Условная вероятность. Формула Байеса

Записаться

Методические материалы

Формула Байеса:

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%91%D0%B0%D0%B9%D0%B5%D1%81%D0%B0

P(A/B)*P(B)=P(B/A)*P(A)=P(A¿В)

Задача #7

Джон Ричард Хикс и Джон Мейнард Кейнс пошли на охоту. Вероятность попадания у Хикса 0.8, а у Кейнса 0.6. Стреляли оба, по одному выстрелу. В убитом кабане оказалась только одна пуля. Как им поделить кабана?

Решение и ответы:

Всего возможно было 4 исхода. Оба промазали, оба попали, Кейнс попал - Хикс промазал, Кейнс промазал - Хикс попал. В реальной жизни реализовалось только два из четырех исходов, так как в кабане только одна пуля.

Вероятность исхода «Кейнс попал - Хикс промазал» составляет 0.6*(1-0.8)=0.12

Вероятность исхода «Кейнс промазал - Хикс попал» составляет 0.8*(1-0.6)=0.32

По «справедливости» им нужно разделить кабана в соответствии с вероятностью попадания. Тогда Доля Кейнса =0.12/(0.12+0.32)=0.273; доля Хикса =0.32/(0.12+0.32)=0.727

Задача #8

Семья планирует заводить трех детей.

А) Какова вероятность, что первый ребенок будет мальчик (Р(А))?

Б) Какова вероятность, что все три ребенка будут мальчики (Р(В))?

В) Какова вероятность, что первый ребенок родился мальчиком, если в семье трое детей и все мальчики (Р(А/В))?

Г) Какова вероятность, что в семье будет три мальчика, если первый ребенок мальчик (Р(В/А))?

Д) Какова вероятность, что и первый ребенок мальчик и все трое детей – мальчики?

Ответы и решения:

А - 1/2;

Б – 1/8;

В – 1;

Г – P(B/A)=P(A/B)*P(B)/P(A)=1*(1/8)/(1/2)=1/4;

Д – 1/8

Задача #9

Из двенадцати лотерейных билетов пять выигрышных. Билеты вытягиваются по одному без возвращения.

А) Какова вероятность вытянуть выигрышный билет, если перед этим наудачу вытянули два билета?

Б) Во второй раз был вытянут выигрышный билет. Какова вероятность того, что и в первый раз был вытянут выигрышный билет?

Ответы и решения:

А) 5/12, обратите внимание, что из-за отсутствия какой-либо информации не нужно использовать формулу полной вероятности, а достаточно 5 разделить на 12

Б) В первый раз были возможны два исхода. Первый – был вытянут выигрышный билет. Вероятность этого 5/12. Второй – был вытянут пустой билет. Вероятность этого 7/12. Мы знаем, что второй раз был вытянут выигрышный билет. Если жизнь развивалась по первому исходу, то вероятность этого (5/12)*(4/11). Если, по второму – (7/12)*(5/11). Обратите внимание, что какой-то из этих двух исходов фактически реализован.

Для нахождения вероятности первого исхода, т.е. вытягивания выигрышного билет в первый раз, мы должны условную вероятность первого исхода разделить на сумму условных вероятностей двух исходов:

5*4/(5*4+7*5) = 0,364 (ответ округлен до третьего знака после запятой)

P.S. - 1. Обратите внимание, что я не стал делить и числитель, и знаменатель на (11*12), так как эти значения сокращаются

P.S. - 2. Обратите внимание, что полученная нами информация о том, что во второй раз был вытянут выигрышный билет отрицательной повлияла на вероятность, что и в первый раз был вытянут выигрышный билет, т.к. 0,364<5/12

Дополнительные источники информации:

Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. – СПб.: Лань. 2002. -256 с.

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. Пособие для студентов вузов. М.: Высш. шк., 2003. – 405 с.