Распределение Пуассона

Записаться

Методические материалы

Распределение Пуассона:

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%9F%D1%83%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0

http://studopedia.ru/3_59992_raspredelenie-puassona.html

Другие распределения, пока для общего ознакомления:

Распределение Гаусса (нормальное распределение):

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5

Равномерное распределение:

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D1%80%D0%B5%D1%80%D1%8B%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5

Геометрическое распределение:

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5

Распределение Парето:

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BE

Задача #10

Посеяли 10 000 семян. Вероятность для семени не прорасти – 0,0003. Какова вероятность, что все семена прорастут? Решите задачу в Excel

Решение и ответ:

В статистических функциях открываем опцию ПУАССОН.РАСП

Задача #11

В поселке 1000 домов, каждый из которых застрахован на год от пожара в одной страховой компании на сумму 100 тыс. рублей. Страховой взнос за год составляет 300 рублей. Для данного поселка вероятность пожара в доме в течение года оценивается величиной ρ=0.002. Какова вероятность того, что в течение года страховая компания понесет убытки?

Решите задачу, используя формулу Пуассона P(m)=(λ^m/m!)*(1/e^λ), где λ=ρ*n, т.е. среднее число появлений события в n испытаниях.

Решение и ответ:

«Лямбда» равна λ=1000*0,002=2. Компания понесет убытки, если сгорит более чем 3 дома. Вероятнось этого события составляет:

P(m>3)=1-(2⁰/0!)*(1/e²)-(2¹/1!)*(1/e²)-(2²/2!)*(1/e²)-(2³/3!)*(1/e²)=1-0,1353-0,2707-0,2707-0,1804=0,1429

Задача #12

Пусть существует некий коллекционер, собирающий трамвайные билеты. У него "бзик" - собрать коллекцию билетов, оканчивающихся на цифры от 0 до 9. Меняться билетами с другими коллекционерами наш объект исследования не собирается, подбирать чужие билеты считает ниже своего достоинства. Вопрос - сколько раз нашему коллекционеру придется ездить в трамвае, прежде чем он соберет всю коллекцию?

Решение и ответ:

Итак, поехал он первый раз, ему по-любому дали билет с каким-то номером. Поехал второй раз, какова вероятность, что ему не попадется билет с тем же номером? Правильно: (10-1)/10. А если он уже собрал, допустим, шесть билетов? Вероятность будет: (10-6)/10 и т.д. А сколько раз ему ездить или каково математическое ожидание поездок, чтобы ему достался "счастливый" билет? Правильно: единица, деленная на вероятность (подумайте, почему...)

В Excel это будет выглядеть вот так:

Задача #13. Задача о разорении игрока

Игроки 1 и 2 постоянно играют азартную игру. Вероятность выигрыша у игрока 1 в отдельно взятом раунде равна p, у игрока 2, соответственно, q=1-p. Ставка 1 рубль. Размер капитала у А – n₁ млн. рублей, у Б – n₂ млн. рублей. Игра продолжается до тех, пока у одного из игроков не останется ни рубля из имеющегося капитала и не произойдет разорения либо игрока 1, либо игрока 2. С какой вероятностью игрок 1 разорится.

Решение:

Если вероятность выигрыша у обоих игроков одинакова p=q, то решение сводится:

Если вероятность выигрыша первого игрока в каждом отдельном раунде равна p, а у второго игрока q=1-p, то решение сводится:

Решение на английском языке:

https://en.wikipedia.org/wiki/Gambler%27s_ruin

Видео-лекция о Gambler's Ruin:

https://www.youtube.com/watch?v=PNrqCdslGi4

Задача #14. Задача про день рождения

В классе учатся 25 человек. Какова вероятность того, что хотя бы у кого-то из учеников дни рождения совпадут. В целях упрощения считайте, что високосных лет нет и дети рождались случайным образом

Решение:

Эту задачу легче решать не через совпадения, а через не совпадения. Для начала представим, что классе учатся 366 учеников. Понятно, что у кого-то день рождения обязательно совпадет. Вероятность совпадения дней рождения хотя бы у двоих равна 1. А если 365 учеников? Представьте себе 365 коробок (это у нас дни в году), в которые попадает каждый ученик. Для первого чела пространство для попадания не ограничено. А вот для второго уже не все так просто. Ему, чтобы не было совпадений, нужно не попасть в коробку, куда уже попал первый ученик. Вероятность этого дела 364/365. Для третьего вероятность – 363/365. Для последнего 1/365. Чтобы случилось именно это событие, когда все 365 человек сидят по своим коробкам и никто не попадает в коробку другого, то эти вероятности нужно перемножить. Получим 365!/(365^365). Эта вероятность ничтожно мала. А вот при любом другом раскладе в одной коробке окажется минимум два ученика, у которых дни рождения совпадут. Это альтернативное событие достаточно близко к единице.

Зайдем с другого бока. Пусть в классе 2 человека. С какой вероятностью дни рождения у них не совпадут? Правильно 364/365. А если 3 человека? 364*363/365^2. Итоговая формула для несовпадений дней рождений будет выглядеть как n*(n-1)*(n-2)*…*(n-k+1)/n^(k-1), где n – число коробок в которых нужно разместить учеников, в нашем случае число дней в году, а k – количество учеников в классе

Загоним данные в Excel. Получим, что при 25 человек в классе вероятность совпадения составит 0,569. Если взять группу учащихся числом в 50, то вероятность совпадений дней рождений станет уже 0,97

В целом же график зависимости совпадений дней рождений хотя бы у двух человек в компании от размера компании выглядит следующим образом:

http://klikunov-nd.livejournal.com/152859.html

Дополнительные источники информации:

Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. – СПб.: Лань. 2002. -256 с.

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. Пособие для студентов вузов. М.: Высш. шк., 2003. – 405 с.

Приложения