Приведем простой пример получения
Пусть f — линейная (или близкая к линейной) функция аргумента x: f(x) = u1x + u0. В точках xk известны значения функции f(xk). Тогда u0, u1 — коэффициенты, которые необходимо подобрать так, чтобы выполнялись условия u1xk + u0 = fk, k = 0,1,2,3,4, fk = f(xk).
Получим систему пяти уравнений относительно двух неизвестных. Это — 5 точек (это возможно только тогда, когда какие - либо три уравнения полученной системы линейными преобразованиями сводятся к двум другим — система линейно зависима).
Рассмотрим общий случай. Пусть коэффициенты {u0, u1} необходимо определить по результатам n + 1 измерения. Введем функцию, равную сумме квадратов невязок rk = u1xk + u0 - fk
Примем за обобщенное решение {u0,
u1} для которых $$\Phi (u_{0}, u_{1})$$ принимает наименьшие значение. Для определения обобщенного решения из условия минимума суммы квадратов невязки получаем систему двух уравнений, имеющую классическое решение:
Выбор функции $$\Phi (u_{0}, u_{1})$$ имеет некоторый произвол. Например, возможно каждому измерению придать некоторый вес bk. От набора таких весовых множителей зависело бы решение системы. В этом случае функция $$\Phi$$ будет
Если в качестве невязки выбрать rk = | u1xk + u0 - fk |,
то получим задачу линейного программирования на отыскании минимума функции
Получившийся таким образом функционал, вообще говоря, не дифференцируем. Для
решения задачи нельзя использовать
Произвол имеется и в выборе базисных функций. Вообще говоря, можно было бы
записать невязку rk в виде
где $$\varphi_j (x)$$ — некоторые функции, образующие базис, например, тригонометрические: $$\varphi_j (x) = \sin (jx).$$ Выражение $$\sum\limits_{j = 0}^p {u_j \varphi_j (x)}$$ называется обобщенным полиномом. В приведенном выше примере в качестве базисных функций были
выбраны степенные функции $$\varphi_j (x) = x^j .$$
В случае выбора произвольной системы базисных функций
Отыщем обобщенное решение
или
$$\begin{gather*} (\varphi_0, \varphi_0) u_0 + (\varphi_0, \varphi_1)u_1 + \ldots + (\varphi_0, \varphi_p)u_p = (\varphi_0, f), \\ (\varphi_1, \varphi_0) u_0 + (\varphi_1, \varphi_1)u_1 + \ldots + (\varphi_1, \varphi_p)u_p = (\varphi_1, f), \\ (\varphi_p, \varphi_0) u_0 + (\varphi_p, \varphi_1)u_1 + \ldots + (\varphi_p, \varphi_p)u_p = (\varphi_p, f), \end{gather*}$$Система
Здесь учтено, что $$$ \frac{\partial \Phi }{\partial u_k} = 2 \sum\limits_{i = 0}^n {\varphi_k(x_i)\left({\sum\limits_{j = 0}^p {u_j\varphi_j (x_i) - f_i}} \right)} $,$$ или, в развернутом виде
$$\begin{gather*} \sum\limits_{i = 0}^n {\varphi_0 (x_i)\left({u_0 \varphi_0 (x_i) + u_1 \varphi_0(x_i) + \ldots + u_p \varphi_p(x_i) - f(x_i)} \right) = 0}, \\ \sum\limits_{i = 0}^n {\varphi_1 (x_i)\left({u_0 \varphi_0 (x_i) + u_1 \varphi_1 (x_i) + \ldots + u_p \varphi_p (x_i) - f(x_i)} \right) = 0}, \\ \ldots, \\ \sum\limits_{i = 0}^n {\varphi_{s} (x_i)\left({u_0 \varphi_0 (x_i) + u_1 \varphi_1 (x_i) + \ldots + u_p \varphi_p (x_i) - f(x_i)} \right) = 0.} \end{gather*}$$Часто выбирают $$\varphi_k (x) = x^k,$$ в этом случае система уравнений принимает следующую форму:
$$\sum\limits_{j = 0}^p (\sum\limits_{i = 0}^n x_i^{j + k})u_j = \sum\limits_{i = 0}^n f_i x_i^k, k = 1, \ldots, p.$$Эта система может быть легко выписана в компонентах:
$$\begin{gather*} u_0 + \left({\sum\limits_{i = 0}^n {x_i}} \right)u_1 + \ldots + \left({\sum\limits_{i = 0}^n {x_i^p}}\right)u_p = \sum\limits_{i = 0}^n{f(x_i)}, \\ \left({\sum\limits_{i = 0}^n {x_i}} \right)u_0 + \left({\sum\limits_{i = 0}^n {x_i^2}} \right)u_1 + \ldots + \left({\sum\limits_{i = 0}^n {x_i^{p + 1}}} \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {x_i f(x_i)}, \\ \ldots \\ \left({\sum\limits_{i = 0}^n {x^p_i}} \right)u_0 + \left({\sum\limits_{i = 0}^n {x^{p + 1}_i}}\right) + \ldots + \left({\sum\limits_{i = 0}^n{x^{2p + 1}_i}}\right)u_p = \sum\limits_{i = 0}^n {x^p_if(x_i)}. \end{gather*}$$В случае использования ортонормированных систем базисных функций $$\varphi_j (x),$$ т.е., при выполнении условия $$(\varphi_k, \varphi_j) = \delta_{kj}$$ решение принимает простой вид $$$ u_0 = \frac{(\varphi_0, f)}{(\varphi_0,\varphi_0)} = {\left\| {\varphi_0} \right\|}^{- 2} (\varphi_0, f);
u_1 = {\left\| {\varphi_1} \right\|}^{- 2} (\varphi_1, f); \ldots u_p = {\left\| {\varphi_p} \right\|}^{- 2} (\varphi_p, f) $.$$ Поскольку система функции ортонормирована, то $$\left\| {\varphi_j}\right\| = 1$$ и $$u_k = (\varphi_k, f), k = 1, \ldots, n.$$ k = 1, ..., n.
Докажем теорему о
Запишем
$$\mathbf{u} = {\{u_1, \ldots,u_p \}}^T \in L^p, \mathbf{f} = {\{f_1, \ldots,f_n \}}^T \in L^n,$$
где линейные нормированные пространства Lp и Ln имеют размерности p и n соответственно. Перепишем (3.2) в матричной форме:
где
$$\mathbf{A} = \left( \begin{array}{ccc} {a_{11}} \ldots {a_{1p}} \\ \ldots \ldots \ldots \\ {a_{n1}} \ldots {a_{np}}} \end{array} \right).$$Наряду с основным Ln
введем
Оба этих умножения удовлетворяют аксиомам скалярного умножения элементов линейного пространства. Матрица $$\mathbf{B}$$ является весовой и определяет вклад невязки каждого слагаемого суммы (3.1). Система (3.2) не имеет классического решения. Определим обобщенное решение этой системы как элемент линейного пространства $$\mathbf{v},$$ придающий наименьшее значение квадратичной форме:
$$\Phi (\mathbf{u}) = {\left[\mathbf{Au} - \mathbf{f}, \mathbf{Au} - \mathbf{f}\right]}^n.$$Теорема. Пусть столбцы матрицы $$\mathbf{A}$$ линейно
независимы, т.е. ранг $$\mathbf{A}$$ равен p. Тогда существует единственный элемент p - мерного евклидова пространства $$\mathbf{v} \in L^P,$$ являющийся обобщенным решением системы (3.2), и решением СЛАУ
состоящей из p скалярных уравнений относительно неизвестных $$\left\{{\mathbf{u}_k}\right\}_{k = 1}^{k = p},$$ доставляющий минимум квадратичной форме
Доказательство.
Покажем, что решение СЛАУ $${\mathbf{A}}^*{\mathbf{BAu}} =
{\mathbf{A}}^*{\mathbf{Bf}}$$ существует и единственно. Введем обозначение $${\mathbf{q}}_k \in L^n$$ для вектора — k столбца матрицы системы $$\mathbf{A}$$:
Несложно показать, что матрица $$\mathbf{D} = {\mathbf{A}}^*{\mathbf{BA}}$$ системы (3.5) есть квадратная матрица p x p. Элемент dij этой матрицы, стоящий на пересечении i строки и j столбца, есть $$d_{ij} = {({\mathbf{q}}_i, {\mathbf{Bq}}_j)}^n = {({\mathbf{Bq}}_i,{\mathbf{q}}_j)}^n = {\left[{{\mathbf{q}}_i,{\mathbf{q}}_j}\right]}^n,$$ в силу коммутативности скалярного произведения dij = dij, что означает самосопряженность матрицы $$\mathbf{D}: \mathbf{D} = {\mathbf{D}}^*.$$
Покажем, что матрица $$\mathbf{D}$$ невырождена и положительно
определена. Напомним, что $${(\mathbf{f},\mathbf{A\xi })}^n = {({\mathbf{A}}^*{\mathbf{f}},{\mathbf{\xi }})}^P; {\mathbf{f}}_1 \in L^n, \mathbf{\xi } \in L^P.$$ Это равенство проверяется непосредственно, если записать обе его части в
развернутом виде. Невырожденность матрицы $$\mathbf{D}$$ следует из того, что ранг матрицы $$\mathbf{A}$$ равен p.
В таком случае $$0 < {\left[{\mathbf{Ax},\mathbf{x}}\right]}^n = {(\mathbf{BAx},\mathbf{Ax})}^n = {({\mathbf{A}}^*{\mathbf{BAx}},{\mathbf{x}})}^p = {(\mathbf{Dx},\mathbf{x})}^p.$$ Поскольку $$\mathbf{D}$$ невырождена и положительно определена, то (3.5) имеет единственное решение $$\mathbf{v} \in L^p.$$ Теперь покажем, что $$\mathbf{v}$$ — единственное обобщенное решение системы. Для любого вектора $$\mathbf{\Delta } \ne 0$$ выполнено $$\Phi (\mathbf{v} + \mathbf{\Delta }) > \Phi (\mathbf{v})$$:
$$\Phi (\mathbf{v} + \mathbf{\Delta }) = {\left[{\mathbf{A}(\mathbf{v} + \mathbf{\Delta }) - \mathbf{f},\mathbf{A}(\mathbf{v} + \mathbf{\Delta }) - \mathbf{f}}\right]}^n = \\ = {\left[{\mathbf{Av} - \mathbf{f},\mathbf{Av} - \mathbf{f}}\right]}^n - 2{\left[{\mathbf{Av} - \mathbf{f},\mathbf{A\Delta }}\right]}^n + {\left[{\mathbf{A\Delta },\mathbf{A\Delta }}\right]}^n = \\ = \Phi (\mathbf{v}) + {2\left[{\mathbf{Av} - \mathbf{f},\mathbf{A\Delta }}\right]}^n + {(\mathbf{D\Delta },\mathbf{\Delta })}^p = \Phi (\mathbf{v}) + {(\mathbf{D\Delta },\mathbf{\Delta })}^p > \Phi (\mathbf{v}),$$что и требовалось доказать.
При доказательстве использовалось
$${\left[{\mathbf{Av} - \mathbf{f},\mathbf{A\Delta }}\right]}^n = {(\mathbf{B}(\mathbf{Av} - \mathbf{f}),\mathbf{A\Delta })}^n = {({\mathbf{A}}^*{\mathbf{BAv}} - {\mathbf{A}}^*{\mathbf{Bf}},\mathbf{\Delta })}^p = 0,$$поскольку $${\mathbf{A}}^*{\mathbf{BAv}} = {\mathbf{A}}^*{\mathbf{Bf}}.$$
Так как матрица $$\mathbf{D} = {\mathbf{A}}^*{\mathbf{BA}}$$ — симметричная и положительно определенная, то для численного решения полученной СЛАУ можно воспользоваться итерационными методами.
Если система векторов $$\left\{{{\mathbf{q}}_k}\right\}_{k = 1}^p$$ оказывается ортонормированной, т.е. $$[{\mathbf{q}}_i,{\mathbf{q}}_j ] = \delta_{ij} i,j = 1, \ldots, p,$$ то матрица $$\mathbf{D}$$ оказывается единичной. Ее элементы и есть скалярные произведения $$[{\mathbf{q}}_i,{\mathbf{q}}_j ].$$ В этом случае решением системы будет
$$\mathbf{u} = \mathbf{A^*Bf}.$$Следует отметить, что если базисные функции $$\varphi_i (x), i = 0, \ldots,
p$$ не выбираются специальным образом, то при достаточно больших p $$(p \ge 5)$$ полученная СЛАУ оказывается плохо обусловленной. Строки матрицы $$\mathbf{D} = {\mathbf{A}}^*{\mathbf{BA}}$$ могут оказаться почти линейно зависимыми. Простейшим примером такого почти линейно зависимого базиса является система функций xi, i = 1, ..., p при больших p. В этом случае желательно использовать ортогональные функциональные базисы, однако такой выбор не
всегда возможен и удобен.
Для примера возьмем в качестве базисных функций степенные,
Скалярные произведения на отрезке [0, 1], записанные в интегральной форме (т.е. при $$n \to \infty$$ ), будут иметь вид
В таком случае СЛАУ после применения F(x) — заданная функция, будет:
или
$${\mathbf{H}}_{p + 1}\mathbf{u} = \mathbf{F^{\prime}},$$где
$$\begin{gather*} \mathbf{u} = {\{u_0, \ldots, u_p \}}^T,\quad \mathbf{F^{\prime}} = {\left\{{\int\limits_0^1 {F(x)dx}, \ldots, \int\limits_0^1 {x^p F(x)dx}} \right\}}^T, \\ {\mathbf{H}}_{p + 1} = {\left\{\frac{1}{i + j - 1}\right\}}^{p + 1}_{i,j} = 1 \end{gather*}$$Матрица $$\mathbf{H}_{p + 1}$$ называется матрицей Гильберта. Это
классический пример плохо обусловленной матрицы. Число обусловленности очень быстро растет с ростом p. Так при p = 1 $$\mu = \left\|\mathbf{H}\right\| \cdot \left\|{\mathbf{H}}^{- 1}\right\| \approx 20,$$ при $$p = 9 \mu \approx 10^{13}.$$ Если получим СЛАУ для дискретной системы точек, т.е. для $$$ (\varphi_j,\varphi_k) = \sum\limits_{i = 0}^n x^{k + j}_i, (\varphi_j,f) = \sum\limits_{i = 0}^n x^k_i f(x_i)x_i = \frac{i}{n} $,$$ то ее матрица будет асимптотически приближаться к матрице Гильберта $$\mathbf{H}_{p + 1}$$ при $$n \rightarrow \infty.$$
Улучшить качество численного решения СЛАУ
Большинство прямых методов решения линейных систем основано либо на замене исходной системы $$\mathbf{Au} = \mathbf{f}$$ ( $$\mathbf{A}$$ — квадратная матрица) на эквивалентную $$\mathbf{CAu} = \mathbf{Cf},$$ либо на представлении матрицы $$\mathbf{A}$$ в виде произведения других матриц, таких, чтобы новая система либо решалась более просто, либо была лучше (по крайней мере, не хуже) обусловлена, чем исходная.
Подход, использующий спектральную эквивалентность матриц $$\mathbf{A}$$ и $${\mathbf{C}}^{- 1}$$ (в смысле границ спектра собственных значений), основан на умножении $$\mathbf{A}$$ на близкую в некотором смысле матрицу $$\mathbf{C}.$$ Последняя матрица выбирается таким образом, чтобы произведение было близким к единичной матрице (при этом $${\mathbf{C}} \ne {\mathbf{A}}^{- 1},$$ так как обращение плохо обусловленной матрицы приводит к накоплению вычислительных ошибок. Число обусловленности матрицы $$\mathbf{CA}$$ $$\mu = \lambda _{max}/\lambda _{min}$$ будет близко к единице. Метод энергетически эквивалентных операторов оказался эффективным при численном решении сеточных уравнений при разностной аппроксимации уравнений в частных производных эллиптического типа.
Идея предобусловливания СЛАУ состоит в том, чтобы вместо исходной системы $$\mathbf{Au} = \mathbf{f}$$ решать систему $$\mathbf{A^{\prime}u^{\prime}} = \mathbf{f^{\prime}},$$ где $$\mathbf{A^{\prime}} = \mathbf{C^{- 1}AC^{- 1}}, \mathbf{u^{\prime}} = \mathbf{Cu}, \mathbf{f^{\prime}} = \mathbf{C^{- 1}f},$$ матрица $$\mathbf{C}$$ выбирается так, чтобы она была симметричной положительной, хорошо обусловленной.
Определение. Матрица $$\mathbf{Q}$$ с вещественными
элементами qij является ортогональной, если
Пусть матрица $$\mathbf{C}$$ невырождена. Тогда она представима в виде
$$\mathbf{C} = \mathbf{QR},$$где $$\mathbf{Q}$$ — ортогональная, а $$\mathbf{R}$$ — верхняя треугольная матрицы. В качестве матрицы $$\mathbf{Q}$$ часто используется симметричная ортогональная матрица $$\mathbf{H}$$:
$$\mathbf{H} = \mathbf{E} - 2{\mathbf{ww}}^T,$$где $$\mathbf{w}$$ - произвольный вектор - столбец, такой, что $$({\mathbf{w}}^T{\mathbf{w}}) = 1.$$ Матрица $$(\mathbf{w,wT})$$ есть произведение вектора - столбца $$\mathbf{w}$$ на вектор - строку $$\mathbf{wT}$$ (преобразование Хаусхолдера или метод отражений ).
Заметим, что симметричность матрицы $$\mathbf{H}$$ (матрицы отражений) показывается непосредственной проверкой; ортогональность $$\mathbf{H}$$ можно показать следующим образом:
$${\mathbf{HH}}^T = (\mathbf{E} - 2{\mathbf{ww}}^T)(\mathbf{E} - 2{\mathbf{ww}}^T) = \\ = \mathbf{E} - 2{\mathbf{ww}}^T - 2{\mathbf{ww}}^T + 4{\mathbf{ww}}^T \cdot {\mathbf{ww}}^T = \\ = \mathbf{E} - 4{\mathbf{ww}}^T - 4\mathbf{w}({\mathbf{w}}^T{\mathbf{w}}){\mathbf{w}}^T = \mathbf{E}, \\ $$так как $${\mathbf{w}}^T{\mathbf{w}} = 1.$$
Матрица СЛАУ представляется в виде $$\mathbf{A} =
{\mathbf{H}}^T{\mathbf{R}},$$ после чего решается
[0,1] построить многочлен F(x) = u0 + u1x среднеквадратичного приближения со скалярными произведениями:$$(\varphi_i,\varphi_j) = \int\limits_0^1 {x^ix^j}{dx},\quad f,\varphi_i) = \int\limits_0^1 f(x)x^idx.$$
Решение. Введем базисные функции $$\varphi_0 (x) = 1, \varphi_1 (x) = x,$$ и вычислим скалярные произведения
$$$ (\varphi_0,\varphi_0) = \int\limits_0^1 {1^2 dx} = 1, (\varphi_1,\varphi_1) = \int\limits_0^1 {x^2 dx =} \frac{1}{3},$$$$$$ (\varphi_0,\varphi_1) = \int\limits_0^1 {xdx}} = \frac{1}{2}, (f,\varphi_0) = \int\limits_0^1 {\sqrt{1} x dx} = \frac{2}{3},$$$
$$$ (f,\varphi_1) = \int\limits_0^1 {\sqrt{x} x dx} = \frac{2}{5},$$$Для вычисления коэффициентов получим СЛАУ
$$$ u_0 + \frac{1}{2}u_1 = \frac{2}{3},$$$$$$ \frac{1}{2}u_0 + \frac{1} 3u_1 = \frac{2}{5}, $$$
откуда $$$ u_0 = \frac{4}{{15}}, c_1 = \frac{4}{5}, F(x) = \frac{4}{15} + \frac{4}{5}x.$$$
c11x + c12y = f1 c22x + c21y = f2,
если она задана в форме
Решить эту систему для случая a11 = a32 = 1, a21 = a12 = 2, a31 = 0, a22 = 1, f1 = 1, f2 = 2, f3 = 1.
Решение. Проведем необходимые вычисления:
$$\begin{gather*} \left( \begin{array}{ccc} {a_{11}} {a_{21}} {a_{31}} \\ {a_{12}} {a_{22}} {a_{32}} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 0 \\ 0 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} {a_{11}} {a_{12}} \\ {a_{21}} {a_{22}} \\ {a_{31}} {a_{32}} \end{array} \right) = \\ = \left( \begin{array}{ccc} {a_{11}} {a_{21}} {a_{31}} \\ {a_{12}} {a_{22}} {a_{32}} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 0 \\ 0 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} {f_1} \\ {f_2} \\ {f_3} \end{array} \right), \\ \left( \begin{array}{cc} {a_{11}^2 + a_{21}^2 + a_{31}^2} {a_{11}a_{12} + a_{21}a_{22} + a_{31}a_{32}} \\ {a_{11}a_{12} + a_{21}a_{22} + a_{31}a_{32}} {a_{12}^2 + a_{22}^2 + a_{32}^2} \end{array} \right) = \\ = \left( \begin{array}{l} {u_1} \\ {u_2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} {a_{11}f_1 + a_{21}f_2 + a_{31}f_3} \\ {a_{12}f_1 + a_{22}f_2 + a_{32}f_3} \\ \end{array} \right), \\ (a_{11}^2 + a_{21}^2 + a_{31}^2)u_1 + (a_{11}a_{12} + a_{21}a_{22} + a_{31}a_{32})u_2 = a_{11}f_1 + a_{21}f_2 + a_{31}f_3, \\ (a_{11}a_{12} + a_{21}a_{22} + a_{31}a_{32}) u_1 + (a_{12}^2 + a_{22}^2 + a_{32}^2)u_2 = a_{12}f_1 + a_{22}f_2 + a_{32}f_3. \end{gather*}$$Решение в числах предлагается найти читателям.
f(x) = u0 + u1x + u2x2, если таблица измерений задана $$\left. {\left\{{x_i, f_i}\right\}}\right|_{i = 0}^n .$$Решение.
определяет функционал
$$\Phi (u_0, \ldots, u_n) = \sum\limits_{k = 0}^n{r_k^2} = \sum\limits_{k = 0}^n {(u_0 + u_1 x_k + u_2 x_k^2 - f_k)}^2.$$Условия минимума последнего
$$$ \frac{\partial \Phi }{\partial u_k} = 0. $$$После проведения алгебраических преобразований получим для коэффициентов систему линейных уравнений
$$\begin{gather*} u_0 + \left({\sum\limits_{k = 0}^n {x_k}}\right)u_1 + \left({\sum\limits_{k = 0}^n {x_k^2}}\right)u_2 = \sum\limits_{k = 0}^n {f_k}, \\ \left({\sum\limits_{k = 0}^n {x_k}} \right)u_0 + \left({\sum\limits_{k = 0}^n {x_k^2}}\right)u_1 + \left({\sum\limits_{k = 0}^n {x_k^3}} \right)u_2 = \sum\limits_{k = 0}^n {f_k} x_k, \\ \left({\sum\limits_{k = 0}^n {x_k^2}} \right)u_0 + \left({\sum\limits_{k = 0}^n {x_k^3}}\right)u_1 + \left({\sum\limits_{k = 0}^n {x_k^4}} \right)u_2 = \sum\limits_{k = 0}^n{f_k} x_k ^2. \end{gather*}$${xk, fk}, k = 0, 1, ..., n, n > 1.Найти линейную функцию $$f(x) = \alpha x + \beta,$$ минимизирующую функционал $$\Phi (\alpha,\beta) = \sum\limits_{k = 0}^n {(f_k - \alpha x_k - \beta)^2} .$$
Используя этот результат, решить
x + y = 3, x + 3y = 7, 2x - y = 0.2, 3x + y = 5.
n x n, $$\mathbf{u}$$ — n -мерный вектор, $$\Phi (x)$$ — функционал, $$\Phi (x) = \left({\mathbf{Bu} - \mathbf{u}x,\mathbf{Bu} - \mathbf{u}x}\right).$$ Доказать, что $$\Phi (x)$$ достигает минимума при $$x = (\mathbf{Bu},\mathbf{u})/(\mathbf{u},\mathbf{u}).$$p =
aebh.Определить коэффициенты a, b по результатам наблюдений,
приведенных в таблице ( h — высота в метрах над уровнем моря; p — давление в мм рт. ст.):
h |
0 |
270 |
840 |
1452 |
2116 |
3203 |
p |
760 |
737 |
686 |
636 |
584 |
508 |
P = a0 + a3v3 ( P — мощность в лошадиных силах, v — скорость в узлах).Определить a0, a3 по табличным данным.
v |
6 |
8 |
10 |
12 |
13 |
P |
423 |
805 |
1378 |
2357 |
2893 |
x0 = - 1, x1 = - 0,5, x2 = 0, x4 = 1.$$\mathbf{A} = \left( \begin{array}{cc} 1 1 \\ 2 {- 1} \\ 1 3 \\ 3 1 \end{array} \right), \mathbf{B} = \left( \begin{array}{cc} 1 {0,5} \\ {0,5} 1 \end{array} \right), \mathbf{f} = {(3, 0,2, 7, 5)}^T.$$
P(x) = a0 + a1sin x + b1cos x + a2sin 2x + b2cos 2x по десяти точкам x0, ..., x9 с помощью Опишите алгоритм вычисления коэффициентов a0, a1, b1, a2, b2.
Приведем простой пример получения
Пусть f — линейная (или близкая к линейной) функция аргумента x: f(x) = u1x + u0. В точках xk известны значения функции f(xk). Тогда u0, u1 — коэффициенты, которые необходимо подобрать так, чтобы выполнялись условия u1xk + u0 = fk, k = 0,1,2,3,4, fk = f(xk).
Получим систему пяти уравнений относительно двух неизвестных. Это — 5 точек (это возможно только тогда, когда какие - либо три уравнения полученной системы линейными преобразованиями сводятся к двум другим — система линейно зависима).
Рассмотрим общий случай. Пусть коэффициенты {u0, u1} необходимо определить по результатам n + 1 измерения. Введем функцию, равную сумме квадратов невязок rk = u1xk + u0 - fk
Примем за обобщенное решение {u0,
u1} для которых $$\Phi (u_{0}, u_{1})$$ принимает наименьшие значение. Для определения обобщенного решения из условия минимума суммы квадратов невязки получаем систему двух уравнений, имеющую классическое решение:
Выбор функции $$\Phi (u_{0}, u_{1})$$ имеет некоторый произвол. Например, возможно каждому измерению придать некоторый вес bk. От набора таких весовых множителей зависело бы решение системы. В этом случае функция $$\Phi$$ будет
Если в качестве невязки выбрать rk = | u1xk + u0 - fk |,
то получим задачу линейного программирования на отыскании минимума функции
Получившийся таким образом функционал, вообще говоря, не дифференцируем. Для
решения задачи нельзя использовать
Произвол имеется и в выборе базисных функций. Вообще говоря, можно было бы
записать невязку rk в виде
где $$\varphi_j (x)$$ — некоторые функции, образующие базис, например, тригонометрические: $$\varphi_j (x) = \sin (jx).$$ Выражение $$\sum\limits_{j = 0}^p {u_j \varphi_j (x)}$$ называется обобщенным полиномом. В приведенном выше примере в качестве базисных функций были
выбраны степенные функции $$\varphi_j (x) = x^j .$$
В случае выбора произвольной системы базисных функций
Отыщем обобщенное решение
или
$$\begin{gather*} (\varphi_0, \varphi_0) u_0 + (\varphi_0, \varphi_1)u_1 + \ldots + (\varphi_0, \varphi_p)u_p = (\varphi_0, f), \\ (\varphi_1, \varphi_0) u_0 + (\varphi_1, \varphi_1)u_1 + \ldots + (\varphi_1, \varphi_p)u_p = (\varphi_1, f), \\ (\varphi_p, \varphi_0) u_0 + (\varphi_p, \varphi_1)u_1 + \ldots + (\varphi_p, \varphi_p)u_p = (\varphi_p, f), \end{gather*}$$Система
Здесь учтено, что $$$ \frac{\partial \Phi }{\partial u_k} = 2 \sum\limits_{i = 0}^n {\varphi_k(x_i)\left({\sum\limits_{j = 0}^p {u_j\varphi_j (x_i) - f_i}} \right)} $,$$ или, в развернутом виде
$$\begin{gather*} \sum\limits_{i = 0}^n {\varphi_0 (x_i)\left({u_0 \varphi_0 (x_i) + u_1 \varphi_0(x_i) + \ldots + u_p \varphi_p(x_i) - f(x_i)} \right) = 0}, \\ \sum\limits_{i = 0}^n {\varphi_1 (x_i)\left({u_0 \varphi_0 (x_i) + u_1 \varphi_1 (x_i) + \ldots + u_p \varphi_p (x_i) - f(x_i)} \right) = 0}, \\ \ldots, \\ \sum\limits_{i = 0}^n {\varphi_{s} (x_i)\left({u_0 \varphi_0 (x_i) + u_1 \varphi_1 (x_i) + \ldots + u_p \varphi_p (x_i) - f(x_i)} \right) = 0.} \end{gather*}$$Часто выбирают $$\varphi_k (x) = x^k,$$ в этом случае система уравнений принимает следующую форму:
$$\sum\limits_{j = 0}^p (\sum\limits_{i = 0}^n x_i^{j + k})u_j = \sum\limits_{i = 0}^n f_i x_i^k, k = 1, \ldots, p.$$Эта система может быть легко выписана в компонентах:
$$\begin{gather*} u_0 + \left({\sum\limits_{i = 0}^n {x_i}} \right)u_1 + \ldots + \left({\sum\limits_{i = 0}^n {x_i^p}}\right)u_p = \sum\limits_{i = 0}^n{f(x_i)}, \\ \left({\sum\limits_{i = 0}^n {x_i}} \right)u_0 + \left({\sum\limits_{i = 0}^n {x_i^2}} \right)u_1 + \ldots + \left({\sum\limits_{i = 0}^n {x_i^{p + 1}}} \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {x_i f(x_i)}, \\ \ldots \\ \left({\sum\limits_{i = 0}^n {x^p_i}} \right)u_0 + \left({\sum\limits_{i = 0}^n {x^{p + 1}_i}}\right) + \ldots + \left({\sum\limits_{i = 0}^n{x^{2p + 1}_i}}\right)u_p = \sum\limits_{i = 0}^n {x^p_if(x_i)}. \end{gather*}$$В случае использования ортонормированных систем базисных функций $$\varphi_j (x),$$ т.е., при выполнении условия $$(\varphi_k, \varphi_j) = \delta_{kj}$$ решение принимает простой вид $$$ u_0 = \frac{(\varphi_0, f)}{(\varphi_0,\varphi_0)} = {\left\| {\varphi_0} \right\|}^{- 2} (\varphi_0, f);
u_1 = {\left\| {\varphi_1} \right\|}^{- 2} (\varphi_1, f); \ldots u_p = {\left\| {\varphi_p} \right\|}^{- 2} (\varphi_p, f) $.$$ Поскольку система функции ортонормирована, то $$\left\| {\varphi_j}\right\| = 1$$ и $$u_k = (\varphi_k, f), k = 1, \ldots, n.$$ k = 1, ..., n.
Докажем теорему о
Запишем
$$\mathbf{u} = {\{u_1, \ldots,u_p \}}^T \in L^p, \mathbf{f} = {\{f_1, \ldots,f_n \}}^T \in L^n,$$
где линейные нормированные пространства Lp и Ln имеют размерности p и n соответственно. Перепишем (3.2) в матричной форме:
где
$$\mathbf{A} = \left( \begin{array}{ccc} {a_{11}} \ldots {a_{1p}} \\ \ldots \ldots \ldots \\ {a_{n1}} \ldots {a_{np}}} \end{array} \right).$$Наряду с основным Ln
введем
Оба этих умножения удовлетворяют аксиомам скалярного умножения элементов линейного пространства. Матрица $$\mathbf{B}$$ является весовой и определяет вклад невязки каждого слагаемого суммы (3.1). Система (3.2) не имеет классического решения. Определим обобщенное решение этой системы как элемент линейного пространства $$\mathbf{v},$$ придающий наименьшее значение квадратичной форме:
$$\Phi (\mathbf{u}) = {\left[\mathbf{Au} - \mathbf{f}, \mathbf{Au} - \mathbf{f}\right]}^n.$$Теорема. Пусть столбцы матрицы $$\mathbf{A}$$ линейно
независимы, т.е. ранг $$\mathbf{A}$$ равен p. Тогда существует единственный элемент p - мерного евклидова пространства $$\mathbf{v} \in L^P,$$ являющийся обобщенным решением системы (3.2), и решением СЛАУ
состоящей из p скалярных уравнений относительно неизвестных $$\left\{{\mathbf{u}_k}\right\}_{k = 1}^{k = p},$$ доставляющий минимум квадратичной форме
Доказательство.
Покажем, что решение СЛАУ $${\mathbf{A}}^*{\mathbf{BAu}} =
{\mathbf{A}}^*{\mathbf{Bf}}$$ существует и единственно. Введем обозначение $${\mathbf{q}}_k \in L^n$$ для вектора — k столбца матрицы системы $$\mathbf{A}$$:
Несложно показать, что матрица $$\mathbf{D} = {\mathbf{A}}^*{\mathbf{BA}}$$ системы (3.5) есть квадратная матрица p x p. Элемент dij этой матрицы, стоящий на пересечении i строки и j столбца, есть $$d_{ij} = {({\mathbf{q}}_i, {\mathbf{Bq}}_j)}^n = {({\mathbf{Bq}}_i,{\mathbf{q}}_j)}^n = {\left[{{\mathbf{q}}_i,{\mathbf{q}}_j}\right]}^n,$$ в силу коммутативности скалярного произведения dij = dij, что означает самосопряженность матрицы $$\mathbf{D}: \mathbf{D} = {\mathbf{D}}^*.$$
Покажем, что матрица $$\mathbf{D}$$ невырождена и положительно
определена. Напомним, что $${(\mathbf{f},\mathbf{A\xi })}^n = {({\mathbf{A}}^*{\mathbf{f}},{\mathbf{\xi }})}^P; {\mathbf{f}}_1 \in L^n, \mathbf{\xi } \in L^P.$$ Это равенство проверяется непосредственно, если записать обе его части в
развернутом виде. Невырожденность матрицы $$\mathbf{D}$$ следует из того, что ранг матрицы $$\mathbf{A}$$ равен p.
В таком случае $$0 < {\left[{\mathbf{Ax},\mathbf{x}}\right]}^n = {(\mathbf{BAx},\mathbf{Ax})}^n = {({\mathbf{A}}^*{\mathbf{BAx}},{\mathbf{x}})}^p = {(\mathbf{Dx},\mathbf{x})}^p.$$ Поскольку $$\mathbf{D}$$ невырождена и положительно определена, то (3.5) имеет единственное решение $$\mathbf{v} \in L^p.$$ Теперь покажем, что $$\mathbf{v}$$ — единственное обобщенное решение системы. Для любого вектора $$\mathbf{\Delta } \ne 0$$ выполнено $$\Phi (\mathbf{v} + \mathbf{\Delta }) > \Phi (\mathbf{v})$$:
$$\Phi (\mathbf{v} + \mathbf{\Delta }) = {\left[{\mathbf{A}(\mathbf{v} + \mathbf{\Delta }) - \mathbf{f},\mathbf{A}(\mathbf{v} + \mathbf{\Delta }) - \mathbf{f}}\right]}^n = \\ = {\left[{\mathbf{Av} - \mathbf{f},\mathbf{Av} - \mathbf{f}}\right]}^n - 2{\left[{\mathbf{Av} - \mathbf{f},\mathbf{A\Delta }}\right]}^n + {\left[{\mathbf{A\Delta },\mathbf{A\Delta }}\right]}^n = \\ = \Phi (\mathbf{v}) + {2\left[{\mathbf{Av} - \mathbf{f},\mathbf{A\Delta }}\right]}^n + {(\mathbf{D\Delta },\mathbf{\Delta })}^p = \Phi (\mathbf{v}) + {(\mathbf{D\Delta },\mathbf{\Delta })}^p > \Phi (\mathbf{v}),$$что и требовалось доказать.
При доказательстве использовалось
$${\left[{\mathbf{Av} - \mathbf{f},\mathbf{A\Delta }}\right]}^n = {(\mathbf{B}(\mathbf{Av} - \mathbf{f}),\mathbf{A\Delta })}^n = {({\mathbf{A}}^*{\mathbf{BAv}} - {\mathbf{A}}^*{\mathbf{Bf}},\mathbf{\Delta })}^p = 0,$$поскольку $${\mathbf{A}}^*{\mathbf{BAv}} = {\mathbf{A}}^*{\mathbf{Bf}}.$$
Так как матрица $$\mathbf{D} = {\mathbf{A}}^*{\mathbf{BA}}$$ — симметричная и положительно определенная, то для численного решения полученной СЛАУ можно воспользоваться итерационными методами.
Если система векторов $$\left\{{{\mathbf{q}}_k}\right\}_{k = 1}^p$$ оказывается ортонормированной, т.е. $$[{\mathbf{q}}_i,{\mathbf{q}}_j ] = \delta_{ij} i,j = 1, \ldots, p,$$ то матрица $$\mathbf{D}$$ оказывается единичной. Ее элементы и есть скалярные произведения $$[{\mathbf{q}}_i,{\mathbf{q}}_j ].$$ В этом случае решением системы будет
$$\mathbf{u} = \mathbf{A^*Bf}.$$Следует отметить, что если базисные функции $$\varphi_i (x), i = 0, \ldots,
p$$ не выбираются специальным образом, то при достаточно больших p $$(p \ge 5)$$ полученная СЛАУ оказывается плохо обусловленной. Строки матрицы $$\mathbf{D} = {\mathbf{A}}^*{\mathbf{BA}}$$ могут оказаться почти линейно зависимыми. Простейшим примером такого почти линейно зависимого базиса является система функций xi, i = 1, ..., p при больших p. В этом случае желательно использовать ортогональные функциональные базисы, однако такой выбор не
всегда возможен и удобен.
Для примера возьмем в качестве базисных функций степенные,
Скалярные произведения на отрезке [0, 1], записанные в интегральной форме (т.е. при $$n \to \infty$$ ), будут иметь вид
В таком случае СЛАУ после применения F(x) — заданная функция, будет:
или
$${\mathbf{H}}_{p + 1}\mathbf{u} = \mathbf{F^{\prime}},$$где
$$\begin{gather*} \mathbf{u} = {\{u_0, \ldots, u_p \}}^T,\quad \mathbf{F^{\prime}} = {\left\{{\int\limits_0^1 {F(x)dx}, \ldots, \int\limits_0^1 {x^p F(x)dx}} \right\}}^T, \\ {\mathbf{H}}_{p + 1} = {\left\{\frac{1}{i + j - 1}\right\}}^{p + 1}_{i,j} = 1 \end{gather*}$$Матрица $$\mathbf{H}_{p + 1}$$ называется матрицей Гильберта. Это
классический пример плохо обусловленной матрицы. Число обусловленности очень быстро растет с ростом p. Так при p = 1 $$\mu = \left\|\mathbf{H}\right\| \cdot \left\|{\mathbf{H}}^{- 1}\right\| \approx 20,$$ при $$p = 9 \mu \approx 10^{13}.$$ Если получим СЛАУ для дискретной системы точек, т.е. для $$$ (\varphi_j,\varphi_k) = \sum\limits_{i = 0}^n x^{k + j}_i, (\varphi_j,f) = \sum\limits_{i = 0}^n x^k_i f(x_i)x_i = \frac{i}{n} $,$$ то ее матрица будет асимптотически приближаться к матрице Гильберта $$\mathbf{H}_{p + 1}$$ при $$n \rightarrow \infty.$$
Улучшить качество численного решения СЛАУ
Большинство прямых методов решения линейных систем основано либо на замене исходной системы $$\mathbf{Au} = \mathbf{f}$$ ( $$\mathbf{A}$$ — квадратная матрица) на эквивалентную $$\mathbf{CAu} = \mathbf{Cf},$$ либо на представлении матрицы $$\mathbf{A}$$ в виде произведения других матриц, таких, чтобы новая система либо решалась более просто, либо была лучше (по крайней мере, не хуже) обусловлена, чем исходная.
Подход, использующий спектральную эквивалентность матриц $$\mathbf{A}$$ и $${\mathbf{C}}^{- 1}$$ (в смысле границ спектра собственных значений), основан на умножении $$\mathbf{A}$$ на близкую в некотором смысле матрицу $$\mathbf{C}.$$ Последняя матрица выбирается таким образом, чтобы произведение было близким к единичной матрице (при этом $${\mathbf{C}} \ne {\mathbf{A}}^{- 1},$$ так как обращение плохо обусловленной матрицы приводит к накоплению вычислительных ошибок. Число обусловленности матрицы $$\mathbf{CA}$$ $$\mu = \lambda _{max}/\lambda _{min}$$ будет близко к единице. Метод энергетически эквивалентных операторов оказался эффективным при численном решении сеточных уравнений при разностной аппроксимации уравнений в частных производных эллиптического типа.
Идея предобусловливания СЛАУ состоит в том, чтобы вместо исходной системы $$\mathbf{Au} = \mathbf{f}$$ решать систему $$\mathbf{A^{\prime}u^{\prime}} = \mathbf{f^{\prime}},$$ где $$\mathbf{A^{\prime}} = \mathbf{C^{- 1}AC^{- 1}}, \mathbf{u^{\prime}} = \mathbf{Cu}, \mathbf{f^{\prime}} = \mathbf{C^{- 1}f},$$ матрица $$\mathbf{C}$$ выбирается так, чтобы она была симметричной положительной, хорошо обусловленной.
Определение. Матрица $$\mathbf{Q}$$ с вещественными
элементами qij является ортогональной, если
Пусть матрица $$\mathbf{C}$$ невырождена. Тогда она представима в виде
$$\mathbf{C} = \mathbf{QR},$$где $$\mathbf{Q}$$ — ортогональная, а $$\mathbf{R}$$ — верхняя треугольная матрицы. В качестве матрицы $$\mathbf{Q}$$ часто используется симметричная ортогональная матрица $$\mathbf{H}$$:
$$\mathbf{H} = \mathbf{E} - 2{\mathbf{ww}}^T,$$где $$\mathbf{w}$$ - произвольный вектор - столбец, такой, что $$({\mathbf{w}}^T{\mathbf{w}}) = 1.$$ Матрица $$(\mathbf{w,wT})$$ есть произведение вектора - столбца $$\mathbf{w}$$ на вектор - строку $$\mathbf{wT}$$ (преобразование Хаусхолдера или метод отражений ).
Заметим, что симметричность матрицы $$\mathbf{H}$$ (матрицы отражений) показывается непосредственной проверкой; ортогональность $$\mathbf{H}$$ можно показать следующим образом:
$${\mathbf{HH}}^T = (\mathbf{E} - 2{\mathbf{ww}}^T)(\mathbf{E} - 2{\mathbf{ww}}^T) = \\ = \mathbf{E} - 2{\mathbf{ww}}^T - 2{\mathbf{ww}}^T + 4{\mathbf{ww}}^T \cdot {\mathbf{ww}}^T = \\ = \mathbf{E} - 4{\mathbf{ww}}^T - 4\mathbf{w}({\mathbf{w}}^T{\mathbf{w}}){\mathbf{w}}^T = \mathbf{E}, \\ $$так как $${\mathbf{w}}^T{\mathbf{w}} = 1.$$
Матрица СЛАУ представляется в виде $$\mathbf{A} =
{\mathbf{H}}^T{\mathbf{R}},$$ после чего решается
[0,1] построить многочлен F(x) = u0 + u1x среднеквадратичного приближения со скалярными произведениями:$$(\varphi_i,\varphi_j) = \int\limits_0^1 {x^ix^j}{dx},\quad f,\varphi_i) = \int\limits_0^1 f(x)x^idx.$$
Решение. Введем базисные функции $$\varphi_0 (x) = 1, \varphi_1 (x) = x,$$ и вычислим скалярные произведения
$$$ (\varphi_0,\varphi_0) = \int\limits_0^1 {1^2 dx} = 1, (\varphi_1,\varphi_1) = \int\limits_0^1 {x^2 dx =} \frac{1}{3},$$$$$$ (\varphi_0,\varphi_1) = \int\limits_0^1 {xdx}} = \frac{1}{2}, (f,\varphi_0) = \int\limits_0^1 {\sqrt{1} x dx} = \frac{2}{3},$$$
$$$ (f,\varphi_1) = \int\limits_0^1 {\sqrt{x} x dx} = \frac{2}{5},$$$Для вычисления коэффициентов получим СЛАУ
$$$ u_0 + \frac{1}{2}u_1 = \frac{2}{3},$$$$$$ \frac{1}{2}u_0 + \frac{1} 3u_1 = \frac{2}{5}, $$$
откуда $$$ u_0 = \frac{4}{{15}}, c_1 = \frac{4}{5}, F(x) = \frac{4}{15} + \frac{4}{5}x.$$$
c11x + c12y = f1 c22x + c21y = f2,
если она задана в форме
Решить эту систему для случая a11 = a32 = 1, a21 = a12 = 2, a31 = 0, a22 = 1, f1 = 1, f2 = 2, f3 = 1.
Решение. Проведем необходимые вычисления:
$$\begin{gather*} \left( \begin{array}{ccc} {a_{11}} {a_{21}} {a_{31}} \\ {a_{12}} {a_{22}} {a_{32}} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 0 \\ 0 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} {a_{11}} {a_{12}} \\ {a_{21}} {a_{22}} \\ {a_{31}} {a_{32}} \end{array} \right) = \\ = \left( \begin{array}{ccc} {a_{11}} {a_{21}} {a_{31}} \\ {a_{12}} {a_{22}} {a_{32}} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 0 \\ 0 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} {f_1} \\ {f_2} \\ {f_3} \end{array} \right), \\ \left( \begin{array}{cc} {a_{11}^2 + a_{21}^2 + a_{31}^2} {a_{11}a_{12} + a_{21}a_{22} + a_{31}a_{32}} \\ {a_{11}a_{12} + a_{21}a_{22} + a_{31}a_{32}} {a_{12}^2 + a_{22}^2 + a_{32}^2} \end{array} \right) = \\ = \left( \begin{array}{l} {u_1} \\ {u_2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{l} {a_{11}f_1 + a_{21}f_2 + a_{31}f_3} \\ {a_{12}f_1 + a_{22}f_2 + a_{32}f_3} \\ \end{array} \right), \\ (a_{11}^2 + a_{21}^2 + a_{31}^2)u_1 + (a_{11}a_{12} + a_{21}a_{22} + a_{31}a_{32})u_2 = a_{11}f_1 + a_{21}f_2 + a_{31}f_3, \\ (a_{11}a_{12} + a_{21}a_{22} + a_{31}a_{32}) u_1 + (a_{12}^2 + a_{22}^2 + a_{32}^2)u_2 = a_{12}f_1 + a_{22}f_2 + a_{32}f_3. \end{gather*}$$Решение в числах предлагается найти читателям.
f(x) = u0 + u1x + u2x2, если таблица измерений задана $$\left. {\left\{{x_i, f_i}\right\}}\right|_{i = 0}^n .$$Решение.
определяет функционал
$$\Phi (u_0, \ldots, u_n) = \sum\limits_{k = 0}^n{r_k^2} = \sum\limits_{k = 0}^n {(u_0 + u_1 x_k + u_2 x_k^2 - f_k)}^2.$$Условия минимума последнего
$$$ \frac{\partial \Phi }{\partial u_k} = 0. $$$После проведения алгебраических преобразований получим для коэффициентов систему линейных уравнений
$$\begin{gather*} u_0 + \left({\sum\limits_{k = 0}^n {x_k}}\right)u_1 + \left({\sum\limits_{k = 0}^n {x_k^2}}\right)u_2 = \sum\limits_{k = 0}^n {f_k}, \\ \left({\sum\limits_{k = 0}^n {x_k}} \right)u_0 + \left({\sum\limits_{k = 0}^n {x_k^2}}\right)u_1 + \left({\sum\limits_{k = 0}^n {x_k^3}} \right)u_2 = \sum\limits_{k = 0}^n {f_k} x_k, \\ \left({\sum\limits_{k = 0}^n {x_k^2}} \right)u_0 + \left({\sum\limits_{k = 0}^n {x_k^3}}\right)u_1 + \left({\sum\limits_{k = 0}^n {x_k^4}} \right)u_2 = \sum\limits_{k = 0}^n{f_k} x_k ^2. \end{gather*}$${xk, fk}, k = 0, 1, ..., n, n > 1.Найти линейную функцию $$f(x) = \alpha x + \beta,$$ минимизирующую функционал $$\Phi (\alpha,\beta) = \sum\limits_{k = 0}^n {(f_k - \alpha x_k - \beta)^2} .$$
Используя этот результат, решить
x + y = 3, x + 3y = 7, 2x - y = 0.2, 3x + y = 5.
n x n, $$\mathbf{u}$$ — n -мерный вектор, $$\Phi (x)$$ — функционал, $$\Phi (x) = \left({\mathbf{Bu} - \mathbf{u}x,\mathbf{Bu} - \mathbf{u}x}\right).$$ Доказать, что $$\Phi (x)$$ достигает минимума при $$x = (\mathbf{Bu},\mathbf{u})/(\mathbf{u},\mathbf{u}).$$p =
aebh.Определить коэффициенты a, b по результатам наблюдений,
приведенных в таблице ( h — высота в метрах над уровнем моря; p — давление в мм рт. ст.):
h |
0 |
270 |
840 |
1452 |
2116 |
3203 |
p |
760 |
737 |
686 |
636 |
584 |
508 |
P = a0 + a3v3 ( P — мощность в лошадиных силах, v — скорость в узлах).Определить a0, a3 по табличным данным.
v |
6 |
8 |
10 |
12 |
13 |
P |
423 |
805 |
1378 |
2357 |
2893 |
x0 = - 1, x1 = - 0,5, x2 = 0, x4 = 1.$$\mathbf{A} = \left( \begin{array}{cc} 1 1 \\ 2 {- 1} \\ 1 3 \\ 3 1 \end{array} \right), \mathbf{B} = \left( \begin{array}{cc} 1 {0,5} \\ {0,5} 1 \end{array} \right), \mathbf{f} = {(3, 0,2, 7, 5)}^T.$$
P(x) = a0 + a1sin x + b1cos x + a2sin 2x + b2cos 2x по десяти точкам x0, ..., x9 с помощью Опишите алгоритм вычисления коэффициентов a0, a1, b1, a2, b2.
Для получения официальных документов о завершении программы дополнительного профессионального образования (удостоверения о повышении квалификации, дипломов о профессиональной переподготовке и MBA) необходимо предоставить:
Внимание! Вы можете не заказывать доставку бумажной версии официального документы, а скачать его в электронном виде и распечатать самостоятельно. Информация о выданном документе в течение 1 месяца загружается в Федеральную информационную систему «Федеральный реестр сведений о документах об образовании и (или) о квалификации, документах об обучении» - ФИС ФРДО.
Доступ на новый сайт осуществляется с использованием адреса электронной почты, который был указан вами при регистрации на "старом". Мы постарались перенести все ваши данные с прежнего ресурса, однако не исключена вероятность потери части информации.
При возникновении проблемы со входом, воспользуйтесь функцией сброса пароля
Если вы обнаружите несоответствия, пожалуйста, сообщите нам.