Интегрирование логарифмических и экспоненциальных функций. Решение дифференциального уравнения Риша

Вычисление рациональной и логарифмической части интеграла

Интегрируя правильную рациональную функцию $$f(\theta )$$ от $$\theta$$, поступаем так же, как и в случае интегрирования правильных рациональных функций от независимой переменной $$x$$.

Прежде всего разлагаем знаменатель подынтегральной функции на неприводимые множители, добавляя, если необходимо, к полю констант $$K$$ новые алгебраические над $$K$$ константы. Можно предполагать, что эти константы уже принадлежат полю $$K$$. (Отметим, что, в отличие от случая поля рациональных функций, даже после добавления новых констант знаменатель не обязан разлагаться на линейные множители.) Далее выполняем разложение подынтегральной функции в сумму простейших дробей.

Пусть $$f(\theta )= \sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{j=1}^{k_i} \frac {r_{ij}}{(q_i)^j}$$ - разложение в сумму простейших дробей $$r_{ij}, q_i\in \EuScript F_{n-1}[\theta]$$. Без потери общности можно предполагать, что старшие коэффициенты полиномов $$q_i$$ равны 1 (поскольку $$K$$ - поле). Из условия, что $$f(\theta )$$ - правильная рациональная функция, следует неравенство $$\deg_\theta r_{ij} < \deg_\theta q_i$$ для любых $$i$$ и $$j$$. Как и для рациональных функций от $$x$$ показывается, что рациональная часть интеграла может содержать в знаменателе только функции $$q_i$$ в степенях не выше $$k_i-1$$. (При дифференцировании простейшей дроби $$\frac {\tilde r_{ij}}{(q_i)^j}$$ получается слагаемое $$-\frac{j\tilde r_{ij}q'_i}{(q_i)^{j+1}}$$, которое может сократиться только со слагаемыми, полученными от дифференцирования других простейших дробей, или со слагаемыми, полученными от разложения в сумму простейших дробей подынтегральной функции.) Из этого замечания следует также, что можно отдельно интегрировать слагаемые, относящиеся к разным полиномам $$q_i$$, т. е. вычислять интегралы $$\int \sum\limits_{j_1}^{k_i} \frac {r_{ij}}{(q_i)^j}$$ для каждого $$i$$ отдельно. Если $$k_i>1$$, то будем искать интеграл в виде $$\smash[t]{\frac {\tilde r_{ik_i-1}}{(q_i)^{k_i-1}}} + \tilde g$$, где $$\tilde g$$ - интеграл от некоторой правильной дроби со знаменателем $$(q_i)^{k_i-1}$$. Для нахождения полинома $$\tilde r_{ik_i-1}$$ нужно в множестве полиномов, степень которых меньше $$\deg_\theta q_i$$, найти решение сравнения $$-j\tilde r_{ik_i-1}q'_i \equiv r_{ik_i} \pmod {q_i}$$. Это можно сделать, например, при помощи расширенного алгоритма Евклида, поскольку из неприводимости полинома $$q_i$$ следует, что он взаимно прост с полиномом $$q'_i$$, степень которого на 1 меньше степени $$q_i$$. (Следует помнить, что дифференцирование осуществляется по независимой переменной $$x$$, т. е. дифференцируются не только $$\theta$$, но и коэффициенты, и $$\theta '\neq 1$$ ). После нескольких шагов описанного типа (в которых нет неразрешимых шагов) мы придем к случаю, когда $$k_i=1$$. Обработка этого случая заключается в проверке того, что частное от деления числителя на производную по $$x$$ от знаменателя является константой. Если это не так, то исходная функция неинтегрируема в элементарном виде.

Так же, как и при интегрировании рациональных функций с постоянными коэффициентами, мы можем при нахождении рациональной части интеграла воспользоваться разложением знаменателя на свободные от квадратов множители, определить знаменатель рациональной части интеграла (кратность любого неприводимого множителя снова на 1 меньше его кратности в знаменателе подынтегрального выражения) и искать \vad числитель методом неопределенных коэффициентов. Для нахождения логарифмической части может потребоваться разложить знаменатель (свободный от квадратов) на неприводимые множители.

Интегрирование экспоненциальных функций

Интегрирование экспоненциальных функций проходит во многом параллельно интегрированию логарифмических функций, хотя есть существенные отличия. Мы работаем в следующих предположениях.

Дано конструктивное поле констант $$K$$, $$\theta _0=x$$ - независимая переменная над этим полем, $$\theta _1,\dots,\theta _n$$ - последовательность регулярных мономов, $$\EuScript F=\EuScript F_n=K(\theta _0,\theta _1,\dots,\theta _n)$$ - соответствующее поле элементарных функций, $$f\in \EuScript F$$. Предполагается, что $$n>0$$, $$\theta =\theta _n$$ - экспонента над $$\EuScript F_{n-1}=K(\theta _0,\theta _1,\dots,\theta _{n-1})$$ и что мы умеем интегрировать функции из поля $$\EuScript F_{n-1}$$.

Описание алгоритма, позволяющего найти неопределенный интеграл функции $$f$$, если он является элементарной функцией, начнем снова с леммы о разложении. Ее формулировка будет слегка отличаться от логарифмического случая. Связано это с тем, что в экспоненциальном случае $$\theta ^{-i}$$ ведет себя как полином: при дифференцировании ее степень не меняется. Поэтому в разложении функции в сумму простейших дробей слагаемые со знаменателем $$\theta ^{-i}$$, где $$i$$ - натуральное число, мы будем относить к полиномиальной части и называть соответствующую сумму $$\smash[b]{\sum\limits_{i=-m}^k} a_i\theta ^i$$ обобщенным полиномом.

Пусть $$f(\theta )=p(\theta )+\smash[t]{\frac {r(\theta )}{q(\theta )}}$$ - разложение функции $$f$$ в сумму обобщенного полинома и правильной рациональной функции, знаменатель которой не делится на $$\theta$$ (как рациональной функции от $$\theta$$ с коэффициентами из поля $$\EuScript F_{n-1}$$ ). Покажем, что можно отдельно рассматривать задачу для полиномиальной части $$p(\theta)$$ и правильной рациональной части $$\frac {r(\theta )}{q(\theta )}$$.

26.1. ЛЕММА (о разложении). Элементарный интеграл функции $$f(\theta )=p(\theta )+\frac {r(\theta )}{q(\theta )}$$ существует тогда и только тогда, когда существуют элементарные интегралы функций $$p(\theta )$$ и $$\smash[t]{\frac {r(\theta )}{q(\theta )}}$$.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно теореме Лиувилля, если элементарный интеграл существует, то он имеет вид $$g=v_0+\smash[b]{\sum\limits_{i=1}^m} c_i\log v_i$$, т. е. функцию $$f$$ можно представить в виде$$\begin{equation} f=v'_0+\sum _{i=1}^mc_i\frac {v'_i}{v_i}, \end{equation}$$ где $$v_0\in \EuScript F$$, $$c_i$$ - алгебраические над $$K$$ константы, $$v_i$$ - элементы из дифференциального поля, получающегося присоединением к $$\EuScript F$$ конечного числа алгебраических над $$K$$ констант. Дифференцирование $$'$$ обозначает дифференцирование по $$x$$. Разложим $$v_0$$ в сумму обобщенного полинома $$\tilde p(\theta )$$ от $$\theta$$ и правильной рациональной функции $$\frac {\tilde r(\theta )}{\tilde q(\theta )}$$ от $$\theta$$ (знаменатель которой не делится на $$\theta$$ ). Заметим, что степень (по $$\theta$$ ) полинома $$v'_i(\theta )$$ на этот раз равна степени (по $$\theta$$ ) полинома $$v_i(\theta )$$ (используется то, что $$\theta '/\theta \in \EuScript F_{n-1}$$ ), поэтому слагаемые вида $$\frac {v'_i}{v_i}$$, где $$v_i$$ - полиномы от $$\theta$$ не являются правильными рациональными функциями. Предполагая, что $$\gamma =\log \theta ,\ \deg_\theta v_i=m_i$$ и старшие коэффициенты полиномов $$v_i$$ равны 1, мы находим, что старший коэффициент полинома $$v'i$$ равен $$n_i\gamma$$, т. е. $$\frac {v'_i-m_i\gamma 'v_i}{v_i}$$ - правильная рациональная от $$\theta$$ функция, интегрируемая в элементарном виде тогда и только тогда, когда интегрируема функция $$\frac {v'_i}{v_i}$$.

Интегрирование обобщенной полиномиальной части

Решая уравнение $$\Bigl(\sum\limits_iB_i\theta ^i\Bigr)'=\sum\limits_iA_i\theta ^i$$ методом неопределенных коэффициентов, мы приходим к системе дифференциальных уравнений $$B'_i+i\gamma 'B_i=A_i$$, называемых уравнениями Риша, для которых требуется найти решения в поле $$\EuScript F_{n-1}$$.

Вычисление рациональной и логарифмической части интеграла

В основном, вычисления проходят параллельно случаю, когда $$\theta$$ является логарифмом. Основные отличия обусловлены тем, что при дифференцировании по $$x$$ полинома от $$\theta$$ со старшим коэффициентом 1 степень полинома не меняется. Поэтому чуть сложнее обосновать взаимную простоту неприводимого полинома $$p(\theta)$$ и его производной $$p'(\theta)$$.

26.2. ЛЕММА. Пусть $$D$$ - дифференциальное поле, $$\theta$$ - экспонента над $$D$$, $$\theta'=\eta'\theta$$, $$\eta\in D$$, $$p(\theta)\in D[\theta]$$ - неприводимый полином со старшим коэффициентом равным 1. Если $$НОД(p(\theta), p'(\theta))\neq1$$, то $$p(\theta)=\theta$$.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть $$p(\theta)=\sum\limits_{i=0}^na_i\theta^i,\ f_n=1$$. Тогда$$p'(\theta)=\sum_{i=0}^n(a'_i+ia_i(\theta'/\theta))\theta^i=\sum_{i=0}^n(a'_i+ia_i\eta')\theta^i.$$ Если $$НОД(p(\theta),p'(\theta))\neq1$$, то $$НОД(p(\theta),p'(\theta))=p(\theta)$$ в силу неприводимости $$p(\theta)$$, т. е. $$p'(\theta)$$ отличается от $$p(\theta)$$ множителем из поля $$D$$. Значит отношение $$\frac {a'_i+ia_i\eta'}{a_i}$$ для всех ненулевых коэффициентов не зависит от $$i$$. Предположим, что $$a_0\neq0$$. Тогда$$\frac {a'_n+na_n\eta'}{a_n}=n\eta'=\frac {a'_0+0a_0\eta'}{a_0}= \frac{a'_0}{a_0},$$ т. е. $$a_0$$ удовлетворяет условию $$y'=(n\eta')y$$. Этому же условию удовлетворяет элемент $$\theta^n$$. Поскольку любые два решения линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка отличаются постоянным множителем, получаем $$a_0=c\theta^n$$ для некоторой константы $$c$$, что противоречит трансцендентности $$\theta$$. Доказательство леммы закончено.

Учитывая лемму и то, что дроби со знаменателями $$\theta^{-k}$$ относятся к обобщенной полиномиальной части, можно почти дословно повторить рассуждения о понижении степени знаменателя при интегрировании простейших дробей, приведенные выше для логарифмического случая. Небольшое отличие состоит в том, что при этих вычислениях мы выходим за рамки работы с правильными дробями, и у нас появляются полиномиальные слагаемые нулевой степени относительно $$\theta$$. Эти слагаемые мы можем обрабатывать при интегрировании обобщенной полиномиальной части, если интегрирование рациональной части выполнено до интегрирования обобщенного полинома.

В заключение перечислим основные шаги алгоритма интегрирования трансцендентных функций.

Решение дифференциального уравнения Риша

27.1. ТЕОРЕМА (Риш). Пусть $$f,g_1,\dots,g_s\in\cF$$. Тогда можно за конечное число шагов найти элементы $$h_1,\dots,h_r\in\cF$$ и систему линейных уравнений $$S$$ от $$s+r$$ неизвестных с коэффициентами в поле $$K$$, такие, что уравнение$$\begin{equation} y'+fy=\sum_{i=1}^s c_ig_i, \end{equation}$$ выполняется для $$y\in \cF$$ и $$c_i\in K$$ тогда и только тогда, когда $$y=\sum\limits_{i=1}^r y_ih_i$$, где $$y_i\in K$$ и константы $$c_1,\dots,c_s,y_1,\dots,y_r$$ удовлетворяют системе $$S$$.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Основание индукции: $$n=0$$, $$\cF=K(x)$$.

Доказательство теоремы в этом случае проведем в два этапа: сначала избавляемся от знаменателей, затем решаем полиномиальное уравнение.

Этап 1. Пусть $$y\in\cF$$ удовлетворяет уравнению (27.1). Мы можем записать $$y=P(x)/Q(x)$$, и пусть $$q(x)$$ - неприводимый в кольце $$K[x]$$ многочлен со старшим коэффициентом равным 1, делящий $$Q(x)$$. Предположим, что $$q^k(x)$$ делит $$Q(x)$$, а $$q^{k+1}(x)$$ не делит $$Q(x)$$. Воспользуемся техникой $$q$$ -адических расширений и запишем$$\begin{equation} y=\frac A{q^k}+\dots,\qquad f=\frac B{q^l}+\dots,\qquad \sum c_ig_i=\frac C{q^m}+\dots, \end{equation}$$ где $$A, B, C\in K[x]$$, $$\deg_x A<\deg_xq$$, $$\deg_xB<\deg_xq$$, $$\deg_xC<\deg_xq$$, а точками обозначены слагаемые, имеющие в знаменателе $$q$$ в меньшей степени, чем главный член (эти слагаемые могут также включать степенной ряд). Заметим, что $$B$$ и $$l$$ нам известны, т.\;к. известна функция $$f$$, а также нам известно ограничение на $$m$$ сверху (максимальное значение $$m'$$ соответствующего показателя для функций $$g_i$$ ). Поскольку $$c_i$$ могут принимать любые значения, $$m$$ может не совпадать с $$m'$$. Подставляя выражения (27.2) в уравнение (27.1), получим$$\begin{equation} \frac{-kAq'}{q^{k+1}}+\dots+ \frac{AB}{q^{k+l}}+\dots =\frac C{q^m}+\dots \end{equation}$$ Многочлен $$q$$ является неприводимым, следовательно, выписанные слагаемые не допускают сокращения числителя и знаменателя ( $$q$$ не делит ни $$Aq'$$, ни $$AB$$ ). Выделяя главный член разложения по $$1/q$$, получим или$$\begin{cases} k+1\le m\le m',\\ k+l\le m\le m',\end{cases}$$ или $$k+1=k+l>m$$. Последняя возможность встречается только в том случае, когда два старших члена в соотношении (27.3) взаимно сократятся, т. е. $$q$$ делит $$-kAq'+AB$$, следовательно, $$q$$ делит $$-kq'+B$$, а так как $$\deg B<\deg q$$ и $$\deg q'<\deg q$$, то $$-kq'+B=0$$, т. е. $$k=B/q'$$. Таким образом, число $$k$$ ограничено сверху числом $$\max(m'-1,m'-l,B/q')$$, где $$B/q'$$ появляется только в том случае, если оно является целым числом. Мы получили вычислимую границу для $$k$$ и можем в уравнении (27.1) перейти к новой неизвестной функции $$yq^k$$, знаменатель которой не делится на $$q$$.

Заметим, что множитель $$q$$ может появиться в $$Q$$ только в том случае, если на $$q$$ делится знаменатель хотя бы одного из элементов $$f, g_1,\dots,g_s$$. Действительно, в противном случае $$m'=l=0$$ и если $$k>0$$, то слагаемое $$-Akq'/q^{k+1}$$ не может ни с чем сократиться. Таким образом, у нас имеется только конечное число неприводимых сомножителей $$q_i$$, которые могут появляться в знаменателе элемента $$y$$, и степени этих сомножителей ограничены вычисляемыми константами $$k_i$$. Положим $$Y=y\cdot\prod q_i^{k_i}$$. Тогда $$Y$$ является многочленом (для любого решения $$y\in\cF$$ исходного уравнения).

После подстановки $$y=Y/\prod q_i^{k_i}$$ в уравнение (27.1) и умножения получившегося уравнения на $$\prod q_i^{k_i}$$, получаем уравнение вида$$\begin{equation} RY'+VY=\sum c_iT_i, \end{equation}$$ где $$R,V,T_i\in K[x]$$ и не зависят от $$c_i$$, которые все еще не определены.

Этап 2. Тот же метод применим для ограничения сверху степени неизвестного многочлена $$Y$$. Запишем$$\begin{equation} \aligned Y=y_0x^a+\dots, \\ R=r_0x^b+\dots, \\ V=v_0x^c+\dots, \\ \sum c_iT_i=t_0x^d+\dots, \endaligned \end{equation}$$ где, как и прежде, мы не знаем точного значения $$d$$, а имеем ограничение $$d\le d'=\max_{i=1}^s(\deg_x T_i)$$. Подставляя (27.5) в уравнение (27.4), получим$$\begin{equation} (r_0x^b+\dots)(ay_0x^{a-1}+\dots)+(v_0x^c+\dots)(y_0x^a+\dots)=t_0x^d+\dots \end{equation}$$

Сравнивая старшие одночлены в правой и левой частях, снова получаем две возможности:$$\begin{equation} \begin{cases} a+b-1\le d\le d',\\ a+c\le d\le d'\end{cases}\quad\text{или}\quad a+b-1=a+c>d. \end{equation}$$ Второй случай имеет место только тогда, когда старшие одночлены двух слагаемых в левой части взаимно уничтожаются, т. е.$$\begin{equation} ay_0r_0+y_0v_0=0. \end{equation}$$ Таким образом получаем границу для $$a$$, а именно,$$\begin{equation} a\le\max(d'-b-1,d'-c,-v_0/r_0), \end{equation}$$ где последнее число появляется только в том случае, если оно целое и $$c=b-1$$. Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной $$x$$ в уравнении (27.6), получаем требуемую систему $$S$$ линейных уравнений.

Шаг индукции: Предположим, теорема доказана для дифференциального поля $$\EuScript D=K(x,\theta_1,\dots,\theta_{n-1})$$, и докажем ее для дифференциального поля $$\EuScript F=\EuScript D(\theta_n)$$, где для упрощения записи мы будем использовать обозначение $$\theta=\theta_n$$. Случаи, когда $$\theta$$ является логарифмом и экспонентой, будем рассматривать раздельно.

Случай 1. $$\theta=\log\eta$$.

Доказательство следует тем же путем, что и при $$n=0$$.

Этап 1 проходит практически без изменений. Отметим только, что без потери общности мы можем считать многочлен $$q$$ нормированным, т. е. его старший коэффициент равен 1. В этом случае $$\deg q'<\deg q$$ (мы рассматриваем операцию дифференцирования в дифференциальном поле $$\EuScript F$$, т. е. $$q'=q'_x$$, если $$\EuScript F$$ - некоторое поле функций, а степени многочленов рассматриваем относительно переменной $$\theta$$ ).

Логика этапа 2 остается такой же, но уравнение (27.6) принимает теперь вид$$ (r_0\theta^b+\dots)\bigl(y'_0\theta^a+(y'_1+a\eta'/\eta)\theta^{a-1}+\dots\bigr)+(v_0\theta^c+\dots)(y_0\theta^a+\dots) =t_0\theta^d+\dots $$

Здесь нужно рассматривать отдельно два подслучая: $$y'_0=0$$ и $$y'_0\ne0$$. Как и прежде, пусть $$d'$$ обозначает верхнюю границу для $$d$$.

Выделяя старшие одночлены в слагаемых и сравнивая их степени, получаем следующие ограничения:

если $$y'_0\ne0$$, то либо $$\begin{cases} a+b\le d'+1,\\a+c\le d'+1,\end{cases}$$ либо $$a+b=a+c>d'+1$$ ;

если $$y'_0=0$$, то либо $$\begin{cases} a+b-1\le d',\\a+c\le d',\end{cases}$$ либо $$a+b-1=a+c>d'$$.

Как и в случае $$n=0$$, вторая возможность в обоих случаях требует более детального рассмотрения.

Подслучай 1 $$y'_0\ne0$$. Неравенство $$a+b=a+c>d'+1$$ может иметь место только тогда, когда$$\begin{multiple} r_0y'_0+v_0y_0=0\qquad\text{и} \\ r_0(y_1'+a\eta'y_0/\eta)+r_1y'_0+v_0y_1+v_1y_0=0. \end{multiple}$$ (Заметим, что в отличие от случая $$n=0$$ мы приравниваем нулю два старших коэффициента, поскольку старший коэффициент не зависит от $$a$$. Соответственно, этим же объясняется замена неравенства $$a+b=a+c>d'$$ на $$a+b=a+c>d'+1$$.)

Второе уравнение можно переписать в виде$$r_0y_1'+v_0y_1+r_1y'_0+(a(\eta'/\eta)r_0+v_1)y_0=0.$$ Обозначая $$y_1/y_0=w\in\EuScript D$$, переписываем это уравнение в виде$$r_0y_0w'+(r_0y'_0+v_0y_0)w+r_1y'_0+(a(\eta'/\eta)r_0+v_1)y_0=0.$$ Подставляя сюда $$y'_0=-v_0y_0/r_0$$ из первого уравнения, получаем$$w'+r_1v_0/r_0^2+v_1/r_0+a\genfrac(){}{}{\eta'}\eta=0.$$ После интегрирования этого соотношения получаем$$\int\frac{r_1v_0-r_0v_1}{r_0^2}=w+a\log\eta.$$ Подынтегральное выражение в левой части лежит в дифференциальном поле $$\EuScript D$$, и по предположению индукции мы можем его проинтегрировать. Согласно принципа Лиувилля результат интегрирования (определенный с точностью до аддитивной константы) представляется в виде суммы рациональной функции (из поля $$\EuScript D$$, а точнее его конечного расширения, получаемого присоединением конечного числа алгебраических над $$K$$ констант) и логарифмической части. Эта логарифмическая часть определена однозначно, и если ее нельзя представить в виде $$a\theta$$, где $$a$$ - целое положительное число, то старший член решения уравнения$$\begin{equation} RY'+VY=\sum c_iT_i, \end{equation}$$ где $$R,V,T_i\in \EuScript D[\theta]$$ и не зависят от $$c_i$$, не может иметь вид $$y_0\theta^a$$, где $$y'_0\ne0$$ и $$a$$ удовлетворяет неравенству $$a+b=a+c>d'+1$$.

Подслучай 2 $$y'_0=0$$. Неравенство $$a+b-1=a+c>d'$$ может иметь место только тогда, когда$$r_0(y_1'+a\eta'y_0/\eta)+v_0y_1+v_1y_0=0,$$ что после интегрирования дает$$\int\frac{v_0}{r_0}=-\frac{y_1}{y_0}-a\log\eta.$$ Это соотношение дает другое возможное значение $$a$$. Заметим, что в этом случае мы снова воспользовались предположением индукции для выполнения операции интегрирования. Отметим также, что для каждого конкретного уравнения вида (27.11) нужно рассматривать не более одного интеграла, в зависимости от того, какое условие $$b=c$$ или $$b=c+1$$ имеет место; если ни одно из этих равенств не выполняется, то $$a\le \min(d'+1-b,d'+1-c)$$.

Окончание доказательства этапа 2 ничем не отличается от случая $$n=0$$.

Случай 2. $$\theta=\exp(\eta)$$, т. е. $$\theta'=\eta'\theta$$.

В этом случае при дифференцировании степень многочлена от $$\theta$$ не понижается, поэтому доказательство этапа 1, проведенное выше, дословно не проходит (там существенно используется, что $$\deg(q')< \deg(q)$$ ). В данном случае нужно вместо $$q'$$ рассматривать остаток от деления $$q'$$ на $$q$$, т. е. такой многочлен $$q_1$$, что $$q_1\equiv q'\pmod q$$ и $$\deg(q_1)<\deg(q)$$. Случай $$q_1=0$$ соответствует тому, что $$q'=\beta q$$, где $$\beta\in\EuScript D$$. Следовательно, $$\beta$$ равняется отношению старших коэффициентов многочленов $$q'$$ и $$q$$. Поскольку мы предполагаем, что старший коэффициент многочлена $$q$$ равен 1, $$\beta$$ равно старшему коэффициенту многочлена $$q'$$, который равен $$k\eta'$$, где $$k$$ степень многочлена $$q$$ (и $$q'$$ ). Решение дифференциального уравнения $$q'=k\eta' q$$ определено с точностью до мультипликативной константы и имеет вид $$q=c\cdot \exp(k\eta)=c\theta^k$$. Из условия нормированности следует, что $$c=1$$, а из неприводимости $$q$$ следует, что $$k=1$$.

Для неприводимых многочленов $$q$$ отличных от $$\theta$$ этап 1 проходит с заменой $$q'$$ на $$q_1$$, поскольку единственное место, где мы по-существу пользовались тем, что $$q'$$ - ненулевой многочлен, степень которого меньше степени $$q$$, это уравнение (27.3), главный член первого слагамого в котором теперь принимает вид $$\frac{-kAq_1}{q^{k+1})$$, главный член первого слагамого в котором теперь принимает вид $$\frac{-kAq_1}{q^{k+1}$$.

Таким образом, на этапе 2 нам нужно рассматривать обобщенные многочлены, т. е. выражения вида $$\sum\limits_{-m\le i \le k}A_i\theta^i$$ и ограничивать их степени сверху и снизу. Вычисления для верхней и нижней оценок абсолютно аналогичны. Заметим, что дифференцируя одночлен $$A_i\theta^i$$, мы получаем одночлен той же степени ( $$i$$ ), при этом нулевой результат может получиться только при $$i=0$$, поскольку $$(A_i\theta^i)'=(A'_i+A_ii\eta')\theta^i$$ и решение дифференциального уравнения $$A'_i+A_ii\eta'=0$$ имеет вид $$A_i=c\cdot\theta^{-i}$$, что при $$i\ne0$$ не принадлежит полю $$\EuScript D$$.

Детали доказательства оставляются читателю в качестве упражнения.