributes [f, Orderless]
f [х, у] == f[y, x]
Out[211] = True
In[212]:=f [f [x, y] , z]
Out[212] = f [z, f [x, y] ]
Flat - "обобщенная" ассоциативность функции (обобщенная в том смысле, что f[f[...[x]]] отождествляется с f[x] ):
In[213]:=f [f [х, у] , z]
f[f[f[x]]]
Out[213] = f [z, f [x, y] ]
Out[214] = f [f [f [x] ] ]
In[215] := SetAttributes [f, Flat]
f[f[f[x]]]
f[f[x, y], z]
Out[216] = f [x]
Out[217] = f [x, y, z]
In[2l8]:= {f [f [a, a, a] , a] , f [f [f [a] , f [a] , f [a]] , a]}
Out[218] = {f [a, a, a, a], f[a, a, a, a]}
Проиллюстрируем особенности взаимодействия функции с атрибутами Flat и Orderless и замены:
In[219]:= f [a, b, с, d, e] /. f[b, с, d] -> х Out[219] = f[a, e, x]
Здесь сначала f[a, b, c, d, e] отождествляется с f[a, f[b, c, d], e] и после делается замена. Аргументы x и e в результирующем выражении переставлены в силу коммутативности.
Еще пример:
In[220]:= f [а, Ь, с, d, e] /. f[b, с, d] -> f[x, у] Out[220] = f [a, e, х, у]
Здесь после замены f[a, b, c, d, e] на f[a, f[x, y], e] последнее выражение отождествляется с f[a, x, y, e].
OneIdentity - наличие этого атрибута приводит к тому что выражение f[f[...f[a]]] заменяется на a внутри другой функции. Работает обычно совместно с атрибутом Flat.
In[221]:= SetAttributes[f, Flat]
f [a, a, a, a] /. f[x_, x_, x_] -> g[x]
Out[222] = f [a, g[f [a] ] ]
In[223]:= f [a, b, c, d] /. f [x_, y_, z_] -> g[z]
Out[223] = g[f [c, d] ]
In[224] : = Attributes [f ]
Out[224]= {Flat, bistable, Orderless}
В предыдущем примере атрибут Flat позволяет отождествить выражение f[a, a, a, a] с обоими выражениями: как с f[f[a, a, a], a], так и с f[f[f[a], f[a], f[a]], a]. Если нет атрибута OneIdentity, то происходит отождествление с f[f[f[a], f[a], f[a]], a], таким образом, внутренняя функция f[f[a], f[a], f[a]] заменяется, в итоге, по правилу f[x_, x_, x_] \to g[x] на g[f[a]]:
In[225] := SetAttributes [f, Oneldentity]\\
f [a, a, a, a] /. f[x_, x_, x_] -> g[x]
Out[226] = f [ a, g [ a ] ]
Теперь установлен атрибут OneIdentity, поэтому выбирается отождествление с f[f[a, a, a], a], что приводит к замене f[a, a, a] на g[a].
Listable - функция, примененная к списку, автоматически применяется к каждому аргументу списка:
In[227]:=f [{1, 2, 3}]
Out[227]= { f [ 1 ] , f [2], f [3]}
In[228] := SetAttributes [f, bistable]
f [{1, 2, 3}]
Out[229] ={ f [ 1 ] , f [ 2 ] , f [ 3 ] }
Constant - все производные функции равны нулю:
In[230]:=Dt[f]
Out[230] = Dt [f ]
In[231]:= SetAttributes [f, Constant]
Dt[f]
Dt[f g]
Out[232] = 0
Out[233] = f Dt [g]
In[234] : = Attributes [π]
Dt[π]
Out[234]= {Constant, Protected, ReadProtected}
Out[235] = 0
NumericFunction - предполагается, что функция принимает числовые значения при условии, что ее аргументы - числа. В приводимом ниже примере NumericQ[expr] дает True, если выражение expr числовое, и False в противном случае:
In[236]: = NumericQ[f [x] ]
NumericQ[f[2]]
Out[236] = False
Out[237] = False
In[238] := SetAttributes [f, NumericFunction]
NumericQ[f[x]]
NumericQff[2]]
Out|239] = False
Out[240] = True
Protected - определения функции не могут изменяться:
In[241]:=f [х_] := х2
f[2] SetAttributes [f, Protected]
Out[242] = 4
In[244]:=f [x_] : = x3
f[2]
SetDelayed::write: Tag f in f[x_] is Protected. >>
Out[244] = $ Failed
Out[245] = 4
In[246]:=ClearAttributes [f, Protected] ;
f [x_] : = x3
f[2]
Out[248] = 8
Locked - атрибуты функции не могут изменяться до конца текущей сессии Mathematica. Использование одновременно Protected и Locked запрещает менять функцию до конца сессии:
In[249] := SetAttributes [f, Locked]
ClearAttributes[f, Locked]
Attributes::locked: Symbol f is locked. >>
ReadProtected - определение функции скрыто:
In[251]:=g[x_] := x2
?g
g g[x_] := x2
In[253]:=g[x_] := x2
SetAttributes[g, ReadProtected]
?g
Attributes[g] = {ReadProtected}
In[256]:=g[x_] := x3
?g
Attributes[g] = {ReadProtected}
In[258]:= ClearAttributes [g, ReadProtected]
?g
g[x_] := x3
HoldFirst - первый аргумент функции не вычисляется:
In[260]:= SetAttributes [h, HoldFirst]
h[l + 1, 2+2, 3 + 3]
Out[261] =h[l + 1, 4, 6]
В следующем примере ошибка возникает из-за того, что аргумент х сначала вычисляется, а потом уже обрабатывается функцией g. Поэтому происходит попытка присвоить числу 17 значение 25. Этой ошибки можно избежать с помощью атрибута HoldFirst:
In[262]:=g[sym_, val_] := (sym=val^2)
x = 17;
g[x, 5]
x
Set::setraw: Cannot assign to raw object 17.<<
Out|264] = 25
Out[265] = 17
In[266]:=SetAttributes [g, HoldFirst] ;
g[x, 5]
x
Out[267] = 25
Out[268] = 25
Аргумент все-таки можно вычислить, если применить к нему функцию Evaluate:
In[269] :=h [Evaluate [1 + 1] , 2 + 2, 3 + 3] Out[269] = h [ 2 , 4, 6 ]
HoldRest - все аргументы функции, кроме первого, не вычисляются.HoldAll - все аргументы функции не вычисляются.HoldAllComplete - все аргументы функции не вычисляются ни при каких обстоятельствах, например, даже при применении функции Evaluate:
In[270] := SetAttributes [h, HoldAllComplete]
h[l + 1, 2 + 2, 3 + 3]
h [Evaluate [1 + 1] , 2 + 2 , 3 + 3]
Out[271] = h[l + 1, 2 + 2, 3 + 3]
Out[272] = h [Evaluate [1 + 1], 2 + 2, 3 + 3]
NHoldFirst - первый аргумент функции не подвергается обработке функцией N, переводящей числа в их приближенные десятичные записи.
В следующем примере вычисляется разложение в ряд Тейлора длины k для функции cos[x] в точке $$x_0$$, являющейся решением уравнения cos[x] = x. Решение этого уравнения находится с помощью функции FixedPoint[f,x], которая вычисляет значение f(f(… f(x))) до тех пор, пока оно не перестает меняться. Начальное значение x в рассматриваемом случае приходится задавать в виде десятичной дроби, иначе FixedPoint пытается все вычислять точно и не срабатывает. Тест ?InexactNumberQ как раз возвращает True, если его аргумент - десятичная дробь:
In[273] :=ff [k_Integer, х_?InexactNumberQ] : =
Module[{x0}, x0 = FixedPoint[Cos, х] ;
Series [Cos [t] , {t, x0 , k}] ] ;
gg[k_Integer, x_?InexactNumberQ] :=
Module[{x0}, x0 = FixedPoint[Cos, x] ;
Series[Cos[t] , {t, x0 , k} ] ] ;
SetAttributes[ff, NHoldFirst];
In[276]:={ff [2, 1.] , gg[2, 1.], ff[2, 1] , gg[2, 1]}
Out[276] =
{0.739085-0.673612 (t - 0 . 739085) -
0.369543 (t-0.739085)2+O[t-0.739085]3, 0.739085-
0.673612 (t - 0.739085) -0.369543 (t - 0.739085)2 +
0[t - 0.739085]3, ff[2, 1], gg[2, 1]}
Мы видим, что обе функции ff и gg работают, если их аргументы имеют правильный тип, и не работают, если второй аргумент - целое число. Можно попробовать исправить последнее, применив функцию N. Но тогда первый аргумент функции gg перестанет быть целым и она снова не сработает, а функция ff сработает, так как ее первый аргумент не обрабатывается функцией N благодаря установленному атрибуту NHoldFirst.
In[277]: = N@{ff [2, 1] , gg[2, 1]}
Out[277] =
{0.739085-0.673612 (t-0.739085) -
0.369543 (t - 0.739085) 2 + 0[t - 0.739085] 3, gg[2., 1 .] }
NHoldRest - все аргументы функции, кроме первого, не подвергаются обработке функцией N.NHoldAll - все аргументы функции не подвергаются обработке функцией N.SequenceHold - объекты типа "последовательность" ( Sequence ) не встраиваются в функцию.
In[278]:= hh[a, Sequence [b, с]]
Out[278] = hh [ a, b, с ]
In[279] := SetAttributes [hh, SequenceHold]
hh[a, Sequence[b, c] ]
Out[280]=hh [a, Sequence [b, c] ]
Temporary - локальная переменная уничтожается, как только перестает использоваться:
In[281]: = Module[{x} , Print [х] ; Attributes [x] ]
x$866
Out[281]= {Temporary}
Stub - признак того, что символ закреплен за некоторым пакетом Package, который автоматически загружается при явном использовании этого символа.Символы с атрибутом Stub создаются с помощью команды DeclarePackage[<пакет>,<имя или список имен>] >:
In[282] :=DeclarePaakage ["ErrorBarPlots' ", "ErrorListPlot"] Out[282] = ErrorBarPlots'
В результате символ ErrorListPlot получает контекст ErrorBarPlots, который становится первым в списке контекстов. Кроме того, если теперь будет выполнена функция с именем ErrorListPlot, то до ее вычисления с помощью функции Needs будет загружен пакет ErrorBarPlots:
In[283] : = Attributes ["ErrorListPlot"]
Out[283]= {Stub}
In[284] : =
ErrorListPlot[Table [ {i, RandomReal [0.5]} , {i, 10}]]
Можно также определить свою функцию, использующую функции из какого-нибудь (одного) пакета:
In[285]:=DeclarePackage["Combinatorica ' ", "tc"] ;
In[286] := tc [x_]: = ToCycles [x] ;
In[287]:=tc[{l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}]
Out[287] = { {1} , {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {10}}
In[288]:=ClearAll[ff, gg, g, h, hh, tc]
В пакете Mathematica предусмотрен механизм выведения сообщений при выполнении вычислений. Обычно это сообщения об ошибках и предупреждения. Имеется возможность приписывать сообщения любым символам. Чтобы приписать сообщение с именем tag символу symbol, выполните команду symbol::tag = "сообщение".
In[289]:=g: :lt = " Аргумент меньше нуля" Out[289] = Аргумент меньше нуля
Чтобы вывести сообщение, выполните команду Message[symbol::tag]:
In[290]:=Message[g: :lt]
g::lt: Аргумент меньше нуля
Теперь в определении функции можно задать вывод сообщения при выполнении некоторых условий:
In[291]: = g[x_] /; If[x < 0, Message [g: : lt] ; False, True] : = √x In[292]:=g[l] Out[292] = 1 In[293]:=g[-l]
g::lt: Аргумент меньше нуля
Out[293] = g [ - 1 ]
В сообщение можно вставить значение выражений expr1,expr2,..., выполнив команду Message[symbol::tag, expr1,expr2,...] , при этом ссылка на выражение expri внутри текста сообщения должна иметь вид 'i':
In[294] : =
gg[х_] / ; If [x < 0 , Message [gg: : It, х] ; False, True] := √x
gg::lt = "Аргумент '1' меньше нуля";
gg[-2]
gg::lt: Аргумент -2 меньше нуля
Out[296] = gg [-2]
Отключить сообщение можно командой Off[symbol : tag]:
In[297]:=Off [gg: :lt]
gg[-i]
Out[298]=gg [-1]
Включить сообщение можно командой On[symbol : tag]:
In[299]:=On[gg: :lt]
gg[-i]
gg::lt: Аргумент -1 меньше нуля
Out[300] = gg [-1]
Вывести список всех сообщений, приписанных символу symbol, можно выполнив команду Messages[symbol]:
In[301] :=Messages [gg]
Out[30l] = {HoldPattern[gg::It]: -> Аргумент '1' меньше нуля}
Встроенные функции, как правило, снабжены сообщениями о возможных ошибках. Например,
In[302]:=Sin[l,2,3]
Sin::argx: Sin called with 3 arguments; 1 argument is expected.>>
Out[302]= Sin[l, 2, 3]
Эти сообщения можно отключить командой Quiet, хотя правильней от этого программа не становится:
In[303]:=Quiet@Sin[l, 2, 3] Out[303] = Sin[l, 2, 3]
Список сообщений для встроенных функций загружается в Mathematica по мере необходимости. При этом сначала Mathematica ищет сообщение с указанным именем среди сообщений, приписанных обрабатываемой функции. Если его там нет, программа переходит к просмотру списка сообщений для встроенного символа General. Так, в нашем примере сообщение Sin::argx получено именно из списка General. У самой функции Sin список сообщений пуст.
In[304] :=Messages [Sin]
Out[304]={ }
In[305] := Style [Messages [General] , FontSize -> 6]
Out[305] =
{HoldPattern[General::appname]: -> The name '1' is not valid for the
application. A valid name smarts with a letter and is followed by lexers and digits.,
HoldPattern [General::argx]: -> '1' called with '2' arguments; 1 argument is expected.,
HoldPattern [Generall::bktwrn]: -> " '1' " represents multiplication; use " '2' "
to represent a function. '4',
HoldPattern[General:: catname]: -> The name '1' is not valid for the
category. A valid name starts with a letter and is followed by letters and digits.,
HoldPattern[General::file] : -> ' 2 ' was encountered where a '1' primitive or directive was expected.,
HoldPattern[General: :meprec] : -> Internal precision limit $MaxExtraPrecision = '1'
reached while evaluating '2'.,
HoldPattern [General: :multedge] : -> The input graph has multiple edges between some vertices. These
will be collapsed into single edges with weight equal to the sum of the individual edges.,
HoldPattern[General::newsym] : -> $off[], HoldPattern[General::nfunfail] : -> $off[],
HoldPattern[General: :nosite] :-> Site '1' is not an existing Paclet site.,
HoldPattern[General: :obsppkgfn]: -> $Off [] ,
HoldPattern[General::offline]: -> Mathematica is currently configured not to use the
Internet. To allow Internet use, check the "Allow Mathematica to use the Interne"
box in ohe Help > Internet Connectivity dialog., HoldPattern [General: : oldversion] :->
Connections to kernls older than Version 2.2 are not supported. This kernel is version '1'.,
HoldPattern [General::partw] : -> Part '1' of '2' does not exist.,
HoldPattern[General::pclt]: -> '1' does not refer to a known paclet.,
HoldPattern[General::pcltn] : -> No appropriate paclet with name '1' was found.,
HoldPattern[General::pcltni] : -> No appropriate paclet with name '1' is installed.,
HoldPattern[General::pcltnv]: -> No appropriate paclet with name '1' and version '2' was found.,
HoldPattern[General::pcltnvi] : -> No appropriate paclet with name '1' and version '2' is installed.,
HoldPattern[General::plnr]: -> $off[],
HoldPatern[General::pp3tr] : -> $off[], HoldPattern[General::pptr]: -> $off[],
HoldPattern[General::prefdir]: -> The preferences directory '1' cannot be created.,
HoldPattern[General::shdw]: -> Symbol '1' appears in multiple contexts '2'; definitions in
Context '3' may shadow or be shadowed by other definitions., HoldPatern[General::shdwcor]: ->
Symbol '1' defined in '2' already exists in '3'. Select the version you want to use: '4'.,
HoldPattern[General::spell]: -> $Off[], HoldPattern[General::spell]: -> $Off[],
HoldPattern[General::stop]: -> Further output of '1' will be suppressed during this calculation.,
HoldPattern[General::string]: -> String expected at position '1' in '2'.,
HoldPattern [General::stringopt]: -> '1' in '2' is not a string. All options to '3' must be strings.,
HoldPattern [General::sysmain]: -> Error loaning the main binary file '1'.
Get["sysmake.m"] must be run before continuing., HoldPattern[General::write]:
-> Tag '1' in '2' is Protected.,
HoldPattern[General::writewarn] : -> Defining rule for '1'.)
Напомним, что f[x,y,...] - универсальный (канонический) вид выражения, где x, y,... могут быть выражениями или атомарными объектами (числами, символами, строками).
Последовательность аргументов x, y, ... называется Sequence.
In[1] :=f [Sequence [x,у,z] ] Out[1]=f[x,y,z] In[2]:=f [x, Sequence [y,z],w] Out[2] = f [x,y,z,w]
f называется заголовком ( Head ) выражения f[x, y, ...]. Заголовок f может быть как символом, так и более сложным выражением (в приведенных ниже примерах заголовки - это f[2] и (a+b) ):
In[3]:=f [2][х,у]
(а + Ь)[х]
Out[3] =f[2][х, у]
Out[4] =(а+b)[х]
Еще пример: заголовком является InterpolatingFunction[{{0.,3.}},<>] (команда First - взятие первого элемента списка):
In[5]:=
у/.First[NDSolve[{y''[х] == -у[х], у[0] == у'[0]==2} ,
y,{х,0,3}]]
f[x]
f[2.3]
Plot[f[x],{x,0,3}]
Out[5] =InterpolatingFunction [{{0.,3.}}, <>]
Out[6] =InterpolatinqFunction [{f0.,3.}}, <>][х]
Out[7] =0.158858
In[9] := Clear [f]
Команда FullForm позволяет представить выражение в каноническом виде:
Out[10] =
Times[Power[
Plus[a,Power[Plus [b, Times[-1, c]],Rational[1, 2]]],
-1],Plus[x,y,Times[-1,w,z]]]
Выражения имеют структуру дерева:
$$In[11]:= TreeForm[\frac{x+y-zw}{a+(b-c))^{\frac12}}] $$Список, как частный случай выражения, тоже имеет структуру дерева:
In[12]:=TreeForm[{a,{b,с},d}]
Если в одной скобке стоит последовательность выражений $$expr_1; expr_2; \dots$$, разделенных точкой с запятой, то на самом деле там имеется одно выражение $$CompoundExpression[expr_1; expr_2; \dots ] $$ . Например, последовательность выражений
In[13]:=х=2; у=х2;
y
0ut[14]=4
представляет собой одно выражение
In[15]:=CompoundExpression[х=2,у=х2,у] Out[15]=4 In[16]:=Clear[x,у]
Каждое выражение разбито на уровни. Посмотреть на них можно с помощью команды Level[expr,levelspec], где levelspec описывает интересующие уровни:
$$In[18]:= Table [Level \left [ \frac{x+y-zw}{a+(b-c)^{\frac 12}} , \{i\}\right ], \{i, 0, 7\}]\\
Out[18] =\\
\left \{ \left \{ \frac{x+y-wz}{a+\sqrt{b-c}}\right \},\left \{ \frac{1}{a+\sqrt{b-c}}, x+y-wz \right \}, \{a+\sqrt{b-c}, -1 x, y, -wz\},\\
\begim{matrix}
\{a, \sqrt{b-c}, -1, w,z\}, \{b-c, \frac 12\}, \{b, -c\}, \{-1, c\}, \{\}\}
\end{matrix}$$levelspec ={n} - только n -й уровень (нулевой уровень - само выражение):
levelspec = n - все уровни от 1-го до n -го (нулевой уровень не включен):
levelspec = {n, m} - уровни с номерами между n и m:
levelspec = {n, Infinity} - уровни с номерами, не меньшими, чем n:
Заголовок выражения f[x, y, ...] - это f, заголовки атомарных объектов называются их типами.
In[23]:=Head[f [х, у] ] Out[23] = f In[24]: = Head[x + у] Out[24] = Plus
Типы атомарных объектов:
Integer ;Rational ;Real ;Complex ;Symbol ;String.In[25]:= {Head[l] , FullFormfl]}
{Head[l/2], FullForm[l / 2] }
{Head[l.l], FullForm[l.l] }
{Head[l + i], FullForm[l+ i]}
{Head[x], FullForm[x]}
{Head["abc"], FullForm["abc"]}
Out[25]= {Integer, 1}
Out[26]= {Rational, Rational [1, 2]}
Out[27]= {Real, 1.1'}
Out[28] = {Complex, Complex[l, 1]}
Out[29] = {Symbol, x}
Out[30]= {String, "abc"}
Интересный пример. Сравните:
In[31] : = {Head [x + i] , FullForm [x + u] }
Out[31]= {Plus, Plus [Complex [0, 1], x] }
Замена заголовка. Осуществляется командой Apply или @@:
In[32]: = Apply[g, f[x,у]]
Out[32] = g[x, у]
In[33]: = Head[{a,b,с,d}]
Out[33] = List
In[34]: = Apply[Plus,{a,b,c,d}]
Out[34] =a+b+c+d
In[35]:=Plus@@{a,b,c,d}
Out[35] = a + b + с + d
Команда Apply не действует на атомарных объектах:
In[36]: = х = Apply [List, l] Out[36] = 1 In[37]: = Head[x] Out[37] = Integer In[38]: = х = Apply [List, 1/2] Out[38] = 1/2 In[39]:=Head[x] Out[39]= Rational In[40]: = x = . In[41]:=Head[x] Out[41] = Symbol
Важно уметь переходить от одного типа к другому.
Команда IntegerString[integer] преобразует целое число integer в строку (знак игнорируется):
In[42]:= IntegerString [25 361] // InputForm Out[42] = "25361"
Команда FromDigits[str] преобразует строку цифр в целое число, а также список цифр в целое число. Чтобы преобразовать число в список цифр, можно использовать команду IntegerDigits:
In[43] :=FromDigits ["43476"]
FromDigits[{5, 2, 3, 8}]
IntegerDigits[374 632]
Out[43] = 43476
Out[44] = 52 3 8
Out[45]={3, 7, 4, 6, 3, 2}
Команда ToString[expr] преобразует выражение expr в строку. При этом форму вывода form можно указать в качестве второго аргумента: ToString[expr,form]:
In[46] := ToString [x2]
ToString[x2] // InputForm
Out[46] = 2
Out[47] = "2\nx"
In[48]:=ToString [x2 , InputForm]
ToString[x2, InputForm] // InputForm
Out[48]=x^2
Out[49] ="х^2"
Команда ToExpression[str] преобразует строку в соответствующее выражение. Модифицированная команда ToExpression[str,form] преобразует строку в выражение, используя при этом правило вывода form:
In[50] := ToExpression [ "Sin [x] "] Out[50]= Sin [x] In[51] := ToExpression [ "sin (x) " , TraditionalForm] Out[51] = Sin [x] In[52] := ToExpression [ "\sin (x) ", TeXForm] Out[52] = Sin [x]
Команда Symbol[str] превращает строку в символ:
In[53]:= Symbol ["х"] Out[53]=x
Строка из 10 символов:
In[54] := Table [Symbol ["x" <> ToStringfi]] , {i, 10}]
Out[54]={xl, х2, хЗ, х4, х5, хб, х7, х8, х9, х10}
In[55] := Table [ToExpression ["х" <> ToString[i] ] , {i, 10}]
Out[55]={xl, x2, хЗ, х4, х5, хб, x7, x8, x9, x10}
Команда SymbolName[symbol] превращает символ symbol в строку - имя этого символа:
In[56] := SymbolName [х] // InputForm Out[56] = "x"
Доступ к фрагментам выражения осуществляется как к элементам списка (заголовок Head - нулевой элемент):
$$In[58]:=\left \{ \left ( \frac{x+y-zw}{a+(b-c)^{\frac 12}} \right ) [[0]], \left ( \frac{x+y-zw}{a+(b-c)^\frac12 \right )[[1]], \left ( \frac{x+y-zw}{a+(b-c)^\frac 12}\right ) [[2]],$$
$$\begin{matrix}
\left ( \frac{x+y-zw}{a+(b-c)^ \frac 12} \right ) [[3]] \right \}
\end{matrix}\\
Part::partw: Part\; 3\; of \frac{x+y-wz}{a+ \sqrt{b-c}} does\; not\; exist. >>\\$$
$$Out[58] = \left \{Times, \frac{1}{a+ \sqrt{b-c}}, x+y-zw, \frac{x+y-zw}{a+ \sqrt{b-c}} [[3]] \right \}$$
$$In[59]:=TreeForm \left [ \left ( \frac{x+y-zw}{a+(b-c)^{\frac 12}} \right ) [[2]] \right ]$$
$$In[60]:=\left \{ \left ( \frac{x+y-zw}{a+(b-c)^{ \frac 12} \right ) [[2,1]], \left ( \frac{x+y-zw}{a+(b-c)^{\frac 12}} \right )[[2,2]], \left ( \frac{x+y-zw}{a+(b-c)^{\frac 12}} \right ) [[2,3]],\\
\begin{matrix}
\left ( \frac {x+y-zw}{a+(b-c)^{\frac 12}} \right ) [[2,4]] \right \}\\
\end{matrix}
$$Patt::partw: Part 4 of x + y-wz does not exist. >>$$Out[60]=\left \{x, y, -wz, \frac{x+y-zw}{a+\sqrt {b-c}} [[2, 4]] \right \}$$
Полное имя каждого объекта состоит из двух частей: контекста ( context ) и короткого имени ( short name ). Полное имя объекта пишется в следующем виде: context'short name. Обратная кавычка ' называется меткой контекста ( context mark ).
In[61] : = abc'x
abc'x =10
abc'х2
Out[6l]=abc'x
Out[62]=10
Out[63]=100
Символы с одинаковым именем, но разными контекстами - различны:
In[64]: = х == х
а'х==b'х
а'х==а'у
Out[64] =True
Out[65] =а'х==b'х
Out[66] =а'х==а'у
В каждый момент времени фиксирован так называемый текущий контекст, имя которого находится в переменной $Context:
In[67]:=$Context Out[67]=Global'
Объекты текущего контекста можно называть их короткими именами:
In[68]:=х==Global'х Out[68]=True
Контексты аналогичны директориям (папкам) с файлами:
In[69]:=a'b'x==а'с'х Out[69]=а'b'х==а'с'х
Отметим, что в момент запуска Mathematica устанавливается контекст Global'. Пользовательские символы относятся именно к этому контексту. Однако, скажем, Pi имеет контекст System'. Чтобы в этом убедиться, примените к Pi команду Context[]:
In[70]:= Context [x]
Context[Pi]
Out[70] = Global'
Out[71] = System'
В Mathematica реализована возможность пользоваться краткими именами объектов, относящихся к разным основным контекстам. Все такие контексты перечислены в списке $ContextPath. Полный список имеющихся контекстов можно получить, выполнив команду Contexts[]:
In[72]:=$ContextPath // InputForm
Out[72] =
{"PacletManager'", "WebServices'" , "System'", "Global'"}
Если в $ContextPath встречаются два контекста, содержащих один и тот же символ, скажем x, то при обращении к x он интерпретируется в соответствии с тем контекстом, который встречается первым в списке $ContextPath (все остальные одноименные символы "затеняются"):
In[73]:=$ContextPath={"а'","b'"}≈Join≈ $ContextPath
{а"х, b"х}
Context[x]
Out[73]=
{a", b', PacletManager', WebServices', System', Global'}
Out[74]={x,b'x]
Out[75]=a'
Таким образом, здесь x воспринимается как $$a'x$$. Если такой x больше не нужен, можно выполнить команду $$Remove[x] $$, и символ a'x будет уничтожен. Теперь x будет восприниматься как $$b'x$$:
In [76]:=Remove [x]
Context[x]
Out[77]=b'
In[78]:=Remove [x]
Context[x]
Out[79]=Global'
In[80]:=$ContextPath=Drop[$ContextPath,2]
Out[80]={PacletManager',WebServices',System',Global'}
Пакеты - расширения Mathematica, написанные на языке Mathematica и содержащие определения, которые "учат" Mathematica работать в соответствующих областях. Загрузить такой пакет можно командой <<package или Needs[package], где package имеет такой же формат, как context:
In[81]:=<< VectorAnalysis'
Одной из функций, реализованных в этом пакете, является вычисление дивергенции $$Div[\xi] $$ (в заданной координатной системе) или в координатной системе coorsystem с помощью команды $$Div[\xi, coorsystem] $$:
In[82] :=SetCoordinates [Cartesian [x, y, z] ]
(* задает текущую систему координат*)
Div[{x2,y2, z2}]
Out[82] = Cartesian [x, y, z]
Out[83] =2x+2y+2 z
In[84] :=SetCoordinates [Spherical [r, θ, ϕ] ]
Div[{r2, θ2, ϕ2}]
Out[84] = Spherical [r, θ, ϕ]
$$Out[85]=\frac{Csc[\theta] (2 r \varphi + r \theta^2 Cos [\theta] +4 r^3 Sin [\theta] +2 r \theta Sin [\theta]}{r^2}
$$In[86]: = CoordinateSystem
(*выдает название текущей системы координат *)
Div [{r2, ϕ2, z2},Cylindrical [r,ϕ, z] ]
Out[86] = Spherical
$$Out[87]=\frac{3r^2+2rz+2 \varphi}{r}
$$Текущий список загруженных пакетов присвоен переменной $Packages:
In[88]:=$Packages
Out[88] = {VectorAnalysis ', JLink',
PacletManager', WebServices', System', Global'}
Типичная ошибка при использовании пакета - попытка выполнить до его загрузки некоторую функцию f, короткое имя которой имеется у одной из функций пакета. Если такое произошло, то выполняемой функции автоматически присваивается контекст Global'. После загрузки пакета одноименная функция из этого пакета начинает затенять функцию Global 'f, о чем сообщается в диагностике. Если вам не нужна функция из пакета, а нужна определенная вами, выполните команду Remove[f] (см. выше).
Отличие << (или Get ) от Needs: команда Needs загружает пакет только если он еще не был загружен, что определяется по тому, есть ли его имя в списке $Packages или нет.
Команда Definition[x] или ?x выводит определения для x (команда ?x дает больше информации), заданные с помощью команд = и :=:
In[89]:=х=а-2;
x
Out|90]=-2+а
In[91]:=Definition [x]
Out[91] =
х=-2+а
In[92]:=?x
х=-2+а
In[93]:=Clear[x]
Definition[x]
Out[94]=Null
Продемонстрируем разницу между Unset ( =. ) и Clear (команда Unset работает только для выражения, точно соответствующего тому, которому присваивали; Clear работает для всех ассоциированных выражений):
In[95]:=f[x_]:=x2 ;
f[x_,y_]=x+y;
Definition[f ]
Out[97]=
f[x_]:=x2
f[x_,y_]=x+у
In[98]:=f=.
Definition[f ]
Out[99]=
f[x_]:=x2
f[x_,y_]=x+у
In[100]:=f[y_]=.
Definition[f]
Out[101]=
f[x_,y_]=x+y
In[102]:=f [x_]:=x2 ;
Definition[f ]
Out[103]=
f[x_,y_]=x+у
f[x_]:=x2
In[104]:=Clear[f ]
Definition[f]
Out[105]=Null
Шаблоны используются как для описания возможного вида аргументов функций, так и для выбора объекта из списка.
Шаблон "_" (Blank[]) указывает на любой объект. Шаблон "x_" - на любой объект, которому, для обращения к нему, присвоено имя x:
In[106]:=f [x_]:=х2
Шаблон "_h " - любой объект, имеющий заголовок h:
In[107]:=fint[x_Integer]:=х2
{fint[2],fint[l/2],fint[x]}
Out[108]={4,fint[1/2],fint[x]}
Шаблон "s:obj" - объекты вида obj, которым приписано имя s:
In[109]:=fobj[x:{-,-}]:=x[[l]]+x[[2]]
{fobj[{l,2}],fobj[{l,2,3}],fobj[x]}
Out[110]={3,fobj[{l,2,3}],fobj[x]}
Шаблон "_ _" ( BlankSequence[] ) - любая последовательность, состоящая из одного или более выражений:
In[111]:=fseq[x_]:={x}2
fseq[3]
fseq[3, 5]
Out[112]={9}
Out[113]= fseq[3, 5]
In[114]:=Clear [fseq]
fseq[x__]:={x}2
fseq[3]
fseq[3,5]
Out[116]={9}
Out[117]={9,25}
Шаблон "_ _ _" ( BlankNullSequence[] ) - любая последовательность, состоящая из нуля или более выражений (в приведенном ниже примере <> обозначает объединение (конкатенацию) строк, а ToString[expr] превращает выражение expr в соответствующую строку):
In[118]:=fnulseq[x___]:="число аргументов равно "<>
ToString[Length[{х}]]
fnulseq[]
fnulseq[3]
fnulseq[3,5]
Out[119] = число аргументов равно 0
Out[200] = число аргументов равно 1
Out[l2l] = число аргументов равно 2
Шаблон Repeated[p] или "p.." обозначает так называемую последовательность ( Sequence ) из одного или более аргументов, каждый из которых соответствует шаблону (Pattern) p. Шаблон RepeatedNull[p] или "p..." обозначает последовательность ( Sequence ) из нуля или более аргументов, каждый из которых соответствует шаблону (Pattern) p.
In[122]:=fpat[x:{_,_}..]:=Plus@@{х}
In[123]:=fpat[{xl,х2},{yl,у2},{zl,z2}]
Out[123]={xl+yl+zl,x2+y2+z2}
In[124]:=fpat[{xl,x2},y,{zl,z2}]
Out[124]=fpat[{xl,x2},y,{zl,z2}]
In[125]:=fpat[{xl,x2},{yl,y2},{{zll,zl2},z2}]
Out[125]={{xl+yl+zll,xl+yl+zl2},x2+y2+z2}
С помощью шаблона можно также описать, что делать, если аргумент функции отсутствует.
Шаблон "x_:v" - если аргумент пропущен, то его значение по умолчанию ( Default ) равно v. Шаблон "x_h:v" - то же с указанием типа.
Шаблон "x_." - если аргумент пропущен, то его значение по умолчанию ассоциировано с определяемой функцией, а именно, если имя этой функции f, то умолчание хранится в Default[f] (отметим, что Default[f] нужно задавать до определения функции):
In[126]:=f[x_; 10] := x2;
f[5]
f[5, 7]
f[]
Out[127] = 25
Out[128] = f [5, 7]
Out[129] = l00
In[130]:= Clear [f ]
Default[f] = 9;
f[x_.] : = x2;
f[5]
f[5, 7]
f[]
Out[133] = 25
Out[134] = f [5, 7]
Out[135] = 81
Команда Clear не очищает значение Default. Чтобы очистить его, воспользуйтесь либо Default[f] =., либо ClearAll[f] :
In[136]:=Clear[f]
Definition[f]
Out[137] =
Default[f]=9
In[138]:=Default[f] =.
Definition[f]
Out[139]=Null
In[140]:=Default[f]=9;
f[x_]:=x2 ;
Definition[f]
ClearAll[f];
Definition[f]
Out[142] =
f[x_]:=x2
Default[f]=9
Out[144]=Null
Выбор из списка объектов {e1,e2,...} по шаблону pattern можно осуществить с помощью команды Cases[{e1,e2,...},pattern]:
In[145]:=Cases [{l, {2, x2}, y3 , 2}, _^_]
Out[145]={y3}
Выбор из объектов {e1,e2,...} по шаблону pattern на уровнях, заданных levelspec, - командой Cases[{e1,e2,...},pattern,levelspec]:
In[146]:=Cases [{l, {2, x2}, у3, 2}, _^_, {2}]
Out[146]={x2}
Команда Cases[expr,pattern,levelspec] применима к произвольным выражениям expr:
In[147]:= Cases [fexp[l, {2, x2} , y3 , 2, g[y, z1/2]], _^_,
{0, Infinity}]
Out[147]={x2, y3, √z }
In[148] :=Clear [f, tint, fobj , fexp, fseq, fnulseq]
С опциями мы сталкивались выше, настраивая вид графики. Здесь мы разберемся с тем, как они устроены.
Каждому объекту s можно приписать опции rhs, выполнив команду Options[s] = rhs:
In[l49]:=Options[s]={a, b, c}
Out[149]={a, b, c}
Меняя Options, можно управлять процессом вычисления выражения. В приведенном ниже примере команда MemberQ[Options[s], a] проверяет, входит ли объект a в список Options[s] :
In[150]:=s[x_]:=If[MemberQ [Options [s], a] ,
Print["a входит в Options"],
Print["a HE входит в Options"]]
s[2]
а входит в Options
In[152]:= Options[s]={b,с};
s[2]
a HE входит в Options
У многих встроенных функций и констант имеются заранее заданные опции. Обычно они имеют вид правил $$lhs \to rhs$$. Чтобы посмотреть опции у объекта s, выполните команду Options[s]:
In[154]:=Options[Plot]
Out[154] =
{AlignmentPoint -> Center, AspectRatio -> 1/(GoldenRatio),
Axes -> True, AxesLabel -> None, AxesOrigin -> Automatic,
AxesStyle -> {}, Background -> None,
BaselinePosition -> Automatic, BaseStyle -> {},
ClippingStyle -> None, ColorFunction -> Automatic,
ColorFunctionScaling ->True, ColorOutput ->Automatic,
ContentSelectable -> Automatic,
CoordinatesToolOptions -> Automatic,
DisplayFunction : -> $DisplayFunction, Epilogs {},
Evaluated -> Automatic, EvaluationMonitor -> None,
Exclusions -> Automatic, ExclusionsStyle -> None,
Filling -> None, FillingStyle -> Automatic,
FormatType : -> TraditionalForm, Frame -> False,
FrameLabel -> None, FrameStyle -> {},
FrameTicks -> Automatic, FrameTicksStyle -> {},
GridLines -> None, GridLinesStyle -> {}, ImageMargins -> 0.,
ImagePadding -> All, ImageSize -> Automatic,
ImageSizeRaw -> Automatic, LabelStyle -> {},
MaxRecursion -> Automatic, Mesh -> None,
MeshFunctions -> {Bl }, MeshShading -> None,
MeshStyle -> Automatic, Method -> Automatic,
PerformanceGoal : -> $PerformanceGoal, PlotLabel -> None,
PlotPoints -> Automatic, PlotRange -> {Full, Automatic},
PlotRangeClipping -> True, PlotRangePadding -> Automatic,
PlotRegion -> Automatic, PlotStyle -> Automatic,
PreservelmageOptions -> Automatic, Prologs -> {},
RegionFunction -> (True s) , RotateLabel -> True,
Ticks -> Automatic, TicksStyle -> {},
WorkingPrecision -> MachinePrecision}
Чтобы посмотреть значение конкретной опции объекта s, выполните команду Options[s,name], где name - имя требуемой опции:
In[155]:=Options[Plot,Plotstyle]
Out[155]={PlotStyle -> Automatic}
In[156]:=Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,0,1}]
Чтобы изменить опции объекта s с именами name1, name2,..., выполните команду $$SetOptions[s, \{name1 \to values1, name2 \to value2, \dots \}]$$:
In[157]:=SetOptions [Plot, PlotStyle -> Dashing [{. 05 , .01}]];
Options[Plot, PlotStyle]
Out[158]={PlotStyle ->Dashing[{0.05,0.01}] }
In[159]:=Plot[{Sin[x], Cos[x]}, {x,0,1}]
In[160]:=SetOptions [Plot, PlotStyle -> abc] ;
Options[Plot, PlotStyle]
Plot[{Sin [x] , Cos[x]}, {x, 0, 1}]
Out[l6l]={PlotStyle -> abc}
Graphics: :gprim:
abc was encountered where a Graphics primitive or directive was expected. >>
Graphics: :gprim:
abc was encountered where a Graphics primitive or directive was expected. >>
Для опций, определенных в виде правил замены, имеются удобные способы их использования и изменения в пользовательских функциях. Выражение OptionsPattern[] используется в качестве последовательности опций OptionValue[name] - значение опции name (правая часть выражения $$name \to Rhs$$ ) из списка опций OptionsPattern[]:
In[16З]:=Clear[s]
Options[s]={u ->u0,v->v0};
s[x_,OptionsPattern[]]:=
{x,OptionValue[u],OptionValue[v]}
s[l]
s[l,u->4]
s[1,u->4,v->7]
s[l]
Out[166]={1, u0, v0}
Out[167]={1, 4, v0}
Out[168]={1, 4, 7}
Out[169]={1, u0, v0}
Список OptionsPattern[s] позволяет использовать в качестве аргумента выражения f опции другого выражения s, не меняя при этом опции самого выражения f:
In[l70]:=f [x_, OptionsPattern[s]]:=
{х, OptionValue[u], OptionValue[v]}
Options[f]
Out[171]={}
In[172]:=f [1]
f [1, u -> 4]
f[l, u -> 4, v -> 7]
f[l]
Out[172]= {1, u0, v0}
Out[173]= {1, 4, v0}
Out[174]= {l, 4, 7}
Out[175]= {1, u0, v0}
Правила в опциях могут быть как в виде Rule (или $$lhs \to rhs$$ ), так и в виде RuleDelayed (или lhs :> rhs ). В этом примере значение опции с именем u равно 10 и не меняется при изменении х:
In[176]: = х = 10;
Options [s] = {u -> x, v -> v0};
s[l]
Out[179]= {1, 10, v0}
In[179]: = x = 8;
s[l]
Out[180]= {1, 10, v0}
А в этом примере значение опции с именем u равно текущему значению выражения x:
In[181]: = х = 12;
Options [s] = {u: -> x, v -> v0};
s[l]
Out[183] = {1, 12, v0}
In[184]:=x = 9;
s[l]
Out[185]= {1, 9, v0}
В этом примере значение опции с именем u также равно текущему значению выражения x:
In[186] := Clear [s, x]
Options [s] = {u -> x} ;
s[OptionsPattern[]] : = OptionValue[u]
s[]
s[u -> 1]
Out[189] = x
Out[190] = 1
In[191]:=x = 5;
s[]
Out[192] = 5
In[193]: = x = 7;
s[]
Out[194] = 7
Команда Clear[s] не очищает опции для s. Чтобы очистить s полностью, вместе с опциями (и еще некоторыми связанными с s объектами), воспользуйтесь командой ClearAll[s]:
In[195] := Clear [s, f]
Definition[s]
Out[196] =
Options [s] = {u -> 9}
In[197]:=ClearAll [s]
Definition[s]
Out[198]=Null
Атрибуты служат для задания некоторых специальных неявных свойств функций, таких как коммутативность ( Orderless ), ассоциативность ( Flat ) и другие. Имеется 19 типов возможных атрибутов (см. Help ). Посмотреть атрибуты объекта можно командой Attributes[x]:
In[199] : = Attributes [Plus]
Out[199]= {Flat, bistable, NumericFunction,
Oneldentity, Orderless, Protected}
Задать атрибуты для x можно так: Attributes[x] ={attr1, attr2, ...}:
In[200]:=С1еагА11 [f, x]
In[201]:=f [{1, 2, 3}]
Out[201] = f [{1, 2, 3}]
In[202]:=Attributes [f] = {Listable}
f [{1, 2, 3}]
Out[202]= {Listable}
Out[203] = { f [ 1 ] , f [2], f [3]}
Добавить атрибут attr для x можно командой SetAttributes[x,attr]:
In[204]:=f [f [x, y] , z]
Out[204] = f [f [x, y] , z]
In[205]:=SetAttributes[f, Flat]
f[f[x, y],z]
Out[206] = f [x, y, z]
Удалить атрибут attr из списка атрибутов объекта x можно командой ClearAttributes[x, attr]:
In[207]:=ClearAttributes [f, Flat]
f[f[x, y], z]
Out[208] = f [f [x, y] , z]
Полный список атрибутов символов в пакете Mathematica:
Orderless - коммутативность функции:
In[209]:=f [х, у] == f [у, х]
Out[209] = f [x, у] ==f[y, x]
In[210] := SetAttributes [f, Orderless]
f [х, у] == f[y, x]
Out[211] = True
In[212]:=f [f [x, y] , z]
Out[212] = f [z, f [x, y] ]
Flat - "обобщенная" ассоциативность функции (обобщенная в том смысле, что f[f[...[x]]] отождествляется с f[x] ):
In[213]:=f [f [х, у] , z]
f[f[f[x]]]
Out[213] = f [z, f [x, y] ]
Out[214] = f [f [f [x] ] ]
In[215] := SetAttributes [f, Flat]
f[f[f[x]]]
f[f[x, y], z]
Out[216] = f [x]
Out[217] = f [x, y, z]
In[2l8]:= {f [f [a, a, a] , a] , f [f [f [a] , f [a] , f [a]] , a]}
Out[218] = {f [a, a, a, a], f[a, a, a, a]}
Проиллюстрируем особенности взаимодействия функции с атрибутами Flat и Orderless и замены:
In[219]:= f [a, b, с, d, e] /. f[b, с, d] -> х Out[219] = f[a, e, x]
Здесь сначала f[a, b, c, d, e] отождествляется с f[a, f[b, c, d], e] и после делается замена. Аргументы x и e в результирующем выражении переставлены в силу коммутативности.
Еще пример:
In[220]:= f [а, Ь, с, d, e] /. f[b, с, d] -> f[x, у] Out[220] = f [a, e, х, у]
Здесь после замены f[a, b, c, d, e] на f[a, f[x, y], e] последнее выражение отождествляется с f[a, x, y, e].
OneIdentity - наличие этого атрибута приводит к тому что выражение f[f[...f[a]]] заменяется на a внутри другой функции. Работает обычно совместно с атрибутом Flat.
In[221]:= SetAttributes[f, Flat]
f [a, a, a, a] /. f[x_, x_, x_] -> g[x]
Out[222] = f [a, g[f [a] ] ]
In[223]:= f [a, b, c, d] /. f [x_, y_, z_] -> g[z]
Out[223] = g[f [c, d] ]
In[224] : = Attributes [f ]
Out[224]= {Flat, bistable, Orderless}
В предыдущем примере атрибут Flat позволяет отождествить выражение f[a, a, a, a] с обоими выражениями: как с f[f[a, a, a], a], так и с f[f[f[a], f[a], f[a]], a]. Если нет атрибута OneIdentity, то происходит отождествление с f[f[f[a], f[a], f[a]], a], таким образом, внутренняя функция f[f[a], f[a], f[a]] заменяется, в итоге, по правилу f[x_, x_, x_] \to g[x] на g[f[a]]:
In[225] := SetAttributes [f, Oneldentity]\\
f [a, a, a, a] /. f[x_, x_, x_] -> g[x]
Out[226] = f [ a, g [ a ] ]
Теперь установлен атрибут OneIdentity, поэтому выбирается отождествление с f[f[a, a, a], a], что приводит к замене f[a, a, a] на g[a].
Listable - функция, примененная к списку, автоматически применяется к каждому аргументу списка:
In[227]:=f [{1, 2, 3}]
Out[227]= { f [ 1 ] , f [2], f [3]}
In[228] := SetAttributes [f, bistable]
f [{1, 2, 3}]
Out[229] ={ f [ 1 ] , f [ 2 ] , f [ 3 ] }
Constant - все производные функции равны нулю:
In[230]:=Dt[f]
Out[230] = Dt [f ]
In[231]:= SetAttributes [f, Constant]
Dt[f]
Dt[f g]
Out[232] = 0
Out[233] = f Dt [g]
In[234] : = Attributes [π]
Dt[π]
Out[234]= {Constant, Protected, ReadProtected}
Out[235] = 0
NumericFunction - предполагается, что функция принимает числовые значения при условии, что ее аргументы - числа. В приводимом ниже примере NumericQ[expr] дает True, если выражение expr числовое, и False в противном случае:
In[236]: = NumericQ[f [x] ]
NumericQ[f[2]]
Out[236] = False
Out[237] = False
In[238] := SetAttributes [f, NumericFunction]
NumericQ[f[x]]
NumericQff[2]]
Out|239] = False
Out[240] = True
Protected - определения функции не могут изменяться:
In[241]:=f [х_] := х2
f[2] SetAttributes [f, Protected]
Out[242] = 4
In[244]:=f [x_] : = x3
f[2]
SetDelayed::write: Tag f in f[x_] is Protected. >>
Out[244] = $ Failed
Out[245] = 4
In[246]:=ClearAttributes [f, Protected] ;
f [x_] : = x3
f[2]
Out[248] = 8
Locked - атрибуты функции не могут изменяться до конца текущей сессии Mathematica. Использование одновременно Protected и Locked запрещает менять функцию до конца сессии:
In[249] := SetAttributes [f, Locked]
ClearAttributes[f, Locked]
Attributes::locked: Symbol f is locked. >>
ReadProtected - определение функции скрыто:
In[251]:=g[x_] := x2
?g
g g[x_] := x2
In[253]:=g[x_] := x2
SetAttributes[g, ReadProtected]
?g
Attributes[g] = {ReadProtected}
In[256]:=g[x_] := x3
?g
Attributes[g] = {ReadProtected}
In[258]:= ClearAttributes [g, ReadProtected]
?g
g[x_] := x3
HoldFirst - первый аргумент функции не вычисляется:
In[260]:= SetAttributes [h, HoldFirst]
h[l + 1, 2+2, 3 + 3]
Out[261] =h[l + 1, 4, 6]
В следующем примере ошибка возникает из-за того, что аргумент х сначала вычисляется, а потом уже обрабатывается функцией g. Поэтому происходит попытка присвоить числу 17 значение 25. Этой ошибки можно избежать с помощью атрибута HoldFirst:
In[262]:=g[sym_, val_] := (sym=val^2)
x = 17;
g[x, 5]
x
Set::setraw: Cannot assign to raw object 17.<<
Out|264] = 25
Out[265] = 17
In[266]:=SetAttributes [g, HoldFirst] ;
g[x, 5]
x
Out[267] = 25
Out[268] = 25
Аргумент все-таки можно вычислить, если применить к нему функцию Evaluate:
In[269] :=h [Evaluate [1 + 1] , 2 + 2, 3 + 3] Out[269] = h [ 2 , 4, 6 ]
HoldRest - все аргументы функции, кроме первого, не вычисляются.HoldAll - все аргументы функции не вычисляются.HoldAllComplete - все аргументы функции не вычисляются ни при каких обстоятельствах, например, даже при применении функции Evaluate:
In[270] := SetAttributes [h, HoldAllComplete]
h[l + 1, 2 + 2, 3 + 3]
h [Evaluate [1 + 1] , 2 + 2 , 3 + 3]
Out[271] = h[l + 1, 2 + 2, 3 + 3]
Out[272] = h [Evaluate [1 + 1], 2 + 2, 3 + 3]
NHoldFirst - первый аргумент функции не подвергается обработке функцией N, переводящей числа в их приближенные десятичные записи.
В следующем примере вычисляется разложение в ряд Тейлора длины k для функции cos[x] в точке $$x_0$$, являющейся решением уравнения cos[x] = x. Решение этого уравнения находится с помощью функции FixedPoint[f,x], которая вычисляет значение f(f(… f(x))) до тех пор, пока оно не перестает меняться. Начальное значение x в рассматриваемом случае приходится задавать в виде десятичной дроби, иначе FixedPoint пытается все вычислять точно и не срабатывает. Тест ?InexactNumberQ как раз возвращает True, если его аргумент - десятичная дробь:
In[273] :=ff [k_Integer, х_?InexactNumberQ] : =
Module[{x0}, x0 = FixedPoint[Cos, х] ;
Series [Cos [t] , {t, x0 , k}] ] ;
gg[k_Integer, x_?InexactNumberQ] :=
Module[{x0}, x0 = FixedPoint[Cos, x] ;
Series[Cos[t] , {t, x0 , k} ] ] ;
SetAttributes[ff, NHoldFirst];
In[276]:={ff [2, 1.] , gg[2, 1.], ff[2, 1] , gg[2, 1]}
Out[276] =
{0.739085-0.673612 (t - 0 . 739085) -
0.369543 (t-0.739085)2+O[t-0.739085]3, 0.739085-
0.673612 (t - 0.739085) -0.369543 (t - 0.739085)2 +
0[t - 0.739085]3, ff[2, 1], gg[2, 1]}
Мы видим, что обе функции ff и gg работают, если их аргументы имеют правильный тип, и не работают, если второй аргумент - целое число. Можно попробовать исправить последнее, применив функцию N. Но тогда первый аргумент функции gg перестанет быть целым и она снова не сработает, а функция ff сработает, так как ее первый аргумент не обрабатывается функцией N благодаря установленному атрибуту NHoldFirst.
In[277]: = N@{ff [2, 1] , gg[2, 1]}
Out[277] =
{0.739085-0.673612 (t-0.739085) -
0.369543 (t - 0.739085) 2 + 0[t - 0.739085] 3, gg[2., 1 .] }
NHoldRest - все аргументы функции, кроме первого, не подвергаются обработке функцией N.NHoldAll - все аргументы функции не подвергаются обработке функцией N.SequenceHold - объекты типа "последовательность" ( Sequence ) не встраиваются в функцию.
In[278]:= hh[a, Sequence [b, с]]
Out[278] = hh [ a, b, с ]
In[279] := SetAttributes [hh, SequenceHold]
hh[a, Sequence[b, c] ]
Out[280]=hh [a, Sequence [b, c] ]
Temporary - локальная переменная уничтожается, как только перестает использоваться:
In[281]: = Module[{x} , Print [х] ; Attributes [x] ]
x$866
Out[281]= {Temporary}
Stub - признак того, что символ закреплен за некоторым пакетом Package, который автоматически загружается при явном использовании этого символа.Символы с атрибутом Stub создаются с помощью команды DeclarePackage[<пакет>,<имя или список имен>] >:
In[282] :=DeclarePaakage ["ErrorBarPlots' ", "ErrorListPlot"] Out[282] = ErrorBarPlots'
В результате символ ErrorListPlot получает контекст ErrorBarPlots, который становится первым в списке контекстов. Кроме того, если теперь будет выполнена функция с именем ErrorListPlot, то до ее вычисления с помощью функции Needs будет загружен пакет ErrorBarPlots:
In[283] : = Attributes ["ErrorListPlot"]
Out[283]= {Stub}
In[284] : =
ErrorListPlot[Table [ {i, RandomReal [0.5]} , {i, 10}]]
Можно также определить свою функцию, использующую функции из какого-нибудь (одного) пакета:
In[285]:=DeclarePackage["Combinatorica ' ", "tc"] ;
In[286] := tc [x_]: = ToCycles [x] ;
In[287]:=tc[{l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}]
Out[287] = { {1} , {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}, {8}, {9}, {10}}
In[288]:=ClearAll[ff, gg, g, h, hh, tc]
В пакете Mathematica предусмотрен механизм выведения сообщений при выполнении вычислений. Обычно это сообщения об ошибках и предупреждения. Имеется возможность приписывать сообщения любым символам. Чтобы приписать сообщение с именем tag символу symbol, выполните команду symbol::tag = "сообщение".
In[289]:=g: :lt = " Аргумент меньше нуля" Out[289] = Аргумент меньше нуля
Чтобы вывести сообщение, выполните команду Message[symbol::tag]:
In[290]:=Message[g: :lt]
g::lt: Аргумент меньше нуля
Теперь в определении функции можно задать вывод сообщения при выполнении некоторых условий:
In[291]: = g[x_] /; If[x < 0, Message [g: : lt] ; False, True] : = √x In[292]:=g[l] Out[292] = 1 In[293]:=g[-l]
g::lt: Аргумент меньше нуля
Out[293] = g [ - 1 ]
В сообщение можно вставить значение выражений expr1,expr2,..., выполнив команду Message[symbol::tag, expr1,expr2,...] , при этом ссылка на выражение expri внутри текста сообщения должна иметь вид 'i':
In[294] : =
gg[х_] / ; If [x < 0 , Message [gg: : It, х] ; False, True] := √x
gg::lt = "Аргумент '1' меньше нуля";
gg[-2]
gg::lt: Аргумент -2 меньше нуля
Out[296] = gg [-2]
Отключить сообщение можно командой Off[symbol : tag]:
In[297]:=Off [gg: :lt]
gg[-i]
Out[298]=gg [-1]
Включить сообщение можно командой On[symbol : tag]:
In[299]:=On[gg: :lt]
gg[-i]
gg::lt: Аргумент -1 меньше нуля
Out[300] = gg [-1]
Вывести список всех сообщений, приписанных символу symbol, можно выполнив команду Messages[symbol]:
In[301] :=Messages [gg]
Out[30l] = {HoldPattern[gg::It]: -> Аргумент '1' меньше нуля}
Встроенные функции, как правило, снабжены сообщениями о возможных ошибках. Например,
In[302]:=Sin[l,2,3]
Sin::argx: Sin called with 3 arguments; 1 argument is expected.>>
Out[302]= Sin[l, 2, 3]
Эти сообщения можно отключить командой Quiet, хотя правильней от этого программа не становится:
In[303]:=Quiet@Sin[l, 2, 3] Out[303] = Sin[l, 2, 3]
Список сообщений для встроенных функций загружается в Mathematica по мере необходимости. При этом сначала Mathematica ищет сообщение с указанным именем среди сообщений, приписанных обрабатываемой функции. Если его там нет, программа переходит к просмотру списка сообщений для встроенного символа General. Так, в нашем примере сообщение Sin::argx получено именно из списка General. У самой функции Sin список сообщений пуст.
In[304] :=Messages [Sin]
Out[304]={ }
In[305] := Style [Messages [General] , FontSize -> 6]
Out[305] =
{HoldPattern[General::appname]: -> The name '1' is not valid for the
application. A valid name smarts with a letter and is followed by lexers and digits.,
HoldPattern [General::argx]: -> '1' called with '2' arguments; 1 argument is expected.,
HoldPattern [Generall::bktwrn]: -> " '1' " represents multiplication; use " '2' "
to represent a function. '4',
HoldPattern[General:: catname]: -> The name '1' is not valid for the
category. A valid name starts with a letter and is followed by letters and digits.,
HoldPattern[General::file] : -> ' 2 ' was encountered where a '1' primitive or directive was expected.,
HoldPattern[General: :meprec] : -> Internal precision limit $MaxExtraPrecision = '1'
reached while evaluating '2'.,
HoldPattern [General: :multedge] : -> The input graph has multiple edges between some vertices. These
will be collapsed into single edges with weight equal to the sum of the individual edges.,
HoldPattern[General::newsym] : -> $off[], HoldPattern[General::nfunfail] : -> $off[],
HoldPattern[General: :nosite] :-> Site '1' is not an existing Paclet site.,
HoldPattern[General: :obsppkgfn]: -> $Off [] ,
HoldPattern[General::offline]: -> Mathematica is currently configured not to use the
Internet. To allow Internet use, check the "Allow Mathematica to use the Interne"
box in ohe Help > Internet Connectivity dialog., HoldPattern [General: : oldversion] :->
Connections to kernls older than Version 2.2 are not supported. This kernel is version '1'.,
HoldPattern [General::partw] : -> Part '1' of '2' does not exist.,
HoldPattern[General::pclt]: -> '1' does not refer to a known paclet.,
HoldPattern[General::pcltn] : -> No appropriate paclet with name '1' was found.,
HoldPattern[General::pcltni] : -> No appropriate paclet with name '1' is installed.,
HoldPattern[General::pcltnv]: -> No appropriate paclet with name '1' and version '2' was found.,
HoldPattern[General::pcltnvi] : -> No appropriate paclet with name '1' and version '2' is installed.,
HoldPattern[General::plnr]: -> $off[],
HoldPatern[General::pp3tr] : -> $off[], HoldPattern[General::pptr]: -> $off[],
HoldPattern[General::prefdir]: -> The preferences directory '1' cannot be created.,
HoldPattern[General::shdw]: -> Symbol '1' appears in multiple contexts '2'; definitions in
Context '3' may shadow or be shadowed by other definitions., HoldPatern[General::shdwcor]: ->
Symbol '1' defined in '2' already exists in '3'. Select the version you want to use: '4'.,
HoldPattern[General::spell]: -> $Off[], HoldPattern[General::spell]: -> $Off[],
HoldPattern[General::stop]: -> Further output of '1' will be suppressed during this calculation.,
HoldPattern[General::string]: -> String expected at position '1' in '2'.,
HoldPattern [General::stringopt]: -> '1' in '2' is not a string. All options to '3' must be strings.,
HoldPattern [General::sysmain]: -> Error loaning the main binary file '1'.
Get["sysmake.m"] must be run before continuing., HoldPattern[General::write]:
-> Tag '1' in '2' is Protected.,
HoldPattern[General::writewarn] : -> Defining rule for '1'.)
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.